Computational thinking i gymnasiefag - Forside - LMFK · 2020. 2. 11. · Matematik. LMFK-bladet 1/2020 . 11 . TEMA Computational Thinking. koblet fra resten af indholdet på studiet,

Mat

emat

ik

10 LMFK-bladet 1/2020

TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

I forbindelse med gymnasiereformen (2016) er ”Informatik” indført som nyt fag, og styrkelse af elevernes digitale dannelse og digitale kompetencer er et fokusområde på tværs af alle fag .

Denne artikel handler ikke om informatik som et selvstændigt fag, men om hvor-dan man kan integrere den del af infor-matikken, der omtales som computatio-nal thinking (CT), i matematik og de na-turvidenskabelige fag .

”Informatik og computational think-ing er internationalt hastigt i færd med at blive en del af almendan-nelsen i skolen på alle klassetrin; mange mener, at det er (eller snart bliver) en lige så væsentlig grund-læggende kompetence som læsning, skrivning og matematik.”

Direktør Michael E. Caspersen i ”Gymnasiepædagogik – En grund-bog”, Caspersen (2017).

Vi er en gruppe gymnasielærere, der i samarbejde med Aarhus Universitet 1) og Danske Science Gymnasier (DASG) 2) i skoleåret 18/19 arbejdede med at un-dersøge, hvordan vi kunne integrere CT i matematikundervisningen og i den na-turvidenskabelige undervisning på en så-dan måde, at det styrker elevernes CT–kompetencer, og samtidig bidrager til et øget fagfagligt udbytte af undervisningen . Målet var at integrere CT i faget, såle-des at (CCTD 2018, CTiMNAT 2019): • de faglige fænomener, begreber og prin-

cipper anvendes til at lære CT

• de CT–faglige fænomener, begreber og principper anvendes til at lære faget .

I den forbindelse udviklede og afprøve-de vi flere undervisningsforløb i fagene

matematik, fysik, kemi, biologi, biotek-nologi og NV . I artikler i dette blad præ-senterer vi et lille udpluk af disse forløb . De anvendte modeller og materialer kan findes på library.ct-denmark.org/lmfk .

Skal give faglig meningDet var vigtigt for os, at CT–aktivite-terne understøtter den faglige læring, så CT ikke bliver et nyt undervisningsmæs-sigt vedhæng, men en sund faglige ind-sprøjtning . Vi valgte derfor at fokusere på modellering og simulering, da det at kunne modellere et fagligt fænomen og forholde sig kritisk til en models mu-ligheder og begrænsninger er en central kompetence i mange fag – ikke mindst i matematik og de naturvidenskabelige fag . Dette fælles fokus på modellerings-kompetencen betød, at vi kunne følge en fælles tilgang og udveksle erfaringer på tværs af fag og faglige emner .

I planlægningen af forløbene tog vi ud-gangspunkt i CMC–tilgangen (Figur 1), som er udviklet af medarbejdere ved Center for Computational Thinking og Design ved Aarhus Universitet (Musaeus 2019). Her kombineres fagligt indhold (content) med modellering (modeling) og kodearbejde (coding). Et undervis-ningsforløb kan typisk se ud som følger:

Læreren vælger et centralt fagligt fæno-men og finder eller udvikler en simpel computermodel over fænomenet, som udleveres til eleverne . Det forudsættes ikke, at eleverne på forhånd kender til computerkode . De starter ”forudsætnings-løst” ved at lære at bruge computermo-dellen gennem dens interface . Derefter får de adgang til den bagvedliggende ko-de . Vi har anvendt programmeringsmil-jøet NetLogo, der er udviklet til under-visningsbrug (se boksen nedenfor). Det er forholdsvis let for eleverne at lære at læse koden og trække mening ud af den, hvorefter de kan gå i gang med selv at ændre, tilrette eller forbedre modellen ved at ændre i koden ud fra egne faglige

overvejelser . NetLogo ligner andre pro-grammeringssprog tilpas meget til, at dét eleverne lærer i NetLogo (fx mht . et programs opbygning, programstrukturer, kodesyntaks og algoritmer) kan overfø-res til andre programmeringssprog . Dette indblik i koden bag computermodellen, som eleverne får ved at arbejde direkte med koden, bruges som et afsæt til en faglig vurdering og diskussion af model-lens styrker og begrænsninger .

Figur 1Ved CMC–tilgangen kombineres faglig vi-den (Content) med modellering (Modeling) og programmering (Coding).

Fordelen ved CMC–tilgangen er, at fa-get gør arbejdet med CT relevant og me-ningsfyldt for eleverne, mens CT–kom-petencerne muliggør at arbejde med fa-get på en anderledes måde og undersøge komplekse sammenhænge, problemstil-linger og fænomener, som eleverne ik-ke normalt har mulighed for at arbejde i dybden med (fx på grund af svær ma-tematik). Desuden bliver det muligt for eleverne at arbejde aktivt og konstruktivt med modellering, så de får en tydeligere opfattelse af, hvorfor modeller er så vig-tige i forbindelse med at forstå og beskri-ve faglige fænomener . Der arbejdes alt-så med alle delene i Figur 1 sideløbende, således at de forskellige dele integreres og understøtter hinanden undervejs . Det står i kontrast til den tilgang, som vi selv har mødt i vores egne universitetsstudi-er, hvor programmering blev inddraget som et selvstændigt kursus, som var af-

Computational thinking i gymnasiefag

Jonas Ørbæk Hansen, Silkeborg Gymnasium og Center for Computational Thinking og Design (CCTD), Aarhus Universitet, Frode Peulicke, Gefion Gymnasium, Allan Jensen, Silkeborg Gymnasium, Solveig Skadhauge, Nærum Gymnasium

1) Center for Computational Thinking og Design, Aarhus Universitet, cctd .au .dk2) Støttet af Villum Fonden .

Mat

emat

ik

LMFK-bladet 1/2020 11

TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

koblet fra resten af indholdet på studiet, og som det kunne være svært at se rele-vansen af i den givne situation .

Vi har i udviklingen af forløbene tilstræbt at følge nogle generelle designprincipper . De vigtigste er ridset op her:

• Fagligt enkle modeller: Computer-modellerne skal være enkle . Det bety-der ofte, at de kun omfatter et enkelt eller få aspekter ved det modellerede fænomen . Det gør det muligt at holde koden kort og lettilgængelig . De fag-ligt enkle modeller og den lettilgæn-gelige kode er en forudsætning for, at eleverne kan finde ud af, hvordan de enkelte dele af koden styrer model-lens opførsel . De fagligt enkle model-ler har desuden den fordel, at eleverne selv kan indse, at der er truffet nogle valg om forsimpling i forbindelse med modellen . Det kan give anledning til

en sund faglig diskussion i klassen om modellens begrænsninger . En diskus-sion der naturligt kan munde ud i den vigtige pointe, at den slags valg træf-fes i forbindelse med al modellering – men at det kan være svært at gennem-skue, eller man glemmer at tænke på det . I mange tilfælde vil det være mu-ligt for eleverne efterfølgende at for-bedre modellen i forhold til diskussi-onen af dens begrænsninger . Det har stor betydning for elevernes motivati-on, at de føler, at de ændringer, de laver i koden, fører til reelle forbedringer af modellen . Det giver dem en stor følel-se af ejerskab over modellen . Således bliver det, der set med faglige øjne i første omgang kan være problematisk ved en model – at den er overdrevent forenklet – pædagogisk set en styrke, der ikke spænder ben for den faglige læring – tværtimod .

• Use–modify–create: Undervisnings-aktiviteterne følger progressionen vist i Figur 2 . Eleverne starter med at bruge en udleveret computermodel gennem dens interface (use) – fx ved at under-søge hvordan forskellige startparame-tre har indflydelse på modellens opfør-sel . Derefter får de adgang til den bag-vedliggende kode . De første ændringer i koden (modify) er simple ændringer, typisk nogle der ændrer den visuelle repræsentation af fænomenet . Det er kommet som en positiv overraskelse for mange af os, hvor stor en effekt det kan have på eleverne, når de laver selv simple ændringer i koden, så en del af modellen ændrer udseende . Der er ofte stor tilfredshed og begejstring at spore, og denne indledende mestrings-oplevelse er et vigtigt trinbræt for de næste, mere krævende kodeaktiviteter . Gradvist bliver kodeaktiviteterne me-re omfattende . De kræver, at eleverne

Computermodellerne i forløbene er udviklet i programme-ringsmiljøet NetLogo (Tisue 2004). NetLogo er velegnet til CMC–tilgangen, hvor modellering og kodearbejde spiller en central rolle . NetLogo er et tekstbaseret programmerings-sprog, der er designet, så det er forholdsvist simpelt og let at gå til for både elever og lærere – også uden forudgående kendskab til programmering . Syntaksen er relativ let at for-stå, og det kræver en minimal mængde kode at lave grafer og animationer . NetLogo egner sig især godt til at modelle-re fænomener, der udvikler sig over tid .

Netlogo er agentbaseret, hvilket vil sige, at programmerin-gen af en computermodel tager udgangspunkt i de enkelte ”agenter” i modellen (det kan være atomkerner, kanonkug-ler, fugle, molekyler, etc.). Det centrale i programmeringen består i at definere agenterne og udstyre dem med de rette ”egenskaber” (fx udseende, position, retning og fart) og ”ad-færd” (fx bevægelse, frastødning/tiltrækning, kemisk reak-tion, henfald, etc.). Agenternes egenskaber og adfærd defi-nerer, hvordan de ser ud og opfører sig, samt hvordan de in-teragerer med hinanden og deres omgivelser .

Med agentbaseret modellering kan store, komplekse fænome-ner reduceres til et spørgsmål om, hvordan de enkelte agenter agerer i bestemte situationer . Det gør arbejdet med og pro-grammeringen af modeller meget intuitivt og let at gå til for eleverne og giver eleverne mulighed for at arbejde med re-lativt komplekse fænomener, som ellers ville være vanske-lige at behandle i undervisningen .

NetLogo er dermed et ideelt værktøj til at arbejde med mo-dellering og til at undersøge, hvilke interessante makrosko-piske fænomener der opstår ud fra agenternes mikroskopi-ske adfærd (CCTD 2018), og dermed belyse sammenhængen mellem mikroskopiske og makroskopiske modeller (emer-gerende fænomener).

NetLogo kan installeres fra ccl.northwestern.edu/netlogo . Når du åbner NetLogo, kan du under File og Models Library fin-de et bibliotek af modeller til forskellige fag . De NetLogo–modeller, der omtales i artiklerne i dette blad, kan findes på library.ct-denmark.org/lmfk . Her ligger også de anvendte un-dervisningsmaterialer. Endnu flere færdige forløb udviklet af danske gymnasielærere kan findes på library .ct-denmark .org .

NetLogo og agentbaseret modellering (ABM)

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

Computermodeller har afgørende betydning for, hvordan beslutninger tages i vores samfund. Vores sund-hed, sociale relationer, adgang til nyheder, politiske beslutninger, m.m. påvirkes af de resultater, som com-putermodeller spytter ud.

Vi har her præsenteret, hvordan vi med udgangspunkt i CMC–tilgangen har ar-bejdet med at integrere CT i den faglige undervisning i gymnasiet . Det centrale har været, at det skal gøres på en måde, så det giver fagligt mening . At elever-ne træner væsentlige CT–kompetencer, samtidig med at de styrker deres faglige læring. Udgangspunktet i faglig model-lering har vist sig at være et godt funda-ment for at arbejde med at udvikle ele-vernes CT–kompetencer, og for at give dem en forståelse af computermodellers rolle og enorme betydning både for fa-get og for samfundet . I artikler her i bla-det gives nogle konkrete bud på, hvordan det kan gøres, og hvad eleverne får ud af det – både fagfagligt og CT–fagligt .

De NetLogo–modeller, der omtales i artiklerne i dette blad, kan findes på library.ct-denmark.org/lmfk . Her lig-ger også de anvendte undervisnings-materialer. Endnu flere færdige forløb udviklet af danske gymnasielærere kan findes på library .ct-denmark .org .

Kan man som lærer anvende NetLogo i undervisningen, hvis man ikke i forvejen

forholder sig til selve modelleringen af fænomenet, fx agenternes egenska-ber og adfærd (se boksen nedenfor) og hvordan de hænger sammen med mo-dellens opførsel . I løbet af modify–fa-sen ser vi ofte, at computermodellen i elevernes bevidsthed går fra at væ-re noget, andre har lavet (not–mine), til at være noget, de føler ejerskab for (mine) – nogle elever føler nærmest, at de har lavet hele modellen selv . Det er sjældent, at eleverne når til at lave en computermodel selv (create). Men det er som regel inden for rækkevidde at snakke med eleverne om, at det, som de nu har lært om modeller og model-lering, kan generaliseres . Meget af det, de har lært, gælder for al modellering, også i andre fag og på andre områder .

Faglig og almen dannelseFordi computermodellering er så vigtig en metode for den forskningsmæssige ud-vikling i fagene, er det en forudsætning for elevernes faglige dannelse, at de op-når en basal forståelse for, hvad compu-termodeller er, og hvordan de benyttes i moderne naturvidenskab .

Det er vigtigt, at eleverne bliver bevidste om, at computermodeller er tilnærmelser af virkeligheden og bliver klædt på til at kunne vurdere en computermodels mu-ligheder og begrænsninger og reflektere over de antagelser, forsimplinger, valg og fravalg, der er gjort i modelleringen af fænomenet – om en model er ”god” afhænger udelukkende af, hvad man an-vender den til . Skal eleverne kunne dette, er det nødvendigt med et grundlæggende

kendskab til programmering og en for-ståelse for algoritmer, og de skal arbej-de med computermodeller, hvor de har adgang til koden bag computermodellen (ikke tilfældet for de fleste online simu-leringsværktøjer).

Det er vores overbevisning, at aktivi-teterne i de beskrevne forløb er med til at styrke elevernes faglige dannelse og studieforberedende kompetencer . Men der er også et almendannede perspektiv i aktiviteterne:Det er ikke kun i de naturvidenskabelige og matematiske fag, at computermodeller spiller en stor rolle . Computermodeller har afgørende betydning for, hvordan beslutninger tages i vores samfund . Der er en pointe i at gøre eleverne opmærk-somme på dette og præsentere dem for eksempler på, hvor og hvordan compu-termodeller bliver anvendt i samfundet – fx økonomiske modeller som DREAM og ADAM, klima– og vejrmodeller, styr-keberegningsmodeller til byggekonstruk-tioner eller modeller anvendt i sundheds-væsenet . Som i faget har det afgørende betydning for computermodellens resul-tater, hvad man valgt at tage med i com-putermodellen, og hvad man har valgt at udelade .

De CT–kompetencer, som eleverne (for-håbentligt) udvikler, vil være med til at øge deres mulighed for at kunne forstå og forholde sig vurderende og kritisk til – samt medvirke til at forme – den digi-taliserede virkelighed, som de er en del af – både fagligt og alment .

Figur 2Illustration af use–modefy–create–tilgan-gen (inspireret af Lee 2011). Nederst i fi-guren er angivet, hvordan elevernes følelse af ejerskab for computermodellen ændres undervejs i læringsaktiviteterne.

UMC (Use, Modify, Create)

USE MODIFY CREATE

TestAnalyseRefine…

”Not mine” ”Mine” ”Mine”

AUCCTD

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

Computational thinking (CT) Begrebet computational thinking (CT) stammer fra Seymour Papert, der anvendte begrebet første gang i 1980 (Papert 1980, Papert 1996). Papert beskriver CT som:

Computational Thinking is the use of programming – as an extension of our mind – to experience and understand the world, to manipulate the world, and to create things that matter to us.

Papert ser altså CT som de kompetencer, der skal sætte os i stand til at bruge en computer til at tænke, lære og skabe med . Han ser CT som en ny erkendelses– og udtryksform, en udvidelses af vores mentale evner .

I 2006 relancerede Jeannette M . Wing begrebet (Wing 2006, Wing 2014), og det er siden da blevet udbredt, ikke mindst i undervisningssystemet verden over (Caspersen 2017, Caspersen 2018). Wing definerer CT som:

Computational thinking is the thought processes involved in formulating a problem and expressing its solution(s) in such a way that a computer can carry it out.

Det er to forskellige vinkler, der komplementerer hinanden . Wing m.fl. argumenterer for, at CT dækker over nogle al-mene basiskompetencer, som alle – børn som voksne – bør tilegne sig fra barnsben (Wing 2006, Wing 2014, Caspersen 2017, Caspersen 2018, Google 2018). Der er forskellige bud på, hvad disse almene kompetencer/tankeprocesser dækker over, men disse går igen mange steder:

• Nedbrydning: Nedbryde data, processer eller problemer i mindre, håndterbare dele .

• Mønstre og generaliseringer: Finde mønstre, tendenser og regelmæssigheder i data .

• Abstraktion: Identificere de generelle principper, der ge-nererer disse mønstre . Kunne oversætte mellem forskelli-ge repræsentationsformer .

• Algoritmisk tænkning: Udvikle trin–for–trin instruktio-ner til at løse dette og lignende problemer .

• Evaluering: Teste, analysere, vurdere og forbedre sit pro-dukt løbende .

Hertil kunne man tilføje evnen til at beskrive problemer og problemløsningsstrategier meget præcist, detaljeret og struk-tureret . Computational thinking er således andet og mere end blot programmering. Begrebet dækker over en bred vifte af kom-petencer, der gør os i stand til at løse problemer . Michael E . Caspersen beskriver det som (Caspersen 2017):

”… evnen til at repræsentere, analysere, bearbejde og præ-sentere data og dataprocesser gennem passende abstraktio-ner i modeller og simuleringer, samt automatiseret problem-løsning gennem algoritmisk tænkning.”

Computational thinking skal altså forstås som en arbejdsform og en tænkeform, som kan indgå i alle fag og ikke kun i de matematiske og naturvidenskabelige . Computational thin-king handler ikke om at lære elever at programmere for pro-grammeringens skyld, men at eleverne – gennem det at lære at programmere – udvikler deres problemløsende kompeten-cer og abstrakte tænkning og lærer at se på problemer, emner og verden på en ny måde (Petropouleas 2018).

Figur 3Computational thinking dækker over nogle almene basiskompe-tencer, som kan hjælpe eleverne til at løse problemer på tværs af fag og discipliner.

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

har erfaring med programmering? Ja, det kan man godt, især hvis man benytter el-ler tager udgangspunkt i de færdige for-løb, der allerede er udviklet til gymna-siebrug . NetLogo har en relativ lav ind-læringstærskel . Vores kollegaer har ved flere lejligheder anvendt vores forløb i deres egen undervisning .

Interesseret i at lære mere om CT i gymnasiefag?I skoleåret 2020/21 tilbyder DASG i samarbejde med CCTD igen kurset Computational Thinking i Matematik og Naturfag, som vi var på i 2018/19 – her vil NetLogo blive introduceret sammen den didaktik, som ligger til grund for de omtalte forløb . Du kan læse kursusbeskrivelsen her: science-gym.dk/kurser/20202021/ct3.htm. Deadline for tilmelding er midt i marts .

Du kan læse mere om CT i gymnasieun-dervisningen i udgivelserne Computa-tional Thinking – hvorfor, hvad og hvor-dan? (Caspersen 2018) og Didaktik for Computational Thinking i Gymnasie-fag (Nielsen, 2020). Sidstnæsnte er et didaktikhæfte for CT–i–fag rettet mod gymnasiet .

Vi vil afslutningsvis henlede opmærk-somheden på et tilsvarende projekt i fa-gene samfundsfag, historie, musik, en-gelsk og dansk (MCTiG 2019).

Litteraturliste:Caspersen, Michael E. (2017): ”Compu-tational thinking”, in: Dolin, Jens (red.) m.fl. (2017): Gymnasiepædagogik – En grundbog, Hans Reitzels Forlag, 3 . udg ., s . 470 – 478 . Caspersen, Michael E. m.fl. (2018): Com-putational Thinking – hvorfor, hvad og hvordan? Link: it-vest.dk/fileadmin/user_upload/pdf/2018-12-18--Compu-tational-Thinking--hvorfor-hvad-og-hvordan--PRINT-2-sided .pdf .

CCTD (Center for Computational Thin-king and Design), Aarhus Universitet (2018): CT I Gymnasiefag (afsluttende rapport) . Link: cctd.au.dk/fileadmin/user_upload/CT_i_Gymnasiefag-afslutnings-rapport-ur .pdf .

CTiMNAT (2019): Projektet Computa-tional thinking i matematik og naturfag. Link: cctd.au.dk/projects/ctimnat-com-putational-thinking-in-math-and-science

Google (2018): Computational Thinking for Educators . Link: computationalthin-kingcourse.withgoogle.com/course .

Lee, Irene m.fl. (2011): “Computatio-nal Thinking for Youth in Practice”, in: ACM In–roads, Vol . 2, No . 1, s . 32 – 37 .

MCTiG (2019): Projektet Modellering og computational thinking i gymnasie-fag. Link: cctd.au.dk/projects/mctig-computational-thinking-in-humanities-arts-and-social-sciences

Musaeus, Line H . og Musaeus, Peter (2019): “Computational Thinking in the

Danish High School: Learning Coding, Modeling, and Content Knowledge with NetLogo”, in: SIGCSE '19: Proceedings of the 50th ACM Technical Symposium on Computer Science Education, s . 913 – 919 .

Nielsen, Keld m.fl. (2020): Didaktik for Computational Thinking i Gymnasiefag (udgives i april og kommer til at ligge sammen med de andre online materialer).

Papert, Seymour (1980): Mindstorms: Children, computers, and powerful ide-as, Basic Books.

Papert, Seymour (1996): “An explorati-on in the space of mathematics educati-ons”, in International Journal of Com-puters for Mathematical Learning, Vol . 1, No . 1, s . 138 – 142 . Link: papert.org/articles/AnExplorationintheSpaceofMa-thematicsEducations .html .

Petropouleas, Eva (2018): Computatio-nal Thinking . Link: mv-nordic.com/dk/bloggen/artikel/computational-thinking .

Tisue, Seth og Wilensky, Uri (2004): “Net-logo: A simple environment for modeling complexity”, in: International conference on complex systems, Vol . 21, s . 16 – 21 .

Wing, Jeannette M. (2006): “Compu-tational thinking”, in: Communications of the ACM, Vol . 49, No . 3, s . 33 – 35 .

Wing, Jeannette M. (2014): ”Computa-tional Thinking Benefits Society”, in: So-cial Issues in Computing (2014). Link: http://socialissues.cs.toronto.edu/index.html%3Fp=279.html .

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

Denne artikel er én af fem artikler i dette nummer, der behandler emnet Computational Thinking (CT) i gymna-siefag . Denne artikel viser et eksempel på, hvordan CT kan inddrages i matema-tikfaget, sådan at eleverne får en dybe-re forståelse i faget, en forståelse som er svær at opnå på anden måde, samtidigt med at de lærer noget om programmering .

I starten af 1g, typisk efter valg af stu-dieretning, skal eleverne forholde sig til absolut og relativ vækst . En vækst im-plicerer en tidsafhængighed, men i mate-matikundervisningen viser vi den aldrig . Normalt ser eleven bare en færdig graf, ikke hvordan den udvikler sig, når man tegner den fra et startpunkt . Eksemplet i denne tekst viser, hvordan man ser væk-sten fremkomme, mens tiden går . Det er min oplevelse, at elevernes forståelse af væksttyperne kan styrkes ved at lade ele-verne arbejde direkte med koden i com-putermodellen, som illustreret i eksem-plet nedenfor . Ved at arbejde med koden bliver det klart for dem, præcis hvad det er, der giver den enkelte type af vækst…

… og som bonus får de basalt kodekend-skab og lærer, hvordan kode kan styre en models egenskaber .

Eksemplet her i artiklen kan afvikles på cirka 45 minutter .

UndervisningsaktiviteterneEleverne får udleveret en NetLogo–fil, som de åbner i programmeringsmiljø-et NetLogo (se side 11). Figur 1 viser det interface, som eleverne møder, når NetLogo–filen åbnes. Når der trykkes på Setup og Go, ses en ret linje kravle langsomt frem over skærmen .

Efter at have afprøvet knapperne og er-faret hvad programmet gør, vælger ele-verne fanebladet Code . Her ser de den computerkode, der styrer modellens op-førsel, se Figur 2 . I den første opgave skal eleverne finde linjen i koden, hvor hældningen af gra-

Computational thinking i matematik – vækstegenskaber

Frode Peulicke, Gefion Gymnasium

Figur 1Computermodellen i NetLogo viser en ret linje med hældningen 1, der er ved at blive tegnet fra nederste venstre hjørne til øver-ste højre hjørne.

Figur 2Computermodellens kode. Proceduren go køres i ring, når man trykker på knappen ”Go” i fanebladet Interface.

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

fen er bestemt og ændre den fra 1 til 2 . Det resulterer i glade grynt og tilfredse miner, når det lykkes, og det er ikke ba-re nemt, for der er to mulige linjer, med hver sit krav til ændring. De fleste ele-ver retter linjen, hvor y tælles op . Nok fordi de kender standardformuleringen ”når man går 1 ud ad x–aksen, går man hældningstallet op ad y–aksen”, som er meget eksplicit programmeret i al-goritmen .

Bagefter bliver de bedt om at ændre dx (dvs . 1–tallet i linjen der starter med let x) i modellen og forklare, hvorfor dette og-så ændrer på linjens hældning .

Disse to aktiviteter kan eleverne fint la-ve uden forudgående kendskab til pro-grammering eller kodning . NetLogo er lavet, så det er næsten lige så nemt at læse og forstå koden, som det er at læ-se og forstå engelsk . Alligevel ligner NetLogo andre programmeringssprog tilpas meget til, at dét eleverne lærer (fx mht . programstrukturer, kodesyntaks og algoritmer) kan overføres til andre pro-grammeringssprog .

I den næste opgave skal eleverne under-søge relativ (dvs. eksponentiel) vækst. Eleverne får til opgave at ændre linjen, hvor hældningen er bestemt, så grafen bliver en eksponentiel vækst (i arbejds-arket foreslås en fremskrivningsfaktor på 1,015, men eleverne opfordres til at prøve sig frem med forskellige værdier og se, hvordan det påvirker resultatet, når modellen køres).

Denne aktivitet kræver, at eleverne tæn-ker over, hvad eksponentiel vækst er, og hvordan y–koordinaten skal ændre sig, når x–koordinaten ændrer sig . Deres faglige viden skal oversættes til kode og sam-menholdes med den resulterende kurve . Dette giver tilsyneladende eleverne en dybere forståelse af fænomenet .

For at løse opgaven skal linje 17 af ko-den laves om fra let y ycor + 1 til let y ycor * 1.015 .

Skærmen i interfacet ved næste kørsel ser nu ud, som vist i Figur 3 .

Figur 3En eksponentiel vækst med fremskrivnings-faktor 1,015.

Igen tilfredse udbrud blandt eleverne . Det giver en større tilfredsstillelse for elever-ne at opnå disse ændringer ved reelt at ændre i koden end ved blot at ændre på en indstilling i interface . Det er i hvert fald mit indtryk, når jeg ser fistbumps og highfives i klasseværelset.

I den sidste opgave skal eleverne lave om på computermodellen, så den viser mange eksponentielle vækstkurver på samme tid (med samme fremskrivningsfaktor, men

forskellige startværdier). I NetLogo, der er agentbaseret (se side 11), er det rela-tivt nemt at omskrive koden, så der op-står mange turtles i stedet for kun én .

Da alle turtles har den samme adfærd (den relative vækst, der defineres i lin-je 15 – 20 af koden), har alle vækstkur-verne den samme fremskrivningsfaktor . Eleverne får hjælp til at danne de man-ge turtles og får at vide, at de skal æn-dre koden fra [pxcor = 1 and pycor = 1] til [pxcor = 1 and (pycor mod 10) = 1] . Læg mærke til, at koden kun udvides med ni tegn inkl . mellemrum for at lave hele ændringen .

Koden er vist i Figur 4 . Ved kørsel af programmet ser skærmen i interfacet ud, som vist i Figur 5 .

Der er stor forskel på før og efter ændrin-gen . Eleverne spørger, hvad mod gør, og så får de kort præsenteret modulo og heltalsdivision også (på et A–niveau, el-lers ville jeg nok bare sige, at den vælger hver tiende koordinat).

Kurverne har altså den samme frem-skrivningsfaktor, men ser forskellige ud . Eleverne skal forklare hvorfor .

Modellens interface og kodeDet sorte vindue på fanebladet Interface er skærmen, hvor alt tegnes .

Skærmen er opbygget af patches, som svarer til billedpunkter (pixels). Ved at højreklikke på skærmen, kan man indstille antallet og størrelsen af disse, så skærmen får tilpas mange patches til det problem, man gerne vil arbejde med . I eksemplet har skærmen 400 patches på hver led .

Ved at anvende kommandoen sprout, kan der dannes en turtle på en bestemt patch på skærmen . En turtle svarer til en gammeldags sprite (for dem, der kan huske Commodore 64). Den har en form, en farve, en størrelse og et koordi-natsæt. En turtle kan bevæge sig rundt på skærmen. Det kan gøres på flere må-der, blandt andet ved at lave om på dens x– og y–koordinater . Det sker i dette eksempel, hvor en turtle bevæger sig i en ret linje og trækker et spor efter sig (de patches, hvor den har været, bliver hvide).

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

Jeg har afprøvet dette forløb på to klas-ser (andre lærere har også afprøvet det på deres egne klasser) og det fører til til-fredshed og for langt de flestes vedkom-mende også en væsentlig dybere forståel-se for begrebet fremskrivningsfaktor end 45 minutter tidligere . Klasserne kan sag-tens bruge mere end 45 minutter, hvis de får lov . Så begynder de at lege med pro-grammet og ændre farve, form og stør-relse på den turtle, der tegner kurven .

Hvad fik eleverne ud af det?Der er generelt stor tilfredshed blandt ele-verne, når de oplever, at deres ændringer i koden virker og fører til de forventede ændringer, når computermodellen køres . Jeg ser det som en måde at øge elevernes motivation for faget (i det mindste i den lektion aktiviteten finder sted).

Ud over den dybere faglige forståelse oplever eleverne et break i den normale undervisning. De fleste oplever øvelsen som morsom og inspirerende .

Det er en bagtanke, men for mit vedkom-mende ikke stillet op som succeskriterie, at eleverne også lærer lidt om program-mering og udvikler CT–kompetencer un-dervejs. Selvom de fleste ikke direkte læ-rer at kode, lærer de i det mindste, at det ikke er farligt at forholde sig til og æn-dre i kode, de aldrig har set før . De får en oplevelse af, at dét, der står i koden, har betydning for hvordan programmet opfører sig og får et første kendskab til almindelige programstrukturer som ini-tiering, løkker, if–sætninger og den algo-ritmiske opbygning af programmet (at et program består af en række konkrete in-strukser til, hvad der skal ske). Som ud-gangspunkt får de ikke meget forklaret, men når de spørger, og det gør de, får de forklaringer til kommandoer og strukturer .Dette er et eksempel på hvordan CT kan inddrages meningsfuldt i matematikun-dervisningen . Jeg bruger regelmæssigt lignende CT–aktiviteter i min undervis-ning. Der kan findes flere forløb og un-dervisningsmaterialer på library .ct-den-mark .org .

Materialer og videre arbejdeMaterialerne og NetLogo–modellerne kan også findes på library .ct-denmark .org/lmfk . Her ligger også materialer-ne til et udvidet modelleringseksempel, hvor eleverne selv indfører knapper i in-terfacet, sådan at væksttypen kan vælges med en drop–down–menu og vækstha-stigheden og fremskrivningsfaktoren kan vælges med skydere . Det giver eleverne mulighed for at skifte mellem absolut og relativ vækst i realtid (mens programmet kører) og umiddelbart se konsekvensen, hvilket man aldrig kan gøre, hvis man kun sidder med en funktion uden nogen form for tidsfaktor .

I Figur 6 ses en kørsel med sådan et ek-sempel .

Et helt andet eksempel på, hvordan man kan arbejde med vækst i matematik kan findes i Eva Danielsens model med fisk library.ct-denmark.org/fang-to-punkter .

Figur 4Koden er nu ændret, så den laver en stribe af turtles i stedet for blot en enkelt.

Figur 5Mange eksponentielle vækstkurver med samme fremskrivningsfaktor, men forskel-lig startværdi.

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

Figur 6Skiftevis relativ og absolut vækst i sam-me kørsel. I det viste interface er der ikke mulighed for at vælge væksthastighed og fremskrivningsfaktor.

Forfatterens erfaringer med CTJeg har gennem årene flere gange prøvet at introducere CT–øvelser i fysik og matematik, men det er desværre al-tid faldet til jorden . Jeg har brugt masser af tid på projek-ter, som i sidste ende ikke førte til dybere faglig forståel-se hos eleverne .

Med projektet i Computational Thinking i Matematik og Naturfag og udviklingsværktøjet NetLogo er det første gang, det rent faktisk er lykkedes for mig. Det er der flere grunde til, som jeg ser det .

• NetLogo–sproget er så let at forstå og så kortfattet, at selv elever helt uden programmeringserfaring kan forstå det og rette i koden (hvis koden holdes tilpas kort og letlæselig).

• Fokus ligger ikke på koden, men på fagligheden . Eleverne opnår virkelig den dybere forståelse i fagligheden, jeg

har søgt tidligere, uden at de oplever, at de skal lære at programmere for programmeringens skyld . Alt hvad de laver, gør de for fagets skyld . Det kodekendskab, de får med, er ren bonus . En bonus, som de får brug for og stor glæde af i deres videre studier og i livet .

• Fordi NetLogo er agentbaseret kan det simulere rigtigt mange naturvidenskabelige fænomener på en klar og kortfattet måde .

• NetLogo er så nemt at håndtere, at jeg lige (!) kan skrive et program sammen til undervisningen… hvis jeg har en god ide . Men så har jeg også programmeringserfaring fra tidligere . Vi NetLogo–brugere gør os umage for at dele det hele og opbygge et stort bibliotek, så vi ikke skal op-finde den dybe tallerken hver gang.

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

Denne artikel er én af fem artikler i det-te nummer, der behandler emnet com-putational thinking (CT) i gymnasiefag. Artiklen viser et eksempel på, hvordan CT (se boks side 13) kan inddrages i NV i et konkret forløb omkring klima . Undervisningsforløbet blev udviklet under DASG–kurset ”Computational Thinking i Matematik og Naturfag” i 2018 i sam-arbejde med min kollega Rune Klarskov Jensen, og er beregnet til at kunne afvikles på et enkelt modul af 100 min varighed .

Materialet er blevet afprøvet på Nærum Gymnasium de sidste par år på mere end 15 NV–hold . Der er derfor mange erfa-ringer med forløbet, og generelt har ele-verne være glade for det . Jeg oplever at denne anderledes tilgang, hvor elever-ne ikke blot bruger en simulering, men faktisk ændrer på selve koden, hjælper væsentligt på elevernes faglige udbyt-te . Derudover får eleverne udviklet ba-sale CT–kompetencer, som kan komme dem til gode senere i studiet og i livet . Materialerne anvendt i forløbet kan fin-des på library.ct-denmark.org/lmfk .

Strålingsbalancen og klimaforandrin-ger med simuleringer i NetLogo Det overordnede faglige mål med denne aktivitet er at forstå Jordens strålingsba-lance samt hvordan Jordens albedo, driv-husgasser og skyer påvirker Jordens gen-nemsnitstemperatur . Der anvendes en me-get forsimplet klimamodel kaldet Climate Change, som er lavet i programmerings-miljøet NetLogo (se side 11) og findes i det standardbiblio tek, som kommer med ved installering af NetLogo . I det uploa-dede materiale har vi lavet en dansk ver-sion, således at fanen med ”info” og fle-re af kommentarerne er på dansk . Det kan understøtte elevernes indlæring, at der ikke også er problemer med at for-stå sproget .

I selve forløbet starter eleverne ud med at se på computermodellen albedo.nlo-go . Programmet har jeg selv skrevet og gjort det, så den ligner den del af Climate Change, som modellerer albedoeffekten. I

simuleringen rammer solstråler (eller fo-toner) jordoverfladen i bunder af 10 og i gennemsnit reflekteres 70 % og 30 % absorberes (se Figur 2). Jordens overfla-de er med vilje farvet hvidt, hvilken jo ikke stemmer med en albedo på 70 %. Designet af computermodellen stemmer overens med ”gaffatape–princippet”, som vi har døbt princippet om, at lave grimme og simple modeller . Til forskel fra mange online simuleringsværktøjer, som med tiden har fået et næsten perfekt udseende og design, stræber vi ofte ef-ter at lave modeller med nogle åbenly-se mangler – det kan være visuelt eller i måden fænomenet er modelleret på . Så får eleverne med det samme lyst til at forbedre dem .

I det tilhørende arbejdsark, bedes elever-ne om at ændre farven på jordoverfladen, så den passer med den valgte albedovær-di på 70 %. De fleste elever identificerer uden problemer, hvor farverne defineres i programmet . Dernæst skal de ændre på albedoværdien . Det, at eleverne konkret skal finde steder i koden, der gør bestem-te ting, gør, at de begynder at danne for-bindelser mellem koden og det, de ser i simuleringen . Det giver dem et meget konkret indblik i, at der faktisk ligger en

Computational thinking i naturvidenskabelig grundforløb

SOLVEIG SKADHAUGE, Nærum Gymnasium

Figur 1Et billede fra NetLogo–modellen”albedo.nlogo“.

model bag ved simuleringen og et indblik i programmering . Fagligt giver det også et udbytte, da det er en anderledes måde at forstå begrebet albedo på . Eleverne kan se i koden, at der for hver foton/sol-stråle er en vis sandsynlighed for, at den bliver reflekteret. Denne indsigt giver en dybere faglig forståelse af fænomenet .

Efter at eleverne har arbejdet med al-bedomodellen, kan man vælge enten at lade dem se på endnu et delelement af Climate Change (fx den del, som model-lerer, hvad der sker, når IR–stråler ram-mer et C02–molekyle), eller man kan gå direkte videre til den fulde computermo-del . I det følgende vil jeg beskrive sidst-nævnte mulighed .

”Verden” i programmet Climate Change består af tre dele; jordlaget, atmosfæ-ren og det ydre rum. Lyset findes kun i to bølgelængder kaldet langbølget (IR) og kortbølget (sollys) stråling, og illu-streres ved henholdsvis røde og gule pi-le (se Figur 2).

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

Varme i jordoverfladen illustreres med røde prikker (”varmepartikler”), og an-tallet af disse anvendes som et forenklet mål for Jordens temperatur . Jordens in-frarøde udstråling stiger i takt med antal-let af varmepartikler (en lidt grov måde at tilnærme varmestråling). Derudover kan man tilføje C02 og skyer i atmosfæ-ren samt ændre på Solens strålingsinten-sitet og jordoverfladens albedo. Der er altså i alt fire variabler, som kan ændres i interface–fanen .

For at kunne simulere energistrømninger (og derved bestemme ligevægtstempera-turen), skal de enkelte vekselvirkninger, som kan transportere energi fra ét område til et andet, modelleres og programmeres . Hver af disse implementeres i underpro-cedurer med navne som to–encounter–earth, create–sunshine, run–CO2 osv .

Det kan lyde som en meget kompliceret model, men intet af det, der er beskrevet her, forklares for eleverne . De kastes helt enkelt ud i det ved, at de åbner computer-modellen i NetLogo og kører simulerin-gen . Eleverne erhverver sig igennem de udarbejdede spørgsmål viden om begrebet

variabelkontrol . Det er meget let i denne simulering (og simuleringer generelt) at indsamle mange data, hvor der ændres på flere forskellige variable. Pointen ved at gøre det på en velstruktureret måde, via varaibelkontrol, illustreres derfor hurtigt . Fx kan man i løbet af ca . 5 min indsamle temperaturdata fra 10 forskellige albedo-værdier . Albedoværdien ændres gradvist vha . en skyder på interface, og når der er opnået termisk ligevægt, aflæses tempe-raturen – se Figur 3, der viser outputtet fra en sådan kørsel .

Den fagligt centrale pointe, der arbejdes med, er at forstå, at der efter et stykke tid, ved fastholdelse af variablerne, altid vil opstå en stabil temperatur . Dette er es-sensen i Jordens strålingsbalance . Hvis der er større indstråling end udstråling på Jorden vil temperaturen stige . Når tem-peraturen stiger, vil Jorden udsende me-re infrarød stråling, og udstrålingen vil derfor forhøjes indtil en balance opstår . Denne mekanisme bag ved Jordens strå-lingsbalance skal eleverne kunne rede-gøre for, og simuleringerne understøtter her forståelsen af mekanismen . Eleverne vil lægge mærke til, at den ”stabile” tem-peratur varierer en lille smule .

En central CT–kompetence er evnen til at dele et problem op i mindre bestand-dele, som kan løses hver for sig, og til-sammen løse selve problemet . Denne kompetence omtales som nedbrydnings-kompetencen i artiklen ”Computational thinking i gymnasiefag” i dette blad (se side 10). På trods af at eleverne ikke selv-

Figur 3Output fra modellen Climate Change ef-ter at have formindsket albedoen i trin på 0.25 fra 1 til 0.

Figur 2Her ses interfacet af den anvendte NetLogo–model Climate Change.

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

stændigt arbejder med at foretage denne opdeling, så får de en god indsigt i me-toden . De ser et konkret eksempel på al-goritmen bag et element i energistrøm-ningen (her hvordan energien fra solstrå-ler kan sendes tilbage til atmosfæren el-ler bliver absorberet i jordlaget, når de rammer jordoverfladen), og at man så kan sætte den sammen med andre algo-ritmer således, at Jordens totale energi-regnskab kan simuleres .

Efterfølgende skal eleverne arbejde med kodedelen af Climate Change . For at starte et sted, skal de – ligesom de gjorde med modellen albedo – starte med at ændre former og farver i modellen . En stor kre-ativitet udfolder sig, og lyserøde biler eller grønne får, der bevæger sig rundt i atmosfæren, er ikke unormale udfald af sådanne øvelser . Derefter skal eleverne bl .a . ændre i den del af koden, hvor in-frarød stråling reflekteres, når den støder ind i CO2–molekyler i atmosfæren . Først skal de i den lange kode identificere den procedure, hvor dette sker . Proceduren er gengivet i Figur 4 . Herefter skal de æn-dre i koden .

Programlinjen ”set heading 180 – heading” skal ændres til ”set heading random 360” . Det gøres let for eleverne, da linjen al-lerede findes i koden, men uden at væ-re aktiveret . Det er ikke alle elever, der når til dette punkt, men mange gør . Der kan være stor spredning på, hvor hurtigt eleverne får løst de forskellige opgaver, og man skal holde øje med, hvordan det generelt går . Ind imellem kan det være en god ide at vise noget på projektoren, som mange har svært ved at få til at vir-ke . Det sidste de skal overveje er, hvor-dan modellen kan forbedres .

Man kan med fordel i fællesskab i slut-ningen af aktiviteten diskutere, i hvor stor udstrækning modellen passer med virke-ligheden . En sådan diskussion giver for læreren en god indsigt i elevernes kon-krete forestillinger om det faglige fæno-men, og eleverne får en forståelse for at computermodellen ikke er den virkelige

verden, men en tilnærmelse. Jeg har fle-re gange måtte erkende, at elever har en alt for stor accept af, at det, computeren giver os, er korrekte svar . Det er vigtig at få eleverne til at forstå, at de tempe-raturer som programmet beregner, er så upræcise at de højst kan anvendes kva-litativ . Desuden er der mange elementer af det virkelige klima, der ikke er medta-get i computermodellen . Det betyder ikke at klimamodellen er ubrugelig . Men skal bare være bevidst om, hvordan man bru-ger den, og til hvilke ting den ikke egner sig . Dette er en sund faglig diskussion for eleverne at indgå i .

CT–kompetencer og fælden ved at blive i simuleringsdelenVisualiseringerne med programmet giver rigtig god faglig indsigt . Desværre kan det også blive lidt af en faldgrube, hvis man stopper ved visualiseringen . Derved får man ikke trænet elevernes CT–kom-petencer . Selvfølgelig kan man have den holdning, at det ikke er nødvendig, men der er og bliver med tiden mere behov for netop disse kompetencer . Godt nok er de unge opvokset i en digitaliseret verden, men det er forbavsende, hvor lidt de ved om, hvad der foregår bag interfacet af et computerprogram . For virkeligt at træne elevernes CT–kompetencer, skal der ar-bejdes med kodedelen af computermo-dellen . Det har desuden den fordel, at det faktisk styrker elevernes faglige indlæ-ring, idet de får en meget dyb indsigt i de forskellige aspekter af det faglige fæno-

men . NetLogo er lavet så det understøt-ter elevernes arbejde med kodedelen og gør barrieren så lav som muligt .

Forsøg med strålingsbalancen for far-vet papirFor at yderligere fremme elevernes for-ståelse af strålingsbalancen og begre-bet ligevægt, lavede vi i forlængelse af NetLogo–sekvensen et forsøg, hvor man kan drage mange paralleller . En kraftig lampe med hvidt lys stilles, så den kan belyse nogle papirstykker med forskel-lige farver . Med et infrarød termometer måles temperaturen på papirstykkerne med jævne mellemrum . På Figur 5 ses et eksempel på data fra forsøget . Og forsø-get illustrerer ganske fint, at papirets al-bedo påvirker dets temperatur – præcis som det er tilfældet for hele Jordkloden .

Hvad fik eleverne ud af det?Det store antal af elever (over halvdelen) som valgte at medtage Climate Change–modellen i deres eksamenspræsentation, vidner om det værdifulde i aktiviteten . Det er jo helt frivilligt, hvad de vælger at præsentere . Mange elever valgte at bru-ge billeder fra Climate Change som ud-gangspunkt for en præsentation af nogle faglige begreber . Nogle elever kørte end-da simuleringer til eksamen for at illu-strere forskellige pointer, som de havde fået ud af arbejdet med modellen .

Et af målene med naturvidenskabeligt grundforløb er at præcisere de metoder,

Figur 4En underprocedure i computermodellen Climate Change.

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

man anvender i naturvidenskab . I an-vendelsen af naturvidenskab er compu-tersimuleringer i stigende grad en meto-de, som vinder frem . Det er en helt an-den metode end de traditionelle labora-torieforsøg eller forsøg i felten . I dette forløb får eleverne igennem det ekspli-citte arbejde med computermodeller og programmeringen bagved, en forståelse for, hvad det betyder, og hvilke mulig-heder det giver .

I mine diskussioner med klasserne fik jeg det klare indtryk, at eleverne får en god indsigt i modellering og hvad det vil si-ge . Derudover var det klart, at eleverne fik en dybere forståelse af nogle faglige sammenhænge – fx en konkret forståel-se af hvorfor temperaturen påvirkes af drivhusgasserne . Som nævnt blev også begrebet variabelkontrol gennemgået .

En af de ting som jeg oplevede var, at en del elever spurgte til hvorfor deres æn-dringer af koden ikke kunne ses, når man gik over i interface, og jeg opdagede, at det skyldes, at de ikke havde trykket på setup–knappen, således at program æn-dringerne ikke blev indlæst . Det kan alt-så være helt basale it–kompetencer, som eleverne tilegner sig, nemlig hvornår ko-den eller dele af koden bliver kaldt og dermed eksekveret .

Selvfølgelig findes der ikke en eneste undervisningsmetode, som rammer alle

elever, og vi kan ikke sige os fri for ele-ver, som havde svært ved at acceptere og forstå hvad de skal bruge programmering til. Heldigvis er de fleste elever begejstre-de for at få lov til – i mange tilfælde for første gang – at kontrollere et program . Det giver en stor tilfredsstillelse for ele-verne at kunne styre hvordan fx strålerne bevæger sig . At lave disse typer under-visningsforløb kan være et frisk pust for både lærer og elever . Det er altid dejlig at få noget variation ind i undervisningen .

I øjeblikket har eleverne ikke meget er-faring med programmering og algoritmer fra folkeskolen, men det forventes, at der de næste år vil komme flere på gymnasi-et, som har prøvet ultra:bit eller lignen-de i folkeskolen . Derfor er det vigtig, at vi allerede nu arbejder på at gøre CT til en integreret del af gymnasieundervis-ningen i de forskellige fag .

Det faglig udbytte behøver ikke at blive mindre, fordi man arbejder med CT . De to kan bringes til at understøtte hinanden . Aldrig har jeg set så mange elever, som faktisk har forstået hvad strålingsbalan-cen betyder . Nogle vil måske hævde, at nye forløb altid vækker begejstring, for-di lærerens begejstring smitter af . Men første gang jeg kørte forløbet var jeg lidt af en skeptiker selv . Jeg har oplevet, at NetLogo faktisk danner en god ramme for indlæring af faglige og CT kompe-tencer samtidigt .

Forfatterens erfaring med NetLogo GenereltJeg anvender cirka et modul på NetLogo–modeller på alle mine hold hver anden måned . I disse forløb an-vender jeg ofte gaffatape–princippet og NetLogo–koden tilpasses, så eleverne med få ændringer kan nå det ønskede uden selv at finde nye kommandoer. Altså use–modify–create–tilgangen be-skevet på side 11 . Jeg har med et 3 .g matematikhold fornyligt fået dem til lave et program til at tegne et hæld-ningsfelt for en differentialligning, startende fra et program som tegnede et tangentstykke uden en fast længde . I et 1.g fysik B hold fik de udleveret et program, som kunne simulere en lod-ret hoppende bold (dette forløb er la-vet af Birgitte Erskov Halland). Nogle af eleverne endte med at simulere det skrå kast på Månen inden for 45 min . Jeg var ved at tabe kæben, så impone-ret var jeg . Eleverne var selvfølgelig også meget stolte .

Jeg vil ikke skjule, at det har krævet en indsats at komme så langt, at jeg selv laver computermodeller fra bun-den af og de tilhørende arbejdsark . Men jeg synes, at det er det værd, da jeg har større frihed til at arbejde med de forskellige emner, bedre variation i undervisningen og så er det sjovt, læ-rerigt og almendannede for eleverne .

Figur 5Temperaturen af farvet papir belyst med en kraftig lampe som funktion af tiden.

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

Denne artikel er én af fem artikler i dette nummer, der behandler emnet Computational Thinking (CT) i gymna-siefag . Denne artikel giver et konkret bud på, hvordan CT kan inddrages menings-fuldt i fysikundervisningen – i et forløb, der kombinerer fysikfagligt indhold, mo-dellering og arbejde med computerkode .

IndledningComputermodeller spiller en stadig stør-re rolle i naturvidenskab og i den moder-ne naturvidenskabelige forskning . Vi er rykket fra tiden, hvor nye naturvidenska-belige erkendelser nås alene med labud-styr, en blok og en kuglepen .

Tag for eksempel den sensationelle måling af gravitationsbølger i 2015 . Her kunne man ved at sammenligne det målte signal med omkring 20 .000 modellerede signa-ler fra en computermodel fastslå, at sig-nalet kom fra to sammensmeltende sor-te huller med masser på hhv . 36 og 29 solmasser (Pedersen 2016). Ved at ind-drage computermodellering kunne man altså opnå en dybere indsigt i fænome-net og give en fysisk forklaring (en ”mi-kroskopisk” model) på det observerede.

Computermodeller/simuleringer er for længe siden blevet et væsentligt natur-videnskabeligt værktøj til at opnå ny vi-den, og denne afgørende udvikling i fy-sikfagets metoder bør også afspejles i den måde, der undervises på i gymna-siet . Det er vigtigt for elevernes faglige dannelse, at de opnår en basal forståelse for, (1) hvordan computermodeller be-nyttes i moderne naturvidenskab, og (2) hvad der foregår i ”maskinrummet” af en computermodel .

En fornuftig anvendelse af computermo-deller og data fra computermodeller for-udsætter, at eleverne er i stand til at vur-dere muligheder og begrænsninger ved en given model . Skal de kunne dette, er det nødvendigt med et grundlæggende kendskab til programmering og en for-ståelse for algoritmer, og de skal arbej-de med computermodeller, hvor de har

adgang til koden bag computermodellen (ikke tilfældet for de fleste online simu-leringsværktøjer). Ideelt set skal elever-ne på sigt blive i stand til at lave deres egne computermodeller . De skal rykkes fra at være brugere til at være skabere (eller medskabere) af de digitale værk-tøjer, som de arbejder med .

At foretage ændringer i koden af en com-putermodel og tilpasse den til nye pro-blemstillinger kræver en dyb faglig for-ståelse for de fysiske fænomener og pro-cesser, der arbejdes med i computermo-dellen, og de faglige modeller, der ind-drages . Denne måde at arbejde med com-putermodeller på, hvor eleverne skal ar-bejde med koden bag computermodellen, kan derfor give eleverne en grundigere og dybere forståelse af den fysik og de fysikmodeller, der arbejdes med .

Eleverne skal altså ikke lære at program-mere for programmeringens skyld, men fordi at et basalt kendskab til kode og al-goritmer sætter dem i stand til bedre at forstå fagets metoder og giver dem mu-lighed for at arbejde med fysikfaget på en anderledes måde og til at undersø-ge andre fysikfaglige problemstillinger end normalt .

ForløbetBaggrunden for forløbet beskrevet i denne artikel er, at jeg ville undersøge, hvordan jeg kunne arbejde med CT i fy-sikfaget, så det udover at styrke elever-nes CT–kompetencer (se side 13) også understøtter elevernes læringsproces og bidrager til et øget fysikfagligt udbytte .

Med dette udgangspunkt planlagde jeg et induktivt forløb, hvor eleverne med udgangspunkt i computermodeller i pro-grammeringsmiljøet NetLogo (se boksen side 11) arbejder med henfaldsloven og modelbegrebet i fysik samt arbejder med programmering og centrale CT–kompe-tencer . Jeg har skitseret forløbet og dets aktiviteter i Figur 1. Udviklingen af for-løbet tog udgangspunkt i CMC–tilgan-gen (se side 10).

Hele forløbet strakte sig over 10 modu-ler af 75 minutters varighed . Heraf gik knap halvdelen til aktiviteter i NetLogo (i alt fire forskellige aktiviteter). Det er disse NetLogo–aktiviteter, som er fokus for denne artikel . Ønsker man et korte-re forløb, er der intet i vejen for kun at medtage dele af det her skitserede for-løb (man kunne fx udelade den induk-tive tilgang, kulstof 14–metoden eller Tjernobyl–eksemplet).

I forløbet skal eleverne udlede henfalds-loven ud fra ”eksperimenter” lavet med computermodellen og efterfølgende vur-dere styrken af den mikroskopiske mo-del for radioaktivt henfald, som er skre-vet ind i computermodellens kode . Det gøres ved at sammenligne resultater fra computermodellen med resultater fra et eksperiment (henfaldstiden for 137Ba*), som eleverne selv udfører . Der arbejdes med sammenhængen mellem den mikro-skopiske model (at hver radioaktiv kerne for hver tidsenhed har en vis sandsynlig-hed for at henfalde) og den makroskopi-ske model (henfaldsloven – formlen og grafen, der beskriver, hvordan antallet af radioaktive kerner aftager med tiden). I de sidste aktiviteter skal eleverne under-søge nogle mere komplekse situationer (kulstof 14–datering og henfaldskæder), og lave ændringer i koden af den udle-verede computermodel, så den kan an-vendes til at undersøge disse processer . Arbejdet med at ændre computermodel-len tager udgangspunkt i use–modify–create–tilgangen beskrevet på side 11, hvor programmeringsaktiviteterne star-ter simpelt og gradvist bliver mere om-fattende og komplekse .

De anvendte NetLogo–modeller og undervisningsmaterialer kan findes på library.ct-denmark.org/lmfk .

Målet med de første NetLogo–aktiviteter (aktivitet 1b) er, at eleverne bliver for-trolige med at bruge computermodellen og med det fysiske fænomen, der mo-

Computational thinking i fysikfaget – henfaldsloven

Jonas Ørbæk Hansen, Silkeborg Gymnasium og Center for Computational Thinking and Design (CCTD), Aarhus Universitet

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

delleres (radioaktivt henfald). Eleverne er brugere af computermodellen (use), se Figur 2 . Derefter skal eleverne i gang med at lave simple ændringer af koden i computer-modellen (modify). Eleverne starter med at ændre de radioaktive kerners udseen-de (form og farve) og computermodel-lens startværdier (aktivitet 1c–2b). Her er målet, at eleverne får en klar ide om, at der er en sammenhæng mellem, hvad der står i koden, og hvad der sker i com-putermodellen . De får snust til koden og ændret i den, uden at de forstår alle de-le af koden .

Figur 1Oversigt over forløbets aktiviteter (ikke en moduloversigt). Under ”Progression og fane” kan det ses, hvor i progressio-nen (use–modify–create) vi arbejder, samt hvilke faner i NetLogo, der arbejdes med (Interface, Info eller Code). I den sidste kolonne har jeg forsøgt at angive, hvilke CT–kompetencer der kommer i spil.

De næste opgaver (aktivitet 3b–4b) kræ-ver mere komplicerede og omfattende æn-dringer af koden og en dybere forståelse for algoritmerne i computermodellen og fysikken bag . I disse aktiviteter ændrer eleverne på selve modellerne i compu-termodellen – de bliver modellerende . Forud for aktiviteterne gik en analyse af algoritmerne i den udleverede kode vha . rutediagrammer .

I dette forløb når eleverne kun til modi-fy–fasen . De kommer ikke til at lave en computermodel fra bunden (create). Det kan dog diskuteres, hvor grænsen mel-lem modify og create går, da den compu-termodel, eleverne slutter med, kan no-

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

get helt andet end den, de startede med . Mange elever føler et meget stort ejer-skab over den færdige computermodel .

I de sidste kodeaktiviteter (aktivitet 3c og 4b) kommer eleverne til at udføre test–analyse–refine–cykler, som vist på Figur 2, side 12 . De støder på nogle ud-fordringer, der gør, at deres computermo-del i første omgang vil fejle . De må der-for af flere omgange analysere, fejlfinde, forbedre og teste deres computermodel .

Da programmering er helt nyt for de fle-ste elever – og mange af eleverne des-uden udtrykker en forventning om, at det er meget svært at programmere – er pro-grammeringsaktiviteterne planlagt med henblik på at give eleverne nogle hurtige mestringsoplevelser . Desuden er emnet valgt, så koden i computermodellen kan holdes kort og forholdsvis simpel, så ele-verne kan arbejde med koden i model-len uden programmeringserfaring eller andre forudsætninger end deres faglige viden . De ændringer, eleverne skal lave i computermodellen, er desuden udtænkt, så de kan realiseres ved at kopiere eksi-sterende dele af koden og rette dem lidt til (se Figur 4).

Hvad fik eleverne ud af det?Det var mit ønske, at eleverne gennem aktiviteterne i forløbet skulle opleve, at modeller er noget, man kan ændre og vi-dereudvikle, og få mod på at lege og eks-perimentere med computerkode . Målet var ikke at gøre eleverne til eksperter i programmering, men at gøre dem i stand til at løse simple programmeringsopga-ver i NetLogo .

Alle grupper fik løst de stillede opgaver med at implementere fagligt begrunde-de ændringer i koden og fik lavet vel-kørende computermodeller, der viste de rigtige grafer og fysiske sammenhænge . Eleverne kunne redegøre for, hvordan forskellige dele af koden styrer model-lens opførsel, og de kunne efterfølgende anvende de nye computermodeller til at løse de stillede fysikfaglige opgaver in-

den for emnet. 86 % af eleverne svarer, at de er blevet lidt eller meget bedre til programmering under forløbet . Eleverne har desuden fået en grundlæggende for-ståelse for, hvad en computermodel er . For eksempel skriver en elev:

”En simulering består af en com-puterkode og nogle modeller/an-tagelser. Der skal være et input, en algoritme og et output. Det er en efterligning af virkeligheden/en virkelig proces.”

Og en anden:

”Vi har lært, hvorfor computeren forstår det, vi fortæller den, og at de følger en bestemt fremgangs-måde (algoritmer). Vi har lært at forholde os kritisk til computerpro-grammer, og at computermodeller kun er så gode som antagelserne.”

I arbejdet med at forstå hvad en computer-model er, tog vi udgangspunkt i Figur 3 .

Eleverne har generelt meldt positivt tilba-ge på forløbet . Arbejdet med at lave æn-dringer i computermodellen i NetLogo blev set som en udfordrende, men rele-vant og afvekslende aktivitet . Eleverne

var – til trods for øjeblikke med frustra-tion – meget motiverede og engagerede . Det var dejligt at opleve, at de ret hurtigt tog ejerskab over computermodellerne og følte, at det var deres værk . Det var ty-deligt, at de følte sig som skabere nær-mere end brugere af computermodellen . Eleverne var generelt meget underholdt af at ændre atomkernernes udseende (ak-tivitet 1c) og fandt på mange sjove må-der at vise atomkernerne på . De sidste opgaver (aktivitet 3c og 4b) var de svæ-reste . Et par af grupperne blev forbløf-fende hurtigt færdige, hvilket vidner om et godt overblik over koden, algoritmer-ne og den fysiske model . Andre grupper havde brug for mere hjælp til analysen af algoritmerne og nedbrydningen af pro-blemet i mindre dele (vi lavede en fælles strategi), men kunne dernæst også imple-mentere de rette ændringer i koden . Figur 4 viser et eksempel på en løsning af ak-tivitet 4b, som den kunne se ud .

Figur 2Figuren viser interfacet i NetLogo–mo-dellen. Til venstre ses atomkernerne (mo-derkernerne er cyan og datterkernerne er røde). Til højre ses grafer, der viser hhv. hvor mange moder– og datterkerner, der er tilstede. Info–fanen og Code–fanen kan ses i materialerne online.

LMFK–Sekretariatet Telefon 3539 0064 Høfdingsvej 34, 2. sal e–mail: [email protected] 2500 Valby. Man–tor kl. 11.00 – 15.00 www.lmfk.dk

Stykpris ved ................................................................................................ < 10 ³ 10

KEMIFormelsamling Kemi A, 2. udg. (2019) ...................................................... 150 kr 120 krKemisk Formelsamling (2001) ..................................................................... 38 kr 38 krHTX–opgaver Kemi Maj 2009 – August 2012 ............................................. 60 kr 60 krStudentereksamensopgaver, august 2006 - juni 2010 ................................ 60 kr 60 kr Studentereksamensopgaver, 2004 - 2006 .................................................. 60 kr 60 krStudentereksamensopgaver, 2000 - 2003 .................................................. 53 kr 53 kr Kemiopgaver ............................................................................................... 63 kr 63 krBioteknologi A - et overblik .......................................................................... 150 kr 120 krENERGI – fossile brændstoffer, bioethanol og biodisel ............................. 105 kr 84 kr Kemi der virker ............................................................................................ 160 kr 128 krFast–fase ekstraktion – Teori og eksperimenter (2010) .............................. 50 kr 50 krFotokemiske reaktioner ............................................................................... 125 kr 100 krKemisk Termodynamik ............................................................................... 80 kr 64 krPrimærproducenter – kemi ......................................................................... 85 kr 68 krKost og ernæring ........................................................................................ 100 kr 80 krOverfladebehandling af metaller ................................................................. 40 kr 40 krTændernes og mundhulens kemi – Eksperimenter, fri kopieringsret .......... 250 krPlast og Polymere ....................................................................................... 50 kr 50 krEnzymkinetik ............................................................................................... 63 kr 50 krKemikeren i køkkenet .................................................................................. 180 kr

KEMI – diverseABCbox .......................................................................................................

FYSIK/KEMIDatabog fysik kemi, 11. udg. (2016) .......................................................... 235 kr 196 kr

Se www.lmfk.dk for ældre titler og andet materiale, som ikke er nævnt, men som stadig kan kø-bes.

MF K

B Ø

G E

R · P

R O

G R

A M

M E

R

LMFK prisliste 2020.indd 4 06-02-2020 11:13:32

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

Det er min klare opfattelse, at eleverne har fået en dybere forståelse af henfalds-loven ved at arbejde med den på denne måde, end de ville have fået ved en me-re traditionel gennemgang . Der er for de fleste elever etableret en klar forståelse for sammenhængen (og forskellen) mel-lem mikroskopiske og makroskopiske modeller og mere konkret, for hvordan henfaldsloven skyldes, at de radioakti-ve kerner har en bestemt sandsynlighed for at henfalde per tidsenhed . Eleverne har desuden kunnet undersøge mere komplekse processer, end vi ellers vil-le have kunnet, da den fysikfaglige for-ståelse nemt ville drukne i matematiske udfordringer . Vi diskuterede i klassen, hvordan vi ved hjælp af eksperimentet med 137Ba* kun-ne argumentere for, at antagelsen i mo-dellen (den mikroskopiske model for en radioaktiv kernes opførsel) sandsynlig-vis er korrekt, idet resultaterne fra com-putermodellen og eksperimentet stemte overens . Dette illustrerer et mere gene-relt princip for, hvordan brugen af com-putermodeller kan bruges til at kaste lys over ”mikroskopiske” modeller, der ik-ke kan studeres direkte – som i eksem-plet i indledningen med de sorte huller .

De ændringer, som eleverne implemen-terede i computermodellen, forudsætter, at de har et grundlæggende kendskab til det at læse, forstå og skrive computerko-de . Men det kræver mere end blot det . De skal kunne analysere det fysikfaglige og det programmeringsmæssige i opgaven og dele opgaven op i mindre, veldefine-rede dele, som kan løses hver for sig (fx Hvilke dele af den eksi-sterende kode skal kopieres? Hvorhen i koden skal det kopieres? Hvad skal efterfølgende rettes til?). For at kunne løse opgaven må de også have en god forståelse for den fy-sik, der er skrevet ind i koden . De skal også kunne forstå algoritmerne i com-putermodellen (fx hvordan tiden avan-cerer, og hvordan rækkefølgen af de for-skellige handlinger er), identificere dem i koden og tilføje de rette trin de rigtige steder . De skal kunne kæde den virke-lige verden sammen med modellen, og modellen sammen med computerkoden . Det kræver et højt niveau af abstraktion . Og er der noget, der ikke virker, som det skal, så skal de analysere koden og fin-de frem til, hvor fejlen er . Det er centra-le CT–kompetencer, der kommer i spil og trænes i denne proces, og den er me-get givende for den fysikfaglige forstå-else af fænomenet .

Figur 3En generel illustration af hvad en computer-model er, med nogle konkrete eksempler fra den NetLogo–model eleverne arbejder med.

Der var undervejs mange gode, konstruk-tive og lærerige diskussioner om koden, algoritmerne og fysikken i computermo-dellen, og der blev foreslået mange løs-ninger, som blev diskuteret, afprøvet og analyseret . En af fordelene ved at anven-de computermodeller på denne måde er, at der er meget hurtig feedback på elever-nes løsning og deres faglige forståelse . Kan computermodellen køre? Er resulta-terne fornuftige? Hvis ikke, skyldes det så en fejl i implementeringen eller fejl i den fysiske forståelse af fænomenet? Eleverne kan spejle deres mentale mo-deller med computermodellen og se, om der er overensstemmelse . Denne måde at arbejde med henfaldsloven på stimulerer elevernes nysgerrighed og lyst til at ud-forske det faglige fænomen i stor detalje .

Eleverne arbejdede i dybden med en fy-sikfaglig computermodel og fik derigen-nem en forståelse for hvad en computer-model er, og hvad det vil sige at model-lere et fysisk fænomen . Dette blev brugt som et naturligt afsæt til at perspektivere til computermodellers rolle og betydning for naturvidenskaben og samfundet mere generelt . Vi kom kort ind på samfunds-økonomiske modeller som DREAM og ADAM, vejr– og klimamodeller, finite–element–modeller til at beregne styrken af bygningskonstruktioner og modeller anvendt i sundhedsvæsenet). Og det led-te til en diskussion af, at det i samfun-det – som i fysik – er vigtigt at være op-mærksom på de antagelser, forsimplin-ger, valg og fravalg der er gjort i com-putermodellen .

Denne artikel giver et konkret bud på, hvordan der kan arbejdes med CT og modellering i fysikundervisningen . Der er andre måder at arbejde med CT–kom-petencer på i undervisningen (fx Scratch, Arduino eller ultra:bit). Men tilgangen be-

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

Figur 4Figuren viser, hvordan de ændringer, der skal laves i aktivitet 4b, kunne se ud. to go er computermodellen hovedløkke, der gen-tages indtil simuleringen stoppes. Løsninger til alle forløbets aktiviteter er vist og ud-dybet i materialerne online.

skrevet i denne artikel med fokus på mo-delleringskompetencen og med værktøjet NetLogo, har vist sig meget anvendelig .

Forløbet beskrevet i denne artikel er et forholdsvist langt forløb, hvor vi kom vidt omkring . Man kan sagtens arbejde med modellering og CT i fysikunder-visningen i kortere forløb . Eksempler

på sådanne forløb inden for forskellige fysikfaglige emner kan findes på library .ct-denmark .org .

LitteraturlistePedersen, Jens Olaf Pepke og Andersen, Michael Cramer (2016): ”Tyngdebølger observeret for første gang”, in: KVANT, Årg . 27, nr . 1, s . 8 – 12 .

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

Denne artikel er én af fem artikler i dette nummer, der behandler emnet Computational Thinking (CT) i gymna-siefag . Denne artikel viser et eksempel på, hvordan CT frugtbart kan inddrages i et forløb om modellering med diffe-rentialligninger på matematik A–niveau . Forløbet blev udviklet under DASG–kur-set Computational Thinking i Matematik og Naturfag i 2018 og er beregnet til at kunne afvikles på 4 – 5 moduler af 75 minutters varighed . Forløbet er afprø-vet i en 3 .g klasse i efteråret 2018 på Silkeborg Gymnasium, og forløbet op-fyldte følgende matematikfaglige pinde:

• Stokastisk simulering 1)• Modellering med eksponentiel diffe-

rentialligning (og koblede differen-tialligninger)

• Modeltjek• Analytisk løsning af differentialligninger

Materialet fra forløbet kan findes på library.ct-denmark.org/lmfk .

Hvordan adskiller forløbet sig fra, hvad jeg plejer at gøre?Et typisk forløb om differentiallignings-modeller kan omfatte modellering af ra-dioaktivitet. Udgangspunktet, fra fysik, er som bekendt en bestemt type af radioak-tive kerner, der inden for en given tidsen-hed henfalder med en fast sandsynlighed .Alt efter temperament og tidspres og klassens abstraktionsniveau har jeg tid-ligere introduceret emnet deduktivt el-ler simulativt .

– Med deduktivt mener jeg rene ”skri-vebordsovervejelser” på ”populati-ons-niveau” over, hvorledes dobbelt

så mange kerner vil føre til dobbelt så mange henfald pr . tidsenhed, hvorfor proportionaliteten N ' = k · N udledes (som man så kan løse analytisk/de-duktivt).

– Med simulativt mener jeg fx inddra-gelse af matematikfaggruppens kas-se med 1000 terninger, hvor ud fra man simulerer data (hver 6’er bety-der henfald og den pågældende ter-ning fjernes fra populationen) og fx ved regression fastslår sammenhæn-gen N ' = k · N (som man så kan løse analytisk/deduktivt).

Det simulative element har dog altid i min traditionelle undervisning haft en motiverende rolle i starten af forløbet om radioaktivitet, hvorefter det deduk-tive element tager kraftigt over .

Med inddragelse af henfaldssimulerin-ger i NetLogo har jeg imidlertid oplevet, at det simulative og deduktive element i langt højere grad får lov at køre (gensi-digt befrugtende og motiverende) parløb hele vejen fra start til slut – fra modeller for enkelthenfald (datterkernerne er sta-bile) til modeller for henfaldskæder (dat-

terkerner er også radioaktive og henfal-der yderligere), hvilket giver anledning til koblede differentialligninger, der både kan løses analytisk og ved simulering .

Hvad er det eleverne konkret gør?NetLogo–modellen ”Radioaktivt hen-fald”, som eleverne skal anvende (og modificere) i forløbet, er meget simpel. Programmet opretter som udgangspunkt 8000 (lyseblå) radioaktive kerner, som, når man kører programmet, henfalder til (inaktive) røde kerner. Hver population af kerner (radioaktive såvel som stabile ker-ner) har i interfacet et grafplot, der løben-de viser, hvor mange der er . Se Figur 1 . En ikke uvæsentlig kodeøvelse for ele-verne (og deres ejerskabsfornemmelse for programmet) kan være at ændre far-ve og udseende på de 2 typer af kerner .

Men den centrale faglige kode, eleverne skal forholde sig til for at forstå og mo-dificere programmet, er fastsættelsen af henfaldssandsynligheden ”Sandsynlighed–for–henfald–N1” samt proceduren ”kør henfald1” . Se Figur 2 .

Computational thinking i matematik – differentialligninger

Allan Jensen, Silkeborg Gymnasium

Figur 1Interface i NetLogo–modellen ”Radioaktivt henfald”.

1) Bekendtgørelsen (2017) for matematik A-niveau (stx) nævner som noget nyt eks-plicit under 2 .1 . Faglige mål at eleverne skal kunne foretage ”sandsynlighedsteoretiske …simuleringer” samt anvende ”funktioner og afledede funktioner i opstilling af matemati-ske modeller… ., foretage simuleringer samt fremskrivninger og forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modeller” .

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

Figur 2Udsnit af koden i NetLogo–modellen "Radioaktivt henfald".

Det matematikfagligt interessante for eleverne er nu i Excel (via dataeksport fra NetLogo) at undersøge (modeltjek), hvorvidt de simulerede data for N1–ker-nerne rent faktisk opfylder den eksponen-tielle differentialligning N1 ' = k · N1, som så kan løses analytisk med eller uden de-solve i CAS .

Næste skridt for eleverne er nu det lidt mere kodeudfordrende at modificere ko-den til at kunne simulere dobbelthenfald med radioaktive kerner N1 og N2 og sta-bile N3, hvorved de simulerede grafplot for N1, N2 og N3 vises . Se elevløsningen i Figur 3 eller Figur 4 på side 27 .

Man er i situationen med dobbelthen-fald i den heldige situation, at man fak-tisk stadig kan løse problemet analytisk (via opstilling af koblede differentiallig-ninger). Eleverne løser problemet analy-tisk ved desolve i CAS og sammenhol-der graferne for de analytiske løsninger med de simulerede grafer fra deres egen NetLogo–model .

Eleverne kan med fordel inviteres med til at reflektere over, at der er grænser for, hvor komplicerede modeller der kan ud-ledes analytiske løsninger for . Derimod er der med få kodeændringer uanede mu-

ligheder for at ændre på betingelserne/antagelserne, der gælder for simulerin-gen i NetLogo–modellen .

Hvorfor simulering i NetLogo frem for andre programmer?Man kan også lave stokastisk simule-ring i allerede kendte programmer som Excel eller TInspire, så hvorfor introdu-cere et nyt program? Den helt store for-ce ved NetLogo er, at det er agentbase-ret . Dvs . at man i interfacet rent faktisk kan se det fænomen (på mikroniveau), man undersøger og ikke kun talrækker og grafrepræsentationer af fænomenet . Det at kunne se fænomenet ”direkte” virker meget motiverende og realistisk på ele-verne (og lærere). Mange af elevernes umiddelbare ideer og hypoteser sprin-ger ud af, hvordan fænomenet fremstår (agentbaseret) frem for hardcore analy-se af talrækker og grafer . Opsummering angående agentbasere-de modeller i NetLogoDet er motiverende for eleverne med den visuelle repræsentation af mikroniveau, der ligger til grund for makrobeskrivel-serne i form af grafer, tabeller og dif-ferentialligninger, der i højere grad be-skriver fænomenet på populationsniveau

Hvad opnår eleverne i et videre per-spektiv?Man kan sige, at eleverne, ud over det matematikfaglige, som sidegevinst og-så får en basal forståelse for kodning og algoritmer og generelt får sænket fryg-ten/barriereren for at ”fuske” med kode, hvilket i sig selv kan være værdifuldt i senere studie– og arbejdsliv .

Men endnu vigtigere får eleverne med mestringen af og den løbende kodetil-pasning af simuleringen i NetLogo ud-videt deres aktive repertoire af løsnings-strategier i faget matematik!

Og det er netop fordi simulering og de-duktion danner parløb hele vejen i radio-aktivitetsforløbet og i højere grad optræ-der som ligeværdige løsningsstrategier (ja faktisk rækker simulative strategier teoretisk og i praksis oftest længere end deduktive og analytiske løsningsstrate-gier, når problemstillingerne bliver til-pas komplekse og beviseligt ikke kan løses analytisk).

Potentielt kan eleverne tage mestringen af både de deduktive/analytiske og de simulative metoder (og også NetLogo) med sig ind i studieretningsprojektet og videnskabsteoretisk forholde sig

Mat

emat

ik


TEM

A

Com

puta

tion

al T

hink

ing

til de forskellige metoders styrker og svagheder .

Dette kan foregå i en enkeltfaglig mate-matik–SRP, hvor der netop er krav om inddragelse af flere metoder. Alternativt kan SRP foregå i samarbejde med et af de utallige fag, biologi, psykologi, sociolo-gi, filosofi, hvortil der allerede eksisterer NetLogo–modeller i modelbiblioteket .

BemærkDet er altid en god idé, videnskabsteo-retisk, at reflektere lidt dybere over helt præcist, hvad det er, man bruger en si-mulering til?• Simulerer man et allerede meget vel-

kendt og meget velundersøgt fæno-men, fx fordi det ville være for dyrt/farligt/tidsforbrugende for eleverne at sprænge en konkret atombombe eller starte en konkret skovbrand i et områ-de med brandbælter, men alligevel øn-sker at lade eleverne simulativt ekspe-rimentere og udlede sig nogle forholds-regler og principper, man kan tage sig, inden man måske står overfor spræng-ningen af atombomben eller skovbran-den i virkeligheden .

• Simulerer man et fænomen for at teste, om de bagvedliggende antagelser, som videnskaben pt . gør sig om fænome-net, rent faktisk holder? Altså simulerer man for at udlede observerbare konse-kvenser af den videnskabelige model og for at teste, om de udledbare/simu-lerbare konsekvenser rent faktisk stem-mer overens med målinger af virkelig-heden? I dette tilfælde er man ovre i en hypotetisk–deduktiv eller måske nær-mere en hypotetisk–simulativ metode, der i sidste ende kan forkaste eller kor-rigere den bagvedliggende videnska-belige model og være med til at drive den videnskabelige erkendelse fremad .

Simulering med binomialfordelingerHvis man er interesseret i at bruge NetLogo og CT til mere rendyrket stokastisk simu-lering i forbindelse med binomialforde-lingen kan det anbefales at se på følgen-

de forløb, der også blev udviklet under DASG–kurset Computational Thinking i Matematik og Naturfag i 2018:

• library.ct-denmark.org/simulering-af-binomialforsoeg

• library.ct-denmark.org/binomialforde-linger-i-netlogo

Figur 3Et eksempel på hvordan en løsning kan se ud efter, at eleven har kodet dobbelthenfaldet.

Documents

Computational thinking i gymnasiefag - Forside - LMFK · 2020. 2. 11. · Matematik. LMFK-bladet 1/2020 . 11 . TEMA Computational Thinking. koblet fra resten af indholdet på studiet,