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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS TRANSFORMAÇÕES LINEARES - PROFª. ADRIANA BISCARO Página 9 Núcleo de uma transformação Linear Chama-se de núcleo de uma transformação linear T: VW ao conjunto de todos os vetores vV que são transformados em 0 W. Indica-se por N(T) ou ker(T): N(T) = {v V/T(v) = 0} R Observemos que N(T) V e N(T) ≠ , pois 0 N(T), tendo em vista que T(0) = 0. 1) Exemplo: Seja T:R 2 R 3 tal que T(x,y) = (0, x+y, 0). N(T) = {(x,y) R 2 / T(x,y) = (0,0,0)} Então, T(x,y) = (0,x+y,0) = (0,0,0) Assim, x+y = 0 x = -y Portanto, N(T) = {( x,y) R 2 / x = -y} = {(-y,y), y R}. Uma base é {(-1,1)} e dimN(T) = 1 Representação Gráfica: 2) Determinar o núcleo da seguinte transformação linear T:R 2 R 2 , T(x,y) = (x+y, 2x y) Por definição: N(T) = {(x,y) R 2 /T(x,y) = (0,0)}

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS Ncleo de uma transformao Linear Chama-se de ncleo de uma transformao linear T: V W ao conjunto de todos os vetores vV que so transformados em 0 W. Indica-se por N(T) ou ker(T): N(T) = {v V/T(v) = 0}

R Observemos que N(T) V e N(T) , pois 0 N(T), tendo em vista que T(0) = 0.

1) Exemplo: Seja T:R2 R3 tal que T(x,y) = (0, x+y, 0).

N(T) = {(x,y) R2/ T(x,y) = (0,0,0)} Ento, T(x,y) = (0,x+y,0) = (0,0,0) Assim, x+y = 0 x = -y Portanto, N(T) = {( x,y) R2/ x = -y} = {(-y,y), y R}. Uma base {(-1,1)} e dimN(T) = 1 Representao Grfica:

2)

Determinar o ncleo da seguinte transformao linear R2 , T(x,y) = (x+y, 2x y)

T:R2

Por definio: N(T) = {(x,y) R2/T(x,y) = (0,0)}TRANSFORMAES LINEARES PROF. ADRIANA BISCARO Pgina 9

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS Assim, (x,y) N(T) se (x+y, 2x y) = (0,0).

3) Seja T:R3 R2 a transformao linear dada por:

T(x,y,z) = (x-y+4z, 3x+y+8z), determinar seu ncleo.

Propriedades do Ncleo:

1) O ncleo de uma transformao linear T:V V. Sejam v1 e v2 vetores pertencentes ao N(T) e Ento, T(v1) = 0 e T(v2) = 0. Assim: I) T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = 0 + 0 = 0 Isto : v1+ v2 II) N(T) T(v1) = T(v1) = .0 = 0 isto : v1 N(T)TRANSFORMAES LINEARES -

um subespao vetorial de

um nmero real qualquer.

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS 2) - Uma transformao linear T:V W injetora se, e somente se, N(T) = {0}. v1, v2 V, T(v1) = T(v2),

Obs.: Uma aplicao T:V W injetora se implica que v1 = v2. Ou de modo equivalente, se v1, v2 T(v2).

V, v1

v2 implica T(v1)

Imagem Chama-se imagem de uma transformao linear T:V W ao conjunto dos vetores w W que so imagens de pelo menos um vetor v T(V): Im(T) = {w W/T(v) = w para algum v V}. Indica-se esse conjunto por Im(T) ou

Observao: note Im(T) W e Im(T) , desde que T(0) = 0 Im(T). Se Im(T) = W T sobrejetora, ou seja, V tal que T(v) = w. w W, existe pelo menos um v

Obs.: Note que Im(T) um subconjunto de W e, alm disso, um subespao vetorial de W. Exemplo: 1) Seja T: R2 R2 a transformao linear dada por T(x,y) = (2x-y, -10x +y). Qual dos vetores abaixo pertence a imagem de T? a) u = (1,2) b) w = (-1,2)

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2) Determine a imagem da transformao linear T: R3 R3, T(x,y,z)= (2x-y-z, x-y-z, x+y-z).

Teorema da Dimenso: Seja V um espao de dimenso finita e T: V transformao linear. Ento dimN(T) + dim Im(T) = dim(V) . Exemplos: 3) Seja A projeo ortogonal do R3 sobre o plano xy T: R3 R3TRANSFORMAES LINEARES PROF. ADRIANA BISCARO

W uma

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS (x,y,z) (x,y,0) ou T(x,y,z) = (x,y,0) linear

Im(T) = {(x,y,0)

R3/ x,y

R}. A imagem de T o prprio plano xy.

O ncleo de T todo eixo dos z. N(T) = {(0,0,z)/ z R}. R.

Pois T(0,0,z) = (0,0,0) para todo z

Ento a dimenso do ncleo (eixo z) = 1 A dimenso da imagem (plano xy) = 2 Portando a dim(V) = dim N(T) + dim Im(T) = 3 que o prprio R3.

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Todo espao de dimenso n isomorfo a Rn. Assim, dois espaos vetoriais de dimenso finita so isomorfos se tiverem a mesma dimenso. Exemplo: 1) O operador linear T:R2 R2. T(x,y) = (2x+y, 3x+2y) isomorfismo no R2. Como dimV = dim W = 2, basta mostrar que T injetora. De fato: N(T) = {(0,0), o que implica que T injetora. 2) Verificar se a transformao linear um isomorfismo. T:P2 R3, T(at2 + bt+c) = (a,a+b,b-c)

3)

Determinar o ncleo e a imagem do operador linear T: R3 R3 T(x,y,z) = (x+2y-z, y+2z, x+3y+z).PROF. ADRIANA BISCARO Pgina 14

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Matriz de uma Transformao Linear

Sejam T:V W uma transformao linear, A uma base de V e B uma Base de W. Vamos considerar que dim V = 2 e que a dimW = 3. Sejam A = { v1, v2} e W = {w1, w2, w3} bases de V e W, respectivamente. Um vetor v V pode ser expresso por: v = x1v1 + x2v2 ou vA = {x1, x2} (componentes dos vetores em relao a base A) aplicando a transformao linear T: T(v) = T(x1v1 + x2v2) = x1T(v1) + x2T(v2) Alm disso, T(v) W, ento: T(v) = y1w1 + y2w2 + y3w3 Por outro lado, Sendo T(v1) e T(v2) vetores de W, eles so CL dos vetores de B. T(v1) = a11w1 + a21w2 + a31w3 T(v2) = a12w1 + a22w2 + a33w3 Substituindo esses vetores em (1), temos: T(v) = x1(a11w1 + a21w2 + a31w3)+ x2(a12w1 + a22w2 + a33w3) ou (3) (4) ou T(v)B = (y1, y2, y3) (2) (1)

T(v) = (a11x1 + a12x2)w1 + (a21x1 + a22x2 )w2 + (a31x1 + a33x2)w3 Comparando esta igualdade com (2), temos:TRANSFORMAES LINEARES PROF. ADRIANA BISCARO Pgina 15

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS y1 = a11x1 + a12x2 y2 = a21x1 + a22x2 y3 = a31x1 + a33x2 ou, na forma matricial: ou, na forma matricial: ou, na forma matricial:

=

.

Ou, simbolicamente: T(v)]B = [v]A denominada matriz de T em relao s bases A e B.

Sendo a matriz Observaes: 1) A matriz

de ordem 3x2 quando dimV = 2 e dimW = 3 so as componentes das imagens dos vetores da base

2) As colunas da matriz

A em relao base B, conforme se pode ver em (3) e (4):

T(v1)B T(v2)B Exemplos: 1) Seja T:R3 R2, T(x,y,z) = (2x-y +z, 3x+y-2z), linear. Consideremos as bases A = { v1, v2, v3} e B = {w1, w2}, com v1 = (1,1,1), v2 = (0,1,1) e v3 = (0,0,1) e w1 = (2,1), w2 = (5,3). a) Determinar b) Se v = (3,-4,2) (coordenada em relao base cannica do R3), calcular T(v)]B utilizando a matriz encontrada.

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2) Consideremos a mesma transformao linear do exerccio anterior. Sejam as bases A = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)} (a mesma) e B = {(1,0), (0,1)} cannica. a) Determinar b) Se v = (3,-4,2), calcular T(v)B utilizando a matriz encontrada.

Operaes com Transformaes Lineares

1. Adio

Sejam T1: V W e T2: V W transformaes lineares. Chama-se soma das transformaes lineares T1 e T2 transformao linear: T1 + T2: V W v (T1 + T2)(v) = T1(v) + T2(v),TRANSFORMAES LINEARES -

v VPgina 17

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS Se A e B so bases de V e W, respectivamente, demonstra-se que: = +

2. Multiplicao por Escalar Sejam T:V W uma transformao linear e R. Chama-se produto de T pelo escalar transformao linear: T: V W v (T)(v) = T(v), v V. Se A e B so bases de V e W, respectivamente, demonstra-se que: = 3. Composio Sejam T1:V W e T2: W U transformaes lineares. Chama-se aplicao composta de T1 com T2, e se representa por T2 o T1, transformao linear: T2 o T1: V U v (T2 o T1)(v) = T2(T1(v)), vV.

Se A, B, e C so bases de V, W e U, respectivamente, demonstra-se que:

Exemplos: 1) Sejam T1:R2 R3 e T2:R2R3 transformaes lineares definidas por T1(x,y) = (x+2y, 2x-y,x) e T2(x,y) = (-x,y,x+y). Determinar: a) T1 + T2 b) 3T1 2T2 c) A matriz cannica de 3T1 2T2 e mostrar que: [3T1 2T2] = 3[T1] 2[T2]

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2) Sejam S e T operadores lineares no R2 definidos por S(x,y) = (2x,y) e T(x,y) = (x, x-y). Determinar: a) S o T b) T o S c) S o S d) T o T

Transformaes Lineares Planas Entende-se por transformaes lineares planas as transformaes de R2 em R2. Veremos algumas de especial importncia e suas correspondentes interpretaes geomtricas. 1. Reflexes a) Reflexo em torno do eixo dos x. Essa transformao linear leva cada ponto (x,y) para sua imagem (x, -y), simtrica em relao ao eixo dos x.TRANSFORMAES LINEARES PROF. ADRIANA BISCARO Pgina 19

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS T:R2R2 (x,y) (x, -y) ou T(x,y) = (x, -y) Sendo sua matriz cannica, isto =

b) Reflexo em torno do eixo dos y T:R2R2 (x,y) (-x, y) ou T(x,y) = (-x, y) Ou:

c) Reflexes na origem T:R2R2 (x,y) (-x, -y) ou T(x,y) = (-x, -y) Ou:

d) Reflexes em torno da reta y= x T:R2R2TRANSFORMAES LINEARES PROF. ADRIANA BISCARO Pgina 20

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS (x,y) Ou: (y,x) ou T(x,y) = (y,x)

e) Reflexo em torno da reta y = -x T:R2R2 (x,y) (-y,-x) ou T(x,y) = (-y,-x) Ou:

2. Dilatao e Contraes a) Dilatao ou contrao na direo do vetor T:R2 R2 (x,y) (x,y), R Ou:

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Observemos que: Se || > 1, T dilata o vetor Se || < 1, T contrai o vetor Se = 1, T a identidade I Se 0 Ou:

Observemos que: Se > 1, T dilata o vetor Se 0 < < 1, T contrai o vetor. Essa transformao tambm chamada dilatao ou contrao na direo Ox (ou horizontal) de um fator . A figura sugere uma dilatao de fator = 2 e uma contrao de fator = . c) Dilatao ou contrao na direo do eixo dos y. T:R2 R2 (x,y) (x, y), >0

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Observao: Se, nesse caso, fizssemos = 0, teramos: (x,y) (x, 0) E T seria a projeo ortogonal do plano sobre o eixo dos x, conforme figura.

Para = 0, no caso b), T seria a projeo ortogonal do plano sobre o eixo dos y. 3. Cisalhamentos a) Cisalhamento na direo do eixo dos x. T:R2 R2 (x,y) (x + y,y), Ou:

O efeito do cisalhamento transformar o retngulo OAPB no paralelogramo OAPB, de mesma base e mesma altura. Observemos que, por esse cisalhamento, cada ponto (x,y) se desloca paralelamente ao eixo dos x at chegar em (x + y,y),TRANSFORMAES LINEARES PROF. ADRIANA BISCARO Pgina 23

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS com exceo dos pontos do prprio eixo dos x, que permanecem em sua posio, pois para eles y = 0. Com isso est explicado por que o retngulo e o paralelogramo da figura tm a mesma base OA. Esse cisalhamento tambm chamado cisalhamento horizontal de fator . b) Cisalhamento na direo dos y. T:R2 R2 (x,y) (x ,y + x) A matriz cannica desse cisalhamento : Por exemplo, a matriz: Representa um cisalhamento vertical de fator 2.

4. Rotao A rotao do plano em torno da origem que faz cada ponto descrever um ngulo , determina uma transformao linear T:R2 R2 cuja matriz cannica : [T] =

5 As imagens dos vetores e1 = (1,0) e e2 = (0,1) so: T(e1) = (cos, sen) T(e2) = (-sen, cos). Isto : T(e1) = (cos)e1 + (sen)e2 T(e2) = (-sen)e1 + (cos)e2 Por conseguinte, a matriz da transformao T : [ =

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS Essa Matriz chama-se matriz de rotao de um ngulo , , a matriz 2 2 cannica da transformao linear T: R R , T(x,y) = (xcos ysen, xsen + ycos). Se por exemplo, desejarmos a imagem do vetor v = (4,2) pela rotao de = basta fazer: [T(4,2)] = ,

[T(4,2)] =

ou [T(4,2)]=

Exerccios 1. Os pontos A(2,-1), B(6,1) e C(x,y) so vrtices de um tringulo eqiltero. Determinar o vrtice C, utilizando a matriz de rotao. 2. Determinar a matriz da transformao linear de R2 em R2 que representa um cisalhamento por um fator 2 na direo horizontal seguida de uma reflexo em torno do eixo dos y. 3. O plano sofre uma rotao de um ngulo . A seguir experimenta uma dilatao de fator 4 na direo Ox e, posteriormente, uma reflexo em torno da reta y = x. Qual a matriz que representa a nica transformao linear e que tem o mesmo efeito do conjunto das trs transformaes citadas? 4. Consideremos a transformao linear T:R2 R2 definida por T(x,y) = (3x 2y, x+4y). Utilizar os vetores u = (1,2) e v = (3,-1) para mostrar que T(3u + 4v) = 3T(u) + 4T(v). 5. Dada a transformao linear T:V W, tal que T(u) = 3u e T(v) = u-v, calcular em funo de u e v: a) T(u+v) b) T(3v) c) T(4u 5v) 6. Seja V = R2. Fazer um grfico de um vetor genrico v = (x,y) do domnio e de sua imagem T(v) sob a transformao linear T:R2 R2 dada por: a) T(x,y) = (2x,0) b) T(x,y) = (2x,y)TRANSFORMAES LINEARES PROF. ADRIANA BISCARO Pgina 25

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS c) T(x,y) = (-2x,2y) 7. Dentre as funes, verificar quais so lineares. a) T:R2 R3; T(x,y) = (x-y, 3x,-2y) b) T:R2 R2, T(x,y) = (x2 + y2, x) c) T:R R2, T(x) = (x,2) d) T:R2 M2x2 T(x,y) = 8. a) Determinar a transformao linear T:R2 R2 tal que T(-1,1) = (3,2,1) e T(0,1) = (1,1,0). b)Encontrar v R2 tal que T(v) = (-2,1,-3) 9. a) Determinar a transformao linear T:R3 R2 tal que T(1,-1,0)= (1,1) T(0,1,1) = (2,2) e T(0,0,1) = (3,3). b)Achar T(1,0,0) e T(0,1,0). 10. Seja o operador linear T:R2 R2 . T(x,y) = (2x + y, 4x + 2y). Quais dos seguintes vetores pertencem a N(T)? 11. Dadas as transformaes a seguir. Determinar (a) o ncleo, uma base para esse subespao e sua dimenso. T injetora? (b) determinar a imagem, uma base para esse subespao e sua dimenso. T sobrejetora? a) T:R2 R3, T(x,y) = (x+y, x,2y) b) T:R3 R3, T(x,y,z) = (x-y-2z, -x+2y+z, x-3z) 12. Seja a transformao linear T:R2 R3 tal que T(-2,3) = (-1,0,1) e T(1,-2) = (0,-1,0). a) Determinar T(x,y). b) Determinar N(T), Im(T). c) T injetora? E sobrejetora?

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