COMPORTEMENT STATIQUE DES SYSTEMES APPLICATION Exercice n° 10 Pince pneumatique Schrader

COMPORTEMENT STATIQUE DES SYSTEMES

APPLICATION Exercice n° 10

Pince pneumatique Schrader

Sous l’action de l’air comprimé en provenance du distributeur pneumatique, le piston 8 se déplace et fait pivoter les doigts 12 et 13, par l’intermédiaire des biellettes 11 et 14 afin de serrer une pièce.

La mise à l’échappement de la chambre du vérin permet à la pince de s’ouvrir grâce aux ressorts 15 comprimés lors de la phase de serrage.


Si on veut trouver une relation entre la pression d’alimentation et l’effort de serrage d’un objet par les doigts, il faut appliquer le Principe Fondamentale de la Statique

Vérin pneumatique

(simple effet)

Vérin pneumatique

(simple effet)Doigts de la

pince

Doigts de la pince

Energie

pneumatiqueEnergie

mécanique

Pièce libre

Pièce serrée Fserrage (N)p (pa)

?


Pour « manipuler » ces efforts et appliquer le PFS, il faut tout d’abord en donner une image mathématique : on parle de MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES

Pour « manipuler » ces efforts et appliquer le PFS, il faut tout d’abord en donner une image mathématique : on parle de MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES

Vérin pneumatique

(simple effet)

Vérin pneumatique

(simple effet)Doigts de la

pince

Doigts de la pince

Energie

pneumatiqueEnergie

mécanique

Pièce libre

Pièce serrée Fserrage (N)p (pa)

PFS

Si on veut trouver une relation entre la pression d’alimentation et l’effort de serrage d’un objet par les doigts, il faut appliquer le Principe Fondamentale de la Statique


APPLICATIONPince pneumatique

Objectif : vérifier, dans la position d’équilibre de la pince en train de serrer un objet, le critère de la fonction FC1.

Schéma cinématique


Q1. Compéter le schéma cinématique pour obtenir le schéma d’architecture.Q1. Compéter le schéma cinématique pour obtenir le schéma d’architecture.

Q1. Compéter le schéma cinématique pour obtenir le schéma d’architecture.Q1. Compéter le schéma cinématique pour obtenir le schéma d’architecture.

pression

p ressort

F serrage

F serrage

+ les poids des pièces

Q2. Compéter le graphe des liaisons pour obtenir le graphe de structure.Q2. Compéter le graphe des liaisons pour obtenir le graphe de structure.

8

11

1

14

12

13

Pivot d’axe ( , )D z

Pivot d’axe ( , )F z

Pivot glissant d’axe ( , )O x

�� Pivot d’axe ( , )B z

Pivot d’axe ( , )B z

Pivot d’axe ( , )E z

Pivot d’axe ( , )C z

pression

ressortserrage

pesanteur

pesanteur

Pièce serrée

Action

pes pièceserrée

(négligée)

Action de 1 :Action des 2 ressorts 15 :

Action de 11 :Action de 14 :Action de la pesanteur :

Action de l’air comprimé :

BAME à 8

1 815 8

8p 11 814 8

8pes (négligée)

Pièce serrée

Q3. Isoler le piston 8 et faire le bilan des actions mécaniques extérieures (BAME).Q3. Isoler le piston 8 et faire le bilan des actions mécaniques extérieures (BAME).

Q3. Isoler le piston 8 et faire le bilan des actions mécaniques extérieures (BAME).Q3. Isoler le piston 8 et faire le bilan des actions mécaniques extérieures (BAME).

• Action de 1 :

BAME à 8

0

0

15 8 0 0

0 0B B

k L

0

1 8 ,1 8

1 8 ,1 8( , )

0 0

1 8 P

PP O x B

Y M

Z N

A BO

• Action de l’air comprimé :

0

0

8 0 0

0 0A B

p S

p

• Action des 2 ressorts 15 :

• Action de 11 :

11 8

0

11 8 ,11 8

11 8 ,11 8

11 8( , )0

P

P

P B z B

X L

Y M

Z

• Action de 14 :

14 8

0

14 8 ,14 8

14 8 ,14 8

14 8( , )0

P

P

P B z B

X L

Y M

Z

Principe Fondamental de la StatiqueLa condition nécessaire pour qu’un ensemble ensemble isolé isolé soit en équilibre soit en équilibre par rapport à un repère galiléen(1) est que la somme des torseurs des la somme des torseurs des actions mécaniques extérieures à actions mécaniques extérieures à soit nulle soit nulle :

,

00

0AA

R

M

��

�� A

Représenter le système

Graphe de structure

ISOLER une partie du système

Graphe ou schéma de structure de l’ensemble isolé.

Faire le B.A.M.E. ( Bilan de Actions Mécaniques Extérieures)

Torseurs des a.m.e.

Appliquer le P.F.S. Application du Principe fondamental de la statique.

Théorèmes Ecriture des équations

Résoudreanalytiquement ou graphiquement

Affichage des résultats et conclusion

ou

description des méthodes graphiques

Calculs ou constructions graphique

RAPPEL de coursRAPPEL de cours


Cette équation torsorielle conduit à 2 équations vectorielles :• Théorème de la résultante statique Théorème de la résultante statique ::

A

0R ��

• Théorème du moment statique Théorème du moment statique ::

, 0AM ��


Graphe de structure




Torseurs des a.m.e.





ou



,

00

0AA

R

M

��

��



Cette équation torsorielle conduit à 2 équations vectorielles :• Théorème de la résultante statique Théorème de la résultante statique ::

A

0R ��

• Théorème du moment statique Théorème du moment statique ::

, 0AM ��

Après avoir exprimé les différents vecteurs dans la même base, chacune de ces équations vectorielles conduit à 3 équations scalaireséquations scalaires, soit 6 au total6 au total :

,

,

,

00

0 0

0 0

A

A

A

M xR x

R y M y

R z M z

��

��

�� ,

00

0AA

R

M

��

��


• Action de 1 :


BAME à 8

1 8

0

0

15 8 0 0

0 0B B

k L


8p

0

0

0 0

0 0A B

p S

11 8

0

1 8 ,1 8

1 8 ,1 8( , )

0 0

P

PP O x B

Y M

Z N

��

• Action de 14 :

14 8

0

,14 814 8

14 8 ,14 8

14 8( , )0

P

P

P B z B

LX

Y M

Z

Devient un glisseur de support passant par le point BDevient un glisseur de support passant par le point B

On est dans le cas d’un problème plan ( , , )O x y��

0

,11 811 8

11 8 ,11 8

11 8( , )0

P

P

P B z B

LX

Y M

Z

Q4. Simplifier ces torseurs en tenant compte de l’hypothèse de problème plan.Q4. Simplifier ces torseurs en tenant compte de l’hypothèse de problème plan.

• Action de 11 :

Devient un glisseur de support passant par le point BDevient un glisseur de support passant par le point B

• Action de 1 :


BAME à 8

0

#

#15 8 0

0#B B

k L


0

#

#0

0#A B

p S

0

1 8

,1 8( , )#

0 #

#

PP O x B

Y

N

��

• Action de 14 :

0

14 8

14 8

( , )

#

#

0#P B z B

X

Y

( , , )O x y��

1 8

8p

11 8

14 8

• Action de 11 :

0

11 8

11 8

( , )

#

#

0#P B z B

X

Y

2 inc

Soit

6 inconnues

Pour

3 équations

2 inc

2 inc



B x��

y��

11 8R ��

14 8R ��

On donne l’hypothèse suivante :

Il existe une symétrie de la géométrie de la pince et des sollicitations mécaniques par rapport à l’axe (O,x )

Ceci implique une symétrie des AM des deux biellettes 11 et 14 sur le piston 8.

• Action de 11 :

11 8

0

11 8

11 8

( , )

#

#

# 0P B z B

X

Y

• Action de 14 :

14 8

0

14 8

14 8

( , )

#

#

# 0P B z B

X

Y

0

11 8

11 8

( , )

#

#

# 0P B z B

X

Y

14 8

Attention, il faut les deux conditions

Cette hypothèse lève 2 inconnues

Q5. Appliquer, au point B, le Principe Fondamental de la statique sur cet isolement. En déduire les 3 équations scalaires liant les composantes des différentes actions mécaniques.Q5. Appliquer, au point B, le Principe Fondamental de la statique sur cet isolement. En déduire les 3 équations scalaires liant les composantes des différentes actions mécaniques.

Principe Fondamental de la Statique : 8 8 0

Avec :

8 8 1 8 15 8 8 11 8 14 8p

donc :

0,1 8

1 8

0 #

#

# BB B

Y

N

0

#

0 #

# 0BB

k L

0BB

?

0

#

8 0 #

# 0A B

p S

p

On a : Au point B ?

, 8 , 8 18

0

B p A p pM M BA R

��

0

#

8 0 #

# 0B B

p S

pes


Principe Fondamental de la Statique :

Avec :

8 8 1 8 15 8 8 11 8 14 8pes

donc :

0,1 8

1 8

0 #

#

# BB B

Y

N

0

#

0 #

# 0BB

k L

0

#

0 #

# 0B B

p S

0

11 8

11 8

#

#

# 0B B

X

Y

0

11 8

11 8

#

#

# 0BB

X

Y

8 8 0



Avec :

8 8 1 8 15 8 8 11 8 14 8p

donc :

0

#

0 #

# 0BB

k L

0

#

0 #

# 0B B

p S

0

11 8

11 8

#

#

# 0B B

X

Y

0

11 8

11 8

#

#

# 0BB

X

Y

0

0 #

0 #

# 0BB

0

1 8

,1 8

0 #

#

#B B B

Y

N

8 8 0


Ce qui nous conduit aux 3 équations scalaires suivantes :

11 82 0k L p S X

1 8 0Y

(1)

(2)

,1 8 0BN (3)


8 8 0


Graphe de structure




Torseurs des a.m.e.





ou



Q6. Indiquer s’il est possible de déterminer toutes composantes d’action mécaniques inconnues.Q6. Indiquer s’il est possible de déterminer toutes composantes d’action mécaniques inconnues.

Ce qui nous conduit aux 3 équations scalaires suivantes :

11 82 0k L p S X

1 8 0Y

(1)

(2)

,1 8 0BN (3)

Ces 3 équations ne nous permettent pas de déterminer les 4 composantes d’actions mécaniques inconnues :

1 8 11 8

0

11 8

11 8

#

#

# 0B B

X

Y

0

1 8

,1 8

0 #

#

#B B B

Y

N



Graphe de structure Représenter le système




Torseurs des a.m.e.





ou



4 inconnues pour 3 équations

Il faut procéder à un autre isolement

Action de 8 :

Action de 12 :

Action de la pesanteur :

BAME à 11

8 11

12 11(négligée)11pes

Q7. Isoler la biellette 11 et faire le bilan des actions mécaniques extérieures (BAME).Q7. Isoler la biellette 11 et faire le bilan des actions mécaniques extérieures (BAME).


BAME à 11

• Action de 8 :

8 11 11 8

Théorème des actions réciproques : d’après l’équations (1)

11 82 0k L p S X (1)

0

11 8

0

2

0

0 0B B

k L p S

Y

BAME à 11

• Action de 8 :

0

11 8

0

2

0

0 0B B

k L p S

Y

• Action de 12 :

12 11

0

12 11

12 11

( , )

0

0

0 0P C z B

X

Y


8 11 11 8

Hypothèse de problème plan ( , , )O x y��

BAME à 11

• Action de 8 :

0

11 8

2

0

#

#

#B B

k L p S

Y

• Action de 12 :

12 11

0

12 11

12 11

( , )0

#

#

#P C z B

X

Y



8 11 11 8

Soit 3 inconnues

Pour 3 équations

0

11 8

#

2

8 11 #

# 0BB

k L p S

Y

Q8. Appliquer, au point C, le Principe Fondamental de la statique sur cet isolement. En déduire les 3 équations scalaires liant les composantes des différentes actions mécaniques.Q8. Appliquer, au point C, le Principe Fondamental de la statique sur cet isolement. En déduire les 3 équations scalaires liant les composantes des différentes actions mécaniques.


,8 11 ,8 11 8 11

0

C BM M CB R

��

Au point C ?On a :

11 11 8 11 12 11

donc :

0C B

?

Avec :

donc :

0

11 8

#

2

8 11 #

# 0B B

k L p S

Y

On a : Au point C ?

,8 11 8 11CM CB R ��

0C B

?

11 8sin cos2

k L p Sa z a Y z

11 11 8( )

2

k L p Sa x x Y y

��



11 11 8 11 12 11

Avec :

donc :

0

11 8

11 8

#2

#

( cos sin )#2C B

k L p S

Y

k L p Sa Y



11 11 8 11 12 11

Avec :

0

12 11

12 11

#

#

# 0C B

X

Y

0

0 #

0 #

# 0BC



11 11 8 11 12 11

Avec :

0

11 8

11 8

#2

#

( cos sin )#2C B

k L p S

Y

k L p Sa Y

donc :

12 11 02

k L p SX

11 8 12 11 0Y Y

(4)

(5)

11 8( cos sin ) 02

k L p Sa Y

(6)

Ces 3 équations nous permettent de déter-miner toutes les composantes d’actions mécaniques inconnues. (mais pas pour autant de répondre à la problématique !)

0

2

8 11 tan # 2

#

#

0

C B

k L p S

k L p S

0

2

12 11 tan #2

#

#

0

BC

k L p S

k L p S



Q9. Faire l’application numérique.Q9. Faire l’application numérique.

0

132 #

8 11 147 #

# 0C B

5

2 3 2

5 /

41 41 35 6

6 10

(25 10 )

4 4

k N mm

L mm

p Pa

S

On a :

donc :

0

132 #

12 11 147 #

# 0BC

et

en N en N

Q10. Isoler le doigt 12 et faire le bilan des actions mécaniques extérieures (BAME).Q10. Isoler le doigt 12 et faire le bilan des actions mécaniques extérieures (BAME).

Action de 11 :

Action de serrage :

Action de la pesanteur :

BAME à 12

1 12

12obj (négligée)12pes

Action de 1 :

11 12

BAME à 12

• Action de 11 :

11 12 12 11

Théorème des actions réciproques


BAME à 12

• Action de 11 :

11 12

0

132 0

147 0

0 0C B

• Action de 1 :

1 12

0

1 12

1 12

( , )

0

0

0 0P D z B

X

Y


• Action de serrage :

12obj

0

0 0

12 0

0 0K B

obj F


BAME à 12

• Action de 11 :

11 12

0

132

147

#

#

# 0C B

• Action de 1 :

1 12

0

1 12

1 12

( , )

#

0

#

#P D z B

X

Y


• Action de serrage :

12obj

0

#

#2

0#

0

1

K B

obj F


0

11 12

11 12

#

# 0

#

C B

X

Y

Q11. Appliquer, au point D, le Principe Fondamental de la Statique sur cet isolement. En déduire les 3 équations scalaires liant les composantes des différentes actions mécaniques.Q11. Appliquer, au point D, le Principe Fondamental de la Statique sur cet isolement. En déduire les 3 équations scalaires liant les composantes des différentes actions mécaniques.

Principe Fondamental de la Statique : 12 12 0 Avec :

12 12 11 12 1 12 12obj

donc :

,11 12 ,11 12 11 12

0

D CM M DC R

��

Au point D ?On a :D R

?

11 12

0

11 12

11 12

#

# 0

#

C B

X

Y



12 12 11 12 1 12 12obj

donc :

On a :D R

?

11 12

0

11 12

11 12

#

# 0

#

C B

X

Y

11 12 11 112 12 2( ) ( )b x c y xX Y y ��

11 12 11 12 11 12 11 12sin cos cos sinX Y Xb z b z z Yc c z

,11 12 ,11 12 11 12

0

D CM M DC R

��

Au point D ?

0D B



12 12 11 12 1 12 12obj

donc :

0

#

#

# sin ( ) cos ( )D B

X

Y

X Y Yb c b c X

0

1 12

1 12

#

#

# 0

Y

BD

X

?

11→12Y = Y11→12X = X

12obj , 12 , 12 12

0

D obj K obj objM M DK R

��

Au point D ?0 0

0

0 0K R

F

12 cosd x F y d F z ��

0D B



12 12 11 12 1 12 12obj

donc :

0

#

#


X

Y

X Y Yb c b c X

0

1 12

1 12

#

#

# 0

Y

BD

X

?

11→12Y = Y11→12X = X

, 12 , 12 12

0


��

Au point D ?0 0

0

0 0K R

F


0

0 #

#

# cosD B

F

d F

12obj

0D B



12 12 11 12 1 12 12obj

donc :

0

#

#


X

Y

X Y Yb c b c X

0

1 12

1 12

#

#

# 0

Y

BD

X

?

11→12Y = Y11→12X = X

, 12 , 12 12

0


��

Au point D ?0 0

0

0 0K R

F


0

0 #

#

# cosD B

F

d F

12obj



12 12 11 12 1 12 12obj

donc :

0

#

#


X

Y

X Y Yb c b c X

0

1 12

1 12

#

#

# 0

Y

BD

X

11→12Y = Y11→12X = X

0

0 #

#

# cosD B

F

d F

0

0 #

0 #

# 0BD


1 12132 0X

1 12147 0Y F

(7)

(8)

sin ( 132 147) cos ( 147 132) cos 0b c b c d F (9)

Ces 3 équations nous per-mettent de déterminer toutes les composantes d’actions mécaniques inconnues.

0

0 0

12 77,8 0

0 0BK

obj

0

132 0

1 12 224,8 0

0 0BD


X = 132 N Y = 147 N

12 12 0

en N en N

Q12. Conclure quant au respect du critère de la fonction FC1.Q12. Conclure quant au respect du critère de la fonction FC1.

On trouve ainsi un effort de serrage :

77,8F N 70 10% 77N

Le critère de la fonction FC1 n’est pas respecté !

Q13. Proposer une hypothèse pour justifier l’écart entre l’effort de serrage simulé et l’effort de serrage réel.Q13. Proposer une hypothèse pour justifier l’écart entre l’effort de serrage simulé et l’effort de serrage réel.

Il existe des frottements entre les surfaces fonctionnelles de contact, ce qui entraine des pertes d’énergie !

Contrairement à l’hypothèse du cours, les liaisons ne sont pas parfaites…

Vérin pneumatique (simple effet)

Vérin pneumatique (simple effet)

Doigts de la pince

Doigts de la pince

Energie

pneumatique

Energie

mécanique

Pièce libre

Pièce serrée

BiellettesBiellettes

Energie

mécanique

Q13. Proposer une hypothèse pour justifier l’écart entre l’effort de serrage simulé et l’effort de serrage réel.Q13. Proposer une hypothèse pour justifier l’écart entre l’effort de serrage simulé et l’effort de serrage réel.

Il existe des frottements entre les surfaces fonctionnelles de contact, ce qui entraine des pertes d’énergie !

Contrairement à l’hypothèse du cours, les liaisons ne sont pas parfaites…

Vérin pneumatiqueVérin pneumatique Doigts de la pince

Doigts de la pince

Energie

pneumatique

Energie

mécanique

Pièce libre

Pièce serrée

BiellettesBiellettes

Energie

mécanique

Pertes énergétiques (adhérence)

Plus particulièrement au niveau de la liaison pivot glissant entre le piston 8 et le corps 1 (à cause de

la présence d’un joint assurant l’étanchéité)

Q14. Déterminer, en tenant compte du phénomène d’adhérence, le torseur de l’action mécanique de 1 sur 8.Q14. Déterminer, en tenant compte du phénomène d’adhérence, le torseur de l’action mécanique de 1 sur 8.

Joint à lèvres

Lorsque la chambre arrière du vérin est alimentée, l’air vient plaquer les lèvres du joint sur l’alésage du corps et dans la gorge du piston.Ceci crée ainsi une pression de contact au niveau des surfaces de contact joint/corps et joint/piston

coefficient de frottement → 0,3

Hypothèse : la pression de contact entre le joint et le corps est uniforme sur toute la surface de contact

et est égale à la pression de l’air.

Données :

Largeur du joint à lèvres → 2L mm

x

z

y

xn

P


Joint à lèvres

x

z

y

Point de vue local :

Pour un petit élément du joint à lèvre :

Tendance au glissement

R d L=2 mm

Rd

1 8( )dT P��

1 8( )dN P��

1 8( )dF P ��

1 8 1 8( ) ( )dN P dT P ��

1 8 1 8( ) ( )dN P n dT P x ��

Or : 1 8( )dN P ��

p L R d

Et : 1 8( )dT P ��

1 8( )dN P ��

p L R d

p ds


Joint à lèvres

Point de vue global :

1 8( )R P ��

1 8 11 8 8( ) ( )( )S S

dN P dTdF P P ��

S S

p L R d n p L R d x ��

0

Toutes les forces élémentaires normales s’annulent deux à deux !


Joint à lèvres

Point de vue global :

1 8( )R P ��

1 8 11 8 8( ) ( )( )S S

dN P dTdF P P ��

2

0

x dp L R

��

2p L R x ��

S S

p L R d n p L R d x ��

28,3 x ��

Ce que ca change …

0

donc :

0

#

0 #

# 0B B

k L

0

#

0 #

# 0B B

p S

0

11 8

11 8

#

#

# 0B B

X

Y

0

11 8

11 8

#

#

# 0B B

X

Y

0

0 #

0 #

# 0BB

0

1 8

,1 8

#

#

28,

#

3

B BB

Y

N

Isolement de 8

8 8 1 8 15 8 8 11 8 14 8pes


0

11 8

#

2

#

#

28,3

0BB

k L p S

Y

11 8


8 8 8 11 12 11 0

donc :

0

11 8

11 8

2#

2#

( cos sin )#

8 3

8

2

,

2 ,3

BC

k L p S

Y

k L p Sa Y

0

12 11

12 11

#

#

# 0BC

X

Y

0 #

0 #

# 0

Isolement de 11

0

2

8 11 tan #2

#

28,3

28,3

#

0

BC

k L p S

k L p S

0

2

12 11 tan #

28,3

28,3

2

#

#

0

BC

k L p S

k L p S


0

#

8 11 #

118

131

# 0C B

0

#

12 11 #

#

118

131

0BC



donc :

0

#

#

# sin ( ) cos (

118

131

118 131 131 1 )18D Bb c b c

0

1 12

1 12

#

#

# 0BD

X

Y

0

0 #

#

# cosD B

F

d F

0 #

0 #

# 0

Isolement de 12

12 12 11 12 1 12 12obj

69,4F N


70 10% 77N

Le critère de la fonction FC1 est respecté !

70 10% 63N

Les résultats obtenues par une simulation « manuelle » ou assistée par ordinateur ne correspondent pas toujours au comportement réel du système en raison des différentes hypothèses simplificatrices posées:

- liaisons parfaites,

- action de la pesanteur négligée,

- …

Fin

Documents

COMPORTEMENT STATIQUE DES SYSTEMES APPLICATION Exercice n° 10 Pince pneumatique Schrader