Computacion Cuantica Modelo de Los 3 Estados

7/18/2019 Computacion Cuantica Modelo de Los 3 Estados

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Ingenierıa y Ciencia, ISSN 1794-9165

Volumen 1, numero 1, paginas 5-20, marzo de 2005

Universalidad de la computacion cuanticageometrica: modelo de tres estados1

Andres Sicard2 y Mario Elkin Velez3

Recepci on: 23 de febrero de 2004 — Aceptaci on: 07 de septiembre de 2004

Se aceptan comentarios y/o discusiones al artıculo

ResumenEl modelo de tres estados es un modelo de computaci on cuantica geometrica. Se ilustra queeste es un modelo de computacion cuantica universal, con base en el trabajo desarrolladopor Niskanen, Nakahara y Salomaa [16]. Las universalidades U (2) y U (2n≥1) del modelose obtienen a partir de la construccion de las compuertas de rotacion Rx(α) y Ry(α), yde las compuertas de Hadamard H y de fase B (η), respectivamente. Para cada compuerta,se presenta explıcitamente el operador de holonomıa ΓA(γ ) y el ciclo γ sobre el cual esconstruıda.

Palabras claves: computacion cuantica geometrica, compuertas cuanticas universales,modelo de tres estados.

AbstractThe three state model is a geometric quantum computation model. We show that this oneis an universal quantum computation model, with base in the work developed by Niskanen,Nakahara and Salomaa [16]. The U (2) and U (2n≥1) universalities are obtained from theconstruction of the rotations gates Rx(α) and Ry(α), and the Hadamard gate H and thephase gates B(η), respectively. For every quantum gate, we explicitly show the holonomyoperator ΓA(γ ) and the loop γ on which this is built.

Key words: quantum geometric computation, universal quantum gates, three state

model.

1

Artıculo financiado por la Universidad EAFIT bajo el proyecto de investigacion Computaci´ on Cu´ antica Geometri ca No Abeliana , N 0. P Y 0117. Una version preliminar de los resultados obtenidosen este artıculo en [21].2 Magister en Ingenierıa Informatica, [email protected], profesor asociado e integrante del grupo enLogica y Computacion, Universidad EAFIT.3 Magister en Fısica, [email protected], profesor asociado e integrante del grupo en Logica y Com-putacion, Universidad EAFIT.

Universidad EAFIT 5|

http://www.eafit.edu.co/

mailto:[email protected]





http://www.eafit.edu.co/



Universalidad de la computacion cuantica geometrica: modelo de tres estados

1 Introduccion

En la actualidad, la Computacion Cuantica Geometrica (CCG) es un area activa de inves-tigacion en el contexto de la Computacion Cuantica y realiza aportes a esta ultima, en lassubareas de modelos de computacion y propuestas de implementacion, como es eviden-ciado por las diferentes publicaciones en el area [28, 19, 9, 10, 17, 8, 11, 13, 16]. La CCGesta sustentada en varios fenomenos y situaciones fısicas observadas experimentalmente(tales como la fase de Berry y la evolucion adiabatica), en la formulacion matematica delas mismas (en la teorıa de los haces fibrados principales) y en la posibilidad de “realizar”compuertas cuanticas (compuertas de fase) con el corpus fısico-matematico anterior. Lafase a partir de la cual se construyen las compuertas cuanticas en los modelos de CCG tie-ne un caracter puramente geometrico, detallado teoricamente por grupos de holonomıasadecuadamente formulados.

En la Computacion Cuantica Geometrica Abeliana (CCGA), la conexion o potencialgauge toma valores en el algebra conmutativa de Lie asociada al grupo de Lie U (1), dedonde se obtienen entonces compuertas cuanticas de fase abelianas [24, 25], mientrasque en la Computacion Cuantica Geometrica No Abeliana (CCGNA), la conexion tomavalores en el algebra no conmutativa de Lie asociada al grupo de Lie U (2n≥1), en cuyocaso se obtienen compuertas cuanticas de fase no abelianas [26].

Por otra parte, la universalidad de un modelo de computacion cuantica, es decir, sucapacidad de realizar cualquier operacion que realice una maquina de Turing, se establecepor su capacidad de generar un conjunto de compuertas cuanticas U , tales que cualquiertransformacion unitaria U (2n≥1), es decir, cualquier compuerta cuantica que opere sobre

n-qubits, puede ser aproximada con suficiente exactitud por un circuito cuantico queconsta unicamente de un numero finito de compuertas del conjunto U [12].

El ob jetivo del presente artıculo es ilustrar explıcitamente la universalidad del modelode CCGNA denominado modelo de tres estados [16, 15, 26, 27]. En principio, para obtenerla universalidad de un modelo de computacion cuantica serıa necesario una demostra-cion por induccion, a partir de la cual se establezca la universalidad para las compuertascuanticas U (2) de 1-qubit, U (4) de 2-qubits, U (8) de 3-qubits y ası sucesivamente, hastaestablecer la universalidad de las compuertas U (2n) de n-qubits. Contrario a este proce-dimiento, con base en el trabajo desarrollado por Niskanen, Nakahara y Salomaa [16] seilustra en el presente artıculo, como establecer la universalidad del modelo de tres esta-dos solo a partir de la universalidad para U (2) y para U (4), de acuerdo a los resultadosactuales relacionados con los conjuntos mıminales de compuertas cuanticas universales[7, 12, 7, 8]. La universalidades U (2) y U (4) del modelo se obtienen a partir de la cons-truccion de las compuertas de rotacion Rx(α) y Ry(α), y de las compuertas de HadamardH y de fase B(η), respectivamente. Para cada compuerta, se presenta explıcitamente eloperador de holonomıa ΓA(γ ) y el ciclo γ sobre el cual es construıda.

|6 Ingenierıa y Ciencia, volumen 1, numero 1



Andres Sicard y Mario Elkin Velez

2 Estructura matematica de la CCGNA

En el contexto de las compuertas y circuitos cuanticos, la computacion cuantica puedeser vista como la aplicacion de un operador unitario de evolucion U ∈ U (2n) sobre unn-qubit1 | x = | x1, . . . , xn ∈ C2n , para producir un nuevo n-qubit |x′ = | x′

1, . . . , x′n ∈

C2n , es decirU |x = | x′ . (1)

En el contexto de la CCGNA, los operadores de evolucion U ∈ U (2n) correspondenal grupo de holonomıa Hol(A) ⊆ U (2n), asociado a la conexion A de un haz fibradoprincipal y los n-qubits | x ∈ C2n corresponden a elementos de la fibra tıpica de unahaz fibrado vectorial, la cual es isomorfa a C2n . En particular, a partir de un haz fibradoprincipal F CCG se construye un haz fibrado vectorial V CCG asociado. Puesto que losoperadores de evolucion H ol(A) surgen de una familia de Hamiltonianos

{H λ

| λ

∈ M

}adecuadamente caracterizada por M , es necesario contar con un espacio de parametrosde control M . La relacion entre este espacio M y los haces fibrados F CCG y V CCG esinducida al construir un nuevo haz fibrado principal P ∗F CCG y un nuevo haz fibradovectorial P ∗V CCG, denominados los pullbacks debido a M , de los haces fibrados F CCG

y V CCG, respectivamente. Entonces, los operadores de evolucion Hol(A) se obtienen apartir de la conexion A asociada al haz fibrado principal P ∗F CCG y estos operan sobre losn-qubits | x representados por puntos de la fibra tıpica del haz fibrado vectorial P ∗V CCG

[26, 10], tal como es ilustrado por la figura (1).

Haz fibrado principal

F CCG

Haz fibrado vectorial

V CCG

haz fibrado asociado

Haz fibrado principal

P ∗F CCG

pullback

grup o de holonomıa

Espacio de parametros

M Haz fibrado vectorial

P ∗V CCG

pullback

fibra t ıpica

Operadores de evolucion

Hol(A) ⊆ U (2n)

n-qubits

|x ∈ C2n

Figura 1: Estructura matematica de la CCGNA

Sea M el espacio de parametros de control y sea γ un ciclo en λ0 ∈ M , es decir

γ : [0, 1] → M, tal que γ (0) = γ (1) = λ0, (2)

1Los terminos ‘compuerta sobre n-qubits’ y ‘compuerta u operador U (2n)’ se intercambiaran libre-mente.





sobre el ciclo γ el operador de holonomıa ΓA(γ ) esta definido por

ΓA(γ ) =

P exp

γ

A

∈ U (2n), (3)

donde P es el operador camino ordenado y A es la conexion asociada al haz fibradoP ∗F CCG. El grupo de holomonıa Hol(A) esta constituıdo por todos los operadores deholonomıa ΓA(γ ), es decir

Hol(A) = {ΓA(γ ) | γ : trayectoria cerrada sobre λ0 ∈ M } ⊆ U (2n). (4)

La identificacion del espacio de los estados cuanticos (n-qubits) como la fibra tıpi-ca C2n del haz fibrado vectorial P ∗V CCG generado a partir de los vectores propios delHamiltoniano H λ0 parametrizado por M , y la identificacion del grupo de operadores deevolucion unitarios (compuertas cuanticas) como el grupo de holonomıa Hol(A) compues-

to de los operadores de holonomıa ΓA(γ ), los cuales son obtenidos a partir de la conexionA del haz fibrado principal P ∗F CCG y de un ciclo γ sobre el espacio de parametros decontrol M , establecen finalmente, desde una perspectiva computacional, el modelo de laCCGNA [26, 10]. El modelo es ilustrado por la figura (2), donde | x , | x′ y U estanrelacionados por (1) y k = 2n.

M

λ0

γ

Ckλ0

z

z′

ΓA(γ )

|x

∈Ck

| x′ ∈Ck

U ∈ U (k)

inicio

final

evolucion

Figura 2: Computacion en el modelo de la CCGNA

3 Computacion universal para la CCGNA

En la actualidad se conocen varios conjuntos de compuertas cuanticas universales, talescomo, la compuerta U (8) controlled-controlled rotation [6], compuertas de 2-qubits conparametros irracionales [2], el conjunto formado por las compuertas de Hadamard, π/8 yCNOT [3, 4], o el conjunto formado por las compuertas de Hadamard y Toffoli [1, 20]2. De

2Usualmente la compuerta de Toffoli representada por el circuito cuantico





hecho, se ha demostrado que “casi” todas las compuertas U (4) son universales [7, 12] y se

ha demostrado que no es posible obtener universalidad solo a partir de compuertas U (2)[7]. Los resultados anteriores indican que para obtener la universalidad para U (2n≥1)solo es necesario contar con algunas compuertas U (2), las cuales generan la universalidadsobre los 1-qubits, y con algunas compuertas U (4), las cuales generan la universalidadsobre los n-qubits.

Por otra parte, la universalidad o no de un modelo de CCG est a determinada por elgrupo de holonomıa Hol(A) asociado a su conexion A, de manera tal que mientras quelos modelos de la CCGNA son universales [18, 16, 22], los modelos de la CCGA no lo son[26]. Hasta hace poco existıan algunos malos entendidos respecto a la universalidad de laCCGNA para el caso de U (4), puesto que algunos autores afirmaban que era necesarioque la conexion A fuera irreducible, es decir, Hol(A) = U (2n) [28, p. 97], mientrasque otros autores demostraban que la conexion para U (4) no era irreducible [10, p. 81].Hoy en dıa se sabe que la condicion de irreducibilidad de la conexion A para U (4) esuna condicion suficiente, pero no necesaria para obtener la universalidad [13]. Cuandola conexion no es irreducible, la universalidad para U (4) se obtiene demostrando que elmodelo puede construir al menos una compuerta de 2-qubits “no local” o “no trivial”, esdecir, una compuerta que no sea de la forma SU (2) × I2 o de la forma I2 × SU (2) [14].Dicho en otros terminos, un modelo de CCGNA es universal para U (4), si este tiene unaconexion irreducible, o si este es capaz de producir al menos una compuerta U (4) quegenere estados enredados a partir de los elementos de la base can onica para un 2-qubit.

A continuacion se presentan dos conjuntos de compuertas que son universales paraU (2) y para U (2n≥1). Sean Rx(θ), Ry(θ) y Rz(θ) las compuertas de rotacion dadas por

Rk(θ) = e−iθΓk/2, para k ∈ {x,y,z},

donde Γk son las matrices de Pauli, y sean B(η) las compuertas de fase controlada de2-qubit dadas por

| z

| y

| x

⊕ | z ⊕ (x ∧ y)

| y

| x

es considerada una compuerta universal. Sin embargo, la universalidad de la compuerta de Toffoli serefiere a una “universalidad clasica”, es decir, es posible construir cualquier circuito clasico con unnumero finito de compuertas de Toffoli. Este hecho esta sustendado en que la compuerta de Toffoliimplementa un conjunto completo de operadores para la l ogica clasica (tales como los operadores ∧ y ¬)como es senalado por

z ⊕ (x ∧ y) =

x ∧ y si z = 0 (compuerta and ),

x ⊕ z si y = 1 (compuerta xor ),

¬z si x = y = 1 (compuerta not ),

z si x = 0; y = 1 (compuerta identidad ).





B(η) =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 eiη

.

Teorema 3.1 (Universalidad U (2)). Sea U cualquier operador unitario que opere sobre un 1-qubit. Entonces existen n´ umeros reales α, β,γ y δ tales que [ 5 , p. 176]

U = eiαRx(β )Ry(γ )Rx(δ ). (5)

Ejemplo 3.1. Para la compuerta de Hadamard H dada por

H = 1√

2 1 11

−1 ,

de acuerdo al teorema (3.1) corresponde la descomposicion

H = eiαRx(β )Ry(γ )Rx(δ ), donde α = −π

2, β = −π, γ =

π

2, δ = 0. (6)

Teorema 3.2 (Universalidad U (2n≥1)). La compuerta de Hadamard y las compuertas de fase controladas de 2-qubits B(η) son un conjunto de compuertas universales para U (2n≥1) [ 8 , p. 2503].

4 El modelo de tres estados

El modelo de tres estados es un modelo de CCGNA construıdo por [16]. Para la cons-truccion del modelo para el caso de 1-qubit se define un hamiltoniano H 0 representadoen su forma diagonal por

H 0 = ǫ | 22 | =

ǫ 0 0

0 0 00 0 0

, (7)

donde |2 = (1 0 0)T . El hamiltoniano (7) presenta una degeneracion de orden 2 parael autovalor de energıa E = 0 y un autovalor ǫ diferente de cero del cual deriva un estadono degenerado. Los autovectores correspondientes al autovalor de energıa E = 0 son losqubits | 0, | 1 y estos estan representados por la segunda y tercera columna de (7). Elespacio computacional de la computacion cuantica sobre un qubit, en el presente modelo,

es precisamente el espacio de autovectores degenerados asociados al autovalor E = 0. Laprimera columna de (7) corresponde al autovector asociado al autovalor de energıa ǫ = 0,este ultimo autovector es denominado estado auxiliar.

Para el caso del hamiltoniano (7) la transformacion isoespectral que deja invarianteel subespacio de estados degenerados esta dada por [26]





H (λi, µi) = g(λi, µi)H 0g

†

(λi, µi), (8)donde g(λi, µi) ∈ SU (2), los parametros λi, µi ∈ C son los parametros de control quedefinen el espacio parametrico M e i ∈ {1, 2}.

La estructura topologica de la construccion geometrica que se deriva a traves de lossubespacios bidimensionales formados por los autoestados degenerados del hamiltonianoparametrico (8), permite definir una conexion A no abeliana, la cual determina el modode realizar el transporte paralelo de estados degenerados, conducidos a lo largo de loscaminos cerrados (2) mediante la evolucion adiabatica. La conexion A de la estructuratopologica es antihermıtica A = −A† y esta definida por

A = Aλidλi + Aµidµi − A†λi

dλi − A†µidµi donde i ∈ {1, 2}.

Las componentes de la conexion A se calculan mediante la expresion

Aαβσi

= α | g† ∂

∂σig | β ,

donde α, β ∈ {0, 1} rotulan los estados degenerados de H 0 y σi ∈ {λi, µi} pertenece alespacio de parametros de control M . Bajo una adecuada seleccion de los parametros decontrol las componentes de la conexion A toman la forma [26]

Aφ1 =

−i sen2 θ1 −i sen θ1 sen θ2 cos θ1eia

−i sen θ1 sen θ2 cos θ1eia i sen2 θ1 sen2 θ2

,

Aθ1 = 0

−e−i(φ1−φ2−ψ1) sen θ2

−e−ia sen θ2 0

,

Aφ2 =

0 00 −i sen2 θ2

,

Aθ2 =

0 00 0

,

(9)

donde a = φ1 − φ2 − ψ1 y θ1, θ2, φ1, φ2, ψ1 ∈ R. Con el conjunto de conexiones (9) esposible construir todas las compuertas cuanticas que actuan sobre un 1-qubit.

Como fue mencionado, un modelo de computacion cuantica universal exige la cons-truccion de transformaciones no locales que actuan sobre un 2-qubit. Para obtener estascompuertas en el modelo de tres estados se define el hamiltoniano

H 2q0 = H a0 ⊗ I3 + I3 ⊗ H b0, (10)

donde H 2q0 es el hamiltoniano inicial y H a0 , H b0 son hamiltonianos (7) asociados a lossubsistemas de 1-qubit a y b. El conjunto de autovectores del hamiltoniano H 2q0 corres-pondientes al autovalor E = 0 estan dados por





{| 0, 0 , | 0, 1 , | 1, 0 , | 1, 1}. (11)El espacio generado por el conjunto de vectores base definido en (11) es el espacio sobreel cual actuan las transformaciones de 2-qubit en el presente modelo. Los operadores quetransforman los estados generados por la base (11) estan dados por el producto de dosoperadores definidos de acuerdo a

g(ξ, λai , µai , λbi , µb

i) = g2q(ξ )(ga(λai , µai ) ⊗ gb(λb

i , µbi)),

donde g 2q(ξ ) representa las transformaciones que no admiten una descomposicion comoun producto tensorial de transformaciones de 1-qubit y ga(λa

i , µai ) y gb(λb

i , µbi ) con

i ∈ {0, 1}, representan las transformaciones de 1-qubit asociadas a los subsistemas ay b, las cuales se pueden componer mediante el producto tensorial de trasformacionesde 1-qubit [16]. La transformacion isoespectral que deja invariante el espacio de estados

degenerados del Hamiltoniano (10) esta dada por

H 2q(ξ, λai , µai , λb

i , µbi) = g 2q(ga ⊗ gb)H 2q0 (ga ⊗ gb)†g2q†.

La conexion de la estructura topologica que se origina a partir de las transformacionesde 2-qubits es antihermıtica A = −A†, como en el caso de las transformaciones de un1-qubit. Las componentes de la conexion para el modelo de tres estados en el caso de2-qubit estan dadas por

Aαβσi

=

α

(ga ⊗ gb)†g2q† ∂

∂σig2q(ga ⊗ gb)

β

,

donde σi ∈ {ξ, λai , µa

i , λbi , µbi} pertenece al espacio de parametros de control M y | α y | β

pertenecen al conjunto (11) de autovectores del hamiltoniano H 2q

0 . Estas componentesde la conexion bajo una adecuada seleccion de parametros ξ , θa2 , θb2 ∈ R, toman la forma[26]

Aξ =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 i cos2 θa2 cos2 θb2

, Aθa

2= Aθ2 ⊗ Aθ2 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

. (12)

Con el conjunto de conexiones de 2-qubits (12) y el conjunto de las conexiones de 1-qubit(9), es posible obtener la universalidad U (2n≥1) del modelo de tres estados.

5 Universalidad U (2) para el modelo de tres estados

A partir de las componentes de la conexion (9), el operador de holomonıa (3) y el grupode holonomıa (4), asociados al modelo de tres estados, para el caso de 1-qubit, toman laforma





ΓA(γ ) =

P exp

− γ

Aφ1dφ1 + Aθ1dθ1 + Aφ2dφ2 + Aθ2dθ2

∈ U (2), (13)

Hol(A) = {ΓA(γ ) | γ : trayectoria cerrada sobre λ0 ∈ M (θ1, θ2, φ1, φ2) }= U (2).

Puesto que el operador de holonomıa (13) representa las compuertas cuanticas U (2)posibles de realizar en el modelo de tres estados, la idea entonces es construir ciclos so-

bre una variedad M parametrizada por {θ1, θ2, φ1, φ2}, de forma tal que las compuertasasociadas a estos ciclos, constituyan un conjunto de compuertas universales para U (2).De acuerdo al teorema (3.1), salvo un factor de fase eiα expresado en (5), es necesa-rio construir compuertas que produzcan las rotaciones Rx(β ) y Ry(γ ), para obtener launiversalidad de la compuertas que operen sobre un 1-qubit.

La construccion de la compuerta Ry(α) se realiza sobre el plano (θ2, θ1) fijando a cerolos parametros φ1 y φ2. Sobre este plano se construye el ciclo γ Ry representado por lafigura (3), dado por

γ Ry(α): (0, 0) →

0, α

2

→π

2, α

2

→π

2, 0

→ (0, 0) .

θ2

θ1

(0, α/2) (π/2, α/2)

(π/2, 0)

(0, 0)

Figura 3: Ciclo γ Ry(α) para la compuerta Ry(α)

Para el ciclo γ Ry , sobre el plano (θ2, θ1), la ecuacion (13) toma la forma





ΓA(γ Ry (α)) = exp

− γ Ry (α)

Aθ2 dθ2 + Aθ1 dθ1

= exp

− 0

α/2

Aθ1|θ2=π/2,φ1=φ2=0

dθ1

= exp

−

0 α/2−α/2 0

(14)

= Ry(α).

De acuerdo al calculo anterior, la lınea punteada de la figura (3) indica cual es laparte del ciclo γ Ry y cual es la componente de la conexion que realmente contribuye a laformacion de la compuerta Ry(α), puesto que en las otras partes del ciclo, las componentesde la conexion se anulan.

A diferencia de la compuerta Ry(α) que es construida sobre un plano bidimensional,la compuerta Rx(α) se construye sobre el plano tridimensional (φ2, θ2, θ1) fijando a ceroel parametro φ1, en cual el ciclo γ Rx esta dado por

γ Rx(α):π

2, 0, 0

→π

2, π

2, 0

→π

2, π

2, α

2

→π

2, 0,

α

2

→π

2, 0, 0

.

En este caso, la ecuacion (13) para el ciclo γ Rx , sobre el plano (φ2, θ2, θ1), toma laforma

ΓA(γ Rx(α)) = exp− γ Rx (α) Aφ2 dφ2 + Aθ2 dθ2 + Aθ1 dθ1

= exp

−

0 iα/2iα/2 0

(15)

= Rx(α).

De acuerdo al teorema (3.1), es posible obtener la universalidad para U (2) sin nece-sidad de la rotacion Rz(α). Sin embargo, esta rotacion sera necesaria para construir unacomposicion de caminos para obtener la compuerta de Hadamard, la cual a su vez esnecesaria para obtener la universalidad para U (4) en el modelo de tres estados. Similara la compuerta Rx(α), la compuerta Rz(α) se construye sobre un plano tridimensional(θ1, θ2, φ1) fijando a cero el parametro φ2, en cual el ciclo γ Rz , representado por la figura(4), esta dado por [15, 16]

γ Rz (α): (0, 0, 0) →

0, 0, α

2

→π

2, 0,

α

2

→π

2, π

2, α

2

→π

2, π

2, 0

→π

2, 0, 0

→ (0, 0, 0) .





φ1

θ2

θ1

(0, 0, α/2)

(π/2, 0, α/2) (π/2, π/2, α/2)

(π/2, π/2, 0)(π/2, 0, 0)

Figura 4: Ciclo γ Rz(α) para la compuerta Rz(α)

La ecuacion (13) para el ciclo γ Rz , sobre el plano (θ1, θ2, φ1), toma la forma

ΓA(γ Rz(α)) = exp− γ Rz (α)

Aθ2 dθ2 + Aθ1 dθ1 + Aφ2 dφ2= exp

−

iα/2 00 −iα/2

(16)

= Rz(α).

6 Universalidad U (2n≥1) para el modelo de tres estados

De acuerdo al teorema (3.2), la universalidad para la compuertas que operan sobre unn-qubit se obtiene a partir de la compuerta de Hadamard y las compuertas de fase

controladas de 2-qubits B (η).Una vez obtenida la universalidad U (2) sobre el modelo de tres estados, es posible

construir cualquier compuerta que opere sobre un 1-qubit, en particular, es posible cons-truir la compuerta de Hadamard. Con base en (14), (15) y (16) se definen las matricesC x(α), C y(α) y C z(α) dadas por





Rx(α) = exp[−C x(α)] = exp

−

0 iα/2iα/2 0

,

Ry(α) = exp[−C y(α)] = exp

−

0 α/2−α/2 0

,

Rz(α) = exp[−C z(α)] = exp

−

iα/2 00 −iα/2

.

De acuerdo a (6), salvo el factor de fase e−iπ/2, la construccion de la compuerta deHadamard se lleva a cabo realizando la rotacion

H ′ = Rx(−π)Ry(π/2)Rx(0)

= exp[C x(−π)] exp[C y(π/2)].

Intuitivamente, los ciclos γ Rx(−π) y γ Ry (π/2) se pueden componer para obtener la ro-tacion H ′. Sin embargo, puesto que las matrices C x(−π) y C y(π/2) no conmutan, esnecesario recurrir a la formula de Campbell-Baker-Hausdorff para expresar el productode dos exponenciales de matrices como una “suma de exponenciales”, y de esta formaobtener la composicion deseada. Para matrices A1 y A2, la formula de Campbell-Baker-Hausdorff, a quinto orden, esta dada por [23]

exp(A1)exp(A2) ≈

exp(A1 + A2) + 1

2A12 +

1

12(A112 + A221) +

1

24A1221

− 1

720(A11112 − 2A21112 − 6A11221 − 6A22112 − 2A12221 + A22221)

,

(17)

donde,

Akl...mn = [Ak, [Al, . . . [Am, An] . . .]].

Sea N C (A1, A2) el termino adicionado a (17) por la no conmutatividad de A1 y A2,entonces la composicion de caminos para obtener la rotacion H ′ esta dada por

H ′ = exp[−C x(π)] exp[−C y(π/2)]

≈ exp[−[C y(π/2) + C x(π) + N C (C y(π/2), C x(π))]]

≈ exp[−[C y(−0,05) + C x(4,02) + C z(−2,4)]].

Una vez expresada la rotacion H ′ como una suma de caminos, es posible componerlos caminos γ Ry , γ Rx y γ z. La composicion de estos caminos es un camino γ H ′ (a,b,c) enel plano (φ1, φ2, θ1, θ2) dado por





γ H ′(a,b,c):

(0, 0, 0, 0) →

0, 0, 0, a

2

→

0, 0, π

2, a

2

→

0, 0,

π

2, 0

→ (0, 0, 0, 0) →

camino γ Ry (a)

0,

π

2, 0, 0

→

0, π

2, π

2, 0

→

0, π

2, π

2, b

2

→

π

2, 0,

b

2→ 0,

π

2, 0, 0→

(0, 0, 0, 0)→

camino γ Rx(b)

c

2, 0, 0, 0

→ c

2, 0,

π

2, 0

→ c

2, 0,

π

2, π

2

→

0, 0,

π

2, π

2

→

0, 0, π

2, 0

→ (0, 0, 0, 0)

camino γ Rz(c)

Entonces la ecuacion (13) para el ciclo γ H ′(a,b,c), sobre el plano (φ1, φ2, θ1, θ2), dondea = −0,05, b = 4,02, y c = −2,4, toma la forma

ΓA(γ H ′ (a,b,c)) = exp

− γ H′ (a,b,c)

Aφ1 dφ1 + Aφ2 dφ2 + Aθ1 dθ1 + Aθ2 dθ2

= exp [−(C y(a) + C x(b) + C z(c))]

≈ H ′.

Por otra parte, las compuertas de fase controlada B(η) son las unicas compuertas de2-qubits que se requieren para demostrar la universalidad U (4) del modelo de tres estados,y por lo tanto, la universalidad U (2n≥1) en dicho modelo. El espacio de parametros{ξ, θa2 , θb2} es quien parametriza los componentes (12) de la conexion para el caso de2-qubits. A partir de estas componentes, el operador de holomonıa (3) y el grupo de

holonomıa (4), asociados al modelo de tres estados, para el caso de 2-qubit, toman laforma

ΓA(γ ) =

P exp

− γ

(Aξdξ + Aθa2

dθa2 )

∈ U (4), (18)





Hol(A) = {ΓA(γ ) | γ : trayectoria cerrada sobre λ0 ∈ M (ξ, θa2 , θb2) }⊂ U (4).

Para la obtener la compuerta B(η), se construye un ciclo γ B en el plano (θa2 , ξ ), fijandoa cero el parametro θb2, dado por [15, 16]

γ B(η): (0, 0) →π

2, 0

→π

2, η

→ (0, η) → (0, 0) .

Para el ciclo γ B, sobre el plano (θa2 , ξ ), la ecuacion (18) toma la forma

ΓA(γ B(η)) = exp

− γ B(η)

(Aξdξ + Aθa2

dθa2 )

= exp

−

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 −iη

= B(η).

7 Conclusiones

La universalidad de un modelo de Computacion Cuantica se obtiene a partir de lasposibilidades que ofrece el modelo para la construccion de un conjunto de compuertascuanticas tales que cualquier transformacion unitaria U (2n≥1) pueda ser aproximada consuficiente exactitud por un circuito cuantico que consta unicamente de un numero finitode compuertas de dicho conjunto. Por lo general, estas compuertas cu anticas son algunascompuertas U (2), es decir, compuertas sobre un 1-qubit y algunas compuertas U (4), esdecir, compuertas sobre un 2-qubit.

En el contexto de la Computacion Cuantica Geometrica, uno de los modelos quepresenta caracterısticas de universalidad, es el modelo de tres estados, el cual se obtienea partir de un Hamiltoniano degenerado en el valor de energıa E = 0. Para este modelo,las compuertas se obtienen como operadores de holonomıa ΓA(γ ) construıdos con baseen una conexion A y en un ciclo γ sobre un espacio parametrico M . En particular, launiversalidad U (2) del modelo se obtuvo al construir las compuertas de rotacion Rx(α)y Ry(α). La universalidad U (4) y por lo tanto la universalidad U (2n≥1) del modelo, seobtuvo al construir la compuerta de Hadamard H y las compuertas de fase B (η).





Agradecimientos

Los autores agradecen a Dennis Lucarelli por las aclaraciones realizadas y a tres evalua-dores anonimos por sus acertadas observaciones y sugerencias.

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Computacion Cuantica Modelo de Los 3 Estados