Compensador en adelanto BODE - armando2k.com en adelanto bode.pdf · El valor mínimo de α está limitado por la construcción física del compensador de adelanto. ... Diagrama de

FIME COMPENSACIÓN EN ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA UANL

CONTROL CLÁSICO M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ 1

Compensador en adelanto

por el método de respuesta en frecuencia



Compensador electrónico en adelanto con amplificadores operacionales

( )( )

22

11

23

14

22

11

31

4201

1

11

CRs

CRs

CRCR

sCRsCR

RRRR

sEsE

i +

+=

++

=

Ts

Ts

KTs

TsK cc

αα

α 1

1

11

+

+=

++

=

23

142211 CR

CRKCRTCRT c === α

11

22

31

42CRCR

RRRRKc == αα

Ésta es una red de adelanto si 2211 CRCR > o 1<α y una red de atraso si 2211 CRCR < . La ganancia del compensador en adelanto es αcK El compensador tiene un cero en Ts 1−= y un polo en ( )Ts α1−= . Dado que 10 <<α , vemos que el cero siempre se ubica a la izquierda del polo en el eje de frecuencia. El valor mínimo de α está limitado por la construcción física del compensador de adelanto. Por lo general, el valor mínimo de α se ubica cerca de 0.05. (Esto significa que el adelanto de fase máximo que produce el compensador es de alrededor de 65°.)



Diagrama de Bode de un compensador en adelanto con 1=cK y 1.0=α

αω

αω

αω

αω

αω

T

T

TT log log

T1log

T1 log 2log

T1log

T1 log

log

m

m

m

m

m

1

1

11

2

22

2

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

+=

( ) ( )11)( +∠−+∠=∠= TjTjjG mmmcm αωωωφ

TtanTtan m1

m1

m αωωφ −− −= ( )BABABA

tantan1tantantan

+−

=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −−

αα

αφ 11

m tan1tantan tan

αα

αα

α

αα

αφ21

11

1−

=+

−=m tan

ααφ

+−

=11

msen



Técnicas de compensación de adelanto

1. Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante estática de error determinada.

2. Usando la ganancia K determinada, dibuje la grafica de Bode de G(jω). Calcule el valor del Margen

de fase y el Margen de ganancia con sus respectivas frecuencias. Estos son las características originales del sistema

origMF = margen de fase original

cω = frecuencia de transición de ganancia original origMG = margen de ganancia original

fω = frecuencia de transición de fase original

3. Si las características originales no satisfacen lo especificado, entonces, calcule la cantidad de fase de adelanto mφ requerido que debe de entregar el compensador en adelanto.

4. espMF es el margen de fase especificado, adicφ son los grados adicionales que hay que agregar para compensar la caída de ángulo debido al corrimiento de frecuencia, producido por la magnitud ( )αlog10 que agrega el compensador en mω . El ángulo mφ no debe de ser mayor a 65°. (Hay que proponer el ángulo adicφ ).

5. De la cantidad de fase requerida, determine el factor de atenuación α a partir de la ecuación.

6. Determine la frecuencia mω a la cual la magnitud del sistema no compensado G(jω) es igual a ( )αlog10 . Seleccione ésta como la nueva frecuencia de transición de ganancia. Esta frecuencia corresponde a

y el cambio de fase máximo mφ ocurre en esta frecuencia.

7. Calcule la caída de ángulo, la cuál será, el defasamiento en la frecuencia de transición de ganancia original ( cω ) menos el defasamiento en la nueva frecuencia de transición de ganancia ( mω ).

( ) ( )mccaida jGjG ωωφ ∠−∠=

Esta caída deberá ser aproximadamente igual a los grados adicionales caidaadic φφ ≈ . Si no se cumple esta condición se deberá modificar los grados adicionales y repetir los pasos del 3 al 7

8. Determine las frecuencias de esquina del compensador de adelanto:

Cero del compensador de adelanto: T1

adicorigespm MFMF φφ +−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=m

m

sensen

φφα

11

αω

Tm1

=



Polo del compensador de adelanto: Tα1

9. El compensador quedaría

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

+=

++

=α

αα

11

1

11

Ts

Ts

TsTssGc



Ejemplo 1 La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control es

( ) ( )24+

=ss

KsG

Se desea que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones

1. El coeficiente estático de error de velocidad 120 −= segKv 2. El margen de fase °≥ 50MF 3. El margen de ganancia dBMG 10≥

Solución El coeficiente estático de error de velocidad del sistema original

( ) ( ) Kss

KsssGKssv 2

24limlim

00=

+==

→→

Como se desea que 120 −= segKv entonces

202 =K 10=K El sistema sería

( ) ( )240+

=ss

sG

El margen de fase para este sistema es

∞==°=

MGsegradMF c /17.696.17 ω

El ángulo que debe de proporcionar el compensador en adelanto

adicorigespm MFMF φφ +−=

Se propone 6° como grados adicionales

°=°+°−°= 04.38696.1750mφ

( )( ) 237.0

04.38104.381

11

=°+°−

=+−

=sensen

sensen

m

m

φφ

α

( ) dB244.6237.0log10log10 −==α

En 95.8=ω tenemos una magnitud de -6.244 dB, ésta sería la nueva frecuencia de transición de ganancia

95.8=mω



La caída de ángulo debido al corrimiento de frecuencia de 6.17 a 8.95 es el defasamiento en la frecuencia de transición de ganancia original ( )cω menos el defasamiento en la nueva frecuencia de transición de ganancia ( )mω


Esta caída deberá ser menor o igual a los grados adicionales caidaadic φφ ≈

( ) °=°−−°−= 36.54.16704.162caidaφ Como caidaadic φφ ≈ , se continúa con el diseño, si no lo fueran habría que modificar los grados adicionales y volver a diseñar. El cero del compensador sería

357.4237.095.81=== αωmT

El polo

384.18237.0357.41

==Tα

El compensador sería

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=

384.18357.4

237.01

1

11

ss

Ts

Ts

sGc

αα

El sistema compensado es

( ) ( ) ( ) 237.01

384.18357.4

240

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=ss

sssGsG c

Para el sistema compensado

∞==°=

MGsegradMF m /96.866.50 ω






( ) ( )( )6224

++=

sssKsG

Se desea que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones:

El error en estado estable para una entrada rampa con pendiente π2 debe ser menor o iguala 10π

Un margen de fase °≥ 45MF La frecuencia de cruce de ganancia seg

radc 1≥ω

Solución El coeficiente estático de error de velocidad del sistema original

( ) ( )( ) Ksss

KsssGKssv 2

6224limlim

00=

++==

→→

Como se desea que 10π

=sse entonces

KKKR

ev

ssππ

===221 como

10ππ

=K

entonces 10=K

El sistema sería

( ) ( )( )62240

++=

ssssG


segraddBMGsegradMF c

/47.393.7/3.578.20

=−==°−=

ωω

Ya que el sistema es muy inestable, para llevar al sistema de -20.78° hasta 45° se necesitarán 65.78° más los grados adicionales, un compensador no es suficiente, por lo que se necesitarán dos compensadores en adelanto, Para facilitar el diseño se utilizaran dos compensadores iguales, el ángulo que debe de proporcionar cada compensador en adelanto sería:

2adicorigesp

mMFMF φ

φ+−

=


°=°+°−°

= 39.482

3178.2045mφ

( )( ) 144.0

39.48139.481

11

=°+°−

=+−

=sensen

sensen

m

m

φφ

α



( ) dB83.16144.0log20log10*2 −==α en 3.11=ω tenemos una magnitud de -16.83 dB, ésta sería la nueva frecuencia de transición de ganancia

3.11=mω



Esta caída deberá ser menor o igual a los grados adicionales caidaadic φφ ≥

( ) °=°−−°−= 22.3123278.200caidaφ Como caidaadic φφ ≈ se continúa con el diseño, si no lo fueran habría que modificar los grados adicionales y volver a calcular El cero del compensador sería

288.4144.03.111=== αωmT

El polo

778.29144.0288.41

==Tα


( )22

2

2

778.29288.4

144.01

1

11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ss

Ts

Ts

sGc

αα


( ) ( ) ( )( )22

144.01

778.29288.4

62240

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=ss

ssssGsG c

Para el sistema compensado En 3.11== mωω ( ) ( ) dBjGjG mcm 039.0=ωω y ( ) ( ) °−=∠ 12.135mcm jGjG ωω

segraddBMGsegradMF

f

m

/2.2986.12/3.1188.44

===°=

ωω






( ) ( )( )21 ++=

sssKsG

Se desea que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones: El coeficiente estático de error de velocidad 110 −= segKv Un margen de fase °= 50MF Un margen de ganancia de dBMG 10≥ Solución El coeficiente estático de error de velocidad del sistema original

( ) ( )( ) 221limlim

00

Ksss

KsssGKssv =

++==

→→

Como se desea que 10=vK entonces

102=

K por lo que 20=K

El sistema sería

( ) ( )( )2120

++=

ssssG


segraddBMGsegradMF

f

c

/41.151.10/43.217.28

=−==°−=

ωω

Ya que el sistema es muy inestable, para llevar al sistema de -28.17° hasta 50° se necesitarán 78.17° más los grados adicionales por lo que se necesitarán dos compensadores en adelanto, El ángulo que debe de proporcionar cada compensador en adelanto sería

2adicorigesp

mMFMF φ

φ+−

=


( )°=

°+°−−°= 08.49

22017.2850

mφ

( )( ) 139.0

08.49108.491

11

=°+°−

=+−

=sensen

sensen

m

m

φφ

α

( ) dB127.17139.0log20log10*2 −==α



en 08.5=ω tenemos una magnitud de -17.127 dB, ésta sería la nueva frecuencia de transición de ganancia

08.5=mω



Esta caída deberá ser aproximadamente igual a los grados adicionales caidaadic φφ ≈

( ) °=°−−°−= 2.2937.23717.208caidaφ

Como la caída de ángulo es mayor que los grados adicionales se procede a recalcular modificando los grados adicionales. Se propone 34° como grados adicionales

( )°=

°+°−−°= 08.56

23417.2850

mφ

( )( ) 093.0

08.56108.561

11

=°+°−

=+−

=sensen

sensen

m

m

φφ

α

( ) dB63.20093.0log20log10*2 −==α

en 85.5=ω tenemos una magnitud de -20.63 dB, ésta sería la nueva frecuencia de transición de ganancia

85.5=mω



Esta caída deberá ser aproximadamente igual a los grados adicionales caidaadic φφ ≈

( ) °=°−−°−= 25.3342.24117.208caidaφ Como son aproximadamente iguales caidaadic φφ ≈ se continua con el diseño, si no lo fueran habría que modificar los grados adicionales y volver a calcular El cero del compensador sería

784.1093.085.51=== αωmT

El polo

183.19093.0784.11

==Tα




( )22

2

2

183.19784.1

093.01

1

11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ss

Ts

Ts

sGc

αα


( ) ( ) ( )( )22

093.01

183.19784.1

2120

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=ss

ssssGsG c

Para el sistema compensado En 85.5== mωω ( ) ( ) dBjGjG mcm 016.0=ωω y ( ) ( ) °−=∠ 26.129mcm jGjG ωω

segraddBMGsegradMF

f

m

/61.1817.15/85.574.50

===°=

ωω



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