perro, lo cual tiene la forma de un rectángulo de dimensiones x por y metros,junto con una semi-circunferencia de diámetro y. Encontrar x e y de tal maneraque la superficie total sea la más grande posible, sabiendo que la persona tienepresupuesto para comprar p metros de cierre.

Solución.- El área del terreno está dada por

A = xy +1

2π(y2

)2

= xy +1

8πy2

y se tiene la condición 2x+ y + π y2= p, es decir

2x+2 + π

2y = p

De aquí, y = 2× p− 2x2 + π

y se tiene la función

A (x) = 2xp− 2x2 + π

+1

8π

(2p− 2x2 + π

)2

=2x (p− 2x)2 + π

+π

2

(p− 2x2 + π

)2, 0 ≤ x ≤ p

2(7 puntos)

Puntos críticos de A en]0, p

2

[:

A′ (x) = − 4

(π + 2)2(4x− p+ πx) = 0

⇐⇒ x =p

π + 4

Finalmente se evalúa: A (0) = 12π p2

(π+2)2, A(p

2

)= 0 y A

(p

π+4

)= 1

2p2

π+4

para obtener x = p

π+4punto de máximo absoluto

(12π 1(π+2)2

= 5. 941 9× 10−2 , 12

1π+4

= 7. 001 2× 10−2)

y así, y = 2p−2 p

π+4

2+π= 2 p

π+4

(8 puntos)

Obs.- También puede expresarse en términos de la variable y como

A (y) =2p− (2 + π) y

4y +

1

8πy2 , con 0 ≤ y ≤ 2p

2 + π

1. Una persona quiere encerrar dentro de su terreno un espacio de juego para su

y a una altura constante de 40 pies, alejándose del niño que lo “encumbra”.Si la cuerda entre el niño y el volantín siempre se mantiene tensa y el niñono se desplaza ¿con qué rapidez aumenta su longitud en el instante en que ladistancia del cometa al niño es 50 pies?

Solución.-

Solución.- Siendo t �→ x (t) la función que determina la posición del cometay t �→ d (t) la función que da la distancia del cometa al niño, como se indicaen la figura

40

niño

v = 3 pie/seg

x(t)

d(t)

0

se tiene, ∀t :x (t)2 + 1600 = d (t)2

donde se sabe que v (t) = x′ (t) = 3 en cada instante. (6 puntos)

Se pide calcular d ′ (t0) donde t0 es el instante para el cual d (t0) = 50.

Derivando implícitamente

2x (t) · x′ (t) = 2d (t) · d′ (t)

d′ (t) =x (t)

d (t)· x′ (t)

En el instante t0 : d (t0) = 50 , x (t0) = 30 y

d′ (t0) =3

5· 3 = 9

5pie/seg (9 puntos)

2. Un cometa (volantín) se desplaza horizontalmente a una velocidad de 3 pie/seg.

3. (15 puntos) Un tanque de agua en forma de cono invertido, con el eje vertical yel vértice hacia abajo, tiene una tapa con un radio de 5 pies y una altura de 10pies. El agua sale del tanque por un agujero en el vértice, a una velocidad de50 pie3

min. ¿Cuál es la razón de cambio de la profundidad del agua en el instante

en que el agua tiene 6 pies de profundidad?

Indicación.- Volumen de un cono V = 13πr2h.

Solución.- Siendo t→ V (t) , t→ r (t) , t→ h (t) las funciones que determi-nan el volumen, el radio y la profundidad del cono de agua, en cada instante,se tiene

5

10=

r (t)

h (t)⇒ r (t) =

1

2h (t)

V (t) =1

3πr (t)2 h (t) =

1

12πh (t)3

y luego

dV

dt(t) =

1

4πh (t)2

dh

dt(t)

Sabiendo que dVdt(t) = −50 en todo instante. En t0 tal que h (t0) = 6 se tiene

dh

dt(t0) =

4 (−50)π (6)2

= −509π

≈ −1, 77 piemin

La profundidad disminuye a razón de 1, 77 piemin.

látero. En la parte rectangular se usará un vidrio que deja pasar el doble deluz por metro cuadrado que el vidrio que se usará para la parte triangular.Si el perímetro de la ventana es de 20 metros, determine las dimensiones quedebe tener la ventana que deja pasar el máximo de luz.

Solución.- Para una ventana con las dimensiones que se indican en la figura

x

y

su perímetro es3x+ 2y = 20

y si la cantidad de luz que deja pasar el vidrio de la parte triangular, pormetro cuadrado, es P , entonces la cantidad de luz que pasa a través de todala ventana está dada por

C =

√3

4x2P + xy (2P )

= P

Ã√3

4x2 + 2xy

!

Ahora, como se puede expresar y en términos de x : y = 10− 32x, la expresión

queda

C (x) = P

Ã√3

4x2 + 20x− 3x2

!debiendo considerarse 0 ≤ x ≤ 20

3.

Se quiere encontrar el máximo absoluto de esta función continua en el intervalo£0, 20

3

¤. También es posible prescindir del factor P en la determinación de este

máximo. Así

C (x) =

Ã√3

4− 3!x2 + 20x , 0 ≤ x ≤ 20

3(6 puntos)

4. Se desea construir una ventana rectangular coronada con un triángulo equi-

i) Determinación de puntos críticos en¤0, 20

3

£:

C 0 (x) =

Ã√3

2− 6!x+ 20 = 0

⇔ x =20

6−√32

único punto crítico. (3 puntos)

ii) Se evalúa la función C (x) =³√

34− 3´x2 + 20x :

C

µ20

6−√32

¶≈ 38,95 , C (0) = 0 , C

¡203

¢ ≈ 19,24Luego, x = 20

6−√32

= 3. 895 es el punto de máximo absoluto. (4 puntos)

Las dimensiones de la ventana son: x = 20

6−√32

≈ 3. 895 mts., y = 10− 32

20

6−√32

≈4. 157 mts (2 puntos)

plana). La ruta de vuelo pasa por sobre un punto P situado en tierra. Si ladistancia entre el avión y el punto P disminuye a razón de 4 Km/min., en elinstante en que esta distancia es de 10 Km., calcule la velocidad del avión enese instante.

Solución.- Al considerar las funciones indicadas en la figura:

donde s (t) : distancia del avión al punto P, y x (t) : función posición para eldesplazamiento del avión, se tiene

x (t)2 + 64 = s (t)2 (5 puntos)

y luego

2x (t)dx

dt= 2s (t)

ds

dt

En el instante t0 para el cual s (t0) = 10 y dsdt(t0) = −4 se tiene

x (t0)2 = 100− 64 = 36 y x (t0) = 6

Luego,

dx

dt(t0) =

s (t0)

x (t0)

ds

dt(t0)

=10

6(−4)

= −203

Por lo tanto, la velocidad del avión en ese instante es de 203

£Kmmin

¤.(10 puntos)

3

5. Un avión se desplaza en vuelo horizontal a 8 Km. de altura (se supone la tierra

sobre el eje Ox y que está inscrito en el triángulo determinado por las rectasy = 0, y = x e y = 4− 2x.Ind.- Considere P (x, 0) como uno de los vértices del rectángulo y determinelas coordenadas de los otros 3 vértices Q, R y S, en términos de x

Solución.-

Siendo P (x, 0) el primer vértice, el cuarto es S (x, x), el tercero es R¡4−x2, x¢

y el segundo Q¡4−x2, 0¢, con 0 < x < 4

3.

Las dimensiones del rectángulo son PQ = 4−x2− x = 4−3x

2y PS = x. Su área

está dada por

A (x) =4− 3x2

· x , para 0 < x < 4

3

y en consecuencia, se debe encontrar el máximo absoluto de la función A enel intervalo indicado. (6 puntos)

Para esto, consideramos que

A0 (x) = 2− 3x = 0 ⇔ x =2

3(4 puntos)

la función tiene un único punto crítico, con A00 (x) = −3 < 0 para todo x.Luego, x = 2

3es un máximo absoluto.

Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo de mayor área son: ancho = 1 yalto = 2

3. (5 puntos)

4

6. Encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima que tiene un lado

0 = 8π√23

3. ¿Cuálesdeben ser las dimensiones del cono para que se requiera la menor cantidad de ma-terial en su fabricación?

Indicación.- Un cono de altura h y radio r tiene volumen y área dados por:V = 1

3πr2h y A = πr

√r2 + h2

De la condición V = 13πr2h = 8π

√23se sigue que h =

8√2

r2

Luego, el área está dada por:

A(r) = πr

rr2 +

128

r4

= π

rr4 +

128

r2, con r > 0 (7 puntos)

Para encontrar el mínimo absoluto de A sobre el intervalo (0,+∞) , basta considerarla función

f(r) = r4 +128

r2, con r > 0

Puntos críticos: f 0(r) = 4r3 − 256r3= 0⇔ r6 = 256

4= 64⇔ r = 2 (6 puntos)

Como f 00(r) = 12r2 + 768r4

> 0, ∀r > 0el único punto crítico es mínimo absoluto. (5 puntos)

Por lo tanto, las dimensiones del cono de área mínima son:

r = 2 mts. y h = 2√2 mts. (2 puntos)

7. Un depósito cónico sin tapa debe tener un volumen fijo V mt

profundidad es de 2 mts. en su parte más honda y 1 mt. en la parte más baja. Elsiguiente corte transversal muestra la forma que tiene el fondo de la piscina

Si la piscina se llena a razón de 1000 lts/min, determinar la rapidez con que sube elnivel del agua cuando la piscina tiene una profundidad de 1/2 mt. en su parte máshonda.

Siendo t → h(t) la función que mide la profundidad en cada instante y t → b(t) lafunción que mide el “largo” de la superficie del agua en cada instante, tal como seilustra:

tenemos por semejanza de triángulos

h(t)

b(t)− 12 =1

13

b(t)− 12 = 13h(t)

El volumen del agua en la piscina, en cada instante, está dado por

V (t) =1

2(12 + b(t)) · h(t) · 10

= 5 (24 + 13h(t))h(t)

= 120h(t) + 65h(t)2 (10 puntos)

Derivando se obtiene:dV

dt(t) = 120

dh

dt(t) + 130h(t)

dh

dt(t) (5 puntos)

con dVdt(t) = 1000 lts

min= 106 cm

3

min= 1mt3

min. Luego, en el instante t0 para el cual

h(t0) = 0.5 mt.

dh

dt(t0) =

dVdt(t0)

120 + 130h(t0)

=1

120 + 65=

1

185

= 5. 405 4× 10−3 mt

min(5 puntos)

8. Una piscina de forma rectangular mide 25 mts. de largo y 10 mts. de ancho. Su

2

manera que su abscisa crece uniformemente a razón de 2 cmseg . ¿En qué punto

de la curva la ordenada crece con la misma rapidez que la abscisa?

Se deriva implícitamente: 2y dydt = 12

dxdt

y se despeja dydt =

6y

dxdt (8 puntos)

Como dxdt= 2, se tiene dy

dt= 12

yy así

dy

dt=12

y= 2, y = 6

El punto es (3, 6) . (7 puntos)

9. Un punto se mueve en el plano describiendo la curva de ecuación y = 12x, de