COMPORTAMENTO DINAMICO DI ASSI E ALBERIdidattica.uniroma2.it/.../corsi/144515/Vibrazioni_torsionali.pdfle velocità critiche torsionali. • Dal punto di vista dei modi propri questa

Costruzione di Macchine 3 1

COMPORTAMENTO DINAMICO

DI ASSI E ALBERI

VIBRAZIONI TORSIONALI



• I sistemi costituiti da alberi con volani hanno, oltre alle vibrazioni flessionali, anche la possibilità di vibrare torsionalmente.

• Supponiamo pertanto di avere un sistema del tipo di quello in figura in cui l’albero ha inerzia trascurabile rispetto ai volani e questi possono essere considerati, a loro volta, rigidi.

I1 I2 I3 In-2 In-1 In Ii



• Il sistema descritto ha la particolarità, rispetto a quelli fin qui esaminati, di essere strutturalmente labile in quanto libero di ruotare attorno al proprio asse. Vedremo più avanti come questa proprietà consente di mettere a punto un metodo particolarmente efficace per determinare le velocità critiche torsionali.

• Dal punto di vista dei modi propri questa caratteristica determina il fatto che il primo modo è sempre nullo, corrispondendo ad un moto rigido di rotazione (Deformata senza nodi).


Sistema a 2 volani

• Il sistema più semplice da esaminare è quello riportato in figura. Definite f1 e f2 le rotazioni in corrispondenza dei due volani, è possibile scrivere le equazioni di equilibrio tra i momenti delle forze inerzia e i momenti delle reazioni elastiche:

l I2 I1

G,J

0)(

0)(

1222

2111

fff

fff

kI

kI

Dove k è la costante elastica

torsionale del tratto di albero

compreso tra i due volani ed è

pertanto pari a: l

GJk


Sistema a 2 volani

• Se, in analogia con quanto già visto per i

sistemi elastici in generale, si ricavano

soluzioni del tipo f1= F1 sin (w t + d) si

ricava, manipolando il sistema scritto:

• che ammette soluzioni non banali se il

determinante dei coefficienti è nullo.

0)(

0)(

2

2

21

21

2

1

FF

FF

w

w

Ikk

kIk


Sistema a 2 volani

• Esplicitando tale condizione si ottiene

l’equazione:

• che fornisce, per la velocità critica

torsionale, la soluzione espressa dalla

relazione

02

21

214

wwII

IIk

2121

21 11

IIl

GJ

II

IIkw


Sistema a 2 volani

• In realtà l’equazione scritta ammette anche la soluzione w = 0 che corrisponde ad un moto rigido di rotazione. Questa condizione è tipica di tutti i sistemi labili.

• Con le opportune modifiche ai sistemi torsionali a 2 volani si applicano tutte le conclusioni già viste in generale per i sistemi a 1 gdl

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0

2

4

6

8

10

d

d

d

I H

(w)

I

ww0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

d

Angolo

di fa

se

ww


Sistema a 2 volani

• In particolare se si

inserisce nelle

equazioni il valore

calcolato di w, si può

calcolare il valore di

FF che possiamo

chiamare autovettore

del sistema

0)(

0)(

2

2

21

21

2

1

FF

FF

w

w

Ikk

kIk

l I2 I1

G,J


Sistema a 3 volani

• Se si esamina poi il

sistema di figura, che

ha tre volani, e si

applica lo stesso

procedimento è

possibile definire

l’equazione di

secondo grado

I1 I2 I3

1 2

k

1

k

2

02

2

21

3

2

2

2

2

1

1

1

3

2

2

2

2

1

1

124

I

kk

I

k

I

k

I

k

I

k

I

k

I

k

I

k

I

kww

FF

FFF

FF

0

0

0

3

2

3222

322

2

22111

211

2

11

w

w

w

Ikk

kIkkk

kIk


Sistema a 3 volani

• Le soluzioni dell’equazione si ottengono

ponendo

• Le frequenze proprie risultano allora pari a

• Analogamente al sistema a 2 volani si

possono calcolare gli autovettori

o

oo

o

o

o

o

I

KK

I

K

I

KB

2

21

3

2

1

1

2

1 ooo

ooo

oo

IIIIII

KKC 321

321

21

CBBf 2

2,12

1


Sistema a 3 volani

• È da notare che i due autovettori presenta no due diverse distribuzioni degli angoli massimi di torsione f, caratterizzati rispettivamente, da uno e due punti in cui gli angoli sono identicamente nulli. Tali punti vengono detti a “nodi“ mentre i punti cui la deformata raggiunge un massimo sono chiamati “ ventri “. Il risultato raggiunto è generalizzabile nel senso che la prima velocità critica ammette una deformata caratterizzata da un nodo, la seconda da due e così via.

I1 I2 I3

1 2

k

1

k

2


Sistemi reali e sistemi di calcolo

• . I sistemi, per i quali è necessario calcolare la

velocità critiche torsionali, non sempre sono

immediatamente riconducibili ad elementi ad

asse rettilineo su un unico allineamento. D’altra

parte disporre di un sistema equivalente di tali

caratteristiche è indispensabile per eseguire

calcoli. Ciò comporta la necessità di stabilire i

criteri per ricavare da un certo sistema reale

comunque complesso un sistema equivalente

semplificato.



Riduzione delle lunghezze. • Si tratta di ricavare un sistema a sezione costante di

lunghezza incognita con rigidezza uguale a quello reale. La condizione è ovviamente la seguente

• Dove KR è la rigidezza torsionale del sistema reale, da cui si ricava immediatamente:

• Pertanto per calcolare la lunghezza lx si stabilisce arbitrariamente il materiale (G) e la sezione (J) del tronco equivalente. Applicando infine la relazione di equivalenza ora scritta si ottiene lx.

• Questo procedimento si applica quando si vuole trasformare un sistema comunque complesso, per esempio un albero a sezione variabile o un albero a gomiti, in un tratto rettilineo a sezione costante equivalente.

x

eqRl

GJkk

R

xk

GJl



Riduzione delle inerzie.

• Quando si hanno volani che ruotano a velocità

diverse, la conversione si ottiene imponendo

che l’energia cinetica dei due sistemi, quello

reale e quello equivalente, sia la stessa. Si

ottiene pertanto:

• Da cui si ricava immediatamente, detto

• Che il momento di inerzia equivalente è

22

2

1

2

1eqeqRR II ww

eq

Rrw

w

2rII Req




• Nel caso di due alberi connessi da ruote dentate, quindi, le inerzie sull’albero condotto possono essere riportate all’albero motore, moltiplicandole per il quadrato del rapporto di trasmissione. Cioè si assume weq = wm

• Nel caso di riduttori essendo r<1 le inerzie equivalenti, ridotte all’albero motore sono inferiori a quelle reali.




• È da notare infine che nel caso di sistemi con ingranaggi anche la rigidezza dell’albero condotto deve essere corretta per riportarlo all’albero motore mediante la relazione:

• Anche in questo caso, nei riduttori, le rigidezze equivalenti sono inferiori a quelle reali

2rkk Req


Sistemi a n volani

• Per un sistema a n volani, si può scrivere il sistema di equazioni differenziali che descrivono il moto. Ad esse, in modo del tutto analogo a quanto visto per i sistemi semplificati, si possono associare le equazione algebriche di seguito riportate

FF

FFF

FFF

FF

0

........................

0

........................

0

0

2

111

1

2

111

322

2

22111

211

2

11

nnnnnn

iiiiiiii

Ikkk

kIkkk

kIkkk

kIk

w

w

w

w


Sistemi a n volani

• Il sistema scritto ammette soluzioni non

banali se il determinante dei coefficienti è

nullo e, in tal modo, si ricava la condizione

necessaria per il calcolo degli (n - 1) valori

delle velocità critiche essendo la prima,

come già detto più volte, nulla.

• Il sistema scritto, inoltre, è adatto per una

procedura di soluzione iterativa.


Sistemi a n volani

• Se si dividono tutte le equazioni per f1, è

possibile, in generale scrivere:

.......

.......

1

1

,1

2

1,11,2

1

2

,1

1,2

1

1

2

23

2

22312

23

12

1

3

12

2

112

1

2

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

i

ii

iiiiii

ii

iii

K

IKK

K

K

K

IKK

K

K

K

IK

w

w

w


Sistemi a n volani

Alle relazioni scritte è possibile poi aggiungere l’equazione che si ottiene sommando tutte le equazioni del sistema algebrico fondamentale; si ricava quindi:

La funzione M può essere rappresentata in funzione di w ed ha l’andamento riportato in figura, in cui si hanno gli zeri in corrispondenza alle velocità critiche.

0......11

2 FFF nnii IIIM w

w 0

M

w

w

w3


Sistemi a n volani

• Risulta quindi possibile definire una procedura risolutiva di tipo iterativo da eseguire:

• a) Si assume F1 = 1

• b) Si assume un valore di primo tentativo per w

• c) Si calcolano i valori Fi

• d) Si impone la condizione che consente il calcolo di M; esso, in generale sarà diverso da zero, si corregge allora il valore di w finché non si ottiene un cambiamento di segno per M: in tal caso il valore della velocità critica cercata è compreso tra wk e wk-1 (essendo k l’indice del tentativo) e può essere ottenuto con una opportuna formula d’interpolazione.

• Assumendo successivamente diversi valori iniziali per w si possono determinare tutte le velocità critiche del sistema. La loro identificazione completa va fatta valutando le deformate attraverso il calcolo dei rapporti Fi/F1individuando così il numero e la posizione dei nodi.


Sistemi a 4 volani

• Per comprendere

meglio il

procedimento

esplicitiamo le

relazioni per un

sistema a 4 volani

• Le equazioni sono

quindi

I1 I2 I3 I4

K1

2

K2

3

K3

4

0

0

0

0

4

2

434334

4343

2

33423223

3232

2

22312112

2121

2

112

FF

FFF

FFF

FF

w

w

w

w

IKK

KIKKK

KIKKK

KIK


Sistemi a 4 volani

• Il determinante dei coefficienti risulta allora

• Il sistema si può risolvere attraverso l ‘uso di

una procedura iterativa che inizia con il

dividere tutte le equazioni per F1 e con il

sommare tutte le equazioni del sistema.

0

00

0

0

00

2

43434

34

2

3342323

23

2

2231212

12

2

112

w

w

w

w

IKK

KIKKK

KIKKK

KIK


Sistemi a 4 volani

• Si ottengono le relazioni

• In cui si è assunto F1 = 1

• L’ultima equazione si ottiene

sommando tutte le equazioni

del sistema.

0

1

1

1

44332211

3

2

33423223

34

4

2

2

22312112

23

3

12

2

1122

1

FFFF

FFF

FFF

F

F

IIII

IKKKK

IKKKK

K

IK

w

w

w


Sistemi a 4 volani

• Ponendo allora

F1 = 1 si

calcolano i valori

di F2, F3, F4 e si

possono allora

trovare i valori di

w che annullano

l’ultima

equazione.

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

omega

Test

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