CONCEPTOS FÍSICO MATEMÁTICOS DEL CAOS PARA …

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CONCEPTOS FÍSICO MATEMÁTICOS DEL CAOS PARA INGENIERÍA SÍSMICA

Roberto Magaña1, Armando Hermosillo2 y Marcelo Pérez3

RESUMEN

En este trabajo se comenta sobre sistemas dinámicos modelados por ecuaciones diferenciales ordinarias. Se enfatiza la descripción cualitativa de movimientos recurrentes de larga duración gobernados por ecuaciones diferenciales no lineales, para las cuales la solución analítica no es factible. Los sistemas disipativos típicos exhiben un comportamiento inicial transitorio, después del cual el movimiento tiende a un comportamiento estable, es decir convergen a soluciones denominadas atractores. El atractor simple (punto de equilibrio), los periódicos y los caóticos. A estos últimos convergen sistemas perfectamente deterministas caracterizados por ecuaciones diferenciales no lineales.

ABSTRACT In this paper dynamical systems modelled by ordinary differential equations are presented. We emphasize the qualitative description of long term recurrent movements governed by nonlinear differential equations for which analytical solution is not feasible. Dissipative systems exhibit typical initial transient behaviour, after which the motion tends to a stable behaviour, so it converge to solutions called attractors. Between the attractors we have: the simple attractor (equilibrium point), periodic and chaotic attractors. Perfectly deterministic systems characterized by nonlinear differential equations converge to chaotic attractors.

INTRODUCCIÓN En este trabajo se comenta sobre sistemas dinámicos modelados por ecuaciones diferenciales ordinarias. Se enfatiza la descripción cualitativa de movimientos recurrentes de larga duración gobernados por ecuaciones diferenciales no lineales, para las cuales la solución analítica no es factible. Los sistemas disipativos típicos exhiben un comportamiento inicial transitorio, después del cual el movimiento tiende a un comportamiento estable, es decir convergen a soluciones denominadas atractores. El atractor más simple es un punto de equilibrio, en segundo lugar se tienen los atractores periódicos, y los más recientes son los atractores caóticos, cuyas características inesperadas han generado un gran interés, ya que a ellos convergen sistemas perfectamente deterministas caracterizados por ecuaciones diferenciales no lineales. Para la visualización y comprensión del caos se emplea el método gráfico del espacio de fases, mediante el cual se puede verificar que a pesar de la aparente aleatoriedad, se presentan características topológicas bien definidas (en ocasiones fractales) para diferentes tipos de ecuaciones. Para ilustrar esto se presentan algunos resultados interesantes obtenidos de una revisión bibliográfica sobre investigaciones caóticas, así como de algunos ejemplos de corridas de computadora realizadas con un programa (desarrollado por los autores). En este caso se analizó un oscilador lineal clásico y dos caóticos (el de Duffing y el de Vander Pol). Se validaron sus resultados comparándolos con los obtenidos con el paquete SIMULINK de MATLAB, observándose concordancia entre los dos grupos de resultados. Finalmente se presentan algunas conclusiones sobre los resultados obtenidos enfocadas a su aplicación en ingeniería sísmica.

1Investigador del Instituto de Ingeniería, UNAM, Edificio 4, Sección Geotecnia, cub 214, Ciudad

Universitaria, 04510 México, D.F. Teléfono, (55) 5623-3600 ext 8459; [email protected] 2 Becario del Instituto de Ingeniería, UNAM, Edificio 4, Sección Geotecnia, cub 214, Ciudad Universitaria,

04510 México, D.F. Teléfono, (55) 5623-3600 ext. 8459; [email protected] 3 Profesor del Tecnológico de Aragón, FES Aragón. [email protected]

XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica Aguascalientes, Aguascalientes, 2011

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GENERALIDADES Se considera que los sistemas dinámicos continuos y discretos se describen, respectivamente, por ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en diferencias finitas (mapas iterados), y la atención se centra principalmente en los sistemas disipativos típicos de la física macroscópica (Thompson et.al., 1986). Se muestran evoluciones de tiempo que normalmente deben ser modeladas por ecuaciones no lineales para las que soluciones analíticas de forma cerrada son inalcanzables. Las cuales sin embargo, son fácilmente integradas numéricamente mediante algoritmos informáticos de rutina, de modo que la respuesta dada a partir de las condiciones iniciales es fácil de establecer. Uno de los conceptos básicos dentro del campo de la teoría de sistemas dinámicos es el concepto de atractor. Los sistemas dinámicos disipativos típicos, presentan inicialmente un comportamiento transitorio, después de lo cual el movimiento tiende a un hacia a un comportamiento recurrente a largo plazo. Movimientos con condiciones iniciales próximas entre sí tienden a converger hacia soluciones estables que son los atractores. El atractor más simple es un punto de equilibrio estacionario en el cual todo movimiento desaparece. El péndulo es el ejemplo arquetípico de este tipo de atractor, y fue estudiado experimentalmente por Newton. En segundo lugar, tenemos el atractor periódico. Este por ejemplo se presenta en una lámina de acero delgada impulsada por un electroimán que lleva una corriente alterna, esta se asentará en una vibración constante en resonancia con la frecuencia del forzamiento. Después de una perturbación pequeña, se presentan efectos transitorios que se desvanecen lentamente, y la oscilación fundamental se restablece. En tercer lugar se tiene un atractor caótico (recientemente descubierto), cuyas características inesperadas han generado una explosión de interés y proviene de la solución numérica de una ecuación perfectamente determinista y bien definida. Que conduce a un caos perpetuo, en el cual la historia de movimiento tiene un aspecto aleatorio con espectro de potencia de banda ancha. Los espacios planos bidimensionales sirven para ilustrar el atractor puntual de equilibrio y atractores cíclicos, en tanto que las representaciones en tres dimensiones son necesarias para ilustrar los flujos caóticos. Afortunadamente, numerosas técnicas ya están disponibles para la visualización de lo que ocurre cuando se tienen cuencas atractivas que compiten entre sí. Corridas hacia atrás en una computadora ayudan a localizar estados estacionarios inestables, repulsores o “sillas de montar”, que sirven para precisar la línea de separación entre las superficies de los regímenes de captación, asimismo las técnicas de muestreo estroboscópico de Poincaré pueden ayudar a desentrañar los atractores periódicos y caóticos. ANTECEDENTES Un ejemplo importante es el oscilador no lineal forzado periódicamente con amortiguación: tBxxkx cos3 =++ &&& (1) donde un punto significa diferenciación con respecto al tiempo t. El comportamiento de las soluciones a esta ecuación no lineal se ha estudiado ampliamente por Duffing (Duffing, 1918). Otro oscilador de interés de segundo orden es el representado por la ecuación Rayleigh-Van der Pol: tasenyyyy ωωα =+−+ 2

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Una representación geométrica del espacio de fases de este comportamiento transitorio complicado fue proporcionada por Smale (Smale, 1963), que demostró que, a pesar de un aspecto de la aleatoriedad real, estos transitorios vacilantes se rigen por conjuntos de estiramientos y plegamientos relativamente simples en el espacio de fases.

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DINÁMICA CAÓTICA EN EL OSCILADOR DE DUFFING Vamos ahora a ser más concretos y considerar el comportamiento de la ecuación específica txxx cos5.705.0 3 =++ &&& (3) En ingeniería mecánica, tal ecuación modela, por ejemplo, el movimiento de una estructura sinusoidal forzada y sometida a grandes deformaciones elásticas. Un ejemplo de la solución de una serie de tiempo x vs t obtenidos por la integración numérica de (ec. 3) se presenta en la figura 1. Este caos tiene un aspecto irregular, que persiste durante el tiempo que las integraciones de tiempo se llevan a cabo. A pesar de su carácter recurrente se evidencia por el hecho de que ciertos patrones en la forma de onda se repiten a intervalos irregulares, nunca hay repetición exacta, y el movimiento es realmente no periódico (Ueda, 1980).

Figura 1. Series de tiempo de respuesta caótica en estado estable (Thompson et. al., 1986)

Figura 2. Comportamiento a largo plazo de la ecuación no forzada de Duffing: punto atractor

(Thompson et. al., 1986) En la práctica, atractores caóticos se pueden identificar como estructuras estables en trayectorias de larga duración en una región limitada del espacio de fases, cuyo haz de trayectorias se dobla de nuevo en sí mismo, lo que resulta en la mezcla y la divergencia de los estados vecinos. ATRACTORES Y BIFURCACIONES Aunque el concepto de atractores caóticos es relativamente reciente, el abatimiento de los transitorios en los sistemas disipativos es una conducta común y familiar. La forma más sencilla de abatimiento de los transitorios se producen cercanos al punto de equilibrio; numerosos ejemplos vienen a la mente, una de ellas es simplemente establecer el término de forzamiento de la ecuación (ec. 1) en cero, como se ilustra en la figura 2 (Un efecto notable que se nota en esta figura es que el trazo que aparece en ella deja de ser circular). Así, el equilibrio estable es un atractor puntual para todas las trayectorias en el espacio de fase. Del mismo modo los movimientos periódicos estables también atraen trayectorias cercanas en el espacio de fase. La figura 3 muestra cinco movimientos periódicos estables, cada uno de ellos es un posible movimiento a largo plazo del oscilador forzado Duffing con 08.0=k y 2.0=B . Obsérvese que aún con dos atractores periódicos diferentes, al competir entre sí dan origen a historias de movimiento variables. El proceso de asentamiento a un determinado atractor se pueden observar mediante la sección estroboscópica de Poincaré (Poincare, 1880). Por ejemplo, el atractor primero es un movimiento de pequeña amplitud en la frecuencia fundamental, con un punto de la sección de Poincaré A; una solución transitoria a este comportamiento final sería mostrar una secuencia de puntos estroboscópicos que convergen hacia A.

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Figura 5. Comportamiento de un oscilador no lineal sin amortiguamiento no forzado (Thompson

et. al., 1986)

Figura 6. Comportamiento de un oscilador lineal amortiguado no forzado (Thompson et. al., 1986)

OSCILADOR LINEAL CON AMORTIGUAMIENTO NO FORZADO Considerando ahora la ecuación diferencial de la figura 6, escrita en una forma estándar, con la representación del factor de amortiguamiento, es decir, la relación entre la atenuación real al amortiguamiento crítico en el que cesa el comportamiento oscilatorio. Una solución analítica de esta ecuación diferencial lineal se presenta en lo que sigue: Para un amortiguamiento pequeño ( 1<ξ ), tenemos una onda senoidal amortiguada exponencialmente, mientras que para un amortiguamiento grande ( 1>ξ ) se tiene un decaimiento exponencial no oscilatorio. OSCILADOR NO LINEAL CON AMORTIGUAMIENTO NO FORZADO Para concluir los casos de sistemas no forzados (libres), vemos ahora en un problema no lineal amortiguado, tipificado por el péndulo de la figura 7. Este es el péndulo de gran amplitud de nuestra discusión anterior, ahora con la modelación de la resistencia del aire por una ley realista que la considera proporcional al cuadrado de la velocidad. Está claro que una vez más los aspectos transitorios tienden asintóticamente al estado de equilibrio estable, lo que representa un atractor puntual en el espacio de fases.

Figura 7. Oscilador no lineal amortiguado no forzado (Thompson et. al., 1986)

Figura 8. Oscilador lineal amortiguado forzado (Thompson et. al., 1986)


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OSCILADOR LINEAL FORZADO Hasta ahora se han comentado únicamente sistemas autónomos no forzados (con un cero en el lado derecho de la ecuación), ahora se verán osciladores no autónomos impulsados de forma sinusoidal. El amortiguamiento, ya hemos visto, es un ingrediente esencial de un buen modelo, por lo que se verá ahora el oscilador forzado lineal con amortiguamiento de la figura 8. Este sería un modelo matemático adecuado de una lámina de acero a la que se le provocan oscilaciones laterales pequeñas mediante un electroimán con una corriente alterna sinusoidal. ECUACIÓN CARACTERÍSTICA: ONDAS Y DIAGRAMAS DE FASE Considere una masa m, sujetos por un resorte elástico de rigidez s, y por un amortiguador que proporciona una fuerza viscosa lineal que se opone a la velocidad, en este caso la ecuación de movimiento se puede escribir como: 0=++ sxxrxm &&& (4) Dividiendo la ecuación de movimiento (ec. 4) por la masa se coloca en la forma estándar conveniente, 0=++ cxxbx &&& (5) Suponiendo que la solución es tAex λ= , y sustituyendo esta relación en la ec. 5 resulta: 0)( 2 =++ tAecb λλλ (6) Para una solución no trivial se tiene: 02 =++ cbλλ (7)

La naturaleza de la solución ahora dependerá de si las raíces de esta ecuación característica son reales o complejas. Así, la forma de la solución depende de las raíces de la ecuación característica, que a su vez dependen del signo del discriminante D. Si D es positivo, tenemos dos raíces distintas, y la solución exponencial supone. tt eAeAx 21

21λλ += (8)

donde 1A y 2A son constantes arbitrarias de integración que se determinan de las condiciones iniciales del movimiento. Si D es negativo, tenemos dos raíces complejas conjugadas IiRx ±=2,1 , que nos da soluciones de la forma:

)(Itsenex Rt= (9) El oscilador por lo tanto, se vuelve inestable si alguna raíz adquiere una parte real positiva. La respuesta del oscilador, caracterizado por la naturaleza del punto de equilibrio (x = 0, z = 0), se resume en la figura 9, que muestra los bocetos de los diagramas de fase junto a los diagramas de Argand (Argand, 1799) correspondientes (R, I). Los puntos de equilibrio estable (de principal interés para nosotros) se encuentran en el cuadrante b> 0, c> 0. Es de recalcar como varían los tipos de movimiento en función de los parámetros de amortiguamiento y rigidez. ONDAS AMORTIGUADAS Volviendo a la ecuación lineal completa 0)( =+ xKsenx&& , se han realizado algunas integraciones numéricas (en el tiempo), y las gráficas del ángulo de deflexión x contra t se muestran en la figura 10. La respuesta del péndulo depende, por supuesto, de las condiciones iniciales ( 00, xx & ). Se observa en la curva inferior que las ondas pueden no tienen forma senoidal.

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En el trabajo con la dinámica no lineal es muy importante tener en cuenta los movimientos de un sistema en el espacio de fase. En el caso del péndulo linealizado, el diagrama de fase en el plano ),( kx está constituido por la familia de elipses dadas por:

22

2 Axx =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

ω& (10)

o de una familia de círculos, si se utiliza ( ωxx &, ) en lugar de ( xx &, ) como ejes de coordenadas.

Figura 9. Diagramas de fase y estructuras de un oscilador lineal (Thompson et. al., 1986)

Figura 10. Formas de onda de un péndulo rígido con condiciones iniciales diferentes (Thompson

et. al., 1986) AMORTIGUAMIENTO VISCOSO LINEAL Y NO LINEAL Hasta ahora, hemos supuesto que ningunas fuerzas de amortiguamiento de cualquier tipo actuaban sobre el péndulo, con lo que la energía mecánica total se conserva. Esta suposición naturalmente no es satisfecha en la práctica: es sabido que el amortiguamiento origina como resultado una disminución constante de la amplitud de oscilación. Las suposiciones en relación al amortiguamiento más comúnmente consideradas son: a) amortiguamiento viscoso lineal, que consiste de un término proporcional a la velocidad, b) el amortiguamiento cuadrático viscoso, escrito como xxc && y c) amortiguamiento debido a fricción seca de Coulomb. Estas leyes de amortiguamiento no sólo ocurren en aplicaciones de la mecánica pero también juegan un papel importante en otros campos. La ecuación de movimiento del péndulo aquí podría ser tomada como: 0)()( =⋅++ xsenmgxmLfxmL &&& (11) dónde )(xf & sería simplemente xc & para el amortiguamiento viscoso lineal Se considera ahora el caso de un péndulo sumergido en un medio que ejerce una fuerza proporcional al cuadrado de su velocidad y en una dirección opuesta a la velocidad. La ecuación diferencial para el péndulo en este caso puede ser escrita como: 0)( =++ xKsenxcx &&& (12) El comportamiento de la ecuación antes mencionada es mostrado en la figura 7. Se observa en este caso que la proyección en el espacio de fases tiene forma aproximadamente elíptica.


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DINÁMICA CAÓTICA ATRACTORES QUE COMPITEN ENTRE SÍ Por último se considerara la competición entre más de un atractor fijo. La manera más fácil de idear un sistema con dos puntos de equilibrio fijos es considerar el movimiento de una masa en un campo potencial que exhibe dos mínimos. Potencial no lineal Una función de energía potencial total conveniente es:

42

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21 bxaxV +−= (13)

dónde a y b son positivas. La fuerza correspondiente es: 3/ bxaxdxdV +−= (14) Entonces podemos considerar el oscilador amortiguado correspondiente descrito por la ecuación: 03 =+−+ bxaxxcxm &&& (15) DIAGRAMAS DE FASE Dos conjuntos típicos de trayectorias de fase son mostrados en la figura 11 debajo de la curva de energía potencial total correspondiente. El diagrama de fase superior muestra la gráfica patológica para un sistema no amortiguado obtenido poniendo 0=c , mientras diagrama inferior muestra el resultado para un sistema típico de disipativo con una pequeña cantidad de amortiguamiento positivo. En el sistema amortiguado, los movimientos que cruzan la barrera potencial son divididos repetidas veces en el espacio de fase de movimientos que se quedan de un lado a otro por separatrices, o de conexiones de puntos “silla”, o de situaciones doblemente asintóticas a la “silla” de punto fijó. Esta situación es semejante al péndulo, con la introducción de un ligero amortiguamiento, los dos centros neutralmente estables llegan a ser focos asintóticamente fijos. Los dos estados fijos del equilibrio (atractores) ahora compiten, así en una mitad simétrica del diagrama de fase (sombreado con puntos) lleva a un atractor, mientras la otra mitad (dejada en blanco) lleva al otro (ver figura 11). Vemos que para movimientos de gran-amplitud las regiones de captación son espirales entrelazadas. Los movimientos que comienzan en 00 =z con valores grandes de 0x , por ejemplo, experimentarán claramente muchas oscilaciones grandes en torno a cada mínimo, pasando a través de ambos los mínimos, antes de asentarse en uno de ellos. TOPOLOGÍA DE DIAGRAMAS DE FASE BIDIMENSIONALES Cualitativamente, los sistemas dinámicos en un espacio de fase sólo pueden tener los dos tipos de comportamiento final descrito hasta ahora, los puntos de equilibrio y ciclos periódicos, (Poincare et.al., 1999). Además, a menos que el sistema dinámico sea conservativo, los ciclos son ciclos de límite, ya sea atrayendo trayectorias cercanas, o separando zonas de captación de otro atractor. Lo anterior se plantea en la teoría de Poincare-Bendixson descrita por ejemplo por Rosen (Rosen, 1970), Lefschetz (Lefschetz, 1957), Coddington (Coddington, 1955) y Levinson (Levinson, 1955). Los ejemplos más importantes de la dinámica no lineal en espacios tridimensionales de fase son los osciladores periódicamente forzados.

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Figura 11. Trayectorias de fase amortiguadas y no amortiguadas para un

oscilador no lineal con dos estados de equilibrio estable representando puntos

atractores en competencia (Thompson et. al., 1986)

Figura 12. Diagramas de fase tri-dimensionales de un oscilador mecánico forzado, mostrando proyecciones

de fase bi-dimensionales y mapeo de Poincaré (Thompson et. al., 1986)

ATRACTORES PERIÓDICOS EN OSCILADORES CONTROLADOS EL MAPA DE POINCARE Una técnica estándar para trabajar con el espacio tridimensional de fase ( txx ,, & ) de nuestro oscilador forzado periódicamente es de inspeccionar la proyección ( xx &, ) siempre que t sea un múltiplo de fT ωπ /2= como se muestra en la figura 12. Aquí T es el periodo de la fuerza actuante. Claramente una trayectoria semejante surge para cada plano correspondiente a mTt = (m = 0, 1, 2, 3,...) por lo que fotografías de cada intervalo serán idénticas. La repetición después de T del haz de trayectorias es tratada convenientemente en la dinámica topológica imaginándose el haz completo de un intervalo torcido sobre sí mismo para formar un toroide (revisar palabra) sólido. La mayor parte de las fibras, o las trayectorias, representan movimientos transitorios, pero dentro del haz de un sistema disipativo existirá generalmente algún elemento que atrae trayectorias, o atractor. RESONANCIA NO LINEAL Los efectos no lineales surgen en sistemas mecánicos y estructurales cuando las deflexiones llegan a ser grandes. En la resonancia de una viga sujeta entre apoyos fijos, la rigidez lineal debido a un momento de flexión es por ejemplo aumentada por una fuerza no lineal restauradora de la forma 3bx debido a la tensión de membrana que se origina en amplitudes grandes. La fuerza restauradora total es entonces 3bxax + , lo anterior para b positivo, se tendría entonces un resorte que se endurece: opuestamente con b negativo se diría que se tiene un resorte que se ablanda. Considerando entonces el oscilador no lineal manejado descrito por la ecuación de Duffing:


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La cuál es igual a la ecuación linear vista anteriormente sólo con la adición del término 3x que representa el endurecimiento. Observar, sin embargo, que la amplitud de la fuerza no puede ser extraída, y por lo tanto ha sido escrito como 0F : la magnitud de esto es ahora un nuevo parámetro operativo que puede alterar apreciablemente los fenómenos dinámicos exhibidos por el oscilador. Esta ecuación tiene una respuesta sumamente compleja, que aún todavía no se explora completamente. Se ha encontrado que existen resonancias entre la frecuencia fundamental y subarmónicas y recientemente se han detectado regímenes caóticos. Una nueva característica de las resonancias sencillas es que los picos son curveados. Estos se curvean a la derecha para un resorte con endurecimiento, puesto que la frecuencia inherente del sistema aumenta con la amplitud en cambio para un resorte que se ablanda con la amplitud, el curveado es hacia la izquierda, ver figura 13.

Figura 13. Diagramas de fase de una ecuación de Duffing variacional

suavizada en el plano de Van der Pol. Arriba, la respuesta de resonancia no lineal y diagramas de fase mostrando

régimen de histéresis en la resonancia fundamental (Thompson

et. al., 1986)

Figura 14. Comportamiento de un oscilador no lineal forzado amortiguado: transitorio a atractores periódicos (Thompson

et. al., 1986)

Ahora, si la respuesta bajo estudio tiene sólo una frecuencia predominante única (como quizás tenga en la ecuación de Duffing cercano a una condición de la resonancia) podemos inferir las trayectorias en la correspondiente tasa de evolución con el tiempo (Van der Pol, 1926). Es de resaltar la gran complejidad que pueden tener las trayectorias en un movimiento caótico como se vio en la figura 13. OSCILADOR NO LINEAL FORZADO: ATRACTORES PERIÓDICOS Así como una no linealidad de la rigidez introduce un nuevo comportamiento en la respuesta de un oscilador no forzado, entonces una no linealidad genera nuevas características de un sistema impulsado. Así que vemos ahora, el oscilador amortiguado y forzado no lineal ilustrado en la figura 14. Esta es la ecuación sinusoidal (en este caso cosenoidal) del modelo de Duffing con una rigidez lineal y una rigidez cúbica. Esto podría ser

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utilizado para modelar las deformaciones de flexión moderadamente grandes de una lámina de acero (con soportes fijos) impulsada electromagnéticamente, como se muestra. Estos soportes fijos inducen una tensión en la membrana que originan deflexiones finitas, además se tiene un endurecimiento no lineal rígido, modelado por el término cúbico. Un hecho que se debe destacar es el encorvamiento de la función de amplificación hacia la derecha, lo que origina que para una frecuencia dada se tengan dos posibles valores de amplificación, lo que se observa en la figura 14. En un oscilador no lineal impulsado, no están disponibles soluciones analíticas de forma cerrada y se tiene que recurrir inevitablemente a integraciones numéricas. OSCILADOR NO LINEAL FORZADO: ATRACTOR EXTRAÑO El sistema de la figura 15, es una versión de la ecuación Duffing estudiado ampliamente por Ueda, y vemos que se diferencia de los casos anteriores en que no tiene la rigidez lineal. Esto es como si tuviéramos una viga cargada tipo Euler donde se presenta el fenómeno de carga de pandeo: esto equivale a que la rigidez lineal se ha reducido a cero debido a la acción desestabilizadora de la carga de compresión axial y la rigidez no lineal se puede modelar a nivel local por el término cúbico. El diagrama de fases muestra una gran variabilidad, alejándonos radicalmente de la forma circular. Y esto a su vez explica la gran irregularidad de las historias de movimiento. Una vez más, las soluciones analíticas son imposibles, y los cálculos digitales muestran que después de que los transitorios se han abatido, el sistema se estabiliza en un estado de caos estacionario. OSCILACIONES RELAJADAS Y PULSOS CARDIACOS La ecuación de segundo orden del oscilador: 0)( 2 =++ xxFx ω&&& (17) Una función de amortiguamiento no lineal que ejerce una fuerza siempre opuesta a la dirección de velocidad originará un comportamiento cualitativo semejante al de un sistema de amortiguamiento lineal. Sin embargo, el comportamiento de soluciones de la ec. 17 es cualitativamente diferente al de un oscilador con amortiguamiento lineal si F actúa a veces en la misma dirección que la velocidad, que en ese caso indica la presencia de una fuente de energía. El comportamiento final para la ecuación 17 entonces puede ser un ciclo de límite en el caso autónomo, como se verá adelante. Diferenciando la ecuación 17 con respecto a tiempo, y sustituyendo υ por x& , se obtiene. 0)(' 2 =++ νωννν &&& F (18) Escogiendo )3/()( 3 νναν −=F obtenemos la ecuación de Van der Pol. 0)1( 22 =+−+ νωννα &&&v (19) Esta ecuación fue estudiada extensamente por Van der Pol (Van der Pol, 1928) con simulación analógica utilizando circuitos de válvula electrónica, donde la función F corresponde a la característica no lineal de un triodo. Van der Pol observó que esas oscilaciones de ciclo de límite para la ecuación 19 son casi funciones de tipo sinusoidal cuando α es pequeña comparada con ω , pero se acerca una onda cuadrada cuando a llega a ser grande, como se ilustra en la figura 16. Este último oscila de manera bastante no lineal y se denomina como una oscilación de relajación por Van der Pol, porque cada mitad de ciclo corresponde a un aumento de la carga en una capacitancia c con tiempo de relajación RC= . Debe observarse como se afecta la forma de los ciclos con la variación del parámetro α de la ecuación 19 y que refleja el efecto de la relajación.


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Figura 15. Transición a un estado estable con espectro de potencias de banda ancha (Thompson

et. al., 1986)

Figura 16. Soluciones vs t de una ecuación de Van der Pol no forzada (ec. 19) para 0.1=ω y

,1.0=α , 1 y 10 respectivamente, progresando desde casi sinusoidal hasta oscilaciones de

relajación altamente no lineales (Thompson et. al., 1986)

Figura 17. Atractor caótico de del sistema Van der Pol de velocidad forzada en el espacio de fases tridimensional ),,( tyx (Thompson et. al., 1986)

DIAGRAMA DE FASES TRIDIMENSIONAL DE UN ATRACTOR Shaw (Shaw, 1981) descubrió una simulación análoga al sistema de Van der Pol mediante las ecuaciones 20 que tienen un atractor caótico con una estructura topológica particularmente interesante. Las trayectorias finales del estado estable en el espacio de fase tridimensional ),,( tyx es ilustrado en la figura 17. Los planos (X, Y) son perpendiculares a la línea de vista, mientras el tiempo es medido en un eje que penetra hacia el fondo (es decir perpendicular al plano de la página). La escala de tiempo es medida por el ángulo t57.1=φ

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del término sinusoidal excitador, progresando de 0° en la orilla delantera de esta estructura tridimensional a 360° en la orilla de atrás. Desde que las ecuaciones en cualquier ángulo 0φ son repetidas exactamente para

πφ 20 + , se espera que una vez que los transitorios hayan desaparecido gradualmente, la estructura formada por todas las trayectorias finales se repetirá idénticamente en cada ciclo completo de la fuerza excitadora.

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& (20)

PROGRAMA NUMÉRICO PARA OBTENER HISTORIAS DE MOVIMIENTO Con el propósito de lograr una comprensión mejor de los fenómenos caóticos, se procedió a elaborar un programa capaz de generar resultados semejantes a los obtenidos por otros investigadores en el campo de la dinámica no lineal. En este caso se logró dicho objetivo y el programa desarrollado es capaz de simular el comportamiento de osciladores lineales y no lineales. En este último caso se presentan dos ejemplos de osciladores caóticos, el de Duffing y el de Van der Pol. Es importante recalcar que las simulaciones se lograron a partir de un mismo procedimiento general, con la misma fórmula de recurrencia con la que se hacen las integraciones paso a paso en el tiempo. Su característica básica es que los parámetros de la ecuación de movimiento clásica (amortiguamiento y rigidez) se pueden manejar como funciones en vez de ser constantes. En este capítulo se presentan por tanto, una serie de análisis de sistemas caóticos. Para los análisis dinámicos se resolvió mediante diferencias finitas la ecuación general de movimiento como la presentada en la ec. 21, en donde C y K pueden incluso ser variables o funciones. La solución de la ecuación diferencial es una ecuación de recurrencia como la presentada en la ec. 22. Los resultados de los análisis se corroboraron utilizando el paquete Simulink de Matlab. Como se mencionó antes se simuló el comportamiento de los osciladores de Duffing y el de Van der Pol, dados por las ecuaciones 22 y 23 respectivamente. )(tfKxxCxm =++ &&& (21)

iiii fChmKhx

ChmmChx

ChmKhmx

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

= −+ 22

22

224 2

1

2

1 (22)

)cos(5.73 txxCxm =++ &&& (23)

)()1( 2 tAsenKxxxxm ωμ =+−+ &&& (24) SISTEMA CLÁSICO, MOVIMIENTO NO FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO En este sistema el caos no se presenta. El movimiento descrito por una partícula está gobernado por la ecuación diferencial (ec. 21) y para la cual 0)( =tf . Las condiciones iniciales son 0.3)0( =y y 0.0)0( =y& , con valores de 0.1=m , 1.0=C y 2.1=K . La evolución en el tiempo de dicho sistema se presenta en la figuras 18 y 19, correspondientes a las gráficas xt − , xt &&− que representan la historia de movimiento y el acelerograma respectivamente. En las figuras 20-21 se presentan los diagramas de fases xx &− y xx &&− . En la figura 20, se presenta el espectro de respuesta correspondiente al acelerograma de la figura 18.


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Figura 18. Gráfica xt − Figura 19. Gráfica xt &&−

Figura 20. Diagrama de fases xx &− Figura 21. Diagrama de fases xx &&−

Figura 22. Espectro de respuesta Figura 23. Gráfica xt − SISTEMA CAÓTICO DUFFING Este sistema describe un movimiento caótico, el cual está gobernado por la ecuación diferencial (ec. 23) y para la cual 0)( ≠tf . Para este sistema, las condiciones iniciales son 0.3)0( =y y 0.4)0( =y& , con valores de

0.1=m , 05.0=C y 0.1=K . La evolución en el tiempo de dicho sistema se presenta en la figuras 23 y 24,

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correspondientes a las gráficas xt − , xt &&− que representan la historia de movimiento y el acelerograma respectivamente. En las figuras 25 y 26 se presentan los diagramas de fases xx &− y xx &&− . En la figura 27, se presenta el espectro de respuesta correspondiente al acelerograma de la figura 23.

Figura 24. Gráfica xt &&− Figura 25. Diagrama de fases xx &−

Figura 26. Diagrama de fases xx &&− Figura 27. Espectro de respuesta OSCILADOR VAN DER POL Este sistema describe un movimiento caótico, el cual está gobernado por la ecuación diferencial (ec. 24) y para la cual 0)( ≠tf . Para este sistema, las condiciones iniciales son 0.2)0( =y y 0.4)0( =y& , con valores de

0.1=m , 53.8=μ , 0.1=K , 2.1=A y 10/2πω = . La evolución en el tiempo de dicho sistema se presenta en la figuras 28 y 29, correspondientes a las gráficas xt − , xt &&− que representan la historia de movimiento y el acelerograma respectivamente. En las figuras 30 y 31 se presentan los diagramas de fases xx &− y xx &&− . En la figura 32, se presenta el espectro de respuesta correspondiente al acelerograma de la figura 23.


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Figura 28. Gráfica xt − Figura 29. Gráfica xt &&−

Figura 30. Diagrama de fases xx &− Figura 31. Diagrama de fases xx &&−

Figura 32. Espectro de respuesta De los resultados mostrados en las figuras anteriores se pueden hacer los siguientes comentarios: Comparando las figuras 19 y 24 se observa el cambio de la respuesta simplemente senoidal en el acelerograma del caso lineal, en tanto que en el oscilador de Duffing, el acelerograma obtenido tiene aspecto irregular como si fuera aleatorio y además comparando los espectros para ambos casos, se tiene un pico para el caso lineal, en tanto que para el caótico se tienen varios picos , es decir un espectro de banda ancha como si fuera el de un sistema de varios grados de libertad. Ahora comparando los acelerogramas de las figuras 19 y

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29, este último para el oscilador de Van der Pol, el acelerograma tiene aspecto de pulsos irregulares y su espectro de respuesta también muestra varios picos aunque de forma diferente al de Duffing. En síntesis, en ambos osciladores caóticos los espectros son de banda ancha aunque diferentes. El que existan varios picos revela que un oscilador caótico de un grado de libertad presenta este comportamiento notable, que se aleja de las interpretaciones clásicas de resonancia. Esto en sí es una característica básica del caos. Asimismo se ve que un mismo modelo matemático al variar los parámetros de la ecuación de movimiento y no ser constantes, aparecen efectos no percibidos en la dinámica clásica. Por lo anteriormente comentado, deberán considerarse estos efectos en la toma de decisiones en la ingeniería sísmica. Puesto que los parámetros de amortiguamiento y rigidez pueden variar realmente, en los materiales que constituyen la corteza terrestre, y es probable (o casi seguramente) que los temblores tengan estas características caóticas debido a dichas variaciones. Otro hecho relevante, es que ambos osciladores (Duffing y Van der Pol) se excitan con una señal periódica y la salida parece aleatoria. Esto contradice las creencias comunes, de que una entrada determinista en un oscilador produce una salida determinista y una entrada aleatoria produce una salida aleatoria. COMPROBACIÓN CON SIMULINK A continuación se presentan algunas gráficas de los acelerogramas, espacios de fase y espectros de respuesta de los osciladores Duffing y Van der Pol, generados con SIMULINK, el cual utiliza como método de solución el método de Runge-Kutta para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales.

Figura 33. Gráfica xt − Figura 34. Diagrama de fases xx &−

Figura 35. Gráfica xt − Figura 36. Diagrama de fases xx &−


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Figura 37. Espectro de respuesta Figura 38. Espectro de respuesta De las gráficas 33-38 puede observarse que tanto las historias de tiempo como las trayectorias en los espacios de fases son prácticamente iguales a las generadas con las rutinas en fortran. Esto valida el algoritmo desarrollado con diferencias finitas y por tanto es confiable para resolver ecuaciones diferenciales no lineales que simulan comportamientos caóticos.

CONCLUSIONES De todo lo anterior se pueden extraer las siguientes conclusiones:

• Destaca el hecho de la influencia de la magnitud de los parámetros de amortiguamiento y rigidez, porque influyen en el tipo de solución de la ecuación diferencial de movimiento, como se pudo observar en la figura 9.

• En los problemas de dinámica no lineal la curva de la función de amplificación, sufre un encorvamiento hacia la izquierda o derecha según diferentes no linealidades, como se ve por ejemplo en la figura 14. Esto provoca que para una cierta frecuencia se tengan dos valores diferentes de amplificación.

• Por la presencia de atractores múltiples se presenta el fenómeno de bifurcación, en el que a partir de un punto se tienen dos posibles trayectorias de evolución del movimiento. Además se pueden tener a lo largo de la historia de movimiento diferentes puntos de bifurcación generándose una especie de árboles con las posibles trayectorias.

• El diagrama de fases es de gran ayuda para detectar las características geométricas de diferentes tipos de atractores.

• La existencia de atractores múltiples induce una gran irregularidad en la trayectoria del movimiento. • La forma de las ondas sufre alteraciones por la no linealidad dejando de ser sinusoidal y la

proyección del movimiento en el diagrama de fases puede tener gran complejidad, como se observa por ejemplo en la figura 15.

• El efecto de relajación de los materiales provoca que la forma de las ondas deje de ser sinusoidal y tener formas muy alejadas de este tipo, como se ve en la figura 16.

A partir del programa desarrollado se pueden deducir las siguientes conclusiones: • Un mismo procedimiento numérico puede conducir a comportamientos dinámicos diferentes, al

variar los parámetros del modelo simultáneamente con la historia de movimiento. • En un oscilador caótico aunque la entrada sea periódica la salida es irregular (pareciendo aleatoria),

pero tiene patrones de comportamiento. • Los espectros de respuesta tienen varios picos, aunque el oscilador sea de un grado de libertad (es

decir son de banda ancha). • El diagrama de fases en un oscilador caótico muestra cierta estructuración geométrica, la cual no

existe en una señal aleatoria pura. Esta es una de las diferencias entre ambos tipos de señales (aleatoria y caótica).

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• Del estudio realizado en este trabajo, se ve que los osciladores de Duffing y el de Van der Pol, tienen diagramas de fases geométricamente muy diferentes. Asimismo, sus historias de movimiento tienen patrones diferentes.

• El programa desarrollado muestra resultados casi iguales a los del paquete SIMULINK de Matlab. Esto se hizo para verificar el funcionamiento del programa.

De lo anterior se obtuvieron conclusiones de utilidad en ingeniería sísmica, como las siguientes: • Puesto que en la naturaleza los materiales pueden cambiar sus propiedades durante el movimiento

sísmico, sin duda las vibraciones tienen componente caótico independientemente del carácter aleatorio.

• Si se toman en cuenta conceptos caóticos pueden deducirse características de efecto de sitio en los acelerogramas registrados en cada lugar.

• Son de esperarse efectos caóticos en el diseño inelástico de estructuras. Asimismo, estos existirán en la interacción suelo-estructura debido a la no linealidad del suelo.

REFERENCIAS Argand,J.R.(1799). http://www.gapsystem.org/~history/biographies/Argand.html. Coddington, E: A., and Levinson, N. (1955). Theory of Ordinary Differential Equations, Ma Graw-Hill: New York. Duffing, G. (1918). Erzwungene Schwingungen bei Veranderlicher Eigenfrequenz. Vieweg: Braunshweig. Lefschetz, S. (1957). Ordinary Differential Equations: Geometric Theory. Interscience Publishers: New York (Reissued in 1977 by Dover: New York). Poincare and Bendixson (1999).http://www.math.byu.edu/~grant/courses/m634/f99/lec39.pdf. Poincare, H. (1880-90). Mémoire sur les courbes defines par les équations différentielles I-VI, Oeuvre I. Gauthier-Villars: Paris. Rosen, R. (1970). Dynamical System Theory in Biology. Wiley-Interscience: New York. Shaw, R. (1981). Strange attractors, chaotic behavior, and information flow. Z. Naturf., 36a, 80-112 Smale, S. (1963). Diffeomorphisms with many periodic points. In Differential and Combinatorial Topology, S. S. Cairns (ed.). Princeton University Press: Princeton, NJ. Thompson, J.M.T., and Stewart, H. B. (1986). Nonlinear Dynamics and Chaos. Ed. John Wiley and Sons: Chichester. Ueda, Y. (1980b). Explosion of strange attractors exhibited by Duffing’s equation. In Nonlinear Dynamics, R. H. G. Hellman (ed.). New York Academy of Sciences: New York. Van der Pol, B. (1926). On relaxation-oscillations. Phil. Mag. (7), 2, 978-992. Van der Pol, B., and Van der Mark, J. (1928). The Heart beat considered as relaxation oscillation, and an electrical model of the Herat. Phil. Mag. (7), 6, 763-775.

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