Conceptos de Programacion Lineal

Unidad:

MODELAMIENTO MATEMÁTICO

Capitulo y Tema:

I. Conceptos PL II. Método Grafico III. Método simplex

Actividad (Número y nombre):

Resumen

Módulo:

Noveno “B” Nombre (s):

MARIA CRISTINA CARRILLO M.

Profesor:

LUIS ANTONIO CHAMBA ERAS

Fecha en la cual el profesor

encarga la actividad:

Lu 27/Sep/2010

Fecha en la cual el profesor recibe la actividad:

Domingo 03/Oct/2010

Bibliografía:

1HILLER, Frederick. "INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES". Editorial Mc. Graw Hill. Mexico, 1997. Pag. 265 http://www.investigaciondeoperaciones.net/index.html http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/grafico.html

1. RESUMEN I. ROGRAMACIÓN LINEAL

Método matemático que consiste en la optimización de una función objetivo que es una función lineal sometida a restricciones, en forma de ecuaciones e inecuaciones también lineales, y donde las variables no pueden tomar valores negativos. Todo problema de programación lineal (también llamado programa primal) tiene su correspondiente programa dual, con el que mantiene una serie de relaciones totalmente determinadas. Su principal aplicación en el campo de la economía es la asignación óptima de recursos tanto micro como macroeconómicamente La PL es una técnica determinista, no incluye probabilidades y utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, la palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la PL trata la planeación de las actividades para

obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada

(según el modelo) entre todas las opciones de solución. Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación más frecuente, la PL tiene muchas otras

posibilidades. De hecho, cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de PL es un problema de PL. Para resolver problemas relacionados con la PL se debe establecer Variables de decisión. Es lo que se trata de determinar, y para lo cual se requiere una decisión. Generalmente se designan con letras subindizadas. Cada variable debe representar una cantidad que corresponda con una misma unidad de medida. Función Objetivo. El objetivo es lo que se quiere maximizar o minimizar. En el caso de la programación lineal está expresado como una función lineal. Restricciones. Representan los límites del escenario de la situación planteada. Se muestran por medio de desigualdades de tipo lineal. El sistema completo muestra una región del plano

II. METODO GRAFICO

El Método Gráfico se utiliza para ilustrar tres conceptos básicos: la metodología para la resolución de un problema de dos variables de decisión, la interpretación de la solución del problema modelado y la observación gráfica de como afectan los cambios a la solución del problema. El Método Gráfico es poco poderoso ya que está limitado a resolver problemas de dos o máximo tres variables de decisión. Sin embargo, su importancia radica en que permite visualizar los conceptos matemáticos implicados en la Programación Línea

RESOLUCIÓN GRÁFICA Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos:

1.- Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones. 2.- Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes. 3.- Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. 4.- En este último paso hay tres posibilidades:

a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos

valores de las incógnitas (x, y). "Sistema compatible determinado" b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son

las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. "Sistema compatible indeterminado".

c) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. "Sistema incompatible".

III. METODO SIMPLEX

El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución

El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases.

Para ello se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. El objetivo es de la forma de maximización o de minimización. 2. Todas las restricciones son de igualdad. 3. Todas las variables son no negativas. 4. Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

PRIMER EJERCICIO Primer paso: Convertir las inecuaciones en ecuaciones (agregar las variables de holgura necesarias) F.O.: Max Z = 100X1 + 200X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 = 0 S.A.: 4X1 + 2X2 + S1 = 16 (Ecuación 1) 8X1 + 8X2 + S2 = 16 (Ecuación 2) 2X2 + S3 = 10 (Ecuación 3) X1, X2, 0S1, 0S2, 0S3 _ 0 Segundo paso: Determinar las variables básicas y las no básicas.

Tercer paso: Elaborar la tabla inicial del Simplex.

Cuarto paso: Elección de la columna pivote (variable que entra). El coeficiente de Z más negativo = Columna X2 Quinto paso: Elección de la fila pivote (variable que sale). Razón = Solución / Coeficiente columna pivote Razón Menor = Fila perteneciente a S1

Sexto paso: Elaborar la nueva tabla del simplex. a. Nueva fila pivote = Fila Pivote / Elemento Pivote

b. Nueva filas = Fila Anterior – Coeficiente de la Columna Pivote x Fila Pivote Fila de S2

Fila de S3

Fila de Z

Nueva tabla del simplex:

NOTA: No hay más iteraciones debido a que no existen coeficientes de Z negativos en la nueva tabla. R/ El valor máximo se alcanza para un X2 = 2, con un Z = 400. SEGUNDO EJERCICO Una empresa química “Chemical” produce limpiadores para automóviles X y pulidores Y y gana $10 en cada lote de X, y $30 en Y. Ambos productos requieren procesarse en las mismas máquinas, A y B, pero X requiere cuatro horas en A y ocho en B, mientras que Y requiere seis horas en A y cuatro en B. Durante la semana entrante las máquinas A y B tienen 12 y 16 horas de capacidad disponible, respectivamente. Suponiendo que existe demanda de ambos productos, cuántos lotes de cada uno deben producirse para alcanzar la unidad óptima Z?. La función objetivo es: Max Z = $10X + $30Y Las restricciones son: h maquina A : 4X + 6Y = 12 h máquina B : 8X + 4Y =16 X,Y ≥ 0

Formato simplex

C 10 30 0 0 Valores de solución

Variables de la solución Variables de decisión X Y S1 S2 (LD)

0 S1 4 6 1 0 12 0 S2 8 4 0 1 16

Z 0 0 0 0 0

C 10 30 0 0 Valores

de solución

Variables de la solución

Variables de decisión

X Y S1 S2 (LD)

0 S1 4 6 1 0 12 0 S2 8 4 0 1 16 Z 0 0 0 0 0 C-Z 10 30 0 0 0

1. Seleccionar una columna y un renglón pivotes

a) La columna pivote es la que tiene el número positivo más grande en el renglón inferior

C-Z 10 30 0 0 0 En este ejercicio es 30. b) El renglón pivote es el que tiene la razón más pequeña, del renglón pivote

26

12= (mínimo) 4

4

16=




X Y S1 S2 (LD)

0 S1 4 6 1 0 12 0 S2 8 4 0 1 16 Z 0 0 0 0 0 C-Z 10 30 0 0 0

Por lo tanto el renglón 1 es el renglón pivote.

c) El elemento pivote es encerrado en un círculo 6




X Y S1 S2 (LD)

0 S1 4 6 1 0 12 0 S2 8 4 0 1 16 Z 0 0 0 0 0 C-Z 10 30 0 0 0

2. Divídase cada valor del renglón pivote 1 entre el elemento pivote (6) y colóquense

los valores en una nueva tabla.




X Y S1 S2 (LD)

0 Y 2/3 1 1/6 0 2

a) Genérense los otros renglones para la siguiente tabla, de tal manera que los elementos de la columna pivote sean iguales a cero. Se empieza con el renglón S2, el cual tiene 4 en la columna de Y. Se multiplica el nuevo renglón (del paso 2) por el negativo del valor que se desea convertir (-4), y se suma al anterior renglón de S2. Se multiplica el nuevo renglón por -4. el resultado se muestra en la siguiente tabla. X Y S1 S2 (LD)

El renglón del paso 2 se multiplica por -4

-4(2/3)

-4(1) -4(1/6)

-4(0) -4(2)

Obtener el resultado -8/3 -4 -2/3 0 -8 Sumarlo al renglón de S2 8 4 0 1 16 Para obtener el nuevo renglón

16/3 0 .2/3 1 8

El renglón obtenido se introduce a la nueva tabla del paso 2.




X Y S1 S2 (LD)

30 Y 2/3 1 1/6 0 2 0 S2 16/3 0 .2/3 1 8

Z

Si hay más renglones que convertir, debe repetirse este paso en el siguiente renglón. Dado que ahí no hay más, puede procederse a calcular el renglón Z y C-Z. Los valores en el renglón Z son ∑ (elementos de la columna) (C) Elementos del renglón Z Para X: Z = 2/3(30) + 16/3(0) = 20 Para Y: Z = 1(30) + 0(0) = 30 Para S1: Z = 1/6(30) – 2/3(30) = 5 Para S2: Z = 0(30) + 1(0) = 0 Para LD: 2(30) + 8(0) = 60 Después de que se introducen éste y los valores de C-Z en la siguiente matriz, se tiene:




X Y S1 S2 (LD)

30 Y 2/3 1 1/6 0 2 0 S2 16/3 0 .2/3 1 8

Z 20 30 5 0 60 C - Z -10 0 -5 0

Repetir los pasos anteriores hasta que todos los valores del renglón inferior sean ≤ 0. Dado que todos los valores son ≤ 0, ha sido alcanzada la solución óptima. Las variables en la solución son identificadas por las columnas en la parte central de la tabla que tienen un 1, y el resto de los valores son cero. Los valores solución son datos en la columna del lado derecho, como se ve en la siguiente tabla.

X Y S1 S2 (LD)

- 1 - 0 2 - 0 - 1 8

Z - - - - 60

Por tanto, X = no está en la solución Y = 2 unidades Z = $60

TERCER EJERCICIO

Considere el siguiente modelo de Programación Lineal:

Paso 1: Se lleva el modelo a su forma estándar. En nuestro ejemplo esto se logra agregando variables de exceso en cada una de las restricciones (3 primeras: S1, S2, S3, respectivamente). Luego, se multiplica cada fila de las restricciones por -1 de modo de disponer una solución básica inicial (infactible) en las variables de exceso S1, S2 y S3. De esta forma se obtiene la siguiente tabla inicial.

A B C S1 S2 S3

-15 -2 -1 1 0 0 -200 -7,5 -3 -1 0 1 0 -150 -5 -2 -1 0 0 1 -120 315 110 50 0 0 0 0

Paso 2: Se selecciona el lado derecho "más negativo" lo cual indicará cuál de las actuales variables básicas deberá abandonar la base. En el ejemplo el lado derecho más negativo se encuentra en la primera fila, por tanto S1 deja la base. Para determinar cual de las actuales variables no básicas (A, B, C) entrará a la base se busca el mínimo de {-Yj/aij} donde aij es el coeficiente de la respectiva variable no básica en la fija i (del lado derecho más negativo, marcado en verde) y donde Yj es el costo reducido de la respectiva variable no básica. De esta forma se obtiene: Min {-315/-15, -110/-2, -50/-1} = 21, donde el pivote (marcado en rojo) se encuentra al hacer el primer cuociente, por tanto A entra a la base.

Paso 3: Se actualiza la tabla anterior siguiendo un procedimiento similar al utilizado en el Método Simplex. En el ejemplo se debe dejar a la variable A como básica y S1 como no básica. La tabla que resulta es la siguiente:

A B C S1 S2 S3

1 2/15 1/15 -1/15 0 0 40/3 0 -2 -1/2 -1/2 1 0 -50

0 -4/3 -2/3 -1/3 0 1 -160/3

0 68 29 21 0 0 -4.200

Paso 4: Continuar las iteraciones y siguiendo el mismo procedimiento hasta disponer de una solución básica factible. Luego de unas iteraciones se obtiene la siguiente tabla final:

A B C S1 S2 S3

1 0 0 -1/10 0 1/10 8 0 1 0 1/4 -1 3/4 10 0 0 1 0 2 -3 60 0 0 0 4 10 36 -6.620

La solución óptima es A=8, B=10, C=60 (marcado en verde) con valor óptimo V(P)=6.620 (marcado en rojo - se obtiene con signo cambiado). También es interesante notar que los costos reducidos de las variables artificiales S1, S2 y S3 (marcado en amarillo), corresponde a la solución óptima del modelo presentado en el tutorial de solver, esto dado que dicho modelo resulta ser el problema dual de nuestro ejemplo.

CUARTO EJERCCIO F.O. Min. Z = 4X1 + 12X2 + 18X3 S.A. X1 + 3X3 ≥ 3 2X2 + 2X3 ≥ 5 X1, X2, X3 ≥ 0 PASO 1: Convertir el problema de minimizacion en uno de maximizacion. La funcion objetivo se multiplica por -1 F.O. Max. Z = - 4X1 - 12X2 - 18X3 Las restricciones se multiplican por -1 S.A. - X1 - 3X3 ≤ -3 - 2X2 - 2X3 ≤ -5 X1, X2, X3 ≥ 0 PASO 2: Se convierten las inecuaciones en ecuaciones. F.O. Z + 4X1 + 12X2 + 18X3 = 0 S.A. - X1 - 3X3 + S1 = -3 – 2X2 - 2X3 + S2 = -5 PASO 3: Se determinan las variables basicas y no basicas.

・Básicas: S1 y S2

・No Básicas: X1, X2 y X3

PASO 4: Elaborar la tabla inicial del simplex

PASO 5: Determinar la variable que sale (fila pivote) Es el numero mas negativo de la solucion de las restricciones = fila de S2 PASO 6: Determinar la variable que entra (columna pivote) Razon = Coeficiente de Z / coeficiente fila pivote. Razon Mayor = Columna X2 (-12 / 2)

PASO 7: Elaborar la nueva tabla del simplex a) Nueva fila pivote = Fila pivote / elemento pivote

b) Nuevas filas = fila anterior - coeficiente de la columna pivote x nueva fila pivote.

Nueva Tabla del Simplex

Se realizan nuevamente los pasos del 5 al 7 obteniendo como solucion final:

NOTA: No hay mas iteraciones cuando no existan soluciones con coeficientes negativos. R\ El valor minimo se alcanza para un X2 = 3/2 y X3 = 1, para un Z = 36 QUINTO EJEJRCICIO FO. 49X1+100 X2 (minimizar)

5 X1+43X2>= 23 9 X1+34 X2<=20 3 X1 +67 X2= 65

X1, X2 ≥ 0

1) Convertir desigualdades a igualdades 5 X1 + 43 X2 = 23

9 X1 + 34 X2 = 20

3 X1 + 67 X2 = 65

2) Igualar función objetivo a 0 Z+49+100=0 3)Realizar tablas

No existe solución para el problema

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