Complementos de Fluidos 

v=1

4 lη P1−P2 a2−r 2

• A consequência mais visível da viscosidade de um fluido é o seu perfil de velocidades no interior de um tubo:

• A equação de Bernoulli é, então, substituída pela expressão:

Ver nota 1

Raio da conduta

v=vMAX

 em r=0 (centro)

v=vMIN

 em r=a (periferia)

   

Complementos de Fluidos 

Q=aπ 4

8 lη P1−P2

ℜ=2 aρ vη

ℜ < 2000 – fluxos laminares2000 < ℜ < 3000 – fluxos instáveis

ℜ > 3000 – fluxos turbulentos

• Ou, reescrevendo a de uma outra forma, encontra se a ‑ ‑ Lei de Poiseuille:

• A viscosidade determina ainda o tipo de escoamento que os fluidos apresentam. O número de Reynolds é um valor adimensional, obtido empiricamente, e através do qual se prevê se determinado fluxo será laminar ou turbulento:

Ver nota 2

   

Complementos de Fluidos 

ℜ=ρ rvη

• As expressões anteriores relacionam se com a circulação de ‑fluidos, no entanto, um outro ponto de interesse se coloca: quando o fluido é viscoso, também um objecto que se coloque em movimento no interior do líquido sofre forças de atrito.

• Neste caso, estabelece se um outro ‑ número de Reynolds, que varia com a geometria do problema e que avalia o tipo de força de atrito a que um objecto no interior do fluido fica sujeito. Por exemplo, para um objecto esférico numa coluna suficientemente larga que se possa desprezar os efeitos das paredes do recipiente, calcula se o número de Reynolds ‑através da expressão:

   

Complementos de Fluidos 

Fa=6πηrv

v=2r2 g9η ρ obj−ρ fluido

Fa=CDr 2 ρ fluidov2

2

caso ℜ  seja menor do que 1, a força de atrito sofrida pelo objecto, cumpre a relação:

• Nestas condições, é fácil perceber que existe uma velocidade limite, a partir da qual o objecto não sofre aceleração (mantém a sua velocidade). Partindo, então, da equação do equilíbrio, encontra se a seguinte expressão para o valor da velocidade ‑limite:

• No caso em que o Número de Reynolds seja maior do que 1, a força de atrito é proporcional ao quadrado da velocidade e independente da viscosidade do líquido:

Ver nota 3

   

Complementos de Fluidos 

ASPECTOS DA CIRCULAÇÃO SANGUÍNEA

• Para aplicar alguns dos conceitos referidos anteriormente à circulação sanguínea é necessário ter se presente a forma como esta se processa.‑

   

Complementos de Fluidos •Além disso é necessário fazerem se algumas aproximações ‑

e medir algumas grandezas:

• assume se que o sangue é um fluido homogéneo;‑• não se considera a elasticidade dos vasos sanguíneos;• considera se a densidade do sangue ­ ‑ρ = 1.0595 x 103 Kg m 3‑

• considera se a viscosidade do sangue ­ ‑ η = 4 x 10 3‑  Pa s

A primeira pergunta a responder será: “O fluxo sanguíneo é habitualmente turbulento?” (Considere se: ‑Q = 8 x 10 5‑  m3 s 1‑ ; daorta  = 2 cm).

Sendo o número de Reynolds cerca de 1325, conclui se ‑que em situações normais o fluxo sanguíneo será laminar.

Ver nota 4

   

Complementos de Fluidos 

• Outra questão a responder será: “Qual a diferença de pressão entre as extremidades da artéria aorta?” (Admita que o comprimento da aorta é cerca de 40 cm) (Resposta: 32.6 Pa).

• Então: “Qual será a velocidade máxima do sangue nesta artéria?” (Resposta: 0.5 m s 1‑ ).

• Com base nos dados anteriores consegue perceber como surge a arteriosclerose.

• E qual será a consequência, em termos de caudal, de uma arteríola diminuir o seu raio de apenas 20 %?

Ver nota 5

Ver nota 6

Ver nota 7

   

Movimento Oscilatório 

Movimento periódico ou oscilatório Força proporcional ao deslocamento  

Movimento harmónico simples Conservação da energia mecânica 

MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES (MHS)

• Um movimento diz se do tipo harmónico simples, quando é ‑representado pela expressão:

)cos( φω += tAx

   

Movimento Oscilatório 

A – amplitude máxima do movimento.

φ ­ fase inicial do movimento.

ω ­ frequência angular

Ver nota 8

   

Movimento Oscilatório 

ω=2πT

Tf

1=

• Ao conjunto (ωt+φ) dá se o nome de ‑ fase.

• Ao tempo que demora uma partícula a executar um ciclo completo dá se o nome de ‑ período  T.

• Usando esta definição e o facto de um ciclo corresponder a 2π é possível deduzir a relação, substituindo na expressão x(t) o tempo por t+T:

• A frequência é definida como o inverso do período:

Ver nota 9

   

Movimento Oscilatório

)cos(

)(sen

2 φωω

φωω

+−==

+−==

tAdtdv

a

tAdtdx

v

 

Para determinar a velocidade e a aceleração de uma partícula em MHS:

xa

Aa

Av

2

2máx

máx

ωωω

−=

=

=

• As relações de fase entre estas grandezas são dadas pelo gráfico:

   

Ondas Mecânicas 

Formalismo válido para diversos fenómenos: o som e a luz, por exemplo, relacionados com dois importantes sentidos. ONDAS  

Descrição válida para fenómenos periódicos. 

ALGUNS CONCEITOS RELACIONADOS COM AS ONDAS: 

Amplitude

• Uma onda não é mais do que a propagação de uma perturbação no meio, que permite a condução de energia sem que haja transferência de massa. À intensidade dessa perturbação, dá se o ‑nome de amplitude.

   

Ondas Mecânicas 

x

yVamos acompanhar oMovimento desta crista

A onda desloca­se numa dada direcção. Por isso dizemos queuma onda é uma perturbação que se propaga.

t=0

t=t1

t=t2

t=t3

“Fotografias”em...

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

   

Ondas Mecânicas 

x

yt=0

t=t1

t=t2

t=t3

Uma onda que se propaga tem a equação geral

x , t =Asin kx− t

Veremos o significado destas quantidades a seguir

   

Ondas Mecânicas 

Frequência

• A frequência de uma onda, ν, é definida como o número de ciclos que esta executa por unidade de tempo. É dada em hertz (H) ou s 1‑ .

Período

• O período é definido como o tempo que a onda demora a executar um ciclo e, portanto, é o inverso da frequência.

fT

1=Comprimento de onda

• O comprimento de onda, λ, é definido como o espaço percorrido por uma onda 

•durante um período.

t

T

x

λ

“história” de um ponto

“fotografia”

   

Ondas Mecânicas 

=2

f

Frequência angular

• Uma outra definição importante no formalismo das ondas é a frequência angular. Esta grandeza tem informação redundante relativamente à frequência da onda, mas as suas unidades são angulares: rad s 1‑ .

Número de onda

• Existe a grandeza análoga à frequência angular relativamente ao comprimento de onda, à qual se dá o nome de número de onda e que tem como unidade rad s 1‑ :

k=2λ

   

Ondas Mecânicas 

Fase

• Assumindo que um ciclo completo pode ser representado por um ângulo de 360º. A fase de uma onda é a situação em que esta se encontra, dada em radianos. 

v=

T=

k

Velocidade de propagação

• Tendo em conta a definição de comprimento de onda e de período, a velocidade de propagação é dada por:

Ver nota 10

   

Ondas Mecânicas 

Representação matemática de uma onda

As ondas podem ser longitudinais ou transversais. Na primeira a perturbação do meio tem a mesma direcção da propagação da onda, na segunda, é perpendicular a esta. 

( )

+−=

+−=

=

+−=+−=

φλπφπ

λπ

φπλπφωψ

vtxsenAtT

xsenA

ftxsenAtkxsenAt

2 

22 

22

 )( )(

   

Ondas Mecânicas 

Longitudinais:Transversais:

   

Ondas Mecânicas 

• As ondas apresentam um comportamento distinto quando atravessam a interface entre dois meios. Nessa situação, em geral, parte da onda é reflectida.

• Quando as irregularidades da superfície de separação entre os dois meios são pequenas relativamente ao comprimento de onda essa reflexão é especular, caso contrário é difusa (raio de luz sobre um espelho no 1º caso, ou sobre um papel no 2º).

• Sofrem ainda refracção: