Complementi Di Fisica 2012 13

8/15/2019 Complementi Di Fisica 2012 13

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COMPLEMENTI DI FISICA

Laurea Magistrale in Ing. Elettronica A.A.

2012-13

prof. Giovanni Falcone

Novembre 2012


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Indice

1 NASCITA DELLA MECCANICA QUANTISTICA 41.1 Il modello atomico di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Eff etto fotoelettrico e relazione di Planck-Einstein . . . . . . . . 71.3 Eff etto Compton e relazione di de Broglie . . . . . . . . . . . . . 91.4 Le relazioni di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Indeterminazione posizione-impulso . . . . . . . . . . . . 141.4.2 Energia-Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Dall’atomo di Thomson a quello di Bohr . . . . . . . . . . . . . . 181.6 L’atomo di idrogeno secondo Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.1 Lo stato fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.2 Primo stato eccitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.3 L’atomo di Bohr e gli spettri atomici . . . . . . . . . . . . 24

1.7 Appendice: Il raggio classico dell’elettrone . . . . . . . . . . . . . 25

2 EQUAZIONE DI SCHROEDINGER 272.1 Funzione d’onda ed equazione di Schoedinger . . . . . . . . . . . 27

2.1.1 Soluzioni stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Applicazioni semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.1 Funzione d’onda dell’atomo di Bohr . . . . . . . . . . . . 302.2.2 Il problema della misura nella nuova meccanica. . . . . . 322.2.3 La normalizzazione si conserva nel tempo . . . . . . . . . 33

2.3 Applicazioni unidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.1 La particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.2 Velocità di gruppo e moto della particella libera . . . . . 362.3.3 La buca di potenziale infinita . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.4 Barriera di potenziale di larghezza finita: eff etto tunnel . 452.3.5 L’oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4 Appendici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4.1 Barriera di potenziale di larghezza infinita . . . . . . . . . 582.4.2 Buca di Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.4.3 Buca di potenziale deltiforme . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.5 Condizioni al contorno periodiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

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3 LE DIVERSE STATISTICHE 70

3.1 Elementi di termodinamica e teoria cinetica . . . . . . . . . . . . 703.1.1 Il gas perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2 Elementi di teoria cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2.1 Clausius e la distribuzione esponenziale . . . . . . . . . . 753.3 Sezione d’urto e cammino libero medio . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3.1 La funzione memoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3.2 Lo spazio delle molecole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.3 La distribuzione di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3.4 Energia media per particella . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.4 La distribuzione di Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5 Radiazione elettromagnetica in cavità . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.5.1 La radiazione in cavità come sistema termodinamico . . . 883.5.2 Densità spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.5.3 La teoria di Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.5.4 Einstein e la distribuzione di Planck . . . . . . . . . . . . 913.5.5 Legge del decadimento radioattivo . . . . . . . . . . . . . 923.5.6 Deduzione della formula di Planck secondo Einstein . . . 94

3.6 Distribuzione di Boltzmann e Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . 963.6.1 La distribuzione di Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . 983.6.2 La distribuzione di Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . 1013.6.3 Analisi preliminare della distribuzione di Fermi-Dirac . . 103

3.7 La densità degli stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.7.1 La densità degli stati per particelle non relativistiche . . . 1063.7.2 La densità degli stati per i fotoni . . . . . . . . . . . . . . 1073.7.3 Il gas di elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.7.4 Il gas di fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4 IL GAS DI ELETTRONI LIBERI: Applicazioni 1114.1 Teoria elementare della conduzione elettrica . . . . . . . . . . . . 1114.2 Teoria di Drude-Lorentz: valutazione del tempo di rilassamento . 1134.3 Conducibilità termica elettronica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.3.1 La legge di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.3.2 La legge di Wiedemann-Franz . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.4 Equazione cinetica di Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.4.1 La soluzione stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.5 Modello di Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.5.1 Il calore specifico elettronico . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.5.2 La conducibilità in un gas fermionico . . . . . . . . . . . . 125

4.5.3 Metallo e metallo vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.5.4 Emissione termoionica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.5.5 Potenziale di contatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.6 Appendice: equazione di continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

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5 CALORI SPECIFICI E VIBRAZIONI RETICOLARI 134

5.1 Il modello di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.2 Densità degli stati per i fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.3 I calori specifici secondo Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.3.1 Frequenza e temperatura di Debye . . . . . . . . . . . . . 1415.3.2 Energia e capacità termica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.3.3 Numero medio di fononi e loro energia media . . . . . . . 144

5.4 Appendice: Onde e vibrazioni reticolari . . . . . . . . . . . . . . 1485.4.1 Equazione delle onde elastiche . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4.2 Catena lineare di atomi identici . . . . . . . . . . . . . . . 1505.4.3 Catena lineare diatomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.5 Appendice: Due oscillatori accoppiati . . . . . . . . . . . . . . . 156

6 BANDE ENERGETICHE NEI SOLIDI 1586.1 Reticolo di Bravais e reticolo reciproco . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.1.1 Diff razione dei raggi X in cristalli . . . . . . . . . . . . . . 1606.1.2 Il reticolo reciproco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.2 Teorema di Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.3 Modello di Kronig-Penney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.4 Equazioni del moto in banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.4.1 Elettroni in banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.4.2 La massa efficace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746.4.3 I semiconduttori puri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.5 Semiconduttori di tipo n e p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.6 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

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Capitolo 1

NASCITA DELLAMECCANICAQUANTISTICA

Alla fine del XIX secolo la Meccanica, iniziata da Newton e l’Elettromagnetismosistemato da Maxwell costituivano la base della conoscenza della scienza fisica.

La Meccanica era ormai ben consolidata, anzi costituiva la base della visionedel mondo, mentre l’elettromagnetismo, con la conferma sperimentale da partedi Hertz , della natura elettromagnetica della luce, faceva rapidamente nuoviprogressi. Le due teorie erano per molti aspetti complementari. La Meccani-ca si interessava di corpi, quindi di oggetti limitati nello spazio /e descrivibiliquindi da un numero finito di gradi di libertà), la seconda di campi ovvero dioggetti definiti in tutto lo spazio (e descrivibili da un numero infinito di gradidi libertà). Nel primo caso, due enti fisici della teoria non possono occupare lostesso spazio, nel secondo caso, i fenomeni di interferenza e diff razione indica-vano invece che i campi si potevano sovrapporre nei diversi punti dello spazio.Le due teorie erano destinate ad incontrarsi perché le cariche accelerate eranosorgenti di radiazione elettromagnetica (onde elettromagnetiche) e le neo teoriesulla costituzione della materia prevedevano che la materia fosse costituita diparticelle cariche, sia positive che negative,. Inoltre, atomi e molecole emet-tevano e assorbivano onde elettromagnetiche. Era noto, infatti, che gli atomiemettevano, sotto determinate condizioni, delle caratteristiche linee spettrali,che diversi fisici sperimentali (Lyman, Paschen, Brackett, Pfund, Balmer e al-

tri) stavano cercando di classificare. In altre parole, i processi di emissione eassorbimento della luce erano evidenti e non si poteva prescindere dal dare unaformulazione sulla struttura della materia. Ovviamente non erano solo questi, ifenomeni che imponevano la ricerca di un modello sulla struttura della materia,ma sarà di questi che inizialmente ci occuperemo.

Il modello atomico che prevalse fino al 1912 fu quello di J.J. Thomson (1904).

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1.1 Il modello atomico di Thomson

Secondo tale modello, l’atomo, supposto sferico, era costituito da elettricità pos-itiva distribuita uniformemente all’interno della sfera e dentro tale distribuzionedovevano essere presenti delle cariche negative supposte puntiformi, chiamateelettroni. L’azione elettrica della distribuzione di carica positiva, come vedremo,produceva una forza elastica sulle cariche elettriche negative. Le frequenze pro-prie degli elettroni si ipotizzava che coincidessero con le frequenze delle righespettrali emesse dagli atomi.

Mostriamo, in maniera semplice, alcuni risultati del modello atomico diThomson.

L’attrazione verso il centro della sfera delle cariche elettriche è giustificatadalla legge di Gauss dell’elettromagnetismo e genera una forza elestica sullacarica. Questa forza sarà l’origine del moto oscillatorio che produrra le onde

elettromagnetiche e che consentirà l’assorbimento della radiazione.Se si ha una sfera uniformemente carica, di raggio , la sua densità di carica

sarà

= 43

3

dove è la carica totale della sfera. La forza agente su un elettrone che si trovaad una distanza dal centro della sfera, si ottiene usando la legge di Gauss.Infatti, possiamo scrivere I

E · u2 =

()

0

dove

() = Z 0

3 = 43

3 = 3

3

Dalle due precedenti equazioni otteniamo il campo elettrico attrattivo che agiscesull’elettrone

=

403

per cui la forza agente sull’elettrone, la cui carica la indicheremo con è

= − 403

= − (1)

La forza è proporzionale alla distanza dal centro della sfera (il segno meno deriva

dal segno negativo della carica dell’elettrone). Questa forza è di tipo elastica:gli elettroni sottoposti a questa forza eseguono un moto armonico semplice, dacui si originano le frequenze proprie degli elettroni.

Infatti, è noto che il moto periodico ammette una frequenza che è legata allacostante elastica dalla legge

= 1

2

r

=

1

2

r

4031

(2)

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dove la carica dell’elettrone ' 1 6 × 10−19 e la massa dell’elettrone

' 9 1 × 10

−31

. Inoltre, ricordiamo che 0 ' 8 9 × 10

−12

2

2

. Ques-ta relazione consente di avere l’ordine di grandezza delle dimensioni atomiche.Supponiamo di riferirci al più semplice degli atomi, l’atomo di Idrogeno. Inquesto caso la (2) diventa

= 1

2

s 2

403

1

(3)

Conviene porre

2 = 240

' 23 × 10−28

Allora la (3), diventa

= 12s 2

3 1

(4)

Se per la frequenza si prendono le frequenze ottiche del gas di atomi (molecole)di Idrogeno,

' 1015−1 (5)

e si introducono nella (3) il valore di 2 e e quello della massa dell’elettrone,si trova che il raggio atomico è

' 10−10 (6)

Questo risultato concorda con i risultati predetti dalla teoria cinetica deigas.

Dalla teoria dell’elettromagnetismo era stato anche derivato un valore delledimensioni dell’elettrone. Tale valore, detto raggio classico dell’elettrone, èderivato in forma semplice nell’appendice ed è dato da

= 2

2 ' 2 8 × 10−15 (7)

dove è il valore della velocità di propagazione della luce nel vuoto.Abbiamo allora un modello che spiega la costituzione della materia, che

assume un legame elastico degli elettroni, e consente di definire anche le lorodimensioni.

Il modello atomico di Thomson era in accordo con i risultati delle teoriefisiche classiche. Si potrebbe anzi dire che ne costituisse per diversi aspetti lasintesi. Esso fu quindi il modello di base per l’analisi e l’interpretazione deifenomeni di emissione ed assorbimento della radiazione elettromagnetica e nondeve quindi meravigliare se molti dei concetti e dei nomi che sopravvissero allostesso modello avevano avuto la loro origine all’interno di tale modello.

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1.2 Eff etto fotoelettrico e relazione di Planck-

EinsteinIl modello atomico di Thomson e la teoria elettromagnetica classica riuscivano aspiegare in qualche misura gli spettri atomici, ma una teoria soddisfacente nonera stata elaborata. Si poteva pensare che le diverse righe di emissioni eranolegate a diverse costanti elastiche presenti negli atomi, ma il motivo del perchéerano quelle particolari per ogni atomo, non erano state individuate.

La strada per la comprensione di questi fenomeni fu aperta dallo studio di unparticolare sistema di interazione luce materia: la luce confinata in una cavitàin equilibrio termodinamico con le pareti della cavità ( corpo nero). Nel 1900, E.Planck per trovare lo spettro della radiazione elettromagnetica (spettro di corponero), che era in equilibrio con gli oscillatori, di cui erano costituite le pareti fucostretto ad ipotizzare, che le uniche energie che la radiazione e gli oscillatoripotevano scambiare erano quantizzate secondo la seguente espressione

E = (1)

La costante, detta in seguito di Planck, era universale e valeva circa

= 6 06 × 10−34 (2)

Planck, in contrasto con tutti i risultati teorici e sperimentali, aveva ipotiz-zato una natura discontinua della radiazione elettromagnetica: erano permesse,nello scambio tra la radiazione e gli atomi della parete, solo determinati valoridiscreti delle frequenze . La strada era aperta per quella che si rivelerà una verarivoluzione ma non fu compresa subito, neanche dal suo proponente. Ciò nondeve sorprendere perché se si assume che solo determinati oscillatori, quindi de-terminate frequenze, sono associabili a ciascun atomo, la discretizzazione delloscambio era naturale all’interno del modello di Thomson. Rimaneva sempre ilproblema del perché ogni atomo avesse le proprie determinate frequenze.

Il passo successivo nella discretizzazione degli enti fisici fu fatto nel 1905da A. Einstein che, per spiegare il fenomeno dell’eff etto fotoelettrico, di cuiparleremo nel prossimo paragrafo, ipotizzò che la luce, nei processi di scambiocon la materia (emissione e assorbimento) potesse considerarsi costituita dipacchetti di energia della forma proposta da Planck. L’attenzione, o se si vuole,la responsabilità della natura discreta dell’emissione e dell’assorbimento, eranostati trasferiti dal modello atomico a quello della luce. Questa attenzione versola luce e non verso la struttura della materia, cioè verso il campo e non verso la

materia sarà una costante degli interventi fondamentali di Einstein. Egli saràsampre più interessato ai campi che non alla struttura specifica della materia.

Veniamo agli esperimenti sull’eff etto fotoelettrico. Nel 1880 Heinrich Hertz,quello stesso scienziato che aveva provato sperimentalmente che la luce è un’ondaelettromagnetica eseguì un esperimento che avrebbe messo in crisi la natura on-dulatoria della luce. Inviando della luce ultravioletta su una superficie metallicavenivano emessi degli elettroni dal metallo.

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Per interpretare tale fenomeno sulla base della natura elettromagnetica del-la luce possiamo procedere nel modo seguente. Un elettrone (di conduzione)del metallo può pensarsi debolmente legato da una forza di tipo elastica adun qualsiasi atomo. L’onda elettromagnetica incidente sul metallo induce unaoscillazione forzata dell’elettrone e l’elettrone può uscire dal metallo. Le propri-

età del metallo sono tali da permettere agli elettroni di essere trattenuti fino aquando l’energia ricevuta dal metallo non raggiunge un valore preciso.

Sintetizzando, secondo la fisica classica dovrebbero accadere le seguenti cosea) Poiché gli elettroni sono legati, occorre una certa energia, per estrarre gli

elettroni dal metallob) L’energia in più rispetto all’energia di legame dovrebbe essere trasformata

in energia cinetica dell’elettrone emesso. Di conseguenza se si aumenta l’inten-sità dell’onda incidente dovrebbe aumentare l’energia cinetica degli elettroniemessi.

c) Anche a piccole intensità si potrebbe aumentare l’emissione aspettandoabbastanza a lungo.

d) La lunghezza d’onda dell’onda incidente non dovrebbe influenzare l’emis-

sione.Cosa mostravano gli esperimenti:a) Gli esperimenti evidenziavano il carattere istantaneo dell’emissione fo-

toelettrica.b) L’energia degli elettroni risultava indipendente dall’intensitàc) Con certe lunghezze d’onda si aveva emissione di elettroni, mentre con

lunghezze d’onda maggiori, anche aspettando a lungo non si aveva emissione.d) Il numero di elettroni emessi, per ogni fissata lunghezza d’onda, risultava

proporzionale all’intensità della radiazione incidente.e) Infine, gli esperimenti mostravano che l’energia cinetica massima E max

degli elettroni emessi è una funzione lineare della frequenza della luce incidenteIl fenomeno fu spiegato nel (1905) da A. Einstein. Egli ipotizzò che la luce

nell’interazione con il metallo si poteva pensare come una ”quantità di ener-gia localizzata”, quindi come una sorta di ”particella”. L’energia possedutada queste ”particelle”, (dette successivamente fotoni ), si poteva scrivere comeaveva suggerito Planck, (Planck si riferiva alla radiazione scambiata tra l’on-da elettromagnetica e gli oscillatori di cui si pensava costituita la materia; infondo la quantizzazione di Planck era legata alla presenza degli oscillatori dellamateria)

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E = (1)dove è la frequenza dell’onda e è la costante di Planck:

= 6 63 × 10−34

Un elettrone del metallo, urtato dalla particella utilizza una parte dell’energiaricevuta per superare la barriera energetica metallo-vuoto (detta funzionelavoro del metallo) ed esce con la rimanente energia:

E max = − (3) dipende solo dal tipo di metallo.Inoltre, la proporzionalità del numero di elettroni emessi con l’intensità della

luce incidente comporta che il numero di fotoni contenuti nella radiazioneluminosa doveva essere proporzionale alla intensità I della luce incidente:

∝ Il fenomeno appena descritto, detto fotoelettrico, è stato spiegato assumen-

do una natura particellare della luce (energia localizzata mentre sappiamo chel’energia dell’onda è distribuita con una opportuna densità di energia elettro-magnetica in tutto lo spazio in cui è presente il campo elettromagnetico), mentrei fenomeni di interferenza sono spiegabili con una natura ondulatoria della stessaluce. La relazione (1), detta di Planck-Einstein, può essere scritta in terminidella pulsazione

E = ~ (4)dove ~ (leggi h tagliata) è

~ =

2 = 1 05 × 10−34 (5)

Un’onda elettromagnetica classica trasporta sia energia che quantità di moto.L’eff etto fotoelettrico tratta della natura quantistica del contenuto energeticodella luce (quantizzazione dell’energia) , mentre sarà l’eff etto Compton a trattaredella natura quantistica della quantità di moto trasportata dalla luce.

1.3 Eff etto Compton e relazione di de Broglie

Maxwell aveva mostrato che il campo elettromagnetico trasportava energia,quantità di moto e momento della quantità di moto.

Si può valutare l’energia trasportata dall’onda elettromagnetica attraversoil vettore di Poynting

S = E×B

0(1)

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che rappresenta la quantità di energia che attraversa, nell’unità di tempo, una

superfi

cie unitaria ortogonale alla direzione del fascio =

2

.La quantità di moto, per unità di volume , trasportata dall’onda è invece datada

p = S

(2)

dove indica la velocità della luce nel vuoto.Nel 1916, con due articoli e nel 1917 con un terzo articolo, Einstein ritornò

sul problema della radiazione e sulla sua interazione con la materia. Mentrenel 1905 non aveva parlato di quantità di moto della radiazione, nello scambiocon la materia, ora non aveva più dubbi che la radiazione trasportasse anchequantità di moto discretizzata, nella forma seguente

=

(3)

L’assunzione della (3) era una naturale conseguenza della teoria della rela-tività ristretta che egli, sempre nel 1905, aveva elaborato. Secondo tale teoria,l’energia totale E posseduta da una particella libera e la sua quantità di moto, sono legate dalla seguente relazione:

E 2 = ( )2 + 24 (4)

che nel caso di una particella di massa nulla, si riduce a

=

(5)

D’altra parte, sappiamo che l’ energia si può scrivere

= (6)

L’insieme delle (1) e (6) suggeriscono di associare a ciascun fotone unaquantità di moto data dalla (3)

=

Negli articoli del 1916-17 l’assunzione della quantità di moto era riferita allaradiazione, in maniera chiara, perché nella ipotesi di cui si era servito Einsteinnon si faceva alcun riferimento alle proprietà dei corpi.

A conferma che Einstein non era interessato alle proprietà dei corpi, nonrelativistici, mostriamo la seguente derivazione.

Poiché la lunghezza d’onda è legata alla frequenza dalla relazione

=

(7)

troveremo, usando la (6),

=

(8a)

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Oppure, introducendo il vettore d’onda:

= 2

potremo anche scrivere, usando l’acca tagliata:

= ~ (8b)

Questa relazione è stata ottenuta sostanzialmente per il fotone. Tuttaviain essa ormai è sparita, con l’ultima sostituzione, ogni riferimento non solo alfotone ma agli aspetti relativistici (non vi è più la velocità della luce). Pensareche questa relazione possa essere valida anche per particelle nella regione nonrelativistica, in assenza di alcuna evidenza sperimentale è decisamente un’ipotesirelativa alla natura delle particelle. Einstein, non ci pensò e tale ipotesi fu fatta

per la prima volta da Louis Victor de Broglie (1924) e la relazione (9) è notacome relazione di de Broglie .

Bastava ora realizzare un esperimento che evidenziasse, in maniera inequiv-ocabile che la luce si comportasse come una biglia in una collisione con un’altrabiglia.

La situazione culturale, dopo la spiegazione di Einstein dell’eff etto fotoelet-trico e della nuova derivazione della distribuzione di Planck, era radicalmentecambiata. La natura della luce di tipo classico era in dubbio perché vi era unaevidenza particellare della stessa. Occorreva progettare esperimenti mirati chemettessero in luce la natura della luce. Quando si deve progettare un esperi-mento che deve andare al cuore della conoscenza fisica la possibile spiegazionedello stesso deve fondarsi su principi molto generali. Questi principi generali

sono quelli della conservazione dell’energia, della quantità di moto, del momen-to della quantità di moto, perché questi principi sono legati alle proprietà dellospazio-tempo. Si può anche dire che, in attesa di una possibile teoria, i principidi conservazione stabiliscono l’ambito del possibile. Le leggi, successivamente,determineranno tra gli eventi possibili quelli che realmente accadranno. Per es-empio, la relazione di Einstein per l’eff etto fotoelettrico è sempre valida perchéessa esprime la conservazione dell’energia nel processo di interazione. Tutti ifotoelettoni devono avere energia cinetica sotto la retta di Einstein.

Ma la natura particellare della luce, può essere messa in evidenza, in manierainequivocabile, da esperimenti che dimostrano che alcune volte alcune alcuneonde elettromagnetiche fanno collisioni , esattamente come le ordinarie parti-celle.

Occorre trovare un esperimento collisionale tra un fotone e un elettrone.

Questo esperimento fu proposto ed eseguito da Compton inviando dei raggi Xsu dei cristalli. I risultati dell’esperimento si possono spiegare solo se si ipotizzauna collisone elastica tra il fotone incidente e un elettrone, inizialmente fermo.

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L’esperimento mostrava un aumento della lunghezza d’onda della radiazionediff usa secondo la seguente legge:

− 0 =

(1 − cos ) (12)

dove e 0 sono la lunghezza d’onda diff usa e incidente, è la massadell’elettrone e l’angolo di cui viene diff usa la luce incidente.

Poiché il moto del fotone è relativistico bisognerà utilizzare i principi diconservazione dell’energia e della quantità di moto previsti dalla teoria dellarelatività ristretta di Einstein per determinare correttamente i risultati. Laquantità

=

' 20 × 10−12 (13)

è detta lunghezza d’onda Compton dell’elettrone . Notiamo che, dalla (12),

per 1 = 90◦ , si ottiene:

− 0 = Poiché la frequenza della radiazione incidente ha subito una variazione si

dice che il raggio incidente e quello diff uso non sono coerenti .Per = 0◦, avremo

= 0

cioè, la luce è coerente nella direzione in avanti (forward direction).Dalla teoria classica dell’elettromagnetismo, abbiamo visto che si può de-

durre il raggio classico dell’elettrone :

= 2

2 = 2 82 × 10−15 (14)

Si noti anche che la dimensione dell’elettrone classico è inferiore, di tre ordinidi grandezza, rispetto alla lunghezza d’onda Compton dell’elettrone.

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In conclusione, la fisica non ha tra le sue risposte la natura in sè degli oggetti

microscopici ma aff

erma che quando si fa una misura su di essi, gli oggettimicroscopici presentano un comportamento che, dipendente dal tipo di misura,e mostrano un comportamento che ricorda o il comportamento localizzato delleparticelle o quello diff rattivo delle onde.

1.4.1 Indeterminazione posizione-impulso

Il comportamento dualistico degli oggetti microscopici porta come conseguen-za alle relazioni d’indeterminazione stabilite da Heisember. Per mostrare comesi possono ottenere le relazioni d’indeterminazione posizione-quantità di moto,pensiamo di avere un fascio monoenergetico di elettroni. Facciamo passare talefascio attraverso una fenditura di larghezza , la cui dimensione è dell’ordinedi grandezza della lunghezza d’onda associata a ciascun elettrone del fascio.

Questa condizione fa si che gli elettroni del fascio subiscano una diff razione nel-l’attraversare la fenditura. La contemporanea natura particella e ondulatoria,per poter conciliare deve avere questo strano comportamento: gli elettroni, sicu-ramente particelle, quando escono dalla fenditura, si collocano sullo schermo inmaniera tale da formare una figura di diff razione, come se la fendituta operandocome una misura, avesse messo in evidenza la loro natura ondulatoria.

La larghezza della fenditura, se l’asse x rappresenta la direzione di moto deglielettroni, indicherà l’incertezza sulla componente trasversa, diciamo y, della po-sizione degli elettroni. Possiamo dire che su ogni elettrone avremo una incertezzasulla posizione lungo la componente y della posizione pari a

∆ = (1)

Poiché non sappiamo prevedere dove finisca esattamente un elettrone, dopoaver attraversato la fenditura, possiamo aff ermare solo che la componente y dellaquantità di moto sarà aff etta da un’incertezza ∆ , che dobbiamo ora valutare.

Sappiamo che l’elettrone, su uno schermo posto ad una certa distanza forma unafigura di diff razione e che la regione dove esso con più probabilità può urtareè compresa tra i due minimi più prossimi al centro della figura di diff azione.L’incertezza sulla componente della quantità di moto è determinata dal fattoche noi non sappiamo in quale punto preciso, tra questi due minimi, l’elettronecolpirà. Se indichiamo con l’angolo tra il centro della figura di diff razione euno dei minimi, possiamo valutare l’incertezza. Se con AB si indica la distanza

14


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tra i due minimi e con L la distanza tra il centro della fenditura e un minimo

avremo 2

= sin

L’angolo è anche una misura della deflessione subita dall’elettrone(angoloformato dalla direzione incidente della velocità e dalla direzione della velocitàdopo l’attraversamento della fenditura) e può essere valutato anche dal piccolotriangolo in figura

∆ 2

= sin

In definitiva, usando la relazione di de Broglie, avremo

∆ = 2 sin = 2µ

¶sin (2)

dove è la lunghezza d’onda degli elettroni. Ma la condizione perché siabbia un minimo sullo schermo, è

2 sin = (3)

dove = 1 2 3 4. Quindi, per = 1,

∆ =

(4)

Usando le eq. (1) e (4) troviamo che

∆∆ = (5)

Non possiamo abbassare l’incertezza sulla posizione senza aumentare dellastessa quantità l’incertezza sulla componente della quantità di moto, e viceversa.Questo limite sul prodotto delle incertezze è dell’ordine della costante di Plancke relazioni del tipo appena trovate sono dette relazioni di Heisenberg . Il principiolimitativo alla precisioni di quantità fisiche (coniugate) è noto come principio di indeterminazione di Heisenberg .

1.4.2 Energia-Tempo

Una relazione di Heisenberg che utilizzeremo spesso è quella tra energia e tempo.Proviamo a dare una semplice dimostrazione di questa nuova relazione d’inde-terminazione, senza la pretesa di essere rigorosi. Le relazioni d’indeterminazione

in realtà sono legate alle proprietà delle trasformate di Fourier che abbiamo giàincontrato nell’interazione tra radiazione e oscillatore. Secondo la definizioneadottata in questo testo se

() = 1

2

∞Z −∞

() −

15


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la sua trasformata si scriverà

() =

∞Z −∞

()

Fin dagli anni venti era noto che la quantità d’informazione che si può trasmet-tere dipende dal tempo di trasmissione e dall’intervallo di frequenza utilizzato.Per capire il contenuto di questa aff ermazione consideriamo il seguente segnale:

La sua rappresentazione analitica è la seguente:

½ 1 −12 ≤ ≤ 120

(6)

La larghezza temporale del gradino è ∆ = 1. Se si calcola la trasformata diFourier della funzione gradino si ha

() =

12Z −12

= 1

³2 − −2

´

Infine, poiché

sin = − −

2

otterremo

() = 2

sin ³2 ´ (7)

16


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1.5 Dall’atomo di Thomson a quello di Bohr

Secondo il modello atomico di Thomson la forza agente sull’elettrone è

= − 403

La forza è proporzionale alla distanza dal centro della sfera (il segno meno derivadal segno negativo della carica dell’elettrone).

Se una carica positiva 1 attraversa la sfera, la forza repulsiva agente sullacarica si scriverà

= 1

403

Una particella con carica positiva che passasse vicino al centro dell’atomo sarebbesottoposta ad una forza meno intensa di una identica particella che passasse piùlontana dal centro.

Questa osservazione è cruciale per capire poi l’abbandono del modello diThomson, in seguito agli esperimenti eseguiti da Rutheford.

Per verificare la bontà del modello atomico di Thomson, Rutherford bom-bardò con particelle alfa delle lamine di oro (la lunghezza d’onda delle parti-celle alfa usate da Rutherford era di circa 5 × 10−15 e tale valore le rendeidonee ad indagare la struttura atomica perché gli atomi, come sappiamo, han-no una dimensione di circa 10−10). I risultati degli esperimenti portaronolo stesso Rutherford alla conclusione che gli atomi dovevano essere dei piccolisistemi planetari, con al centro un nucleo positivo molto più piccolo delle dimen-sioni atomi, contenente la quasi totalità della massa dell’atomo e degli elettronipuntiformi che ruotavano intorno al nucleo.

Brevemente spiegheremo perché il modello planetario è più rispondente allarealtà degli esperimenti eseguiti da Rutherford. Le particelle alfa sono nuclei diElio, quindi sono cariche positive che con grande velocità (circa 107) veni-vano inviate su lamine di oro. Poiché entrambi i modelli atomici assumono glielettroni puntiformi e di massa trascurabile, l’eventuale deflessione delle parti-celle alfa deve essere imputabile alla carica positiva degli atomi. Se una parti-cella alfa penetra in un atomo, secondo il modello Thomson, la sua deflessione,

18


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nell’avvicinarsi al centro dovrebbe ridursi. Gli esperimenti, invece, avevano di-

mostrato che la maggior parte delle particelle alfa subiva piccole defl

essione (opassava senza deflettersi) mentre alcune particelle venivano fortemente devi-ate. L’unico modo corretto di spiegare tali esperimenti era quello di ipotizzareche ogni atomo avesse un nucleo, molto piccolo paragonato con le dimensionidell’atomo stesso, dove risiedeva la maggior parte della massa dell’atomo. Indefinitiva, doveva essere esserci una repulsione coulombiana tra la particella alfae il nucleo atomico:

= 01

2

Questa è una forza che aumenta la sua intensità con il quadrato della distanzaman mano che ci si avvicina al centro dell’atomo.

Il modello planetario è allora più vicino agli esperimenti del modello diThomson.

Il modello planetario prediceva che la carica positiva non poteva essere dis-tribuita in maniera più o meno uniforme in tutto l’atomo, che ricordiamo, dove-va essere dell’ordine di 10−10. Ma tutta la carica positiva dell’atomo eraconcentrata in una regione che doveva essere dell’ordine di

' 10−15 − 10−16

Il modello di tipo planetario, sebbene non risolvesse tutti i problemi erascaturito dagli esperimenti e non si poteva più abbandonare. Bisognava darestabilità a questo sistema. Niels Bohr, nel 1913, propose la sua versione distabilità dell’atomo planetario.

1.6 L’atomo di idrogeno secondo BohrSe il modello planetario di Rutherford risolve una parte dei problemi, la parteche Fermi chiama morfologia dell’atomo, esso non ha ancora chiarito come simuovono i suoi costituenti, e cosa più importante come si possono spiegaregli spettri atomici. Innanzitutto il modello planetario presenta il problema di

19


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stabilità dell’atomo. Ogni elettrone che orbita intorno al nucleo, essendo sotto-

posto ad accelerazione ed essendo carico deve emettere energia sotto forma diradiazione elettromagnetica, secondo la formula di Larmor

E

∝

dove è l’accelerazione dell’elettrone.Di conseguenza, tutti gli elettroni dovreb-bero cadere sul nucleo dopo un certo tempo. Poiché ciò non accade dobbiamoconvenire che esiste un qualche motivo per la stabilità dell’atomo.

La dimostrazione che daremo non segue quella data da Bohr ma i risultaticoincidono. Facciamo le seguenti ipotesi:

1) Non tutte le orbite sono permesse. Sono permesse solo quelle orbite le cuilunghezze sono un multiplo intero di una lunghezza d’onda associata al motodell’elettrone.

2) quando gli elettroni sono su tali orbite non irradiano.3) gli atomi irradiano quando un elettrone passa da un’orbita stabile ad

un’altra orbita stabile.Vediamo come si può applicare il modello di atomo di Bohr per determinare

le dimensioni e l’energia degli elettroni dell’atomo di idrogeno.L’atomo di idrogeno è costituito da un elettrone orbitante intorno ad un

protone. Supporemo che tale orbita sia circolare e che il suo raggio sia .

L’energia potenziale associata alla posizione dell’elettrone (il nucleo è sup-posto fermo e un sistema di riferimento inerziale è posto con l’origine sul nucleo)sarà

U = − 140

2

(1)

dove − è la carica dell’elettrone e la carica del protone; inoltre 0 è lacostante dielettrica del vuoto. Porremo, come sempre,

2 = 240

perché in tal modo il passaggio dal Sistema Internazionale al CGS di Gaussè immediato (ricordiamo che 2 = 2 3 × 10−24 ). Se indichiamo con la

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quantità di moto dell’elettrone, l’energia cinetica E che lo stesso possiede si

può scrivere

= 2

2

dove è la massa dell’elettrone. In definitiva, secondo la fisica classica,l’energia totale E , posseduta dall’elettrone è

E = −2

+

2

2 (2)

Poiché l’elettrone è un oggetto quantistico, la sua quantità di moto dovrà esserelegata alla lunghezza d’onda, posseduta dallo stesso,

=

(3)

e dovrà essere quantizzata, secondo Bohr, in modo tale che la circonferenza2 contenga un numero intero di lunghezze d’onda :

= 2 (4)

dove = 1 2 3 4.

Questo vuol dire che, la quantità di moto e l’energia cinetica dell’elettrone,dell’atomo di idrogeno, si potranno scrivere

= ~

=

1

2

µ~

¶22 (5)

Osserviamo che, il momento angolare dell’elettrone

= ~ (6)

ovvero il prodotto del raggio dell’orbita dove risiede l’elettrone per la quan-tità di moto posseduta dall’elettrone è pari alla costante di Planck per .Allora, la condizione di quantizzazione di Bohr è coerente con il principio diindeterminazione. In definitiva, l’energia totale posseduta dall’elettrone sarà

21


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E = −2

+ 22 (7)

dove abbiamo posto

= ~

2

2 (8)

Abbiamo riscritto l’energia totale in funzione della sola distanza dell’elet-trone dal nucleo. Vi appaiono due contributi, quello attrattivo di tipo coulom-biano e quello cinetico quantistico di tipo repulsivo. L’elettrone si porterà aduna distanza che rappresenterà una posizione di minimo per l’energia, in fun-zione di . A tale posizione di minimo per l’energia corrisponderà un valoredella distanza dell’elettrone dal nucleo, , che sarà dato da

E ¯̄̄̄=

= 0

Facendo le opportune derivate, rispetto ad della (7) si trova la distanzamedia, ,

=

2 =

~ 2

22 =

2 (9)

dove

= 1 = ~

2

2 = 0 53 × 10−10 (10)

è una costante detta raggio di Bohr .L’energia totale sarà

E = − 2

+

22

= − 2

+

222

= −12

2

che esplicitata, in termini del raggio di Bohr, diventa

E = − 1

2

µ1

2

2

¶ = −1

2

4

~ 2

1

2 (11)

1.6.1 Lo stato fondamentale

Per = 1 la (11) diventa

E 1 = −12 2

= −12

4

~ 2 = −E = −13 6 (12)

Il valore E dell’energia è nota come costante di Rydberg .e rappresenta l’energiaposseduta da un elettrone che risiede sull’orbita di Bohr, di raggio . Notiamo,che lo stato fondamentale non ha energia nulla.

Quanto vale la lunghezza d’onda di de Broglie, di un elettrone che si trovasull’orbita fondamentale?

22


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Avremo, usando la (6),

=

→ 2

= ~

=

Unità di misura dell’energia

Nel Sistema Internazionale l’unità di misura dell’energia è il Joule ( ). Perdescrivere la fisica dei sistemi atomici e sub atomici conviene usare come unitàdi misura l’elettron Volt ( ). Per de fi nizione l’elettron-Volt è l’energia cineticache acquista un elettrone quando passa da un punto ad un altro dello spaziotra i quali esiste una diff erenza di potenziale ∆ di 1 Volt. Per il teoremadell’energia cinetica

1

2 v2

= ∆

(1)

Poiché la carica dell’elettrone in S.I. vale

= 1 602 × 10−19

troviamo che

∆ = 1 602 × 10−19

Possiamo allora, dire che

1 = 1 602 × 10−19 (2)

Sono anche usati alcuni multipli di :

1 = 103 1 = 106 1 = 109

e sottomultipli1 = 10−3

1.6.2 Primo stato eccitato

Per ottenere i risultati dell’energia e del raggio medio del primo stato eccitatoè sufficiente porre = 2 nei risultati precedenti. Per l’energia avevamo trovato

E = − 1

2E (13)

per cui per = 2 avremo

E 2 = − 122E (14)

e2 = 2

21 = 22 (15)

23


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1.6.3 L’atomo di Bohr e gli spettri atomici

Se l’elettrone dell’atomo di idrogeno è in uno stato eccitato, caratterizzato dalnumero intero ( = 2 3∞) (tale numero è chiamato numero quanticoprincipale ), allora la sua energia totale , calerà con il quadrato del numeroquantico principale

E = − 1

2E (16)

mentre Il raggio della sua orbità aumenterà con il quadrato del numeroquantico principale:

= 2 (17)

Secondo il modello di Bohr un atomo non irradia quando si trova in un

stato stazionario. Per irradiare deve eff ettuare una transizione da una statostazionario ad un’altro stato stazionario. Se indichiamo con il numero quan-tico principale dello stato iniziale e con il numero quantico finale, il fotoneemesso deve avere, secondo Bohr, una frequenza che è legata alle energie dellostato iniziale e finale dalla seguente relazione:

= E − E

(18)

Poichè =

(19)

la precedente equazione, utilizzando la (16), diventa

1

=

1

(E − E ) = E

Ã 12 − 1

2

! (20)

Poiché, la serie di Balmer generalizzata era in grado di spiegare la cimematicadegli spettri e la sua forma era data da

1

=

Ã 1

2 − 1

2

! (21)

dal confronto di queste due equazioni otteniamo una espressione teorica per lacostante di Rydberg

=

E (22)

Poiché ' 12 4 × 10−7 , troviamo per la costante di Rydberg il seguentevalore: ' 13 6 ' 1 09 × 10

7−1. Questo valore coincide con il valoresperimentale e questo avvalorò subito il modello atomico di Bohr. Estensionidel modello furono proposti da Sommerfield.

24


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La diseccitazione è accompagnata dall’emissione di un fotone (figura a sin-istra), mentre per eccitare un elettrone occorre inviare un fotone (o altra parti-cella) (figura a destra)

Nella figura seguente sono mostrati i valori dei diversi livelli energetici,

dell’elettrone atomico.

L’insieme di questi livelli caratterizza in maniera univoca un atomo. Ladistanza tra due livelli consecutivi si riduce man mano che il numero quanticoprincipale aumenta. Per →∞ l’aspetto discreto degli spettro energetico tendeal continuo.

1.7 Appendice: Il raggio classico dell’elettrone

Calcoliamo esplicitamente l’energia di una distribuzione di carica, distribuita inuna regione sferica di raggio . Il campo elettrico prodotto da tale carica in unqualunque punto esterno ( ) è

2 =∙

140

¸2 24

ed usando le coordinate sferiche possiamo scrivere

25


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= 0

2

Z ∞

2Z 4

Ω

∙ 1

40

¸2 24

=

= −402

∙ 1

40

¸22

1

=

1

2

1

402

1

Nel caso di una carica puntiforme ( = 0) l’energia elettrostatica diventainfinita:

= limR→0

∙ 2

80

¸ 1

R

Possiamo dire che l’idea di localizzare l’energia nel campo elettrico non è

consistente con la nostra ipotesi di carica puntuale .Ora, ipotizziamo che l’elettrone sia un corpo sferico di raggio . Vogliamo

stimare, sulla base dell’energia che esso possiederebbe, quale sia il valore del suoraggio.

Supponendo che la carica dell’elettrone sia distribuita in una sfera di raggio, abbiamo appena mostrato che l’energia associata a tale distribuzione dicarica, è

= 1

2

240

1

Se un corpo ha una massa , ed è fermo la sua energia, se secondo larelatività ristretta, è::

= 2

Se ipotizziamo che tutta l’energia posseduta dall’elettrone ha una origineelettrostatica, allora possiamo porre

2 =

1

2

240

1

e, risolvendo rispetto all’ipotetico raggio dell’elettrone, si avrà

= 1

2

240

1

2

Il valore numerico di tale espressione è circa 10−15. Più propriamente, allaquantità

240

1

2 = 2 8 × 10−15

viene data il nome di raggio classico dell’elettrone .

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Capitolo 2

EQUAZIONE DISCHROEDINGER

In questo capitolo verrà presentata e utilizzata l’equazione fondamentale dellameccanica microscopica. Rimandando ai testi specifici per ogni approfondimen-to, cercheremo di mostrare come si usa l’equazione di Schroedinger nel casounidimensionale applicandola a casi che sono di sicuro utilizzo nella fisica deisolidi e in altri campi dell’ingegneria.

2.1 Funzione d’onda ed equazione di Schoedinger

Per descrivere il moto di un elettrone in un atomo non possiamo usare la mec-canica newtoniana, come abbiamo fatto nella descrizione del modello di Bohr.Accorre una nuova formulazione. Descriveremo la Meccanica di ondulatoria diSchroedinger. Supponiamo di voler descrivere una particella in un potenzialeesterno (r). Nella meccanica di Schroedinger ad ogni stato di un sistemaviene associata una funzione (d’onda) Ψ (r) in maniera tale che

Ψ∗ (r)Ψ (r) 3 = |Ψ (r)|

2 3 (1)

rappresenta la probabilità di trovare la particella, all’istante t, nell’elementodi volume 3 intorno al punto r dello spazio delle coordinate. La funzioned’onda è normalizzata all’unità, perché la probabilità di trovare la particella inun qualunque punto dello spazio è uguale ad uno

Z |Ψ (r)|

2 3 = 1 (2)

Viene postulato che l’evoluzione temporale dello stato è descritta dall’equazionedi Schroedinger

~ Ψ (r)

= − ~

2

2 ∇2Ψ (r) + (r)Ψ (r) (3)

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2.1.1 Soluzioni stazionarie

Se il potenziale (r) è indipendente dal tempo, (r), l’equazione di Schroedinger diventa

~ Ψ

= − ~

2

2 ∇2Ψ + (r)Ψ (4)

che può essere risolta con il metodo della separazione delle variabili. Si cercanosoluzioni della funzione d’onda nella forma

Ψ (r) = () (r) (5)

Si prosegue nel modo seguente:

~ ( () (r))

= − ~

2

2 ∇2 ( () (r)) + (r) ( () (r))

da cui

~ ( () (r))

= − ~

2

2 ()∇2 (r) + () (r) (r)

e dividendo per (r) , si trova

~ 1

()

()

=

1

(r)

∙− ~

2

2 ∇2 (r) + (r) (r)

¸I due membri sono uno dipendente dal tempo e l’altro dalle coordinate spaziali.Dovendo essere uguali per tutti i valori delle posizione e del tempo devono essereentrambi uguali ad una costante. Allora, si avranno le due equazioni

~ 1

()

()

=

1

(r)

∙− ~

2

2 ∇2 (r) + (r) (r)

¸ =

che riscriviamo come

~ ()

= () (6)

∙− ~

2

2 ∇2 (r) + (r) (r)

¸ = (r) (7)

La soluzione della (6) è

() = expµ− ~ ¶ = exp(−) (8)dove è una costante arbitraria. Introducendo abbiamo fatto uso della re-lazione di Planck-Einstein. L’equazione (7) è detta equazione di Schoedingerindipendente dal tempo (o stazionaria ). Allora, nel caso di un potenzialeindipendente dal tempo, la funzione d’onda del problema si scrive

Ψ (r) = exp(−) (r) (9)

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e la sua energia, (si dice autovalore dell’energia associato all’autofunzione (2)) è

E 1 = −12

2

= −1

2 4

~ 2 = −E = −13 6 (4)

Secondo l’interpretazione che abbiamo dato della funzione d’onda,

||2 3 = ||

2 42 (5)

rappresenta la probabilità di trovare l’elettrone, con l’energia di Rydberg, aduna distanza compresa nell’intervallo ( + ).

Sempre in unità di raggi di Bohr, grafichiamo sia il modulo quadro dellafunzione d’onda che la probabilità (5):

Possiamo procedere a diversi calcoli interessanti.1) Verifichiamo che la funzione d’onda è ben normalizzata (le funzioni d’onde

non normalizzabili non sono fisicamente accettabili).Dobbiamo verificare che

Z ||2 3 = 1 (6)Avremo, Z

∞

0

||2 42 =

4

3

Z ∞

0

exp(−2) 2

Poiché Z ∞

0

exp(−) = !+1

(7)

alla fine troveremo che

Z ∞

0

||2 42 = 1

2) Determinare la probabilità di trovare l’elettrone con l’energia di Rydbergad una distanza dal nucleo che sia compresa nell’intervallo (0 ).

Dobbiamo, in base alla interpretazione della funzione d’onda, valutare ilseguente integraleZ

0

||2 42 =

4

3

Z 0

exp(−2) 2

31


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Posto

= 2

→ 2

= 3

8 2

troveremo1

2

Z 20

2 exp(−) ' 0 32 (8)

Se si cerca la probabilità di trovare lo stesso elettrone nell’intervallo (0 2)si troverebbe Z 2

0

||2

42 ' 0 76

mentre per l’intervallo (0 4) si troverebbe

Z 4

0

||2 42 ' 0 98

Solo se si integra su tutto lo spazio si troverà il valore 1.3) Determinare la distanza media, dal nucleo del nostro solito elettrone.Il valor medio è per definizione

=

Z ∞

0

| |2 42 (9)

Avremo

= 4

3

Z ∞

0

exp(−2) 3

e usando la (7) si otterrà

= 3!

(2)4 = 1 5 (10)

Il valor medio risulta più grande del raggio di Bohr.

2.2.2 Il problema della misura nella nuova meccanica.

L’evoluzione temporale della funzione d’onda segue l’equazione generale di Schroedinger.Tuttavia, quando si esegue una misura su di un sistema la funzione d’onda col-lassa in uno dei possibili autostati dell’hamiltoniano. Cerchiamo di capire conun esempio.

Supponiamo di aver risolto un problema stazionario, in una dimensione.

Questo significa che abbiamo trovato, ci poniamo nel caso più semplice, uninsieme discreto di autovalori dell’energia

1 2

Associati a ciascuno di questi autovalori ci sono le autofunzioni

1 () 2 () ()

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La soluzioni temporali sono

1 ()expµ− 1

~ ¶

2 ()expµ− 2

~ ¶

()expµ−

~ ¶

mentre la soluzione generale è una sovrapposizione di tutti questi stati

Ψ ( ) = X

=1

()exp

µ−

~

¶ (11)

Quando si esegue una misura, la funzione d’onda (11) diventa una delle Npossibili. Solo se si esegue immediatamente la stessa misura si ritrova lo stessostato. Altrimenti la funzione ridiventa la (11).

In riferimento alle misure da eseguire su un sistema questo significa che non

possiamo eseguire su un singolo sistema misure ripetute, ma dobbiamo preparareun numero adeguato di sistemi identici e eseguire su tutti la stessa misura. Ivalori che si ottengono vanno confrotato con i valor medi teorici.

Il problema della misura è un problema molto controverso, perché introduceuna sorta di irreversibilità all’interno della teoria.

2.2.3 La normalizzazione si conserva nel tempo

Vogliamo mostrare che la condizione di normalizzazione della funzione d’ondasi conserva nel tempo. L’equazione di Schroedinger nel caso unidimensionale è

~ Ψ

= − ~

2

2

2Ψ

2 + Ψ

che riscriviamo Ψ

=

~

2

2Ψ

2 −

~ Ψ (12)

L’equazione per la funzione complessa coniugata è

Ψ∗

= − ~

2

2Ψ∗

2 +

~ Ψ∗ (13)

Consideriamo la seguente derivata

|Ψ|

2 =

(Ψ∗Ψ) =

Ψ∗

Ψ+ Ψ∗

Ψ

Usando le (12) e (13) si ha:

|Ψ|

2=

∙− ~

2

2Ψ∗

2 +

~ Ψ∗

¸Ψ+ Ψ∗

∙ ~

2

2Ψ

2 −

~ Ψ

¸e semplificando

|Ψ|

2 = ~

2

µΨ∗

2Ψ

2 −

2Ψ∗

2 Ψ

¶ (14)

33


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Si dice che queste due soluzioni sono due autofunzioni dell’operatore ener-

gia, entrambe corrispondenti allo stesso autovalore E. Si parla allora di unadegenerazione doppia.A cosa corrispondono queste due soluzioni? Notiamo che

√ 2 = = =

Valutiamo cosa accade alla quantità di moto quando facciamo agire sulle duesoluzioni l’operatore della quantità moto. Avremo

b + () = b exp () = ~ exp ³ ~ ´ = + () = + ()L’autofunzione dell’energia + () è anche autofunzione dell’operatore quan-

tità di moto, corrispondente all’autovalore . La particella si muoverà lungo la

direzione positiva dell’asse delle x.In maniera analoga, si trova

b − () = − − ()l’autofunzione dell’energia

−(), è anche autofunzione dell’operatore quan-

tità di moto, ma corrisponde all’autovalore − . Questa autofunzione descriveil moto della particella nella direzione negativa dell’asse delle x.

Fino a quando non si fissa una direzione del moto della particella, lo vedremotra breve, la soluzione generale le deve contenere entrambe.

Vale il principio di sovrapposizione.La soluzione generale della (3) può porsi nella forma:

() = exp() + exp(−) (4)oppure, introducendo la dipendenza temporale, la funzione d’onda cercata

diventaΨ ( ) = exp( − ) + exp(− + ) (5)

la soluzione generale è la sovrapposizione di un’onda piana che si propagalungo l’asse nella direzione positiva e di un’altra nella direzione opposta. Al-lora una particella che si muove lungo l’asse è rappresentata dalla funzioned’onda

Ψ ( ) = exp[ (− )] (6)L’energia della particella, dalla (2), sarà

= ~ 22

2 (7)

da cui, la quantità di moto e la velocità della particella sono espresse dalleseguenti relazioni:

= ~ = ~

(8)

35


37/184

La relazione

= ~ 2

2 (9)

è detta di relazione di dispersione .Non essendoci alcuna limitazione sui possibili valori di , anche in M.Q. sono

permesse tutte le energie e quantità di moto. Anzi, per ogni valore di vi èuna precisa energia o velocità. Esse sono note con una precisione alta quantosi vuole. Questa precisione sulla quantità di moto comporterà, come vedremouna completa mancanza di informazione sulla posizione della particella.

Per sapere la posizione della particella dobbiamo considerare il modulo quadrodella funzione d’onda, e poichè |exp()|2 = 1, troveremo

| ( )|2 = ||2 (10)

Il risultato è indipendente dalla posizione e dal tempo. La particella, conuguale probabilità, può essere in una qualsiasi posizione dello spazio. Un talerisultato non è fisicamente possibile e quindi la funzione d’onda (7) non puòrappresentare una particella libera.

Consideriamo la condizione di normalizzazione,Z ∞

−∞

| ( )|2 = ||2Z ∞

−∞

= ∞

La funzione d’onda non è normalizzabile. Questo conferma la non fisicitàdella soluzione trovata.

Vedremo, nel prossimo paragrafo, che il modo corretto di rappresentare unaparticella libera è mediante la sovrappozione di più onde piane, cioè mediante

un pacchetto d’onda.

2.3.2 Velocità di gruppo e moto della particella libera

Una funzione d’onda rappresentante una particella libera può scriversi come

( ) = (−) (1)

Ma anche la funzione

( ) =

Z 21

(−) (2)

è soluzione della stessa equazione. Tale funzione è la somma di infinite funzionid’onda del tipo (1) con valori di compresi nell’intervallo (1 2).

Vogliamo dare una rappresentazione approssimata di tale soluzione dell’e-quazione d’onda perché l’integrazione non può essere eseguita in maniera es-plicita, se non si specifica la legge di dispersione, ovvero come dipende dalvettore d’onda:

= ()

36


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39/184

Il termine, in parentesi quadra, può essere modificato come segue

2 − 1 = h(22 +22 ) − ( 12 +12 )iUsando la (3)

2 − 1 =h

(22 +0−

12 ) − ( 12 +0−22 )

isi trova

2 − 1 = 0h

∆2 − −∆2

i = 20 sin

µ∆

2

¶Allora,

( ) '

−(0−0)

20 sinµ∆2 ¶

che esplicitato diventa

( ) ' 2sin¡∆2 (− )

¢(− )

(0−0) (8)

La funzione che modula l’ampiezza (∆) è

() ≡ sin

(9)

dove

= ∆

2 (− ) (10)

Tale funzione ha un massimo in = 0 e vale 1:

lim→0

sin

= 1

I primi zeri di tale funzione sono a ±. La () ha la seguente forma:

38


40/184

La velocità della particella libera è la velocità di gruppo, definita (6). Infatti,

la relazione di dispersione, per la particella libera, è

=

~ =

~

2 2 (11)

Usando la definizione (6) si ha

= ~

=

=

Per provare che la corretta funzione d’onda rappresentante la particella liberaè la funzione (8) verifichiamo che sia soddisfatta la relazione d’indeterminazione.

L’indeterminazione sulla quantità di moto del pacchetto è

∆ '

~ ∆ (12)

L’indeterminazione sulla posizione si può determinare dalla larghezza delpacchetto usando la lunghezza tra i primi zeri della funzione. Per = 0 unrisultato approssimato usabile come ordine di grandezza è

∆ ' 1

∆ (13)

Allora, l’indeterminazione sulla posizione e quello sulla quantità di motodaranno la seguente relazione d’indeterminazione

∆∆ = ~ (14)

che è una corretta relazione d’indeterminazione.In conclusione, la funzione d’onda che rappresenta una particella è un pac-

chetto d’onda e la velocità della particella è rappresentata dalla velocità digruppo del pacchetto.

2.3.3 La buca di potenziale infinita

L’esempio che stiamo per illustrare serve a sottolineare come, anche nei casi piùsemplici, la nutura quantistica delle particelle presenta delle notevoli diff erenzecon i risultati della fisica classica.

Il caso che vogliamo discutere è quello di una elettrone confinato tra duepareti di potenziali di altezza infinita. Svolgeremo lo stesso caso ponendo lepareti una volta nelle posizioni (

−2 2) e la seconda volta in (0 ). La

larghezza della buca è la stessa.a) Caso simmetrico rispetto all’origine degli assi:(−2 2).

() =

½ 0 −2 ≤ ≤ 2∞ − (1)

39


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42/184

Ricordiamo che

exp() = cos + sin exp(−) = cos − sin

per cui la precedente espressione diventa

2 sin() = 0

Questo significa che i valori di ammessi come soluzioni sono

=

(6)

dove è in intero. Inoltre, poiché è positivo, i valori di devono esserepositivi. Quindi è intero e positivo

= 0 1 2 3 ∞ (7)

Gli autovalori dell’energia saranno:

= ~ 22

2 = 2

2~ 2

2 (8)

Cerchiamo le autofunzioni dell’energia.Moltiplichiamo la (5b) per exp

¡− 2 ¢:exp

µ−

2

¶ ∙ exp

µ

2

¶+ exp

µ−

2

¶¸ = 0

e otterremo = − expµ

2

¶ (9)

Allora () = exp() + exp(−)

diventa

() =

∙exp()− exp

µ

2

¶exp(−)

¸ovvero

() =

∙exp

³

´− exp

µ

2

¶exp

³−

´¸

Dopo qualche manipolazione si otterrà

() = exp³

2

´exp

½∙

µ

− 1

2

¶¸− exp

∙−

µ

− 1

2

¶¸¾e in definitiva

() = 2 exp³

2

´sin

∙

µ

− 1

2

¶¸

41


43/184

cioè

() = sin∙

µ − 12¶¸ (10)Il valore di si otterrà dalla condizione di normalizzazione:Z 2

−2

() ∗

() = 1 (11)

e si trova

=

r 2

(12)

La soluzione autofunzioni dell’energia saranno:

() = r 2 sin ∙µ − 12¶¸ (13)b) Caso asimmetrico rispetto all’origine degli assi:(0 ) Il moto sia unidimensionale e l’elettrone sia supposto confinato in una regione

unidimensionale 0 ¹ ¹ .

L’energia potenziale fuori della regione sarà infinita.

() =

½ 0 −0 ≤ ≤ ∞ − (14)

L’equazione di partenza è sempre:

− ~ 2

2

2

2 () + () () = ()

All’interno della buca avremo

− ~ 2

2

2

2 () = ()

Quindi la soluzione si scrive

() = exp() + exp(−) (15)

42


44/184

Per ragioni di continuità della stessa funzione d’onda, dobbiamo assumereche alla frontiera essa sia ugualmente nulla, ovvero che:

(0) = 0 () = 0 (16)

Queste condizioni al contorno, unite alla cosiddetta condizione di normal-izzazione consentiranno di risolvere il problema dell’elettrone confinato in unabuca di potenziale infinita. Dalla condizione (0) = 0 , segue

+ = 0

ovvero = −. Allora la funzione d’onda si è ridotta a

() = exp()

−exp(

−)

Poiché

exp()− exp(−) = sin 2

la soluzione si può porre nella forma

() = 1 sin () (17)

Allora, anche in questo caso

=

(18)

e dalla condizione di normalizzazione:

Z 0

| ()|2 = 1 (19)

troviamo

1 =

r 2

(20)

In definitiva, le funzioni d’onda del nostro problema (dette autofunzioni )sono

() =

r 2

sin

³

´

= 1 2 3 (21)

La soluzione (21) può ottenersi dal caso simmetrico, perché usando la trasfor-

mazione e = − 2

(22)

sul potenziale (14) otterremo

(e) = ½ 0 −2 ≤ e ≤ 2∞ − (23)43


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La soluzione (13) ci darà

(e) = r 2 sin∙

µ e

− 1

2

¶¸ (24)

e ritornando in si otterrà

() =

r 2

sin

h³

− 1

´i (25)

e usando la relazione

sin(− ) = sin cos − cos

riotterremo la (21).Gli autovalori dell’energia saranno

= ~ 22

2 = 2

~ 22

2 2 (26)

Notiamo che non vi è alcuno stato (autostato) e alcuna autoenergia che cor-risponde al valore = 0. Inoltre, per E0 non ci sono autovalori e autofunzioni.

Il valore di energia minima si ha per = 1:

= ~

22

2 2 (27)

Questo risultato è in accordo con il principio di indeterminazione di Heisenberg,principio cui tutti i risultati devono soddisfare. Vediamo la compatibilità della

(15) con il principio di indeterminazione. La (15) comporta che la componente della quantità di moto del nostro elettrone è

= ±~ (28)

(il segno positivo si riferisce al moto nella direzione positiva dell’asse , quellomeno nella direzione opposta). Se avessimo avuto una energia nulla avremmoanche avuto una componente della quantità di moto nulla, ovvero una conoscen-za precisa della posizione. Invece, poiché la massima incertezza sulla posizione∆ è pari alla larghezza della buca, , l’incertezza sulla quantità di moto sarà

∆∆ ≥ ~ → ∆ ≥ ~

(29)

Tale risultato è compatibile con i risultati (16).Infine, notiamo che

+1 − = ( + 1)2 ~ 22

2 2 − 2 ~

22

2 2 = (2 + 1)

~ 22

2 2 (30)

Possiamo verificare che la separazione dei livelli è diversa da zero solo per sta-ti confinati: una particella libera avrà autovalori continui dell’energia, come

44


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abbiamo verificato. Infatti, man mano che diventa sempre più grande, la

separazione tra livelli consecutivi diventa sempre più piccola, fi

no a che, per →∞, la separazione si annulla.Facciamo dei grafici

()

= sin

µ

2

¶per diff erenti . Posto = , (lunghezza in unità di )

()

= sin (2)

avremo per i primi due valori di ,

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

x/L0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1

0

1

x

y

() = sin (2) = 1

() = sin (4) = 2

Poiché la funzione d’onda è un’ampiezza di probabilità, il significato fisicopiù immediato è nel suo modulo quadro; di conseguenza, conviene graficare ilsuo modulo quadro:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

x/L

y

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

x/L

y

|()|2

2 = sin2 (2) = 1 |()|

2

2 = sin2 (4) = 2

2.3.4 Barriera di potenziale di larghezza finita: eff etto

tunnelIl potenziale che assumeremo è il seguente

() =

⎧⎨⎩

0 0 0 0 ≤ ≤ 0

(1)

Il cui grafico è il seguente

45


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Nel caso quantistico, anche nel caso in cui l’energia della particella non

è suffi

ciente a superare la barriera, esiste comunque una probabilità fi

nita ditrovare la particella dopo la barriera. Tale eff etto è detto e ff etto tunnel .

La barriera a gradino

Il procedimento che adoperemo per analizzare l’eff etto tunnel si fonda sull’usodel principio di indeterminazione. Più precisamente useremo l’idea che unaparticella, in presenza di una barriera, non ha una energia ben definita. In altreparole, se indichiamo con E l’energia che avrebbe una particella se fosse libera,la presenza della barriera modifica il valore dell’energia E di una quantità ∆ ,per un intervallo di tempo ∆, tale

∆∆

≤

~

2Si dice che, durante tale intervallo, l’energia fluttua. Se la fluttuazione èsufficientemente pronunciata, in maniera tale che

+ ∆ ≥ 0dove 0 è il valore dell’altezza della barriera di potenziale, allora la particella

potrebbe superare la barriera, con velocità

v =

r 2 ( + ∆ − 0)

(1)

Per superare la barriera, il prodotto della velocità per il tempo durante ilquale l’energia della particella fluttua deve essere più grande della larghezza

della barriera

v∆ ≥ 0dove 0è la larghezza della barriera, v è data dalla (1) e

∆ ∼= 12

~

∆ (2)

Allora, la condizione per il superamento della barriera èr 2 ( + ∆ − 0)

1

2

~

∆ ≥ 0 (3)

Vediamo qual’è la condizione su ∆ per avere un massimo. Posto

(∆ ) =̂

Ãr 2 ( + ∆ − 0)

1

2

~

∆

!Calcoliamo il massimo per tale funzione:

(∆) (∆ ) = 0

50


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I primi due termini al secondo membro costituiscono l’operatore Hamiltoni-

ano dell’oscillatore armonico. Il terzo termine è il commutatore[ b b ] = b b − b b (9)

tra l’operatore posizione e l’operatore della componente x della quantità dimoto. Questi due operatori, sono detti coniugati perché sono lewgati dal prin-cipio di indeterminazione. Si dimostra che due operatori coniugati non commu-tano. Sighifica che bisogna stare attenti al loro ordine quando si opera con illoro prodotto, cioé b b 6= b b. Dobbiamo quindi valutare il loro commutatore,perché esso è sicuramente diverso da zero.

Per fare ciò vedremo come agiscono su di una generica funzione ():

( b b − b b) () = µ b~

−

~

b¶ () = b~

()

−

~

(

b )

e sviluppando la derivata del prodotto e semplificando si ottiene

( b b − b b) () = ~ ()Possiamo concludere scrivendo che il commutatore degli operatori (9) è

[ b b ] = b b − b b = ~ (10)Se ora sostituiamo tale risultato nella (8) otterremo

̂−̂+ = 1

~ b +

1

2 (11a)

per cui l’Hamiltoniamo si può porre nella forma

b = ~ µ̂−̂+ − 12

¶ (12a)

In maniera analoga, si può mostrare che

̂+̂− = 1

~ b − 1

2 (11b)

e scrivere l’Hamiltoniano nel modo seguente

b = ~ µ̂+̂− + 1

2¶ (12b)Si vede facilmente che gli operatori di innalzamento e abbassamento non

commutano. Infatti £̂− ̂+

¤ = ̂−̂+ − ̂+̂− = 1 (13)

54


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Gli autovalori dell’Hamiltoniano

Ora cercheremo gli autovalori dell’Hamiltoniano e nello stesso tempo si capiràil significato degli operatori che abbiamo introdotto.

Supponiamo di aver mostrato che l’autofunzione relativa all’autovalore del-l’energia 0 sia 0 (). Questo significa che abbiamo ipotizzato di aver risoltol’equazione stazionaria e associata al valore dell’energia 0 abbiamo trovato lafunzione d’onda 0 (). In termini matematici, si scrive: b0 () = 00 () (14)

Vogliamo dimostrare che alla funzione d’onda, che si ottiene da 0 (),applicando su di essa l’operatore d’innalzamento, cioé

1 () := ̂+0 () (15)

è l’autofunzione corrispondente all’autovalore dell’energia 0 + ~ . Cioé, se èvera la (14), è anche vera la seguente relazione:

b1 () = ( 0 + ~ ) 1 () (16)Il significato di operatore di innalzamento deriva proprio da questo risultato:

l’azione dell’operatore d’innalzamento su una qualsiasi autofunzione, fa si chela nuova autofunzione corrisponda ad un autovalore dell’energia aumentato diuna quantità ~ .

Per provare questo risultato basterà operare in maniera algebrica, utilizzandoi risultati precedentemente ottenuti. Infatti,

b1 () = b £̂+0 ()¤ = ~ µ̂+̂− + 12¶£̂+0 ()¤dove abbiamo fatto uso della (12b). Proseguendo

b1 () = ~ µ̂+̂−̂+ + 12 ̂+¶

0 ()

che diventa b1 () = ~ ̂+µ̂−̂+ + 12¶

0 ()

e usando il commutatore (13), si ha

b1 () = ~ ̂+µ1 + ̂+̂− + 12¶0 ()Proseguengo nella manipolazione algebrica, si avrà

b1 () = ̂+ ∙~ + ~ µ̂+̂− + 12¶¸

0 ()

55


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da cui, usando la (12b) si ottiene

b1 () = ̂+ h~ + b i0 () = ̂+ (~ ) 0 () + ̂+ b0 ()Per la (14)

b1 () = ̂+ (~ ) 0 () + ̂+ 00 ()In definitiva, b1 () = (~ + 0) ̂+0 ()

che grazie alla (13), completa la prova.Allora, se è vera la corrispondenza

0 →

0 () (17)

è anche vera la seguente corrispondenza

0 + ~ → ̂+0 () (18a)

Allo stesso modo, se è vera la corrispondenza (17), si può mostrare che valela seguente corrispondenza

0 − ~ → ̂−0 () (18b)

L’operatore di abbassamento quando agisce su di un’autofunzione la trasfor-ma in una nuova autofunzione che corrisponde ad un autovalore dell’energia cheè più piccolo di una quantità ~ rispetto alla precedente. Si può allora dire

che tutti gli autovalori dell’energia dell’oscillatore armonico sono separati dellastessa quantità di energia∆ = ~ (19)

Per procedere in maniera algebrica e in maniera semplice faremo una aff er-mazione: esiste uno stato fondamentale che è soluzione dell’equazione

̂−0 () = 0 (20)

L’operatore di abbassamento non può ulteriormente abbassare l’energia del-lo stato fondamentale. L’esistenza di uno stato fondamentale diverso da zeroè una conseguenza del principio di indeterminazione. Allo zero assoluto, cipotrebbe essere la particella soggetta alla forza elastica non può avere ener-gia nulla, altrimenti avrebbe nello stesso tempo posizione e quantità di motonulle e ciò violerebbe il principio d’indeterminazione. Si può interpretare il val-ore minimo dell’energia come quel valore necessare a non violare il principiod’indeterminazione.

Il valore dello stato fondamentale lo si trova subito. Poiché 0 () è auto-funzione dell’Hamiltoniano, cioé vale la (14),

b0 () = 00 () (14)56


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In definitiva, l’autofunzione dello stato fundamentale è

0 () =µ

~

¶14exp

µ−12

~ 2¶

(25)

L’autofunzione del primo stato eccitato sarà

1 () = 1̂+0 ()

dove 1 è la costante di normalizzazione; quella del secondo

2 () = 2̂+̂+0 ()

possiamo concludere dicendo che l’autofunzione dell’ennesimo stato sarà

() = ¡̂+

¢

0 () (26)

Il valore della costante di normalizzazione è

= 1√

!(27)

Possiamo allora scrivere

() = 1√

!

¡̂+¢

0 () (28)

dove la funzione d’onda dello stato fondamentale è data dalla (25).

2.4 Appendici

Riportiamo alcuni esercizi sull’equazione di Schroedinger in una dimensione.

2.4.1 Barriera di potenziale di larghezza infinita

Il potenziale che ora discuteremo è il seguente

() =

½ 0 0 0 ≥ 0 (1)

e la sua rappresentazione è la seguente:

58


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Le equazioni da risolvere saranno, nella prima regione,

2

2 () +

2 ~ 2

() = 0 0 (2)

e nella seconda regione

2

2 () +

2

~ 2 ( − 0) () = 0 ≥ 0 (3)

Le condizioni di continuità in = 0, sono

(0) = (0) (4)

()¯̄̄̄=0 =

()¯̄̄̄=0 (5)Poniamo

= 1

~

√ 2 (5)

e

= 1

~

p 2 ( − 0) (6)

e scriviamo2

2 () + 2 () = 0 0 (7)

e nella seconda regione

2

2 () + 2 () = 0

≥0 (8)

Le soluzioni saranno

() = exp ( ) + exp (− ) (9) () = exp ( ) + exp (− ) (10)

Distinguiamo due casi: 0 e 0Caso A: 0. Graficamente:

59


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Nella prima regione la soluzione è la stessa. Introduciamo, come abbiamo

fatto per l’eff

etto tunnel,

= =

p 2 ( 0 − )

~ (17)

e valutiamo il coefficiente di riflessione

= | |2 =

¯̄̄̄ − +

¯̄̄̄2= 1 (18)

Inoltre, poiché deve sempre essere + = 1, avremo per il coefficiente diriflessione

= 0 (19)

Non vi è alcuno trasmissione e la particella subisce una riflessione totale.

proviamo a calcolare ugualmente la funzione d’onda della seconda regione.

() = exp ( ) = () = exp (− )e

() ∗

() = 2 exp (−2) =2 exp

µ−2

~

p 2 ( 0 − )

¶ (20)

Esiste una probabilità finita, seppure con decadenza esponenziale da , ditrovare la particella nella seconda regione. Questa apparente violazione dellaconservazione dell’energia è spiegabile con il principio d’indeterminazione.

2.4.2 Buca di PotenzialeIl potenziale che discuteremo ha la seguente forma

() =

⎧⎨⎩

0 −2− 0 −2 ≤ ≤ 2

0 2

(1)

La rappresentazione grafica è la seguente:

61


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()¯̄̄̄=2 =

()¯̄̄̄=2 (11d)

Dalle prime due condizioni si avrà

exp

µ−

2

¶ = exp

µ−

2

¶+ exp

µ

2

¶ (12a)

exp

µ−

2

¶ = exp

µ−

2

¶− exp

µ

2

¶ (12b)

Dalle seconde condizioni otterremo

exp

µ

2

¶+ exp

µ−

2

¶ = exp

µ−

2

¶ (12c)

expµ 2¶− expµ−

2¶ = − expµ−

2¶ (12d)

Sommando questu due equazioni si avrà

= +

2 exp

∙

2 (− + )

¸ (13)

Sottraendole si ottiene, invece,

= − ∙

− 2

¸exp

µ

2 (− − )

¶ (14)

Abbiamo ottenuto e in termini di . Sostituiamo nelle (11c) e (11d)queste espressioni. Si troverà questo sistema omogeneo:

½ +

2 exp( )− −

2 exp(− )

¾− = 0 (15a)

½ +

2 exp( )−

− 2

exp(− )¾

+

= 0 (15b)

Dal determinante dei coefficienti otteniamo la seguente dobbia condizione

exp( ) = ± +

− (16)

Dal segno positivo si ottiene la condizione

tan

µ

2

¶ =

(17)

Dalla soluzione con il segno negativo si ottiene

cot

µ

2

¶ = −

(18)

63


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Non possono essere entrambe soddisfatte contemporaneamente. Infatti, se

si divideno membro a membro si ha una condizone impossibile

tan2µ

2

¶ = −1

Scegliamo la (17). Ponendo

=

2 =

02

2~ 2 (19)

otterremo

tan =

p 2 − 2

(20)

La soluzione della (20) è mostrata grafi

camente sotto.

Le soluzioni si ottengono dall’intersezione tra le due curve e sono cerchiatenel grafico. Per 2 vi è una sola soluzione. In ogni intervallo successivo viè una ulteriore soluzione. Le soluzioni permesse sono quantizzate.

2.4.3 Buca di potenziale deltiforme

I potenziali analizzati fin ad ora sono piuttosto regolari e le procedure sonoabbastanza standard. Ora analizzeremo un caso in cui il potenziale è deltiforme:questo è un potenziale molto stretto e molto profondo, tanto da essere una bucasu un solo punto, = 0.

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Capitolo 3

LE DIVERSESTATISTICHE

Dobbiamo imparare a trattare secondo la nuova meccanica gli insiemi di par-ticelle. Questo perché raramente si considerano nei dispositivi singole o pocheparticelle. Dopo una breve introduzione ai risultati della Termodinamica im-pareremo prima le distribuzioni classiche e poi quelle quantistiche.

3.1 Elementi di termodinamica e teoria cinetica

L’oggetto del nostro studio sarà il gas perfetto monoatomico. Esso è un insieme

di particelle, di massa uguale senza dimensione, cioè supposte puntiformi, cheper la maggior parte del loro tempo si muovono di moto rettilineo uniforme, ameno che non supporremo che su ciascuna di essa si eserciti una forza derivabileda un potenziale. Assumeremo l’ipotesi di gas rarefatto, secondo la quale, laprobabilità che tre particelle subiscano, in un dato punto dello spazio, un urtocontemporaneamente, sia

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