ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

—–o∆o—–

ĐINH HUỲNH THÁI

PHẦN TỬ DẦM LIÊN HỢP

MÔ HÌNH TIMOSHENKO

CÓ XÉT ĐẾN PHI TUYẾN VẬT LIỆU

Chuyên ngành: Xây Dựng Dân Dụng Và Công Nghiệp

Mã số ngành: 605820

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tp.Hồ Chí Minh, Tháng 07-2014

Lời cảm ơn

Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Đức Vinh đã tận tình giúp đỡ

tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Thầy đã cung cấp những tài liệu

rất quý giá cho luận văn và đưa ra những gợi ý hợp lý vào những thời điểm

khó khăn trong quá trình nghiên cứu. Tôi đã học được ở thầy phương pháp làm

nghiên cứu khoa học, các kiến thức mà một người nghiên cứu cần phải có, đây

chính là mục tiêu chính của luận văn tốt nghiệp thạc sĩ.

Xin dành tặng luận văn này đến gia đình của tôi. Xin gửi lời cảm ơn chân thành

nhất đến bố, mẹ và cô Ba của tôi. Cảm ơn bố, mẹ đã động viên con và tạo mọi

điều kiện thuận lợi nhất để con yên tâm hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của

mình. Cảm ơn cô Ba đã giúp đỡ con rất nhiều trong quá trình học tập. Có thể

nói, nếu không có gia đình của mình bên cạnh, tôi sẽ không thể hoàn thành tốt

được luận văn này.

Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến quý thầy cô bạn bè,

các đồng nghiệp ở Chi nhánh công ty cổ phần tin học và tư vấn xây dựng đã

tạo mọi điều kiện và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường.

Với những tình cảm đó, tôi tự hứa sẽ luôn cố gắng phấn đấu để xứng đáng với

tình cảm của mọi người dành cho mình.

Đinh Huỳnh Thái

i

TÓM TẮT

Một mô hình dùng để phân tích dầm thép - bêtông liên hợp có xét đến hiện

tượng tương tác bán phần và biến dạng cắt trong cả bản bêtông và dầm thép

được thiết lập bằng việc sử dụng kết hợp mô hình dầm Timoshenko cho cả hai

thành phần (gọi tắt là mô hình T-T). Tác dụng liên hợp được tạo ra bởi các liên

kết chống cắt, cho phép xuất hiện sự chuyển vị trượt tương đối giữa hai thành

phần liên hợp. Ứng xử phi tuyến của vật liệu bêtông, vật liệu thép và liên kết

chống cắt được tính toán trong phân tích. Áp dụng phương pháp phần tử hữu

hạn dựa trên chuyển vị để thiết lập ma trận độ cứng cho phần tử dầm có 16 bậc

tự do. Các áp dụng số được tiến hành trên bài toán dầm đơn giản và dầm liên

tục, chịu tải trọng phân bố đều và tải trọng tập trung giữa nhịp. Kết quả được

so sánh với kết quả thực nghiệm và các mô hình phân tích khác nhằm đánh giá

độ tin cậy của mô hình được thiết lâp.

Từ khóa: Phân tích phi tuyến; Dầm liên hợp thép - bêtông; Tương

tác bán phần; Dầm Timoshenko; Phương pháp phần tử hữu hạn

ii

ABSTRACT

This study presents an analytical model for the analysis for steel-concrete com-

posite beams with partial shear interaction including the shear deformability of

the two components. This model is obtained by coupling a Timoshenko beam

for the concrete slab to a Timoshenko beam for the steel beam (T-T model).

The composite action is provided by a continuous shear connection which en-

ables relative longitudinal displacements to occur between the two components.

The nonlinear behavior of concrete, steel and shear connectors are accounted.

The stiffness matrix of 16DOF element is derived by the finite elements method

based displacement. The numercial solutions are tested on simply supported

beams with a midspan point load and a uniformly distributed load. The ana-

lytical results are compared with the corresponding experimental data and the

difference models. Their performance is discussed.

Keywords: Non-linear analysis; Steel-concrete composite beams; Par-

tial interaction; Timoshenko beam; Finite element method

iii

Lời cam đoan

Tôi tác giả của luận văn này cam đoan rằng.

� Luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của cá nhân, được thực

hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Đức Vinh.

� Các số liệu, kết quả được trình bày trong luận văn này là trung thực và

chưa từng được công bố dưới bất kỳ hình thức nào.

� Các giá trị tham khảo là chính xác, không có chỉnh sửa.

� Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình.

Tp.Hồ Chí Minh, ngày 31 tháng 07 năm 2014

Học viên

Đinh Huỳnh Thái

iv

Mục lục

Trang

Danh sách hình vẽ vii

Danh sách bảng biểu ix

1 Giới thiệu 1

1.1 Đặc điểm và ứng dụng của kết cấu liên hợp thép - bêtông . . . . . . . . 2

1.2 Động lực cho sự phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Mục tiêu, phạm vi và cấu trúc của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Tổng quan 11

2.1 Sự làm việc của dầm thép - bêtông liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Ứng xử liên hợp của dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Các giai đoạn làm việc của dầm liên hợp . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Các phương pháp phân tích dầm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Phương pháp giải tích (exact analytical solutions) . . . . . . . . 14

2.2.2 Phương pháp sai phân hữu hạn (finite difference method) . . . . 15

2.2.3 Phương pháp phần tử hữa hạn (finite element method) . . . . . 16

2.2.3.1 Phương pháp phân tử hữu hạn dựa trên chuyển vị (dis-placement based) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3.2 Phương pháp phân tử hữu hạn dựa trên lực (force based) 19

2.2.3.3 Phương pháp phần tử hữa hạn hỗn hợp (mixed) . . . . 19

2.2.4 Phương pháp độ cứng trực tiếp (direct stiffness method) . . . . 20

2.3 Phân tích dầm liên hợp dựa trên lý thuyết dầm Timoshenko . . . . . . 21

2.4 Các hiện tượng không tương thích trong phân tích dầm liên hợp. . . . . 23

2.4.1 Vấn đề lệch tâm (eccentricity issue) . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.2 Hiện tượng "khóa" biến dạng cắt (shear locking) . . . . . . . . . 26

2.4.3 Hiện tượng "khóa" biến dạng trượt (slip locking) . . . . . . . . 27

2.5 Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Mô hình ứng xử của dầm liên hợp chịu uốn 30

3.1 Các giả thiết của mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Trường chuyển vị và trường biến dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Các điều kiện cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Quan hệ ứng suất suy rộng và biến dạng suy rộng . . . . . . . . . . . . 36

v

3.5 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Công thức phần tử hữu hạn cho dầm liên hợp chịu uốn 39

4.1 Lựa chọn hàm dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Công thức ma trận độ cứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Phân tích tiết diện mặt cắt ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4 Xác định nội lực tại nút phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5 Mô hình ứng xử phi tuyến của vật liệu và liên kết . . . . . . . . . . . . 47

4.5.1 Vật liệu bêtông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5.2 Vật liệu thép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.5.3 Liên kết chống cắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.6 Giải thuật bài toán phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.7 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Áp dụng phân tích số 53

5.1 Phân tích dầm liên hợp trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính . . . . . . . 54

5.1.1 Dầm đơn giản chịu tải trong tập trung của Aribert . . . . . . . 54

5.1.2 Dầm đơn giản chịu tải trọng phân bố đều của N.V. Chúng . . . 57

5.1.3 Dầm liên tục hai nhịp chịu tải trọng tập trung giữa nhịp CTB6của Ansourian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Phân tích phi tuyến vật liệu dầm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2.1 Dầm đơn giản chịu tải trọng tập trung và tải trọng phân bố đềucủa Chapman và Balakrishnan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2.2 Dầm liên tục hai nhịp chịu tải trọng tập trung giữa nhịp củaTeraszkiewicz và Ansouran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 Kết luận 74

6.1 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.2 Hướng phát triển đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Tài liệu tham khảo 76

Phụ lục 81

A Code chương trình MATLAB 81

Lý lịch trích ngang 81

vi

Danh sách hình vẽ

1.1 Các dạng cột liên hợp thép - bêtông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Kết cấu sàn liên hợp sử dụng tấm tôn sóng . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Các loại liên kết chống cắt sử dụng trong dầm liên hợp . . . . . . . . . 3

1.4 Tòa nhà Atlantic Centre Project (hình trái), Tòa nhà Major Bank (hìnhphải) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Tháp Millennium Tower ở Viên - Áo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Tòa nhà Diamond Plaza (hình trái), Trung tâm thương mại 5 tầng củatòa nhà BITEXCO (hình phải) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Khách sạn 5 sao JW Mariot Hà Nội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Cấu vượt vòng xoay Hàng Xanh hoàn thành trong 5 tháng . . . . . . . 9

2.1 Ứng xử của dầm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Tương tác kháng cắt của dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Các giai đoạn chịu tải của dầm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Biểu đồ biến dạng của tiết diện dầm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Phần tử dầm liên hợp 12DOF [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6 Phần tử dầm EB-EB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7 Phần tử dầm EB-EB có xét hiện tượng phân tách đứng . . . . . . . . . 19

2.8 Trường chuyển vị, trường biến dạng và trường ứng suất phần tử dầmcủa Dall’Asta [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.9 Các thành phần chuyển vị và phản lực nút phần tử . . . . . . . . . . . 21

2.10 Phần tử dầm EB-T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.11 Phần tử dầm côngxon liên hợp [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.12 Biểu đồ chuyển vị đứng dưới tải trọng phân bố [4] . . . . . . . . . . . . 25

2.13 Phần tử dầm Timoshenko hai điểm nút . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.14 Hiện tượng "khóa" biến dạng trượt của phần tử dầm 8DOF . . . . . . 28

2.15 So sánh kết quả độ cong giữa các phần tử dầm . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1 Dầm liên hợp điển hình và mặt cắt tiết diện . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Trường chuyển vị của mô hình dầm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1 Phần tử dầm T-T 10 bậc tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Phần tử dầm T-T 16 bậc tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 Chia lớp tiết diện mặt cắt ngang tại điểm Gauss thứ i . . . . . . . . . 45

4.4 Quan hệ ứng suất và biến dạng của vật liệu bêtông khi chịu nén . . . . 47

4.5 Quan hệ ứng suất và biến dạng của vật liệu bêtông khi chịu kéo . . . . 48

vii

4.6 Quan hệ ứng suất và biến dạng của vật liệu thép . . . . . . . . . . . . 49

4.7 Quan hệ lực cắt và biến dạng trượt của liên kết chịu cắt . . . . . . . . 50

4.8 Phương pháp lặp gia tăng Newton - Raphson . . . . . . . . . . . . . . 51

4.9 Lưu đồ phân tích phi tuyến trong MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1 Sơ đồ dầm đơn giản chịu tải tập trung giữa nhịp của Aribert [5] . . . . 54

5.2 Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm Aribert . . . . . . . . . 55

5.3 Biểu đồ biến dạng trượt dọc theo chiều dài dầm Aribert . . . . . . . . 56

5.4 Biểu đồ quan hệ tỉ số độ võng giữa nhịp và tỉ số chiều dài nhịp - chiềucao dầm trong các trường hợp độ cứng liên kết kháng cắt khác nhau . . 57

5.5 Sơ đồ dầm đơn giản chịu tải phân bố đều của N.V. Chúng [6] . . . . . 58

5.6 Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm N.V. Chúng . . . . . . . 59

5.7 Sơ đồ liên tục hai nhịp chịu tải tập trung giữa nhịp của Ansourian [7] . 60

5.8 Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm CTB6 . . . . . . . . . . 61

5.9 Biểu đồ độ võng trên chiều dài nhịp của dầm CTB6 . . . . . . . . . . . 62

5.10 Sơ đồ dầm đơn giản chịu tải tập trung E1 và dầm chịu tải phân bố U4của Chapman [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.11 Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm E1 . . . . . . . . . . . . 65

5.12 Biểu đồ phân bố trượt dọc theo chiều dài nhịp dầm E1 với các mức tảikhác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.13 Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm U4 . . . . . . . . . . . . 66

5.14 Biểu đồ phân bố trượt dọc theo chiều dài nhịp dầm U4 với các mức tảikhác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.15 Sơ đồ dầm liên tục chịu tải tập trung CBI và CTB4 . . . . . . . . . . 68

5.16 Biểu đồ độ võng của dầm CBI với tải trọng P = 122 kN . . . . . . . . 69

5.17 Sự phân bố trượt dọc theo chiều dài nhịp dầm CBI với P = 122 kN . . 70

5.18 Biểu đồ biến dạng mặt cắt theo chiều dài nhịp tại vị trí cánh dưới dầmthép với P = 122 kN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.19 Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm CTB4 . . . . . . . . . . 71

5.20 Biểu đồ quan hệ độ cong và tải trọng của dầm CTB4: a) Tại tiết diệngiữa nhịp và b) Tại tiết diện cách gối tựa giữa 150 mm . . . . . . . . . 72

5.21 Quá trình phân bố ứng suất của tiết diện tại vị trí giữa nhịp và gối giữacủa dầm CTB4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

viii

Danh sách bảng

1.1 So sánh kích thước dầm liên hợp và dầm không liên hợp khi khả năngchịu lực như nhau [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 So sánh kích thước dầm và cột liên hợp với dầm và cột bêtông cốt thépthường khi khả năng chịu lực như nhau [9] . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 So sánh trọng lượng thép và giá thành tổng thể cho khung nhà năm tầngmột nhịp theo Knowles [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 So sánh trọng lượng thép dầm sàn theo P.V.Hội [11] . . . . . . . . . . . 6

2.1 Bậc và loại đa thức của các hàm dạng chuyển vị mô hình dầm EB-EB . 18

2.2 Bậc và loại đa thức của các hàm dạng chuyển vị mô hình dầm EB-T . 22

4.1 Các điểm Gauss và trọng số tương ứng [12] . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1 Các thông số đặc trưng của dầm Aribert [5] . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Kết quả độ võng của các mô hình dầm khi P = 195 kN . . . . . . . . 55

5.3 Các thông số đặc trưng của dầm N.V. Chúng [6] . . . . . . . . . . . . 58

5.4 Kết quả độ võng của các mô hình dầm khi W = 245 kN/m . . . . . . 58

5.5 Các thông số đặc trưng của dầm Ansourian [7] . . . . . . . . . . . . . 60

5.6 Kết quả độ võng của các mô hình dầm Ansourian khi P = 320 kN . . 61

5.7 Các thông số đặc trưng hình học của dầm Chapman [8] . . . . . . . . 63

5.8 Đặc trưng vật liệu và các hệ số của dầm Chapman [8] . . . . . . . . . 64

5.9 Giá trị độ võng và tải trọng tới hạn của dầm E1 . . . . . . . . . . . . . 65

5.10 Giá trị độ võng và tải trọng tới hạn của dầm U4 . . . . . . . . . . . . . 66

5.11 Các thông số đặc trưng hình học của dầm CBI và CTB4 . . . . . . . 67

5.12 Đặc trưng vật liệu và các hệ số của dầm CBI và CTB4 . . . . . . . . 68

5.13 Giá trị độ võng giữa nhịp của dầm CBI với tải trọng P = 122 kN . . . 69

5.14 Giá trị độ võng và tải trọng tới hạn của dầm CTB4 . . . . . . . . . . . 71

ix

Chương 1

Giới thiệu

Nhu cầu xây dựng nhà cao tầng và nhà siêu cao tầng đang bùng nổ mạnh mẽ ở

Việt Nam, đặc biệt ở các khu đô thị lớn như Hà Nội và TP. Hồ Chí Minh. Khi

sử dụng các giải pháp kết cấu bêtông cốt thép thông thường, công trình nhà cao

tầng đòi hỏi kích thước các cấu kiện kết cấu có thể rất lớn, nặng nề, tốn kém,

giảm không gian sử dụng và giảm tính thẩm mỹ. Để khắc phục các nhược điểm

kể trên, giải pháp kết cấu liên hợp thép bêtông đã và đang được sử dụng phổ

biến ở nhiều nước trên thế giới cho các công trình nhà nhiều tầng. Mục đích của

giải pháp này là tận dụng các ưu điểm riêng về đặc trưng cơ lý giữa vật liệu

thép và bêtông để tạo ra kết cấu liên hợp có khả năng chịu lực và độ tin cậy cao,

đồng thời tăng cường khả năng chống cháy. Bên cạnh đó, công trình sử dụng

giải pháp kết cấu liên hợp sẽ đáp ứng được công năng sử dụng cao, hiệu quả về

kinh tế và đảm bảo tính thẩm mỹ. Ở nước ta, tiêu chuẩn thiết kế kết cấu liên

hợp thép bêtông đang được tiến hành nghiên cứu và biên soạn theo tiêu chuẩn

Châu Âu [13–15].

1

1.1 Đặc điểm và ứng dụng của kết cấu liên hợp thép

- bêtông

Kết cấu liên hợp thép - bêtông (KCLH) là loại kết cấu sử dụng thép kết cấu

kết hợp với bêtông hoặc bêtông cốt thép để chúng cùng tham gia chịu lực. Các

giải pháp cấu tạo thường được sử dụng đối với loại cấu kiện kết cấu cột liên hợp

là thép định hình hay thép tổ hợp hàn dạng chữ H được bọc bêtông một phần

hoặc toàn bộ, hoặc thép ống được nhồi đầy bêtông hoặc bêtông cốt thép (hình

1.1).

Hình 1.1: Các dạng cột liên hợp thép - bêtông

Đối với cấu kiện kết cấu sàn liên hợp thì giải pháp sử dụng thường là bản sàn

bêtông cốt thép được đặt lên trên dầm thép hình chữ I (hình 1.2). Ngoài ra các

tấm tôn thép sóng còn được đặt ở mặt dưới của bản sàn bêtông, nằm giữa bản

sàn bêtông và dầm thép hình để đóng vai trò vừa là cốt thép chịu kéo trong

quá trình sử dụng đồng thời là ván khuôn đỡ bêtông tươi trong quá trình thi

công. Để thép và bêtông cùng tham gia chịu lực đồng thời, các liên kết chống

cắt (shear connector) có hình dạng hợp lý được hàn tại bề mặt thép kết cấu tiếp

xúc với bêtông nhằm tăng khả năng liên kết toàn khối giữa thép hình và bêtông

(hình 1.3).

2

Lưới thép

Tôn thép

Dầm thép hình

Liên kết chịu cắt

Sàn bêtông

Hình 1.2: Kết cấu sàn liên hợp sử dụng tấm tôn sóng

Hình 1.3: Các loại liên kết chống cắt sử dụng trong dầm liên hợp

Nhờ các đặc điểm cấu tạo trên đã mang lại cho KCLH nhiều đặc tính ưu việt

hơn kết cấu thông thường [16].

- Khả năng chịu lực và độ tin cậy cao: KCLH đã tận dụng được các ưu điểm

riêng về đặc trưng cơ lý của cả hai loại vật liệu thép và bêtông. Vật liệu

thép có cường độ chịu kéo và nén cao, khả năng cho phép biến dạng dẻo

lớn, độ tin cậy, độ an toàn chịu lực cao nhưng khả năng chịu lửa kém và giá

thành lại cao. Trong khi đó vật liệu bêtông mặc dù chỉ có cường độ chịu

nén tương đối nhưng lại có tính chịu lửa tốt, giá thành rẻ và được sử dụng

phổ biến. Như vậy, so với trường hợp chỉ sử dụng kết cấu bêtông cốt thép

thuần tuý thì việc sử dụng giải pháp kết cấu liên hợp thép bêtông sẽ đảm

bảo tăng khả năng chịu lực và nâng cao độ tin cậy của kết cấu, do bao gồm

khả năng chịu lực của cả hai thành phần kết cấu thép hình và bêtông cốt

thép cùng kết hợp tham gia chịu lực. Hơn nữa, nếu so sánh với trường hợp

chỉ sử dụng giải pháp kết cấu thép thuần tuý thì việc sử dụng kết cấu liên

hợp thép bêtông ngoài việc làm tăng khả năng chịu lực còn tăng độ cứng

ngang, tăng khả năng ổn định và nâng cao tính chịu lửa.

3

Giải pháp kết cấu liên hợp thép bêtông cũng đã được ứng dụng khá hiệu

quả trong trường hợp kết cấu công trình nằm trong vùng có động đất, do

chúng có mức độ ổn định và độ tin cậy cao khi chịu tải trọng động. Điều

này đã được kiểm nghiệm qua thực tế tại nhiều trận động đất lớn, như

trận động đất Kobe ở Nhật Bản năm 1995 hay trận động đất Northridge

ở Mỹ năm 1994.

Bảng 1.1: So sánh kích thước dầm liên hợp và dầm không liên hợp khi khả năngchịu lực như nhau [9]

Dầmoliênohợp Dầm thép khôngocóoliênokếtochịuocắt

Tiếtodiệnothép IPEo400 IPEo550 HEo360oB

Chiềuocaoo9mm) 560 710 520

Tảiotrọng 1002 1002 1002

Trọngolượngothép 1002 1592 2142

Tổngochiềuocao 1002 1272 932

Độ cứng 1002 722 462

H HH

- Công năng sử dụng hiệu quả: Đối với các công trình nhà nhiều tầng, khi

chiều cao nhà càng cao và nhịp khung càng lớn thì nội lực dọc trục trong

cột và mômen trong dầm càng lớn; lực dọc trong cột có thể lên đến 3000

tấn đối với công trình nhà cao hơn 30 tầng. Như vậy, nếu chỉ sử dụng giải

pháp kết cấu bêtông cốt thép thông thường thì kích thước tiết diện yêu cầu

của cột là rất lớn, vì thực tế cấp độ bền của bêtông sử dụng phổ biến cho

xây dựng nhà nhiều tầng ở Việt Nam hiện nay vào khoảng B25 đến B40,

tương ứng với cường độ chịu nén tính toán khoảng 155 đến 215daN/cm2.

Chẳng hạn khi sử dụng giải pháp kết cấu bêtông cốt thép (không liên hợp)

thì kích thước tiết diện cột yêu cầu cho nhà cao 40 tầng xây dựng ở Hà

Nội là khoảng 1.5m × 1.5m; tuy nhiên kích thước này sẽ giảm xuống còn

4

khoảng 1m× 1m khi sử dụng giải pháp kết cấu liên hợp thép bêtông. Như

vậy, việc ứng dụng giải pháp kết cấu liên hợp sẽ tạo cho công trình gọn

nhẹ và tăng không gian sử dụng. Mặc dù ở một số nước trên thế giới như

Nhật Bản, Úc, . . . đã sản xuất được bêtông mác siêu cao với cường độ chịu

nén có thể vượt trên 1000daN/cm2. Tuy nhiên để sản xuất bêtông đạt được

cường độ cao như vậy và đảm bảo được mức độ tin cậy thì quy trình sản

xuất và kiểm tra chất lượng, yêu cầu phải được thực hiện rất nghiêm ngặt

về thời gian và công nghệ kỹ thuật.

Bảng 1.2: So sánh kích thước dầm và cột liên hợp với dầm và cột bêtông cốt thépthường khi khả năng chịu lực như nhau [9]

Liên hợp Bêtông cốt thép

Cột

Kích thước (cm) 70/70 80/120

Dầm

Kích thước (cm) 160/40 160/20

- Hiệu quả kinh tế: So với trường hợp chỉ sử dụng kết cấu thép thuần tuý thì

việc sử dụng giải pháp kết cấu liên hợp thép bêtông sẽ có hiệu quả kinh tế

cao, giảm được trọng lượng thép khoảng 10− 15%. Nếu so với trường hợp

sử dụng giải pháp kết cấu bêtông cốt thép thì giải pháp sử dụng KCLH

giảm được trọng lượng của công trình khoảng 10− 20%, dẫn đến giảm nhẹ

được kết cấu móng. Do vậy mặc dù lượng thép sử dụng trong KCLH là

5

nhiều hơn một chút nhưng tổng chi phí xây dựng công trình có thể vẫn

giảm; đồng thời tăng nhanh được thời gian thi công để sớm đưa công trình

vào sử dụng và quay vòng vốn. Kết quả so sánh định lượng như bảng 1.3

và bảng 1.4.

Bảng 1.3: So sánh trọng lượng thép và giá thành tổng thể cho khung nhà năm tầngmột nhịp theo Knowles [10]

Loại khung Trọng lượng thép (%) Tổng giá thành (%)

Khung thép - đàn hồi (non-composite) 100 100Khung liên hợp - đàn hồi 84.5 92.5Khung thép - đàn dẻo 89 95.5Khung liên hợp - đàn dẻo 70 87

Bảng 1.4: So sánh trọng lượng thép dầm sàn theo P.V.Hội [11]

Loại dầm Trọng lượng thép (%)

Dầm thép (non-composite) 100Dầm liên hợp, có chống tạm khi thi công 73Dầm liên hợp tạo ứng lực trước trong thép 55

Trong những năm gần lại đây kết cấu liên hợp thép - bêtông (KCLH) được sử

dụng nhiều trên thế giới như Mỹ, Anh, . . . và nhất là các nước đang phát triển

như Hàn Quốc, Trung Quốc, Singapore . . . . Một số công trình có thể kể đến

như:

• Tòa nhà 35 tầng Major Bank ở Dallas, tiểu bang Texas của Mỹ (hình 1.4):

cao 237 m, tổng diện tích 185.806 m2, có các cột thép bọc bêtông ở giữa

và hệ sàn dùng dầm thép đỡ bản sàn bêtông đổ tại chỗ liên với ván khuôn

thép cố định.

• Tòa nhà Atlantic Centre Project ở Atlanta cao 221 m có lõi cứng được thi

công theo phương pháp ván khuôn trượt (hình 1.4).

• Tháp Millennium Tower ở Viên - Áo (hình 1.5) cao 171m, có 50 tầng, tổng

diện tích sàn 47.200 m2, có tốc độ thi công trung bình 2,5 tầng trong một

tuần, hoàn thành năm 1999, thi công kết hợp phương pháp ván khuôn trượt

làm tăng tốc độ thi công.

6

Hình 1.4: Tòa nhà Atlantic Centre Project (hình trái), Tòa nhà Major Bank (hìnhphải)

Hình 1.5: Tháp Millennium Tower ở Viên - Áo

7

Ở Việt Nam cũng đã sử dụng KCLH cho các công trình xây dựng dân dụng và

công trình cầu. Tại TP.Hồ Chí Minh đã xây dựng tòa nhà Diamond Plaza cao

21 tầng với kết cấu khung thép bọc vật liệu chống cháy xỉ lò cao; khu trung tâm

thương mại 5 tầng của tòa nhà BITEXCO (hình 1.6), . . . Tại thủ đô Hà Nội,

KCLH được sử dụng làm 500 m2 sàn nhà của công ty xuất nhập khẩu Hồng Hà

do công ty Tadis thiết kế; khách sạn 5 sao JW Marriott Hotel (hình 1.7), . . . . Và

dễ thấy nhất là hàng loạt các cầu vượt bằng KCLH được xây dựng tại Hà Nội

và TP.Hồ Chí Minh, với tiến độ thi công nhanh đã giúp giảm thiểu tình trạng

kẹt xe một cách hiệu quả (hình 1.8).

Hình 1.6: Tòa nhà Diamond Plaza (hình trái), Trung tâm thương mại 5 tầng củatòa nhà BITEXCO (hình phải)

Hình 1.7: Khách sạn 5 sao JW Mariot Hà Nội

8

Hình 1.8: Cấu vượt vòng xoay Hàng Xanh hoàn thành trong 5 tháng

1.2 Động lực cho sự phát triển

Hiện nay, việc phân tích và tính toán dầm liên hợp thép - bêtông được thực hiện

dựa trên nhiều phương pháp khác nhau. Các phần mềm mô phỏng phân tích 3D

được phát triển mạnh và có thể mô hình sự làm việc của dầm liên hợp rất tốt

như Ansys, Abaqus, Atena,. . . . Tuy nhiên, việc phân tích mô hình 3D đòi

hỏi nhiều thời gian và kinh tế. Chính vì vậy, việc xây dựng các mô hình phân

tích 2D là một yêu cầu thiết yếu, nhằm đáp ứng các bài toán phân tích và kiểm

tra dầm liên hợp đơn giản, giúp giải quyết bài toán nhanh chóng và đủ tin cậy.

Bên cạnh đó, tính phù hợp của việc bỏ qua ảnh hưởng biến dạng cắt khi áp

dụng lý thuyết dầm Euler - Bernoulli trong dầm liên hợp đang có thể được

đặt câu hỏi. Đặc biệt trong các trường hợp mà ảnh hưởng cắt là quan trọng,

như các dầm liên hợp ngắn hoặc dày, khi đó tỉ số giữa chiều dài nhịp và chiều

cao dầm nhỏ và tỉ số độ cứng uốn và cắt lớn. Nên việc sử dụng lý thuyết dầm

Timoshenko để xem xét ảnh hưởng của biến dạng cắt trong phân tích là cần

thiết và có thể phản ánh đúng hơn sự làm việc của kết cấu trong thực tế.

9

1.3 Mục tiêu, phạm vi và cấu trúc của đề tài

Mục tiêu của đề tài là dựa vào lý thuyết dầm Timoshenko để thiết lập mô hình

ứng xử của dầm thép - bêtông liên hợp có xét biến dạng cắt trong bản bêtông

và dầm thép hình. Ứng xử liên hợp thông qua tương tác bán phần và các mô

hình phi tuyến vật liệu được đưa vào phân tích. Sử dụng phương pháp phần tử

hữu hạn dựa trên chuyển vị xây dựng mô hình phần tử hữu hạn cho phân tích.

Kết quả sẽ được đánh giá độ tin cậy nhờ việc so sánh với các mô hình dầm liên

hợp khác đã được đề xuất trước đó và các số liệu thực nghiệm.

Áp dụng phân tích số trong hai trường hợp: trường hợp vật liệu và liện kết làm

việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính; và trường hợp vật liệu và liên kết ứng xử

phi tuyến. Phân tích sẽ được tiến hành trên các bài toán dầm đơn giản và dầm

liên tục khác nhau, nhằm xem xét đầy đủ ứng xử của dầm liên hợp trong vùng

chịu mômen dương (sagging) và vùng chịu mômen âm (hogging). Hiện tượng

phân tách lớp (uplift) được bỏ qua.

Bố cục của đề tài như sau:

• Chương 1 sẽ giới thiệu các ưu điểm kết cấu liên hợp và mục tiêu, giới hạn

của đề tài.

• Chương 2 sẽ trình bày tổng quan về các phương pháp phân tích và các

hướng tiếp cận khi phân tích dầm liên hợp.

• Trong chương 3, mô hình ứng xử của dầm liên hợp chịu uốn sẽ được thiết

lập dựa trên các giả thiết và các điều kiện câm bằng.

• Chương 4 trình bày các công thức phần tử hữu hạn và mô hình phi tuyến

vật liệu cho bài toán phân tích phi tuyến dầm liên hợp.

• Các ví dụ áp dụng số và kết quả so sánh được trình bày trong chương 5.

• Chương 6 sẽ kết luận và trình bày các kiến nghị và hướng phát triển của

đề tài.

10

Chương 2

Tổng quan

Nhờ các ưu điểm và ứng dụng rộng rãi được trình bày trong chương 1 mà KCLH

đã được nghiên cứu và phân tích rất nhiều bằng các phương pháp khác nhau

trong lịch sử. Vì vậy, một cái nhìn tổng quan các nghiên cứu đã thực hiện là cần

thiết. Ứng xử liên hợp, các hướng tiếp cận phân tích và các hiện tượng không

tương thích trong dầm liên hợp sẽ được trình bày tóm tắt trong chương này.

Đây là cơ sở lý thuyết quan trọng cho các chương sau.

2.1 Sự làm việc của dầm thép - bêtông liên hợp

2.1.1 Ứng xử liên hợp của dầm

Các trường hợp ứng xử của dầm liên hợp khi xét đến sự tương tác làm việc giữa

bê tông và dầm thép được mô tả theo hình 2.1 [9]. Theo đó, ứng xử của dầm

được chia thành ba trường hợp như sau:

• Tương tác toàn phần (full interaction): không có sự trượt tương đối tại

mặt tiếp xúc giữa bản bêtông và dầm thép. Lực cắt dọc được truyền toàn

bộ và tải trọng phá hoại Pu đạt giá trị lớn nhất, bêtông và thép làm việc

cùng nhau hoàn toàn. Phá hoại là dòn nếu xảy ra đột ngột, là dẻo nếu xảy

ra từ từ.

11

Tải trọng khi có vết nứt đầu tiên

Pu: Không tương tác

Pu: Tương tác bán phần

Pu: Tương tác toán phần

Pf

Pu

0

Tải trọng P

Độ võng d

d

Hình 2.1: Ứng xử của dầm liên hợp

• Không tương tác (no interaction): chuyển vị trượt tương đối giữa bêtông

và thép tại mặt tiếp xúc là không giới hạn; hầu như không có sự truyền lực

cắt. Tải trọng phá hoại Pu nhỏ nhất, phá hoại là chuyển tiếp (progresive).

• Tương tác bán phần (partial interaction): chuyển vị trượt giữa bêtông và

thép tại mặt tiếp xúc khác không nhưng có giới hạn. Lực cắt được truyền

một phần và Pu nằm giữa hai giá trị trên. Phá hoại có thể là dòn hoặc dẻo.

Sự trượt giữa dầm và sàn phụ thuộc vào mức độ tương tác kháng cắt của liên

kết. Hình 2.2 biểu diễn mức độ trượt giữa dầm và sàn khi có và không có liên

kết.

Kháng cắt hoàn toàn(complete)

Kháng cắt không hoàn toàn(incomplete)

Không kháng cắt

Kháng cắt không hoàn toàn

Kháng cắthoàn toàn

Không kháng cắt

Lực cắt ngang

NinT

s

Hình 2.2: Tương tác kháng cắt của dầm

12

2.1.2 Các giai đoạn làm việc của dầm liên hợp

Sự làm việc của kết cấu liên hợp được minh họa theo hình 2.3, được chia thành

ba giai đoạn như sau [17]:

Hình 2.3: Các giai đoạn chịu tải của dầm liên hợp

• Giai đoạn 1: Khi tải trọng còn nhỏ, bêtông và thép làm việc đàn hồi, ứng

suất và biến dạng là tuyến tính. Liên kết giữa chúng chịu lực cắt nhỏ. Dầm

bị biến dạng ít nên ứng suất tại giữa nhịp dầm phân bố dạng đường thẳng

như hình 2.3a. Theo biểu đồ biến dạng, nếu sàn đủ dày thì trục trung hòa

sẽ nằm trong bêtông, như vậy một phần bêtông chịu kéo. Ngược lại, khi

bản sàn mỏng thì trục trung hòa nằm trong phần dầm thép thì lúc này

phần phía trên chịu nén.

• Giai đoạn 2: Khi tải trọng tiếp tục tăng, ứng suất cắt giữa thép và bêtông

tăng làm tăng biến dạng liên kết. Biến dạng này làm tăng biến dạng tổng

thể của dầm. Hình 2.3b biểu diễn ảnh hưởng của biến dạng trượt đến sự

phân bố ứng suất và biến dạng của dầm. Ở giai đoạn này dầm liên hợp

được thiết kế liên kết loại một phần. Tuy nhiên biến dạng trượt rất nhỏ và

có thể bỏ qua.

• Giai đoạn 3: Thép đạt đến giới hạn chảy, vùng dẻo phát triển và sau đó

toàn bộ tiết diện thép bị chảy dẻo. Quá trình này cũng xảy ra tương tự

như với bêtông, biểu đồ ứng suất biến dạng như hình 2.3c. Khi biến dạng

13

phát triển gây ra ứng suất quá lớn sẽ làm phá hoại giòn tại bề mặt bản

bêtông. Sự gia tăng ứng suất trong bêtông dẫn đến sự gia tăng biến dạng,

ứng suất sẽ bị thay đổi. Nếu khả năng chống lại lực cắt dọc đủ lớn thì biến

dạng trượt có thể bỏ qua. Tuy nhiên, trên thực tế mức độ biến dạng dầm

phụ thuộc rất nhiều ứng xử của liên kết chống cắt.

2.2 Các phương pháp phân tích dầm liên hợp

2.2.1 Phương pháp giải tích (exact analytical solutions)

Biểu thức giải tích chính xác được xác định dựa vào một biểu đồ biến dạng chưa

biết. Để xác định biểu đồ này cần có ba tham số được định nghĩa một cách đầy

đủ. Các tham số đó bao gồm: biến dạng ở lớp trên của tiết diện dầm ε0, độ cong

κ và biến dạng trượt s; được biểu diễn như hình 2.4. Hệ ba phương trình được

se0

u'nk

Trục tham chiếu bất kỳ

Biểu đồ biến dạngTiết diện dầm liên hợp

Hình 2.4: Biểu đồ biến dạng của tiết diện dầm liên hợp

sử dụng để giải bài toán gồm phương trình cân bằng theo phương ngang tại tiết

diện, phương trình cân bằng góc xoay tại tiết diện và phương trình cân bằng

theo phương ngang của biểu đồ của phần tử phía trên cùng. Khi biểu đồ biến

dạng được thỏa mãn thì các chuyển vị được xác định từ việc kết hợp điều kiện

biên cho phần tử dầm đang xem xét.

14

Trong trường hợp dầm chịu tải phân bố đều w, các biểu thức của biến dạng ε0,

độ cong κ và biến dạng trượt s được xác định như sau [18]:

ε0 = b1M + b2N + b3s′ (2.1)

κ = r1M + r2N + r3s′ (2.2)

s = αC1eαz − αC2e

−αz +wα1ρ

(2.3)

trong đó M và N lần lượt là mômen và lực dọc trục dọc theo chiều dài dầm; bi,

ri, α và α1 (với i = 1, 2, 3) là các đặc trưng của tiết diện; C1, C2 là các hằng số

tích phân, phụ thuộc vào các điều kiện biên của phần tử dầm.

Chi tiết của phương pháp, các đặc trưng tiết diện và điều kiện tải trọng có thể

tham khảo trong [18].

2.2.2 Phương pháp sai phân hữu hạn (finite difference method)

Phương pháp sai phân hữu hạn là một phương pháp số, được sử dụng cho bài

toán dầm liên hợp khi hệ các phương trình vi phân của bài toán không thể được

giải với lời giải chính xác. Các đạo hàm sẽ được xấp xỉ bởi các biểu thức đại số.

Bằng cách rời rạc phần tử theo phương dọc trục thành m phần, các đạo hàm

của hàm tổng quát K(z) có thể được xấp xỉ bằng tổng các giá trị của hàm tại

các điểm chia theo công thức sau:

Knj = d

(n)1j Gj−2 + d

(n)2j Gj−1 + d

(n)3j Gj + d

(n)4j Gj+1 + d

(n)5j Gj+2 (2.4)

Trong đó: Knj = ∂nKj

∂zn (n ≤ 4) tại điểm chia j; Gj = K(zj) với zj là tọa độ điểm

j trên trục dầm; và d(n)ij là hằng số phụ thuộc vào khoảng cách chia điểm. Áp

dụng công thức 2.4 cho mỗi điểm chia sẽ đạt được một hệ phương trình đại số

chứa các ẩn số là các hàm chuyển vị tại điểm đó.

Chi tiết phương pháp có thể tìm thấy trong nghiên cứu của nhóm tác giả Luigino

Dezi và các cộng sự [19]. Các tác giả đã tính toán ứng xử dài hạn của bêtông

trong mô hình dầm liên hợp có xét đến ảnh hưởng của "shear - lag".

15

2.2.3 Phương pháp phần tử hữa hạn (finite element method)

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một phương pháp số để tìm dạng gần

đúng của hàm ẩn trong miền V . Tuy nhiên FEM không tìm dạng xấp xỉ trên

toàn miền mà chỉ tìm trong từng miền con Ve - phần tử. Trong phạm vi phần

tử, đại lượng cần tìm được xấp xỉ trong dạng hàm đơn giản, gọi là các hàm xấp

xỉ (approximation function). Các hàm này được nội suy qua giá trị của hàm (có

thể cả đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Trình tự phân tích bài toán theo

FEM như sau [20]:

• Rời rạc hoá: miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve có dạng

hình học thích hợp và đơn giản. Chúng liên kết với nhau tại các nút. Các

phần tử có thể có các tính chất vật liệu khác nhau.

• Chọn hàm xấp xỉ thích hợp, rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp giá trị

(cả đạo hàm) của nó tại các nút của phần tử {q}e.

• Thiết lập ma trận độ cứng phần tử [K]e và vectơ tải phần tử {P}e.

• Ghép nối các phần tử trên cơ cở mô hình tương thích.

• Giải hệ phương trình đại số.

• Hoàn thiện: Tìm chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong các phần tử.

Hàm xấp xỉ được chọn để biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị; hay

dạng phân bố của ứng suất, nội lực hay dạng phân bố của cả chuyển vị và ứng

suất. Tùy theo việc lựa chọn hàm xấp xỉ, FEM có thể chia thành các hướng tiếp

cận tương ứng như sau:

16

2.2.3.1 Phương pháp phân tử hữu hạn dựa trên chuyển vị (displacement

based)

Hướng tiếp cận theo phương pháp này được áp dụng nhiều trong phân tích dầm

liên hợp. Mô hình phần tử dầm được thiết lập dựa trên các giả thiết dầm Euler

- Bernoulli. Một số nghiên cứu có thể kể đến như sau:

• Năm 1981, Arizumi và Hamada [1] đã đề xuất mô hình phần tử 12 bậc tự

do (DOF) (hình 2.5) để phân tích đàn - dẻo dầm bêtông cốt thép và dầm

liên hợp có xét sự tương tác không hoàn toàn. Trong phân tích dầm liên

tục, tác giả đã xét đến hiện tượng nứt của bê tông tại vùng mômen âm và

chiều sâu vết nứt được biểu diễn bởi một hàm tuyến tính. Véctơ chuyển vị

u có dạng:

uT =[w1 w′1 v1 v′1 w2 w′2 w3 w′3 v3 v′3 w4 w′4

](2.5)

w2, w'2 w4, w'4

v4, v'4v2, v'2

w1, w'1

v1, v'1

w3, w'3

v3, v'3

Hình 2.5: Phần tử dầm liên hợp 12DOF [1]

• Năm 1999, Gattesco [21] đã so sánh các biểu thức trong phương pháp phân

tích dầm liên hợp theo hướng tiếp cận tuyến tính và theo hướng tiếp cận

phi tuyến. Từ đó tác giả đã áp dụng số trên bốn mô hình dầm liên hợp để

so sánh với kết quả thực nghiệm.

• Năm 2002, Dall’Asta và Zona [22] đã phân tích phi tuyến dầm liên hợp

bằng việc sử dụng giả thiết dầm Euler - Bernoulli cho cả sàn bêtông và

dầm thép hình, được gọi là mô hình EB -EB. Từ đó ba mô hình phần tử

17

có số bậc tự do khác nhau: 8DOF, 10DOF và 16DOF (hình 2.6) được xây

dựng để so sánh kết quả và đánh giá các sai số. Véctơ chuyển vị u bao gồm

chuyển vị dọc trục của sàn bêtông wc, chuyển vị dọc trục của dầm thép

ws và chuyển vị đứng v. Các hàm dạng được lựa chọn tương ứng cho ba

trường hợp được thống kê trong bảng 2.1.

uT =[wc ws v

](2.6)

8DOF 10DOF 16DOF

Hình 2.6: Phần tử dầm EB-EB

Bảng 2.1: Bậc và loại đa thức của các hàm dạng chuyển vị mô hình dầm EB-EB

Phần tử dầm EB - EB w1 w2 v

8DOF EB-EB 1(C0) 1(C0) 3(C1)10DOF EB-EB 2(C0) 2(C0) 3(C1)26DOF EB-EB 4(C0) 4(C0) 5(C1)

Trong đó: C0= đa thức Lagrange; C1= đa thức Hermite

• Năm 2006, Gara và cộng sự [23] đã thiết lập các biểu thức phần tử hữu

hạn cho mô hình dầm liên hợp có xét cả hiện tượng trượt dọc trục và hiện

tượng phân tách đứng (vertical uplift) giữa hai thành phần liên hợp. Khi

đó véctơ chuyển vị u bao gồm chuyển vị dọc trục của sàn bêtông wc và

của dầm thép ws; chuyển vị đứng của sàn bêtông vc và của dầm thép vs.

Các vật liệu được làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính. Ba mô hình

phần tử được phân tích và so sánh gồm: 12DOF, 14DOF và 22DOF (hình

2.7).

uT =[wc ws vc vs

](2.7)

18

12DOF 14DOF 22DOF

Hình 2.7: Phần tử dầm EB-EB có xét hiện tượng phân tách đứng

• Năm 2009, Nghi và Thành [24] đã phân tích phi tuyến dầm thép-bêtông

liên hợp có xét đến tương tác bán phần. Phần tử dầm liên hợp có 8DOF

2.6 được thiết lập dựa trên mô hình động học của Newmark để xét đến ứng

xử phi tuyến của vật liệu. Sau đó năm 2011, hai tác giả Nghi và Thành đã

phát triển nghiên cứu trên khung phẳng liên hợp [25]. Một phần tử dầm

6DOFs có liên kết nửa cứng (semi - rigid) giữa dầm và cột trong hệ khung

phẳng được xây dựng. Kết quả được phân tích trên dầm hai nhịp, khung

đơn giản và hệ khung 6 tầng hai nhịp.

2.2.3.2 Phương pháp phân tử hữu hạn dựa trên lực (force based)

• Năm 1998, Salari và cộng sự [26] đã phân tích phi tuyến dầm liên hợp có

xét đến biến dạng của liên kết chịu cắt. Hai ví dụ áp dụng số được giải

quyết bằng FEM dựa trên chuyển vị mô hình 8DOF và FEM dựa trên lực,

để so sánh tính hiệu quả của phương pháp dựa trên lực.

• Năm 2005, tác giả Ayoub [27] đã xét một phần tử dầm-cột dựa trên phương

pháp lực để phân tích phi tuyến dầm liên hợp có xét tương tác không bán

phần. Mô hình được cấu tạo từ ba thành phần tương ứng cho dầm thép,

sàn bê tông và liên kết chịu cắt. Ảnh hưởng do lực ma sát và sự phân tách

lớp được bỏ qua.

2.2.3.3 Phương pháp phần tử hữa hạn hỗn hợp (mixed)

• Năm 2000, Ayoub và cộng sự [28] dẫn xuất các công thức kết hợp giữa hai

trường nội lực và chuyển vị cho dầm liên hợp. Phần tử dầm có 10 bậc tự

19

do chuyển vị và 6 bậc tự do lực. Tác giả đã phân tích dầm trong gia đoạn

phi đàn hồi dưới tác dụng của các tải trọng đơn điệu và có tính chu kỳ.

• Năm 2004, Dall’Asta và Zona [2] đã phát triển hướng phân tích phi tuyến

mới cho dầm liên hợp. Việc xấp xỉ được tiến hành trên cả ba trường: trường

chuyển vị, trường biến dạng và trường ứng suất của phần tử bằng các đa

thức hàm dạng (hình 2.8). Tác giả đã so sánh với FEM dựa trên chuyển vị

để đánh giá ưu điểm của phương pháp.

Trường chuyển vị Trường biến dạng Trường ứng suất

Hình 2.8: Trường chuyển vị, trường biến dạng và trường ứng suất phần tử dầm củaDall’Asta [2]

• Năm 2009, Quang Huy Nguyen và cộng sự [29] đã sử dụng phương pháp

hỗn hợp cho phân tích dầm liên hợp liên tục có vùng mômen âm (hogging

moment). Ảnh hưởng của bêtông bị nứt tại vùng mômen âm và mức độ

liên kết chống cắt trong dầm liên tục được phân tích.

2.2.4 Phương pháp độ cứng trực tiếp (direct stiffness method)

Trong phân tích kết cấu, phương pháp độ cứng tiếp cũng thường được sử dụng.

Phương pháp này được áp dụng để phân tích ứng xử của dầm liên hợp có xét

đến tương tác không toàn phần bởi Ranzi cùng các cộng sự [30, 31] và nhóm

Nguyễn Văn Chúng và Bùi Công Thành [6]. Phương pháp này không cần xấp

xỉ hàm chuyển vị qua các đa thức hàm dạng. Ma tận độ cứng K sẽ được xác

định trực tiếp bằng cách gán các chuyển vị đơn vị cho các thành phần chuyển

vị của véctơ chuyển vị phần tử. Ma trận độ cứng của phần tử dầm 8 bậc tự do

được xác định. Các thành phần chuyển vị nút phần tử gồm: chuyển vị đứng v,

góc xoay v′, chuyển vị trượt s và chuyển vị dọc trục tại vị trí trục tham chiếu

20

Hình 2.9: Các thành phần chuyển vị và phản lực nút phần tử

un; được mô tả như hình 2.9. Với véctơ chuyển vị q và véctơ phản lực nút g như

sau:

qT =[un0 v0 v′0 s0 unL vL v′L sL

](2.8)

gT =[N0 R0 M0 N10 NL RL ML N1L

](2.9)

2.3 Phân tích dầm liên hợp dựa trên lý thuyết dầm

Timoshenko

Bên cạnh lý thuyết dầm Euler - Bernoulli, lý thuyết dầm Timoshenko cũng được

sử dụng trong phân tích dầm liên hợp nhằm đánh giá sự ảnh hưởng của biến

dạng cắt đến sự làm việc của dầm. Một số nghiên cứu đã xem xét vấn đề này

trong thời gian gần đây gồm có:

• Năm 2007, Ranzi và Zona [32] đã đề xuất mô hình dầm liên hợp EB - T có

kể đến biến dạng cắt của dầm thép. Tác giả đã kết hợp giả thiết dầm Euler

- Bernoulli cho sàn bêtông và giả thiết dầm Timoshenko cho dầm thép.

Ba mô hình phần tử hữu hạn có bậc tự do khác nhau: 10DOF, 13DOF

và 21DOF (hình 2.10) được xây dựng để so sánh kết quả và đánh giá ảnh

hưởng của thời gian đến sự làm việc của bêtông sàn. Véctơ chuyển vị u bao

21

gồm chuyển vị dọc trục của sàn bêtông wc, chuyển vị dọc trục của dầm

thép ws, chuyển vị đứng v và góc xoay ϕscủa dầm thép.

uT =[wc ws v ϕs

](2.10)

10DOF 21DOF13DOF

Hình 2.10: Phần tử dầm EB-T

Bảng 2.2: Bậc và loại đa thức của các hàm dạng chuyển vị mô hình dầm EB-T

Phần tử dầm EB - T wc ws v ϕs

10DOF EB-T 1(C0) 1(C0) 3(C1) 1(C0)13DOF EB-T 2(C0) 2(C0) 3(C1) 2(C0)21DOF EB-T 4(C0) 4(C0) 5(C1) 4(C0)

Trong đó: C0= đa thức Lagrange; C1= đa thức Hermite

Hai tác giả Xu và Wu [33] đề xuất mô hình phân tích sử dụng các giả thiết

động học của Timoshenko cho cả hai vật liệu liên hợp, nhưng tác giả đã

xem góc xoay của tiết diện mặt cắt bằng nhau cho cả hai vật liệu. Kế đến

là một nghiên cứu khác đã phân tích một cách đầy đủ ảnh hưởng biến dạng

cắt trên mô hình dầm liên hợp hai lớp do Schnabl và các cộng sự [34] thực

hiện. Tác giả đã xem biến dạng cắt và góc xoay tại tâm của hai lớp khác

nhau, hiện tượng phân tách lớp được bỏ qua.Tuy nhiên các áp dụng hạn

chế trên bài toán dầm đơn giản.

• Năm 2011, Nguyen cùng cộng sự [35] đã dẫn xuất ma trận độ cứng "chính

xác" cho mô hình dầm liên hợp có xét tương tác bán phần dựa trên các giả

thiết dầm Timoshenko. Phân tích được áp dụng trên dầm đơn giản và dầm

liên tục chịu tải trọng tập trung giữa nhịp. Cũng trong năm này, Zona và

Ranzi [36] đã phân tích tổng hợp trên ba mô hình dầm: EB−EB, EB− T

và T − T nhằm so sánh kết quả của ba mô hình. Ảnh hưởng của số lượng

22

phần tử được rời rạc và bậc tự do của phần tử trong tính toán bằng FEM

cũng được đánh giá.

• Năm 2014, Nguyen và cộng sự [37] đã phân tích phi đàn hồi dầm liên hợp

hai lớp Timoshenko bằng FEM dựa trên lực. Nghiên cứu đã cung cấp một

công cụ cho phân tích ổn định đàn - dẻo (elastoplastic buckling) dầm/cột

liên hợp hai lớp, có xét đến ảnh hưởng của biến dạng cắt, với các điều kiện

tải trọng và liên kết khác nhau.

2.4 Các hiện tượng không tương thích trong phân

tích dầm liên hợp.

Một số vấn đề số học có thể xuất hiện trong quá trình phân tích kết cấu, khi

hai hay nhiều trường chuyển vị được kết nối với nhau và khi giải pháp được

tìm kiếm trong không gian hữu hạn chiều, cũng như được sử dụng trong xấp

xỉ phần tử hữu hạn [38]. Độ chính xác của lời giải phụ thuộc vào một số tham

số đặc trưng bao gồm trong các nhóm kết hợp, các giá trị giới hạn, những mối

quan hệ xa hơn giữa các ẩn số có thể phát triển, làm giảm số chiều của lời giải.

Trong một vài trường hợp, số chiều tiến tới không và mô hình bị "khóa" hoàn

toàn. Nói chung, một sự phản ứng cứng hơn và những biến dạng giả có thể đạt

được khi hiện tượng trên xuất hiện. Các trường hợp điển hình như: hiện tượng

"khóa" biến dạng cắt [39–41] có thể phát triển trong phần tử dầm Timoshenko

do sự sai khác độ cứng kháng cắt; vấn đề độ lệch tâm [3, 4] có thể ảnh hưởng

mô hình dầm Euler-Bernoulli thông thường khi có sự khác biệt về điểm gốc của

hệ trục toạn độ tham chiếu, và hiện tượng "khóa" biến dạng trượt [42] có thể

xuất hiện trong mô hình dầm liên hợp của Newmark với biến dạng của liên kết

kháng cắt.

Trong tất cả các trường hợp nói trên, các biến dạng tổng quát là hàm của các

chuyển vị tổng quát của các phần tử khác nhau, hoặc là đạo hàm của các chuyển

vị đó. Ví dụ như: trong mô hình dầm Timoshenko, biến dạng cắt phụ thuộc vào

23

đạo hàm bậc nhất của độ võng và vào gốc xoay; trong mô hình dầm Euler -

Bernoulli, biến dạng dọc trục được xác định dựa vào đạo hàm của cả chuyển

vị dọc trục và độ võng; trong mô hình của Newmark, biến dạng trượt bề mặt

được tính từ các chuyển vị dọc trục và từ đạo hàm bậc nhất của độ võng. Trong

những trường hợp này, vấn đề "khóa" có thể tránh được khi các hàm chuyển vị

hoặc đạo hàm của chuyển vị trong biểu thức biến dạng được lựa chọn phù hợp,

tức cùng bậc đa thức [3, 4, 38–42]. Các vấn đề này sẽ được trình bày tổng quát

ở các mục sau.

2.4.1 Vấn đề lệch tâm (eccentricity issue)

Khi ma trận độ cứng của phần tử dầm liên hợp được xác định thông qua các

hàm tuyến tính và có sự lệch tâm giữa hai lớp liên hợp, sự không tương thích

trong trường chuyển vị dọc trục sẽ xảy ra và dẫn đến sai số trong phân tích.

Nguyên nhân của sai số là do phương pháp thiết lập và biến đổi các biểu thức

ban đầu [3] . Xét ví dụ một dầm côngxon có mặt cắt tiết diện như hình 2.11.

Giả thiết chuyển vị dọc trục ux là một hàm tuyến tính, chuyển vị đứng uz là một

hàm bậc 3, góc xoay θ là hàm bậc 2. Phương trình độ cứng của dầm 1 (phần tử

tấm)và của dầm 2 (phần tử dầm lệch tâm) như công thức 2.11.

a

Dầm 1

Dầm 2

z

uz1, Pz1

ux1, Px1

q1 , M1

uz2, Pz2

ux2, Px2

q2 , M2

Hình 2.11: Phần tử dầm côngxon liên hợp [3]

AαL 0 0

0 12IαL3

−6IαL2

0 −6IαL2

4IαL

uxα

uzα

θα

=1

E

Pxα

Pzα

Mα

(2.11)

24

Có thể xem dầm 1 như dầm chính và dầm 2 là dầm lệ thuộc dầm chính, khi đó

biểu thức quan hệ chuyển vị giữa hai dầm là:ux2

uz2

θ2

=

1 0 −a

0 1 0

0 0 1

ux1

uz1

θ1

(2.12)

Tại vị trí z bất kỳ, chuyển vị ux được xác định công thức 2.13

ux(z) = ux − zθ (2.13)

Với ux là tuyến tính và θ là hàm bậc 2 thì ux(z) là hàm bậc 2. Như vậy chuyển vị

dọc trục z của dầm 2 là hàm bậc 2, điều này không đúng với giả thiết ban đầu.

Đây là lý do của sự không tương thích. Tác giả Gupta [3] đã chỉ ra rằng: sai số

do sự lệch tâm sẽ hội tụ về không khi số lượng phần tử được rời rạc hóa tiến về

vô cùng. Sai số này có thể được hạn chế trong giới hạn cho phép với số lượng

phần tử tương đối. Nhận định này được Erkmen [4] phân tích trên mô hình dầm

côngxon liên hợp chịu tải phân bố đều. Phân tích cho thấy, dầm 4 phần tử có

kết quả gần kết quả chính xác hơn dầm 1 phần tử (hình 2.12).

Độ

võng

(m

m)

Chiều dài nhịp (mm)

0 500 1000 1500 2000

0

10

20

30

40Conventional 1 ElementConventional 4 ElementExact Element

Hình 2.12: Biểu đồ chuyển vị đứng dưới tải trọng phân bố [4]

25

2.4.2 Hiện tượng "khóa" biến dạng cắt (shear locking)

Hiện tượng " shear locking" xuất hiện khi các chuyển vị đứng và các góc xoay

của tiết diện được ghép nối với nhau dưới dạng các hàm Euler - Lagrangian và

bậc nội suy thấp được sử dụng [39]. Vấn đề này được Mukherjee và cộng sự [41]

phân tích trên phần tử dầm Timoshenko hai điểm nút ( hình 2.13).

Lq1

W1

x = -1

W2

x = +1x = 01 2

q2

Hình 2.13: Phần tử dầm Timoshenko hai điểm nút

Trường chuyển vị bao gồm chuyển vị đứng w và góc xoay của tiết diện θ được

xác định bởi công thức sau:

w =

2∑i=1

Niwi (2.14)

θ =

2∑i=1

Niθi (2.15)

trong đó các hàm Lagrangian tuyến tính được sử dụng là N1 = (1 − ξ)/2 và

N1 = (1 + ξ)/2; ξ = 2x/L.

Véctơ biến dạng của phần tử được xác định như sau:

(ε) =

dθ/dx

θ − dw/dx

=

0 −1/L 0 1/L

1/L (1− ξ)/2 −1/L (1 + ξ)/2

{δe} = [B] {δe}

(2.16)

trong đó {δe} là véctơ chuyển vị nút, {δe} = [w1, θ1, w2, θ2]T . Biến dạng cắt của

phần tử là:

θ − dw/dx = α + βξ (2.17)

với α = (θ1 + θ2)/2− (w2 − w1)/L và β = (θ2 + θ1)/2.

Số hạng đầu tiên có ý nghĩa vật lý tương đương của mô hình dầm Euler, số hạng

thứ hai là một nhiễu tạp. Số hạng nhiễu β có ảnh hưởng làm tăng độ cứng uốn

của phần tử thành EI∗ = EI + kGAL2/12, với EI và kGA lần lượt là độ cứng

26

uốn và độ cứng cắt thực tế của dầm. Đây là nguyên nhân dẫn đến "locking". Do

đó vấn đề "shear locking" được loại bỏ bằng cách loại bỏ số hạng β. Nếu wLF

và wL là giá trị "lock-free" và "locked" của chuyển vị đứng, khi đó:

wLF /wL = I∗/I = 1 + kGAL2/(12EI) = 1 + e (2.18)

với K = kGAl2/(12EI) thì e = kGAL2/(12EI) = K/n2 (l là tổng chiều dài dầm

và n là tổng số phần tử được rời rạc). Hệ số e càng nhỏ khi dầm càng dày và độ

rời rạc mịn hơn.

2.4.3 Hiện tượng "khóa" biến dạng trượt (slip locking)

Trong thực tế phân tích, do bản chất cấu tạo của dầm liên hợp nên biến dạng

trượt cần phải được tính toán. Biến dạng của liên kết chịu cắt trong dầm dẫn đến

mối liên hệ giữa trường chuyển vị đứng và trường chuyển vị dọc trục. Dall’Asta

và Zona [42] đã chỉ ra rằng, nếu sự xấp xỉ của trường chuyển vị đứng và trường

chuyển vị dọc trục là không tương thích, thì sai số trong phân tích phần tử hữu

hạn dầm liên hợp phụ thuộc nhiều vào độ cứng của liên kết. Khi độ cứng của

liên kết có giá trị cao, biến dạng trượt sẽ dao động và kém chính xác. Tác giả

đã sử dụng mô hình dầm 8DOF (hình 2.6) với số bậc tự do thấp nhất để đánh

giá vấn đề. Biến dạng trượt tính theo công thức 2.19. Kết quả so sánh như hình

2.14.

δ(z) = w2(z)− w1(z) + hv′(z) (2.19)

Với w là chuyển vị dọc trục được xấp xỉ bởi hàm tuyến tính, v là chuyển vị

đứng được xấp xỉ bằng hàm bậc 3, h là khoảng cách giữa trọng tâm dầm thép

và bản bêtông. Khi k → ∞ thì δ → 0. Như kết quả phân tích, khi độ cứng liên

kết thấp (αL = 1): biến dạng trượt δ xấp xỉ chính xác; và khi độ cứng liên kết

cao (αL = 10) kết quả không còn chính xác, biến dạng trượt δ bị dao động giả.

Nguyên nhân đa thức xấp xỉ cho độ cong v′ và chuyển vị dọc trục w có bậc khác

nhau. Để giải quyết bài toán này, Dall’Asta [42] sử dụng mô hình dầm 10DOF

và 16DOF (hình 2.6). Bậc đa thức hàm dạng được lựa chọn như bảng 2.1. Kết

27

Hình 2.14: Hiện tượng "khóa" biến dạng trượt của phần tử dầm 8DOF

quả đạt được chính xác hơn và hiện tượng "locking" biến dạng trượt được giải

quyết (hình2.15). Đây là một vấn đề quan trọng cần xem xét trong phân tích

Hình 2.15: So sánh kết quả độ cong giữa các phần tử dầm

phi tuyến dầm liên hợp, vì ứng xử phi tuyến của liên kết chịu cắt được đặc trưng

bởi quy luật cấu tạo: độ cứng thay đổi từ giá trị rất cao khi biến dạng trượt

bằng không đến một giá trị rất thấp khi liên kết bị phá hoại.

28

2.5 Kết luận.

Chương 2 đã trình bày tóm tắt các ứng xử liên hợp và các giai đoạn làm việc

của dầm khi chịu tác dụng của tải trọng. Từ việc hệ thống lại các phương pháp

phân tích dầm liên hợp trong lịch sử nghiên cứu sẽ giúp nắm bắt được tổng

quan cách thức phân tích và lựa chọn phương pháp tiếp cận phù hợp cho nghiên

cứu. Các trường hợp không tương thích đã được trình bày đầy đủ nguyên nhân

và cách hạn chế các hiện tượng đó xuất hiện. Điều này giúp dự báo được các

trường hợp bị "khóa" và lựa chọn mô hình, các hàm xấp xỉ và số lượng phần tử

phân tích một cách thích hợp để đạt kết quả chính xác.

29

Chương 3

Mô hình ứng xử của dầm liên hợp

chịu uốn

3.1 Các giả thiết của mô hình

Xét một dầm liên hợp thép - bêtông điển hình có dạng lăng trụ được cấu tạo từ

một bản sàn bêtông cốt thép và một dầm thép hình, được thể hiện như hình 3.1.

Ở trạng thái không biến dạng, dầm liên hợp chiếm một vùng thể tích V được

tạo ra bằng cách dịch chuyển tịnh tiến tiết diện A dọc theo trục thẳng vuông

góc với tiết diện và song song với trục Z của hệ trục tọa độ tổng thể O;X, Y, Z.

Các véctơ i, j, k lần lượt là các véctơ đơn vị tương ứng của các trục X, Y, Z.

Tiết diện dầm liên hợp có diện tích A bao gồm diện tích tiết diện bản bêtông

Ac và diện tích tiết diện dầm thép As.

Tác dụng liên hợp giữa hai tiết diện được tạo ra bởi một mặt tiếp xúc liên tục

có khả năng biến dạng dọc theo một đường thẳng trên bề mặt tiếp xúc giữa hai

thành phần liên hợp, bao gồm tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng Y Z có

tọa độ y = ysc và z ∈ [0, L] (với yscđược xác định như hình 3.1).

Các giả thiết tính toán được dùng cho phân tích mô hình dầm liên hợp thép -

bêtông như sau:

30

L

Z

X

Y

k

ij

yc

ys

ysc

Y

O X

Hình 3.1: Dầm liên hợp điển hình và mặt cắt tiết diện

• Hai tiết diện liên hợp được xem là đối xứng qua mặt phẳng Y Z. Các tải

trọng tác dụng nằm trong mặt phẳng uốn Y Z. Bỏ qua hiện tượng xoắn và

uốn ngoài mặt phẳng.

• Hai thành phần bêtông và dầm thép được giả thiết theo mô hình dầm

Timoshenko (được gọi là mô hình T-T): với các chuyển vị và các biến dạng

đều nhỏ; mặt phẳng vuông góc trục dầm vẫn phẳng, giữ nguyên hình dạng

và kích thước trong quá trình biến dạng, nhưng không còn vuông góc với

trục dầm sau khi biến dạng. Khi đó ảnh hưởng biến dạng cắt được tính

toán.

• Các liên kết chống cắt cho phép sự trượt bề mặt (slip) giữa hai thành phần

liên hợp xảy ra. Ảnh hưởng ma sát được bỏ qua.

• Không xuất hiện hiện tượng phân tách lớp theo phương đứng (uplift). Vì

vậy, chuyển vị đứng của hai thành phần là như nhau.

• Sự phân bố biến dạng dọc trục theo chiều cao của tiết diện liên hợp là

tuyến tính, với sự không liên tục tại mặt tiếp xúc do sự trượt bề mặt.

31

3.2 Trường chuyển vị và trường biến dạng

Trường chuyển vị của một điểm bất kỳ P (x, y, z) thuộc dầm liên hợp được xác

định bởi véctơ d như sau:

d(y, z) =

dc(y, z) = v(z)j + [wc(z) + (y − yc)ϕc(z)]k

∀(x, y) ∈ Ac, z ∈ [0, L]

ds(y, z) = v(z)j + [ws(z) + (y − ys)ϕs(z)]k

∀(x, y) ∈ As, z ∈ [0, L]

(3.1)

Trong đó: v(z) là hàm vô hướng thể hiện chuyển vị đứng theo phương OY của

cả hai thành phần liên hợp; wc(z) và ws(z) lần lượt là hàm vô hướng thể hiện

chuyển vị dọc trục theo phương OZ của bản bêtông và dầm thép tại vị trí yc

và ys; ϕc(z) và ϕs(z) là các hàm vô hướng thể hiện góc xoay tương ứng của bản

bêtông và dầm thép; yc và ys lần lượt là vị trí trục tham chiếu của bản bêtông

và dầm thép.

ys

yscyc

wsk

wck

vj

vj

s

Z

-v'

fsgyzs

-v'fc

gyzc

Hình 3.2: Trường chuyển vị của mô hình dầm liên hợp

Các chuyển vị và các góc xoay được quy ước mang giá trị dương tương ứng khi

hướng theo chiều dương của trục tổng thể và khi xoay ngược chiều kim đồng hồ,

32

như hình 3.2.

Các hàm xác định trường chuyển vị của dầm liên hợp có thể được biểu diễn

dạng suy rộng bởi véctơ sau:

uT (z) =[wc(z) ws(z) v(z) ϕc(z) ϕs(z)

](3.2)

Biến dạng trượt tương đối giữa hai thành phần liên hợp, thể hiện sự không liên

tục của các chuyển vị dọc trục tại mặt tiếp xúc, được xác định bởi véctơ s như

sau:

s(z) = s(z)k = ds(ysc, z)− dc(ysc, z)

= [ws(z)− wc(z)− hsϕs(z)− hcϕc(z)]k(3.3)

với hc = ysc − yc và hs = ys − ysc.

Dựa trên các giả thiết động học ban đầu, trường biến dạng khác không của phần

tử bao gồm biến dạng dọc trục, biến dạng cắt và sự trượt tại mặt tiếp xúc. Các

biến dạng sẽ được xác định như sau:

εz(y, z) =∂d

∂z.k =

εzc(y, z) = w′c + (y − yc)ϕ′c∀(x, y) ∈ Ac, z ∈ [0, L]

εzs(y, z) = w′s + (y − ys)ϕ′s∀(x, y) ∈ As, z ∈ [0, L]

(3.4)

γyz(y, z) =∂d

∂z.j +

∂d

∂y.k =

γyzc = v′ + ϕc

∀(x, y) ∈ Ac, z ∈ [0, L]

γyzs = v′ + ϕs

∀(x, y) ∈ As, z ∈ [0, L]

(3.5)

Trong đó: εzc và γyzc lần lượt là biến dạng dọc trục và biến dạng cắt của bản

bêtông; εzs và γyzs lần lượt là biến dạng dọc trục và biến dạng cắt của dầm thép.

Các hàm biểu diễn trường biến dạng của dầm liên hợp có thể được biểu diễn

dưới dạng suy rộng bởi véctơ sau:

εT (z) =[εc(z) εs(z) θc(z) θs(z) γyzc(z) γyzs(z) s(z)

](3.6)

33

Trong đó: εc(z) = w′c và εs(z) = w′s là biến dạng dọc trục tại vị trí tham chiếu

của hai thành phần; θc(z) = ϕ′c và θs(z) = ϕ′s là độ cong của hai thành phần.

Véctơ các hàm biến dạng có thể được dẫn xuất từ véctơ các hàm chuyển vị thông

qua mối quan hệ sau:

ε = Du (3.7)

với ma trận D có dạng

D =

∂ 0 0 0 0

0 ∂ 0 0 0

0 0 0 ∂ 0

0 0 0 0 ∂

0 0 ∂ 1 0

0 0 ∂ 0 1

−1 1 0 −hc −hs

. (3.8)

trong đó ∂ là toán tử đạo hàm theo biến z. Phương trình 3.7 cũng chính là điều

kiện tương thích.

3.3 Các điều kiện cân bằng

Nguyên lý công khả dĩ được sử dụng để có được phương trình cân bằng như sau:

∑∫L

∫Aα

σzαεzα dAdz +∑∫

L

∫Aα

τyzαγyzα dAdz +

∫L

gscsdz

=∑∫

L

∫Aα

b.ddAdz +∑∫

L

∫∂Aα

t.ddsdz ∀ d , εzα , γyzα , s (3.9)

với chỉ số dưới α lần lượt là c và s tương ứng với bản bêtông và dầm thép.

Trong đó: σzα, τyzα và gsc thể hiện các ứng suất thực ( tức các ứng suất sinh ra

công nội) được tính toán từ các biến dạng thích hợp εzα, γyzα và s thông qua các

mối quan hệ ứng suất - biến dạng của vật liệu và quan hệ lực - trượt của liên

kết; b và t lần lượt là lực khối và lực bề mặt tác dụng lên phần tử dầm đang

34

xét. Các chuyển vị khả dĩ và biến dạng khả dĩ được nhận biết bởi ký hiệu ”•”

phía trên mỗi biến đang xét. Toàn bộ tiết diện Ac bao gồm cả bêtông và cốt

thép. Lời giải của bài toán được tìm thấy trong phạm vi các hàm được áp đặt

các điều kiện biên động học.

Dựa vào biểu thức 3.9, các đại lượng tổng hợp ứng suất có thể được xác định và

biểu diễn dưới dạng suy rộng như sau:

rT =[Nc Ns Mc Ms Vc Vs gsc

](3.10)

trong đó

Nα =

∫Aα

σzα dAα (3.11)

Mα =

∫Aα

σzα(y − yα)dAα (3.12)

Vα =

∫Aα

τyzα dAα (3.13)

với Nα , Mα , Vα , σzα , τyzα lần lượt là lực dọc, mômen uốn, lực cắt, ứng suất

pháp và ứng suất cắt của bêtông hoặc thép.

Tương tự, tổng hợp tải trọng tác dụng trên dầm được biểu diện dưới dạng suy

rộng bởi véctơ g như sau:

gT =[gzc gzs gy mxc mxs

](3.14)

trong đó:

gzα =

∫Aα

b.kdAα +

∫∂Aα

t.kds (3.15)

gy =∑∫

Aα

b.jdAα +∑∫

∂Aα

t.jds (3.16)

mxα =

∫Aα

b.k(yα − y)dAα +

∫∂Aα

t.k(yα − y)ds (3.17)

với gzc , gzs , gy , mxc , mxs lần lượt là hai lực phân bố dọc trục, lực phân bố vuông

góc trục dầm và hai mômen phân bố.

35

Khi đó, biểu thức 3.9 được viết lại dưới dạng thu gọn như sau:∫ L

0

r.ε dz =

∫ L

0

g.H u dz ∀u , ε (3.18)

Từ biểu thức 3.7, biểu thức 3.19 trở thành:∫ L

0

r.Du dz =

∫ L

0

g.H u dz ∀u (3.19)

với u là chuyển vị khả dĩ; r và g lần lượt là ứng suất suy rộng và ngoại lực suy

rộng. Toán tử H được xác định như sau:

H =

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

. (3.20)

3.4 Quan hệ ứng suất suy rộng và biến dạng suy

rộng

Quan hệ ứng suất - biến dạng của vật liệu và quan hệ lực cắt - biến dạng trượt

của liên kết được thể hiện như sau:

σzc = Ec (εzc) εzc (3.21)

σzs = Es (εzs) εzs (3.22)

τyzc = Gc (γyzc) γyzc (3.23)

τyzs = Gs (γyzs) γyzs (3.24)

gsc = ksc s (3.25)

36

trong đó: Ec, Es, Gc, Gs và ksc lần lượt là các hàm phi tuyến phụ thuộc vào biến

dạng εzc, εzs, γyzc, γyzs và s , sẽ thể hiện môđun cát tuyến hoặc môđun tiếp tuyến

của vật liệu bêtông cốt thép, thép và liên kết chống cắt.

Từ đó, quan hệ ứng suất suy rộng và biến dạng suy rộng được thể hiện như sau:

r = Dε (3.26)

và D được xác định như sau:

D =

EAc 0 ESc 0 0 0 0

0 EAs 0 ESs 0 0 0

ESc 0 EJc 0 0 0 0

0 ESs 0 EJs 0 0 0

0 0 0 0 GAc 0 0

0 0 0 0 0 GAs 0

0 0 0 0 0 0 ksc

(3.27)

trong đó

EAc =

∫Ac

Ec dAc +

n∑j=1

ErAr(j) (3.28)

EAs =

∫As

Es dAs (3.29)

ESc =

∫Ac

Ec(y − yc)dAc +

n∑j=1

Er(yr(j) − yc)Ar(j) (3.30)

ESs =

∫As

Es(y − ys)dAs (3.31)

EJc =

∫Ac

Ec(y − yc)2 dAc +

n∑j=1

Er(yr(j) − yc)2Ar(j) (3.32)

EJs =

∫As

Ec(y − ys)2 dAs (3.33)

GAc =

∫Ac

Gc dAc (3.34)

37

GAs =

∫As

Gs dAs (3.35)

với Ar(j) là diện tích lớp cốt thép thứ j bố trí trong bêtông tại vị trí yr(j) và n là

tổng số lớp cốt thép được bố trí.

Trong các biểu thức trên, các hàm EAα, ESα, EJα và GAα chính là các đặc trưng

vật liệu và hình học của thành phần α. Các đại lượng này sẽ là hằng số khi xem

ứng xử của vật liệu là đàn hồi tuyến tính. Khi xét ứng xử của vật liệu là phi

tuyến thì các hàm đó sẽ thay đổi.

3.5 Kết luận

Trong chương 3 đã trình bày các giả thiết được áp dụng cho mô hình phân tích.

Trường chuyển vị và trường biến dạng của phần tử dầm liên hợp và các điều

kiện cân bằng đã được xác định, tạo cơ sở cho việc thiết lập công thức phần tử

hữu hạn cho dầm liên hợp trong chương sau.

38

Chương 4

Công thức phần tử hữu hạn cho

dầm liên hợp chịu uốn

Phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị được sử dụng để giải quyết

bài toán dầm liên hợp. Khi đó xem chuyển vị là các đại lượng cần tìm và sử

dụng điều kiện cân bằng (3.19) để tìm nghiệm. Các hàm dạng cần được chọn

cẩn thận để tránh các trường hợp "locking" không mong muốn.

4.1 Lựa chọn hàm dạng

Hàm đa thức xấp xỉ trường chuyển vị trong phần tử:

u = Nd (4.1)

với N là ma trận hàm dạng và d là véctơ chuyển vị nút phần tử (ký hiệu • biểu

diễn sự xấp xỉ của trường.

Các lựa chọn hàm dạng khác nhau có thể được sử dụng để xấp xỉ trường chuyển

vị bên trong các phần tử. Tuy nhiên, để tránh các vấn đề "locking" có thể xuất

hiện trong phân tích (được trình bày trong chương 2), các hàm dạng được lựa

chọn phải đáp ứng ba điều kiện sau:

39

• Trong công thức 3.4 biểu diễn biến dạng dọc trục, đạo hàm bậc nhất của

chuyển vị dọc trục w và đạo hàm bậc nhất của chuyển vị xoay ϕ phải là

các đa thức cùng bậc để tránh hiện tượng "eccentricity issue".

• Trong công thức 3.5 biểu diễn biến dạng cắt, đạo hàm bậc nhất của chuyển

vị đứng v và chuyển vị xoay ϕ phải là các đa thức cùng bậc để tránh hiện

tượng "shear locking".

• Trong công thức 3.3 biểu diễn biến dạng trượt tại bề mặt tiếp xúc, các

chuyển vị dọc trục w và góc xoay ϕ phải là các đa thức cùng bậc để tránh

hiện tượng "slip and curvature locking".

Phần tử đơn giản nhất có thể được dùng cho mô hình dầm T-T là phần tử có

10 bậc tự do (10DOF) (hình 4.1). Khi đó các hàm dạng là các đa thức tuyến

tính được dùng biểu diễn cho chuyển vị đứng, chuyển vị dọc trục và góc xoay

của sàn bêtông và dầm thép. Dựa trên các điều kiện bên trên, phần tử hữu hạn

10DOF đã không đạt được các điều kiện tương thích giữa các trường chuyển vị

được kết hợp trong các phương trình. Nên phần tử 10DOF không được khuyến

khích sử dụng.

10DOF

d1d2

d5d3

d4

d6

d7

d8

d9 d10

Hình 4.1: Phần tử dầm T-T 10 bậc tự do

Khi đó, phần tử hữu hạn 16 bậc tự do (16DOF) sẽ được sử dụng (hình 4.2) và

véctơ chuyển vị nút có dạng sau:

dT16DOF =[d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11 d12 d13 d14 d15 d16

](4.2)

Chuyển vị đứng v trong dầm sẽ được biểu diễn bởi hàm đa thức Lagrange bậc 3,

40

16DOF

d1d2

d5d3

d4

d6d7

d8

d9d10

d11

d12

d13

d14

d15 d16

Hình 4.2: Phần tử dầm T-T 16 bậc tự do

chuyển vị dọc trục w và góc xoay ϕ sẽ được biểu diễn bởi hàm đa thức Lagrange

bậc 2. Sự lựa chọn này thỏa mãn các lựa chọn hàm dạng bên trên. Ma trận N

có kích thước (5× 16) như sau:

N =

µ1 0 0 0 0 µ2 0 0 0 0 0 µ3 0 0 0 0

0 0 µ1 0 0 0 0 0 µ2 0 0 0 0 µ3 0 0

0 0 0 η1 0 0 0 η2 0 0 η3 0 0 0 η4 0

0 µ1 0 0 0 0 µ2 0 0 0 0 0 µ3 0 0 0

0 0 0 0 µ1 0 0 0 0 µ2 0 0 0 0 0 µ3

(4.3)

Trong đó

µ1(z) =1

2(−ξ + ξ2)

µ2(z) = (1− ξ2)

µ3(z) =1

2(ξ + ξ2)

η1(z) =9

16(1− ξ)(ξ2 − 1

9)

η2(z) =27

16(ξ2 − 1)(ξ − 1

3)

η3(z) =27

16(1− ξ2)(ξ +

1

3)

η4(z) =9

16(ξ + 1)(ξ2 +

1

9)

là các hàm dạng, với ξ = 2zLe− 1, z ∈ [0, Le] ; Le là chiều dài phần tử.

41

4.2 Công thức ma trận độ cứng

Từ biểu thức 3.7, 3.26 và 4.1 suy ra véctơ biến dạng xấp xỉ và véctơ ứng suất

xấp xỉ như sau:

εu = DNd = Bd (4.4)

ru = Dεu = DBd (4.5)

với B = DN là ma trận tính biến dạng, được xác định như sau:

B =

µ′1 0 0 0 0 µ′2 0 0 0 0 0 µ′3 0 0 0 0

0 0 µ′1 0 0 0 0 0 µ′2 0 0 0 0 µ′3 0 0

0 µ′1 0 0 0 0 µ′2 0 0 0 0 0 µ′3 0 0 0

0 0 0 0 µ′1 0 0 0 0 µ′2 0 0 0 0 0 µ′3

0 µ1 0 η′1 0 0 µ2 η′2 0 0 η′3 0 µ3 0 η′4 0

0 0 0 η′1 µ1 0 0 η′2 0 µ2 η′3 0 0 0 η′4 µ3

−µ1 a1 µ1 0 a2 −µ2 a3 0 µ2 a4 0 −µ3 a5 µ3 0 a6

(4.6)

Trong đó

µ′1(z) =1

Le(−1 + 2ξ)

µ′2(z) =−4

Leξ

µ′3(z) =1

Le(1 + 2ξ)

η′1(z) =1

8Le(−27ξ2 + 18ξ + 1)

η′2(z) =9

8Le(9ξ2 − 2ξ − 3)

η′3(z) =9

8Le(−9ξ2 − 2ξ + 3)

η′4(z) =1

8Le(27ξ2 + 18ξ + 1)

a1(z) = −1

2hc(−ξ + ξ2)

a2(z) = −1

2hs(−ξ + ξ2)

42

a3(z) = −hc(1− ξ2)

a4(z) = −hs(1− ξ2)

a5(z) = −1

2hc(ξ + ξ2)

a6(z) = −1

2hs(ξ + ξ2)

( trong các phép tính trên đã biến đổi từ z sang ξ ).

Thay các biểu thức 4.4 và 4.5 vào 3.19, có được:∫ L

0

DBd.Bd dz =

∫ L

0

g.H Nd dz ∀u (4.7)

Đơn giản d ở hai vế và sắp xếp lại như sau:∫ Le

0

Ke.d = fe (4.8)

với Ke là ma trận độ cứng phần tử 16DOF và fe là véctơ tải nút của phần tử.

Ke =

∫ Le

0

BTDBdz (4.9)

fe =

∫ Le

0

(H N)Tgdz (4.10)

Biến đổi z về ξ , khi đó:

Ke =

∫ 1

−1BTDB

Le2dξ (4.11)

fe =

∫ 1

−1(H N)Tg

Le2dξ (4.12)

• Nếu xem ứng xử của vật liệu là đàn hồi tuyến tính thì biểu thức dưới dấu

tích phân trong công thức 4.11 là một hàm trơn phụ thuộc vào biến ξ (vì

D là hằng số trên chiều dài dầm). Vì vậy có thể tính tích phân trực tiếp

để thu được ma trận độ cứng phần tử dầm T-T 16DOF.

• Khi kể đến ứng xử phi tuyến của vật liệu và liên kết chống cắt, biểu thức

dưới dấu tích phân sẽ là hàm phi tuyến phức tạp phụ thuộc vào nhiều biến.

43

Vì vậy phải sử dụng tích phân số để tính các tích phân.

Sử dụng tích phân số Gauss - Lobatto khi tính tích phân dọc theo chiều

dài dầm, công thức ma trận độ cứng trở thành:

Ke =

N∑i=1

BT (ξi)D(ξi)B(ξi)Le2Wi (4.13)

trong đó: N là số điểm Gauss, ξi và Wi là điểm Gauss và các trọng số tương

ứng (bảng 4.1). Theo đề nghị của tác giả Dall’Asta và Zona [22] nên sử

Bảng 4.1: Các điểm Gauss và trọng số tương ứng [12]

N Điểm Gauss ξi Trọng số Wi

1 0.0000000000 2.0000000000

2 ±0.5773502692 1.0000000000

3 0.0000000000 0.8888888889±0.7745966692 0.5555555555

4 ±0.3399810435 0.6521451548±0.8611363116 0.3478548451

5 0.0000000000 0.5688888889±0.5384693101 0.4786286705±0.9061798459 0.2369268850

6 ±0.2386191861 0.4679139346±0.6612093865 0.3607615730±0.9324695142 0.1713244924

dụng 5 hoặc 7 điểm Gauss cho phân tích phi tuyến dầm liên hợp để đạt độ

chính xác hợp lý hơn.

Khi tính tích phân theo phương chiều cao tiết diện (phương y) để tính các

đại lượng trong D(ξi) tại điểm Gauss thứ i sử dụng phương pháp tích phân

hình thang: chia tiết diện dầm liên hợp thành nhiều lớp hình chữ nhật song

song trục x. Các công thức tính được trình bày trong mục kế tiếp.

Nếu tải trọng tác dụng chỉ là lực phân bố đều vuông góc trục dầm, khi đó

véctơ ngoại lực suy rộng có dạng:

gT =[

0 0 gy 0 0

](4.14)

44

Thay biểu thức (4.14), (4.3) và (3.20) vào công thức (4.12), có được véctơ

tải nút phần tử T-T 16DOF.

fe =[

0 0 0 18Legy 0 0 0 3

8Legy 0 0 38Legy 0 0 0 1

8Legy 0

](4.15)

4.3 Phân tích tiết diện mặt cắt ngang

Phương pháp được sử dụng để dự báo ứng xử uốn của tiết diện dầm liên

hợp thép - bêtông là một kỹ thuật lặp gia tăng với biểu thức độ cứng cát

tuyến. Tiết diện mặt cắt ngang của dầm sẽ được chia thành hữu hạn các

lớp riêng biệt (hình 4.3) [29]. Biến dạng dọc trục của một lớp bất kỳ của

tiết diện sàn bêtông và tiết diện dầm thép được xác định như sau, dựa trên

công thức 3.4:

εc(y) = εc + ycθc (4.16)

εs(y) = εs + ysθs (4.17)

ys

xs

Lớp thép thứ i

Lớp bêtông thứ i yc

xc

ysi

yci

Hình 4.3: Chia lớp tiết diện mặt cắt ngang tại điểm Gauss thứ i

Bằng cách sử dụng quan hệ cấu tạo vật liệu của mỗi lớp, hợp lực của lực

dọc, của mômen uốn và của lực cắt của tiết diện sàn bêtông tính như sau:

Nc = EAcεc + EScθc (4.18)

45

Mc = EScεc + EJcθc (4.19)

Vc = GAcγc (4.20)

Trong đó

EAc =

nlc∑i=1

Ec,i + Ec,i+1

2× bc,itc,i + ErAr (4.21)

ESc =

nlc∑i=1

Ec,i(zi+1 + 2zi) + Ec,i+1(2zi+1 + zi)

6× bc,itc,i + ErAryr (4.22)

EJc =

nlc∑i=1

Ec,izi + Ec,i+1zi+1

12× bc,itc,i + ErAry

2r (4.23)

GAc =

nlc∑i=1

Gc,i +Gc,i+1

2× bc,itc,i (4.24)

với zi = z2i+1 + 2zizi+1 + 3z2i và zi+1 = 3z2i+1 + 2zizi+1 + z2i . Ec,i và Ec,i+1 là

môđun cát tuyến của bêtông tại biên của mỗi lớp (sơ đồ tích phân hình

thang); bc,i là bề rộng tiết diện, tc,i là chiều dày của lớp bêtông thứ i và nlc

là số lượng lớp được chia của tiết diện bêtông sàn; Gc,i = Ec,i2(1+νc)

; νc là hệ

số Poisson của bêtông.

Các hợp lực của phần tiết diện thép đươc tính toán tương tự.

Ns = EAsεs + ESsθs (4.25)

Ms = ESsεs + EJsθs (4.26)

Vs = GAsγs (4.27)

46

4.4 Xác định nội lực tại nút phần tử

4.5 Mô hình ứng xử phi tuyến của vật liệu và

liên kết

4.5.1 Vật liệu bêtông

Theo CEB-FIB Model Code 2010 [43], quan hệ giữa ứng suất σc và biến

dạng εc của bêtông khi chịu nén được biểu diễn như hình 4.4 và xác định

theo công thức 4.28.

ec1 ec,1im

fcm

Ec1

Eci=Ecm

ec

sc

ec < 0

s c <

0

Hình 4.4: Quan hệ ứng suất và biến dạng của vật liệu bêtông khi chịu nén

σcfcm

= −(

(k.η − η2)(1 + (k − 2) .η)

)khi |εc| < |εc.lim| (4.28)

với

η = εc/εc1

k = Eci/Ec1

trong đó:

εc1 là biến dạng tại điểm có ứng suất nén lớn nhất.

Ec1 là môđun cát tuyến từ gốc tọa độ đến điểm có ứng suất nén cao nhất.

fcm là cường độ chịu nén thực tế của bêtông ở 28 ngày tuổi.

Eci là môđun đàn hồi của bêtông 28 ngày tuổi, đơn vị [MPa].

47

Eci = Ec0.αE .

(fcm10

) 13

(4.29)

Ec0 = 21.5× 103 [MPa].

αE là hệ số kể đến ảnh hưởng loại cốt liệu của bêtông.

k được gọi là hệ số dẻo.

Khi bêtông chịu kéo, quan hệ giữa ứng suất σct và biến dạng εct của bêtông

được biểu diễn như hình 4.5 [43] và xác định theo công thức 4.30 và 4.31.

0.15

fctm

sct

ect > 0 [o/oo]

s ct >

0

0.9fctm

ect

Hình 4.5: Quan hệ ứng suất và biến dạng của vật liệu bêtông khi chịu kéo

σct = Eci.εct khi σct ≤ 0.9 .fctm (4.30)

σct = fctm.

(1− 0.1

0.00015− εct0.00015− 0.9 fctm/Eci

)khi 0.9 fctm < σct ≤ fctm

(4.31)

trong đó:

σct là ứng suất chịu kéo của bêtông, [Mpa].

εct là biến dạng khi chịu kéo của bêtông.

fctm là cường độ chịu kéo của bêtông, [Mpa].

4.5.2 Vật liệu thép

Quan hệ ứng suất và biến dạng của vật liệu thép dầm và cốt thép trong

bản bêtông sử dụng theo mô hình đàn - dẻo tuyệt đối - có tái bền [21].

48

Hình 4.6 biểu diễn đường quan hệ ứng suất - biến dạng của thép khi chịu

kéo. Ứng suất σs được xác định như sau:

fu

fy

esh eu

Es

es

ss

ey

Esh

Hình 4.6: Quan hệ ứng suất và biến dạng của vật liệu thép

σs = Esεs khi εs < εy (4.32)

σs = fy khi εy ≤ εs ≤ εsh (4.33)

σs = fy + Esh.(εs − εsh)

(1− Esh

εs − εsh4(fu − fy)

)khi εsh < εs ≤ εu (4.34)

σs = 0 khi εu < εs (4.35)

với k = 0.028(εsh − εsu)/(εsh − 0.16)

trong đó:

fy là cường độ chảy dẻo của thép.

fu là cường độ tới hạn của thép.

εsh là biến dạng tái bền của thép.

εu là biến dạng tới hạn của thép.

Es là môđun đàn hồi của thép.

4.5.3 Liên kết chống cắt

Quan hệ lực cắt và biến dạng trượt được đề xuất bởi Ollgaard và cộng

sự [44] sẽ được sử dụng cho liên kết chốt chịu cắt, như hình 4.7. Quan hệ

49

giải tích giữa lực cắt Rsc và biến dạng trượt δ của một liên kết chốt thông

thường được xác định theo công thức:

du

Shear force

Rmax

Rsc

dsc

ksc Slip

Hình 4.7: Quan hệ lực cắt và biến dạng trượt của liên kết chịu cắt

Rsc = Rmax

(1− e−β|δ|

)αkhi δ ≤ δu (4.36)

f = 0 khi δ > δu (4.37)

trong đó Rmax là cường độ cực hạn của liên kết chốt; α và β là các hệ số

được xác định từ kết quả thực nghiệm.

4.6 Giải thuật bài toán phi tuyến

Có nhiều phương pháp để giải phương trình cân bằng phi tuyến như:

phương pháp điều chỉnh lực (load control), phương pháp điều chỉnh chuyển

vị (displacement control), phương pháp điều chỉnh công (work control),. . . .Đề

tài sẽ sử dụng phương pháp điều chỉnh lực (load control) hay còn gọi là

phương pháp Newton - Raphson.

Trong phương pháp này, tải trọng gia tăng được cố định cho mỗi bước

tăng tải, toàn bộ tải gia tăng sử dụng cho bước con j = 1, các bước con sau

j ≥ 2 chỉ để tìm vị trí cân bằng. Đây là quá trình giải lặp, ma tận độ cứng

được cập nhật dựa trên giá trị các chuyển vị thu được từ vòng lặp trước.

Sự hội tụ xảy ra khi sai số chuyển vị giữa hai vòng lặp liên tiếp nhỏ hơn

50

tiêu chuẩn hội tụ thông qua giá trị ς. Giá trị sai số ς thường bằng 10−2 đến

10−6 phụ thuộc vào độ chính xác yêu cầu [45]. Phương pháp được minh họa

trong hình 4.8. Thuật toán phân tích được xây dựng trong chương trình

MATLAB R2010b v7.11.0. Lưu đồ của thuật toán được thể hiện như hình

4.9.

{dPi}=dl1i{Pref}

1i

d{d } 2

i

d{d }

d

3i

d{d }

i

d{d }

2i

d{d }

P

Hình 4.8: Phương pháp lặp gia tăng Newton - Raphson

4.7 Kết luận

Thông qua việc lựa chọn các hàm dạng đa thức phù hợp để xấp xỉ trường

chuyển vị trong phần tử, công thức ma trận độ cứng và véctơ tải của phần

tử dầm liên hợp đã được xác định. Các mô hình ứng xử phi tuyến của vật

liệu và liên kết dùng cho phân tích phi tuyến cũng được lựa chọn. Dựa trên

các phương pháp tính tích phân số và thuật toán giải phi tuyến đã trình

bày, mô hình dầm T-T 16DOF sẽ được kiểm tra độ tin cậy thông qua các

áp dụng phân tích số trong chương tiếp theo.

51

Kếtbthúc

Bắtbđầu

Khởibtạobb[K]bvàb{P}b

forbeb=bl:bn

Xácbđịnhbb[B]egb[D]e

Xácbđịnhb[K]ebgb{P}eb

Ápbđặtbđiềubkiệnbbiên

Giảibhệ:b[KT]{qT}={PT}bbbb

Saibsốb< e Inbkếtbquảb{q}

Thôngbbáojb<bbjmax

Bướcbtăngbtảibi

Ghépbnốib[K]ebgb{P}ebvàob[K]bgb{P}

Dữbliệubđầubvào

Đúng

Sai

Đúng Sai

jb=bé

jb=bjbôbl

Pb=bPbôbdP

ib=bib

ôbl

Hình 4.9: Lưu đồ phân tích phi tuyến trong MATLAB52

Chương 5

Áp dụng phân tích số

Mô hình dầm liên hợp T-T 16 DOFs đã thiết lập sẽ được kiểm chứng lại

bởi các dữ liệu thực nghiệm để đảm bảo tính đúng đắn và mức độ chính

xác của mô hình, đặc biệt khi có xét đến ứng xử phi tuyến của vật liệu .

Trong chương này, mô hình được phân tích thành hai nhóm: nhóm phân

tích trong gia đoạn đàn hồi tuyến tính gồm ba áp dụng số và nhóm phân

tích có xét phi tuyến vật liệu và liên kết gồm bốn áp dụng số. Cụ thể các

trường hợp áp dụng số theo thứ tự như sau:

– Dầm đơn giản chịu tải tập trung giữa nhịp theo thực nghiệm của

Aribert và các cộng sự [5] năm 1983.

– Dầm đơn giản chịu tải trọng phân bố trong phân tích bằng phương

pháp độ cứng trực tiếp của N.V. Chúng và cộng sự [6] năm 2007.

– Dầm liên tục hai nhịp chịu tải trọng tập trung giữa nhịp CTB6 theo

thực nghiệm của Ansourian [7] năm 1981.

– Mô hình dầm đơn giản chịu tải trọng tập trung giữa nhịp E1 và chịu

tải phân bố đều U4 theo thực nghiệm của Chapman và cộng sự [8]

năm 1964.

– Dầm liên tục hai nhịp chịu tải trọng tập trung giữa nhịp CBI của

Teraszkiewicz [46] năm 1967.

– Dầm liên tục hai nhịp chịu tải trọng tập trung giữa nhịp CTB4 của

Ansourian [7] năm 1981.

53

5.1 Phân tích dầm liên hợp trong giai đoạn đàn

hồi tuyến tính

5.1.1 Dầm đơn giản chịu tải trong tập trung của Aribert

Đầu tiên, mô hình dầm T-T 16 DOFs sẽ được sử dụng để dự báo độ võng

đàn hồi của mô hình dầm đơn giản được thực nghiệm bởi Aribert và cộng

sự [5]. Đây chính là một trong số các dầm được tác giả thực nghiệm để

khảo sát ảnh hưởng của tương tác bán phần đến ứng xử của dầm liên

hợp. Các thông số hình học được thể hiện ở hình 5.1 và đặc trưng vật liệu

thể hiện trong bảng 5.1. Dầm có chiều dài nhịp 5000mm và chịu tải trọng

tập trung đặt giữa nhịp. Phần thép hình của dầm sử dụng tiết diện thép

IPE330, được gia cường thêm một tấm thép phía cánh dưới có kích thước

120×8mm2. Phần bản bêtông rộng 800mm và dày 100mm, được bố trí năm

thanh thép dọc đường kính φ14.

800

100

Dầm IPE 330

A-A

330

160

7.5

11.5

2500 2500

5000

P = 195 kNA

A

250 250

Hình 5.1: Sơ đồ dầm đơn giản chịu tải tập trung giữa nhịp của Aribert [5]

Mô hình T-T 16 DOFs được so sánh với mô hình EB-EB 8 DOFs trong

phân tích của tác giả Dall’Asta và Zona [42] và lời giải độ cứng dầm liên

hợp Timoshenko "chính xác" của tác giả Q.H. Nguyen [35]. Dầm liên hợp

được chia thành 6 phần tử gồm 4 phần tử nằm giữa hai gối tựa và 2 phần

54

Bảng 5.1: Các thông số đặc trưng của dầm Aribert [5]

Thông số Bản bêtông cốt thép Dầm thép hình IPE 330

Khoảng cách từ trọng tâm đến mặt trượt hc = 50 mm hs = 187 mmDiện tích tiết diện Ac = 82310 mm2 As = 7220 mm2

Mômen quán tính Ic = 666.667× 105 mm4 Is = 1415× 105 mm4

Môđun đàn hồi Ec = 20000 MPa Es = 200000 MPaMôđun kháng cắt Gc = 8333 MPa Gs = 80000 MPa

Độ cứng của liên kết kháng cắt ksc = 450 MPa

tử cho mỗi đầu dầm. Kết quả đường biểu diễn quan hệ độ võng giữa nhịp

và tải trọng của các phân tích được thể hiện trong hình 5.2.

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6 8 10 12 14

Load

F(kN

)

Deflection(mm)

TestFdataEB-EBF8DOFFmodelQ.H.FNguyenFresultT-TF16DOFFmodel

P=195[kN]

5000

Hình 5.2: Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm Aribert

Bảng 5.2: Kết quả độ võng của các mô hình dầm khi P = 195 kN

Mô hình phân tích Độ võng giữa nhịp (mm)

Mô hình EB-EB - 8 DOFs 8.993Kết quả của Q.H.Nguyen 9.485Mô hình T-T - 16 DOFs 9.680Thực nghiệm 12.484

Từ kết quả phân tích (bảng 5.2) cho thấy cả ba mô hình phân tích đều

có độ mềm uốn nhỏ hơn so với kết quả thực nghiệm. Trong đó, mô hình

T-T 16 DOFs và phân tích của Q.H Nguyen có kết quả gần sát kết quả

thực nghiệm hơn mô hình dầm EB-EB 8 DOFs, vì hai phân tích này có

55

kể đến biến dạng cắt của hai thành phần liên hợp theo lý thuyết dầm

Timoshenko. Khi so sánh kết quả với phân tích của Q.H Nguyen thì mô

hình T-T 16 DOFs có sai lệch nhỏ (1, 6%). Tuy nhiên kết quả của mô hình

dầm T-T 16 DOFs vẫn lệch xa hơn kết quả của Q.H Nguyen. Vì mô hình

T-T sử dụng FEM dựa trên chuyển vị để phân tích nên kết quả phụ thuộc

vào số lượng phần tử được chia nhỏ và bậc tự do của phần tử. Phân tích

của Q.H Nguyen là dựa trên lời giải ma trận độ cứng "chính xác" nên

không phụ thuộc số lượng phần tử được mô hình.

Trong hình 5.3, hình dạng phân bố biến dạng trượt dọc theo chiều dài dầm

của ba mô hình phân tích với giá trị tải trọng tập trung P = 195kN . Hình

vẽ 5.3 cho thấy sự phân bố biến dạng trượt thu được từ ba mô hình EB-EB

8 DOFs, T-T 16 DOFs và của Q.H. Nguyen gần như trùng lắp nhau, độ sai

khác rất nhỏ. Giá trị biến dạng trượt giảm dần từ đầu dầm vào trong và

bằng không tại giữa nhịp. Tuy nhiên sự phân bố khá đồng đều trên chiều

dài dầm.

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Slip

B(m

m)

x/L

Q.H.BNguyenBresultEB-EBB8DOFBmodel

T-TB16DOFBmodel

P=195[kN]

L

x

Hình 5.3: Biểu đồ biến dạng trượt dọc theo chiều dài dầm Aribert

Vai trò của biến dạng cắt trong hai thành phần liên hợp bêtông và thép

có thể được phân tích bằng cách so sánh các ứng xử của mô hình dầm

T-T 16 DOFs với các ứng xử tương ứng đạt được từ mô hình dầm EB-EB

8 DOFs, đặc biệt là việc so sánh độ võng giữa nhịp của hai mô hình nói

56

trên. Hình 5.4 thể hiện tỉ số độ võng giữa nhịp giữa mô hình T-T 16 DOFs

và mô hình EB-EB 8 DOFs khi tỉ lệ chiều dài nhịp và chiều cao dầm L/H

và độ cứng kháng cắt của liên kết ksc khác nhau.

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0 5 10 15 20

L/H

ksc = 1 MPaksc = 100 MPa

ksc = 1000 MPaksc = 10000 MPa

P=[kN]

Ld

H

d T-T

mo

del /d E

B-E

B m

ode

l

Hình 5.4: Biểu đồ quan hệ tỉ số độ võng giữa nhịp và tỉ số chiều dài nhịp - chiềucao dầm trong các trường hợp độ cứng liên kết kháng cắt khác nhau

Đúng như dự đoán, giá trị độ võng giữa nhịp của mô hình được đề xuất

luôn lớn hơn độ võng giữa nhịp của mô hình EB-EB 8 DOFs tương ứng

với mọi giá trị của tỉ số L/H. Hình 5.4 cho thấy độ mềm uốn do cắt có vai

trò quan trọng trong trường hợp tỉ số L/H nhỏ và tương tác liên hợp toàn

phần ksc = 10000MPa. Khi tỉ số L/H nhỏ, tỉ số độ võng tăng lên rõ rệt khi

giá trị ksc tăng từ 1MPa lên 10000MPa. Điều này có thể được giải thích

bởi sự tương tác toàn phần làm gia tăng biến dạng cắt, đặc biệt khi L/H

nhỏ. Tuy nhiên khi L/H tăng dần tỉ số độ võng ít bị ảnh hưởng bởi giá trị

ksc.

5.1.2 Dầm đơn giản chịu tải trọng phân bố đều của N.V.

Chúng

Tiếp theo, mô hình dầm T-T 16 DOFs sẽ được áp dụng phân tích dựa trên

ví dụ dầm đơn giản chịu tải trọng phân bố đều của N.V. Chúng và cộng

sự [6]. Các thông số hình học được thể hiện như hình 5.5 và đặc trưng vật

57

liệu được thể hiện trong bảng 5.3. Dầm có chiều dài nhịp 2800mm và chịu

tải trọng phân bố đều W trên chiều dài dầm.

680

100

B-B

200

180

6

12

2800

W [kN/m] B

B

Hình 5.5: Sơ đồ dầm đơn giản chịu tải phân bố đều của N.V. Chúng [6]

Bảng 5.3: Các thông số đặc trưng của dầm N.V. Chúng [6]

Thông số Bản bêtông cốt thép Dầm thép hình

Khoảng cách từ trọng tâm đến mặt trượt hc = 50 mm hs = 100 mmDiện tích tiết diện Ac = 68000 mm2 As = 7220 mm2

Mômen quán tính Ic = 566.667× 105 mm4 Is = 409.5× 105 mm4

Môđun đàn hồi Ec = 21000 MPa Es = 210000 MPaMôđun kháng cắt Gc = 8750 MPa Gs = 80769 MPa

Độ cứng của liên kết kháng cắt ksc = 455.29 MPa

Mô hình T-T 16 DOFs được so sánh với mô hình EB-EB 8 DOFs [24] và

kết quả phân tích dầm liên hợp bằng phương pháp ma trận độ cứng trực

tiếp của N.V. Chúng [6]. Dầm liên hợp được chia thành 2 phần tử. Kết

quả quan hệ độ võng giữa nhịp và tải trọng của ba phân tích được thể hiện

trong hình 5.6.

Bảng 5.4: Kết quả độ võng của các mô hình dầm khi W = 245 kN/m

Mô hình phân tích Độ võng giữa nhịp (mm)

Mô hình N.V. Chúng 10.763Mô hình EB-EB 8 DOFs 10.951Mô hình T-T 16 DOFs 11.557

58

0

50

100

150

200

250

0 14

Load

B(kN

/m)

Deflection(mm)

N.V.BChungBmodelEB-EBB8DOFBmodel

T-TB16DOFBmodel

2 4 6 128 10

2800

W=210 [kN/m]

Hình 5.6: Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm N.V. Chúng

Từ hình 5.6, kết quả độ võng giữa nhịp của ba cách tính có độ chênh lệch

không lớn. Tuy nhiên, giá trị chuyển vị của mô hình T-T 16 DOFs vẫn lớn

hơn so với hai mô hình còn lại. Mô hình của N.V Chúng cũng như mô hình

EB-EB 8 DOFs được phân tích dựa trên giả thiết dầm Euler - Bernoulli,

không xét đến biến dạng cắt trong bêtông và thép, nên kết quả độ võng sẽ

nhỏ hơn kết quả thu được từ mô hình T-T 16 DOFs. Điều này cho thấy độ

tin cậy của mô hình T-T 16 DOFs.

5.1.3 Dầm liên tục hai nhịp chịu tải trọng tập trung giữa

nhịp CTB6 của Ansourian

Mô hình dầm T-T 16 DOFs tiếp tục được áp dụng trên mô hình dầm liên

tục hai nhịp chịu tải trọng tập trung giữa nhịp của Ansourian [7] năm 1981.

Dầm CTB6 trong thực nghiệm của Ansourian [7] được sử dụng cho phân

tích. Dầm CTB6 là dầm liên tục có hai nhịp 4500mm. Ngoài tải trọng tập

trung ở giữa tại mỗi nhịp, dầm còn chịu tải trọng bản thân 3.3kN/m. Tiết

diện thép hình là tiết diện IPE240. Bêtông sàn rộng 1300mm và dày 100mm,

được bố trí thêm các thanh thép dọc tại vị trí phía trên và phía dưới với số

lượng khác nhau trong vùng chịu mômen âm và vùng chịu mômen dương.

59

Lớp bêtông bảo vệ dày 25mm. Các thông số vật liệu được cho trong bảng

5.6.

9000

2250225022502250

1300

100

IPE 240

9.8

6.2240

120

C

C

C-C

P/2 [kN] P/2 [kN]3.3 [kN/m]

Hình 5.7: Sơ đồ liên tục hai nhịp chịu tải tập trung giữa nhịp của Ansourian [7]

Bảng 5.5: Các thông số đặc trưng của dầm Ansourian [7]

Thông số Bản bêtông cốt thép Dầm thép hình IPE240

Môđun đàn hồi Ec = 34000 MPa Es = 210000 MPaMôđun kháng cắt Gc = 14167 MPa Gs = 80769 MPaCốt thép vùng mômen dương Lớp trên: 380 mm2

Lớp dưới: 160 mm2

Cốt thép vùng mômen âm Lớp trên: 1260 mm2

Lớp dưới: 767 mm2

Độ cứng của liên kết kháng cắt ksc = 10000 MPa

Hai phân tích sẽ được sử dụng cho mô hình dầm T-T 16 DOFs. Phân

tích thứ nhất là phân tích không xét nứt (uncracked analysis), hiện tượng

nứt trong bêtông được bỏ qua. Phân tích thứ hai là phân tích có xét nứt

("cracked analysis") được hướng dẫn theo Eurocode 4 [13]. Trong phân

tích này, hiện tượng nứt trong bêtông được kể đến bằng cách loại bỏ phần

bê tông trong phạm vi 15% chiều dài nhịp ở hai bên gối tựa giữa. Do tính

đối xứng của bài toán nên chỉ một nửa dầm được tính toán. Sử dụng 4

phần tử cho phân tích không xét nứt và 6 phần tử cho phân tích có xét

nứt. Kết quả độ võng được so sánh với kết quả thực nghiệm [7] và kết quả

của Q.H. Nguyen [35], thể hiện trong hình 5.8và bảng 5.6.

60

0

50

100

150

200

250

300

350

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Load

TPrk

NQ

MidyspanTdeflectionrmmQ

TestTdataEByEBT8DOFTmodel:Tuncracked

TyTT16DOFTmodel:TuncrackedQ.H.TNguyenTresult:Tuncracked

TyTT16DOFTmodel:TcrackedQ.H.TNguyenTresult:Tcracked

P/2

LL

P/2uncracked analysis

P/2

0.15L

P/2cracked analysis

Hình 5.8: Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm CTB6

Bảng 5.6: Kết quả độ võng của các mô hình dầm Ansourian khi P = 320 kN

Mô hình phân tích Độ võng giữa nhịp (mm)

Kết quả thực nghiệm 6.326Mô hình EB-EB 8 DOFs không xét nứt 4.300Mô hình T-T 16 DOFs không xét nứt 5.080Kết quả Q.H. Nguyen không xét nứt 5.431Mô hình T-T 16 DOFs có xét nứt 6.290Kết quả Q.H. Nguyen có xét nứt 6.468

Hình 5.8 cho thấy trong phân tích không xét nứt, kết quả chuyển vị của mô

hình T-T 16 DOFs khá gần với thực nghiệm và kết quả của Q.H. Nguyen.

Mô hình T-T 16 DOFs dự báo độ võng tốt hơn mô hình EB-EB 8 DOFs.

Qua đó cho thấy tính phù hợp của mô hình được thiết lập. Tuy nhiên,

trong phân tích có xét nứt, kết quả thu được từ hai mô hình T-T 16 DOFs

và Q.H Nguyen đều nhỏ hơn khi không xét nứt. Từ đó cho thấy ảnh hưởng

của nứt trong bêtông cần phải được tính toán cho dầm liên hợp thép - bê

tông liên tục. Sự ảnh hưởng này được thể hiện đầy đủ trên dọc chiều dài

nhịp dầm trong hình 5.9.

61

8

6

4

2

0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Mid

-spa

nOde

flect

ion(

mm

)

x/L

EB-EBO8DOFOmodel:OuncrackedT-TO16DOFOmodel:Ouncracked

T-TO16DOFOmodel:Ocracked

P/2

LL

P/2x

Hình 5.9: Biểu đồ độ võng trên chiều dài nhịp của dầm CTB6

5.2 Phân tích phi tuyến vật liệu dầm liên hợp

5.2.1 Dầm đơn giản chịu tải trọng tập trung và tải trọng

phân bố đều của Chapman và Balakrishnan

Nhằm có được hình ảnh đầy đủ hơn sự làm việc của mô hình dầm T-T

16OF , hai mô hình dầm liên hợp đơn giản E1 và U4 được thực nghiệm bởi

Chapman và Balakrishnan [8] sẽ được đưa vào phân tích. Hai dầm thực

nghiệm có chiều dài nhịp 5490mm, được kết hợp từ dầm thép chữ I cao

305mm (tiết diện 12” × 6” × 44lb/ftBSB và sàn bê tông dày 152mm. Dầm

E1 chịu tải trọng tập trung giữa nhịp và dầm U4 chịu tải phân bố đều.

Dầm E1 sử dụng các chốt đường kính 12.7mm bố trí thành cặp với khoảng

cách 120mm và dầm U4 sử dụng 32 chốt đường kính 19mm bố trí thành

cặp phân bố dạng tam giác.

Các thông số hình học được thể hiện chi tiết như hình 5.10 và bảng 5.7.

Trong bảng 5.8 trình bày các thông số vật liệu cũng như các hệ số đặc

trưng của mô hình phi tuyến vật liệu phục vụ cho phân tích phi tuyến. Mô

hình dầm liên hợp được chia thành 22 phần tử gồm 20 phần tử giữa hai

62

gối tựa và 2 phần tử cho hai đầu dầm. Phân tích được so sánh với số liệu

thực nghiệm và của tác giả Gattesco [21].

2745 2745

5490

P [kN]D

D

1220

152.

4

12''x6''x44lb/ft B.S.B

18.6

10.2305

152.4

D-D

5490

W [kN/m] D

D

BEAM E1

BEAM U4

280

280

280

280

Hình 5.10: Sơ đồ dầm đơn giản chịu tải tập trung E1 và dầm chịu tải phân bố U4của Chapman [8]

Bảng 5.7: Các thông số đặc trưng hình học của dầm Chapman [8]

Các đặc trưng Dầm E1 Dầm U4

Chiều dài nhịp (mm) 5490 5490Loại tải trọng Tải tập trung giữa nhịp Tải phân bố đềuSàn bêtông Chiều dày (mm) 152 152

Chiều rộng (mm) 1220 1220Dầm thép Tiết diện 12”× 6”× 44lb/ftBSB 12”× 6”× 44lb/ftBSB

Diện tích (mm2) 8400 8400Liên kết chống cắt Loại chốt 12.7× 50 19× 102

Bố trí Từng cặp rải đều Từng cặp phân bố tam giácSố lượng chốt 100 32

Cốt thép dọc Lớp trên (mm2) 200 200Lớp trên (mm2) 200 200

Kết quả phân tích số của dầm E1 được thể hiện trong hình 5.11 và hình

5.12. Kết quả phân tích số của dầm U4 được thể hiện trong hình 5.13 và

hình 5.14. Trong đó: hình 5.11 và hình 5.13 thể hiện quan hệ độ võng và tải

trọng; hình 5.12 và hình 5.14 thể hiện sự trượt trên chiều dài dầm ở từng

63

Bảng 5.8: Đặc trưng vật liệu và các hệ số của dầm Chapman [8]

Vật liệu Dầm E1 Dầm U4

Bêtông Cường độ chịu nén fc (MPa) 32.7 33.8Cường độ chịu kéo fct (MPa) 3.07 3.14Biến dạng nén lớn nhất εc1 0.0022 0.0022Biến dạng kéo lớn nhất εct1 0.00015 0.00015

Thép Ứng suất chảy dẻo fy (MPa) Cánh dầm 250 269Bụng dầm 297 301Cốt thép sàn 320 320

Ứng suất tới hạn fu (MPa) Cánh dầm 465 470Bụng dầm 460 479Cốt thép sàn 320 320

Biến dạng tái bền εsh Cánh dầm 0.00267 0.00196Bụng dầm 0.00144 0.00146

Môđun đàn hồi Es (MPa) 206 000 260 000Môđun tái bền Esh (MPa) 3500 3500

Liên kết fmax (kN) 66 129β (mm−1) 0.8 1.3α 0.45 0.65

mức tải trọng khác nhau. Từ các hình vẽ cho thấy, kết quả phân tích của

mô hình T-T 16 DOFs khá trùng khớp với kết quả của tác giả Gattesco

và gần với thực nghiệm. Tuy nhiên trong hình 5.13, kết quả của mô hình

T-T 16 DOFs trong giai đoạn phi tuyến có sự sai khác tương đối lớn so với

thực nghiệm. Nguyên nhân bắt nguồn từ việc bố trí chốt chống cắt phân

bố dạng tam giác trên dầm U4 dẫn đến khó khăn trong việc xác định độ

cứng ksc cho phần tử dầm. Tác giả Gattesco đã khắc phục vấn đề này bằng

cách sử dụng chương trình COBENA để mô phỏng các liên kết đúng vị trí

thực tế trên chiều dài dầm. Riêng trong hình 5.12, 5.14, đường cong trượt

có sự sai khác nhỏ so với thực nghiệm có liên quan tới quan hệ ứng xử của

liên kết. Thực tế quan hệ đó được ngoại suy từ một số dữ liệu trung bình

của thực nghiệm [21].

Ngoài ra hình 5.12, 5.14 còn cho thấy khi tải trọng tăng, biến dạng trượt

tăng. Khi ở các mức tải trọng thấp, các đường cong trượt của hai dầm E1

và U4 có sự đồng dạng và sự phân bố trượt trên chiều dài dầm tương đối

đồng đều. Vì trong giai đoạn này vật liệu còn ứng xử trong giai đoạn đàn

hồi tuyến tính.

64

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Load

E(kN

)

MidspanEdeflection(mm)

T-TEmodelExperiment

GattescoEresult

5490

P [kN]E1

Hình 5.11: Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm E1

Bảng 5.9: Giá trị độ võng và tải trọng tới hạn của dầm E1

Thực nghiệm N. Gattesco T-T 16 DOFs

Độ võng (mm) tại P = 150 kN 4.928 5.044 5.087Độ võng (mm) tại P = 400 kN 24.640 20.644 20.100Tải trọng tới hạn (kN) 514.294 504.752 492.800

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Slip

(m

m)

x/L

448.5 kN

398.6 kN

348.8 kN

299 kN

T-T modelExperiment

L

P [kN]

BEAM E1

x

Hình 5.12: Biểu đồ phân bố trượt dọc theo chiều dài nhịp dầm E1 với các mức tảikhác nhau

65

0

40

80

120

160

200

0 20 40 60 80 100 120 140

Load

r(kN

/m)

Midspanrdeflection(mm)

T-TrmodelExperiment

Gattescorresult

W [kN/m]U4

5490

Hình 5.13: Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm U4

Bảng 5.10: Giá trị độ võng và tải trọng tới hạn của dầm U4

Thực nghiệm N. Gattesco T-T 16 DOFs

Độ võng (mm) tại W = 50 kN/m 6.569 6.700 6.300Độ võng (mm) tại W = 140 kN/m 40.863 37.331 28.100Tải trọng tới hạn (kN/m) 179.792 178.266 178.000

0

1

2

3

4

5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Slip

(m

m)

x/L

W [kN/m]

BEAM U4

L

xT-T model

Experiment

178 kN/m

163.4 kN/m

147 kN/m

130.7 kN/m

114.4 kN/m

Hình 5.14: Biểu đồ phân bố trượt dọc theo chiều dài nhịp dầm U4 với các mức tảikhác nhau

66

5.2.2 Dầm liên tục hai nhịp chịu tải trọng tập trung giữa

nhịp của Teraszkiewicz và Ansouran

Để kiểm chứng mô hình phân tích T-T 16 DOFs khi có vùng mômen âm

xuất hiện trong dầm liên hợp, hai mô hình dầm liên tục hai nhịp được

thực nghiệm bởi Teraszkiewicz [46] và bởi Ansourian [7] sẽ được áp dụng.

Dầm CBI của Teraszkiewicz có hai nhịp dài 3354mm, liên hợp giữa một

dầm thép chữ I cao 152.4mm (6”×3”×12lb/ftBSB) và một bản bêtông dày

60mm , rộng 610mm. Các liên kết chốt chống cắt đường kính 9.5mm được

bố trí thành từng cặp với khoảng cách 146mm rải đều dọc theo chiều dài

dầm. Dầm CTB4 của Ansourian có hai nhịp dài 4500mm, kết hợp giữa dầm

thép chữ H cao 190mm (HEA200) và bản bêtông dày 100mm, rộng 800mm.

Các liên kết chống cắt đường kính 19mm được bố trí 3 chốt trên một hàng

với khoảng cách 350mm dọc theo chiều dài dầm ngoại trừ vùng gần gối

tựa giữa ( 1050mm hai bên gối tựa) được bố trí dày hơn với khoảng cách

300mm. Cả hai dầm đều chịu tác dụng của tải trọng tập trung đặt giữa mỗi

nhịp. Các chi tiết cụ thể được trình bày trong hình (5.15) và bảng (5.11).

Bảng 5.11: Các thông số đặc trưng hình học của dầm CBI và CTB4

Các đặc trưng Dầm CBI Dầm CTB4

Chiều dài nhịp (mm) 3354 4500Loại tải trọng Tải tập trung Tải tập trungSàn bêtông Chiều dày (mm) 60 100

Chiều rộng (mm) 610 800Dầm thép Tiết diện 6”× 3”× 12lb/ftBSB HEA200

Diện tích (mm2) 2276 5380Liên kết chống cắt Loại chốt 9.5× 50 19× 75

Số lượng chốt 96 84Bố trí (mm) vùng mômen dương 146 350Bố trí (mm) vùng mômen âm 146 300

Cốt thép dọc Lớp trên vùng mômen dương (mm2) 445 804Lớp dưới vùng mômen dương (mm2) − 767Lớp trên vùng mômen âm(mm2) − 160Lớp dưới vùng mômen âm (mm2) − 160

Trong các mô hình, liên kết bám dính của bêtông và cốt thép không được

xét đến bởi vì cốt thép trong bản bêtông của các dầm thực nghiệm được

bôi trơn bề mặt tiếp xúc. Sự liên kết đó sẽ dẫn đến ảnh hưởng có tên gọi

67

1677 1677

P

1677 1677

P

9.5SxS50SstudsSinSpairsS@S146Smm

2250 2250

P

2250 2250

P

3SstudsS19SxS75SS@S350Smm 3S@S300Smm

BEAM CTB4

BEAM CBI

6hhx3Ex12lb/ftSB.S.B

HEAS200

610

60

152.4

76.2

6.6

8.84

E-E

E

E

F

F

cốtSthép

100

190

800

200

6.5 10

F-F

cốtSthép

Hình 5.15: Sơ đồ dầm liên tục chịu tải tập trung CBI và CTB4

Bảng 5.12: Đặc trưng vật liệu và các hệ số của dầm CBI và CTB4

Vật liệu Dầm CBI Dầm CTB4

Bêtông Cường độ chịu nén fc (MPa) 46.7 34.0Cường độ chịu kéo fct (MPa) 3.89 3.15Biến dạng nén lớn nhất εc1 0.0022 0.0022Biến dạng kéo lớn nhất εct1 0.00015 0.00015

Thép Ứng suất chảy dẻo fy (MPa) Cánh dầm 301 236Bụng dầm 301 238Cốt thép sàn 321 430

Ứng suất tới hạn fu (MPa) Cánh dầm 470 393Bụng dầm 470 401Cốt thép sàn 485 533

Biến dạng tái bền εsh Cánh dầm 0.012 0.018Bụng dầm 0.012 0.018Cốt thép sàn 0.010 0.010

Môđun đàn hồi Es (MPa) 206 000 206 000Môđun tái bền Esh (MPa) Dầm thép 2500 3000

Cốt thép sàn 2500 3500Liên kết fmax (kN) 32.4 110

β (mm−1) 4.72 1.2α 1.0 0.85

68

"tension - stiffening" xuất hiện trong bêtông. Khi đó giữa các vết nứt gần

nhau, lực kéo sẽ được truyền từ cốt thép sang vùng bêtông bám dính xung

quanh cốt thép và làm tăng khả năng chịu kéo của cốt thép. Tổng cộng

20 phần tử cho mỗi nhịp được sử dụng trong phân tích phần tử hữu hạn

cho dầm CBI và dầm CTB4. Do tính đối xứng nên chỉ một nửa dầm được

phân tích số.

Các kết quả so sánh giữa mô hình T-T 16 DOFs và số liệu thực nghiệm

trên dầm CBI được thể hiện trong các hình 5.16, 5.17, 5.18. Trong đó, hình

5.16 thể hiện hình dạng võng của dầm, hình 5.17 thể hiện phân bố trượt

dọc theo chiều dài nhịp dầm và hình 5.18 thể hiện phân bố biến dạng biến

dạng mặt cắt theo chiều dài nhịp tại vị trí cánh dưới dầm thép. Các biểu

đồ so sánh tương ứng với tải trọng P = 122 kN bằng 81% giá trị tải tới hạn

của kết quả thực nghiệm là 150.5 kN .

0

10

20

300.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Def

lect

iona

(mm

)

x/L

T-TamodelExperimenta(leftaspan)

Experimenta(rightaspan)BEAM CBI

x

L L

Hình 5.16: Biểu đồ độ võng của dầm CBI với tải trọng P = 122 kN

Bảng 5.13: Giá trị độ võng giữa nhịp của dầm CBI với tải trọng P = 122 kN

T-T 16 DOFs Thực nghiệm - nhịp trái Thực nghiệm - nhịp phải

Độ võng (mm) tại P = 122 kN 18.700 16.861 21.533Tải trọng tới hạn (kN) 122 150.5

69

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Slip

h(m

m)

x/L

T-ThmodelExperimenth(lefthspan)

Experimenth(righthspan)

BEAM CBI

x

L L

Hình 5.17: Sự phân bố trượt dọc theo chiều dài nhịp dầm CBI với P = 122 kN

-0.002

-0.001

0.000

0.001

0.0020.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Str

ain

at b

otto

m fl

ange

x/L

T-T modelExperiment

BEAM CBI

x

L L

Hình 5.18: Biểu đồ biến dạng mặt cắt theo chiều dài nhịp tại vị trí cánh dưới dầmthép với P = 122 kN

Từ các hình vẽ cho thấy, mặc dù kết quả thực nghiệm không hoàn toàn

đối xứng nhưng các đường cong của mô hình phân tích T-T 16 DOFs đều

rất gần với kết quả thực nghiệm. Kết quả độ võng trên chiều dài dầm CBI

hoàn toàn nằm giữa hai kết quả của nhịp trái và nhịp phải. Riêng hình

5.17 có thể nhận thấy phân bố trượt tại vùng một nửa nhịp hai bên gối

tựa giữa lớn gấp đôi vùng còn lại. Điều này làm cơ sở cho việc bố trí liên

kết chống cắt tập trung nhiều cho vùng hai bên gối tự giữa trong dầm liên

70

hợp liên tục.

Kết quả phân tích mô hình T-T 16 DOFs được kiểm chứng với thực nghiệm

của dầm CTB4 thông qua các hình vẽ 5.19, 5.20. Từ hình 5.19 thể hiện

đường quan hệ độ võng giữa nhịp và tải trọng, cho thấy kết quả phân tích

từ mô hình T-T 16 DOFs khá tốt, gần với kết quả thực nghiệm và kết

quả phân tích của tác giả N.Gattesco [21]. Tuy nhiên độ võng tính từ mô

hình T-T 16 DOFs lớn hơn kết quả của tác giả N. Gattesco, do tác giả N.

Gattesco sử dụng mô hình EB-EB 8 DOFs không xét ảnh hưởng biến dạng

cắt.

0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40 50

Load

u(kN

)

Midspanudeflection(mm)

T-TumodelN.Gattescouresults

Experiment

BEAM CTB4

x

L L

Hình 5.19: Biểu đồ quan hệ độ võng và tải trọng của dầm CTB4

Bảng 5.14: Giá trị độ võng và tải trọng tới hạn của dầm CTB4

Thực nghiệm N. Gattesco T-T 16 DOFs

Độ võng (mm) tại P = 100 kN 5.096 4.929 5.050Độ võng (mm) tại P = 225 kN 19.296 17.856 20.569Tải trọng tới hạn (kN) 256.270 253.689 243.200

Hình 5.20 thể hiện quan hệ giữa tải trọng - độ cong tại vị trí giữa nhịp

(vùng chịu mômen dương - sagging) và tại vị trí cách gối giữa 150 mm (vùng

chịu mômen âm - hogging). Kết quả độ cong của mô hình T-T 16 DOFs

khá tương đồng với kết quả thực nghiệm. Trong cùng một cấp tải trọng,

độ cong tại vị trí gối lớn hơn độ cong tại vị trí giữa nhịp.

71

0

50

100

150

200

250

300

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Load

mhkN

S

Midspanmcurvatureh1/mS

T-TmmodelExperimentmhleftmspanS

ExperimentmhrightmspanS

a)

0

50

100

150

200

250

300

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Load

mhkN

S

Supportmcurvatureh1/mS

T-TmmodelExperimentmhB-BS

BEAM CTB4

150

L LB

B

b)

BEAM CTB4

L L

Hình 5.20: Biểu đồ quan hệ độ cong và tải trọng của dầm CTB4: a) Tại tiết diệngiữa nhịp và b) Tại tiết diện cách gối tựa giữa 150 mm

Cuối cùng, hình 5.21 thể hiện quá trình phân bố ứng suất của tiết diện tại

vị trí giữa nhịp và gối giữa của dầm CTB4 với bốn cấp tải trọng: 60 kN ,

160 kN , 200 kN , 240 kN . Từ hình vẽ cho thấy quá trính chảy dẻo của tiết

diện khi tăng tải. Tiết diện dầm liên hợp có tính chất không đối xứng về

mặt hình học và vật liệu nên có sự dịch chuyển của trục trung hòa khi khi

độ cong của dầm tăng lên. Trong quá trình tăng tải, ứng suất của tiết diện

tại vị trí gối tựa giữa đạt ứng suất chảy dẻo sớm hơn ứng suất của tiết diện

72

tại vị trí giữa nhịp. Điều này cho thấy khớp dẻo đầu tiên sẽ hình thành tại

vị trí gối tựa giữa và khớp dẻo thứ hai sẽ hình thành tại vị trí giữa nhịp;

khi đó cơ cấu phá hủy của dầm hình thành.

0.0

100

190

s/fy s/fy s/fy s/fy

s/fy s/fy s/fy s/fy

Giữa nhịp

Gối giữa

(a)

(b)

1.0 -1.0

0.01.0 -1.0 0.01.0 -1.0 0.01.0 -1.0 0.01.0 -1.0

0.01.0 -1.0

100

190

0.01.0 -1.0 0.01.0 -1.0

P = 60 (kN) P = 160 (kN) P = 200 (kN) P = 240 (kN)

Hình 5.21: Quá trình phân bố ứng suất của tiết diện tại vị trí giữa nhịp và gối giữacủa dầm CTB4

5.3 Kết luận

Các kết quả phân tích so sánh đã được áp dụng trên các mô hình dầm liên

hợp đơn giản và dầm liên hợp liên tục khác nhau. Qua đó có thể thấy được

kết quả của mô hình T-T 16 DOFs có độ tin cậy khá cao. Trong quá trình

phân tích số bằng phần mềm MATLAB cho thấy: khi phân tích bằng FEM

thì số lượng phần tử được rời rạc có ảnh hưởng đến kết quả tính toán. Số

lượng phần tử cần đủ lớn để có kết quả chính xác. Phương pháp điều chỉnh

lực có hạn chế trong việc xác định đường cân bằng với độ biến thiên tải

trọng thấp, hơn thế phương pháp này không thể xác định được đường cân

bằng có sự mềm hóa (softening). Điều này dẫn đến giá trị tải tới hạn của

mô hình T-T 16 DOFs trong các áp dụng số thường nhỏ hơn giá trị tải tới

hạn của thực nghiệm và của tác giả Gattesco.

73

Chương 6

Kết luận

6.1 Kết luận

Đề tài đã xây dựng được một mô hình phần tử hữu hạn 16DOF cho phân

tích dầm liên hợp thép - bêtông dựa trên phương pháp chuyển vị. Dựa trên

các giả thiết dầm Timoshenko, biến dạng cắt trong hai thành phần liên

hợp đã được tính toán. Hiên tượng tương tác bán phần và các ứng xử phi

tuyến của vật liệu bêtông, vật liệu thép và liên kiết kháng cắt đã được xem

xét. Các kết quả so sánh nhận được từ phân tích số bằng chương trình

MATLAB cho thấy độ tin cậy của mô hình khá cao, có thể ứng dụng trong

thực tiễn. Từ các kết quả phân tích cho thấy:

– Ảnh hưởng của biến dạng cắt cần được xem xét trong phân tích dầm

liên hợp, đặc biệt khi tỉ số L/H nhỏ và ksc lớn thì có sự chênh lệch khá

lớn giữa mô hình EB-EB và mô hình T-T.

– Ứng xử phi tuyến của vật liệu và liên kết ảnh hưởng nhiều đến kết quả

phân tích và cần phải được tính toán.

– Hiện tượng nứt bêtông trong dầm liên hợp liên tục ảnh hưởng nhiều

đến kết quả độ vọng dầm. Đây là một yếu tố quan trọng cần kể đến

trong phân tích mô hình dầm liên tục.

– Phương pháp giải phương trình cân bằng phi tuyến Newton - Raphson

có hạn chế trong việc tìm giá trị tải cực hạn của phân tích.

74

6.2 Hướng phát triển đề tài

Để có được kết quả phân tích chính xác hơn, cần phát triển đề tài theo các

hướng:

– Nghiên cứu áp dụng các phương pháp giải phương trình cân bằng phi

tuyến khác như: phương pháp điều chỉnh chuyển vị, phương pháp điều

chỉnh công, phương pháp lặp điều chỉnh ( modified Newton - Raphson)

để tìm ra giá trị tải cực hạn cho phân tích phi tuyến.

– Áp dụng mô hình T-T 16DOF vào các phân tích có xét ảnh hưởng của

hiện tượng từ biến trong bêtông, các trường hợp tải trọng lặp và tải

trọng động.

– Xây dựng mô hình và thuật toán cho phân tích hệ khung phẳng dầm

liên hợp thép - bêtông dựa trên mô hình T-T 16DOF .

75

Tài liệu tham khảo

[1] Y. Arizumi and S. Hamada. Elastic-plastic analysis of composite

beams with incomplete interaction by finite element method. Com-

puters and Structures, 14:453–462, 1981.

[2] A. Dall’Asta and A. Zona. Three-field mixed formulation for the non-

linear analysis of composite beams with deformable shear connection.

Finite Elements in Analysis and Design, 40:425 – 448, 2004.

[3] A. K. Gupta and P.S. Ma. Short communications. error in eccentric

beam formulation. International Journal for Numercial Methods in

Engineering, 11:1473–1483, 1977.

[4] R.E. Erkmen and A. Saleh. Eccentricity effect in the finite element

modeling of composite beams. Advances in Engineering Software, 52:

55–59, 2012.

[5] J.M. Aribert, A.G. Labib, and J.C. Rival. Etude numérique et expéri-

mental de l’influence d’une connexion partielle sur le comportement de

poutres mixtes. Communication présentée aux journées AFPC, 1983.

[6] N.V Chúng and B.C. Thành. Phân tích dầm thép - bê tông liên hợp có

xét đến tương tác không toàn phần của liên kết chịu cắt bằng phương

pháp ma trận độ cứng trực tiếp. Science & Technology Development,

10:74–84, 2007.

[7] P. Ansourian. Experiments on continuous composite beams. Proc.

Instn Civ. Engrs, Part 2, 71:25–51, 1981.

76

[8] J.C. Chapman and S. Balakrishnan. Experiments on composite beams.

Struct Eng, 42:369–83, 1964.

[9] Structural steelwork eurocodes - development of a trans-national ap-

proach.

[10] P. R Knowles. Composite steel and concrete construction. Wiley, 1973.

[11] Phạm Văn Hội. Kết cấu liên hợp thép - bê tông dùng trong nhà cao

tầng. NXB Khoa học và Kỹ Thuật, 2010.

[12] J.N. Reddy. An Introduction to the Finite Element Method. McGraw-

Hill, New York (1993).

[13] Eurocode 4: Design of composite steel and concrete structures - part

1-1: General rules and rules for buildings, .

[14] Eurocode 4: Design of composite steel and concrete structures - part

1-2: General rules - structural fire design, .

[15] Eurocode 4: Design of composite steel and concrete structures – part

2: General rules and rules for bridges, .

[16] Đ.V. Thuật and P.V. Hội. Giải pháp kết cấu liên hợp thép bê tông

cho nhà nhiều tầng ở việt nam. 2010.

[17] Bui Duc Vinh. Behaviour of steel-concrete composite beams made of

ultra high performance concrete. Master’s thesis, University of Leipzig,

2010.

[18] G. Ranzi and M.A. Bradford. Analytical solutios for the time-

dependent behaviour of composite beams with partial interaction. In-

ternational Journal of Solids and Structures, 43:3770–3793, 2006.

[19] L. Dezi, F. Gara, G. Leoni, and A.M Tarantino. Time-dependent

analysis of shear-lag effect in composite beams. Journal Of Engineering

Mechanics, 127:71–79, 2001.

77

[20] Chu Quốc Thắng. Phương pháp phần tử hữu hạn. NXB Khoa học và

Kỹ thuật, 1997.

[21] N. Gattesco. Analytical modeling of nonlinear behavior of composite

beams with deformable connection. Journal of Constructional Steel

Research, 52:195–218, 1999.

[22] A. Dall-Asta and A. Zona. Non-linear analysis of composite beams by

a displacement approach. Computers and Structures, 80:2217–2228,

2002.

[23] F. Gara, G. Ranzi, and G. Leoni. Displacement-based formulations for

composite beams with longitudinal slip and vertical uplift. Interna-

tional Journal For Numerical Methods In Engineering, 65:1197–1220,

2006.

[24] L.L.B. Nghi and B.C. Thành. Phân tích phi tuyến dầm liên hợp có

xét đến tương tác bán phần. Science & Technology Development, 12:

84–93, 2009.

[25] L.L.B. Nghi and B.C. Thanh. A 6dof super element for nonlinear

analysis of composite frames with partial interaction and semi-rigid

connections. Vietnam Journal of Mechanics, 33:13 – 26, 2011.

[26] M.R. Salari, E. Spacone, P.B. Shing, and D.M. Frangopol. Nonlin-

ear analysis of composite beams with deformable shear connectors. J

Struct Eng ASCE, 124:1148–5, 1998.

[27] A. Ayoub. A force-based model for composite steel–concrete beams

with partial interaction. Journal of Constructional Steel Research, 61:

387–414, 2005.

[28] A. Ayoub and F. C. Filippou. Mixed formulation of nonlinear steel-

concrete composite beam element. Journal of Structural Engineering,

126:371–381, 2000.

78

[29] Q. H. Nguyen, M. Hjiaj, B. Uy, and S. Guezouli. Analysis of composite

beams in the hogging moment regions using a mixed finite element

formulation. Journal of Constructional Steel Research, 65:737–748,

2009.

[30] G. Ranzi, M.A. Bradford, and B. Uy. A direct stiffness analysis of a

composite beam with partial interaction. International Journal For

Numerical Methods In Engineering, 61:657–672, 2004.

[31] G. Ranzi and M.A. Bradford. Direct stiffness analysis of a composite

beam-column element with partial interaction. Computers and Struc-

tures, 85:1206–1214, 2007.

[32] G. Ranzi and A. Zona. A steel–concrete composite beam model with

partial interaction including the shear deformability of the steel com-

ponent. Engineering Structures, 29:3026–3041, 2007.

[33] R. Xu and Y. Wu. Static, dynamic, and buckling analysis of partial

interaction composite members using timoshenko’s beam theory. In-

ternational Journal of Mechanical Sciences, 49:International Journal

of Mechanical Sciences 49 (2007), 2007.

[34] S. Schnabl, M. Saje, G. Turk, and I. Planinc. Analytical solution of

two-layer beam taking into account interlayer slip and shear deforma-

tion. Journal of Structural Engineering, 133:886–894, 2007.

[35] Q.H. Nguyen, E. Martinelli, and M. Hjiaj. Derivation of the exact

stiffness matrix for a two-layer timoshenko beam element with partial

interaction. Engineering Structures, 33:298–307, 2011.

[36] A. Zona and G. Ranzi. Finite element models for nonlinear analysis of

steel–concrete composite beams with partial interaction in combined

bending and shear. Finite Elements in Analysis and Design, 47:98–118,

2011.

79

[37] Q.H. Nguyen, M.Hjiaj, and V.A. Lai. Force-based fe for large displace-

ment inelastic analysis of two-layer timoshenko beams with interlayer

slips. Finite Elements in Analysis and Design, 85:1–10, 2014.

[38] J.N Reddy. An introduction to nonlinear finite element analysis. Ox-

ford(UK): Oxford University Press, 2004.

[39] L. Yunhua. Explanation and elimination of shear locking and mem-

brane locking with field consistence approach. Comput Methods Appl

Mech Engrg, 162:249–269, 1998.

[40] J.N. Reddy. On locking-free shear deformable beam finite elements.

Comput Methods Appl Mech Engrg, 149:113–132, 1997.

[41] S. Mukherjee and G. Prathap. Analysis of shear locking in timoshenko

beam elements using the function space approach. Commun. Numer.

Meth. Engng, 17:385–393, 2001.

[42] A. Dall’Asta and A. Zona. Slip locking in !nite elements for composite

beams with deformable shear connection. Finite Elements in Analysis

and Design, 40:1907 – 1930, 2004.

[43] Ceb-fip model code 2010- first complete draft.

[44] J . G. Ollgaard, R. G. Slutter, and J. W . Fisher. Shear strength

of stud connectors in lightweight and normal weight concrete. AISC

Engineering Journal, pages 55–64, 1971.

[45] William McGuire. Matrix Structural Analysis, second edition. Jonh

Wiley & Sons, Inc, 1999.

[46] J.C. Teraszkiewicz. Static and fatigue behavior of simply supported

and continuous composite beams of steel and concrete. PhD thesis,

University of London, 1967.

80

Phụ lục A

Code chương trình MATLAB

81

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG

Họ và tên: ĐINH HUỲNH THÁI

Ngày, tháng, năm sinh:19/05/1988

Nơi sinh: Tiền Giang

Điện thoại: 0939.261.463

Email: huynhthai19@gmail.com

Địa chỉ liên hệ: 56/13 Đường TX25 - P.Thạnh Xuân - Quận 12 – TP.HCM.

QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO

Từ 2006 đến 2011: Sinh viên Trường Đại học Kiến Trúc Tp.HCM chuyên

ngành Xây Dựng Dân Dụng Và Công Nghiệp.

Từ 2012 đến nay: Học viên cao học Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM

chuyên ngành Xây Dựng Dân Dụng Và Công Nghiệp.

QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC

Từ 2011 đến nay: Kỹ sư xây dựng tại Chi Nhánh Công Ty Cổ Phần Tin

Học và Tư Vấn Xây Dựng.

82