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Complex Geometry１ Speaker(s): Hans-Joachim Hein (Imperial College, London) video のページ：
https://www.msri.org/summer_schools/712/schedules/18495 Agenda： １．正則関数 (Holomorphic Function)とは ２．ワイエルストラスの予備定理 ３．ハルトークスの定理
記号： 複素数全体、 1i 、 0rB z 中心 0z 半径 r の多重円板。
１．正則関数 (Holomorphic Function)とは 一変数の場合
U を における開集合、f を定義域U 上で連続な複素関数とする。このとき、
f が 0z で正則 holomorphic であるための必要十分条件は
（１）複素関数の意味で微分可能 （２）コーシーリーマンの関係式が成り立つ （３）べき級数に展開される（すなわち解析的である） などがしられている。 （１）（２）（３）はそれぞれ互いに必要十分である。
多変数関数 2n の場合
1, , nnz z z は j j jz x iy （ ,j jx y ）に対して、 2
1 1, , , , nn nx y x y を
対応させることにより、 n と 2n を同一視する。
U を n における開集合、 1, , nz z z U の連続な関数
1, , nf z f z z :U
が次の同値な条件のいずれかを満たすとき f は正則 holomorphic であるとい
う。 （１）U の任意の点で全微分可能。
このとき線形な微分１形式 0zdf が定義され
1
n
jj j
fdf dz
z
となる。
（２） 1 1 1 1 1, , , , , , , , , ,n n n n nf z z u x y x y iv x y x y , j j jz x iy
f 実部u ,虚部すなわち Reu f , Imv f として、 ,u v の変数を ,j jx y と表
したとき、コーシーリーマンの微分方程式 j j
u v
x y
,
j j
v u
x y
, 1, ,j n
が成り立つ。
（３） 1, , nf z f z z において各変数ごとに１変数として正則である。すな
わち、各 j について、 jz 以外の変数を固定して、 jz のみの関数とみなしたと
きそれが正則である。
（４） 10 0 0, , nz z z U と多重円板
0 1 0 1, , : , 1, , , , , , 0n jr n j j n jB z z z z z z r j n r r r r
の各点 z において、べき級数 1
1
1
11 0 0
, , 0
n
n
n
k knk k n
k k
f z a z z z z
に展開される。
解説１）ここで、 1, , nf z f z z が 0 0 01 , , nz z z z で全微分可能とは、あ
る 1, , na a が存在して、 0 0 0
1
,n
j j jj
z z f z f z a z z
とおくと、
0
0
0
,lim 0z z
z z
z z
が成り立つことで、 1, , na a は一意に定まり、これらを f の偏
微分係数と呼んで 0 0
1
, ,n
f fz z
z z
と書く。このとき、線形な微分１形式 0zdf
が定義され1
n
jj j
fdf dz
z
となる（解説２参照）。
解説２）コーシーリーマンの関係式
n の各点におけるよ接空間の元 ,j jx y を用いて j j jz x iy , j j jz x iy とさだ
める。また、接空間の元jx
, jy
により、
1 1,
2 2j j j j j j
i iz x y z x y
と定義する。
1C 複素関数 f の微分１形式は
1 1
n n
j jj jj j
f fdf dx dy
x y
で定義されるが、
1 1
n n
j jj jj j
f fdf dz dz
z z
と書き直すことができる。ここにあらわれたj
f
z
は偏微分ではない、そもそも f
が正則でない限り偏微分は定義できない。しかし、f が正則の時に限って 0j
f
z
となりj
f
z
は f の偏微分になる。
実際、次の定理を証明することができる。
定理U を n における開集合、 f をU で与えられた複素数値 1C 関数とする。
（１）f が正則であるための必要十分条件は 0, 1, ,j
fj n
z
が成り立つことで
ある。
（２） f にjz
を作用させたものは偏導関数の値に一致する。
証明）（１） 1 1 1 1 1, , , , , , , , , ,n n n n nf z z u x y x y iv x y x y と書き直して
1
2j j j
iz x y
を使うと1
2 j j j j
u v v ui
x y x y
となり、 0
j
f
z
は
j j
u v
x y
,
j j
v u
x y
をあらわし、 ,u v を jz 以外の変数を固定して一つの変
数 jz の関数とみたとき f は各変数ごとに正則となる。上の video 引用（３）
より f が正則となる。必要条件も同様にしめすことができる。
（２）偏導関数の定義より
1 1 1 1
0
, , , , , , , , , , , , , ,lim
j j n n j j n n
hj
f x y x h y x y f x y x h y x yf f
z h x
であり
1 1 1 1
0
, , , , , , , , , , , , , , 1lim
j j n n j j n n
kj
f x y x y k x y f x y x y x yf f
z ik i y
であるから、
1 1
2 2j j j j j j j j
f f f f fi i i f f
z x y x y x y z
となる。▆
このことから 0, 1, ,j
fj n
z
をコーシーリーマンの微分方程式と呼んでもよ
いことがわかる。
以上まとめると次のように簡単に書ける。
1
n
jj j
ff dz
z
, 1
n
jj j
ff dz
z
と定義すると df f f となり、
f が正則 0f
となる。
複素微分形式は p q k として、 jdz から作る p 個の1 pj jdz dz と jdz か
らつくる q 個の1 qk kdz dz をもちいて、 ,p q 形式は
1
1 1 1
p
q p q
j jk k j j k kf dz dz dz dz ,
となる。このような 全体を ,p q であらわす。
1
1
1 11
p
q
p q
j jn
k k
l j j k kl l
fdz dz dz dz dz
z
1
1
1 11
p
q
p q
j jn
k k
m j j k km m
fdz dz dz dz dz
z
より、 , 1,: p q p q 、 , , 1: p q p q となる。
２．Weierstarass の予備定理
定義 1z の多項式 1 21 1 1 1 2 1, d d d
dg z w z a w z a w z a w , 1nw ,
の係数多項式 ja w が 0, ,0w の近傍で正則で、 0, ,0 0ja をみたすと
き、 1,g z w は 1, 0, ,0z w におけるワイエルストラス多項式とよばれる。
ワイエルストラスの予備定理とは：
1, , nz z z の関数 f z が 0, ,0z の近傍で正則で 0, ,0 0f をみ
たし、 1,0, 0 0f z （ 1z の関数として）であるとき、 1 1 1, , ,f z w g z w h z w
と書ける。ただし、 1,g z w はワイエルストラスの多項式で、 1,h z w は
1, 0, ,0z w の近傍で決してゼロをとらない正則関数である。一変数の場合
正則関数 f z のゼロ点a があるとき、 df z z a h z と書ける。ここでh
は z a の近傍で決してゼロをとらない正則関数である。予備定理は多変数正則
関数のばあいの対応と考えられる。ただし、上で f のゼロ点を原点 0 0. ,0
にしているが、ゼロ点は任意の点としても同様な結果になるが、証明を簡略に
記述するための一般性を失なわない仮定である。
g(z) is called Weierstrass polynomial
解説３：根と係数の関係
d 次方程式 1 21 2 0d d d
dX a X a X a の根を 1, , dx x とするとき、
等式 1, , 1k
k d kx x a （ 1, ,k d ） が成り立つ。ここで、 k は k 次基
本対称式である。
ここで、基本対称式とは、d 個の変数 1, , dx x のうち k 個を選んでかけあわせ、
それらを加え合わせたものである。 解説４：基本多項式とべき乗和多項式の間にはつぎの関係式がある。
1 1 01 1k k
k k kd k （1 k d ）, 0 0, 1n
ここで、 1 1 dx x , 2 22 1 dx x , , 1
k kk dx x はべき乗和多
項式である。そしてこの関係式はニュートンの公式と呼ばれている。
解説５ 1 21 1 1 1 2 1, d d d
dg z w z a w z a w z a w
がワイエルストラスの多項式になっているためには係数関数 ja w がw の正
則関数であることを示さねばならない。そのためには、根と係数の関係から、
1 21 1 1 1 2 1 1
1
, 0d
d d dd j
j
g z w z a w z a w z a w z P w
の根で作る
べき乗和多項式 1
dlj
j
P w が正則であればよい。
解説５．偏角の原理を用いるとべき乗和多項式は
1
11 1
1 1
' ,1
2 ,
dl lj
j z R
f z wP w z dz
i f z w
とあらわされる。
1
1
' ,
,
f z w
f z w はw について正則
であるから、w
と積分の交換をすればそれがゼロとなり
右辺がw について正則となり同時に左辺のべき乗和も正則となる。
解説６． 0l のときは 1
dlj
j
P w d
、つまり 1, 0f z w の根の個数はw には無
関係。そして 1 11
, 0d
jj
g z w z P w
の jP w は 1, 0f z w の根 で作る因
子であるから、
11
1
,,
,
f z wh z w
g z w とおくと 1 0z で 1, 0h z w である。
Weierstarass の予備定理は我々に解析集合の構造のすべてを教えてくれる。
3. ハルトークスの定理
2 , : ,w z w z の場合で説明する。 ,f w z が下図左の斜線部（トーラス）
で正則とすると実はドーナツの穴の部分でも正則となるように ,f w z が
拡大される。これは 1n では任意の領域を自然境界として持つ複素関数がある
のに対して、 2n では任意の領域を自然境界としては持てないという、 1n と
2n の間の本質的な違いのことであり、この現象はハルトークス現象と呼ばれ
ている。
直観的な証明は上の図で説明できる。 constantw となる縦線（４次元のなかに
あるので本当は面）を２本引く。左の線 L は円板、右の線W は annulus (ドーナツ)である。
, kk
k
f z w a w z
とローラン展開をする。コーシーの積分公式としてよく知
られているように 1
1
.1
2k kz
f z wa w dz
i z
。この式で、左の線上 L で考えて
, kk
k
f z w a w z
が正則であるから 1
1
.10
2k kz
f z wa w dz
w i w z
となる。
しかし、正則関数の一致の定理をかんがえれば、 0ka w は正方形全体で成り
立たねばならない。右の線W でもその除かれた部分でも正則になる！
補足７：正則領域 領域 nD 上の正則関数 f について、f が D を含むどんな領域にも直接接
続できないとき、D を f の自然な定義域といい、 D を f の自然境界という。
ある正則関数の自然な定義域になっているような領域のことを正則領域という。
補足８：Hartogs の接続定理
K を多重円板 0, nr のコンパクトな部分集合とし、 0, \KD r K は連
結であるとする。 1n のとき f が KD で正則な関数なら、それは必ず 0, r
に拡張できる。したがって KD は正則領域ではない。
対称的に 1n の場合には任意の領域は正則領域である。 これについて述べておく。 次の証明は Besse Comm. Math. Helveti 10 によるもので 辻正次 函数論上
巻 朝倉書店を参照した。
定理 任意に与えられた領域Dを存在領域とするような正則関数は常に存在す
る。
証明）
0z をDの点とし、0
1w
z z
なる変換によって、Dはいつでも を含む領域
とすることができる。Dは を含むと仮定する。Dの境界は有界な閉集合で
ある。Dの中の有理点の集合は可附番であるので、これを 1 2, ,z z とおく。
nz を中心としてに接する円を nC 、そのへの接点のうちの一つを n とする。
1n
n
a
となる正数 na を選び、 1
n
n n
af z
z
が求める関数である。
理由１） 1
n
n n
af z
z
はDで正則
1D をDに含まれる任意の閉領域とし、と 1D の距離を 0d とする。 1z D に
対して、 0nz d であるから1 1
1nn
n nn
aa
z d
であるから
1
n
n n
a
z
は
1D で一様収束する。したがって f z は正則。
理由２）直線 k kz に沿って kz とするとき、 f z 。
k kz z のとき k nz z （n k ）。また、 N k で、1 2
kn
n N
aa
となるような N を選んでおく。 1
k n
nk nn k
a af z
z z
とおき kz の様子
を調べる。1 1
1 1 1
2n
nn N n Nn k k
aa
z z z
であるから、
12
Nk n
nk nn k
a af z
z z
。他方、 1
11min
N
nNn n
n k n k nn Nn k
n k
aa
B
となるようなB
を選んでおくと kz で 12
Nk n
nk nn k
a af z
z z
理由３） 上のすべての点は f z の特異点（は自然境界）
逆に、の点 0z を f z の正則点とする。適当な有理点 kz をとると kz を中心
とする収束円K に 0z が含まれる。 kz を中心としてに接する円を kC 、その
への接点を k とおいたが、 k は 0 k k kz z z となるので kC はK に含まれ
ている。
k はK の内点。しかし、理由２より kz で f z となり、K が f z
の収束円としたことと矛盾する。▆
