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Comportamento Sísmico de Pontes
Com pilares de alturas diferentes
Análise Longitudinal de uma ponte existente
João Maria Coimbra de Mello Vaz de Sampayo
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri
Presidente: Professor Doutor José Manuel Matos Noronha da Câmara
Orientador: Professor Doutor Carlos Alberto Ferreira de Sousa Oliveira
Vogal: Professor Doutor José Joaquim Costa Branco de Oliveira Pedro
Novembro 2013
iii
Resumo
Sobre uma ponte existente de betão armado e pré-esforçado com 440 m de comprimento, seis
tramos e t rês pilares monoliticamente ligados ao tabuleiro de comprimentos muito diversos efectuam-
se diversas análises lineares e não lineares para compreender melhor o papel desempenhado pelos
vários pilares na resposta a uma solicitação sísmica longitudinal.
Analisam-se casos de diversas combinações de taxas de armadura de flexão dos pilares com o
objectivo de optimizar a relação custo-desempenho de uma estrutura com estas características
sujeita a uma solicitação sísmica, comparando com o dimensionamento feito através do método
elástico proposto pelo Eurocódigo.
Comparam-se os resultados obtidos através da análise estática não linear com a análise dinâmica
não linear e verifica-se a validade da aplicação desse método na análise de estruturas com períodos
altos como é o caso da estrutura em análise.
Palavras-chaves: Análise estática e dinâmica não linear, pontes de BAP, método N2.
v
Abstract
In this study is performed various linear and non-linear analyses on an existing RPC bridge 400 m
long with 6 spans and 3 piers monolithically connected to the deck but with very different lengths, in
order to better understand the role of each pier in the overall response of the bridge under seismic
loading.
Several combinations of amount of steel reinforcement for flexural efforts in piers were studied with
the objective of optimizing the cost-performance in the light of seismic loading having in mind the
elastic method proposed in Eurocode.
Comparation is made with the results obtained of static non-linear N2 method with the non-linear
dynamic analysis and confirm the validity of the former method for the present case where the period
of vibration is quite high as the case of this long structure.
Key-words: Static and Dynamic non-linear analysis; RPC bridges; N2 method.
vii
Aos pais Manuel e Filipa
ix
Agradecimentos
A realização desta dissertação não teria sido possível sem a grande ajuda de um conjunto de
pessoas que contribuíram directa ou indirectamente para terminar a mesma.
Assim, quero agradecer à professora Rita Bento por me ter esclarecido, com a maior das clarezas,
todas as dúvidas que lhe coloquei e, principalmente, pela permissão de trabalhar no gabinete dos
bolseiros. Foi uma ajuda indispensável para a realização deste trabalho.
Quero agradecer, também, ao professor Mário Lopes pelos momentos de explicações aleatórios de
muitos conceitos relacionados com estruturas, sísmica e não só. Foram claramente sessões que me
puseram a pensar em tudo menos no presente trabalho mas que, depois de bem assimilados, me
permitiam avançar com bastante mais conhecimento.
Deixo também uma palavra de agradecimento ao professor Júlio Appleton pelo exemplo que me deu,
enquanto engenheiro e professor. A sua grande simpatia e vontade de ajudar, além da clareza das
suas explicações, foram um grande contributo para a realização deste trabalho.
Quero agradecer aos meus colegas de gabinete que me acompanharam ao longo de todo o trabalho
e que me proporcionaram vários momentos de diversão e aprendizagem. Gostava de referir em
especial o André Belejo pela infinita paciência e ajuda que me deu em todas as questões que me
surgiam, fossem elas relevantes ou não.
Não posso deixar de referir os meus amigos que conheci ao longo do curso por todos os óptimos
episódios que passámos ao longo de toda a estadia no Técnico. Sempre me deram uma grande
ajuda para superar os desafios do curso e não só. Agradeço a ajuda assídua que me deram e a
confiança que depositaram em mim para acabar este trabalho.
Agradeço à avó Luísa por me ter deixado morar na República, aos primos da República por todos os
momentos de diversão que possibilitaram e às irmãs por toda a ajuda que me deram e a sensatez
que me transmitiram.
Por fim, quero agradecer ao professor Carlos Sousa Oliveira por me ter dado a honra de orientar este
trabalho. Proporcionou-me momentos de diversão e explicações teóricas no pouco tempo que tinha
para me ajudar. Embora fossem sessões muito aleatórias e curtas, foram o motor que permitiu levar
este trabalho até ao fim.
xi
Índice
1 Introdução ..............................................................................................................................1
1.1 Estrutura Original ............................................................................................................1
1.2 Procedimentos Efectuados ..............................................................................................2
2 Estado de Arte ........................................................................................................................5
2.1 Materiais .........................................................................................................................5
2.1.1 Aço .............................................................................................................................5
2.1.2 Betão ..........................................................................................................................7
2.1.3 Comportamento de secções de betão armado sob flexão composta .............................10
2.2 Evolução da análise sísmica de estruturas ......................................................................11
2.3 Dinâmica de estruturas ..................................................................................................12
2.4 Caracterização da acção sísmica ...................................................................................16
2.5 Amortecimento da estrutura ...........................................................................................22
2.6 Dimensionamento por capacidade real ...........................................................................24
2.7 Coeficiente de comportamento da estrutura ....................................................................25
2.8 Método de análise N2....................................................................................................27
3 Análise Dinâmica Linear ........................................................................................................31
3.1 Modelação ....................................................................................................................31
3.1.1 Caracterização dos materiais .....................................................................................32
3.1.2 Discretização.............................................................................................................32
3.1.3 Pilares ......................................................................................................................32
3.1.4 Tabuleiro...................................................................................................................35
3.1.5 Uniformização dos deslocamentos horizontais .............................................................38
xii
3.2 Análise Modal ...............................................................................................................40
3.3 Confirmação dos resultados através de medições in-situ .................................................42
3.4 Análise sísmica do modelo ............................................................................................43
3.5 Determinação do espectro de resposta...........................................................................45
3.6 Dimensionamento do pilar 4...........................................................................................48
3.7 Dimensionamento dos Pilares 2 e 3 ...............................................................................52
4 Análise Estática não Linear....................................................................................................55
4.1 Caracterização dos Materiais .........................................................................................55
4.2 Secções equivalentes ....................................................................................................57
4.3 Modelação dos pilares ...................................................................................................60
4.4 Modelação do tabuleiro .................................................................................................61
4.5 Determinação dos modelos de estudo ............................................................................63
4.6 Determinação das Curvas de Capacidade ......................................................................66
4.7 Cálculo dos Deslocamentos Objectivos ..........................................................................68
4.8 Análise comparativa dos modelos de estudo...................................................................74
4.9 Estado da estrutura no Deslocamento Objectivo .............................................................80
5 Análise Dinâmica não Linear..................................................................................................85
5.1 Determinação dos acelerogramas ..................................................................................85
5.2 Comportamento dos materiais sob carregamento Cíclico .................................................87
5.3 Modelação dos acelerogramas no SeismoStruct .............................................................88
5.4 Modo local dos pilares secundários ................................................................................89
5.5 Optimização do Modelo .................................................................................................92
5.6 Análise comparativa dos modelos ..................................................................................93
5.7 Análise de histerese ......................................................................................................97
6 Conclusões e trabalhos futuros ............................................................................................ 101
7 Bibliografia.......................................................................................................................... 105
xiii
Índice de tabelas Tabela 1.1 - Estrutura do Trabalho realizado ...................................................................................3
Tabela 3.1 - Propriedades dos materiais utilizados .........................................................................32
Tabela 3.2 - Peso próprio dos pilares ............................................................................................35
Tabela 3.3- Pesos próprios do modelo simplificado ........................................................................39
Tabela 3.4 - Propriedades modais .................................................................................................40
Tabela 3.5 - Comparação entre frequências medidas in-situ e obtidas através do Sap2000 [Hz] .......42
Tabela 3.6 – Parâmetros do Espectros de cálculo de tipo 1 ............................................................43
Tabela 3.7 - Deslocamentos e esforços de corte basal ...................................................................45
Tabela 3.8 - Esforços actuantes nas secções extremas do pilar 4 ...................................................46
Tabela 3.9 – Momentos flectores de Cálculo para a secção 4-I .......................................................47
Tabela 3.10 – Taxa de armadura longitudinal na secção 4-I............................................................48
Tabela 3.11 - Esforços nos pilares 2 e 3 para a combinação sísmica de Lisboa ...............................52
Tabela 3.12 – Momentos de cálculo e de referência das secções críticas dos pilares 2 e 3 ...............53
Tabela 3.13 - Comparação entre os valores de momento de cálculo e resistente .............................53
Tabela 3.14 - Comprimentos das Zonas Críticas ............................................................................54
Tabela 4.1 - Definição da geometria das secções equivalentes .......................................................59
Tabela 4.2 - Módulos de flexão plástica .........................................................................................60
Tabela 4.3 - Massas equivalentes do tabuleiro...............................................................................62
Tabela 4.4 - Período fundamental do modelo do SeismoStruct .......................................................63
Tabela 4.5 - Distribuição das armaduras longitudinais nas secções inferiores dos pilares .................65
Tabela 4.6 - Parcelas estáticas e activas dos pilares ......................................................................69
Tabela 4.7 – Deslocamentos elásticos obtidos através do método N2 .............................................70
Tabela 4.8 - factor plástico............................................................................................................73
Tabela 4.9 – Coeficientes de comportamento e ductilidade obtidos através do método N2 ...............74
Tabela 4.10 - Estado das secções críticas dos pilares secundários para o Deslocamento Objectivo ..81
Tabela 4.11 - Estado das secções críticas do pilar 4 para o Deslocamento Objectivo .......................81
Tabela 4.12 - Comprimentos de rótulas plásticas ...........................................................................83
Tabela 5.1 - Massas a aplicar nos pilares no contexto da análise dinâmica ......................................92
Tabela 5.2 - Deslocamentos máximos no tabuleiro δmax [m] ............................................................95
Tabela 5.3 – Força de corte basal no estado de amplitude máxima, Vmax [kN] ..................................96
Tabela 5.4 - Período secante, Ts [s] ..............................................................................................96
Tabela 5.5 - Período aparente, Ta [s] .............................................................................................97
Tabela 5.6 - Número de ciclos efectivos, n.....................................................................................99
Tabela 5.7 - Energia dissipada num ciclo por processos histeréticos, ED,i [kN.m]..............................99
Tabela 5.8 – Coeficiente de amortecimento viscoso equivalente ................................................... 100
Tabela 6.1 - Comparação entre análises ..................................................................................... 101
xiv
Índice de figuras
Figura 1.1 - Perfil longitudinal da ponte............................................................................................2
Figura 2.1 – Relação constitutiva do aço de armaduras ordinárias ....................................................6
Figura 2.2 - Relação constitutiva cíclica do aço ................................................................................7
Figura 2.3 - Relações constitutivas de betão confinado e não confinado ............................................8
Figura 2.4 – Confinamento de secção rectangular de betão armado..................................................9
Figura 2.5 – Relação constitutiva cíclica do betão confinado .............................................................9
Figura 2.6 - Sistema de um grau de liberdade sujeito a uma acção do solo ......................................14
Figura 2.7 - Factor de ampliação dinâmico ...................................................................................17
Figura 2.8 – Espectro de resposta de acelerações .........................................................................17
Figura 2.9- Espectros de resposta de acelerações previsto pelo EC8-1 ...........................................18
Figura 2.10- Espectros de resposta de deslocamentos elásticos previsto pelo EC8-1.......................20
Figura 2.11 - Espectro ADRS........................................................................................................21
Figura 2.12 - Movimento oscilatório amortecido .............................................................................22
Figura 2.13 - Dissipação de energia por processos histeréticos ......................................................23
Figura 2.14 - Diagrama de momentos de cálculo definido pelo método de capacidade real...............24
Figura 2.15 - Diagrama força-deslocamento de estruturas com diferentes resistências .....................26
Figura 2.16 - Determinação da curva bilinear do sistema equivalente ..............................................28
Figura 2.17 - Determinação dos D.O. do sistema equivalente .........................................................28
Figura 3.1 - Discretização dos elementos dos pilares centrais .........................................................33
Figura 3.2 – Geometria das secções de Zona Constante e Zona Variável Superior ..........................34
Figura 3.3 – Geometria das secções das Zonas Variáveis inferiores ...............................................34
Figura 3.4 – Geometria das secções de transição de TV a TE ........................................................36
Figura 3.5 – Geometria das secções de transição de TV a TA ........................................................36
Figura 3.6 - Perfil Longitudinal do Tabuleiro ...................................................................................37
Figura 3.7 - Discretização das secções e elementos do Tabuleiro ...................................................37
Figura 3.8 - Perfil Longitudinal do Tabuleiro do Modelo Optimizado .................................................38
Figura 3.9 - Discretização das secções do Tabuleiro do Modelo Optimizado....................................39
Figura 3.10 - Configuração de deformada do primeiro modo de vibração .........................................40
Figura 3.11 – Configuração de deformada do segundo modo de vibração .......................................41
Figura 3.12 - Configuração de deformada do quinto modo de vibração ............................................41
Figura 3.13 - Configuração de deformada do sexto modo de vibração .............................................42
Figura 3.14 - Espectros de Respostas de Dimensionamento ..........................................................44
Figura 3.15 - Desenvolvimento qualitativo do esforço transverso nos pilares ...................................45
Figura 3.16 - Modelo de Binário Equivalente para o pilar 4 .............................................................47
Figura 3.17 - Diagrama de momentos de cálculo pelo método de capacidade real ...........................50
Figura 4.1 - Relação constitutiva cíclica do Aço A400 .....................................................................56
Figura 4.2 – Relação constitutiva do betão C40 confinado ..............................................................56
xv
Figura 4.3 – Secções-tipo do SeismoStruct (à esquerda) e secção dos pilares (à direita) .................57
Figura 4.4 - Geometria tipo da secção equivalente .........................................................................58
Figura 4.5 - Determinação do módulo de flexão plástico .................................................................59
Figura 4.6 - elementos dos pilares no SeismoStruct .......................................................................61
Figura 4.7 – Distribuição do peso próprio do tabuleiro [kN] .............................................................62
Figura 4.8 - Curvas de Capacidade global dos quatro modelos de estudo .......................................67
Figura 4.9 - Influência da rigidez relativa do pilar na sua curvatura ..................................................68
Figura 4.10 – Comprimento estático dos pilares e Pontos de Inflexão .............................................69
Figura 4.11 - Espectro elástico força-deslocamento .......................................................................70
Figura 4.12 - Bilinearização das curvas de capacidade...................................................................71
Figura 4.13 – Deslocamentos objectivos dados pelo método N2 .....................................................72
Figura 4.14 – Curvas de capacidade dos modelos de estudo..........................................................75
Figura 4.15 - Factor de participação dos pilares estruturais ............................................................76
Figura 4.16 - Diagrama momento-curvatura nas secções críticas do pilar 4 - A.A.b. .........................77
Figura 4.17 - Diagrama momento-curvatura na secção 4-I ..............................................................77
Figura 4.18 – Tensões ao nível da secção 4-I na cedência .............................................................78
Figura 4.19 - Tensões ao nível da secção 4-I na rotura ..................................................................79
Figura 4.20 - Tensões ao nível da secção 4-S para o D.O. .............................................................82
Figura 4.21 - Tensões ao nível da secção 2-S para o D.O. .............................................................82
Figura 5.1 - Espectros de acelerações elástico e do acelerograma 1 ...............................................87
Figura 5.2 - Espectros do tipo ADRS elástico e do acelerograma 1 .................................................87
Figura 5.3 - Comportamento do betão C40 (esquerda) e aço A400 (direita) sob cargas cíclicas ........88
Figura 5.4 - Comportamento Dinâmico da estrutura .......................................................................88
Figura 5.5 - Deslocamento de nós característicos dos modelos b.b.b.1 (cima) e A.A.A.1 (baixo) .......89
Figura 5.6 - Esforços de corte basal no modelo b.b.b.1 ..................................................................90
Figura 5.7 - Curva histerética do deslocamento do tabuleiro para o modelo b.b.b.1 ..........................90
Figura 5.8 - Relação Momento-Curvatura para a secção 3-S ..........................................................91
Figura 5.9 - Deslocamento do tabuleiro dos modelos antigos ..........................................................93
Figura 5.10 – Curva de histerese do modelo b.b.b.1 antigo (tracejado) e .........................................94
Figura 5.11 – Deslocamento de nós característicos do modelo optimizado b.b.b.1 ...........................94
Figura 5.12 - Curvas histerética referente ao acelerograma 3 .........................................................95
Figura 5.13 - Comportamento dos mateias sob cargas cíclicas .......................................................98
Figura 5.14 - Envolvente das curvas de histerese provocadas pelo acelerograma 3 .........................98
Figura 6.1 - Curvas de capacidade referente às diferentes análises .............................................. 102
xvi
Simbologia
Simbologia Latina
Área de armadura longitudinal
Área de armadura transversal
Área transversal da secção
Aceleração de cálculo do terreno
Aceleração máxima de referência
Factor de confinamento
Matriz de amortecimento viscoso
Coeficiente de amortecimento
Diâmetro das armaduras longitudinais
Módulo de Elasticidade Elástica do betão
Módulo de elasticidade do aço
Energia dissipada pela estrutura original
Energia dissipada pelo sistema equivalente
Resistência característica do betão não confinado
Resistência característica do betão à tracção
Resistência de cálculo do betão não confinado
Resistência característica do betão confinado
Resistência característica do aço das armaduras
Resistência de cálculo do aço das armaduras
Frequência própria
Factor plástico
Força ao nível do grau de liberdade na direcção
Compressão gerada na secção sob flexão composta
Tracção gerada na secção sob flexão composta
Peso próprio
Altura da secção
Momento de inércia à flexão elástico
Momento de inércia à flexão efectivo
Matriz de rigidez
Rigidez ao deslocamento de um grau de liberdade
Rigidez do sistema equivalente
Rigidez secante para o estado último
xvii
Factor de endurecimento
Factor de participação do grau de liberdade e direcção
Comprimento de rótula Plástica
Comprimento de zona crítica
Momento flector
Momento flector elástico
Momento flector de dimensionamento
Momento flector resistente
Momento de sobre-resistência
Momento de cálculo pelo método de capacidade real
Matriz de massa
Massa de um grau de liberdade
Massa do sistema equivalente
Esforço normal de dimensionamento
Frequência própria angular
Coeficiente de comportamento
Espectro de acelerações elástico
Espectro de acelerações de cálculo
Espectro de deslocamentos
Coeficiente de solo
Espaçamento entre estribos
Período próprio
Período elástico do sistema equivalente
Esforço transverso de cálculo pelo método de capacidade real
Esforço de corte basal
Esforço de corte basal de cedência do sistema equivalente
Esforço de corte basal último
Módulo de flexão plástica
Braço de binário
Simbologia Grega
Coeficiente sísmico
Factor de ampliação dinâmica
Coeficiente de importância
Factor de sobre-resistência
Coeficiente parcial de segurança do betão
xviii
Coeficiente parcial de segurança do aço
Incremento de momento flector devido a efeitos de segunda ordem
Deslocamento, velocidade e aceleração de grau de liberdade relativos ao solo
Deslocamento, velocidade e aceleração absolutas de grau de liberdade
Deslocamento, velocidade e aceleração absolutas do solo
Deslocamento elástico do tabuleiro
Deslocamento de dimensionamento do tabuleiro
Deslocamento do tabuleiro
Deslocamento máximo do sistema equivalente
Deslocamento objectivo do tabuleiro pelo método N2
Deslocamento último do tabuleiro
Extensão do betão a tensão máxima
Extensão última do betão não confinado
Extensão de cálculo de cedência do betão não confinado
Extensão última do betão confinado
Extensão característica de cedência do aço
Extensão de cálculo de cedência do aço
Extensão última do aço
Esforço normal reduzido
Inclinação das bielas comprimidas
Coeficiente de ductilidade global
Coeficiente de ductilidade em curvatura
Coeficiente de amortecimento viscoso
Coeficiente de amortecimento equivalente devido a processos histeréticos
Taxa de armadura transversal
Taxa de armadura longitudinal
Vector das deformadas modais normalizado
Curvatura da secção
Curvatura última da secção
Quantidade de armadura de confinamento
1
1 Introdução
Nesta dissertação realizam-se várias análises do comportamento sísmico de uma ponte
existente de pilares de alturas diferentes localizada numa zona de sismicidade reduzida de
forma a verificar a possibilidade de ser implementada em zonas de maior perigosidade sísmica
estudando especificamente a plasticidade e capacidade de deformação dos elementos de
betão armado. Analisa-se a influência da distribuição da armadura dos diferentes pilares no
comportamento global da estrutura de forma a optimizar a metodologia de projecto das
mesmas.
1.1 Estrutura Original
A ponte analisada é em pórtico com um tabuleiro em caixão construído por avanços sucessivos
entre os pilares centrais e através de cimbre nos restantes tramos. O tabuleiro tem um
comprimento total de 440 metros com uma inclinação de 4,42% e está dividido em seis tramos.
Os dois tramos centrais apresentam o maior vão com 100 metros cada um, os dois tramos
adjacentes têm 75 metros de comprimento e os tramos de encontro com o terreno apresentam
45 metros. As secções do tabuleiro são de altura variável em betão (C50/60) armado e pré-
esforçado.
Quanto à infraestrutura, tanto os pilares, como as fundações e os encontros são construídos
em betão armado C40/50. Os três pilares centrais (Pilares 2, 3 e 4) estão ligados
monolíticamente ao tabuleiro e os restantes dois pilares (Pilares 1 e 5) apoiam o tabuleiro com
o auxílio de aparelhos de apoio do tipo “Pot-Bearing” com restrição apenas dos deslocamentos
transversais. A secção genérica que caracteriza os pilares é oca com quatro núcleos de inércia
dispostos nos quatro cantos opostos e ligados entre si por duas almas (no plano de flexão) e
dois banzos (no plano perpendicular). Todos os pilares apresentam zonas em que as
dimensões das secções são variáveis na sua altura. Os dois encontros são do tipo pe rdido e
2
suportam o tabuleiro at ravés de aparelhos de apoio também do tipo “Pot-Bearing” com
restrição também apenas dos deslocamentos transversais.
Na Erro! A origem da referência não foi encontrada. apresenta-se o perfil longitudinal da
ponte e respectivas dimensões do tabuleiro.
Figura 1.1 - Perfil longitudinal da ponte (Cortesia de Armando Rito)
1.2 Procedimentos Efectuados
Elabora-se um capítulo introdutório onde se descrevem os conceitos e estudos necessários
para a realização do presente trabalho. Os regulamentos europeus de projecto de estruturas
em betão armado, EC2-1 [1], de projecto de resistência sísmica geral EC8-1 [2] e de pontes,
EC8-2 [3], são referências constantes segundo as quais se realiza todo o trabalho. No entanto,
referem-se métodos alternativos com o objectivo de aperfeiçoar a análise de estruturas com um
certo nível de irregularidade.
Numa primeira abordagem, procede-se a uma análise dinâmica linear (ADL) da estrutura com o
objectivo de apresentar um dimensionamento ao estado limite último condicio nado por uma
acção sísmica que explore a ductilidade dos pilares. Toda a análise é feita com base na
geometria dos elementos da ponte construída sobre a qual se pretende determinar a
distribuição de armadura a aplicar em todos os pilares.
Com base nesse dimensionamento, procede-se a um estudo de sensibilidade da variação da
distribuição de armadura adoptado na análise linear. Para tal, realizam-se análises estáticas
não lineares (AEnL) de vários modelos da ponte com distribuição distintas de armadura de
forma a determinar a variação de comportamento de cada pilar na sequência da variação da
sua armadura.
Numa terceira abordagem, realizam-se análises dinâmicas não lineares (ADnL) com os
modelos já definidos. Para tal, determinam-se vários registos de acelerações sintéticos e
3
aplicam-se na base da estrutura com o objectivo de verificar a influência da distribuição de
armadura dos diferentes pilares no comportamento histerético da estrutura global.
O estudo é feito, exclusivamente, para o comportamento longitudinal da estrutura. Como tal,
todas as acções transversais são ignoradas. A participação dos pilares 1 e 5 é irrelevante pelo
que não são analisados, focando-se o estudo nos pilares centrais, monoliticamente ligados ao
tabuleiro. O tabuleiro é modelado com um comportamento elástico linear. Tem-se consciência
que esta simplificação pode não ser realista, no entanto, a int rodução do comportamento
inelástico do tabuleiro implicariam a introdução de parâmetros que não são do âmbito deste
trabalho.
Embora possa ser condicionante, não é analisado o estado limite de serviço já que se quer
estudar a capacidade de ductilidade da estrutura, mais do que fazer um dimensionamento da
mesma.
A determinação das armaduras a adoptar nesses pilares baseia-se em dois processos:
dimensionamento para o estado limite último numa análise linear; arbítrio de diferentes
distribuições de armadura nas análises não lineares, que garantem diferentes comportamentos
da mesma solução estrutural. Para estas análises, consideram-se quatro modelos de estudo
com distribuições de armadura que consistem na combinação de baixa ou alta taxa de
armadura nos pilares altos (secundários) e no pilar curto. Na Tabela 1.1Erro! A origem da
referência não foi encontrada. apresenta-se a sequência segundo a qual esta dissertação
está organizada.
A nomenclatura de cada modelo é baseada na taxa de armaduras dos seus pilares. A cada
modelo é associado três letras que dizem respeito à armadura presente em cada um dos três
pilares. Define-se duas quantidades de armadura: baixa – b; alta - A.
Tabela 1.1 - Estrutura do Trabalho realizado
Análise Software Distribuição de
armadura Métodos
Zona Sísmica
Modelação da Acção Sísmica
ADL Sap2000
Estados Limites Últimos
condicionada por Acção Sísmica
Eurocódigos Azambuja
Lisboa Aljezur
Espectro de resposta em aceleração
AEnL SeismoStruct
b.b.b. A.A.b. b.b.A. A.A.A.
Método N2 Lisboa Espectro de resposta de
deslocamento
ADnL SeismoStruct
b.b.b. A.A.b. b.b.A. A.A.A.
Integração Passo-a-
Passo Lisboa Acelerogramas
5
2 Estado de Arte
2.1 Materiais
A construção em betão armado é, provavelmente, o tipo mais praticado actualmente. O estudo
dos materiais constituintes tem sido levado a cabo ao longo das últimas décadas tanto ao nível
da sua resistência como durabilidade. No caso de obras com exigência de resistência a acções
sísmicas, os materiais devem apresentar elevados padrões de qualidade pelo que é importante
proceder a um pormenorizado estudo dos mesmos. Apresenta-se assim a caracterização do
comportamento mecânico tanto do aço como do betão e a sua descrição regulamentar
segundo o EC2-1.
2.1.1 Aço
O aço usado nas armaduras ordinárias é um material homogéneo com um comportamento que
se pode considerar simétrico para solicitações de compressão e tracção. Apresenta um
patamar elástico onde suporta a maior parte da sua tensão resistente e um outro patamar
plástico de bastante ductilidade. Sendo as armaduras caracterizadas por esbeltezas elevadas o
aço comprimido está sujeito a problemas de instabilidade que podem condicionar a resistência
do mesmo à compressão. No entanto, para níveis de confinamento transversal correntes este
efeito pode ser desprezado pelo que se pode considerar a curva de capacidade de compressão
igual à de tracção. A relação constitutiva característica do aço é apresentada na Figura 2.1.
Estado de Arte
6
Figura 2.1 – Relação constitutiva do aço de armaduras ordinárias (adaptado de Costa e Appleton [4])
O módulo de elasticidade deste material é dado como constante de valor . A
classe do aço é definida pela sua resistência característica sendo que a extensão de
cedência é determinada a partir desses parâmetros.
Para efeitos de verificação da segurança aos estados limite últimos, a resistência do aço é
minorada através do coeficiente parcial de segurança definido pelo EC2-1 como . A
relação constitutiva do aço é bilinearizada para uma curva elasto-plástica definindo-se o estado
de cedência através de e . A extensão última é definida pela classe
de ductilidade do aço. O EC2-1 define as classes A, B e C. Para estruturas com exigência de
ductilidade elevada deve usar-se aço de classe C cuja extensão de última é .
Para efeitos de análise não linear, o patamar pós cedência pode ser linearizado sendo que a
relação constitutiva transforma-se numa curva bilinear. A resistência última do aço é dada por
em que o valor representa o factor de endurecimento, que para aço de classe C está
entre .
O modelo descrito diz respeito à resposta monotónica do aço pelo que, no âmbito da análise
sísmica, é importante definir o comportamento a solicitações c íclicas. Com base num estudo
levado a cabo por Manegotto et al. [5], apresentam-se na Figura 2.2 as relações constitutivas
do aço solicitado por uma acção c íclica. Deve verificar-se que o material apresenta grande
capacidade de ductilidade além de uma descarga bastante regular seguindo um
comportamento elástico pouco dependente do estado de tensão-extensão em que ocorre.
7
Figura 2.2 - Relação constitutiva cíclica do aço
2.1.2 Betão
O betão é um material heterogéneo formado por argamassa e agregados. É caracterizado por
apresentar uma resistência consideravelmente maior a tensões de compressão do que t racção
sendo que o seu uso é feito preferencialmente em situações em que se prevê tensões de
compressão. O seu comportamento monotónico é representado na Figura 2.3 e apresenta um
patamar elástico linear que se pode considerar até 40% da tensão de cedência característica
( ), perdendo gradualmente rigidez até atingir essa tensão, a partir da qual pe rde capacidade
resistente. Como tal, o EC2-1 define o módulo de elasticidade do betão ( ) para efeitos de
análise elástica dado pelo seu valor secante ao estado de tensão-extensão correspondente a
. A extensão a que se atinge a tensão máxima é, para betões regulares, de
[4] a partir da qual se verifica degradação da carga até atingir a extensão última
. O betão é classificado no EC2-1 através da sua resistência característica em provetes
cilíndricos normalizados. O seu módulo de elasticidade é função unicamente da classe do
betão sendo igualmente definido nesse documento.
Para efeitos de verificação da segurança aos estados limite últimos, a resistência do betão é
minorada através do coeficiente parcial de segurança do betão definido pelo EC2 como
. A resistência à tracção é nula, , e a relação constitutiva do betão é
bilinearizada para uma curva elasto-plástica definindo o estado de cedência através de
e a e extensão última .
Estado de Arte
8
Figura 2.3 - Relações constitutivas de betão confinado e não confinado (adaptado de Mander et Al. [6])
Este comportamento é característico de um betão não armado onde se verifica falta de
capacidade de suportar tensões normais positivas e consequentemente, tensões de corte. O
seu comportamento isolado está, portanto, bastante condicionado pelo estado de tensões
triaxial a que está sujeito. Neste sentido, as armaduras que envolvem o betão influenciam o
seu comportamento na medida em que, com a compressão uniaxial do betão, por efeito de
Poisson dá-se a expansão nas direcções perpendiculares. Sendo que esta expansão é
impedida pelas armaduras o betão é mantido num estado triaxial de compressão o que
aumenta as suas tensões e extensões de cedência como se mostra na Figura 2.3 para a curva
de betão confinado. O comportamento pós -cedência do betão é determinante para o
comportamento sísmico de uma estrutura já que uma boa ductilidade desse material (permitida
por um confinamento adequado) leva a um bom aproveitamento das capacidades plásticas das
armaduras necessário para absorver grandes deslocamentos sem perda de capacidade
resistente. O estudo do betão para acções sísmicas deve, portanto, ter em linha de conta este
comportamento. Mander et Al. [6] levou a cabo uma investigação que resultou na descrição
pormenorizada do comportamento do betão em função do nível de confinamento. Apresenta-se
na Figura 2.3 a relação constitutiva do betão confinado em que o factor de confinamento
traduz o aumento de resistência em relação à resistência característica não confinada pelo que
e se obtêm através das seguintes expressões:
(2.1)
(2.2)
O factor de confinamento depende da quantidade de armadura tanto transversal como
longitudinal que envolve o betão considerado como se apresenta na Figura 2.4.
9
Figura 2.4 – Confinamento de secção rectangular de betão armado (adaptado de Mander et Al. [6])
Esse factor aumenta com a taxa de armadura transversal e proximidade dos varões
longitudinais. É definido também o conceito de volume de betão efectivamente confinado que
se define como todo o betão interior a varões longitudinais devidamente cintados como se
verifica na Figura 2.4.
Define-se a extensão de rotura pela perda de resistência das cintas de suportarem as tensões
de confinamento. Assim segundo Scott et al. [7] a extensão de rotura de betão confinado é
dado por:
(2.3)
O comportamento descrito em cima foi comprovado e validado para carregamentos uniaxiais
monotónicos do betão pelo que foi adaptado por Martinez et al. [8] para carregamentos cíclicos.
Apresenta-se na Figura 2.5 o desenvolvimento do estado de tensão-extensão para este tipo de
carregamento.
Figura 2.5 – Relação constitutiva cíclica do betão confinado
Estado de Arte
10
O comportamento cíclico do betão é bastante irregular sendo que apresenta extensões
residuais irrecuperáveis ao contrário do aço e um patamar de degradação de carga
considerável. Esta degradação da resistência está relacionada com a abertura de fenda em
direcções opostas devido à solicitação alternada do material. Essas fendas levam a uma perda
de consistência do betão e consequente perda de resistência à compressão.
Este fenómeno pode ser observado num aumento da inclinação ( ) das bielas comprimidas
verificadas na transmissão de esforços transversos pelos elementos de betão armado.
2.1.3 Comportamento de secções de betão armado sob flexão composta
O betão armado é assim idealizado para colmatar a desvantagem do betão apresentar
capacidade limitada de suportar tensões/extensões de tracção. Essa limitação leva a uma fraca
capacidade de suportar esforços de corte pelo que, a menos que o material esteja sujeito a um
estado de tensão triaxial de compressão, se deve aplicar armadura.
Em termos de análise estrutural, pode desprezar-se a resistência do betão à tracção pelo que,
no caso de solicitações de flexão, a secção comporta -se como um conjunto bem definido do
betão e armaduras a serem solicitados a esforços de compressão e tracção, respectivamente.
A resposta deixa de ser simétrica e a linha neutra (caracterizada por extensões normais nulas)
aproxima-se das fibras mais comprimidas.
O comportamento de secções de betão armado a flexão composta é idêntico ao apresentado.
A consideração do esforço axial leva a uma alteração da distribuição das tensões normais no
material aumentando a profundidade da linha neutra permitindo (até certos níveis) ao betão
uma maior participação no binário resistente e consequente mente, maior resistência ao
momento flector para a mesma quantidade de armadura.
A grande vantagem do betão armado é ser um material de baixo custo que é moldado de
acordo com as exigências de projecto. Como tal, em estruturas com exigências de ductilidade
elevadas, é possível, conhecendo os limites dos materiais, moldar as secções com vista a
satisfazer essas necessidades. A distribuição de armadura na secção de betão é um factor
chave para atingir esse fim, na medida em que se pode explorar a sua capacidade, não só de
resistência, como principalmente de deformação plástica. Como tal, a secção pode suportar
elevadas curvaturas explorando a plasticidade do aço. No entanto, isso leva a uma diminuição
da profundidade da linha neutra e consequente aumento das tensões no betão. Assim, deve
proceder-se a um cuidadoso confinamento dessas zonas comprimidas para que o betão não
seja o elemento condicionante na definição de rotura.
11
Importa referir que, para além da capacidade de deformação plástica da armadura, a sua
capacidade de endurecimento é um factor igualmente relevante para permitir uma eficiente
ductilidade global da estrutura na medida que permite um aumento de momento resistente pós-
cedência que, por sua vez, leva a que outras secções atinjam o momento de cedência. A
distância entre a primeira e última secção em cedência é denominada por comprimento de
rótula plástica . O aumento deste comprimento é benéfico para a estrutura na medida em
que atinge a mesma rotação (e consequente deslocamento transversal) através de menores
curvaturas.
Na sua tese de doutoramento, Brito [9] apresenta várias conclusões bastante pertinentes que
devem ser analisadas no âmbito do presente trabalho. Depois de levar a cabo várias análises
numéricas a diferentes tipos de secção e distribuição de armadura, verificou que o aumento da
quantidade de armadura traduz-se num aumento proporcional de resistência, como era de se
esperar. No entanto, apenas se observou um pequeno aumento na curvatura de cedência.
Para além disso, verificou-se que, para uma distribuição de armadura concentrada nas fibras
extremas, a variação da sua quantidade não implica uma variação significativa na linha neutra
na rotura da secção pelo que a curvatura de rotura também não é muito influenciada. Como tal,
isto permite concluir que, através de uma armadura mínima que garanta o comportamento de
binário da secção composta, qualquer quantidade de armadura pode ser aplicada para resist ir
a um deslocamento imposto independentemente da resistência da secção.
2.2 Evolução da análise sísmica de estruturas
Até meados do século XX a caracterização da acção sísmica era dada por forças laterais
equivalentes. Esse método deixou de ser suficiente para caracterizar o comportamento sísmico
pelo que se começou a estudar a problemática através de métodos cinemáticos que desde
então tem levado a bons resultados. Foram realizadas várias campanhas de estudo do
comportamento cíclico de estruturas e em pormenor, do aço e betão de forma a criar métodos
expeditos, mas fiéis ao real comportamento de estruturas. O comportamento da estrutura ao
sismo deve explorar a sua ductilidade de forma a suportar, não só os deslocamentos mas
também a energia que o mesmo induz na estrutura. Na antiga regulamentação portuguesa
(RSA) e, mais recentemente no Eurocódigo, são contemplados métodos de análises elásticas
com comportamento inelástico implícito. No entanto, com a capacidade de processamento dos
computadores, torna-se possível analisar modelos mais complexos, pelo que, nas últimas
décadas se começa a realizar estudos estáticos não lineares por espectro de resposta e, mais
recentemente, dinâmicos não lineares.
Estado de Arte
12
2.3 Dinâmica de estruturas
Fazendo uma análise dinâmica do comportamento em regime elástico de uma estrutura, os
elementos que a constituem estão sujeitos a um determinado deslocamento ( ), velocidade ( )
e aceleração ( ). De forma a garantir o equilíbrio estático e cinemático desse conjunto de
elementos, geram-se forças internas entre os mesmos. São elas as forças de inércia,
amortecimento e de restituição elástica, que, a menos de constantes características da
estrutura, são respectivamente proporcionais à aceleração, velocidade e deslocamentos a que
cada elemento está sujeito. A equação seguinte traduz a igualdade entre a soma das forças
internas com as forças externas.
(2.4)
Em que , e , representam, respectivamente, as matrizes quadradas de massa,
coeficiente de amortecimento viscoso e rigidez referentes ao conjunto de elementos que
constituem a estrutura. A dimensão das matrizes corresponde ao número de graus de
liberdade em que a estrutura está discretizada. Refira-se que a equação anterior é diferencial
linear de 2º grau não homogénea e é representativa do estado dinâmico e estático de uma
estrutura. Como tal, é conhecida como a equação fundamental do movimento.
Segundo Azevedo e Proença [10], o comportamento da estrutura com um amortecimento
inferior ao crítico é oscilatório pelo que as soluções para a equação fundamental são do tipo
sinusoidais. Como tal, é possível associar a cada estrutura um conjunto de modos de vibração
para os quais a estrutura tende a vibrar quando está em regime livre. Cada modo de vibração é
caracterizado por um movimento em fase com uma configuração e frequência bem definidas
onde a sua intensidade varia com o tempo e o seu valor máximo é dependente da proximidade
desse modo à acção dinâmica de excitação.
Verifica-se portanto, que os modos de vibração e as respectivas frequências próprias são
característicos da estrutura. O seu cálculo passa por resolver a equação diferencial a partir da
solução genérica sinusoidal para um caso em que a estrutura se encontra em regime livre e em
que se desprezam os efeitos do amortecimento. Com isso obtém-se:
(2.5)
Em que representa a frequência própria angular não amortecida. Há tantos valores para
como o número de graus de liberdade da estrutura e são obtidos através do cálculo das raízes
do determinante:
(2.6)
13
A fim de calcular as deformadas de cada modo de vibração, resolve-se a equação (2.5)
substituindo pelo valor da frequência própria respectiva. Qualquer deformada da estrutura
passa a ser possível caracterizar a partir de uma combinação linear das amplitudes dos
diferentes modos.
Por analogia à frequência angular de um sistema de um grau de liberdade, pode definir-se a
frequência angular de um modo de vibração de uma estrutura com vários graus de liberdade
através de:
onde e representam a frequência e período próprio do modo de vibração i. Os valores de
e representam, respectivamente, a rigidez do sistema a essa deformada e a massa que
para ela participa.
Por outro lado, verifica-se que os modos de vibração respeitam as condições de
ortogonalidade, ou seja, os vectores das respectivas deformadas são ortogonais entre si no
que diz respeito à matriz de massa e matriz de rigidez, pelo que:
(2.8)
Isto leva a que os vectores de deslocamentos sejam independentes entre si, e
consequentemente, que os modos de vibração possam ser analisados individualmente. Para
tal, calculam-se os vectores de deformadas modais normalizados:
(2.9)
Pode provar-se que estes vectores são normalizados em relação à matriz de massas através
da seguinte relação:
(2.10)
A matriz [ , cujas colunas são os vectores normalizados, denomina -se matriz modal
normalizada e respeita a seguinte condição:
(2.11)
(2.7)
Estado de Arte
14
Tendo isto, é possível transformar as coordenadas iniciais em coordenadas modais através da
equação (2.12) o que permite analisar a dinâmica da estrutura em função dos seus modos de
vibração.
(2.12)
Destaque-se, assim, as características do primeiro modo de vibração de uma certa direcção. É
aquele que possui a frequência própria mais baixa, denominada frequência fundamental, e que
envolve menos energia de deformação nessa direcção. Como tal, é o modo mais susceptível
de ser excitada, sendo aquele onde mais percentagem de massa da estrutura é mobilizada, ou
seja, o que apresenta maior factor de participação de massa. Segundo Lopes [11], este factor é
determinado para cada modo numa determinada direcção e é calculado através da equação
seguinte:
(2.13)
Em que é um vector cujos elementos referentes aos graus de liberdade da direcção j
tomam o valor unitário e os restantes elementos são nulos.
Tendo descrito o comportamento dinâmico de uma estrutura em regime livre, deve agora
introduzir-se uma movimentação de solo de forma a estudar a resposta de uma estrutura a um
sismo. Sendo que a mesma já não se encontra em regime livre, deve adaptar-se a equação
fundamental do movimento. Devido à introdução de um novo parâmetro, estuda-se um sistema
de um grau de liberdade adaptando posteriormente a sistemas de vários graus de liberdade.
Assim, o comportamento da estrutura é representado na Figura 2.6.
Figura 2.6 - Sistema de um grau de liberdade sujeito a uma acção do solo
A equação (2.4) pode ser adaptada de forma a caracterizar a nova realidade da estrutura:
(2.14)
15
Note-se que as forças de inércia dizem respeito a coordenadas absolutas na medida que
actuam sempre que a massa sofre uma aceleração; no entanto, as forças de restituição
elástica e de amortecimento dizem respeito ao estado interno d a estrutura pelo que só actuam
quando se altera o deslocamento relativo e a velocidade relativa, respectivamente.
Considerando , ou seja, que o deslocamento relativo entre a base e a massa é
dado pela diferença entre o deslocamento da massa e o deslocamento do solo, obtêm-se:
(2.15)
Esta equação mostra que o movimento do sistema sob a acção de uma movimentação de base
é equivalente ao mesmo sistema com a base fixa actuada pela aceleração do solo ao nível da
sua massa. É importante reparar, no entanto, que a aceleração da massa não é a mesma que
aquela que lhe é aplicada na medida em que o amortecimento e a rigidez do elemento vertical
influencia esse movimento. Embora esta equação diga respeito a um sistema de 1 grau de
liberdade, pode ser adaptada para corresponder à realidade de sistemas de vários graus na
medida em que os mesmos são independentes entre si:
(2.16)
De forma a fazer uma análise não linear de uma estrutura deve alterar-se a equação para ter
esses fenómenos em conta. Como tal, sendo que as relações constitutivas dos materiais não
são lineares, a sua rigidez a qualquer deformada incremental depende do grau de
carregamento a que estão sujeitos pelo que varia ao longo do tempo. Assim, a matriz de
rigidez, que é considerada característica da estrutura quando se faz uma análise elástica linear,
passa a referir-se às rigidezes tangentes às relações constitutivas dos materiais à qual se dá o
nome de matriz de rigidez tangente . Por outro lado o coeficiente de amortecimento a
considerar na equação é do tipo viscoso pelo que as dissipações por processos histeréticos e
outros tipos de dissipações devem ser considerados como amortecimento viscoso equivalente.
Isto leva a que este mesmo valor dependa do estado de carregamento da estrutura e
consequentemente, do tempo.
Como tal, a equação (2.16) é reescrita de forma a representar o comportamento não linear de
uma estrutura sujeita a acelerações de base:
(2.17)
A solução para esta equação não é directa pelo que é obtida iterativamente para intervalos de
tempos elementares.
Estado de Arte
16
2.4 Caracterização da acção sísmica
A actividade s ísmica é gerada através de libertações de energia concentrada em falhas da
crosta terrestre que provoca uma movimentação relativa entre as duas faces da mesma. O
centro geométrico da massa movimentada é denominado de hipocentro e a sua projecção na
superfície terrestre, de epicentro. As vibrações resultantes transmitem-se em todas as
direcções no interior da Terra e em particular até ao local em estudo pelo que a energia
transportada por essas vibrações diminui com o quadrado da distância ao hipocentro. Uma
estrutura fundada num solo que está a ser excitado por estas vibrações, é também actuado
pelas mesmas, entrando em regime dinâmico forçado. De forma a dotar a estrutura com
capacidade de resistir a acções deste tipo, é importante estudar a acção pelo ponto de vista
cinemático e estático, pois, além de ser necessário res istir aos esforços, é essencial que
absorva os deslocamentos transmitidos.
A ocorrência de um sismo é prevista com base em acontecimentos anteriores, tipos de falhas
envolvidas no processo e mais directamente, por monitorização dos seus deslocamentos que
leva a uma estimativa da energia acumulada nas mesmas. Cada actividade na crosta terrestre
desenvolve registos diferentes em função da magnitude, tipo de mecanismo de rotura, área da
crosta afectada, duração da actividade entre outros. Além disso, os valores mensuráveis
desses registos são afectados pela distância ao epicentro e pelo tipo de solo que transmite a
acção. Assim, é importante fazer uma análise cuidada do conteúdo das frequências,
aceleração de pico e durações de acções sísmicas já que estes são os parâmetros mais
relevantes no que se refere à sua influência no comportamento sísmico das estruturas. Os
registos a considerar podem ser do tipo de acelerações, ou deslocamentos do solo ao longo do
tempo, no entanto, sendo que são quantificados com o auxílio de acelerómetros, o método
mais comum de se apresentarem é através de registos de acelerações a que se dá o nome de
acelerogramas.
Como se referiu anteriormente, as estruturas apresentam um comportamento oscilatório com
frequências próprias para as quais tendem a vibrar. Por seu lado, o movimento induzido pelo
sismo à estrutura é igualmente oscilatório pelo que a resposta da estrutura depende da relação
entre frequências.
Na Figura 2.7 representa-se o factor de amplificação dinâmico ( ) que traduz o quociente
entre o deslocamento máximo da estrutura e o deslocamento máximo do solo. Para vibrações
do solo com frequências ( ) muito inferiores à frequência própria, o deslocamento relativo solo
estruturas é unitário já que a acção do solo é tão lenta que pode ser considerada estática.
17
Figura 2.7 - Factor de ampliação dinâmico (adaptado de Azevedo e Proença [10])
Por outro lado, para o caso extremo de frequências muito elevadas, as forças de restituição
elásticas não são suficientes para contrariar a inércia da estrutura pelo que a mesma se
mantém imóvel levando a . No entanto, para os casos em que as frequências dos
registos do solo se aproximam das frequências próprias da estrutura dá-se o fenómeno de
ressonância em que o modo correspondente a essa frequência é excitado atingindo
deslocamento que podem ser amplificados até no caso de estruturas de betão armado
quando o coeficiente de amortecimento atinge os 5% (0,05). No entanto, factores como o
amortecimento, irregularidade no conteúdo de frequências da acção sísmica e da estrutura
levam a que esse valor não seja superior a 2,5 para a resposta a os sismos.
Desta forma, é possível generalizar a resposta das estruturas sujeitas a acções sísmicas em
função da sua frequência ou período próprio. Assim, uma outra maneira de representar a acção
sísmica é através de espectros de resposta. Estes representam os valores máximos de
grandezas cinemáticas (acelerações, velocidade ou deslocamentos) de estruturas sujeitas a
um sismo em função dos seus períodos próprios. Os espectros de resposta representam, como
o próprio nome indica, a resposta dinâmica de estrutura à acção sísmica a que diz respeito.
Na Figura 2.8 representa-se um espectro de resposta de acelerações absolutas da estrutura.
Verifica-se que estruturas muito rígidas ( ) apresentam uma aceleração máxima dada pela
aceleração de pico do solo enquanto estruturas flex íveis tendem a não s e movimentarem como
já se referiu anteriormente.
Figura 2.8 – Espectro de resposta de acelerações
Se
T
Estado de Arte
18
É importante referir que, embora os espectros de resposta de acelerações possam ser
característicos de um acelerograma, não o definem, ou seja, a um acelerograma está
associado um e só um espectro enquanto a este último estão associados infinitos possíveis
acelerogramas. A criação de um espectro de resposta implica perda de informação referente
ao conteúdo de frequências e amplitudes do acelerograma.
Em termos regulamentares, usam-se os conceitos de espectros de resposta para caracterizar a
acção sísmica das zonas em estudo por serem de aplicação directa em análise modal de
estruturas lineares ou não lineares. O EC8-1 prevê dois tipos de sismos para o território de
Portugal Continental e, consequentemente, dois espectros de aceleração. A acção s ísmica tipo
1 está associada a epicentros afastados referentes principalmente à falha do Marquês de
Pombal no Atlântico e são ricas em baixas frequências. A acção s ísmica tipo 2 está associada
a epicentros próximos, como é o caso da falha da Vilariça ou do Baixo Tejo, e é caracterizada
por vibrações com frequências mais altas. As tensões acumuladas nestas falhas (falhas
intraplacas) são menos expressivas que aquelas verificadas nas falhas atlânticas (falhas
interplacas) pelo que a energia libertada também é potencialmente menor. Na Figura 2.9
apresentam-se, qualitativamente, os dois espectros de resposta elástica usados em Portugal.
Figura 2.9- Espectros de resposta de acelerações previsto pelo EC8-1
A acção sísmica tipo 2 apresenta um pequeno intervalo de aceleração máxima na gama de
maior frequência ou menor períodos com uma descida muito acentuada para períodos mais
elevados. Por outro lado, a aceleração máxima da acção s ísmica tipo 1 estende -se num
intervalo maior de períodos, e a sua atenuação para períodos maiores é menos acentuada
fazendo com que esta acção seja mais condicionante para estruturas com períodos de
vibração elevados.
Os espectros de acelerações elásticas são definidos pelas seguintes equações:
Se
T
Acção sísmica tipo 1
Acção sísmica tipo 2
TTC,1 TC,2 TB
19
Em que representa o valor da aceleração elástica verificada na estrutura. refere-se ao
coeficiente de solo e traduz o coeficiente entre as acelerações verificadas na rocha e no solo.
Este conceito aplica-se pois solos mais brandos (mais flexíveis) apresentam uma tendência de
amplificar vibrações de acelerações mais baixas. O valor de cálculo à superfície do terreno é
dado por em que representa o coeficiente de importância da estrutura e traduz
o valor de referência da aceleração do solo para terreno rochoso. O EC8-1 prevê quatro
classes de importância da estrutura que refletem a consequências dos seus prejuízos na
sociedade. As estruturas mais importantes são calculadas para resistir a sismos com maior
período de retorno pelo que apresentam um maior coeficiente de importância. Verifica-se que o
sismo induz acelerações mais elevadas para estruturas com períodos próprios entre os valores
e do espectro de resposta que o caracteriza. Este intervalo representa o conteúdo
predominante de períodos das vibrações do sismo pelo que se verifica o fenómeno de
ressonância quando actua em estruturas com períodos próprios próximos destes. Assim, este
intervalo delimita a gama de acelerações espectrais máximas e constantes consideradas pelo
EC8-1. O sismo induz velocidades máximas para estruturas com períodos próprios entre e
pelo que o EC8-1 considera este intervalo como sendo de velocidade espectrais constante e
máxima. A partir de encontra-se o intervalo do espectro de deslocamentos constantes. Para
cada tipo de acção sísmica existe um zonamento de intensidades associado à respectiva
perigosidade s ísmica. Como tal, a acção sísmica tipo 1 apresenta maior intensidade no
Sudoeste de Portugal Continental diminuindo com a latitude enquanto a acção sísmica tipo 2
apresenta maior intensidade nas zonas próximas a falhas int raplacas de maior risco. Esse
factor é tido em consideração no valor de aceleração máxima de referência .
Os espectros de resposta podem representar qualquer grandeza cinemática que seja
necessário caracterizar numa análise de estruturas. Como tal, para análises com base em
deslocamentos, é útil criar um espectro de deslocamentos. O mesmo pode ser obtido
matematicamente a partir de acelerogramas ou registos de deslocamentos. No entanto, para
um sistema com um comportamento oscilatório é válida a seguinte equação:
(2.22)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Estado de Arte
20
Considera-se que esta equação é válida para estruturas de betão armado pelo que o EC8-1
define esta relação para a t ransformação directa do espectro de acelerações em espectro de
deslocamentos. Assim, o mesmo é definido pelas seguintes equações:
Figura 2.10- Espectros de resposta de deslocamentos elásticos previsto pelo EC8-1
Na Figura 2.10 apresentam-se os espectros de deslocamentos previstos pelo EC8-1. Estes
espectros dizem respeito a valores de deslocamentos relativos solo/estrutura. Pode constatar-
se que os deslocamentos espectrais são nulos para estruturas rígidas já a estrutura não tem
tempo para se deformar. Esses valores aumentam com o período próprio da estrutura até
atingirem um patamar de deslocamentos máximos que se verifica para estruturas muito
flexíveis que se mantêm imoveis com um deslocamento relativo dado pelo deslocamento do
solo.
De forma a estudar a acção do sismo do ponto de vista cinemático e estático simultaneamente,
define-se o conceito de espectros ADRS (Acceleration Displacement Response Spectrum) em
que se representa o espectro de deslocamentos ( ) nas abcissas e o espectro das
acelerações ( ) nas ordenadas. Apresenta-se na Figura 2.11 um espectro ADRS típico com
base nos parâmetros definidos pelo EC8-1. Neste espectro, estruturas rígidas com período
baixo encontram-se perto do eixo das ordenadas e o aumento de período representa um
deslocamento radial no gráfico até estruturas flexíveis próximas do eixo das abcissas.
Para efeitos de análises lineares, em que os deslocamentos são proporcionais aos esforços,
basta conhecer o espectro de acelerações que se podem relacionar com as forças induzidas.
Se
T
Acção sísmica Tipo 1
Acção sísmica Tipo 2
TD TC,1 TC,2 TB
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
21
Figura 2.11 - Espectro ADRS
Assim, tendo presente que os vários modos de vibração de estruturas com vários graus de
liberdade são independentes, obtêm-se as acelerações para cada modo de vibração obtidos
individualmente. A determinação das forças ao nível de cada grau de liberdade é:
(2.27)
Conhecendo as acções estáticas que actuam na estrutura para o modo de vibração , calcula-
se os esforços e os deslocamentos relativos a esse mesmo modo. O cálculo dos esforços e
deslocamentos totais é feito com base no método das combinações quadrática completa
(CQC) que é dado pela equação:
em que é dado por:
onde é o quociente entre as frequências e . Note-se que, para termos do somatório
referente a modos iguais ( ), é unitário e os valores de e são idênticos resultando em
valores positivos. Nas parcelas em que , a multiplicação de e pode resultar em
valores negativos mas o coeficiente é muito inferior a 1,0 pelo que tem menor expressão. Isto
leva a que os valores resultantes do método CQC sejam obrigatoriamente positivos.
Sae
Se
(2.28)
(2.29)
Estado de Arte
22
2.5 Amortecimento da estrutura
O amortecimento é um fenómeno que pode ser originado por vários tipos de mecanismo e
representa a resistência à variação de um estado da estrutura por dissipação de energia.
Dependendo do seu valor, o amortecimento pode ser classificado como sobre-crítico quando o
mesmo impede o comportamento oscilatório do sistema ou sub -crítico nas situações em que se
verifica repetição dos ciclos de oscilação e diminuição de amplitude de oscilação tal como se
mostra na Figura 2.12. As estruturas de betão armado apresentam amortecimento sub -crítico
na resposta às acções cíclicas já que depois de serem excitadas repetem os ciclos mas com
consecutivamente menor amplitude.
Figura 2.12 - Movimento oscilatório amortecido
O comportamento oscilatório das estruturas de betão armado é afectado, tanto pelo
amortecimento viscoso característico da estrutura, como pelo amortecimento equivalente
devido à energia dissipada histereticamente. O primeiro está relacionado, tanto com a
heterogeneidade e imperfeições do betão armado na medida em que se registam perdas de
energia na transmissão de esforços entre o aço e o betão, como com o fecho e abertura de
fendas já que são fenómenos que levam a alterações brusca do estado da estrutura o que
implica dissipação de energia. É caracterizado como um amortecimento viscoso por se verificar
que o seu valor aumenta com a velocidade de deformação da estrutura. Os valores a ter em
consideração para a análise de estruturas dizem respeito ao amortecimento relativo ao
amortecimento crítico a que se denomina coeficiente de amortecimento dado, para uma
estrutura em comportamento elástico e de um grau de liberdade por:
(2.30)
O valor de referência do coeficiente de amortecimento de uma estrutura de betão armado com
um nível considerado de fendilhação é .
No entanto, uma estrutura sujeita a actuações c íclicas dissipa energia por processo histerético,
ou seja, por variação do estado de tensão-extensão entre o carregamento e descarregamento.
Este processo não pode ser considerado como um amortecimento mas tem os mesmos efeitos
do mesmo. De forma a entender esse fenómeno, deve perceber-se como uma estrutura se
23
comporta sob uma acção cíclica rápida. Considere-se que é transmitida energia cinética à
estrutura como se apresenta na Figura 2.13 à esquerda. Se a estrutura reagir em regime
elástico (caso 1) atinge o estado “A” e as forças de restituição elástica descarregam a estrutura
com a mesma energia que lhe foi transmitida . Se a estrutura entrar em regime não linear
(caso 2) até atingir o estado “B”, foi-lhe transmitida a energia . A partir desse estado as
forças de restituição elástica descarregam a estrutura mas não pelo mesmo caminho de carga,
pelo que o processo envolve menos energia que aquela que lhe foi transmitida. Como tal
dissipa-se a energia correspondente à área entre os caminhos de carga e descarga como se
apresenta na mesma figura.
Figura 2.13 - Dissipação de energia por processos histeréticos (adaptado de Chopra [12])
O amortecimento viscoso equivalente relativo ao processo histerético descrito é definido
segundo Chopra [12], pela seguinte equação:
(2.31)
Em que representa o número de ciclos de carga e descarga sofridos pela estrutura. e
são representados na Figura 2.13 e traduzem, respectivamente, a energia dissipada num ciclo
por processos histeréticos e a máxima energia gerada pela actuação das forças de restituição
elástica. Sendo considerado um amortecimento viscoso, pode ser incluído na equação
fundamental do movimento o que permite corrigir o comportamento da mesma com a
contabilização deste factor.
Quando se dá plastificação das estruturas, os valores de energia dissipada por processos
histeréticos sobrepõe-se à energia dissipada por amortecimento viscoso pelo que se deve
explorar esse fenómeno. No entanto, a sua ocorrência deve ser devidamente controlada de
forma a não se atingir a rotura ou deformações que levem indirectamente a inutilização da
estrutura.
Estado de Arte
24
2.6 Dimensionamento por capacidade real
É essencial que este controlo seja feito em todo o tipo de análises, sejam elas mais ou menos
complexas. Como tal, int roduz-se o método de Capacidade Real previsto no EC8-1 para
análises elásticas lineares de estruturas sujeitas a acções sísmicas. O método consiste em
garantir a ductilidade global da estrutura controlando a ductilidade local dos elementos mais
condicionantes. Para isso, define-se uma hierarquia de zonas de potencial formação de rótulas
plásticas (zonas críticas) em função dos esforços a que estão sujeitos e da sua importância na
integridade da estrutura global. No caso específico de pontes, deve dar-se preferência à
plastificação dos pilares já que os mesmos podem continuar a resistir a cargas verticais. Para
além disso, permitir grandes rotações em elementos verticais é mais eficiente para a
capacidade de absorver deslocamentos longitudinais. Evita-se a plastificação do tabuleiro,
tanto por ser um elemento de elevada importância na estruturação da ponte, como pela
dificuldade de explorar a sua ductilidade devido ao grande nível de esforço axial induzido pelo
pré-esforço. O objectivo é garantir a plastificação das zonas críticas dos pilares (ligação à
fundação e ligação ao tabuleiro) sem comprometer a sua integridade de modo a dissipar a
máxima energia possível. As mesmas são dimensionadas de forma a apresentarem resistência
aos esforços previstos numa análise elástica garantindo-se adicionalmente uma ductilidade que
permita que essas zonas entrem em regime plástico sem atingir roturas frágeis. O método
prevê o sobredimensionamento das zonas restantes (zonas frágeis) de forma a garantir que se
mantenham em regime elástico durante toda a acção sísmica. Para isso, são dimensionadas
para resistir aos esforços que se geravam na mobilização da resistência total das zonas
críticas. Assim, define-se o momento de sobre-resistência a considerar para as
secções críticas. O factor de sobre-resistência reflete a variabilidade das características
resistentes dos materiais e a capacidade de endurecimento do aço. Os valores de são
considerados valores de referência para a determinação do esforço transverso de cálculo e o
diagrama de momentos flector de cálculo nas zonas com comportamento elástico como se
mostra na Figura 2.14.
Figura 2.14 - Diagrama de momentos de cálculo definido pelo método de capacidade real (adaptado de EC8-2 [3])
25
O esforço transverso de cálculo é assim calculado através da seguinte expressão:
(2.32)
em que L é a altura total do pilar.
O comprimento da zona crítica deve ter em conta o estado de tensão das secções. Assim,
factores como o esforço axial e o endurecimento do aço são factores chaves na medida em
que influenciam o aumento do momento resistente pós-cedência, essencial para a capacidade
de expandir a plastificação às zonas adjacentes à secção plastificada. Nesta medida, o EC8-2
define que, para um esforço axial reduzido de , o comprimento das zonas criticas é:
(2.33)
Em que d e representam, respectivamente, a altura de flexão da secção resistente e a
distância da secção solicitada a 80% do momento máximo.
Este valor é aumentado em 50% para .
2.7 Coeficiente de comportamento da estrutura
A análise elástica convencional de uma estrutura não tem em conta o comportamento não
linear da mesma. No entanto, como já se viu anteriormente, é importante que alguns elementos
plastifiquem quando a estrutura estiver sujeita a um sismo. De forma a contornar esse
inconveniente, e baseado em vários estudos, é desenvolvida a hipótese do Equal Displacement
que permite considerar os fenómenos não lineares em análises elásticas. Para explicá-la,
devem considerar-se duas estruturas de betão armado com a mesma geometria mas com
taxas de armadura diferentes cujos diagramas força-deslocamento são apresentados na Figura
2.15. Verificou-se que, quando estas duas estruturas são sujeitas à mesma acção sísmica, os
deslocamentos que ambas atingem são próximos. No entanto, na base da estrutura 2 mobiliza-
se um esforço de menor que , mobilizado na base da estrutura 1. Para isso, alguns
elementos da estrutura 2 devem entrar em regime plástico dissipando energia por processos
histeréticos. Assim, a hipótese do Equal Displacement define que o deslocamento máximo
observado numa estrutura em regime inelástico é idêntico ao observado na mesma estrutura
se se mantivesse em regime elástico quando ambas são sujeitas ao mesmo sismo. O
quociente entre e define-se como coeficiente de comportamento e traduz a redução de
esfoços que uma estrutura pode apresentar para resistir ao mesmo deslocamento em regime
plástico. O quociente de ductilidade é dado pelo quociente entre o deslocamento máximo e o
deslocamento de cedência . Pela Figura 2.15 verifica-se que o quociente de ductilidade e de
Estado de Arte
26
comportamento são iguais para uma mesma estrutura. Comparando os diagramas de força-
deslocamento das estruturas 2 e 3, pode concluir-se a que ambas resistem à acção sísmica e
que a aceleração induzida em cada estrutura é função da sua resistência. No entanto, uma
menor aceleração induzida corresponde a uma maior exploração da ductilidade pelo que as
exigências de ductilidade relacionam-se directamente com a redução de esforços em relação
ao regime elástico. Com isto, é possível fazer uma análise elástica por espectro de resposta
reduzido as acelerações e consequentes forças na base. Os deslocamentos calculados, no
entanto, dizem respeito aos deslocamentos elásticos que, devem ser multiplicados pelo
quociente de ductilidade para terem em consideração o comportamento inelástico da estrutura.
Figura 2.15 - Diagrama força-deslocamento de estruturas com diferentes resistências
É importante ter em consideração que um coeficiente de comportamento elevado implica uma
grande exigência de ductilidade que, por vezes, a geometria das estruturas não permite. No
entanto, como se referiu em 2.1.3, com uma distribuição adequada das armaduras, pode
aumentar-se bastante a capacidade de ductilidade local permitida por essas secções. O valor
máximo a considerar em comportamentos de pontes está previsto no EC8-2 e depende do tipo
de ponte e da sua simetria.
Para ter em conta esta redução de esforços para um comportamento inelástico, o EC8-1 define
o espectro de resposta de cálculo que se obtém a partir das equações (2.18) a (2.21) dividindo
pelo coeficiente de comportamento. As equações que o definem são apresentadas
seguidamente:
(2.34)
(2.35)
(2.36)
27
É importante referir que, para estruturas muito flexíveis, o EC8-1 limita a redução de
aceleração de cálculo a .
Deve notar-se que estruturas muito rígidas podem não desenvolver ductilidade suficiente para
se considerar redução de esforços pelo que a teoria do Equal Displacement perde validade
para períodos elásticos inferiores a . Para esta gama de períodos, pode aplicar-se a hipótese
do Equal Energy que se baseia no pressuposto de que a energia transmitida pelo sismo à
estrutura elástica é idêntica àquela que é transmitida à estrutura que já atingiu a plastificação.
2.8 Método de análise N2
O método de análise N2 foi desenvolvido no âmbito da análise s ísmica de edifícios de betão
armado por Fajfar [13] mas pode ser adaptado, com pequenas modificações, para análise de
qualquer estrutura considerando o seu comportamento não linear. Em traços gerais, consiste
no relacionamento directo da curva de capacidade da estrutura (de propriedades inelásticas)
com o espectro de resposta elástico regulamentar com a finalidade de determinar o
Deslocamento Objectivo (D.O.). Para isso, o método introduz a necessidade de se criar um
sistema equivalente de um grau de liberdade de comportamento elasto-plástico perfeito. É
possível assim obter, não só a aceleração objectivo, como também o deslocamento objectivo.
Este método considera apenas um modo de vibração da estrutura pelo que perde validade
para analisar estruturas em que seja expectável a excitação de outros modos por parte do
sismo. Adaptações ao mesmo permitem analisar uma estrutura para acções sísmicas em
diferentes direcções, no entanto, restringem o seu comportamento aos modos fundamentais de
cada direcção. A curva de capacidade é obtida para um certo sistema de forças laterais a
aplicar nas massas da estrutura que garanta uma deformada idêntica ao modo fundamental.
No caso específico da análise de pontes, considera -se que a sua massa dinâmica se concentra
no tabuleiro, pelo que o sistema de forças se resume a uma força lateral nesse elemento.
Sendo um método de análise baseado em deslocamentos em que se considera o
comportamento monotónico dos materiais, o mesmo não tem em conta alguns factores
dinâmicos da estrutura provocados pela não linearidade dos mesmos.
O sistema equivalente a considerar deve apresentar o mesmo estado último da estrutura
original, pelo que os esforços e os deslocamentos últimos são idênticos para os dois sistemas.
A sua curva bilinear deve ser calculada de forma a consumir a mesma energia em forma de
trabalho. Assim, por observação da Figura 2.16, a energia necessária para levar a estrutura
original a atingir o deslocamento último é dada pela área sob a sua curva de capacidade.
(2.37)
Estado de Arte
28
A energia referente ao sistema equivalente fica determinada automaticamente pelo que se
determina através da seguinte relação:
Figura 2.16 - Determinação da curva bilinear
do sistema equivalente
Sendo que a curva é elasto-plástica, a rigidez pós-cedência é nula, portanto, considera-se
.
O comportamento dinâmico do sistema equivalente em regime elástico fica assim definido
através da sua massa equivalente e rigidez a forças laterais. É assim possível calcular o seu
período fundamental at ravés da equação seguinte:
Através das equações (2.23) a (2.26) calcula-se o deslocamento espectral atingido pelo
sistema equivalente elástico. De forma a determinar o deslocamento inelástico , o método
assume que para é válida a hipótese do Equal Displacement, pelo que como
se apresenta na Figura 2.17.
Figura 2.17 - Determinação dos D.O. do sistema equivalente (adaptado de Bento et Al. [14])
(2.38)
(2.39)
29
Por fim, o método define que a estrutura original apresenta o mesmo deslocamento objectivo
que o sistema equivalente pelo que fica determinado o estado de deformação que a estrutura
apresenta em resposta à acção sísmica de projecto, permitindo a análise de cada elem ento
individualmente.
31
3 Análise Dinâmica Linear
Das várias análises que se propõe fazer ao longo desta dissertação, a análise elástica linear da
estrutura é a mais simples e aquela que envolve menos recursos já que reduz o
comportamento da estrutura a uma curva elasto-plástica perfeita. Neste capítulo propõe-se um
dimensionamento sísmico com base numa análise linear por espectro de resposta descrita
anteriormente. Para tal, usa-se o programa de análise elástica linear Sap2000 [15] como meio
de avaliar o estado elástico de tensões e deformações da estrutura. O dimensionamento da
estrutura é feito com base nos regulamentos EC2-1, EC8-1 e EC8-2 complementado pela
consulta dos livros Sismos e Edifícios de Lopes [11] e Estruturas de Betão de Appleton [16].
3.1 Modelação
O modelo da estrutura feito com o programa Sap2000 é definido através de um conjunto de
elementos do tipo barra caracterizados pela respectiva secção, nós inicial e final. A massa do
elemento, dado pelo produto do volume pela densidade do material, é aplicada no seu centro
de gravidade. Os elementos ligam-se rigidamente entre si através dos nós que têm em comum.
Note-se que o Sap2000 não considera a participação de armaduras longitudinais no
comportamento elástico da secção (embora seja possível defini-las) já que o programa calcula
as relações constitutivas da secção baseando-se unicamente nos seus parâmetros
geométricos e não tendo em consideração a diversidade de materiais que a constituem.
Análise Dinâmica Linear
32
3.1.1 Caracterização dos materiais
De forma a ser fiel ao projecto inicial, utilizam-se os betões de classe C50 e C40 para o
tabuleiro e pilares, respectivamente. Utiliza-se o aço A400 tanto para os varões longitudinais
como para as armaduras transversais. O comportamento destes materiais já foi descrito em 2.1
apresentando-se na Tabela 3.1 os valores definidos pelo EC2-1 para o módulo de elasticidade
e a tensão de cedência.
Tabela 3.1 - Propriedades dos materiais utilizados
Material C40 C50 A400
35 37 200
40 50 400
26,7 33,3 347,8
3.1.2 Discretização
A estrutura é discretizada em vários elementos com secções de geometria constante
associadas. Quanto maior for a discretização do modelo, mais este se torna representativo da
estrutura real já que descreve melhor a variabilidade das secções. Além disso, o maior número
de elementos permite uma distribuição de massas mais rigorosa, importante para a análise
modal da estrutura. Em contrapartida, isso leva a uma modelação complexa, propícia a erros e
de alto consumo de recursos devido ao aumento de número de graus de liberdade. Considera-
se, no entanto, que um comprimento máximo de para cada elemento está associado a
erros aceitáveis no contexto global da estrutura. Esse valor é reduzido para para os
elementos constituintes do pilar 4 pois é o pilar mais condicionante e consequentemente o
analisado com maior pormenor.
3.1.3 Pilares
Como já se referiu, os pilares apresentam secções variáveis ao longo do seu desenvolvimento
pelo que, para efeito de modelação, cada elemento do Sap2000 é definido através da secção
verificada a meio do seu comprimento da estrutura real. Cada secção é criada com o auxílio do
Section Designer, uma função do Sap2000 que permite definir secções irregulares através dos
vértices que a constituem. A nomenclatura dos elementos é dada em função do número do
pilar e da zona em que se insere. Definem-se, assim, três zonas distintas: Zona de secção
Variável Inferior ( ); Zona de secção Constante ( ); Zona de secção Variável Superior ( ).
33
Na Figura 3.1 apresentam-se os pilares e as respectivas zonas descritas em cima.
Opta-se por não modelar os pilares 1 e 5 já que os mesmos não contribuem para a resistência
a acções longitudinais. Em alternativa, definem-se apoios deslizantes no tabuleiro nos
encontros com esses pilares. A fundação de todos os pilares é rígida já que a ponte assenta
num solo rochoso não fracturado.
Figura 3.1 - Discretização dos elementos dos pilares centrais
A geometria dos quatro núcleos de cada pilar é constante excepto na zona de secção Variável
Superior em que a espessura na direcção transversal ao eixo do tabuleiro aumenta com a
proximidade ao mesmo. Esta variação tem uma função meramente decorativa já que os limites
da alma do pilar ult rapassam a largura do contacto entre o pilar e o tabuleiro. Assim, na
modelação das secções características desta zona, considera-se que as dimensões das
secções a menos de um metro do tabuleiro não aumentam, mantendo -se nesta zona a
geometria da secção imediatamente a baixo.
Análise Dinâmica Linear
34
As zonas de secção Constante apresentam duas secções distintas. Nos pilares 2 e 3, a secção
apresenta uma espessura de almas e banzos de enquanto no pilar 4 essa espessura
diminui para . Na Figura 3.2 representa-se a geometria das secções descritas.
A zona de secção Variável Inferior é caracterizada por uma variação de comprimento tanto das
almas como os banzos mantendo a geometria dos quatro núcleos constantes. O comprimento
destes elementos aumenta com a proximidade à base para ter em conta o aumento de
momentos flectores a que as secções estão sujeitas mas a sua espessura ao longo do seu
desenvolvimento é de 0,6 m. Na modelação usam-se seis elementos de cinco metros para
representar esta zona.
Figura 3.2 – Geometria das secções de Zona Constante e Zona Variável Superior
Secção A a B b
VI1 7,52 4,72 5,68 3,28
VI2 6,7 3,9 5,13 2,73
VI3 6,02 3,22 4,68 2,28
VI4 5,52 2,72 4,34 1,94
VI5 5,18 2,38 4,12 1,72
VI6 5,02 2,22 4,02 1,62
Figura 3.3 – Geometria das secções das Zonas Variáveis inferiores
35
Na Tabela 3.2 apresenta-se a área de cada secção juntamente com o comprimento dos
elementos correspondentes em cada um dos três pilares. Apresenta-se igualmente o peso
próprio desses elementos considerando e a respectiva massa tendo uma
aceleração da gravidade de .
Tabela 3.2 - Peso próprio dos pilares
Secção Área Pilar 2 Pilar 3 Pilar 4
VI1 15,8 5,0 2048,8 5,0 2048,8 - -
VI2 14,1 5,0 1833,5 5,0 1833,5 - -
VI3 12,8 5,0 1658,8 5,0 1658,8 - -
VI4 11,8 5,0 1527,8 5,0 1527,8 - -
VI5 11,1 5,0 1440,4 5,0 1440,4 - -
VI6 10,8 5,0 1399,8 5,0 1399,8 - -
C (pilar 2 e 3) 9,7 6 x 4,3 6538,6 7 x 4,5 7892,7 - -
C (pilar 4) 8,6 - - - - 18,8 4184,1
VS1 8,9 2,5 578,8 2,5 578,8 2,5 578,8
VS2 11,7 3,5 1063,3 3,5 1063,3 3,5 1063,3 Total
Total - 62,0 18089,9 67,4 19443,9 24,8 5826,3 43360,1
Total
1845,9
1984,1
594,5 4424,5
De forma a ter em consideração os efeitos de fendilhação da estrutura sujeita a uma acção
sísmica, o EC8 4.3.1, prevê a redução da rigidez de flexão que pode ser concretizada no
Sap2000 através da redução da inércia de flexão das secções dos pilares. Como tal, a inércia
das secções fica definida como .
3.1.4 Tabuleiro
Como já se referiu, o objectivo desta dissertação é analisar o comportamento dos pilares a
acções sísmicas longitudinais. Como tal, o tabuleiro é tido em conta na modelação de forma a
garantir as condições de fronteira mais adequadas no topo de cada pilar, não sendo estudadas
as suas características internas como o efeito do pré-esforço e variação de temperatura.
As dimensões das secções variam ao longo do desenvol vimento do tabuleiro. Junto aos pilares
apresentam uma maior altura e espessura, dimensões que diminuem quadraticamente até
atingir o meio vão. Tal como para a modelação dos pilares, adopta-se um comprimento máximo
de para cada elemento.
O tabuleiro é caraterizado por três secções chaves: secção de Vão (TV); secção Encastrados
nos pilares (TE); secção Apoiada nos pilares (TA). A transição entre a secção de vão e a
Análise Dinâmica Linear
36
secção encastrada consiste na variação quadrática da altura do caixão e da espessura da alma
inferior. Definem-se 10 secções intermédias (TVE) para caracterizar a variação entre as duas
secções chaves apresentando-se a sua geometria na Figura 3.4. A transição entre a secção de
vão e a secção apoiada dá-se com um aumento linear da espessura do banzo inferior e é
modelada através de 2 secções intermédias (TVA). A geometria das secções TA, TV e as
respectivas secções de transição são apresentadas na Figura 3.6.
Secção h e A a z
TVE1 2,02 0,2 5,97 2,73 1,94
TVE2 2,11 0,22 5,95 2,72 1,98
TVE3 2,28 0,24 5,91 2,69 2,06
TVE4 2,53 0,28 5,86 2,64 2,19
TVE5 2,87 0,33 5,78 2,58 2,35
TVE6 3,3 0,39 5,69 2,5 2,56
TVE7 3,81 0,46 5,58 2,41 2,77
TVE8 4,4 0,55 5,46 2,3 3,04
TVE9 5,08 0,65 5,31 2,17 3,33
TVE10 5,52 0,78 5,22 2,11 3,46
TE 5,6 0,86 5,2 2,11 3,44
Figura 3.4 – Geometria das secções de transição de TV a TE
Secção d B z
TV 0,60 0,20 2,74 1,30 1,93
TVA1 0,50 0,30 3,17 1,08 1,87
TVA2 0,30 0,50 4,04 0,65 1,77
TA 0,20 0,60 4,47 0,43 1,71
Figura 3.5 – Geometria das secções de transição de TV a TA
São criados onze elementos não prismáticos (TVE) para definir a zona de transição entre TV e
TE e três para elementos não prismáticos (TVA) para definir a zona de transição entre TV e TA.
Cada elemento não prismático apresenta uma variação linear de características geométricas
entre as duas secções adjacentes que o caracterizam.
No projecto de estruturas são especificadas as cotas das secções adjacentes aos pilares, mas
não há informação referente a localizações intermédias. Considera-se, no entanto, que a ponte
se desenvolve ao longo de um trainel recto com uma inclinação de 4,42% com a horizontal o
que leva a que as faces superiores de todas as secções estejam inscritas na rasante do
traçado. Por outro lado, a modelação dos elementos no Sap2000 é feita através dos centros
37
geométrico das respectivas secções pelo que é necessário ter em conta um intervalo entre
cada secção e a rasante. Esse intervalo tem o comprimento igual à distância entre o centro de
gravidade da secção e a sua face superior.
Na Figura 3.6 representa-se o perfil do tabuleiro da ponte e na Figura 3.7 apresenta-se em
maior pormenor a geometria e as secções do t ramo 1 (similar ao tramo 6), do tramo 2 (similar
ao tramo 5) e de metade do tramo 3. O tramo 3 e 4 apresentam a mesma geometria e são
simétricos a meio vão.
45 75 100 100 75 45
Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 Tramo 4 Tramo 5 Tramo 6
Figura 3.6 - Perfil Longitudinal do Tabuleiro
Figura 3.7 - Discretização das secções e elementos do Tabuleiro
Análise Dinâmica Linear
38
A ligação entre o tabuleiro e cada pilar é garantida através de um elemento rígido que liga o
topo de cada pilar à secção TE adjacente. Esse elemento tem uma secção de 0,2x0,2m2 e é
caracterizado por um material com um módulo de elasticidade E rigido=2x1022
kN/m2. O
comprimento do mesmo é de .
3.1.5 Uniformização dos deslocamentos horizontais
Sendo que a presente dissertação tem como foco o comportamento dos pilares, é importante
simplificar o máximo possível todos os parâmetros que não estejam directamente relacionados
com os mesmos de forma a tornar a análise o mais transparente possível. Nesta medida,
considera-se importante garantir deslocamentos horizontais iguais nos topos dos pilares em
análise. Para tal, procede-se a duas alterações na modelação do tabuleiro: A primeira consiste
em definir os elementos constituintes do tabuleiro como axialmente indeformáveis através da
aplicação de um factor multiplicativo às suas secções. No entanto, verifica-se que esta
alteração não altera o diagrama de deformações horizontais verificadas ao longo do tabuleiro.
Isto acontece porque a deformação horizontal do tabuleiro devido aos esforços axiais
instalados não é significativa face à deformação horizontal devido aos momentos flectores
instalados no tabuleiro. Como tal, a segunda alteração consiste em redefinir o posicionamento
dos nós constituintes do tabuleiro num único alinhamento horizontal.
Cria-se, no Sap2000, um novo modelo simplificado, baseado no modelo originalmente
apresentado. Na Figura 3.8 apresenta-se em traços gerais o tabuleiro do modelo simplificado, e
na Figura 3.9, apresenta-se em pormenor, os tramos 1, 2 e metade do tramo 3 (com simetria a
meio vão) desse mesmo modelo.
45 75 100 100 75 45
Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 Tramo 4 Tramo 5 Tramo 6
Figura 3.8 - Perfil Longitudinal do Tabuleiro do Modelo Optimizado
Este modelo não apresenta variação de deslocamentos horizontais ao longo do tabuleiro
quando sujeito a uma força horizontal. Na Tabela 3.3 apresentam-se os valores obtidos no
Sap2000 referentes aos pesos próprios dos elementos dos dois modelos.
39
Figura 3.9 - Discretização das secções do Tabuleiro do Modelo Optimizado
O peso próprio do tabuleiro do modelo simplificado é 5,9% menor que o do modelo original
devido ao encurtamento do mesmo. Isto traduz-se numa diminuição de 4,3% no peso próprio
no modelo global.
Tabela 3.3- Pesos próprios do modelo simplificado
Elemento Peso Próprio [ ]
Diferença [%] Original Optimizado
Tabuleiro 119097 112423 5,9
Pilares 43360 43360 -
Total 162457 155783 4,3
Análise Dinâmica Linear
40
3.2 Análise Modal
Neste capítulo procede-se a uma caracterização dos modos de vibração da estrutura, ou, como
já se referiu, a forma como a estrutura tende a deformar-se sob uma perturbação do seu
estado de repouso. Para esta análise, o uso do Sap2000 é essencial já que o modelo
apresenta demasiados graus de liberdade para ser feita uma análise simplificada do mesmo.
No entanto, a análise baseia-se no cálculo matricial descrito em 2.3 em que se consideram,
como graus de liberdade, as rotações e deslocamentos dos nós no plano da estrutura.
Do enorme número de modos de vibração, salienta -se aqueles que apresentam maior factor de
participação de massa. Segundo o EC8-1 é necessário ter em consideração os modos de
vibração de menores frequências próprias que totalizem um factor de participação de massa de
90% em cada direcção. Na Tabela 3.4 apresenta-se os seis primeiros modos de vibração
característicos da estrutura e os respectivos factores de participação de massa horizontais e
verticais.
Tabela 3.4 - Propriedades modais
Modo de vibração
Factor de participação horizontal [%]
Factor de participação vertical [%]
Discreto Acumulado Discreto Acumulado
1 1,76 0,57 84,7 84,7 0,0 0,0
2 0,86 1,17 2,6 87,3 0,0 0,0
3 0,60 1,68 0,7 88,0 2,2 2,3
4 0,46 2,19 1,4 89,4 0,3 2,6
5 0,40 2,50 0,0 89,4 25,0 27,6
6 0,33 2,99 2,1 91,5 0,0 27,6
O primeiro modo de vibração apresenta o maior factor de participação. Na Figura 3.10
apresenta-se a configuração da sua deformada.
Figura 3.10 - Configuração de deformada do primeiro modo de vibração
Nesta configuração de deformada sobressai o deslocamento horizontal do tabuleiro. A elevada
rigidez do pilar 4 relativamente ao tabuleiro induz neste uma considerável parcela de rotação
na ligação de ambos. O elevado factor de participação aliado a uma deformada com
41
deslocamentos predominantes numa direcção leva a que a estrutura possa aproximar-se a um
pêndulo invertido de um grau de liberdade a oscilar na direcção longitudinal. Esta simplificação
é tanto mais realista quanto menos expressão tiverem os factores de participação dos modos
de vibração superiores. O factor de participação de massa do primeiro modo é de 84,7% que
se considera proveniente da massa do tabuleiro (que representa 73,3% da massa total)
juntamente com uma parcela de massa dos pilares.
Tanto o segundo modo de vibração, como o terceiro e quarto têm uma expressão
predominantemente vertical; no entanto, os seus factores de participação verticais são
insignificantes. Isto ocorre porque as respectivas configurações de deformada do tabuleiro são
caracterizadas por deslocamentos em sentidos opostos o que faz com que as suas
contribuições conjuntas se anulem. O factor de participação horizontal também não é
significativo já que diz respeito a deformações dos pilares dadas pelas rotações induzidas pelo
tabuleiro. Estes modos são assim pouco relevantes no comportamento da estrutura
apresentando-se na Figura 3.11 a configuração de deformada do segundo modo.
Figura 3.11 – Configuração de deformada do segundo modo de vibração
A configuração de deformada do quinto modo é caracterizada por um movimento vertical dos
vários tramos em sentidos iguais e deslocamentos horizontais quase nulo. Como tal, este modo
apresenta um factor de participação vertical de 25% podendo ser considerado o primeiro modo
de vibração vertical. Na Figura 3.12 apresenta-se a deformada do quinto modo de vibração.
Figura 3.12 - Configuração de deformada do quinto modo de vibração
O sexto modo da estrutura tem uma expressão localizada. Consiste na deformada do pilar 3
conjuntamente com deslocamentos desprezáveis do tabuleiro. Tem um factor de participação
de massa de 2,1% e pode-se considerar o primeiro modo de vibração do pilar 3. Na Figura 3.13
apresenta-se a configuração de deformada do sexto modo.
Análise Dinâmica Linear
42
Figura 3.13 - Configuração de deformada do sexto modo de vibração
3.3 Confirmação dos resultados através de medições in-situ
Foi realizada uma campanha de medição de frequências com o registo de acelerações em três
locais do tabuleiro da ponte. Colocou-se um acelerómetro com 3 componentes a meio vão de
cada um dos três tramos principais tendo sido realizados registos de 60 segundos em cada um
desses pontos. A vibração registada foi produzida pela passagem de vários veículos pesados
circulando a velocidades de cerca de . A análise dos registos efectuados permitiu
identificar vários modos de vibração nas direcções verticais e transversais. No entanto, os
modos de vibração na direcção longitudinal não estão muito destacados apresentando
frequências muito elevadas. Isto deve-se à elevada contribuição do atrito dos aparelhos de
apoio na resistência aos deslocamentos longitudinais.
Para confirmar os valores medidos, o modelo de Sap2000 é definido para corresponder a uma
situação de betão não fendilhado pelo que se usa a inércia de flexão total para as secções dos
pilares. Comparam-se assim os valores de frequências medidas in-situ e os valores obtidos
através do Sap2000 para os primeiros modos verticais e transversais.
Tabela 3.5 - Comparação entre frequências medidas in-situ e obtidas através do Sap2000 [Hz]
Modo In-situ Sap2000
1º Vertical 1,20 1,24
2º Vertical 1,70 1,71
1º Transversal 0,39 0,40
2º Transversal 0,80 0,73
Embora as amplitudes medidas sejam muito baixas, entre e , os
resultados obtidos mostram que o modelo do Sap2000 consegue reproduzir com grande
aproximação os valores dos ensaios experimentais in-situ para os modos verticais e
transversais.
43
3.4 Análise sísmica do modelo
A acção s ísmica a considerar nesta análise é escolhida de forma a explorar a plasticidade dos
pilares. A solicitação s ísmica é definida através do espectro de cálculo de acelerações
representado pelas equações (2.34) a (2.37). O coeficiente de solo toma o valor já que
os pilares estão fundados em terreno rochoso do tipo A. Por outro lado, considera-se
importante que a ponte mantenha a sua integridade, não só durante o sismo, mas
principalmente no período pós sismo, pois é importante garantir uma comunicação rápida entre
as várias localidades que a mesma liga, fundamental para um socorro eficiente das populações
afectadas. Como tal, atribui -se à estrutura uma classe de importância IV que equivale a um
coeficiente de importância . Por último, pela análise modal verifica-se que os primeiros
modos de vibração da ponte apresentam períodos de vibração altos pelo que se considera, no
dimensionamento, a acção sísmico tipo 1 correspondente a sismos distantes , ricos em baixa
frequência (alto período).
Na determinação do coeficiente de comportamento desta ponte, deve constatar-se que,
embora seja constituída por três pilares, o pilar curto é o mais solicitado sendo que a
resistência última da ponte está muito dependente da resistência deste pilar. O EC8-2 define
um valor limite de para pontes de betão armado de pilares verticais; no entanto, pelas
razões enunciadas, opta-se por adoptar um valor menor: .
Por fim, definem-se t rês zonas caracterizadas por três intensidades sísmicas diferentes:
Azambuja, Lisboa e Aljezur. Azambuja insere-se na zona sísmica 1.4 a que corresponde uma
aceleração máxima de referência de ; Lisboa pertence à zona sísmica 1.3 com
uma aceleração máxima de referência correspondente de ; Aljezur pertence à
zona sísmica 1.1 com aceleração máxima de referência correspondente de .
Definem-se os espectros de resposta correspondentes a cada uma das três zonas sísmicas no
Sap2000 através da função Response Spectrum. Apresenta-se na Tabela 3.6 os parâmetros a
definir no Sap2000.
Tabela 3.6 – Parâmetros do Espectros de cálculo de tipo 1
zona Azambuja Lisboa Aljezur
[m/s2] 1,0 1,5 2,5
S 1,0 1,0 1,0
0,1 0,1 0,1
0,6 0,6 0,6
2,0 2,0 2,0
1,95 1,95 1,95
[m/s2] 1,95 2,925 4,875
3,0 3,0 3,0
Análise Dinâmica Linear
44
Na Figura 3.14 apresentam-se graficamente os espectros de cálculo referentes às três zonas.
Figura 3.14 - Espectros de Respostas de Dimensionamento
De forma a determinar os esforços resultantes da aplicação dos espectros, define-se um Load
Case referente a cada sismo com orientação na direcção horizontal para a aplicação da
aceleração de cálculo e uma combinação dos resultados modais do tipo CQC.
A expressão prevista pelo EC8 para a combinação para os estados limites últimos ao sismo é:
em que é o valor característico da acção permanente (que nesta dissertação é reduzido ao
peso próprio) e , o valor de cálculo da acção sísmica. Como já foi referido, considera-se
nula a contribuição do efeito do pré-esforço do tabuleiro, . Também as acções devidas ao
tráfego rodoviário são ignoradas pois estão fora do âmbito de estudo pelo que . A
equação (3.1) é reescrita para:
Desta forma, cria-se uma combinação de acções para cada cenário sísmico. Usa-se para este
fim, a função Load Combinations onde se define a participação unitária, tanto do peso próprio,
como da acção s ísmica.
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4
Se [m/s2]
T [s]
Aljezur
Lisboa
Azambuja
(3.1)
(3.2)
45
3.5 Determinação do espectro de resposta
Na Tabela 3.7 apresentam-se os valores de esforço de corte basal , coeficiente sísmico e
deslocamentos do tabuleiro obtidos pelo Sap2000 referentes às acções sísmicas das três
zonas em consideração.
Tabela 3.7 - Deslocamentos e esforços de corte basal
Azambuja Lisboa Aljezur
4,29 6,27 10,21
8595,3 12893,0 21488,3
[-] 0,055 0,083 0,138
Tratando-se de uma análise elástica, a distribuição relativo do esforço transverso é idêntico
para qualquer uma das solicitações sísmicas, apresentando-se na Figura 3.15 a distribuição
qualitativo da envolvente de esforço transverso nos pilares da ponte.
Figura 3.15 - Desenvolvimento qualitativo do esforço transverso nos pilares
A participação dos três pilares para a resistência longitudinal é de 15%, 14% e 71%
respectivamente para os pilares 2,3 e 4. Como era de se esperar, o pilar 4 é o mais solicitado,
que, associado ao facto de ser o pilar com a menor secção transversal, torna-se o elemento
mais condicionante da estrutura. Como tal, a localização s ísmica é escolhida por forma a
explorar a plasticidade deste pilar.
Os valores obtidos através do Sap2000 para os esforços nas secções inferiores e superiores
do pilar 4, respectivamente secção 4-I e 4-S, são apresentadas na Tabela 3.8. O facto dos
resultados da combinação s ísmica ser dado em módulo tem a vantagem de se apresentar
apenas os valores de esforços condicionantes para cada elemento; no entanto, leva a uma
perda de informação na medida em que não se conhece o real desenvolvimento dos esforços.
Esta limitação não influencia a análise de esforços transversos ou momentos flectores pois as
secções são simétricas tal como a distribuição das armaduras. No caso do esforço normal, no
entanto, não é espectável que este apresente valores positivos em nenhuma zona do pilar. O
valor observado na base do pilar 4 devido à actuação isolada do peso próprio é de
o que, comparando com os valores apresentados na Tabela 3.8, indica que a
Análise Dinâmica Linear
46
contribuição da acção sísmica é menor que 10% em todos dos casos, não sendo suficiente
para descomprimir o pilar.
Tabela 3.8 - Esforços actuantes nas secções extremas do pilar 4
Secção Azambuja Lisboa Aljezur
4-S 6203,1 9037,8 14707,1
4-I 6346,0 9252,1 15064,3
4-S 75189,6 106485,5 169010,4
4-I 82111,1 122812,4 20064,0
4-S 24784,7 27815,5 28479,9
4-I 33600,0 33932,3 34596,9
O deslocamento longitudinal sofrido pelo tabuleiro sob a acção sísmica é:
Em que é o coeficiente de ductilidade e respeita a igualdade como se referiu na
definição do coeficiente de comportamento.
Os valores de cálculo dos esforços actuantes no pilar devem ter em consideração os efeitos de
segunda ordem devido à excentricidade da carga vertical provocada pelos deslocamentos
longitudinais do pilar. Segundo o EC8-2, o momento flector devido a esse efeito é dado pela
equação:
Em que representa o esforço axial de dimensionamento obtido através do Sap2000 para a
combinação sísmica em estudo. Sendo que o peso próprio do pilar não é desprezável,
considera-se o valor de esforço axial na base do mesmo, de forma a dimensionar “do lado da
segurança”. O primeiro termo da equação traduz o efeito desfavorável da perda de rigidez do
betão sob acções cíclicas.
Na Tabela 3.9 apresentam-se os valores de dimensionamento dos momentos flectores e
esforços normais relativos à secção 4-I pois é aquela sujeita a maiores esforços.
A secção dos pilares é caracterizada por duas almas esbeltas estruturantes de quatro núcleos
e dois banzos simétricos em relação ao centro da secção, tal como se mostra na Figura 3.16.
Os dois conjuntos formados por dois núcleos e um banzo representam mais de 98% do
momento de inércia da secção e 85% da sua área.
(3.3)
(3.4)
47
Tabela 3.9 – Momentos flectores de Cálculo para a secção 4-I
Azambuja Lisboa Aljezur
12,9 18,81 30,6
33600,1 33932,4 34596,9
8668,8 12765,4 21173,3
82113,2 122812,4 204220,5
90782,1 135577,8 225393,8
Como tal, dimensiona-se a secção com base num modelo de binário equivalente em que esses
conjuntos representam duas parcelas do binário resultante da flexão composta. Esta medida
apresenta-se do lado da segurança na medida em que considera uma área resistente menor
que a área da secção e não se afasta do comportamento real da secção já que o momento de
inércia das almas é desprezável em relação ao momento de inércia do resto da secção. O
modelo de binário equivalente é apresentado na Figura 3.16.
Almas
Banzo
z
Fc = FM + FN
Fy = FM - FN
MEd
NEd
4,00
Núcleo
Figura 3.16 - Modelo de Binário Equivalente para o pilar 4
Em que:
(3.5)
(3.6)
O braço do binário, z, não pode ser determinado directamente, pois as tensões no betão e nas
armaduras são desconhecidas. No entanto, considera-se que os dois conjuntos de núcleos e
banzos estão suficientemente afastados para se considerar o diagrama de tensões normais
instaladas nesses elementos constante e levando a que a força de compressão resultante
possa ser considerada no centro geométrico de cada um desses conjuntos. Esta hipótese é
conservativa já que a tensão e, consequentemente, o centro de aplicação aumentam com o
afastamento à linha neutra. Assim, z toma o valor de:
Análise Dinâmica Linear
48
(3.7)
A armadura é aplicada simetricamente nos conjuntos comprimidos e traccionados já que se
verifica inversão dos sinais dos esforços devido à acção c íclica. O quociente entre a área de
armadura longitudinal total e a área da secção de betão é denominado pela taxa de armadura
longitudinal, e torna-se o parâmetro mais representativo da ductilidade da secção.
Apresentam-se na Tabela 3.10 os valores referentes à secção 4-I para as três combinações
sísmicas.
Tabela 3.10 – Taxa de armadura longitudinal na secção 4-I
Azambuja Lisboa Aljezur
33600,1 33932,4 34596,9
90782,1 135577,8 225393,8
46084,6 60700,9 90006,1
12484,5 26768,6 55409,2
358,8 769,2 1592,2
0,0083 0,0179 0,0372
A alta taxa de armadura leva a uma elevada concentração de rigidez na zona tracionada
aumentando a profundidade da linha neutra, as extensões e consequentes tensões no banzo
comprimido. Isto leva a uma rotura por esmagamento do betão com pouca exploração da
plastificação das armaduras. Neste sentido, o EC8 define um limite de <0,04 para dotar a
secção de ductilidade. No entanto, uma taxa de armadura próxima desse valor pode não
apresentar a maior ductilidade pelo que a armaduras calculada para resistir aos esforços
provocados pela combinação sísmica de Aljezur é considerada muito elevada. Entre os dois
cenários alternativos, considera-se que a combinação sísmica da Azambuja não é
suficientemente exigente, considerando-se a combinação sísmica de Lisboa mais adequada
para a exploração da capacidade plástica da secção em causa.
O deslocamento do tabuleiro para a acção sísmica de Lisboa é assim, .
3.6 Dimensionamento do pilar 4
O dimensionamento dos pilares ao estado limite último é feito com base no método da
Capacidade Real já descrito em 2.6. As secções extremas dos pilares são as mais solicitadas
ao momento flector pelo que se prevê a formação de rótulas plásticas. Essas secções são
dimensionadas para resistir ao momento flector obtido elasticamente com os efeitos de
segunda ordem já contabilizados.
49
Quanto à secção 4-I, o momento de cálculo referente à situação sísmica de Lisboa é
e a área de armadura de flexão necessária é de . Opta-se
assim por uma armadura de 96Φ32 com uma área de a distribuir pelo
conjunto t raccionado. Adopta-se a mesma armadura no conjunto comprimido o que soma um
total de armadura longitudinal de 192Φ32 correspondente a . Estas armaduras
devem ser aplicadas em toda a zona crítica. O momento resistente da secção I é:
(3.8)
Quanto à secção 4-S, o momento flector obtido no Sap2000 é a que
acresce o momento devido aos efeitos de segunda ordem que, tal como foi referido
anteriormente, se deve ao valor máximo de esforço normal no pilar, pelo que toma o valor já
calculado para a secção I. Assim, o valor de cálculo do momento flector na secção 4-S é:
(3.9)
O esforço normal de cálculo corresponde ao valor elástico é de . A análise da
secção 4-S é realizada da mesma forma que a análise da secção 4-I. Assim, com base na
equação (3.6), tem-se a que corresponde . Considera-se
uma armadura de tracção de 88Φ32 equivalente a uma área de armadura ,
igualmente usada no conjunto comprimido, levando a um total de 176Φ32 correspondente a
. Esta armadura deve ser aplicada em toda a zona crítica.
Como tal, o momento flector resistente da secção é:
(3.10)
O factor de sobre-resistência a considerar para o dimensionamento das zonas frágeis dos
pilares é definido pelo EC8-2 como pelo que os momentos de sobre-resistência em I
e S são, respectivamente, e .
O esforço axial reduzido a que cada secção é solicitada é inferior a pelo que o
comprimento da zona crítica é:
(3.11)
Análise Dinâmica Linear
50
O valor de refere-se ao comprimento em que se deve adotar armadura longitudinal e de
confinamento calculada para as zonas críticas. No entanto, o comprimento de rótula plástica
para efeitos de verificação de deformações é dado por:
Onde representa o comprimento de vão de corte, ou seja, a distância até à secção de
momento nulo. O valor refere-se ao diâmetro das armaduras longitudinais. Obtém-se assim
um comprimento de formação de rótula plástica para a base e topo do pilar de e
. Deve considerar-se que a curvatura nesse intervalo varia entre o valor de
curvatura de cedência e um valor menor que a curvatura última. No entanto, por falta de
processos mais precisos para determinar esses valores, as curvaturas nas secções críticas são
calculadas com base na teoria do coeficiente de comportamento. Considerando que os valores
de e correspondente dizem respeito à cedência das secções, o valor de referente
à curvatura de uma secção da zona crítica pode ser obtido pela relação apresentada em baixo:
(3.13)
Os valores de curvatura de referência obtidos para as secções da base e de topo são,
respectivamente, e .
Na Figura 3.17 apresenta-se o diagrama de momentos flectores de cálculo referentes a um
dimensionamento por capacidade real para o pilar 4 em paralelo com o diagrama de momentos
de cálculo se não fosse usado esse método.
Figura 3.17 - Diagrama de momentos de cálculo pelo método de capacidade real
(3.12)
51
Embora o EC8-2 dispense o uso de armadura de confinamento para secções ocas com
, opta-se por usar uma quantidade de armadura de confinamento mínima nos núcleos,
definida nesse regulamento por para secções rectangulares. Para uma
exigência de ductilidade elevada, . A área de armadura a adotar é dada por:
Onde e representam, respectivamente, o espaçamento entre estribos e a maior dimensão
da secção confinada que se considera para a secção 4-I. Usam-se assim cintas
singulares de contorno de Φ12//0,1 juntamente com quatro cintas interiores em cada direcção
que perfazem nas duas direcções. Esta distribuição de armadura de confinamento
deve ser usada nos quatro núcleos no comprimento das duas zonas críticas.
A quantidade mínima de armadura longitudinal a considerar nas zonas frágeis é definida
através do EC2-1 pela seguinte equação:
(3.15)
Adopta-se, uma armadura longitudinal mínima de 30Φ32 nas secções de momentos mínimos.
A dispensa de armadura deve ser feita fora das zonas críticas e considerando comprimentos
de amarração adequados, garantindo um momento resistente, em cada secção, envolvente ao
diagrama de momentos de cálculo apresentado na Figura 3.17.
O esforço transverso de cálculo é determinado com base nos momentos
sobredimensionados previstos pelo método de capacidade real. Assim,
(3.16)
O cálculo de armaduras transversais é feito com base no modelo de escoras e tirantes previsto
pelo EC2-1 em que o betão apresenta bielas comprimidas de inclinação que, em conjunto
com as armaduras t raccionadas, asseguram a transmissão do esforço t ransverso através do
pilar. A área de armadura transversal necessária para transmitir o esforço transverso é dada
por:
(3.17)
(3.14)
Análise Dinâmica Linear
52
Devido às solicitações cíclicas, verifica-se abertura de fendas em direcções ortogonais, para
contabilizar o efeito prejudicial desse fenómeno no comportamento do betão, o EC8-2 define
para as zonas críticas. Nas restantes zonas, considera-se que por se prever
mais homogeneidade (menos fendilhação) e consequente maior resistência do betão a tensões
de corte. Nas equações (3.18) e (3.19) apresentam-se os cálculos das áreas de armadura nas
zonas críticas e zona corrente, respectivamente.
(3.18)
(3.19)
As armaduras de esforço transverso são distribuídas paralelamente ao longo das duas almas
da secção o que leva a que cada plano de armaduras transversais contribua com quatro
secções efectivas de armadura. Como tal, adoptam-se cintas duplas de Φ16//0,1 para as zonas
críticas o que corresponde a . Para as zonas restantes adoptam-se cintas duplas
de Φ12//0,10 a que corresponde .
3.7 Dimensionamento dos Pilares 2 e 3
Na Tabela 3.11 apresentam-se os esforços obtidos através do Sap2000 para as secções
extremas dos pilares 2 e 3 considerando a combinação sísmica de Lisboa.
Tabela 3.11 - Esforços nos pilares 2 e 3 para a combinação sísmica de Lisboa
2-I 2-S 3-I 3-S
1972,34 1372,01 1882,83 1143,34
62859,94 41701,57 60443,36 40852,86
46139,41 27936,52 50061,51 30501,48
Os esforços transversos verificados nos dois pilares são semelhantes e consideravelmente
inferiores aos esforços transversos actuantes no pilar 4, pelo que as análises dos dois são
feitas em paralelo. Deve notar-se que a variação de é bastante mais notória para estes dois
pilares. Isto pode estar relacionado com a participação das suas massas no modo fundamental
ou com a excitação dos seus modos locais.
Com base na equação (3.3) calculam-se os momentos devidos aos efeitos de segunda ordem.
Os momentos de cálculo obtidos são assim comparados com os momentos de referência
53
(calculados para secções ainda não fendilhadas) correspondentes à descompressão e
fendilhação das secções correspondentes. Considera-se que o betão suporta uma
tensão de tracção de Os valores obtidos são apresentados na Tabela 3.12.
Tabela 3.12 – Momentos de cálculo e de referência das secções críticas dos pilares 2 e 3
2-I 2-S 3-I 3-S
6,27
46139,4 27936,5 50061,5 30501,5
62859,9 41701,6 60443,4 40852,9
17357,6 18833,1
80217,6 59059,2 79276,5 59686,0
63711,0 24319,0 69120,1 26551,8
139878,0 59921,6 145279,6 62154,4
Deve-se considerar um estado fendilhado para a análise do comportamento do betão a acções
cíclicas. No entanto, verifica-se que os momentos máximos a que as secções estão sujeitas
são inferiores àqueles que são necessários para levar a mesma secção a um estado fendilhado
(numa análise monotónica). Isto leva a que a armadura mínima seja suficiente para suportar os
esforços provocados pelos estados de flexão composta instalados nessas secções. A área de
armadura mínima para as secções A e B é de e ,
respectivamente. Adopta-se uma armadura de 64Φ25 constante a todo o comprimento dos dois
pilares. Pelo método do binário equivalente calculam-se os momentos resistentes para os
esforços normais instalados. Na Tabela 3.13 apresentam-se os valores de momento de cálculo
e resistentes para as secções críticas dos pilares 2 e 3.
Tabela 3.13 - Comparação entre os valores de momento de cálculo e resistente
2-I 2-S 3-I 3-S
46139,4 27936,5 50061,5 30501,5
80217,59 59059,22 79276,5 59686,0
128427,9 51648,93 137213,4 55239,87
Verifica-se que os momentos obtidos pelo método de binário equivalente são inferiores aos
momentos de fendilhação. Isto verifica-se pois este método não reproduz a realidade de
secções pouco solicitadas.
A distribuição de armaduras obtida está implicitamente de acordo com o método de capacidade
real na medida em que as secções das zonas frágeis, dotadas da mesma armadura que as
zonas críticas, resistem a uma solicitação em que os momentos resistentes das zonas críticas
são mobilizados. O esforço transverso de cálculo determina-se, tal como previsto pelo método
da capacidade real, através da equação (3.16) correspondente a cada pilar:
Análise Dinâmica Linear
54
(3.20)
(3.21)
Tal como foi visto anteriormente, o ângulo das bielas comprimidas é de θ=30º nas zonas
correntes. Quanto ao comportamento do betão nas zonas críticas, embora não se preveja
grandes extensões numa análise longitudinal dos pilares, é expectável que, sujeito a uma
acção sísmica transversal, estes sejam bastante solicitados, prevendo-se um elevado nível de
fendilhação nas zonas críticas (principalmente as inferiores), pelo que se considera um ângulo
das bielas comprimidas de θ=45º nessas zonas.
Os comprimentos das zonas críticas são apresentados Tabela 3.14. De notar que estas zonas
contêm secções de altura variáveis pelo que, por segurança, se considera a secção de maior
altura de cada zona.
Tabela 3.14 - Comprimentos das Zonas Críticas
2-I 2-S 3-I 3-S
5,7 4 5,7 4
8,8 3,6 9,6 3,9
8,8 4 9,6 4
A distribuição de armadura obtida por este dimensionamento elástico é do tipo b.b.A. já que
apresenta baixa taxa de armadura nos pilares secundários e alta taxa no pilar curto. A
metodologia usada baseia-se numa análise estrutural com base em forças onde a resistência
dos elementos são calculadas em função dos esforços ac tuantes. A deformação desses
elementos obtém-se com base na sua rigidez e esforços actuantes.
Por outro lado, o sismo provoca um efeito de deslocamentos impostos nas estruturas pelo que
os esforços gerados nos mesmos dependem da rigidez dos seus elementos às deformadas
resultantes. Tendo em consideração que os materiais apresentam comportamento não linear, a
rigidez dos elementos está dependente do estado de tensão dos materiais pelo que se deve
realizar uma análise estrutural com base em deslocamentos para determinar o comportamento
da estrutura sob a acção sísmica.
Como já foi referido em 2.7, é possível alterar as características resistentes dos elementos sem
comprometer a sua integridade sob acções s ísmicas. Como tal, nos próximos capítulos
analisam-se alternativas ao dimensionamento das armaduras apresentado de forma a verificar
a possibilidade de diminuir a quantidade de armadura sem comprometer a integridade da
estrutura sob a actuação de um sismo de projecto para a zona de Lisboa.
55
4 Análise Estática não Linear
Neste capítulo pretende-se avaliar a influência da taxa de armadura dos vários pilares no
comportamento global da ponte. Para isso, efectuam-se várias análises estáticas não lineares
a quatro modelos distintos. Para simular o comportamento não linear da estrutura, utiliza-se o
programa SeismoStruct [17]. Este é um programa de análise dinâmica não linear tridimensio nal
que possibilita análises por incrementos de deslocamentos e, inclusivé, do comportamento
dinâmico de estruturas sob registos de acelerações através de integração passo-a-passo da
equação do movimento. Embora o programa permita um estudo tridimensional, toda a análise é
feita num espaço bidimensional do plano vertical da estrutura sendo os graus de liberdade
transversais bloqueados.
4.1 Caracterização dos Materiais
A modelação dos materiais deve ter em consideração o seu comportamento não linear pelo
que as suas relações constitutivas são definidas com base nos conceitos já referido em 2.1.
Consideram-se valores característicos das resistências já que se pretende avaliar o
comportamento da estrutura. Assim, apresenta-se na Figura 4.1 a relação constitutiva
monotónica do aço A400 a modelar no SeismoStruct. O EC8-1 define uma extensão de rotura
para o aço de classe C de .
Opta-se por modelar o betão a usar em todos os pilares da ponte com o mesmo nível de
confinamento que permita uma boa capacidade de ductilidade às secções condicionantes.
Considera-se que o valor conseguido nos núcleos das zonas críticas do pilar 4 (dimensionado
no capítulo anterior) é adequando para esta análise pelo que se calcula o factor de
confinamento correspondente .
Análise Estática não Linear
56
Figura 4.1 - Relação constitutiva cíclica do Aço A400
O SeismoStruct calcula esse factor com base no modelo previsto por Mander com base nas
dimensões da secção e densidade de cintas definidos. Para o caso dos núcleos da secção 4-I,
onde se verificam 10 troços de varões Φ12 em cada direcção espaçados a , o factor
de confinamento é de . Tal como na análise anterior, usa-se o betão C40 cuja
capacidade de resistência confinada é aumentada para e a relação constitutiva
é apresentada na Figura 4.2.
Figura 4.2 – Relação constitutiva do betão C40 confinado
A extensão de rotura é calculada com base na equação (2.3) sendo que, para ,
.
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
-0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08
σ [Mpa]
ε [-]
0
10
20
30
40
50
60
70
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018
εc [-]
σc [MPa]
57
4.2 Secções equivalentes
Uma limitação do SeismoStruct corresponde à inexistência de um sistema de geração de
secções genéricas. As escolhas limitam-se algumas geometrias pré-definidas pelo programa
com possibilidade de alterar as dimensões. Na Figura 4.3 apresentam-se as geometrias
simétricas presentes no SeismoStruct que melhor se adequam à geometria de uma secção
genérica dos pilares, à direita.
Figura 4.3 – Secções-tipo do SeismoStruct (à esquerda) e secção dos pilares (à direita)
Restringido a estas escolhas, deve adoptar-se a que apresente o comportamento mais próximo
do comportamento não linear da secção original quando sujeitos aos esforços em estudo
(compressão e momento segundo um eixo) tendo em conta a sua constituição heterogénea. A
secção superior direita da Figura 4.3 poderia ser considerada na medida em que o banzo
inferior representaria a resistência do betão à compressão. No entanto, a opção é rejeitada já
que se analisa a ponte nas duas direcções e as secções só apresentam descompressão
quando sujeitas a cargas muito elevadas. Além disso, o SeismoStruct tem em consideração a
falta de resistência do material à tracção como já foi visto quando se definiram as relações
constitutivas dos materiais. A secção tipo apresenta uma concentração de massa e
consequente momento de inércia afastados do centro de gravidade o que leva a um bom
aproveitamento da área de betão para resistência aos momentos flectores. A secção
equivalente deve ser escolhida de forma a se salientar esta característica, pelo que se exclui a
secção superior esquerda da Figura 4.3. de entre as duas secções inferiores dessa mesma
figura, embora a da direita se possa assemelhar mais a secção tipo dos pilares, no que diz
respeito à análise de flexão e respectivo esforço transverso numa direcção, as duas
apresentam as mesmas características já que diferem unicamente na localização dos banzos .
Escolhe-se assim a secção em “H” unicamente por considerar uma distribuição de armadura
mais próximas da distribuição de armadura das secções originais, ou seja, nos núcleos.
Análise Estática não Linear
58
A geometria da secção é definida de forma a apresentar as mesmas características elásticas
que a secção original, ou seja, a mesma área, e momento de inércia. No entanto, prevendo
todo o comportamento não linear que se segue ao pequeno patamar elástico, é importante
garantir também a mesma altura de flexão das secções de forma a manter o módulo de flexão
elástico . De forma a manter a mesma área de corte, deve garantir-se uma espessura da
alma equivalente à da secção original. Apresenta-se na Figura 4.4 a geometria tipo da secção
equivalente a usar na modelação do SeismoStruct. Por observação da figura, constata-se que,
dos quatro parâmetros necessários para definir a sua geometria, toma o valor da altura de
flexão da secção original e toma o valor da soma de espessuras das almas da secção
original, pelo que apenas e não são determinadas directamente.
Figura 4.4 - Geometria tipo da secção equivalente
Esses parâmetros são determinados de forma a garantir as mesmas áreas e momentos de
inércia das secções originais pelo que se cria um sistema de duas equações a duas incógnitas
apresentado em baixo.
(4.1)
Os valores das áreas e momentos de inércia das secções originais são obtidos através do
AutoCad e apresentadas na Tabela 4.1. Na mesma tabela apresentam-se os valores de e
calculados para cada secção equivalente e os respectivos momentos de inércia. Com esta
geometria equivalente garante-se o mesmo comportamento linear da secção original, no
entanto, o comportamento não linear deve ser verificado de forma a validar toda a análise.
Um parâmetro a verificar é o módulo de flexão plástica que consiste na verificação da
resistência máxima à flexão considerando um comportamento elasto-plástico perfeito, ou seja,
considerando um comportamento homogéneo da secção constituída por um material sem
rigidez de endurecimento.
59
Tabela 4.1 - Definição da geometria das secções equivalentes
Secção
VI1 15,76 61,80 5,68 1,20 1,34 4,54 61,80
VI2 14,10 43,19 5,13 1,20 1,34 4,16 43,19
VI3 12,76 31,47 4,68 1,20 1,32 3,91 31,47
VI4 11,75 24,14 4,34 1,20 1,31 3,70 24,14
VI5 11,08 20,06 4,12 1,20 1,30 3,56 20,06
VI6 10,77 18,36 4,02 1,20 1,30 3,49 18,36
C (pilar 2 e 3) 9,68 17,23 4,00 1,00 1,19 3,39 17,23
C (pilar 4) 8,56 16,17 4,00 0,80 1,09 3,27 16,17
VS1 8,90 16,63 4,00 0,88 1,09 3,35 16,63
VS2 11,69 20,34 4,00 1,58 1,09 4,05 20,35
Este é um factor teórico, que não se adequa verdadeiramente a um estudo de uma secção de
betão armado, mas que tem a utilidade de representar a distribuição das massas resistentes ao
momento flector da secção. Na Figura 4.5 representa-se graficamente a determinação de .
Figura 4.5 - Determinação do módulo de flexão plástico
Calculam-se os valores do centro de massa referente às secções originais e das
respectivas secções equivalentes através do programa AutoCad. O módulo de flexão
plástico é, assim, dado por:
(4.2)
Na Tabela 4.2 apresenta-se os módulos de flexão plástica das secções originais e respectivas
secções equivalentes tal como a percentagem de erro que se verifica entre cada um deles.
A diferença obtida entre os módulos de flexão plástica das secções equivalentes e secções
originais é menor que 2% para qualquer geometria de secção pelo que se considera que as
mesmas representam bastante bem o comportamento das secções originais.
Análise Estática não Linear
60
Tabela 4.2 - Módulos de flexão plástica
Secção
Diferença [%]
VI1 15,76 1,86 29,28 1,85 29,10 0,62
VI2 14,10 1,64 23,13 1,62 22,91 0,96
VI3 12,76 1,47 18,75 1,46 18,58 0,89
VI4 11,75 1,34 15,73 1,33 15,61 0,75
VI5 11,08 1,25 13,90 1,24 13,77 0,91
VI6 10,77 1,22 13,10 1,20 12,91 1,39
C (pilar 2 e 3) 9,68 1,25 12,09 1,24 11,99 0,87
C (pilar 4) 8,56 1,29 11,08 1,29 11,01 0,60
VS1 8,90 1,28 11,42 1,28 11,36 0,56
VS2 11,69 1,22 14,20 1,21 14,14 0,45
Deve referir-se que estas diferenças aumentam quando se trata da secção heterogénea, onde
a linha neutra se afasta do centro de gravidade e onde a área da secção que está
efectivamente mais afastada do centro de gravidade ganha importância. Neste aspecto, as
secções originais apresentam menos área afastada do centro já que os banzos não se
encontram no afastamento máximo.
4.3 Modelação dos pilares
Os pilares são definidos através de elementos barra em que a secção constituinte é
caracterizada pelos materiais não lineares já descritos anteriormente. Nas definições gerais do
programa define-se o valor de recobrimento .
Cada elemento-barra é do tipo Inelastic Force-Based Frame Element em que a análise se
baseia numa imposição de variação de esforços lineares ao longo do elemento. Por outro lado,
existe um segundo método de análise Inelastic Displacement-Based Frame Element onde se
impõe ao elemento uma variação linear de curvatura. Tratando-se de uma análise não-linear,
prevê-se que a variação de curvaturas não seja linear pelo que se põe de parte esta análise.
De forma a apresentar uma boa compatibilidade com o modelo já criado no Sap2000, utilizam-
se as coordenadas dos nós constituintes dos pilares desse mesmo modelo para definir os nós
dos pilares do modelo não-linear. Os nós constituintes do tabuleiro são ignorados mantendo
unicamente os nós de intersecção deste com os pilares centrais. A nomenclatura dos
elementos baseia-se naquela utilizada na modelação elástica e apresentada na Figura 3.1,
pelo que se cria e posiciona-se cada elemento nos pares de nós que os delimitam. O elemento
rígido que liga o topo de cada pilar ao centro de gravidade do tabuleiro é definido por um
elemento elástico perfeito com rigidez axial e de flexão de e ,
61
respectivamente. Na Figura 4.6 representa-se os elementos dos pilares modelados no
SeismoStruct.
Figura 4.6 - elementos dos pilares no SeismoStruct
4.4 Modelação do tabuleiro
Como já se referiu, considera-se um comportamento elástico linear por parte do tabuleiro pelo
que o mesmo é modelado com base em elementos elásticos lineares que transmitem um
comportamento equivalente aos pilares em estudo. Os tramos centrais, localizados entre
pilares, são modelados no SeismoStruct através de elementos elásticos do tipo barra de rigidez
equivalente enquanto os tramos exteriores aos pilares são modelados através de molas de
rotação com liberdade de t ranslação. A massa do tabuleiro é dividida em quatro parcelas: três
dessas parcelas são consideradas no topo de cada um dos três pilares e a parcela referente à
massa restante é associada a um ponto exterior à estrutura ao nível do tabuleiro e com
deslocamentos horizontais restringido aos deslocamentos do topo dos três pilares.
Os tramos centrais são assim criados com base numa classe de elemento do tipo Elastic
Frame Element em que se define uma rigidez axial de e valor nulo para a
massa. Para determinar a sua rigidez de flexão, analisa-se individualmente este tramo no
Sap2000 com as condições de apoio encastrado-apoiado aplicando um momento flector de
no apoio com liberdade de rotação obtendo-se nesse mesmo apoio uma rotação
Análise Estática não Linear
62
de . De forma a dotar o novo elemento equivalente da mesma rigidez de
rotação, a sua rigidez de flexão é dada por:
(4.3)
Para modelar a influência dos tramos exteriores no comportamento dos pilares, aplica -se uma
mola com rigidez de rotação elástica no topo dos pilares 2 e 4. Essa rigidez é obtida através do
Sap2000 a partir de uma análise isolada dessa subestrutura constituída pelos tramos 1 e 2
(com a mesma geometria dos tramos 5 e 6). Na ligação ao pilar liberta -se a rotação e impede-
se o deslocamento vertical. Aplicando um momento de obtem-se uma rotação de
. A rigidez de rotação da mola é dada por:
(4.4)
Por fim, no que diz respeito à massa do tabuleiro, aplica-se nos pilares a massa respeitante ao
peso transferido do tabuleiro para o pilar numa análise estática do peso próprio. Para tal, com
auxílio do Sap2000, isola-se o tabuleiro e verificam-se as reacções transmitidas aos três pilares
e as reacções restantes. Na Figura 4.7 mostram-se os valores obtidos.
Figura 4.7 – Distribuição do peso próprio do tabuleiro [kN]
Tendo a distribuição de reacções referentes ao peso próprio da estrutura em cada pilar (e
apoio), calculam-se as massas que geram essas forças. As massas referentes às cargas
transmitidas aos pilares estruturais são discriminados enquanto os valores obtidos para os
outros apoios são aglomerados numa só parcela a ser modelada exteriormente à estrutura.
Tabela 4.3 - Massas equivalentes do tabuleiro
Pilar 2 26810,50 2735,77
Pilar 3 29303,28 2990,13
Pilar 4 26810,50 2735,77
Restante 35922,51 3665,56
Total 112422,63 11471,70
63
O ponto associado à massa restante é colocado a 50 metros afastado do pilar 2 e é ligado ao
mesmo por um elemento axialmente rígido e com rigidez de flexão nula de forma a não
interferir com a rotação do pilar 2.
De forma a validar o comportamento dinâmico do modelo criado no SeismoStruct analisam-se
os períodos próprios do mesmo. A análise diz respeito ao comportamento da estrutura numa
fase inicial da relação constitutiva de todos os materiais, na qual se pode considerar um
comportamento elástico onde a rigidez é máxima como já foi referido em 3.3. Nesta análise
dispensa-se o uso de armadura de flexão no modelo do SeismoStruct visto que os pilares
estão comprimidos. Os valores de período são comparados com aqueles verificados no modelo
do Sap2000. É importante notar que o tabuleiro está simulado no SeismoStruct através de um
elemento equivalente e a sua massa concentrada no alinhamento dos pilares pelo que os
modos com participação vertical não devem ser considerados por não representarem a
realidade dinâmica da estrutura o que leva a reduzir os modos em análise, apenas ao primeiro
modo. Os valores obtidos nas duas análises apresentam-se na Tabela 4.4.
Tabela 4.4 - Período fundamental do modelo do SeismoStruct
Sap2000 [s] SeismoStruct [s] Diferença [%]
1.41 1.37 2.78
A divergência entre os períodos dos dois modelos pode estar relacionada com o facto dos
elementos em betão do pilar já estarem solicitados pelo peso próprio da estrutura que
suportam o que implica que a rigidez tangente dependa da compressão a que cada sec ção
está sujeita. No entanto, esta diferença considera-se irrelevante no contexto da estrutura
global, validando assim o modelo inelástico da ponte no SeismoStruct.
4.5 Determinação dos modelos de estudo
Como já se referiu a análise não linear é feita para várias distribuições de armadura a adoptar
nos pilares da ponte com o objectivo de fazer um estudo de sensibilidade da influência da
rigidez global da estrutura e da capacidade de absorver deslocamentos na resposta às acções
sísmicas.
Escolheram-se quatro modelos de estudo muito distintos e que se considera importante
analisar. O primeiro, e aquele com o qual se comparam os outros três casos, diz respeito à
distribuição de armaduras calculada pela análise elástica no capítulo anterior segundo os
critérios previstos no EC8. Essa distribuição é caracterizada por uma alta taxa de armadura no
pilar 4 e baixa taxa de armadura nos restantes pilares. Esta discrepância de armadura verifica-
se, como já foi referido, pois o pilar curto apresenta uma rigidez elástica quase cinco vezes
Análise Estática não Linear
64
superior à rigidez individual dos outros pilares pelo que se pode dizer que é o elemento
responsável pela resistência às forças de inércia longitudinais. A distribuição de armadura ao
longo do pilar 4 é considerada constante de forma a desprezar factores relacionados com
variações discretas de armaduras entre os vários elementos do modelo analítico do
SeismoStruct que pode levar a resultados irrealistas. A armadura a considerar diz respeito
àquela calculada para a secção I, a mais condicionante do pilar, ou seja, 192Φ32. Nos pilares 2
e 3 adopta-se uma armadura de 64Φ25 referente à secção inferior destes pilares conforme
calculado no capítulo anterior para esses pilares. Com base na nomenclatura definida em 1.2,
este modelo é denominado por b.b.A.A armadura é distribuída simetricamente nos dois banzos
das secções nos contornos dos mesmos. Não sendo a distribuição mais fiel à verdadeira
distribuição nos núcleos, é uma opção que se está disposto a seguir e que se pode associar a
um erro similar a erros cometidos na modelação de secções equivalentes.
Analisa-se um segundo modelo do tipo A.A.A. onde se adopta uma alta quantidade de
armadura nos pilares 2 e 3. O objectivo é verificar a influência da rigidez desses pilares no
comportamento global da estrutura. Sendo o modelo mais rígido que se analisa, é expectável
que seja o de menor período e consequentemente, menores deslocamentos. Neste modelo,
adopta-se uma armadura longitudinal de 192Φ32 em todos os pilares.
Por oposição à distribuição do modelo b.b.A., opta-se por testar um modelo do tipo A.A.b., ou
seja, com baixa quantidade de armadura no pilar 4 e alta nos restantes pilares de forma a
explorar a influência da diminuição de rigidez global da estrutura que permite um aumento de
período. Este modelo é aquele que, à partida, menos se adequa à ponte em análise. No
entanto, é analisado para explorar o máximo possível a plasticidade do pilar 4, forçando uma
maior participação dos restantes. É expectável que o pilar 4 mantenha uma participação
bastante relevante. Adopta-se no pilar 4 uma armadura longitudinal de 64Φ25 e nos pilares
restantes 192Φ32.
De forma a diminuir ao máximo a rigidez da estrutura, considera-se um modelo do tipo b.b.b.
com baixa quantidade de armadura em todos os pilares. Este modelo mostra-se o mais
vantajoso economicamente mas a sua segurança tem de ser devidamente verificada pois é
expectável que seja aquele que apresente maior patamar de plastificação. Adopta -se em todos
os pilares uma armadura longitudinal de 64Φ25.
As distribuições de armadura referente aos quatro modelos de estudo são apresentadas na
Tabela 4.5.
65
Tabela 4.5 - Distribuição das armaduras longitudinais nas secções inferiores dos pilares
Modelo Pilar 2 Pilar 3 Pilar 4
b.b.b.
A.A.b.
b.b.A.
A.A.A.
Análise Estática não Linear
66
4.6 Determinação das Curvas de Capacidade
Neste capítulo procede-se a uma análise estática não linear de cada modelo através do
SeismoStruct. Esta análise consiste na aplicação incremental de uma força (ou conjunto de
forças) lateral monitorizando-se o deslocamento correspondente da estrutura num ponto de
controle característico do movimento. Como já se viu anteriormente, o ponto de controlo
localiza-se ao nível do tabuleiro já que, no modo fundamental de vibração, a deformada da
estrutura se baseia na deslocação longitudinal do mesmo. Escolhe-se, como nó de controlo o
topo do pilar 4 (nó 4-20); a escolha podia ter recaído sobre qualquer outro nó pertencente ao
tabuleiro visto que o mesmo é axialmente rígido. Da mesma maneira, a força incremental que
deve ser aplicada ao nível do tabuleiro, é aplicada nesse mesmo nó. O programa procede a
uma análise iterativa baseada em incrementos constantes do deslocamento de controlo
calculando o respectivo incremento de força, considerando as relações constitutivas tangente
dos materiais. Refira-se que o SeismoStruct tem em consideração os efeitos de segunda
ordem. Cada iteração é, no fundo, uma análise da estrutura para a rigidez tangente de cada
material. Como tal, devem considerar-se incrementos de deslocamentos pequenos para obter
melhores resultados, pelo que na análise de todos os modelos se considera .
O programa considera, por pré-definição, como critério de convergência entre as várias
iterações que efectua, uma tolerância nos deslocamentos calculados, sendo de em
translacção e de em rotação. A análise termina quando o mesmo não consegue
atingir essa tolerância o que pode dever-se à rotura definitiva das fibras ou simplesmente a um
problema de convergência. Isto leva a que a análise possa terminar numa fase de degradação
da carga situação esta que não se pode admitir num dimensionamento apropriado. Assim,
nesta dissertação, admite-se que o critério de paragem é dado pela rotura por flexão de alguma
secção dos pilares. Embora este critério não seja suficiente para impedir a capacidade de
suportar cargas verticais, já que os pilares são bi -encastrados, a rotura de uma das suas
secções, seja por extensão última do aço ou esmagamento do betão, reduz drasticamente a
capacidade de esforço t ransverso deixando de fazer sentido continuar a análise baseada em
deslocamentos. Embora não sendo do âmbito de estudo desta dissertação, é importante referir
que o esforço transverso actuante é dado pela variação de momento flector ao longo do pilar
que sofre uma grande redução devido ao momento nulo na secção que atingiu a rotura. Por
outro lado, a capacidade de transmissão de esforço transverso nessa secção deve ser alvo de
um estudo localizado de forma a indagar se a secção reduzida dada pela sua zona comprimida
e as armaduras restantes suportam a resultante de forças devido às cargas actuantes. Na
Figura 4.8 apresentam-se as curvas de capacidade obtidas através do SeismoStruct para os
quatro modelos de estudo. Por observação dessa mesma figura, é possível fazer uma breve
análise comparativa entre os quatro modelos de estudo analisados. Pode considerar-se que as
curvas de capacidade se dividem em três fases aparentes de carregamento: fase elástica, fase
de fendilhação e fase plástica. Na primeira fase, observa-se que as rigidezes iniciais dos quatro
67
modelos são muito semelhantes. Isto acontece porque a diferença de armadura não altera a
inércia das secções enquanto não se atinge a descompressão. Quando se atinge este estado
no pilar 4, verifica-se uma perda de rigidez em todos os modelos de estudo. Considera-se que
se inicia a segunda fase de carregamento. No entanto, destacam-se duas situações: os
modelos de estudo com o pilar 4 altamente armado (b.b.A. e A.A.A.) não perdem tanta rigidez
como os outros; por outro lado, a quantidade de armadura dos pilares secundários não altera
significativamente a rigidez global. Isto indica que esta segunda fase da solicitação da ponte
(que ainda se pode considerar em regime elástico já que nenhum elemento chegou à extensão
de cedência) está muito dependente do pilar curto como se verificou na análise elástica.
É importante referir-se a terceira fase do carregamento caracterizado por apresentar
plastificação em duas das secções do pilar 4. É nesta fase que os pilares altos se destacam no
comportamento da ponte. Tendo o pilar 4 perdido capacidade de suportar incremento de carga,
a rigidez depende essencialmente dos restantes pilares. Este fenómeno é facilmente verificado
nas curvas de capacidade dos quatro modelos de estudo já que aqueles com alta taxa de
armadura nos pilares maiores (A.A.b. e A.A.A) apresentam rigidezes muito semelhantes, como
se pode verificar nas linhas paralelas (roxas) apresentadas a t racejado na Figura 4.8. Por outro
lado, as rigidezes menores dos outros modelos de estudo (b.b.b. e b.b.A.) são bastante
próximas entre si como comprova através das linhas paralelas (castanhas).
Figura 4.8 - Curvas de Capacidade global dos quatro modelos de estudo
Por fim, deve constatar-se que o aumento de rigidez do pilar 4 permite explorar a capacidade
de deformação da ponte. No entanto, para os modelos de estudo com a mesma taxa de
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 δt [m]
b.b.b. A.A.b. b.b.A. A.A.A.
V [kN]
Início da terceira fase
Início da segunda fase
Análise Estática não Linear
68
armadura nesse pilar, a diminuição da rigidez dos restantes pilares leva ao mesmo efeito. Este
fenómeno está relacionado com a influência da rigidez dos vários pilares na capacidade de
redistribuição de esforços e na capacidade de deformação global da estrutura. Assim, a
diminuição de rigidez relativa do pilar 4 perante o resto da estrutura leva a uma configuração da
deformada que se aproxima da deformada de um elemento encastrado: encastrado-deslizante.
Da mesma maneira, o aumento dessa rigidez relativa leva a uma deformada em consola. Pode
verificar-se pela Figura 4.9 que, para os mesmos deslocamentos de topo, a deformada do
primeiro caso apresenta menor raio de curvatura e consequentemente, maior curvatura:
. A maior taxa de armadura no pilar 4 rigidifica-o levando a uma deformada do tipo 2
permitindo que, para as mesmas curvaturas, absorva maiores deslocamentos de topo. Da
mesma forma, a diminuição da armadura dos pilares secundários leva a este mesmo resultado
já que, induz uma diminuição da rigidez do sistema e consequentemente a um aumento da
rigidez relativa do pilar 4. Por outro lado, como já referido em 2.1.3, a quantidade de armadura
não altera muito a curvatura de rotura (desde que a sua distribuição na secção seja constante)
pelo que a rotura das secções do pilar 4 está altamente dependente das curvaturas nelas
verificadas e pouco dependente das taxas de armadura.
Figura 4.9 - Influência da rigidez relativa do pilar na sua curvatura
4.7 Cálculo dos Deslocamentos Objectivos
Depois de se ter apresentado a análise não linear dos modelos, deve determinar -se o estado
de solicitação a que cada um é sujeito se for actuado pela acção sísmica de projecto. Para tal
determinam-se os Deslocamentos Objectivos (D.O.) pelo método N2 já introduzido em 2.8.
Este método prevê a utilização de uma estrutura elástica de um grau de liberdade equivalente
à estrutura através da qual se determinam os deslocamentos objectivos.
A massa do sistema equivalente diz respeito à massa dinâmica da estrutura que engloba todo
o tabuleiro e a massa activa dos pilares. Não sendo de determinação directa, considera -se que
a massa activa dos pilares diz respeito ao desenvolvimento dos mesmos sobre os pontos de
inflexão correspondente à deformada do modo fundamental, já que essa massa contribui
activamente para essa deformada. Quanto à massa dos pilares abaixo dos pontos de inflexão é
69
considerada massa estática já que essas zonas são equiparadas a consolas que resistem ao
movimento da estrutura e, como tal parte das fundações. Usando o Sap2000, determina-se as
secções de momentos flectores nulos de cada pilar quando toda a estrutura está actuada por
uma força ao nível do tabuleiro. Apresenta-se, na Figura 4.10 a sua localização e o
comprimento dito estático.
Figura 4.10 – Comprimento estático dos pilares e Pontos de Inflexão
Os valores correspondentes às massas activas e estáticas dos três pilares são apresentados
na Tabela 4.6.
Tabela 4.6 - Parcelas estáticas e activas dos pilares
Pilar 2 Pilar 3 Pilar 4
Total
Activo Estático Activo Estático Activo Estático
6562,5 11527,4 7664,8 11779,1 2786,1 3040,2 43360,1
669,6 1176,3 782,1 1201,9 284,3 310,2 4424,5
Com isto, e por consulta da Tabela 4.3, calcula-se a massa do sistema equivalente:
(4.5)
A área sob a curva de capacidade da cada modelo é obtida através da soma das áreas dos
trapézios definidos por dois pontos consecutivos dessa mesma curva e o eixo das abcissas
calculada com o auxílio do Excel. Conhecendo a energia correspondente ao sistema
equivalente , calcula-se o deslocamento de cedência e o período equivalente at ravés
das equações (2.38) e (2.39), respectivamente. Os deslocamentos objectivos dos modelos
são iguais aos deslocamentos elásticos dos respectivos sistemas equivalentes pelo que se
obtêm directamente através das equações do espectro de deslocamentos elásticos. Na Tabela
4.7 apresentam-se os valores obtidos para os quatro modelos.
O espectro ADRS da Figura 2.11 pode ser transformado num espectro força-deslocamento
através da alteração do espectro de acelerações para um espectro de forças geradas por
essas mesmas acelerações na massa do sistema equivalente.
36,5 m 37,5 m
13,8 m
M
Análise Estática não Linear
70
Tabela 4.7 – Deslocamentos elásticos obtidos através do método N2
Modelos
b.b.b. 2982,7 0,296 11999,8 0,095 126463,9 2,031 0,222
A.A.b. 3234,3 0,294 14243,6 0,134 106395,8 2,214 0,222
b.b.A. 7549,5 0,456 19648,2 0,144 136880,5 1,952 0,217
A.A.A. 8251,0 0,452 23577,9 0,204 115511,5 2,125 0,222
O espectro referente à ponte em análise é apresentado na Figura 4.11.
Figura 4.11 - Espectro elástico força-deslocamento
Assim, os resultados apresentados na Tabela 4.7 podem ser verificados através do
procedimento gráfico proposto pelo método N2. A intercepção da linha de rigidez equivalente
de cada modelo com este espectro representa o deslocamento elástico objectivo e,
automaticamente o deslocamento objectivo de cada modelo . Na Figura 4.12
apresentam-se as curvas bilineares obtidas para cada um dos quatro modelos de estudo em
paralelo com as curvas de capacidade que lhes deram origem. Na Figura 4.13 são
representadas as curvas de capacidade das quatro estruturas e as linhas de rigidez
equivalente correspondentes, em paralelo com o espectro ADRS apresentado na Figura 4.11.
É importante referir que, sendo este espectro referente ao comportamento elástico de sistemas
de 1 grau de liberdade, a sua intercepção com as curvas de capacidade não têm sentido físico.
No entanto, para os modelos como períodos equivalentes superiores a , as mesmas cruzam
o espectro ADRS num patamar de deslocamentos constantes pelo que, simplificadamente,
pode determinar-se o deslocamento objectivo através da intercepção directa das curvas de
capacidade com o espectro ADRS.
T = 4 s
TC = 0,6 s
TD = 2 s
T = 1 s
T = 1,5 s
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
V [kN]
Sde [m]
71
Figura 4.12 - Bilinearização das curvas de capacidade
Pela análise da Figura 4.12 pode verificar-se que também as curvas bilineares reflectem a taxa
de armadura de cada pilar. Como tal, comparando os modelos com a mesma taxa de armadura
no pilar 4, deve reparar-se que os modelos que apresentam alta taxa de armadura nos pilares
secundários (A.A.b. e A.A.A.), além de apresentarem maior capacidade resistente, como era de
esperar, dão origem a curvas bilineares com menor rigidez equivalente. Esta constatação está
de acordo com o que já foi dito acerca da influência da taxa de armadura dos pilares altos para
o comportamento global da estrutura que, como elementos secundários de resistência, só
participam activamente no comportamento da estrutura depois da cedência do pilar 4. Como
tal, o aumento da sua rigidez implica, de facto, um aumento de capacidade resistente da
estrutura, no entanto, tem o inconveniente de esse aumento ser de baixíssima rigidez que se
faz sentir na diminuição de rigidez elástica do respectivo sistema equivalente. Em termos de
comportamento sísmico, interessa que a estrutura tenha, além de boa capacidade de permitir
de deslocamentos, capacidade de acumular energia transmitida pelo sismo que, como já foi
referido, é dada pela área sob a respectiva curva de capacidade. Nessa medida, o ideal seria
uma curva de capacidade rígido-plástica onde a estrutura entrava em comportamento plástico
imediatamente no início da solicitada. Esse comportamento é impossível de se obter na medida
em que está bastante dependente das características dos materiais. No entanto, pelo que se
observa na Figura 4.12 é possível aumentar a rigidez elástica equivalente das estruturas
através da alteração da distribuição de armadura dos seus pilares.
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 δt [m]
b.b.b. A.A.b.
b.b.A. A.A.A.
V [kN]
72
Figura 4.13 – Deslocamentos objectivos dados pelo método N2
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
δt [m]
b.b.b A.A.b
A.A.A b.b.A.
V [kN]
Espectro ADRS
δA.A.A.=δA.A.b.=δb.b.b.=0,222m δb.b.A.=0,218 m
73
Introduz-se assim um factor que se entende pertinente nesta situação em particular e que vem
de encontro com a classificação da estrutura segundo a sua eficiência para suportar
comportamento plástico. Baseia na comparação das rigidezes equivalente e secante última da
curva bilinear dos modelos de estudo:
(4.6)
Embora este factor diga respeito à curva bilinear do sistema equivalente, o mesmo traduz a
evolução da segunda fase da curva de capacidade em relação à terceira e é pertinente na
medida em que traduz a influência dos pilares secundários no comportamento da estrutura
sendo que quanto maior o valor obtido, maior é a capacidade de acumular energia plástica
para a mesma capacidade resistente e menor a influência dos pilares secundários. Na Tabela
4.8 apresentam-se os valores do factor plástico obtido para os quatro modelos de estudo.
Tabela 4.8 - factor plástico
Modelos
b.b.b. 126464 40539 3.12
A.A.b. 106396 48447 2.20
b.b.A. 136880 43087 3.18
A.A.A. 115512 52163 2.21
Como se pode verificar na tabela anterior, os modelos de estudo altamente armados nos
pilares secundários (A.A.b. e A.A.A.) apresentam menor o que indica que os mesmos não
exploram tão eficientemente a plasticidade possível da estrutura. Mais à frente mostra-se que,
para estes modelos, os pilares secundários comportam-se em regime praticamente elástico.
Deve verificar-se igualmente que, a taxa de armadura do pilar 4 é praticamente irrelevante para
o valor do factor plástico. No entanto verifica-se que os modelos de maior taxa de armadura
neste pilar apresentam um pequeno aumento desse valor já que o comportamento pós -
cedência da estrutura está mais dependente desse pilar.
Por outro lado, para situações em que é válida a hipótese do Equal Displacement, pode
relacionar-se o método N2 com a análise elástica por espectro de resposta de
dimensionamento. Como tal, os coeficientes de comportamento e de ductilidade referentes ao
método N2 são calculados com base nos mesmos conceitos que foram apresentados em 2.7.
Análise Estática não Linear
74
Como tal, o coeficiente de comportamento é dado por e o coeficiente de
ductilidade por .
representa o deslocamento da curva bilinear para o valor
. Os valores obtidos para cada modelo são apresentados na Tabela 4.9.
Tabela 4.9 – Coeficientes de comportamento e ductilidade obtidos através do método N2
Verifica-se que, tanto os coeficientes de comportamento como os de ductilidade diminuem com
o aumento da taxa de armadura na ponte. Este fenómeno está de acordo com o que já foi
referido em 2.7 já que aqueles estruturas mais rígidas não exploram tanto a ductilidade dos
seus elementos, pelo que atingem os mesmos deslocamentos com o aumento dos esforços
necessários e consequente menor patamar plástico. Como era de esperar, cada modelo
apresenta o mesmo coeficiente de comportamento e de ductilidade. Essa igualdade pode ser
observada graficamente por semelhança de triângulos.
Desde já, deve referir-se que o coeficiente de comportamento arbitrado na análise elástica com
base no EC8-2 ( ) é pouco representativo desta ponte já que para o modelo b.b.A. o
coeficiente de comportamento fica por metade desse valor ( ). Este valor é atribuído pelo
EC8-2 a um sistema de pêndulo invertido, pelo que reforça a hipótese da capacidade de
resistência da ponte não depender dos pilares secundários. Nesta medida, sugere-se que a
determinação do coeficiente de comportamento por parte do EC8 -2 deva ter em consideração
a participação dos vários pilares (calculada elasticamente), além do tipo de sistema estrutural
da ponte já considerado por esse regulamento.
4.8 Análise comparativa dos modelos de estudo
Os modelos apresentados nesta dissertação foram idealizados com o objectivo de se explorar
a relação de rigidezes dos vários elementos verticais entre si e em relação ao tabuleiro. Nesta
secção apresenta-se uma análise comparativa entre os esforços e deformações obtidas para
os quatro modelos de estudo e algumas conclusões sobre vantagens e desvantagens e
apresentam-se algumas sugestões para melhorar o funcionamento estrutural da ponte.
Importa, desde já, fazer uma apresentação global do estado dos elementos das estruturas
durante a evolução do respectivo carregamento. Na Figura 4.14 apresentam-se as curvas de
Modelos
b.b.b. 0,093 28109,6 0,222 11707,2 2,40 2,40
A.A.b. 0,124 23649,0 0,222 13236,9 1,79 1,79
b.b.A. 0,135 29690,9 0,217 18505,8 1,60 1,60
A.A.A. 0,174 25675,1 0,222 20116,6 1,28 1,28
75
capacidade dos quatro modelos. Representa-se com um círculo o início da cedência das
armaduras nas secções críticas. Representa-se igualmente o estado de força-deslocamento
objectivo de cada modelo. A cedência das secções do pilar 4 é a primeira a dar-se
independentemente dos modelos pelo que os primeiros dois círculos de cada curva de
capacidade representam esses acontecimentos.
Figura 4.14 – Curvas de capacidade dos modelos de estudo
Verifica-se que os modelos de estudo com o pilar 4 altamente armado (b.b.A. e A.A.A) atingem
a cedência da primeira secção para maiores deslocamentos que os restantes modelos. Este
facto deve-se em grande medida ao efeito da maior rigidez relativa do pilar 4. Este fenómeno
leva a que, como era de esperar para um comportamento do tipo consola, a rotura se dê na
secção inferior do pilar 4. Comparando os casos em que o pilar 4 apresenta a mesma taxa de
armadura, pode-se constatar que a cedência se dá aproximadamente na mesma fase do
carregamento o que comprova que esse pilar controla o movimento da estrutura. O aumento de
400% de armadura neste pilar leva a um aumento de 35% de deslocamento último. Por outro
lado, a diminuição de armadura de 400% nos pilares secundários leva a um aumento de 1% no
deslocamento de rotura. Observando o comportamento dos modelos correspondentes aos
pilares secundários altamente armados (A.A.b. e A.A.A), verifica-se que os mesmos
apresentam um comportamento elástico até uma fase muito avançada do carregamento sendo
que só o caso de estudo A.A.A. verifica a cedência das armaduras das secções desses
elementos antes da rotura do pilar 4. No entanto, esta elevada taxa de armadura não leva a
maior capacidade de absorver deslocamentos já que não impede a rotura do pilar 4 pelo que a
única vantagem (ou desvantagem) desta alta taxa de armadura está na maior capacidade de
suportar forças de inércia da estrutura. No entanto, esse aumento provoca incrementos de
esforços desnecessários em todos os elementos da estrutura não reduzindo os deslocamentos
espectrais dados pelo método N2 já que se os seus períodos se encontram no patamar de
deslocamentos constantes.
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 δt[m]
b.b.b.
A.A.b.
b.b.A.
A.A.A.
V [kN] D.O.
Análise Estática não Linear
76
Pode concluir-se que, a taxa de armadura a adoptar para estes pilares deve ser mínima, a
menos que o seu aumento leve a uma diminuição do período equivalente para valores
inferiores a . No entanto, é importante ter em conta que a rigidez relativa pilar-tabuleiro
aumenta com a armadura do pilar, pelo que leva à diminuição de curvaturas para o mesmo
deslocamento do tabuleiro. Deve referir-se que a cedência dos pilares secundários se dá nas
secções de topo o que não é aconselhado na boa prática de dimens ionamento na medida em
que, para além de serem secções de menos acessibilidade para reparação, a estrutura perde
mais integridade do que se a cedência fosse na base dos pilares. Embora estas secções
apresentem menor momento flector, a sua menor secção torna-as mais condicionante. Como
tal, para um dimensionamento sísmico adequado, deve garantir -se a primeira cedência na base
que, para esta estrutura podia ser conseguida evitando o aumento de secção até à base.
Considerando o comportamento bastante aproximado entre os pilares 2 e 3, comparam-se, de
seguida, os valores de corte basal transmitido aos pilares 3 (idêntico ao pilar 2) e 4
representando-se na Figura 4.15 a participação percentual de cada pilar na resistência global
da ponte.
Figura 4.15 - Factor de participação dos pilares estruturais
(traço contínuo-pilar 4 ; tracejado-pilar 3)
Esta figura é bastante elucidativa na representação da influência da taxa de armadura dos
pilares secundários no comportamento do pilar 4 na terceira fase de carregamento. Como se
verifica, a participação do pilar 4 diminui nos modelos A.A.b. e A.A.A. e mantém-se constante
nos restantes modelos. No entanto, deve reparar-se na incondicional importância do pilar 4
independente da distribuição de armadura nos 3 pilares estruturais, sendo que o mínimo de
participação que ele representa é de 46% no modelo A.A.b.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 δt[m]
A A b AAA
b b A b b b
participação [%]
D.O.
77
Analisando agora o pilar 4, apresenta-se na Figura 4.16 o diagrama momento-curvatura das
secções críticas desse pilar. A análise refere-se ao modelo A.A.b. já que é o caso de estudo
que apresenta menor rigidez relativa do pilar 4 em relação à restante estrutura. Verifica-se que,
embora a secção 4-S apresente maior área transversal, está sujeita a um esforço axial inferior
à secção 4-I pelo que apresenta menos rigidez de flexão e menor resistência ao momento
flector. No Deslocamento Objectivo, a secção 4-S é solicitada a menor momento flector que a
secção 4-I, mas apresenta maior curvatura. As curvaturas de cedência nas secções 4-I e 4-S
são e , respectivamente. A secção 4-S atinge a cedência a menor
curvatura já que tem maior largura de compressão e está solicitada com menor esforço axial.
Estes factores levam a uma diminuição da profundidade da linha neutra e consequentemente a
uma menor curvatura necessária para atingir a extensão de cedência nas armaduras.
Figura 4.16 - Diagrama momento-curvatura nas secções críticas do pilar 4 - A.A.b.
Figura 4.17 - Diagrama momento-curvatura na secção 4-I
0
20
40
60
80
100
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018 0,02 χ [m-1]
4-S 4-I
V [x103 kN]
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018 0,02
χ [m-1]
b b b A A b
b b A AAA
V [x103 kN]
Estado da
secção para
o D.O.
Estado da
secção para
o D.O.
Análise Estática não Linear
78
Por outro lado, já se referiu que o aumentar da armadura do pilar 4 leva a uma diminuição de
curvatura para um mesmo deslocamento de topo. No entanto, é importante verificar a influência
desse aumento ao nível da secção. Desta forma, apresenta-se na Figura 4.17 os diagramas
momento-curvaturas verificada na secção 4-I para os quatro modelos de estudo.
Deve analisar-se a figura num sentido comparativo entre secções com alta e baixa taxa de
armadura. Em primeiro lugar, deve referir-se que as curvas são idênticas para os modelos com
a mesma taxa de armadura do pilar 4. Além disso, é importante referir que a curvatura
referente ao Deslocamento Objectivo ( para os quatro modelos) é relativamente
inferior para os modelos de alta taxa de armadura. Este fenómeno já foi analisado
anteriormente e representada na Figura 4.9.
Figura 4.18 – Tensões ao nível da secção 4-I na cedência
(traço continuo-betão; tracejado-aço)
Na Figura 4.18 apresenta-se o desenvolvimento das tensões do aço e do betão ao nível da
secção 4-I na sua cedência para os modelos b.b.A. e b.b.b. que diferem da taxa de armadura
no pilar 4. A secção 4-I do modelo b.b.A. apresenta uma taxa de armadura de 1,8% enquanto a
mesma secção do modelo b.b.b. apresenta uma taxa de armadura de 0,4%. A estes estados
de tensões estão associados momentos e para os
modelos b.b.A. e b.b.b., respectivamente. Por outro lado, as curvaturas correspondentes são
de e . Pelo que se conclui que um aumento de quase 400%
da taxa de armadura permite um aumento de 80% no momento de cedência e apenas 7% da
curvatura de cedência. Esta diferença de curvaturas, no entanto, é insignificante num contexto
em que se considera todo o patamar plástico que a secção permite absorver. Conclui-se que a
taxa de armadura pouco influencia a curvatura de cedência para uma mesma distribuição da
mesma tal como já tinha sido definido por Brito [9].
É importante verificar a importância da cedência da segunda camada de armaduras nas quatro
curvas analisadas. A mesma ocorre a uma curvatura de nas secções altamente
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
profundidade [m]
σ [Mpa]
b.b.b.
b.b.A.
79
armadas e a para as restantes secções. Como se pode verificar na Figura 4.17,
os diagramas momento-curvatura referentes a todas as secções apresentam uma elevada
quebra de rigidez para essas curvaturas. O mesmo se pode verificar igualmente na Figura 4.14
onde a quebra de rigidez não se dá imediatamente no deslocamento relativo ao início de
cedência das secções. Isto deve-se à grande contribuição dessas mesmas armaduras depois
da cedência da primeira camada pelo que a ocorrência da sua cedência deveria ser
considerada como o verdadeiro início do patamar plástico. No entanto, deve notar-se que esta
quebra não deve ser tão acentuada no caso das secções originais na medida em que as
armaduras interiores não estão tão concentradas numa única linha pelo que a cedência dessas
secções deve ser tomada como a cedência do primeiro varão.
Também neste caso se verifica uma pequena diferença de curvaturas no contexto global do
patamar plástico pelo que se pode considerar a independência da curvatura de cedência e a
taxa de armadura da secção.
Apresenta-se de seguida o estado de tensão nas secções 4-I para a rotura do pilar. Tenha-se
em atenção que no caso do modelo b.b.b. a rotura da secção 4-S dá-se primeiro, no entanto,
apresenta-se o estado de rotura da secção 4-I desse modelo tendo em mente que se refere a
um estado pós-rotura.
Figura 4.19 - Tensões ao nível da secção 4-I na rotura
(traço continuo-betão; tracejado-aço)
Este estado é caracterizado pela rotura das armaduras extremas por tracção ( ) e a
cedência da maior parte das restantes armaduras. Embora seja uma rotura pouco usual (e que
a maior parte dos regulamentos não considera), pode constatar-se que, para pequenos valores
de , a linha neutra não atinge grande profundidade, o que induz pequenas extensões no
betão. De facto, o esforço normal reduzido verificado nesta secção é de , um valor
considerado baixo tendo como referência as tabelas de betão armado propostas por Gomes et
al. [18]. Essas tabelas foram idealizadas para secções rectangulares com armadura distribuída
nas extremidades e pode verificar-se que, para valores de esforço normal reduzidos de
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
profundidade [m]
σ [Mpa]
b.b.b.
b.b.A.
Análise Estática não Linear
80
, a rotura da secção sujeita a um momento flector pode dar-se ou pelo esmagamento
do betão ou tracção do aço. No entanto, para valores de , verifica-se rotura por tracção
do aço, o que indica uma profundidade da linha neutra inferior a 20%. É certo que a idealização
destas tabelas não se teve em consideração a grande ductilidade do aço que pode ir até
valores 7 vezes superiores. No entanto, também não estão contabilizados os efeitos do
confinamento que, além de dotar o betão de maior capacidade de deformação, possibil ita maior
capacidade resistente. também que o betão apresenta extensões de pelo que já se
encontra numa fase de degradação de carga.
Os momentos últimos são de e para os modelos
b.b.A. e b.b.b., respectivamente. As curvaturas correspondentes são e
.
O momento resistente pós-cedência cresce para no caso da secções
altamente armadas e para nas secções restantes. O coeficiente de
ductilidade em curvatura é e para as secções alta
e baixamente armadas, respectivamente. Verifica-se que, independentemente da taxa de
armadura, estes valores cumprem as exigência de ductilidade definidas pelo EC8-2, já que
. Para esta boa capacidade de ductilidade, são factores importantes a grande
capacidade por parte do betão de suportar extensões elevadas conferida pelo elevado factor
de confinamento, , mas principalmente dada a geometria da secção que confere um
bom comportamento à flexão composta devido à área de secção afastada entre si.
Por outro lado, sendo que o aumento da taxa de armadura conduz a uma linha neutra mais
profunda, permite maiores curvaturas últimas. Este pressuposto é válido para situações em que
a rotura da secção é condicionada pelas armaduras. No caso do esmagamento do betão ser
condicionante, prevê-se que profundidade de linha neutra leve ao efeito contrário. Para a
secção 4-I, o aumento de quase 400% da taxa de armadura representa um incremento de 4%
da curvatura última.
4.9 Estado da estrutura no Deslocamento Objectivo
Neste capítulo analisa-se o estado das secções críticas de cada modelo nos deslocamentos
objectivos. Foca-se o estudo nas secções mais condicionantes pelo que se analisa as secções
4-I e 4-S do pilar 4. Relativamente aos pilares secundários, apenas se consideram as secções
superiores 2-S e 3-S na medida em que apresentam menor secção transversal e estarem
sujeitas a menor esforço axial.
Na Tabela 4.10 apresenta-se os esforços actuantes e o estado de tensões que se verificam
nas secções superiores dos pilares secundários. Em paralelo, apresentam-se na Tabela 4.11
81
os esforços actuantes e o estado de tensões que se verificam nas secções extremas do pilar 4.
De salientar que as secções de topo dos três pilares (2-S,3-S e 4-S) apresentam a mesma
geometria. A secção 4-I apresenta menor área que estas mas tem a mesma dimensão
transversal pelo que a sua comparação é pertinente.
Tabela 4.10 - Estado das secções críticas dos pilares secundários para o Deslocamento Objectivo
Tabela 4.11 - Estado das secções críticas do pilar 4 para o Deslocamento Objectivo
Importa desde já realçar que, como se verifica nas tabelas, o es forço axial reduzido a q ue os
pilares estão sujeitos não ultrapassa os 10%. Como já se referiu anteriormente, isto leva a
linhas neutras pouco profundas que, no caso em que o pilar 4 é pouco armado, podem descer
aos 7%. Tendo em conta que o recobrimento diz respeito a 2,5% da altura da secção, e que
esse betão não se encontra disponível para resistir às tensões solicitadas já que se destaca
para fora do plano, estes casos devem ser alvo de um estudo mais local que não é do âmbito
desta dissertação. Na Figura 4.20 apresenta-se o desenvolvimento das tensões na secção 4-S
para situações de alta e baixa taxa de armadura no pilar 4.
Modelo Secção
b.b.b. 2-S 64421 -26179,7 2686,1 5,6 0,87 20,3 2,7 -0,69
3-S 67596 -28864,0 2539,1 6,2 0,82 21,7 2,5 -0,70
A.A.b. 2-S 89458 -25853,8 3527,3 5,5 0,47 29,6 1,3 -0,53
3-S 90742 -29063,4 3209,5 6,2 0,45 31,2 1,2 -0,56
b.b.A. 2-S 64048 -26330,6 2677,8 5,6 0,83 20,9 2,5 -0,74
3-S 67283 -28113,3 2516,8 6,0 0,87 21 2,6 -0,79
A.A.A. 2-S 89036 -25994,1 3519,2 5,6 0,47 29,8 1,3 -0,53
3-S 92474 -28297,9 3238,3 6,1 0,47 30,5 1,3 -0,53
Modelo Secção
b.b.b. 4-I 88579 -33504,3
6465,6 9,8 12,63 9,1 44,6 -4,6
4-S 79198 -27965,4 6,0 14,85 7,5 53,5 -4,4
A.A.b. 4-I 88855 -33651,3
6500,1 9,8 12,71 9,1 44,9 -4,7
4-S 79453 -28091,6 6,0 14,98 7,5 54,0 -4,5
b.b.A. 4-I 173561 -34268,6
13310,1 10,0 8,32 14,2 27,7 -4,7
4-S 163683 -28564,6 6,1 6,34 13,4 21,3 -3,4
A.A.A. 4-I 174176 -34420,4
13359,3 10,1 8,74 14 29,2 -4,9
4-S 164443 -28716,3 6,1 6,8 13,2 23,0 -3,6
Análise Estática não Linear
82
Figura 4.20 - Tensões ao nível da secção 4-S para o D.O.
(traço continuo-betão; tracejado-aço)
Mais uma vez confirma-se a baixa solicitação dos pilares secundários tanto para os modelos
em que estão munidos com alta taxa de armadura como para os modelos de baixa taxa de
armadura. Os pilares secundários dos modelos A.A.b. e A.A.A. não atingem a cedência já que
apresentam bastante rigidez face ao tabuleiro. Para os restantes modelos, a secção superior
dos pilares secundários entram em cedência. Na Figura 4.21 apresenta-se graficamente o
estado de extensões para a situação de deslocamento objectivo na secção 2-S nos casos de
alta e baixa taxa de armadura. Note-se que para o modelo b.b.b., as secções estão no início da
cedência.
Figura 4.21 - Tensões ao nível da secção 2-S para o D.O.
(traço continuo-betão; tracejado-aço)
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
profundidade [m]
σ [Mpa]
b.b.b. b.b.A.
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
Profundidade [m]
σ [Mpa]
b.b.b. A.A.A.
83
Verifica-se nessa figura, que a segunda camada de armaduras dos pilares secundários desse
modelo ainda se encontra em regime elástico, pelo que a secção apresenta uma rigidez de
flexão menor mas ainda considerável. Importa referir que os dois modelos apresentam o
mesmo deslocamento de topo: pelo que a menor curvatura verificada no caso de
maior taxa de armadura se deve à maior rigidez relativa do pilar. Isto leva a concluir que estes
pilares não necessitam de ser armados com alta taxa de armadura, visto que não entram em
regime não linear. No entanto, ao diminuir a taxa de armadura, deve ter-se o cuidado de se
verificar a influência do tabuleiro sobre os pilares na medida em que afecta a sua configuração
de deformada.
Tendo feito uma análise ao nível das secções críticas, apresenta-se de seguida o estado
longitudinal dos pilares. O estudo recai sobre o comprimento das zonas do pilar 4 em que as
armaduras entraram em cedência. Esta medida traduz o comprimento de rótula plástica
formada até se atingir o deslocamento objectivo. O processo de determinação desse
comprimento passa por verificar qual a secção mais afastada da secção crítica (4 -I ou 4-S)
cujas armaduras respeitam . O SeismoStruct discretiza assim, as secções em 5
elementos menores pelo que a precisão dos valores a apresentar está dependente do
comprimento desses elementos que no caso presente não ultrapassam . Apresentam-se
na Tabela 4.12 os comprimentos de rótula plástica para as zonas críticas da base e de topo do
pilar 4.
Tabela 4.12 - Comprimentos de rótulas plásticas
b.b.b. A.A.b. b.b.A. A.A.A.
2,5 2,5 3 3
3,528 3,528 3,528 3,528
Pode verificar-se que, para o caso da zona críticas inferior, a rótula desenvolve-se com o
mesmo comprimento para qualquer taxa de armadura. No entanto, a secção 4-I apresenta
maior curvatura para os modelos de baixa taxa de armadura pelo que se conclui que essas
zonas apresentam maior rotação para o mesmo comprimento de rótula plástica. Verifica-se que
os modelos de alta taxa de armadura desenvolvem um maior comprime nto de rótula plástica na
zona superior do pilar 4.
85
5 Análise Dinâmica não Linear
Neste capítulo apresenta-se uma análise comparativa entre os comportamentos dinâmicos dos quatro
modelos de estudo sujeitos a movimentações de solo através da aplicação de acelerogramas nas
suas bases. A análise por aplicação de acelerogramas na base da estrutura é aquela que leva a
melhores resultados na medida em que simula uma possível acção s ísmica a actuar na estrutura sem
a necessidade de se definir algum processo simplificativo do tipo de acelerações, deslocamentos ou
forças máximas equivalentes. Para que uma análise com tão elevado nível de rigor faça sentido, é da
maior importância ter em linha de conta também as verdadeiras propriedades dos materiais que
apresentam comportamento não linear implicando assim uma análise dinâmica não linear da
estrutura. A maior implicação desta alteração no modo de análise da estrutura relaciona-se com o
facto de não ser possível considerar um comportamento dinâmico independente do estado de
deformação da estrutura. No fundo, essa hipótese era uma simplificação feita na análise estática não
linear que possibilitava a simplificação da mesma num sistema equivalente de um grau de liberdade e
de comportamento elástico com o objectivo de ser possível comparar com os espectros de resposta
regulamentares. O comportamento dinâmico de uma estrutura depende da sua rigidez que, como se
viu no capítulo anterior, é bastante influenciado pelo grau de deformação da estrutura.
5.1 Determinação dos acelerogramas
Através de um estudo realizado por Halldorsson et al. [19] onde se propõe a caracterização de vários
tipos de registos sísmicos e um método de geração de acelerograma sintéticos é possível simular um
possível registo de movimentação do solo originada pela falha de Marquês de Pombal. Os mesmos
são gerados com o auxílio do Programa SeismoArtif [20], que, com base nesse mesmo estudo
permite gerar até oito acelerogramas de cada vez em função dos parâmetros escolhidos.
Análise Dinâmica não Linear
86
Considera-se assim um sismo característico provocado pela falha de Marquês de Pombal do tipo
inter-placas de magnitude 7 e uma distância de Joyner Boore de . Como já foi referido,
considera-se a ponte fundada num solo rochoso que se traduz numa velocidade de transmissão por
corte definida pelo programa de .
Os acelerogramas sintéticos são gerados a partir de um tipo de actividade s ísmica pelo que devem
ser devidamente ajustados de forma a adaptarem-se ao espectro de resposta objectivo. O
SeismoArtif discretiza o acelerograma numa soma de acelerogramas sinusoidais de amplitude e
frequência definidas e, aplicando a transformada de Fourier, adapta esses parâmetros de forma a
criar um espectro de resposta elástico de período-aceleração espectrais (valores máximos para cada
período) para estruturas de um grau de liberdade e coeficiente de amortecimento . O mesmo
dá a possibilidade de se escolher o intervalo de frequências que se quer compatibilizar com o
espectro objectivo. Sendo que é importante representar bem o conteúdo de frequências próximo do
período fundamental da estrutura (o qual é conhecido em regime elástico) opta -se por um intervalo de
frequências de ou seja, com base na Tabela 4.4, . Essa adaptação
é feita iterativamente até se obter um erro inferior a 10% em relação ao espectro desejado já definido
pelas equações (2.18) a (2.21) em termos do valor de aceleração de pico e dos valores de
acelerações obtidos dentro do conteúdo de frequências definido no programa. A compatibilidade
entre os dois espectros para períodos fora desse intervalo não é verificada pelo programa.
Deve referir-se que, sendo a ponte uma estrutura que apresenta uma distância máxima entre pilares
de 200 metros, é expectável que haja variações de registos entre esses pontos devido à possível
variação de condições de fundação ou tipo de solo. No entanto, a possível divergência entre registos
está relacionada com variações de amplitude sendo que o conteúdo de frequências é idêntico tal
como a aceleração de pico não sendo do âmbito deste estudo analisar essas variações espaciais.
Criam-se assim um total de seis acelerogramas distintos a ser aplicados na base de cada um dos
quatro modelos de estudo definidos anteriormente. Este número é escolhido de forma a satisfazer a
exigência do EC8-1 para a caracterização dinâmica dos modelos. Os mesmos são apresentados em
anexo. O espectro de acelerações do acelerograma 1 é apresentado na Figura 5.1 juntamente com o
espectro de projecto. Verifique-se desde já que os espectros apresentam grande compatibilidade nos
intervalos definidos divergindo fora desses intervalos. No entanto, como se trata de uma ponte com
um comportamento bastante próximo a um pendulo invertido de um grau de liberdade, o seu modo
fundamental é o mais solicitado pelo que o conteúdo de frequências mais relevante para este estudo
é aquele que se aproxima do período fundamental da estrutura.
O espectro de deslocamentos é igualmente calculado pelo programa pelo que se representa na
Figura 5.2 esse mesmo espectro em formato ADRS.
87
Figura 5.1 - Espectros de acelerações elástico e do acelerograma 1
Figura 5.2 - Espectros do tipo ADRS elástico e do acelerograma 1
5.2 Comportamento dos materiais sob carregamento Cíclico
Inicia-se, assim, uma análise dinâmica não linear dos modelos já definidos em 4.5. Nesta fase, a
modelação torna-se mais complexa na medida em que esta análise é de carácter c íclico levando a
conhecer o comportamento dos materiais em função do seu histórico de carga-descarga. Embora
ainda exista muitas incertezas no que se refere a comportamento locais (como aberturas e fecho de
fendas) e interacção entre os vários constituintes da secção, o comportamento cíclico em condições
normalizadas já está relativamente bem estudado para o betão, assim como para o aço das
armaduras. Em 2.1 explicou-se esse comportamento pelo que, baseado nisso, se modela at ravés do
SeismoStruct o betão C40 e A400. O factor de confinamento foi definido em 4.1 como pelo
que se adopta o mesmo valor nesta análise. Na Figura 5.3 apresenta-se as relações constitutivas
referentes ao comportamento cíclico desses materiais.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
a [m/s2]
T [s]
Espectro objectivo
Acelerograma 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
a [m/s2]
T [s]
Espectro objectivo
Acelerograma 1
Análise Dinâmica não Linear
88
Figura 5.3 - Comportamento do betão C40 (esquerda) e aço A400 (direita) sob cargas cíclicas
5.3 Modelação dos acelerogramas no SeismoStruct
Tendo definido o comportamento cíclico dos materiais estruturais, devem aplicar-se os registos de
acelerogramas na ligação do modelo com o solo. Desprezando a contrib uição do atrito entre o
tabuleiro e os encontros e pilares onde apoia, a transmissão de movimentos horizontais é feita do
solo à estrutura at ravés das fundações dos pilares 2, 3 e 4. Os modelos a usar apresentam as
mesmas características que os analisados anteriormente pelo que dispensa-se qualquer tipo de
validação adicional do mesmo.
Na função de análise dinâmica, o SeismoStruct permite a aplicação de acelerogramas a qualquer nó
da estrutura. Como tal, a movimentação do solo é aplicada aos nós inferiores de cada pilar através de
registos de acelerogramas longitudinais levando a que estes nós se movimentem em sincronia. No
entanto, mantém-se o encastramento total já antes definido para esses nós. No fundo, a programa
define que estes nós estão restringidos a movimentarem-se estritamente de acordo com o
acelerograma imposto.
Figura 5.4 - Comportamento Dinâmico da estrutura
O SeismoStruct associa a cada nó metade da massa de cada elemento que converge nele sendo que
cada um é um grau de liberdade no sistema de equações, e os seus deslocamentos, as incógnitas da
89
equação fundamental. Tendo essa equação definida, o SeismoStruct determina as características
cinemáticas dos vários nós da estrutura como foi explicado em 2.3, obtendo a resposta através de
integração passo-a-passo da equação do movimento. A análise temporal tem a mesma duração do
registo de acelerograma imposto e o incremento no tempo é de 0,02 segundos. Para se estudar a
estrutura em regime livre depois da excitação do sismo teria de se prolongar o acelerograma com
acelerações nulas.
5.4 Modo local dos pilares secundários
Escolhem-se 4 nós característicos para representar o movimento dos vários elementos da estrutura.
Esses nós devem ser definidos próximos das secções onde pode ocorrer a inversão de infl exão de
cada pilar. Assim escolhem-se os nós 2-17, 3-17 e 4-14 para representar o comportamento dos
pilares 2,3 e 4, respectivamente. Sendo que o tabuleiro é axialmente rígido, a escolha do nó para
deslocamentos longitudinais é irrelevante. Os valores relevantes a observar dizem respeito aos
deslocamentos relativos entre esses nós característicos e o solo.
Analisa-se o comportamento cinemático de cada um dos modelos sujeitos individualmente a cada um
dos seis acelerogramas. Os valores referentes aos pilares 2 e 3 são similares pelo que se opta por
analisar apenas um deles. Como tal, na Figura 5.5 apresentam-se os deslocamentos relativos entre o
solo e os nós referentes ao tabuleiro e pilares 2 e 4 para os modelos b.b.b. e A.A.A.
Figura 5.5 - Deslocamento de nós característicos dos modelos b.b.b.1 (cima) e A.A.A.1 (baixo)
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
δt[m]
t [s]
4-14 2-17 Tabuleiro
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
δt[m]
t [s]
4-14 2-17 Tabuleiro
Análise Dinâmica não Linear
90
Verifica-se que, globalmente, todos os elementos se movem em fase tanto no caso do modelo b.b.b.
como A.A.A. No entanto, verifica-se que o pilar 2 apresenta um deslocamento longitudinal com menor
frequência aparente que acompanha a deformada global da estrutura mas com menos amplitude.
Uma consequência deste movimento secundário está relacionada com o aparecimento de esforços
de corte basal nesses pilares associados a acelerações que não estão em fase com as acelerações
da estrutura global como se pode verificar na Figura 5.6.
O esforço de corte basal é assim representativo do movimento global da ponte e também do
movimento local dos pilares secundários. Na Figura 5.7 apresenta-se a curva histerética do modelo
b.b.b. sujeito ao acelerograma 1 na sua base. Como se pode ver, o es forço de corte basal não
acompanha os deslocamentos do tabuleiro, sendo que ocorre uma grande variação de esforços para
instantes próximos.
Figura 5.6 - Esforços de corte basal no modelo b.b.b.1
Figura 5.7 - Curva histerética do deslocamento do tabuleiro para o modelo b.b.b.1
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
V [kN]
t [s]
4-A 2-A Corte Basal Total
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3
δt[m]
V [kN]
91
Procede-se a uma análise das secções superiores dos pilares 2 e 3 para os vários modelos de estudo
de forma a verificar se as suas deformações excessivas influenciam a ductilidade e a resistência
global da estrutura. Sendo que os momentos verificados e as curvaturas resultantes são factores
importantes na análise do estado de solicitação das secções críticas, apresenta-se na Figura 5.8 a
relação momento-curvatura para a secção 3-S para a estrutura sujeita ao acelerograma 1.
Figura 5.8 - Relação Momento-Curvatura para a secção 3-S
É importante verificar que a diferença de comportamento está relacionada com a rigidez relativa entre
os pilares secundários e o tabuleiro. Deste modo, os modelos b.b.b. e b.b.A. apresentam menor
rigidez relativa pilar-tabuleiro pelo que se verifica grandes deslocamentos e maior dispersão das
respectivas curvas momento-curvatura. Isto deve-se ao facto de serem mais independentes da
estrutura o que leva a serem mais excitados por registos de maior período. Por outro lado, os
restantes modelos apresentam maior rigidez desses pilares que, aliado à maior integridade com o
tabuleiro, restringe a excitação dos seus movimentos, pelo que se verificam curvaturas
consideravelmente menores.
Depois de uma análise aos quatro modelos sujeitos aos seis acelerogramas, conclui -se que, as
curvaturas máximas nas secções superiores dos pilares secundários se verificam para os modelos
b.b.b. e b.b.A. com curvaturas que podem ir até o que correspondem a extensões no aço
e no betão de e . Por outro lado, para os modelos A.A.b. e A.A.A. verifica-se que
a curvatura das mesmas secções não ultrapassa o que, como já se apresentou na Figura
4.17, não leva à cedência da segunda camada de armadura de tracção. Com isto, pode concluir-se
que as secções críticas ainda apresentam uma boa rigidez à deformação e que, consequentemente,
deformada excitação dos pilares secundários não condiciona o comportamento da estrutura para
situações de grande taxa de armaduras.
-150000
-100000
-50000
0
50000
100000
150000
-0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0,002 0,003 0,004
M [kn.m]
χ [m-1]
b.b.A. A.A.A. b.b.b. A.A.b.
Análise Dinâmica não Linear
92
5.5 Optimização do Modelo
Embora os modelos definidos anteriormente sejam bastante representativos da realidade da
estrutura, deve constatar-se, principalmente pela Figura 5.7 que o comportamento dos pilares
secundários podem ser vistos como “ruído” na análise global da estrutura. De forma a analisar
eficientemente os modelos propostos, estes devem ser modificados de forma a mitigar os modos
superiores sentidos por esses pilares. Esses modelos devem ter o mesmo comportamento global sob
a actuação das acções sísmicas pelo que é necessário garantir a mesma massa dinâmica e rigidez
global a deslocamentos do tabuleiro. Para evitar a excitação dos pilares a configurações de
deformada diferentes da fundamental, confere-se massa nula a esses elementos sem, no entanto,
alterar as restantes características. De forma a não alterar a massa dinâmica da estrutura, usa-se o
conceito de massa activa dos pilares já apresentado em 4.7. No modelo do SeismoStruct procede-se
à alteração das massas concentradas no topo de cada pilar para inclui r a contribuição da massa
activa. Com base nos valores já apresentados na Tabela 4.3 cria-se a Tabela 5.1 referente às
massas dinâmicas do tabuleiro juntamente com a massa activa de cada pilar.
Deve, no entanto, referir-se que esta simplificação altera o nível de esforço axial actuante nos pilares.
Este esforço influencia o comportamento à flexão dos pilares.
Tabela 5.1 - Massas a aplicar nos pilares no contexto da análise dinâmica
Total
Pilar 2 2735,77 669,6 3405,37
Pilar 3 2990,13 782,1 3772,23
Pilar 4 2735,77 284,3 3020,07
Restante 3665,56 - 3665,56
No entanto essa variação é compensada na medida em que se aumenta o esforço axial da secção
superior e consequentemente, as suas propriedades resistentes. Por outro lado, a secção inferior
está sujeita a um menor esforço axial (já que se despreza a massa estática) diminuído assim as suas
propriedades resistentes. Isto permite que a alteração do desenvolvimento de esforços não tenha
tanto impacto no desenvolvimento do pilar e apresentando um comportamento global idêntico ao
modelo antigo. De forma a comprovar a compatibilidade entre os dois modelos, compara -se o
deslocamento do tabuleiro ao longo do tempo para cada um deles. Apresenta-se na Figura 5.9 a
resposta ao acelerograma 1 por parte dos quatro modelos em estudo.
Pode verificar-se que, para qualquer configuração de armadura, os modelos optimizados apresentam
um comportamento bastante próximo dos modelos antigos. Os deslocamentos máximos são bastante
próximos sendo que as diferenças que se podem referir entre os modelos optimizados e antigos
estão relacionadas com o período aparente de vibração.
93
Figura 5.9 - Deslocamento do tabuleiro dos modelos antigos (tracejado) e optimizado (traço contínuo)
Embora não se apresente a comparação de comportamento dos modelos actuados pelos restantes
acelerogramas, os resultados são semelhantes aos apresentados na Figura 5.9. Como tal, considera-
se estes modelos como característicos do comportamento global da estrutura.
5.6 Análise comparativa dos modelos
Procede-se de seguida a uma análise global dos modelos optimizados desprezando os efeitos das
deformadas dos modos superiores já analisados no capítulo anterior. Como tal, é possível obter
curvas de histerese bastante mais representativas da reali dade do movimento da ponte, ou seja, da
deformada referente ao modo fundamental. Na Figura 5.10 apresentam-se as curvas de histerese dos
modelos antigos e optimizados referentes à movimentação do tabuleiro podendo verificar-se
deslocamentos máximos idênticos para os dois modelos. Verifica-se contudo, que o modelo
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
δ [m]
t [s]
b.b.b.1
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
δ [m]
t [s]
A.A.b.1
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
δ [m]
t [s]
b.b.A.1
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
δ [m]
t [s]
A.A.A.1
Análise Dinâmica não Linear
94
optimizado apresenta menor divergência de esforços na base pelo que se pode concluir que a
estrutura se está a movimentar com uma só deformada.
Figura 5.10 – Curva de histerese do modelo b.b.b.1 antigo (tracejado) e
optimizado (traço contínuo)
Através da Erro! A origem da referência não foi encontrada. pode constatar-se que o pilar 2
acompanha o deslocamento do tabuleiro pelo que se conclui que o modo local referente à sua
deformação isolada já não é excitado. Isto leva a que o comportamento cinemático da estrutura possa
ser caracterizado unicamente pelo deslocamento longitudinal do tabuleiro.
Na Tabela 5.2 apresentam-se os valores máximos em módulo dos deslocamentos relativos entre o
tabuleiro e o solo obtidos para os quatro modelos sujeitos a cada um dos seis acelerogramas
considerados.
Figura 5.11 – Deslocamento de nós característicos do modelo optimizado b.b.b.1
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3
V [kN]
δt [m]
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
δt [m]
t [s]
Tabuleiro 2-17
95
Tabela 5.2 - Deslocamentos máximos no tabuleiro δmax [m]
Acelerograma 1 2 3 4 5 6
b.b.b. 0,27 0,26 0,22 0,19 0,26 0,29 0,25 A.A.b. 0,29 0,26 0,24 0,19 0,25 0,32 0,26
b.b.A. 0,22 0,24 0,22 0,23 0,24 0,27 0,24
A.A.A. 0,22 0,25 0,22 0,24 0,23 0,25 0,24
Sendo que os acelerogramas criados são aleatórios e irregulares, o comportamento dinâmico das
estruturas deve ser analisado num âmbito geral para que as conclusões possam ser representativas
desse mesmo comportamento. Deste modo, deve notar-se que se verifica um elevado desvio padrão
entre os deslocamentos obtidos para cada acelerograma. Analisando a média dos deslocamentos
máximos, verifica-se que as diferenças entre os valores obtidos para os vários modelos não são
acentuadas. Esta conclusão é importante na medida em que comprova a teoria do Equal
Displacement referente a estruturas com capacidades resistentes diferentes. É importante salientar
que os modelos b.b.b. e A.A.b. apresentam maiores deslocamentos do tabuleiro. Isto deve-se ao
facto desses modelos atingirem a cedência para esforços menores que os restantes, levando a uma
diminuição de rigidez que aumenta de forma indirecta periodicidade dos ciclos levando a maiores
deslocamentos máximos. Não deve deixar de se notar que estes modelos atingem a cedência para
deslocamentos menores que os restantes, efectivamente por apresentarem menor taxa de armadura
o que leva a uma menor rigidez relativa do pilar, como já foi referido nos capítulos anteriores.
Nota-se que as respostas dos modelos ao acelerograma 4 não seguem os padrões até agora
analisados na medida em que os modelos b.b.A. e A.A.A. apresentam maiores deslocamentos
máximos que os modelos restantes. Isto acontece unicamente para um dos ciclos da resposta desses
dois modelos. Na Figura 5.12 apresenta-se esse comportamento onde se pode constatar um regime
de deslocamentos entre os quais o modelo A.A.A. costuma vibrar (tal como se verifica para b.b.A.), os
quais apresentam deslocamentos idênticos aos modelos restantes. No entanto, um dos ciclos é
demasiado excitado para um deslocamento consideravelmente maior.
Figura 5.12 - Curvas histerética referente ao acelerograma 3
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
-0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
V [kN]
δ t[m]
A.A.A.4
b.b.b.4
Análise Dinâmica não Linear
96
Na Tabela 5.3 apresenta-se as forças de corte basal correspondentes aos deslocamentos máximos
verificados em cada caso de estudo. Deve referir -se que estes valores não se referem aos esforços
máximos verificados na estrutura mas sim aos esforços referentes aos deslocamentos máximos. No
entanto, sendo que não se verifica degradação de carga, o esforço máximo dá -se para o
deslocamento máximo exceptuando algumas variações que são consideradas desprezáveis.
Tabela 5.3 – Força de corte basal no estado de amplitude máxima, Vmax [kN]
Acelerograma 1 2 3 4 5 6
b.b.b. 12428,8 12846,9 12331,9 12702,6 13190,0 13118,7 12769,8
A.A.b. 15230,9 14790,4 14064,5 13223,3 14771,2 15185,1 14544,2
b.b.A. 18766,6 19223,1 19372,1 19151,4 18801,8 19250,4 19094,2
A.A.A. 19892,5 21390,5 21006,8 20005,8 21288,0 20827,9 20735,2
Considera-se pertinente analisar dois parâmetros do comportamento dinâmicos da ponte
relacionados com o período de excitação da estrutura. Como tal, int roduzem-se dois conceitos a
analisar de seguida: o período secante e o período aparente. Define -se período secante como o
período de vibração que a estrutura apresentaria se tivesse a rigidez elástica secante ao estado de
deformação-tensão em consideração. Neste caso, analisa-se o período secante referente ao
estado de deslocamento máximo de cada caso de estudo pois considera-se o estado mais
condicionante na atuação do sismo em consideração. Com base na equação (2.7) e nos valores de
deslocamentos e esforço de corte basal apresentados nas tabelas anteriores para esse estado,
apresenta-se na Tabela 5.4 o período secante de cada caso de estudo.
Deve referir-se que, embora o período secante não represente nenhuma característica da estrutura,
pode ser dado como um valor de referência para o período com que a estrutura repo nde em regime
não linear à actuação de solo a que é sujeita.
Tabela 5.4 - Período secante, Ts [s]
Acelerograma 1 2 3 4 5 6
b.b.b. 3,4 3,3 3,1 2,8 3,2 3,4 3,2 A.A.b. 3,2 3,0 3,0 2,7 3,0 3,3 3,0
b.b.A. 2,5 2,5 2,4 2,5 2,6 2,7 2,5
A.A.A. 2,4 2,5 2,3 2,5 2,5 2,5 2,5
Como já se referiu, o período próprio de uma estrutura só faz sentido para análises em regime linear
já que as alterações das características dos materiais impedem a mesma de ter um período
constante. Pode também verificar-se, a partir dos deslocamentos do tabuleiro no tempo, o período
com que a estrutura atinge o estado inicial de deformação, a que se define como período aparente da
estrutura . O procedimento passa por, com auxílio do Excel, determinar os instantes em que a
97
curva de deslocamento do tabuleiro cruza o zero, . Sendo que o intervalo entre estes
dois instantes representa metade de um ciclo do movimento, considera-se que o período aparente é
dado pela soma de duas dessas diferenças consecutivas. É importante referir que este valor não é
unicamente característico da estrutura mas também da acção a que a mesma é sujeita na medida em
que depende do estado de tensão a que a estrutura é sujeita. Na Tabela 5.5 apresentam-se os
valores máximos de para cada caso de estudo.
Tabela 5.5 - Período aparente, Ta [s]
Acelerograma 1 2 3 4 5 6
b.b.b. 3,1 3,0 2,6 2,7 3,0 3,0 2,9
A.A.b. 3,0 2,9 2,6 2,7 2,8 2,9 2,8 b.b.A. 2,4 2,3 2,3 2,4 2,4 2,5 2,4
A.A.A. 2,3 2,3 2,2 2,4 2,4 2,4 2,4
Comparando os valores médios de e obtidos para cada modelo, pode constatar-se desde logo
que estes são bastante similares com diferenças não superiores a 10% sendo que no caso do modelo
A.A.A. essa diferença desce para menos de 5%.
5.7 Análise de histerese
Como já foi referido, a capacidade de dissipação de energia juntamente com a capacidade de
suportar deformações são factores determinantes no comportamento sísmico das estruturas. Este
último já foi analisado nos capítulos anteriores através de estudos ao nível dos materiais e das
secções heterogéneas. Todas a análises feitas nesses capítulos foram de âmbito cinemático e
estático. No entanto, sendo o sismo uma acção dinâmica, induz na estrutura energia cinética pelo que
é importante realizar uma análise energética da mesma. A resposta da estrutura ao sismo pode ser
elástica, onde os elementos constituintes têm capacidade de deformação elástica suficiente para
absorver a energia transmitida. Para tal, desenvolvem-se esforços elevados e pouca dissipação de
energia que leva a um prolongamento da duração da resposta por não se dissipar energia. Estas
consequências podem ser evitadas dotando a estrutura de ductilidade suficiente para absorver
deformações plásticas com a vantagem de dissipar energia e, consequentemente, amortecer mais
rapidamente a resposta da estrutura. Outra vantagem desta solução passa pela possibilidade de
baixar a capacidade resistente sem atingir o colapso.
Como já se viu, o aço permite deformações plásticas bastante elevadas, uma característica
aproveitada para obter um bom nível de energia dissipada histereticamente. Na Figura 5.13
apresenta-se o comportamento cíclico do aço e do betão. A área destacada é limitada pelo caminho
de carga e descarga de um ciclo e representa a energia dissipada nesse processo. Pode verificar-se
a baixa capacidade de dissipar energia por parte do betão e o contrário para o aço que, além de
Análise Dinâmica não Linear
98
apresentar grande capacidade de dissipar energia por ciclo, mantém o mesmo comportamento ao fim
de vários ciclos.
Figura 5.13 - Comportamento dos mateias sob cargas cíclicas
O cálculo da área interior a uma curva histerética não é de determinação directa, já que, por
observação da Figura 5.12, constata-se que os ciclos de carga e descarga não são, de todo
regulares. Como tal, podem-se verificar ciclos muito pouco simétricos ou muito alongados mas com
pouca energia dissipada. Apresentam-se na Figura 5.14, a título ilustrativo, as envolventes das curvas
histeréticas obtidas para os modelos de estudo actuadas pelo acelerograma 3. Como tal, define-se o
critério de analisar a área envolvente da curva de histerese de cada caso de estudo.
No entanto esse valor é apenas indicativo do máximo que a estrutura pode dissipar num único ciclo.
Deve multiplicar-se esse valor pelo número de ciclos que a acção sísmica induz na estrutura.
Figura 5.14 - Envolvente das curvas de histerese provocadas pelo acelerograma 3
Considera-se que os ciclos que não exploram as propriedades plásticas dos materiais não dissipam
energia pelo que só devem ser tidos em atenção apenas os ciclos que levam a estrut ura a entrar em
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
-0,25 -0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25
V [kN]
δt [m]
A.A.A.3 b.b.A.3 A.A.b.3 b.b.b.3
99
regime plástico. Como já foi definido em 4.8, esse estado inicia-se com a cedência de duas secções
do pilar 4 que, por observação da Figura 4.14 se dá para e para os
modelos de, respectivamente, baixa e alta taxa de armadura no pilar 4. O número de ciclos é dado
pela metade da soma de todos os meios ciclos com deslocamentos de tabuleiro superior aos
deslocamentos de cedência de cada modelo.
Não se pode deixar de referir que o valor obtido é, em qualquer situação, um majorante da energia
realmente dissipada na medida em que considera que os ciclos de menor amplitude dissipam tanta
energia como o ciclo de deslocamento máximo. Na Tabela 5.6 apresenta-se o número de ciclos
efectivos contabilizados para cada caso de estudo. Deve reparar-se que, embora os mesmos sejam
contabilizados, não significa que sejam equivalentes ao ciclo envolvente.
Tabela 5.6 - Número de ciclos efectivos, n
Acelerograma 1 2 3 4 5 6
b.b.b. 5 6 7 5 6 4
A.A.b. 5 6 8 6 6 4
b.b.A. 4 7 6 5 5 6
A.A.A. 2 7 6 5 5 6
Na Tabela 5.7 apresentam-se as áreas envolventes das curvas histeréticas dos modelos de estudo.
No mesmo quadro apresenta-se o cálculo referente à média (para cada modelo de estudo) de cada
um desses valores pelo respectivo número de ciclos verificados: .
Tabela 5.7 - Energia dissipada num ciclo por processos histeréticos, ED,i [kN.m]
Acelerograma 1 2 3 4 5 6
b.b.b. 1431,5 1094,2 999,1 736,0 1173,3 1373,4 6154,9
A.A.b. 1604,3 1153,1 1029,6 772,9 1119,5 1461,7 6729,6
b.b.A. 2529,8 3405,0 2516,1 2910,5 3208,4 3506,3 16780,4
A.A.A. 2411,8 3593,2 2706,5 3233,5 3368,3 3547,3 16751,4
É possível estimar o coeficiente de amortecimento viscoso equivalente relativo a processos histeréticos da estrutura. Assim, adaptando a equação (2.31) obtêm-se:
(5.1)
O coeficiente de amortecimento equivalente é referente à envolvente das curvas de histerese pelo
que pode ser visto como o maior valor de amortecimento a atribuir à estrutura. Na Tabela 5.8
apresentam-se os valores de coeficiente de amortecimento viscoso contabilizando o efeito dos
processos histeréticos.
Análise Dinâmica não Linear
100
Tabela 5.8 – Coeficiente de amortecimento viscoso equivalente
Acelerograma 1 2 3 4 5 6
b.b.b. 0,34 0,31 0,40 0,24 0,32 0,23 0,31 0,36
A.A.b. 0,29 0,28 0,38 0,30 0,29 0,19 0,29 0,34
b.b.A. 0,38 0,83 0,57 0,52 0,55 0,64 0,58 0,63
A.A.A. 0,17 0,76 0,55 0,53 0,54 0,65 0,53 0,58
Verifica-se que os modelos b.b.b. e A.A.b. dissipam consideravelmente menos energia que os
restantes modelos. Isto deve-se ao efeito de pinching que se verifica no caminho de carga e descarga
e está relacionado com a abertura e fecho das fendas. Este efeito é mais saliente nos modelos de
baixa taxa de armadura no pilar 4 já que se verificam linhas neutras pouco profundas e,
consequentemente, maiores aberturas de fendas.
Por outro lado, esses modelos apresentam menos quantidade de aço no pilar 4 o que leva a menor
capacidade de absorver, e consequentemente, dissipar energia por parte deste pilar. Este facto
permite concluir que este é o pilar responsável por grande parte da energia dissipada pela estrutura.
Como tal, pode verificar-se que os modelos de alta taxa de armadura nos pilares secundários
apresentam menor dissipação de energia comparativamente aos restantes modelos já que o aumento
de rigidez destes pilares implica uma diminuição da participação do pilar 4 e, consequentemente, a
diminuição da energia dissipada pela estrutura.
Como se quer comprovar, o amortecimento viscoso conferido pelos processos histeréticos é bastante
superior a 5%. Este fenómeno refere-se à resposta da estrutura a um sismo pelo que é tido em conta
no coeficiente de comportamento e não na equação fundamental como característica da estrutura.
101
6 Conclusões e trabalhos futuros
As várias análises realizadas ao longo da dissertação tiveram como objectivo o aprofundamento do
conhecimento do comportamento s ísmico com principal ênfase no estudo da capacidade de
deformação dos elementos constituintes e nos factores que alteram essa capacidade. Como tal, a
análise linear conduziu a um dimensionamento de uma solução de distribuição de armadura que
garante a segurança ao estado limite último para a combinação do sismo. Nas análises subsequentes
levou-se a cabo um estudo de sensibilidade da alteração da distribuição de armadura dimensionada.
Entre os quatro modelos que foram definidos, o modelo b.b.A. apresenta, propositadamente a mesma
distribuição de armadura que a dimensionada na análise elástica, de forma a poderem ser feitas
algumas comparações com o objectivo de se definir a necessidade de modelações não lineares da
estrutura. Desde logo deve referir-se que a primeira análise, tendo como finalidade o
dimensionamento, tem em consideração coeficientes parciais de segurança para reduzir as
propriedades dos materiais. No que se refere à análise dinâmica não linear, obtiveram -se conjuntos
de valores representativos de cada modelo solicitado a diferentes registos de acelerações, sendo que
se considera unicamente a média dos resultados.
Apresentam-se na Tabela 6.1 os valores de deslocamentos e esforço basal obtido pelas três análises
para o modelo b.b.A.
Tabela 6.1 - Comparação entre análises
ADL AEnL ADnL
0,19 0,22 0,24
12893 18506 19094
0,08 0,12 0,12
Os valores obtidos verificam alguma divergência embora se possa notar que os deslocamentos
máximos apresentam a mesma ordem de grandeza. No entanto, os seus valores aumentam com a
complexidade da análise. Considerando que as análises dinâmicas não lineares traduzem mais
fielmente o comportamento sísmico da ponte, as restantes análises deveriam resultar em valores
Conclusões e trabalhos futuros
102
conservativos de forma a poderem garantir a segurança, o que não se verifica. Logo, considera-se
necessário a realização de análises dinâmicas não lineares para o estudo de pontes cujos pilares
apresentam rigidezes bastante diferentes. Na Figura 6.1 apresentam-se as curvas de capacidade da
estrutura obtidas pelas ADN e AEnL, juntamente com a curva de histerese referente ao acelerograma
4 obtidas pela ADnL. Verifica-se que o desenvolvimento das curvas das análises não lineares são
próximas entre si e que a curva elástica tem um comportamento bastante representativo destas
curvas mas com menor capacidade de carga.
Figura 6.1 - Curvas de capacidade referente às diferentes análises
Como tal, conclui-se que o coeficiente de comportamento arbitrado na análise elástica com base no
EC8-2 ( ) é pouco representativo desta ponte já que pelo método N2 se verifica metade desse
valor. No entanto, este valor aproxima-se de um sistema de pêndulo invertido já que o
comportamento da estrutura está bastante dependente do pilar 4. Nesta medida, sugere -se que a
determinação do coeficiente de comportamento por parte do EC8 -2 deva ter em consideração a
participação dos vários pilares e da sua ligação à superestrutura e não unicamente o tipo de sistema
estrutural da ponte.
Um outro parâmetro que pode ser importante na caracterização da capacidade de redistribuição de
esforços é o factor de plasticidade definido nesta dissertação que pode ser útil na compreensão
imediata da importância dos elementos menos participativos sendo um parâmetro pouco dependente
do elemento mais participativo. Como trabalhos futuros, deve ser estudado em pormenor a correlação
entre o factor de plasticidade e a participação dos elementos secundários além da possibilidade de
extrapolação destes conceitos para outras relações de altura entre pilares.
Verifica-se que a capacidade de curvatura de secções ocas é muito condicionada pela rotur a do aço
e que a curvatura última é muito pouco influenciada pela quantidade de armadura. Esta hipótese é
bastante importante em situações em que se conhecem, à partida, os deslocamentos máximos, como
é o caso da presente estrutura de períodos elásticos altos, para a qual o deslocamento máximo sob a
actuação do sismo de Lisboa é, aproximadamente, , independentemente da distribuição da
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
-0,25 -0,15 -0,05 0,05 0,15 0,25
V [kN]
δt [m]
A.E.L
A.D.L
A.E
103
armadura dos pilares. Para pilares monoliticamente ligados ao tabuleiro, deve ter-se em atenção a
influência na configuração de deformada que este impõe ao pilar. Essa influência aumenta com a
diminuição da rigidez relativa pilar-tabuleiro o que leva a um aumento de curvaturas no pilar para o
mesmo deslocamento de topo.
Tendo em conta estas condicionantes, pode-se diminuir ao mínimo a taxa de armadura como se
adopta no modelo b.b.b. sabendo que o deslocamento objectivo é idêntico e que as secções
apresentam a mesma capacidade de curvatura. Por seu lado, deve ter-se em atenção que a
diminuição de capacidade resistente leva a que outras acções se tornem condicionantes.
No que se refere à solução estrutural da ponte verifica-se que esta pode ser melhorada sem alterar a
estética adoptada. Nessa medida sugere-se rotular a ligação do pilar 4 ao tabuleiro. Esta alteração
leva a que a evolução da deformada do pilar 4 dependa exclusivamente do deslocamento de topo
permitindo modelos com menor taxa de armadura suportar maiores deslocamentos já que o tabuleiro
não induz deformação desfavorável ao pilar.
No que se refere aos pilares altos, deve concluir-se que as dimensões das secções não devem
aumentar na aproximação à base na medida em que condiciona a sua capacidade de curvatura além
de evitar a formação de rótulas plásticas nessas zonas. A possibilidade de manter a secção const ante
até à base deve ser estudada considerando a instabilidade desses elementos e a resistência da
estrutura à acção lateral do vento.
Por outro lado, deve ter-se em atenção os modos locais desses pilares, pelo que a análise estática
não linear deve ser feita tendo em conta vários modos de vibração. Deste modo, o método N2 perde
validade para a caracterização do comportamento sísmico desta ponte já que se verifica que a
resposta depende de mais do que um modo relevante na direcção longitudinal.
Embora não tenha sido referido anteriormente, não se deve deixar de verificar que o primeiro modo
de vibração da ponte é na direcção transversal. Isto significa que o comportamento sísmico nessa
direcção pode ser condicionante pelo que as armaduras calculadas podem nã o respeitar a
segurança. Nesta direcção, a análise apresenta-se mais complexa na medida em que o tabuleiro
apresenta baixa rigidez à deformação o que leva a uma maior individualização dos pilares. Como tal,
a capacidade de redistribuição entre pilares é bastante menor. No entanto, prevê-se que o pilar 4
mantem a sua alta participação na resistência ao movimento, juntamente com os pilares 1 e 5 cujos
apoios impedem o movimento pilar-tabuleiro. Nesta análise, a rigidez relativa do tabuleiro é um factor
chave que influencia, tanto a resistência global da estrutura, como as configurações de deformada
dos modos de vibração como foi concluído por Kohrangi et Al. [21]. A exploração da plasticidade
através da diminuição da capacidade resistente dos pilares deve ser estudada em paralelo com a
exigência de resistência à acção do vento.
105
7 Bibliografia
[1] EC2-1, Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General. EN 1992-1:2004, Brussels:
CEN, Comité Européen de Normalisation, 2004.
[2] EC8-1, Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance. Part 1: general rules, seismic
actions and rules for buildings. EN 1998-1:2004, Brussels: CEN, Comité Européen de
Normalisation, 2004.
[3] EC8-2, Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance. Part 2: Bridges. EN 1998-
2:2005, Brussels: CEN, Comité Européen de Normalisation, 2005.
[4] A. Costa e J. Appleton, Apontamentos da cadeira de Estruturas de Betão I, Lisboa, 2002.
[5] M. Menegotto e P. P.E., “Method of analysis for cyclically loaded RC plane frames including
changes in geometry and non-elastic behaviour of elements under combined normal force and
bending,” Symposium on the Resisntance and Ultimate Deformability of Structures Acted on by
Well defined Loads, International Association for Bridge and Structural Engineering, pp. 15-22,
1973.
[6] J. B. Mander, P. M. J. N. e P. R., “Theoretical stress -strain model for confined concrete,” ACSE
Journal of Structural Engineering, vol. 114 (8), pp. 1804-1826, 1988.
[7] B. D. Scott, R. Park e M. J. N. Priestley, “Stress-strain behavior concrete confined by overlapping
hoops at low and high strain rates,” ACI Journal, vol. 79(1), pp. 13-27, 1982.
[8] E. A. Martinez-Rueda J.E., “Confined concrete model under cyclic load,” Materials and Structures,
vol. 30 (197), pp. 139-147, 1997.
[9] A. Brito, Dimensionamento de Estruturas Subterrâneas de Betão Armado Sujeitas a Acções
Bibliografia
106
Sísmicas, Lisboa, 2011.
[10] J. Azevedo e J. Proença, Dinâmica de Estruturas, Lisboa, 1991.
[11] M. Lopes, Sismos e Edifícios, Lisboa: Orion, 2008.
[12] A. Chopra, “Equivalent Viscous Damping,” em Dynamic of Structures, vol. 20(3), New Jersey,
Prentice Hall, 1995, pp. 98 - 99.
[13] P. Fajfar, “Earthquake Spectra, ” em A Nonlinear Analysis Method for Performance-Based Seismic
Design, EERI, 2000, pp. 573, 592.
[14] R. Bento, S. Falcão e F. Rodrigues, “Avaliação sísmica de estruturas de edificios com base em
análises estáticas não lineares,” IST Press, Lisbon, 2004.
[15] CSI, Sap2000, Berkeley, 2010.
[16] J. Appleton, Estruturas de Betão, Lisboa: Orion, 2013.
[17] SeismoSoft, SeismoStruct - A computer program for Static and dynamic nonlinear analysis of
framed structures, Available from: www.seismosoft.com, 2006.
[18] A. Gomes e J. Vinagre, Estruturas de Betão I - Tabelas de Cálculo, vol. III, Lisboa: IST, 1997.
[19] B. Halldorsson e A. Papageorgiou, “Calibration of the specific barrier model to earthquake of
different tectonic regions,” Bulletin of the Seismological Society of America, vol. 95, pp. 1276-
1300, 2005.
[20] SeismoSoft, SeismoArtif - A computer program for generating artificial earthquake accelerograms
matched to a specific target response spectrum, available from http://www.seismosoft.com, 2013.
[21] M. Kohrangi, R. Bento e M. Lopes, “Evaluation of Nonlinear Static Procedures for Seismic,” em
15ª Conferência Mundial de Engenharia Sísmica, Lisboa, 2012.
107
Anexo
109
Acelerogramas adoptados na Análise Dinâmica não Linear:
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
a [g]
t [s]
Acelerograma 1
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
a [g]
t [s]
acelerograma 2
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
a [g]
t [s]
Acelerograma 3
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
a [g]
t [s]
Acelerograma 4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
a [g]
t [s]
Acelerograma 5
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
a [g]
t [s]
Acelerograma 6