Computer Quantistici e problemi complessi

FEDERICO SELLO 5D ANNO SCOLASTICO 2016/2017

Computer Quantistici e problemi complessi

“I computer sono incredibilmente veloci, accurati e stupidi. Gli uomini sono incredibilmente lenti, inaccurati e intelligenti. L’insieme dei due costituisce una forza incalcolabile.” (Albert Einstein)

TESINA QUANTUM COMPUTERS !1

D-Wave Quantum Computer.


Sommario

Introduzione ……………………………………………………………………….……………. 3

1. Fondamenti dei Computer Quantistici ………………………………………….. 4

1.1. Storia del Quantum Computer …………………….…………………………. 4

1.2. Principi alla base del Calcolo Quantistico …………………………………. 7

1.2.1. Principio di Sovrapposizione (Superposition) …………………… 7

1.2.2. Principio di Indeterminazione di Heisenberg ……………………. 9

1.2.3. Entanglement ………………………………………………………… 9

2. Sviluppo e Applicazione ………………………………………….……………… 11

2.1. Quantum Computers applicati a problemi complessi …………………… 11

2.2. Fattorizzazione di Shor e Crittografia Quantistica ……………………. 12

2.3. Algoritmo di Ricerca di Grover…………………………..……………. 14

3. Stato attuale della Ricerca ……………………………………………………… 16

Conclusione …………………………………………………………………..………………. 18

Appendice

Esperimento dell’Algoritmo Quantistico di Grover ……………………..…………. 19

Bibliografia ……………………………………………………………………..…………… 23

Sitografia …………………………………………………………………….………. 23



Introduzione

Siamo nell’era dell’informazione, dominata in ogni istante da processori e da reti di comunicazione che hanno cambiato radicalmente la società pre-rivoluzione informatica e che sorreggono una parte importante della struttura mondiale. Non solo non si avrà un ritorno allo stato precedente, ma anzi la Computer Science verrà potenziata sempre di più. Lo scopo ultimo è (o almeno dovrebbe essere) 1

migliorare la vita dell’uomo risolvendo ogni volta problemi sempre più complessi. L’incredibile spinta tecnologica e prestazionale che ha caratterizzato i sistemi elettronici e informatici negli ultimi anni, però, è destinata ad esaurirsi in breve tempo, facendo arenare così anche il progresso che apportava alla società. Infatti la nota legge di Moore , che in realtà si basa 2

solo su dati empirici, afferma che il numero di transistors che possono essere “impacchettati” su un 3

chip raddoppia ogni 18 mesi raddoppiando anche la capacità di calcolo. Questa previsione, che fino ad oggi si è rivelata corretta, ben presto non sarà più vera poiché la miniaturizzazione dei circuiti su un chip raggiungerebbe una scala dove le proprietà individuali degli atomi e degli elettroni diventerebbero rilevanti. Inoltre una maggiore densità di transistors comporta un incremento della dissipazione termica che obbliga ad una limitazione delle frequenze operative . 4

Il successivo passo nell’evoluzione scientifico-tecnologica è un processore basato direttamente su singole particelle, come ad esempio i fotoni. Un computer del genere però va ben oltre il raddoppio di potenza previsto dalla legge di Moore: basandosi sui principi della fisica quantistica, necessaria a descrivere il mondo dell’infinitamente piccolo, aumenterebbe esponenzialmente la potenza di calcolo, segnando un divario incolmabile per un computer ‘classico’ . 5

In questo modo si aprirebbe la strada a calcoli di un genere completamente nuovo, impensabili per una macchina fino a poco tempo fa, con potenzialità che potrebbero rivoluzionare la vita dell’uomo. Il seguente lavoro ha voluto studiare in particolar modo il fondamento fisico-matematico della potenza di calcolo del ‘Computer quantistico’ con possibili applicazioni alla risoluzione di problemi complessi.

Computer Science è quella branca della scienza che studia sia la teoria e i metodi di processamento delle informazioni 1

nei computer sia le componenti hardware e il software.

Gordon Earle Moore (1929 -) imprenditore e informatico statunitense, cofondatore e Presidente Onorario dell’Intel 2

Corporation.

Il transistor, detto anche ‘transistore’, è un dispositivo semiconduttore che consente di controllare l’intensità della 3

corrente elettrica.

Più è alta la densità di transistors in una determinata area, maggiore è il calore che si genera dal loro funzionamento. 4

Infatti più è alta la frequenza operativa dei transistors, maggiore sarà la richiesta energetica per il loro funzionamento, il che comporterà un flusso di corrente più intenso che genererà più calore.

Con computer ‘classico’ intendiamo un computer che si basa ancora sul funzionamento definito dalla Von Neumann 5

structure. Cfr. Hill, F. J., Peterson, G. R., Digital System: hardware organization and design, Second Edition, Jhon Wiley & Sons, USA 1978, p. 6.



1. Fondamenti dei Computer Quantistici

1.1 Storia del Quantum Computer

L’idea che si potessero sfruttare le proprietà della fisica quantistica implementandole nella computer science iniziò a comparire alla fine degli anni ‘70, proposta da autorevoli fisici e matematici che spesso lavoravano in simbiosi con i primi computer a modelli logico-matematici. In particolare P. Benioff evidenziò nel 1980 la possibilità di costruire un computer basato sulle 6

leggi della meccanica quantistica. Il primo passo fu quello di considerare i più piccoli circuiti logici; Benioff mostrò che tali circuiti su scala atomica potevano in linea di principio essere costruiti. Inoltre egli suggerì l’uso di spin diversi delle particelle elementari per rappresentare fisicamente gli 7

stati binari . Questo modello, tuttavia, è essenzialmente equivalente ad una macchina di Turing e 8 9

quindi non può superare la potenza computazionale di un computer classico. Due anni più tardi, R. Feynman discusse l’idea di un computer quantistico che potesse simulare 10

alcuni processi fisici ed introdusse alcuni esempi di fenomeni fisici che potevano essere interpretati come modelli computazionali per i computer quantistici. Il primo vero modello pratico, però, fu presentato nel 1985 dal fisico inglese D. Deutsch . la sua 11

teoria si basava su fatti più concreti di quella di Feynman ed era compatibile con la tradizione della scienza dei computer.

Paul Benioff, fisico teorico. Rimando al suo articolo: Benioff, P. J Stat Phys (1982) 29: 515. doi:10.1007/BF01342185 6

https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01342185.

Il termine spin («rotazione») introdotto inizialmente per indicare il momento della quantità di moto intrinseco 7

dell’elettrone, è stato ipotizzato (1925) da S.A. Goudsmit e G.E. Uhlenbeck allo scopo di dar conto di alcuni fatti sperimentali. La considerazione di questa grandezza è stata poi estesa alle particelle elementari in genere. Cfr. http://www.treccani.it/enciclopedia/spin/.

Con ‘stati binari’ si intende i due modi di rappresentare l'informazione nei sistemi binari, per i computer equivale a 8

dire 1 o 0.

La “Macchina di Turing” è un modello astratto di calcolo proposto nel 1936 da A. Turing: è costituita da 3 elementi: 1) 9

nastro; 2) testina; 3) unità di controllo. Il nastro è un elemento bidimensionale ad infinita lunghezza e costituito da celle nelle quali è contenuto un solo simbolo che può essere letto e/o scritto. La testina scansiona le celle e legge o scrive i simboli contenuti. L’unità di controllo memorizza lo stato corrente della macchina, ha memoria finita ed esegue l’operazione che corrisponde al simbolo scritto in una data cella. Queste tre componenti possono essere viste come l’input-output e la CPU dei moderni computer.

Richard Phillips Feynman (1918-1988), fisico e divulgatore scientifico statunitense, Premio Nobel per la Fisica nel 10

1965 come riconoscimento per le sue ricerche di elettrodinamica quantistica. Cfr. Feynman, R. P., QED, Gli Adelphi, Milano, 2016, p. 3.

David Deutsch (1953-), professore di fisica ad Oxford; nel 2008 vinse il premio "Fellowship of the Royal Society". 11

Cfr. http://www.daviddeutsch.org.uk/about-me/.



Nel 1992 C. Bennett , G. Brassard , A. Ekert , evidenziarono per la prima volta i concetti e i 12 13 14

problemi della crittografia quantistica , un argomento molto sensibile e critico nei sistemi di 15

sicurezza informatica. Di fronte a questi temi la comunità degli scienziati dei computer mostrò interesse per un impegno sempre più concreto che culminò nel 1994 quando P. Shor dimostrò un algoritmo quantistico con 16

tempi polinomiali invece che esponenziali per la fattorizzazione in numeri primi . Il risultato di 17

Shor fu uno shock al punto che la scienza dei computer quantistici iniziò a essere presa sul serio. Da quel momento in avanti le scoperte si susseguirono in poco tempo: nel 1996 L. Grover propose 18

il suo celebre algoritmo quantistico per la ricerca efficiente nei database non strutturati con tempi dell’ordine di cioè con velocizzazione quadratica dei tempi classici . Nel 1998 B. Ömer 19 20

dell’Università Tecnica di Vienna formulò un linguaggio di programmazione per i computer quantistici chiamato QCL : si tratta di un linguaggio procedurale come il linguaggio C e può 21 22

essere usato per l’implementazione ad alto livello dei vari algoritmi quantistici. Alla fine degli anni ‘90 la maggior parte della ricerca di base e dei fondamenti teorici del calcolo quantistico era stata completata ed era iniziata la ricerca di implementazione pratica. Molti si concentrarono sul problema più tecnico ed estremamente difficoltoso di come si potesse realizzare l’hardware di un computer quantistico per garantirne la corretta funzionalità. 23

n

Charles Bennett (1944-), fisico statunitense che lavora presso l’IBM.12

Gilles Brassard (1955-), professore di Computer Science alla Université de Montréal. Cfr. www.iro.umontreal.ca/13

~brassard/en/.

Artur Ekert (1961-). Cfr. www.arturekert.org.14

Vedi § 2.2.15

Peter Shor (1959-), informatico e matematico statunitense, ideatore dell'omonimo algoritmo. Cfr http://math.mit.edu/16

directory/profile?pid=247.

Un intero positivo n si dice primo se ha esattamente due divisori positivi. Cfr. http://matematica-old.unibocconi.it/17

LangZac/primi.html.

Lov Kumar Grover (1961-), informatico indo-americano, autore dell'algoritmo di ricerca omonimo.18

Vedi § 2.3.19

Bernard Ömer, professore all’Austrian Institute of Technology (AIT).20

Sito del linguaggio QCL: http://tph.tuwien.ac.at/~oemer/qcl.html.21

Il C è uno dei più flessibili e utilizzati linguaggi di programmazione di alto livello; fu sviluppato da Dennis Ritchie 22

nei primi anni '70. Per ulteriori informazioni: Kernighan, B., W., Ritchie, D., M., Il linguaggio C Principi di programmazione e manuale di riferimento, Pearson, seconda edizione, s. l., 2008.

L'hardware è la parte fisica dei computer, ad esempio il disco magnetico.23


http://tph.tuwien.ac.at/~oemer/qcl.html


Il risultato che segnò la nascita effettiva dei computer quantistici fu raggiunto nel 1998 quando N. Gershenfeld e I. Chuang del Massachusetts Institute of Technology (MIT) di Boston 24 25

svilupparono per la prima volta un computer quantistico a 2-qubits, basandosi sul processo della Risonanza Magnetica Nucleare (NMR) . 26

Dai primi anni 2000 ad oggi, i gruppi di ricerca e le società interessate ai computer quantistici si sono moltiplicate determinando un’accelerazione nei progressi verso la realizzazione di un calcolatore quantistico pienamente funzionante. Nel 2001, la International Business Machines (IBM) riuscì nello sviluppo di un computer quantistico a 7-qubits, sempre basato sulla NMR, implementando con successo l’algoritmo di Shor. Nel 2006 la D-Wave Systems , nonostante stesse 27

percorrendo una strada differente rispetto al “computer quantistico universale” , annunciò un 28

prototipo a 16 qubits; nel 2011 fu il turno del D-Wave One, il primo computer a 128 qubits ad essere commercializzato. Due anni dopo, nel 2013, un grande passo avanti fu segnato dal D-Wave Two (sperimentato in collaborazione con la NASA e Google), che portò il numero di qubits a 512. L’attuale computer quantistico più avanzato della società canadese è il D-Wave 2000Q annunciato 29

a gennaio del 2017.

Neil Gershenfeld (1959-), direttore del “MIT's Center for Bits and Atoms”. Cfr http://ng.cba.mit.edu.24

Isaac Chuang (1968-), professore di fisica, ingegneria elettronica. Cfr. http://feynman.mit.edu/ike/homepage/25

index.html.

Tecnica strumentale di imaging (in sigla RMN o, più brevemente, RM) ampiamente utilizzata anche nella diagnosi di 26

patologie cerebrali e nella ricerca delle funzioni a esse correlate. Il fenomeno fisico su cui si basano le immagini RMN è legato alle proprietà magnetiche dei nuclei atomici: la grandezza fisica che descrive tali proprietà è il momento angolare intrinseco µ (detto comunemente spin) che, secondo le regole della meccanica quantistica, può assumere solo valori discreti interi o seminteri. Crf. http://www.treccani.it/enciclopedia/risonanza-magnetica-nucleare_%28Dizionario-di-Medicina%29/.

D-Wave è una azienda canadese fondata nel 1999, leader nel settore dei computer quantistici. Cfr. https://27

www.dwavesys.com/.

Vedi § 3.28

Vedi § 3.29


Quantum circuits. © Copyright New Scientist Ltd.

http://feynman.mit.edu/ike/homepage/index.html

http://feynman.mit.edu/ike/homepage/index.html

http://ng.cba.mit.edu


1.2. Principi alla base del Calcolo Quantistico

Il calcolo quantistico permette di risolvere problemi complessi che per un computer classico risulterebbero impossibili in quanto il tempo impiegato per trovare la soluzione sarebbe maggiore dell’età dell’universo stesso. Questa straordinaria potenza di calcolo trova il suo fondamento nei principi della fisica quantistica.

1.2.1. Principio di Sovrapposizione (Superposition)

Il principio di sovrapposizione della meccanica quantistica afferma che lo stato di un sistema quantistico invece di esistere in uno stato distinto e determinato ad ogni istante di tempo (come nel caso classico) si trova invece in un "mixing" di tutti i possibili stati di base contemporaneamente.

Uno stato quantistico ammette un insieme di stati base , l’insieme di questi autostati si 30

può descrivere come:

!

Questo sviluppo costituisce l’espressione formale del principio di sovrapposizione. L'ampiezza e la fase che rende questa sovrapposizione di autostati coerente è data dal fatto che i coefficienti (pesi) nella somma sono numeri complessi ( ) che hanno una 31

informazione sia di ampiezza ( ! ) che di fase ( ! ) e sono

proporzionali alla probabilità dello stato corrispondente (il modulo elevato al quadrato del coefficiente ! equivale la probabilità dello stato).

La quantità di informazione minima nei computer classici, il bit , si basa su una logica binaria e 32

può assumere due soli valori: 0 o 1. Il bit quantistico (qubit), su cui si basano i nuovi computer quantistici, può non solo assumere i valori 0 o 1, ma anche tutti i suoi valori intermedi in un numero

ψ⟩ ak⟩

ψ⟩ = ∑k

ck ak⟩

ck ck = rk + imk

Ampiez za = r2 + m2 Fase = arctgmr

|ck |2

Questa simbologia usata in meccanica quantistica fu introdotta da P. M. Dirac, uno dei fondatori della meccanica 30

quantistica, e rappresenta un generico vettore (“ket”) nello spazio di Hilbert; ovvero uno spazio lineare, vettoriale che generalizza uno spazio euclideo.

La notazione abitualmente usata per indicare un numero complesso z è: z=a+ib con a, b appartenente a R , a è la parte 31

reale, b quella immaginaria e i = √(-1).

Il bit (Binary Digit) è l’unità base dell’informazione nei computer, può assumere due valori distinti: 0 o 1.32



di modi virtualmente infinito, risultando in una sovrapposizione di stati capace di descrivere un sistema anche molto complesso. Consideriamo, per esempio, un registro classico di 2 bits. Le combinazioni possibili descritte da questi 2 bits sono quattro: 00, 01, 10, 11. Come nel caso classico binario, per rappresentare un numero intero ! sono necessari ! qubits. Un registro di 2 qubits però permette di memorizzare e manipolare tutti e 4 gli stati contemporaneamente. Se si usano ! qubits si possono memorizzare ! numeri attraverso la sovrapposizione. Un registro di 270 qubits, composto essenzialmente da 270 atomi, sarebbe potenzialmente capace di memorizzare più numeri contemporaneamente di quanti siano gli atomi presenti nell'Universo conosciuto attualmente . È importante notare, tuttavia, che una misura 33

del sistema fornirà solamente uno dei tanti stati possibili. Questa è una proprietà importante del calcolo quantistico: abbiamo a disposizione una elevata informazione virtuale, ma quando si cerca di materializzarla con una misura, questa fornirà un solo valore come nel caso classico e non tutti allo stesso tempo. Naturalmente la situazione è analoga a quella di una funzione d’onda quantistica che sottoposta ad una misura collassa da una sovrapposizione di stati base indefinita ad uno stato determinato con la sua probabilità. Proprio per il pericolo del collasso di un sistema quantistico lo stato del calcolo intermedio tra l’istante iniziale ! e e quello finale ! non può essere conosciuto o osservato, altrimenti invaliderebbe tutto il calcolo quantistico. I qubits sono misurati all’ingresso e all’uscita del processore che effettua il calcolo, ma non al suo interno. Da notare inoltre che l’evoluzione dell’informazione quantistica è reversibile: se vogliamo ritornare dallo stato relativo al tempo ! allo stato al tempo ! , la cosa è possibile.

2n − 1 n

n 2n

t0 t

tt0

Secondo una stima del 2015 sono ≃ 1080 atomi. Cfr. https://www.universetoday.com/36302/atoms-in-the-universe/.33


Copyright © D-Wave Systems Inc.


1.2.2. Principio di Indeterminazione di Heisenberg

Se indichiamo con ∆X l’indeterminazione della posizione e con ∆P l’indeterminazione della quantità di moto di un oggetto quantistico la relazione di Heisenberg si scrive come: 34

! ! con ℎ la costante di Planck .35

Poiché il prodotto fra ∆X e ∆P deve rimanere costante, più è piccola l’indeterminazione che abbiamo su una delle due grandezze, maggiore sarà l’indeterminazione sull’altra. Non si può conoscere (misurare) con precisione qualunque una data variabile senza tenere conto dell’imprecisione indotta sull’altra variabile coniugata. Queste relazioni pongono un limite inferiore intrinseco alla conoscenza precisa dello stato dinamico di un sistema quantistico. Se infatti inviassimo una particella minuscola ad interagire con un’altra per ricavarne informazioni sulla sua posizione o sulla sua velocità, finiremmo per alterare quegli stessi valori propio a causa della interazione. In un computer classico è sempre possibile conoscere (in linea di principio) il suo stato interno di tutti i suoi componenti, mentre in un computer quantistico questa conoscenza è preclusa a priori sulla base del principio di indeterminazione di Heisenberg.

1.2.3. Entanglement

A livello quantistico due oggetti possono formare una entità unica, anche se essi si trovano a elevate separazioni spaziali tra di loro, una modifica di stato su un oggetto modifica istantaneamente lo stato del secondo oggetto. Il concetto di entanglement annulla la separazione spazio-temporale. Come questo sia possibile e giustificabile non è noto mancando ancora una teoria unificata della gravità e della meccanica quantistica. È importante sottolineare che questa entità entangled non può essere considerata come una combinazione di due oggetti indipendenti, poiché questo richiederebbe la trasmissione di informazione a velocità superluminali e questo è proibito dalle attuali leggi della fisica. L’entità

ΔXΔP ≥ ℏ/2ℏ = h /2π

La quantità di moto di un oggetto massivo è una grandezza vettoriale definita come il prodotto della massa 34

dell'oggetto per la sua velocità.

La costante di Planck è una costante fisica di valore attualmente accettato ℎ = 6,626070040(81) x 10-34 j*s. Cfr. http://35

physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html.



deve essere unica, irriducibile e inseparabile . Matematicamente l’entanglement si può descrivere 36

attraverso il prodotto vettoriale tra due o più spazi di Hilbert che risulta non separabile nei 37

rispettivi stati base e quindi il generico stato quantistico ! non è fattorizzabile.

In formule: dato uno stato ! descritto dal prodotto di 2 spazi di Hilbert !

!

dove ! e ! sono gli stati base dei due spazi di Hilbert ! e ! , l’entanglement si ottiene

quando non è possibile scrivere ! e quindi:! .

Una conseguenza di queste proprietà è che l’informazione contenuta in uno stato di entanglement coinvolgente ! qubits, cresce esponenzialmente con ! e non linearmente come nel caso dei bit classici. Questo perché agendo sullo stato di un qubit entangled a tutti gli altri qubits del processore, varierà istantaneamente anche i loro stati.

ψ⟩

ψ⟩ H = H1 ⊗ H2

ψ⟩ = ∑k,h

ck,h akah⟩

ak⟩ ah⟩ H1 H2

ck,h = αk ⋅ βh ∀(k , h) ψ⟩ = ∑k

αk ak⟩ ⋅ ∑h

βh ah⟩

n n

Il paradosso dell’entanglement emerse in un famoso lavoro pubblicato nel 1935 da Einstein con due colleghi fisici 36

Podolski e Rosen. Se consideriamo una particella che decade in altre due sub-particelle che si muovono lungo una ipotetica retta alla stessa velocità ma in direzioni opposte, è possibile fare una misura della posizione su una particella mentre sull’altra una misura della quantità di moto. Essendo simmetricamente opposte si verrebbe in questo modo esattamente a sapere la posizione e la quantità di moto di entrambe le particelle, cosa che è proibita dal principio di indeterminazione di Heisenberg. L’unica soluzione è che le particelle rimangano in collegamento fra di loro in qualche modo e si influenzino a distanza. Cfr. Amaldi, U., L’Amaldi per i licei scientifici, vol. 3, Zanichelli editore, Bologna, 2016, p. 1207.

Vedi nota 31.37


Entanglement artwork”(c) 2013 OxfordQuantum.org"


2. Sviluppo e Applicazione

2.1. Quantum Computers applicati a problemi complessi

Se ci spostassimo dal piano teorico a quello pratico e applicativo, dove potrebbero essere impiegati i computer quantistici? Quali benefici comporterebbero? Le loro potenzialità applicative sono in realtà vastissime, in generale possiamo affermare che la loro principale funzione consiste nel risolvere problemi complessi. Cosa si intende per problemi complessi ? 38

La definizione, come già accennato, spazia su moltissimi campi, ma per facilitarne la comprensione facciamo alcuni esempi: un computer quantistico potrebbe trovare il modo migliore per costruire un oggetto dipendete da molte variabili, come un aeroplano o un edificio; riuscirebbe ad analizzare in poco tempo enormi quantità di dati, come il traffico internet, i mercati finanziari, le sequenze del codice genetico o i risultati empirici degli esperimenti scientifici. Potrebbe potenziare il calcolo 39

matematico e aiutarci alla comprensione del mondo fisico ricreando modelli di realtà semplificati. Potrebbe inoltre far compiere all’Intelligenza Artificiale (IA) quel salto cognitivo che ancora 40

separa inequivocabilmente il modo di ragionare di un uomo e quello di macchina. Per ulteriori riscontri applicativi rimando al sito della D-Wave: https://www.dwavesys.com/quantum-computing/industries e https://www.dwavesys.com/quantum-computing/applications. Nei seguenti paragrafi esaminerò più nel dettaglio due degli algoritmi quantistici maggiormente promettenti e a pochi passi dalla loro implementazione pratica.

Senza entrare nei dettagli della teoria della complessità, possiamo dare una prima definizione qualitativa di 38

complessità: un sistema è detto complesso se le sue proprietà non sono derivabili dalle proprietà dei suoi componenti dei suoi sottosistemi costituenti. Ciò implica che un sistema complesso mostra proprietà emergenti non codificabili a priori. Cfr. Rajesh R. Parwani, “Complexity: An Introduction”, 28 Jan 2002 https://arxiv.org/abs/physics/0201055.

L’enorme quantità di dati ricavati dal sequenzionamento e dalla mappatura del codice genetico ha richiesto una 39

collaborazione sempre più stretta della biologia con l’informatica.

Cfr. http://phys.org/news/2016-10-quantum-effects-artificial-intelligence.html.40


2 0 0 0 Q u b i t s Q u a n t u m Processing Unit. Copyright © D-Wave Systems Inc

https://www.dwavesys.com/quantum-computing/industries

https://www.dwavesys.com/quantum-computing/industries

https://www.dwavesys.com/quantum-computing/applications


2.2. Fattorizzazione di Shor e Crittografia Quantistica

Fattorizzare un numero a molte cifre è estremamente complesso e questa complessità aumenta esponenzialmente ogni volta che si aggiunge un ordine di grandezza al numero. <<Dunque, se per fattorizzare un numero di 100 cifre occorre un tempo Q, per fattorizzarne uno di 200 il tempo sale a circa 50.000.000 Q, e per 300 arriviamo a 60.000.000.000.000 Q. Se Q è un secondo, per un intero di 100 cifre occorre 1 secondo, per 200 cifre più di un anno e mezzo, per 300 cifre 2 milioni di anni.>> 41

Questo è esattamente il fondamento della moderna crittografia a RSA che codifica un messaggio 42

tramite la moltiplicazione fra di loro di due numeri primi a molte cifre. Solamente il destinatario e l’emittente conoscono questi due numeri e chiunque tentasse di scoprirli, si troverebbe a dover fattorizzare un numero con troppe cifre perché anche i più potenti computer del mondo riuscissero a trovare la risposta in un tempo accettabile. La crittografia a RSA è il metodo più sicuro per scambiarsi le informazioni online, basti solo pensare che le transizioni bancarie si basano proprio su questo. Un computer quantistico però, grazie all’algoritmo di fattorizzazione di Peter Shor, potrebbe trovare i due fattori moltiplicativi in pochi minuti e rompere la crittografia a RSA con estrema facilità, così come gli altri tipi di crittografie e le codifiche delle password. L’idea di Shor fu quella di sostituire il problema della fattorizzazione di un numero intero grande con il problema della ricerca del periodo e di risolverlo attraverso una trasformata quantistica di Fourier . 43

Shor utilizzò il metodo della fattorizzazione facendo uso della proprietà che i resti hanno una certa periodicità, mai utilizzata prima nei problemi di fattorizzazione. Indichiamo con a e b due interi ed il maggior divisore comune tra questi due numeri con: gcd(a, b). I passi che portano alla fattorizzazione di un numero intero N si possono riassumere come: 1. Selezionare un intero opportuno x tale che: x < N. 2. Calcolare: f = gcd(x, N). Se f ≠ 1, allora f sarà un fattore di N. 3. Determinare il numero primo intero r tale che quando si divide x r per N il resto sia 1.

Cfr. http://web.freepass.it/maurizioudini/Algoritmi/LaboratorioAlgoritmi-Dispensa-Cap05.PDF.41

Nel 1978 i tre ricercatori del MIT Ronald Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman, sfruttando le proprietà dei numeri 42

primi, svilupparono l'algoritmo RSA (dalle iniziali dei loro cognomi). L’enorme mole di calcoli, e quindi di tempo necessario per trovare la chiave di decrittazione dell’algoritmo, fanno di esso un sistema con affidabilità pressoché assoluta. Ad oggi l'algoritmo RSA è ancora fra i più sicuri e utilizzati come nell'autenticazione di un utente, le firme digitali o le transizioni bancarie. Per ulteriori informazioni rimando al sito ufficiale: https://www.rsa.com/en-us/company/about-rsa.

La trasformata di Fourier di una funzione generica che può assumere solamente valori discreti si chiama trasformata 43

discreta di Fourier (DFT). Fra le sue varie applicazioni è molto utile come rappresentazione nello spazio delle frequenze di una data funzione per individuarne le proprietà di periodicità.



4. Se si verifica che o gcd(x r/2

-1, N) ≠ 1 o gcd(x r/2

+1, N) ≠ 1 allora questo è il fattore cercato. Altrimenti si ritorna allo step (1).

Facciamo un esempio concreto semplice. Supponiamo di dover fattorizzare l’intero 15 con l’algoritmo di Shor. L’IBM nel 2001 ha effettuato questo calcolo con un computer quantistico a 7 qubits. 1. Proviamo con 11<15. 2. gcd(11, 15)=1. 3. Determiniamo r partendo da 1 e proseguendo nella successione dei numeri Naturali: r = 1 :

111/15 = 0.733…= 0 resto11 r = 2: 112/15=121/15 = 8.066…= 8 resto1 la soluzione è r=2. 4. Calcoliamo xr/2-1 = 111-1=10 e xr/2+1 = 111+1=12. Ora gcd(10,15)=5 ≠ 1 e gcd(12,15)=3 ≠ 1. 3

e 5 sono i fattori cercati quindi la fattorizzazione è: 15=3x5. Per trovare efficientemente l’intero r dello step (3) l’algoritmo di Shor sfrutta la trasformata quantistica discreta di Fourier possibile attraverso la sovrapposizione dei qubits in un computer quantistico. Per avere una idea più diretta del vantaggio nei tempi di calcolo dell’algoritmo di Shor rispetto a migliori algoritmi classici si possono confrontare le curve mostrate in figura : 44

Le due curve descrivono l’impiego di tempo (asse y) in funzione alla complessità del numero da 45

fattorizzare (asse x). Come si può vedere dal grafico, la curva arancione, che rappresenta un

Grafico realizzato da Federico Sello sulla base delle formule mostrate in https://www.quora.com/Which-is-the-44

fastest-prime-factorization-algorithm-to-date.

Da notare che l’unità di misura del tempo in questo caso è indifferente in quanto si vuole mettere in risalto la 45

differenza dell’andamento delle due curve.



algoritmo di fattorizzazione classico, cresce molto più rapidamente di quella viola che sfrutterebbe l’algoritmo di Shor. Niente potrebbe essere più trasmesso via Internet con la sicurezza di non essere intercettato. L’unica possibilità sarebbe, ancora una volta, di utilizzare i computer quantistici per creare una crittografia inattaccabile. Se infatti sfruttassimo i principi quantistici potremmo inviare una informazione con la certezza assoluta che nessuno possa intercettarla perché, se così fosse, lo stato dei qubits del messaggio collasserebbe istantaneamente alterandosi.

2.3. Algoritmo di Ricerca di Grover

L’algoritmo di Grover ha lo scopo di effettuare una ricerca in un insieme non ordinato (o non strutturato) di N=2n elementi per trovare un unico elemento tra l’insieme che soddisfa una data condizione. Supponiamo di dover cercare 1 elemento in una banca dati (database) contenente circa un milione N=220 di voci (records), ad esempio il numero di telefono di una persona in un registro aziendale. Un computer classico impiega N tentativi per passare in rassegna tutti i numeri nel database e restituire quello cercato. Un computer quantistico che utilizza l’algoritmo di Grover impiegherebbe solo iterazioni; nel nostro caso ciò significa circa mille tentativi (210) invece che un milione (220). Per raggiungere questa velocizzazione nel calcolo ci si basa sulla sovrapposizione quantistica degli stati. L’algoritmo inizia ponendo la macchina in uno stato di uguale sovrapposizione di tutti i possibili stati del registro di qubits che tratta contemporaneamente. Questo significa assegnare

una uguale ampiezza pari a ! ad ogni configurazione possibile dei qubits (stato) nel sistema e

una uguale probabilità, pari al modulo dell’ampiezza al quadrato cioè , che il sistema si trovi in

uno dei possibili stati. Tutti questi possibili stati corrispondono a tutte le possibili soluzioni del database di ricerca. Successivamente viene effettuato un cambiamento (shift) selettivo di fase di uno stato del sistema in modo che le ampiezze di probabilità di tutti gli stati che non sono quello cercato vengano dimezzate, mentre viene aumenta la probabilità dello stato ricercato. In questo modo si arriverà ad ottenere la corretta soluzione al problema di ricerca con probabilità crescente ad ogni iterazione. Queste operazioni non sarebbero possibili se le ampiezze non avessero questa extra informazione riguardo la fase dello stato in aggiunta alla probabilità associata ad esso . L’amplificazione di 46

N

2n n1

2n

12n

2n

Vedi § 1.2.1.46



ampiezza che usa l’algoritmo di Grover è tipica del calcolo quantistico e non ha un analogo nel calcolo classico. Analizziamo ora qualche dettaglio più matematico dell’algoritmo di Grover. L’algoritmo inizia considerando un registro quantistico di ! qubits per il problema dato, necessari quindi a rappresentare lo spazio di ricerca di dimensione ! .Il primo passo è porre il sistema in una sovrapposizione uguale di stati:

! La serie successiva di trasformazioni sullo stato si chiama iterazione di Grover ed effettua l’amplificazione di ampiezza accennata prima. L’iterazione di Grover si ripete ! volte per

ottenere la massima probabilità che lo stato finale sia quello corretto. Per applicare l’iterazione di Grover è necessario introdurre un operatore detto “Oracolo”. Più precisamente indichiamo con ! l’oracolo che è una funzione in grado di osservare e modificare un dato stato quantistico senza farlo collassare in uno stato classico. L’operazione eseguita dall’oracolo è la seguente:

! dove la funzione ! dipenderà dal problema in esame e deve soddisfare la condizione: ! se ! dove ! è lo stato che cerchiamo, altrimenti: ! . L’oracolo quindi mantiene inalterato lo stato se non è corretto, mentre gli cambia il segno se è quello corretto. L’iterazione di Grover si rappresenta quindi con la trasformazione di diffusione:

!

con ! , |ψ><ψ| è il prodotto tensoriale tra i due vettori stato e ! indica la matrice identità

nello spazio di Hilbert considerato, cioè una matrice: ! x! . Alla fine delle ! iterazioni la misura dello stato del registro darà la risposta esatta: ! .

nN = 2n

π4

2n

O

f (x) f (x) = 1x = x0 x0 f (x) = 0

R ≈π4

2n I

(2n) (2n)R x = x0


Quantum Computer Artwork. Copyright MMXVII. All rights reserved. Image Credit: Alengo/iStockPhoto


3. Stato attuale della Ricerca

Attualmente ci sono diversi gruppi di ricerca e laboratori in tutto il mondo che stanno lavorando alla realizzazione di un computer quantistico stabile ed efficiente, per approfondire: http://www.enterrasolutions.com/inching-towards-era-quantum-computing/. Come già evidenziato alla fine del paragrafo Storia del Quantum Computer, uno dei modelli di calcolatori quantistici più avanzati attualmente è il 2000Q sviluppato dalla D-Wave, la quale sostiene di avere installato con successo sul processore ben 2000 qubits. Per far fronte al problema più grande della tecnologia quantistica, ovvero la decoerenza , il computer è mantenuto ad una 47

temperatura di appena 0,015° sopra lo zero assoluto , schermato fino a raggiungere un valore per il 48

campo magnetico 500000 minore di quello terrestre e tenuto sottovuoto con una pressione 10 49

miliardi di volte inferiore di quella atmosferica . Il consumo di potenza dell’intero apparato è di 50

appena 25kW, circa 1000 volte di meno di un normale supercomputer, questo anche grazie al chip 51

a niobio che a temperature estremamente basse si comporta da superconduttore, ovvero ha 52

Resistenza = 0 e il calore dissipato per effetto Joule = 0. 53

Il computer è così promettente che già diverse società fra le quali Nasa, Google, Lockheed Martin 54

e Volkswagen hanno stipulato un contratto per l’acquisizione di un modello di 2000Q. È bene precisare a questo punto che il modello di computer quantistico progettato dalla D-Wave System si avvale principalmente della tecnica del quantum annealing , cioè la simulazione di un 55

processo fisico che evolve naturalmente verso la posizione di energia minima: questo gli permette

La decoerenza è il problema principale che si oppone alla realizzazione di un computer quantistico al cui interno 47

devono rimanere validi i principi della meccanica quantistica. Basta infatti che i qubits del processore interagiscano con altre particelle o con onde elettromagnetiche provenienti dall’ambiente circostante per alterare e far collassare l’intero calcolo quantistico in uno stato di ‘mixing’ incoerente classico.

Lo zero assoluto è il limite inferiore delle temperature sotto al quale non si può scendere e dove l'agitazione termica 48

risulta nulla, equivale a 0° Kelvin o -273,15° Celsius.

Il valore del campo magnetico terrestre è circa 45 µT = 0,45 Gauss.49

La pressione atmosferica standard è quella misurata alla latitudine di 45°, al livello del mare e ad una temperatura di 50

0° C, corrisponde a: 1 atm = 101325 Pa.

Cfr. https://cacm.acm.org/news/192296-supercomputings-super-energy-needs-and-what-to-do-about-them/fulltext.51

Elemento chimico di numero atomico 41, peso atomico 92,91, simbolo Nb; scoperto da C. Hatchett nel 1801 e isolato 52

da C.W. Blomstand nel 1866. Cfr. http://www.treccani.it/enciclopedia/niobio/.

Se consideriamo un circuito elettrico per cui valga la legge di Ohm, in cui scorra una corrente di intensità I, nel 53

circuito si sviluppa un calore dissipato Q pari a Q=I2*R dove R è la resistenza del tratto conduttore.

La Lockheed Martin è un'azienda statunitense attiva nei settori dell'ingegneria aerospaziale e della difesa, formatasi 54

nel 1995 dalla fusione tra la Lockheed Corporation e la Martin Marietta. Per ulteriori informazioni rimando al sito: www.lockheedmartin.com/.

Cfr. https://www.youtube.com/watch?v=zvfkXjzzYOo.55


http://www.enterrasolutions.com/inching-towards-era-quantum-computing/

http://www.enterrasolutions.com/inching-towards-era-quantum-computing/


di funzionare bene per particolari problemi come l’ottimizzazione o il sampling . Inoltre l’utilizzo 56

della tecnica del quantum annealing è anche il motivo del numero così elevato di qubits che partecipano al processo. Completamente differente, però, è lo sviluppo del cosiddetto “computer quantistico universale” che richiede operazioni più complesse con tempi di coerenza maggiori, quindi maggior controllo dell'evoluzione dei qubits; consente l'applicazione di molti algoritmi quantistici, come quello di Shor o di Grover, che non possono essere utilizzati nel computer annealing del D-wave. Il record attuale per questo secondo tipo di computer quantistici è quello annunciato da poco dalla IBM ed è di 17 qubits che presto potrebbero essere portati a 50. 57

L’IBM stessa ha inoltre messo a disposizione un vero e proprio computer quantistico programmabile tramite una interfaccia remota online che permette a ricercatori di tutto il mondo di attuare esperimenti di algoritmi quantistici. Il progetto prende il nome di “Quantum Expirience” 58

ed ha permesso anche a me di scrivere ed eseguire codice per un reale processore quantistico . 59

“We actually think quantum machine learning may provide the most creative problem-solving process under the known laws of physics.” (Hartmut Neven, Director of Engineering, Google)

Sampling significa “campionare”; in elettronica: sezionamento di un segnale che viene successivamente ricostruito 56

come segnale intero. Con significato più generico: misurazione di una variabile a intervalli regolari per poterne rilevare l’andamento nel tempo. Cfr. http://www.treccani.it/vocabolario/sampling/.

Cfr. http://www-03.ibm.com/press/us/en/pressrelease/52403.wss.57

Cfr. https://www.research.ibm.com/ibm-q/ e https://quantumexperience.ng.bluemix.net/qx/user-guide.58

Cfr. Appendice, Esperimento dell’Algoritmo Quantistico di Grover.59


Immagine satirica: “Wanted dead and alive” che prende spunto dal celebre esperimento mentale del “gatto di Schröedinger”.


Conclusione Lo studio del calcolo quantistico e lo sviluppo dei computer quantistici ricopriranno sicuramente un ruolo significativo in un futuro prossimo, insieme alla speranza di un miglioramento importante e innovativo per la vita dell’uomo, così come lo è stata in generale la prima rivoluzione informatica. Nonostante siano state mosse alcune critiche sull’effettiva validità dei calcoli all’interno dei processori quantistici (in quanto l’impossibilità di osservare l’evoluzione di un sistema quantistico senza farlo collassare in uno stato classico non permette di dimostrare con assoluta certezza la validità delle operazioni ), il progresso tecnico rispetto ai computer classici si è rivelato possibile e 60

concreto, a prescindere dalla conoscenza assoluta dei processi quantistici che noi non possiamo raggiungere in quanto indeterministici. Queste considerazioni hanno un’incredibile somiglianza con la tesi dell’ ‟empirismo costruttivo”, secondo la quale il progresso scientifico non necessita dell’accettazione o del rifiuto dell’esistenza delle entità teoriche, come gli atomi ad esempio. L’indagine scientifica infatti può avere pieno 61

successo anche se non si crede nella verità delle teorie; una legge è vera se descrive appieno e correttamente i fenomeni empirici. La contrapposizione di queste idee “antirealiste" con quelle “realiste” fa riemergere l’irrisolto dibattito epistemico sulle leggi osservative e teoriche, ovvero se 62

la scienza si limiti ad una descrizione fenomenica della realtà o sia in grado di rappresentarla ‘ontologicamente’, in particolare anche la parte non osservabile del mondo che ci circonda. Forse i computer quantistici potranno aiutarci anche in questo ambito; per ora rimane il fatto che nonostante non possiamo conoscere ontologicamente lo stato quantistico della Natura possiamo sfruttarne la potenza. Resterà infine da valutare dal punto di vista umano quanto potranno essere “magnifiche sorti e progressive” quelle di questo nuovo sviluppo scientifico-tecnologico e la responsabilità morale 63

che esso comporta; sono sfide aperte dalla volontà di conoscere e di migliorare. Tra macchina ed essere umano, chi guiderà la società del futuro perché progresso sia? La conclusione resta aperta e nel finale si ricollega all’inizio.

“Un giorno le macchine riusciranno a risolvere tutti i problemi, ma mai nessuna di esse potrà porne uno.” (Albert Einstein)

La D-Wave ha pubblicato dei risultati che a loro parere sono la prova dell’effettivo calcolo quantistico all’interno del 60

processore annealer; per approfondire: https://www.nature.com/articles/ncomms2920, https://www.researchgate.net/profile/Mohammad_Amin9/publication/51117464_Quantum_annealing_with_manufactured_spins/links/553e68cb0cf210c0bdaaa406.pdf, https://journals.aps.org/prx/pdf/10.1103/PhysRevX.4.021041.

Cfr. La Vergata A., Trabattoni F., Filosofia cultura cittadinanza, vol. 3, La Nuova Italia, Milano, 2016, pp. 704-706.61

Ibidem.62

Leopardi, G., Canti, M. Fubini (a cura di), Loescher Editore, Torino, 1986, p. 250.63


https://www.nature.com/articles/ncomms2920

https://www.researchgate.net/profile/Mohammad_Amin9/publication/51117464_Quantum_annealing_with_manufactured_spins/links/553e68cb0cf210c0bdaaa406.pdf



https://journals.aps.org/prx/pdf/10.1103/PhysRevX.4.021041


Appendice

Esperimento dell’Algoritmo Quantistico di Grover

Grazie agli s trumenti messi a disposizione dalla IBM sul loro si to ht tps: / /quantumexperience.ng.bluemix.net/qx/user-guide, sono riuscito a ricreare una mia versione dell’algoritmo di ricerca di Grover e a testarlo su un vero computer quantistico, come qui sotto riportato. Per l’esperimento useremo 4 qubits: q[0], q[1], q[2], q[3] e lo stato finale che vogliamo ricercare fra tutti i possibili 24 stati è “0111”. Le porte “h”, “x” e “cx” sono le operazioni logiche applicate a qubits. Codice dell’algoritmo:

// Name of Experiment: Grover N=4 S=0111 //OPENQASM 2.0;

include “qelib1.inc";

qreg q[5]; creg c[5];

h q[0]; h q[1]; h q[2]; h q[3]; h q[1]; h q[2];

cx q[0],q[1]; cx q[3],q[2];

h q[1]; h q[2]; h q[0]; h q[1]; h q[2]; h q[3];



x q[0]; x q[1]; x q[2]; x q[3];

h q[1]; h q[2];

cx q[0],q[1]; cx q[3],q[2];

h q[1]; h q[2];

x q[0]; x q[1]; x q[2]; x q[3];

h q[0]; h q[1]; h q[2]; h q[3];

measure q[0] -> c[0]; measure q[1] -> c[1]; measure q[2] -> c[2]; measure q[3] -> c[3]

__________________________________________



Il risultato è la seguente distribuzione di probabilità:



Come si può notare dal grafico la probabilità che il sistema alla fine si trovi nello stato “0111”, che è il nostro stato ricercato, è pari a 0,662 cioè il 66,2% delle volte. Aumentando il numero di iterazioni dell’algoritmo questo valore si avvicina sempre di più a 1, ovvero la certezza assoluta che lo stato finale del sistema coincida con lo stato ricercato. Naturalmente ciò è impossibile in un reale processore quantistico che è soggetto a, seppur minimi, errori. Nella simulazione dell’algoritmo infatti si nota che la probabilità teorica stimata sarebbe del 100%:

Per ulteriori dettagli sullo stato del processore quantistico e sul numero di esecuzioni:



Bibliografia

Akama, S., Elements of Quantum Computing History, Theories and Engineering Applications, Springer, s. l., 2015.

Amaldi, U., L’Amaldi per i licei scientifici, Vol. 3, Zanichelli Editore, Bologna, 2016.

Brown, J., Mind, Machines, and the Multiverse. The Quest for the Quantum Computer, Simon & Schuster, New York, 2000.

Feynman, R. P., QED, Gli Adelphi, Milano, 2016.

Hill, F. J., Peterson, G. R., Digital System: hardware organization and design, Second Edition, Jhon Wiley & Sons, USA 1978.

La Vergata, A.,Trabattoni, F., Filosofia cultura cittadinanza, vol. 3, La Nuova Italia, Milano, 2016.

Leopardi, G., Canti, M. Fubini (a cura di), Loescher Editore, Torino, 1986.

Kernighan, B. W., Ritchie, D. M., Il linguaggio C Principi di programmazione e manuale di riferimento, Pearson, seconda edizione, s. l., 2008.

Sitografia

http://arstechnica.com/science/2015/09/d-wave-unveils-new-quantum-computing-benchmark-and-its-fast/. http://arxiv.org/abs/physics/0201055. http://cacm.acm.org/news/192296-supercomputings-super-energy-needs-and-what-to-do-about-them/fulltext. http://docplayer.it/35952111-Quantum-computer-lavoro-di-maturita-liceo-cantonale-di-locarno-doriano-hautle-e-gionata-genazzi.html. http://feynman.mit.edu/ike/homepage/index.html. http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.117.130501. http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.117.210502. http://journals.aps.org/prx/pdf/10.1103/PhysRevX.4.021041. http://link.springer.com/article/10.1007/BF01342185. http://matematica-old.unibocconi.it/LangZac/primi.html. http://math.mit.edu/directory/profile?pid=247. http://ng.cba.mit.edu. http://oxfordquantum.org.


http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.117.210502

https://journals.aps.org/prx/pdf/10.1103/PhysRevX.4.021041


http://quantumexperience.ng.bluemix.net/qx/user-guide. http://research.ibm.com/ibm-q/. http://theory.fi.infn.it/ademollo/Fondamenti.pdf. http://tph.tuwien.ac.at/~oemer/qcl.html. http://web.freepass.it/maurizioudini/Algoritmi/LaboratorioAlgoritmi-Dispensa-Cap05.PDF. http://www-03.ibm.com/press/us/en/pressrelease/52403.wss. http://www.apogeonline.com/2002/libri/88-503-1062-5/ebook/pdf/QuantumComputing.pdf. http://www.arturekert.org. http://www.daviddeutsch.org.uk/about-me/. http://www.dwavesys.com. http://www.enterrasolutions.com/category/quantum-computing/. http://www.fisica.uniud.it/~deangeli/fismod/cap6.pdf. http://www.iro.umontreal.ca/~brassard/en/. http://www.lockheedmartin.com. http://www.nature.com/articles/ncomms10138. http://www.nature.com/articles/ncomms14106. http://www.nature.com/articles/ncomms2920. http://www.nature.com/news/quantum-computers-ready-to-leap-out-of-the-lab-in-2017-1.21239. http://www.nature.com/nphoton/journal/v9/n6/full/nphoton.2015.83.html. http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html. http://phys.org/news/2016-10-quantum-effects-artificial-intelligence.html. http://www.quora.com/Which-is-the-fastest-prime-factorization-algorithm-to-date. h t t p : / / w w w . r e s e a r c h g a t e . n e t / p r o f i l e / M o h a m m a d _ A m i n 9 / p u b l i c a t i o n /51117464_Quantum_annealing_with_manufactured_spins/links/553e68cb0cf210c0bdaaa406.pdf. http://www.rsa.com/en-us/company/about-rsa. http://www.treccani.it/enciclopedia/niobio/. http://www.treccani.it/enciclopedia/spin/. http://www.treccani.it/vocabolario/sampling/. http://www.universetoday.com/36302/atoms-in-the-universe/. http://www.youtube.com/watch?v=CMdHDHEuOUE. http://www.youtube.com/watch?v=Yl3o236gdp8. http://www.youtube.com/watch?v=aUuaWVHhx-U. http://www.youtube.com/watch?v=zvfkXjzzYOo.


http://www.nature.com/articles/ncomms14106

https://www.nature.com/articles/ncomms2920

http://www.quora.com/Which-is-the-fastest-prime-factorization-algorithm-to-date





Documents

Computer Quantistici e problemi complessi