Conceptos Bsicos de GeometraPreparado por: Viviana NegrnTedu 225Enero a Mayo 2008Prof. Nancy Rodrguez

IntroduccinBienvenidos!! En el presente trabajo se intenta hacer llegar en la forma mas clara y precisa posible los conceptos bsicos de gemetra.

En este video podras ver jvenes practicando el deporte con la patineta y a la vez identifican algunos conceptos bsicos de geometra.

IndiceObjetivoDefinicin de GeometraEl puntoLa rectaEl planoSegmentoRayo EspacioPuntos ColinealesPuntos CoplanariosClasificacin de AngulosAnguloVrticeBisectrizAngulo AgudoAngulo ObtusoAngulo RectoAngulo Llano

ObjetivoDada la informacin, el estudiante identificar los conceptos bsicos de geometra correctamente.

Definicin de GeometraLa geometra trata de la medicin y de las propiedades de puntos, lneas, ngulos y slidos, asi como de las relaciones que guardan entre s.

El puntoLos puntos no tienen medida. Son represetados por letras maysculas y no tienen dimension (largo, alto, ancho).A B C

La rectaUna recta se extiende al infinito en ambas direcciones y carece de ancho. Las rectas se nombran con minscula.

b C A

Cmo identificar las rectas?La recta que aparece abajo es la recta b. Si se conocen los nombres de dos puntos de una recta, entonces esta recta puede identificarse por estos dos puntos. En este ejemplo, los puntos A y C estan sobre la recta b, por tanto se pueden hacer referencia a la recta b de varios modos:palabrarecta ACrecta CAsimbolo AC CA Cb A

El planoUn plano se extiende al infinito en toda direccion y no tiene grosor alguno. Los planos se representan regularmente con una figura de cuatro lados y se nombran con letras mayusculas o tres puntos colineales.

Cmo identificar el plano? B A C R

La figura de arriba puede denominarse plano R o plano ABC.

En geometra los trminos punto, recta y plano se consideran trminos primitivos o no definidos porque solo tienen explicacin a traves del uso de ejemplos y descripciones. Sin embargo, ellos sirven para definir otros trminos y propiedades geometricas.

Solucin de Problemasa. Recta Los puntos T y U pertenecen a la recta RS. Escoge dos letras de de las cuatro dadas en la figura, para nombrar esta recta.

1)FU 2)TU 3) R 4)TE U T S R

Correcto!!!El punto TU est en la recta.

Incorrecto!!Los puntos de la recta son R, S, T, U. El punto FU no pertenece a la recta.

Incorrecto!!RecuerdaSiempre se nombra la recta con dos puntos.

Incorrecto!!El punto TE no pertenece a la recta.

Solucin de problemasb. Plano MSean los puntos A, B y C del plano M. Utiliza estas letras enorden diferente para nombrar el plano. A C B

M 1)YJ 2)CFE 3)N 4)BCA

Correcto!!Los puntos BCA pertenece al plano M.

Incorrecto!!Los puntos YJ no pertenece al plano.

Incorrecto!!La letra N no pertenece al plano M.

Incorrecto!!Los puntos CFE no pertenece a la recta ABC.

SegmentoEl segmento es la parte de una recta que consiste de dos puntos, llamados extremos y de todos los puntos que estan dentro de ella. A B

Ejemplo:En el dibujo anterior hay un angulo que contine dos puntos. El segmento se identificaria como: o AB BA

RayoUn rayo, RT, es el conjunto de puntos RT y todos los puntos S de tal manera que T caiga entre R y S.

Ejemplo:

El punto final de RT es el punto R. T

RCada punto en una recta determina dos rayos que comparten un mismo extremo. Por ejemplo, el punto A determina los rayos AB, y AC. AB y AC se llaman rayos opuestos. A C B

Explicacion sobre el termino rayo.

El espacioEl espacio es infinito, es tridimencional, es el conjunto de todos los puntos.

Los puntos colineales o alineadosSon aquellos contenidos en una lnea o recta. Los puntos que no se encuentran contenidos en una recta se dice que son no colineales.

Ejemplo: Observese que los puntos A, B y C estan contenidos en la recta i. Estos puntos se dice que son colineales. El puntos D no es un punto colineal ya que no pertenece a la recta i.

C i B

A D

Los puntos (o rectas) coplanariosSon aquellos puntos (o rectas) que se encuentran contenidos en un plano.

Ejemplo:Los puntos Q, R, S y T son coplanarios ya que cada uno esta en el plano E. Las rectas m y k son coplanarias al estar las dos en el plano E. U m k T Q R S E

Puntos o rectas que no estan contenidos en el mismo plano son no coplanarios. Los puntos Q, R, S, y U son no coplanarios.

Comprueba lo aprendidoEncuentra el segmento correcto: M R L S N Q

1) NS 2) RQ 3) LS 4) ML

Muy bien! El segmento ML pertenece a una misma recta.

Incorrecto!El semgmento NS no pertenece a una misma recta.

Incorrecto!El segmento RQ no pertenece a una misma recta.

Incorrecto!El segmento LS no pertenece a una misma recta.

Comprueba lo aprendidoSeran QP y QR rayos opuestos? Q P R

a) Si, porque el punto Q esta entre medio.b) No, solamente si el punto P esta entre Q y R.c) No, porque no son puntos colineales.d) No, porque son mas de dos rayos.

Excelente!Recuerda que los puntos deben ser colineales (que pertenecen a una misma recta) en este caso lo son, y el punto entre medio tiene que ser P. Seria, QP y PR.

Incorrecto!El punto Q no esta entre medio, es el punto P.

Incorrecto!!Los puntos si son colineales porque pertenecen a una misma recta.

Incorrecto!!Solamente se esta identificando dos rayos y buscar si son opuestos.

Vamos a Practicar.Identifique los puntos colineales y coplanarios: J w F p H G T e

Indica los puntos colineales:a) D,U J w F p b) A,B H G T c) G,F ed) J,T

Correcto!Los puntos G,F estn contenidos en una misma recta o lnea.

Incorrecto!Los puntos D,U no aparecen en el dibujo.

Incorrecto!Los puntos A,B no aparece en el bibujo.

Incorrecto!Los puntos J,T estan contenidos en el dibujo, pero el punto J pertenece a una recta y el punto T no est en la misma recta, ni esta contenida dentro del plano.

Indica los puntos coplanarios:a) Q,T,R,S J w pb) H,N,V,M H Gc) I,O,F,L F T e d) H,G,J,F

Correcto!Los puntos H,J,G,F estan contenidos en el plano.

Incorrecto!Los puntos Q,T,R,S no estn contenidos dentro del plano, ya que el punto T no est dentro del plano.

Incorrecto!Los puntos H,N,V,M no se encuentran en el dibujo.

Incorrecto!Los puntos I,O,F,L no se encuentran en el dibujo.

Clasificacin de los ngulos

AnguloUn ngulo es la porcin de plano limitada por dos semirrectas o rayos que tienen el mismo origen.

Ejemplo de ngulosUn ngulo es la unin de dos rayos no colineales que comparten el mismo punto extremo.Ejemplo: B 1 P ALos rayos reciben el nombre de lados del ngulo y su punto extremo comun es el vrtice.

En el dibujo anterior, los lados del ngulo son PA y PB; el vrtice es P. El ngulo se puede denotar como APB, BPA, P o 1. Observese que si se utilizan tres letras, la letra del vrtice es la letra del medio.

PractiquemosNombre 1 de otras dos formas

G H D 1 2 E 1) HEF , FEH 2) GED , DEG 3) GEH , HEG 4) DEH , DEG

Muy Bien!Los angulos DEG y GED es la contestacion correcta.

Incorrecto! Los puntos no pertenecen al angulo 1.

Incorrecto!Los puntos no pertenecen al angulo 1.

Incorrecto!Los puntos no pertenecen al angulo 1.

VrticeEl vrtice del ngulo es el punto en comn que es el origen de los lados.

Los ngulos pueden nombrarse de tres formas distintas: Por las letras maysculas correspondientes a las semirrectas, colocando en medio la letra vrtice: ABC CBA.Por una letra o nmero colocado en la abertura a.Por la letra del vrtice B.

En ste video explican el trmino vrtice, sus lados y nombres del ngulo.

BisectrizLa bisectriz de un ngulo es la semirrecta que divide al ngulo en dos partes iguales. Un ngulo tiene exactamente una bisectriz.

Ejemplo:La semirrecta OA es bisectriz del ngulo O si se cumple que: 1= 2

Comprueba lo que aprendistesIdentifica la mejor definicin para el trmino vrtice:

a) Es el conjunto de todos los puntos.b) Semirrecta que divide el ngulo en dos partes iguales.c) Es el punto en comn que es el origen de los lados.d) Unin de dos segmentos.

Correcto!Muy bien! Es la contestacin correcta. Recuerda que cuando identifiques un ngulo la letra del medio siempre ser el vrtice.

Incorrecto!Intentalo nuevamente. Conjunto de todos los puntos se refiere a algo infinito.

IncorrectoAnaliza bien. El vrtice divide al ngulo en dos partes iguales? Si divide al ngulo se est refiriendo a la bisectriz.

Incorrecto!El vrtice no es la unin de dos segmentos. El vrtice es solamente un punto en comn.

Comprueba lo que aprendistesNombra un rayo que parezca ser bisectriz de un ngulo y un ngulo que parezca ser bisecado. R F D B C1) JS 2) OP 3) FD 4) AG

Correcto!Muy bien. El rayo FD biseca al ngulo RFC.

Incorrecto!El rayo JS no pertenece al dibujo.

Incorrecto!El rayo OP no pertenece al dibujo.

Incorrecto!El rayo AG no pertenece al dibujo.

Angulo AgudoEs todo ngulo cuya amplitud sea menor que la del recto, es decir, es como mximo de 90.

Ejemplo ngulo agudo

Angulo Obtuso Es aquel cuya amplitud es mayor que la del ngulo recto y menor que la del llano, es decir, est comprendida entre 90 y 180.

Ejemplo ngulo obtuso

Angulo RectoEs uno cualquiera de los ngulos en que la bisectriz divide al llano. Su amplitud o abertura es de 90.

Angulo Llano Es el ngulo formado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la misma recta. Su amplitud es la mitad de un ngulo completo, es decir, de 180.

Vamos a practicarNombra dos angulos recto: A E

B P D

T1) APB , APD2) BPE3) DPE , TPE4) APE

Correcto!Es la contestacion correcta. Los angulos agudos son de 90 grados.

Incorrecto!Hay dos ngulos agudos. Observa bien el dibujo.

Incorrecto!Los ngulos que escogistes no son de 90 grados.

Incorrecto!El ngulo que escogistes es un ngulo agudo. Analiza bien otra vez!

Identifica la contestacion correctaCul es la medida de un ngulo obtuso?

a) 180 gradosb) 0 grados y menor de 90 gradosc) igual a 90 gradosd) superior a 90 grados e inferior a 180 grados

Perfecto!!Recuerda 90 grados a 180 grados.

Incorrecto!Escogistes el ngulo agudo.

Incorrecto!Escogistes el ngulo llano.

Incorrecto!Escogistes el ngulo recto.

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