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Comportamento ondulatório da matéria
Louis de Broglie investigou as propriedades ondulatórias da matéria na década de 30. Ele supôs que o e-, em seu movimento ao redor do núcleo, tinha associado a ele um λ. Ele igualou as duas expressões conhecidas de energia:
Erel = Eñ-rel
mc2=hν
mc2=hc/ λ
p
h
mv
h
“Toda a matéria apresenta características tanto
ondulatórias como corpusculares comportando-
se de um ou outro modo dependendo do
experimento específico.”
Comportamento ondulatório da matéria
mv
h
Como a hipótese de De Broglie é aplicável a toda
matéria, qualquer objeto de massa m e velocidade
v originaria uma onda de matéria característica.
No entanto, o comprimento de onda de um objeto de
tamanho comum em movimento, como uma bola de
golfe, é tão minúsculo que estará fora da faixa de
qualquer observação possível. Isso não é o caso de
um e- porque sua massa é muito pequena.
Comportamento ondulatório da matéria
Qual o comprimento de onda de um e- com
velocidade de 5,97 x 106 m/s?
nmmx
kg
g
J
skgm
smxxgx
sJx
mv
h
122,01022,1
1
10
1
/1
)/1097,5()1011,9(
).1063,6(
10
322
628
34
Comparando esses valores com os comprimentos de onda de
radiações eletromagnéticas (espectro eletromagnético),
observa-se que o comprimento de onda desse e- apresenta
aproximadamente um comprimento de onda da mesma
ordem das ondas de raios X.
Posteriormente, a teoria de De Broglie foi comprovada por
experimentos de difração de e- e de raios X em cristais.
Comportamento ondulatório da matéria
O Princípio da Incerteza de Heisenberg
A onda produzida pelo movimento ondulatório do e- estende-se
no espaço e sua localização não é definida de maneira precisa.
Assim, é impossível determinar com precisão onde um e- está
localizado em um tempo determinado. O físico Werner
Heisenberg concluiu que a natureza dual da material coloca
uma limitação sobre como podemos determinar
precisamente, e de maneira simultânea, a posição e o
momentum de qualquer objeto, das dimensões de um átomo.
Heisenberg relacionou matematicamente a incerteza da posição
(Δx) e o momento (mΔv):
4)).((
hvmx
Comportamento ondulatório da matéria
O Princípio da Incerteza de Heisenberg
Um cálculo rápido e relativamente simples ilustra as implicações
do Princípio da Incerteza, tomando-se um e- movendo-se em
um átomo de hidrogênio.
Vamos supor que a velocidade do e- seja de 5 x 106 m/s e que
podemos conhecer o valor exato dessa velocidade com uma
incerteza de 1% e que essa é a única fonte de incerteza no
momentum. Utilizando-se a equação de Heisenberg,
simplificadamente, na forma de uma igualdade, temos:
mxsmxkgx
sJx
vm
hx 9
431
34
101)/105)(1011,9(4
).1063,6(
..4
Uma vez que o diâmetro de um átomo de hidrogênio é de 2x10-10
m, a incerteza é muito maior do que o tamanho do átomo.
Comportamento ondulatório da matéria O modelo atômico da mecânica ondulatória (quântica)
Segundo o Princípio da Incerteza, tudo que podemos conhecer
a respeito da posição do e- é muito incerto. A mecânica
quântica combina os aspectos quantizados do modelo de Bohr
com as ideias do movimento ondulatório dos e-.
A M.Q. é a teoria física que avalia sistemas físicos cujas
dimensões são próximas ou abaixo da escala atômica, tais
como moléculas, átomos, elétrons, prótons e de outras
partículas subatômicas, muito embora também possa
descrever fenômenos macroscópicos em diversos casos.
Assim, a M.Q. descreve equações de onda para descrever o
comportamento do e-, independente do tempo, para
partículas subatômicas movendo-se num espaço em três
dimensões (x, y, z).
Comportamento ondulatório da matéria
Princípios de Mecânica Quântica
Busca-se um modelo que descreve precisamente a energia do e-,
definindo-se sua localização em termos de probabilidades. Em
1926, Erwin Schroedinger propôs um modelo que incorporava o
caráter ondulatório das partículas sub-atômicas.
Em suas equações ondulatórias, Schroedinger descreve funções
matemáticas cujas soluções são denominadas funções de
onda. Essas funções são geralmente representadas pelo
símbolo ψ (psi). O valor de ψ está relacionado com a
amplitude da onda. Porém, o valor de ψ2 representa a
probabilidade de encontrar o e- em uma dada região
espacial. Assim, ψ2 é chamado de densidade de
probabilidade.
Comportamento ondulatório da matéria
0)(8
2
2
2
2
2
2
2
2
VE
h
m
zyx
ψ (x,y,z) = função de onda (amplitude da onda)
x, y, z = coordenadas espaciais (cartesianas)
m= massa da partícula
E= energia total da partícula
V= energia potencial da partícula
h= constante de Planck
,2
2
x
,
2
2
y
2
2
z
Segundas derivadas parciais
A equação ondulatória quantizada de Schroedinger:
O modelo atômico da mecânica ondulatória (quântica)
A equação ondulatória quantizada de Schroedinger:
Posição de uma partícula P em um espaço cartesiano x,y,z.
Representação simplificada Representação em projeção
dv = unidade infinitesimal de volume
O modelo atômico da mecânica ondulatória (quântica)
A equação ondulatória quantizada de Schroedinger:
As funções de onda que descrevem possíveis posições de um e- em um
átomo apresentam algumas limitações:
1- A função de onda deve ser unívoca (isto é, para cada ponto do
espaço a função só pode ter um valor);
2- A função de onda deve ser contínua (isto é, não pode haver pontos
do espaço para os quais a função não tenha um valor específico);
3- A função de onda deve ser nula no infinito;
4- A função de onda deve ser normada (ou normatizada), o que quer
dizer que a probabilidade de encontrar o e- em todo o espaço dever ser
unitária (100% de chance). Em outras palavras, a seguinte condição
deve ser obedecida:
v
dvzyx 1),,(2
Comportamento ondulatório da matéria
Curvas de densidade de probabilidade
Ψ2 representa a probabilidade
de se encontrar um e- em uma
dada região espacial.
Comportamento ondulatório da matéria
Princípios de Mecânica Quântica
A solução da equação de Schroedinger para o átomo de
hidrogênio produz um conjunto de funções de onda e energias
correspondentes. Essas funções de onda são chamadas de
Orbitais.
Observe que um orbital (modelo da mecânica quântica) não é
o mesmo que órbita (modelo de Bohr), pois o movimento de
um e- em um átomo não pode ser medido ou localizado com
precisão (Princípio da Incerteza).
Cada orbital descreve uma distribuição específica de
densidade eletrônica no espaço, tendo energia e forma
características.
Comportamento ondulatório da matéria
Representação dos orbitais
O orbital s tem simetria esférica ao redor do núcleo.
A função densidade eletrônica apresenta n-1 nós, nos quais a
probabilidade tende a zero. Nestes casos, a probabilidade de
encontrar o elétron se concentra a certa distância do núcleo.
Comportamento ondulatório da matéria
A forma geométrica dos orbitais p é a de duas esferas
achatadas (lóbos ou lóbulos) até o ponto de contato (o
núcleo atómico) e orientadas segundo os eixos das
coordenadas. Os orbitais p apresentam n-2 nós radiais na
densidade eletrônica. À medida que aumenta o valor do
número quântico principal, a probabilidade de encontrar o
elétron afasta-se do núcleo atômico.
Representação dos orbitais
Comportamento ondulatório da matéria
Os orbitais d tem uma forma mais diversificada: quatro deles têm forma de 4
lóbulos de sinais alternados (dois planos nodais, em diferentes orientações
espaciais ), e o último é um duplo lóbulo rodeado por um anel (um duplo
cone nodal). Seguindo a mesma tendência, apresentam n-3 nós radiais.
O orbital dz2 é uma
“combinação” dos
orbitais hipotéticos
dx2
-z2 + dy
2-z
2.
Toróide – um sólido de
Revolução (rotação).
Representação dos orbitais
Comportamento ondulatório da matéria
Números quânticos e orbitais
O modelo de Bohr introduziu um único número quântico, n. O
modelo da M.Q. usa três números quânticos, n, l e m, para
descrever um orbital.
1. O número quântico principal, n, pode ter valores positivos e
inteiros de 1,2,3... À medida que n aumenta, o orbital torna-se
maior, e o e- passa mais tempo distante do núcleo. Um aumento
de n significa que o e- tem energia alta e está menos
fortemente preso ao núcleo.
2. O segundo número quântico, o número azimutal (l), pode ter
valores inteiros de 0 a n-1 para cada valor de n. Esse número
quântico define o formato do orbital. O valor de l é
normalmente assinalado pelas letras s, p, d e f, correspondendo
aos valores de l de 0, 1, 2 e 3, respectivamente.
Comportamento ondulatório da matéria
Números quânticos e orbitais
3. Número quântico magnético, que pode ter valores entre –l e
+l, incluindo o zero. Esse número quântico descreve a
orientação do orbital no espaço.
O conjunto de orbitais com o mesmo valor de n é chamado
nível eletrônico. Assim, por exemplo, todos os orbitais que
têm n=3 são chamados orbitais do terceiro nível.
A combinação dos números quânticos nos dá a relação que
existe entre os valores de n, l e m, até n=4. Em outras
palavras, ela fornece o tipo e quantidade de orbitais que
podem existir em cada nível eletrônico. Há ainda o número
quântico de spin.
Princípio de exclusão de Pauli
“Em um sistema fechado, dois elétrons não
podem ocupar o mesmo estado quântico”
Wolfgang Pauli (1900-1958)
“Dois e- em um átomo não podem ter o conjunto
de números quânticos (n, l, m e ms) iguais”.
Assim, um orbital pode receber o máximo de dois
e-, e eles devem ter spins opostos.”