CONCEPTVOORSTELLEN LEERGEBIED REKENEN EN WISKUNDE...cijfers en symbolen er anders uitzien, maar de wiskundige principes blijven altijd hetzelfde. Deze universele vaktaal is voor ons

1

CONCEPTVOORSTELLEN LEERGEBIED REKENEN EN WISKUNDE 7 mei 2019

INLEIDING

In dit document vindt u de conceptvoorstellen van de leraren en schoolleiders van het

ontwikkelteam Rekenen & Wiskunde. Het team vraagt hierop uw feedback vóór 11

augustus. Ga voor de samenvatting van de voorstellen en om feedback te geven naar

www.curriculum.nu.

Wat zijn dit voor voorstellen? De leraren en schoolleiders hebben een visie op het

leergebied opgesteld, op basis daarvan de essenties van het leergebied benoemd (grote

opdrachten) en die vervolgens uitgewerkt in kennis en vaardigheden voor het primair

onderwijs en de onderbouw van het voortgezet onderwijs. Dit zijn de bouwstenen. Voor

de bovenbouw van het voortgezet onderwijs heeft het team aanbevelingen geformuleerd

voor de herziening van de eindtermen. De voorstellen gaan over de onderwijsinhoud

(wat), niet over didactiek (hoe).

Op basis van uw feedback werkt het team hieraan verder, om het vervolgens te

overhandigen aan de minister voor Basis- en Voortgezet onderwijs. De voorstellen van

alle ontwikkelteams van leraren en schoolleiders voor de 9 leergebieden vormen de basis

voor de actualisatie van de huidige kerndoelen en eindtermen.

Waarom deze actualisatie van het curriculum? Voor het eerst worden de kerndoelen van

het primair en voortgezet onderwijs door leraren zelf en in samenhang geactualiseerd.

Dit draagt bij aan doorlopende leerlijnen, de samenhang in het onderwijs, het

terugdringen van overladenheid en de balans in de hoofddoelen van het onderwijs:

kwalificatie, socialisatie en persoonlijke vorming. Lees verder op www.curriculum.nu en

bekijk de animatie op www.curriculum.nu/animatie.

http://www.curriculum.nu/

http://www.curriculum.nu/

http://www.curriculum.nu/animatie

2

INHOUDSOPGAVE

VISIE OP HET LEERGEBIED REKENEN & WISKUNDE ................................................... 3

GROTE OPDRACHTEN 1 t/m 6 (inhouden) ................................................................. 8

GROTE OPDRACHTEN 7 t/m 13 (denken werkwijzen) ..............................................27

RAAMWERK GROTE OPDRACHTEN EN BOUWSTENEN REKENEN & WISKUNDE ..............46

GENERIEKE AANBEVELINGEN BOVENBOUW VMBO, HAVO en VWO .............................47

BOUWSTENEN ......................................................................................................48

Bouwsteenset 1.1: Getallen ................................................................................48

Bouwsteenset 2.1: Verhoudingen .........................................................................56

Bouwsteenset 3.1: Meten ...................................................................................59

Bouwsteenset 3.2: Vorm en ruimte ......................................................................62

Bouwsteenset 3.3: Rekenen in de meetkunde .......................................................65

Bouwsteenset 4.1: Verbanden, verschijningsvormen, vergelijkingen ........................67

Bouwsteenset 4.2: Speciale verbanden.................................................................70

Bouwsteenset 5.1: Kansen en kansverdelingen .....................................................73

Bouwsteenset 5.2: Data en statistiek ...................................................................76

Bouwsteenset 6.1: Veranderingen .......................................................................80

Bouwsteenset 6.2 Benaderingen ..........................................................................83

Bouwsteenset 7.1: Gereedschap en technologie gebruiken ......................................86

Bouwsteenset 8.1: Probleemoplossen ...................................................................89

Bouwsteenset 9.1: Abstraheren ...........................................................................92

Bouwsteenset 10.1: Logisch redeneren.................................................................95

Bouwsteenset 11.1: Representeren en communiceren ............................................98

Bouwsteenset 12.1: Modelleren ......................................................................... 101

Bouwsteenset 13.1: Algoritmisch denken ............................................................ 104

BIJLAGE 1: BEGRIPPENLIJST ............................................................................... 107

BIJLAGE 2: BRONNENLIJST .................................................................................. 110

3

VISIE OP HET LEERGEBIED REKENEN & WISKUNDE

Het project Curriculum.nu

Doelstelling van het project Curriculum.nu is ontwikkeling van de curricula in negen

leergebieden (uit: werkopdracht aan de ontwikkelteams):

• dat toekomstgericht is en waarbij de ontwikkeling van de leerling centraal staat;

• dat samenhangend is;

• waarbij er meer balans is tussen de drie hoofddoelen in het onderwijs:

kwalificatie, socialisatie en persoonsvorming;

• dat een heldere doorlopende leerlijn po-vo kent, waarbij er ook sprake is van een

goede aansluiting op de voorschoolse periode en het vervolgonderwijs;

• waarin de – door de overheid vast te leggen – kern voor alle leerlingen in het po

en vo beperkt is, zodat overladenheid wordt teruggedrongen en er voldoende

keuzeruimte is voor scholen en leerlingen; de gedachten gaan naar een kern van

70% van het huidige curriculum;

• dat scholen voldoende houvast biedt om op schoolniveau tot een samenhangend

en doorlopend curriculum te komen.

Het ontwikkelteam hecht het meeste belang aan de toekomstgerichtheid van het

curriculum en de doorlopende leerlijn van po naar vo. Daarnaast acht ze het van belang

dat een nieuw curriculum een stevig fundament van kennis en vaardigheden heeft, het

leerlingen plezier verschaft, ertoe leidt dat leerlingen de wereld door een wiskundebril

leren bekijken en zich wiskundige denken werkwijzen eigen maken. Met dit nieuwe

curriculum moet maatwerk en differentiatie mogelijk zijn.

Het bovenstaande vormt het uitgangspunt voor deze visie.

A. Relevantie van het leergebied

Positie van het leergebied

Onder het leergebied Rekenen & Wiskunde worden

alle vakken en leerdomeinen gerekend met

rekenen en/of wiskunde in hun naam. Het

leergebied vormt samen met Nederlands een basis

voor alle andere vakken en leergebieden in het

primair, speciaal en voortgezet onderwijs. Het

fundament moet voor alle leerlingen van alle

niveaus, van praktijkonderwijs tot vwo, op orde

zijn zodat zij zelfredzaam kunnen zijn in de

maatschappij. Voor de wijze waarop berekeningen

en andere rekenen wiskundige bewerkingen

uitgevoerd worden, is rekenen en wiskunde

faciliterend voor andere vakken en leergebieden.

Dat wil zeggen dat wat aan leerstof en denken

werkwijzen bij rekenen en wiskunde wordt geleerd, toegepast kan worden in de meeste

andere leergebieden.

Relevantie van het leergebied en onderdelen daarvan

De taal van rekenen en wiskunde is voor iedereen hetzelfde. In geschreven taal zullen

cijfers en symbolen er anders uitzien, maar de wiskundige principes blijven altijd

hetzelfde. Deze universele vaktaal is voor ons allemaal, niet alleen voor rekenen

wiskundigen.

In het primair en speciaal

onderwijs gaat het om rekenen

en wiskunde. De onderbouw van

het voortgezet onderwijs kent

een leergebied dat rekenen en

wiskunde heet. In de

bovenbouw wordt onderscheid

gemaakt tussen rekenen en

wiskunde, dat in havo en vwo op

zijn beurt een aantal varianten

kent.

4

In het dagelijks leven komen leerlingen automatisch in aanraking met rekenen en

wiskunde. Rekenen en wiskunde hebben een belangrijke rol bij het begrijpen van de

wereld om ons heen, dicht bij huis en verder weg; denk hierbij onder andere aan

ontwikkelingen op het gebied van duurzaamheid en globalisering.

Het leergebied nodigt verder uit tot veel gebruik van informatietechnologie. Het

leergebied is dan ook onmisbaar voor socialisatie en persoonsvorming. Hiertoe dragen

rekenen in contexten en het onderdeel data en onzekerheid bij. Daarnaast dragen

rekenen en wiskunde bij aan kwalificatie voor de (onderwijs)loopbaan van elke leerling.

Het onderdeel rekenen ten slotte heeft twee functies:

bevorderen van het functioneel rekenen

voorbereiden van leerlingen op wiskunde (formeel rekenen).

Beide functies zijn niet voor alle leerlingen even relevant.

De drie hoofddoelen van het onderwijs

Het primair, speciaal en voortgezet onderwijs

kent volgens de uitgangspunten van

Curriculum.nu drie hoofddoelen: kwalificatie,

socialisatie en persoonsvorming. De huidige

curricula Rekenen & Wiskunde richten zich –

afhankelijk van de onderwijssector, leerweg en

variant – in meer of mindere mate op kwalificatie

en socialisatie. In de vernieuwde curricula zal

daarnaast ook (meer) aandacht zijn voor

persoonsvorming. Hieronder wordt onder meer

verstaan dat leerlingen de wereld door een

wiskundebril leren bekijken en plezier beleven aan

rekenen en wiskunde. Ook begrijpt de leerling de

wereld en is daar, indien dat tot zijn of haar mogelijkheden behoort, kritisch over. Vooral

het onderdeel 'Data en onzekerheid' draagt hieraan bij. Ook draagt dit onderdeel bij aan

de socialisatie van leerlingen.

Een toekomstgericht curriculum

Een toekomstgericht curriculum voor het leergebied Rekenen & Wiskunde bereidt

leerlingen voor op een flexibele invulling van hun plek in de maatschappij in een

toekomst die nu nog onbekend is. Uitgangspunten voor een toekomstgericht curriculum

zijn:

• het curriculum is uitdagend en motiverend voor elke leerling op elk niveau. Het

curriculum biedt ruimte om talenten te ontdekken en te ontwikkelen en is vanuit

de belevingswereld van de leerling interessant en betekenisvol. Ze biedt

gelegenheid aan de leerling om zich voor te bereiden op zijn vervolgopleiding en

gemotiveerd keuzes te maken.

• het curriculum kent een doordachte balans tussen de inhouden die gaan over de

vakdomeinen en inhouden die gaan over de domeinoverstijgende denken

werkwijzen (probleemoplossen, modelleren, logisch redeneren, abstraheren,

representeren en communiceren en algoritmisch denken) en richt zich op een

verwevenheid van kennis en vaardigheden. De wijze waarop leerlingen een

resultaat van een rekenen wiskundetaak tot stand brengen, is tenminste zo

belangrijk als het resultaat zelf. Via de genoemde wiskundige denken

werkwijzen biedt het curriculum ruimte voor toepassing van brede vaardigheden

als probleemoplossend denken en handelen, creatief denken, kritisch denken,

samenwerken, oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan, communiceren en

zelfregulering.

• gereedschap- en technologiegebruik zijn onlosmakelijk verbonden met rekenen

en wiskunde. ICT neemt steeds meer rekenen wiskundewerk uit handen.

Rekenen en wiskunde zijn vaak, onzichtbaar, ingebouwd in apparaten en

Voorbeelden van Rekenen &

Wiskunde ten behoeve van

socialisatie zijn: informatie en

onzekerheid, meten, tijd en geld,

analyseren van gegevens en

gebruik van rekenen en wiskunde

bij het oplossen van

toepassingsproblemen.

5

software. Leerlingen die kennis van de voorhanden zijnde gereedschappen en

technologieën hebben, kunnen leren er beredeneerd gebruik van te maken. Deze

vaardigheid heeft een directe relatie met brede vaardigheden als

probleemoplossend denken en handelen, creatief denken, kritisch denken,

samenwerken, oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan, communiceren en

zelfregulering.

B. Inhoud van het leergebied

Karakteristiek van het leergebied

Leerlingen verwerven in het onderwijs inhouden die gaan over de vakdomeinen en

inhouden die gaan over de domeinoverstijgende denken werkwijzen:

• Bij de inhouden over de vakdomeinen staan één of meer rekenen wiskundige

concepten centraal.

• De inhouden over de domeinoverstijgende denken werkwijzen kunnen op

verschillende niveaus uitgeoefend worden. Deze niveaus beschrijven in welke

mate een bekwaamheid in leerlinggedrag zichtbaar is of moet zijn.

In de onderstaande figuur staat welke inhouden onderscheiden worden.

Niet alle leerstof wordt in alle onderwijssectoren en wiskundevarianten aangeboden. Ook

bevatten wiskundevarianten (A, B, C, D) in havo/vwo en wiskunde in leerwegen vmbo

verschillende leerstof.

6

Versterken van samenhang binnen het leergebied Rekenen & Wiskunde

Versterking van de samenhang tussen inhouden die gaan over de vakdomeinen en

inhouden die gaan over de denken werkwijzen:

• verwante inhoud zo mogelijk in combinatie

aan te bieden. Optellen en aftrekken zijn

bijvoorbeeld aan elkaar verwante

basisbewerkingen. In plaats

van optellen en aftrekken als afzonderlijke

basisbewerkingen aan leerlingen te

presenteren, kunnen ze ook

in gezamenlijkheid aangeboden worden.

• relevante denken werkwijzen gelijktijdig te

koppelen aan de inhouden die gaan over de

vakdomeinen. Probleemoplossen en

representeren & communiceren zijn denken

werkwijzen die natuurlijkerwijs passen bij het

domein verhoudingen. Door het accent te verleggen van de verhouding sec naar

de combinatie van verhoudingen en wiskundige denken werkwijzen kan de

kennis van de inhoud en vaardigheid van het probleemoplossen groeien.

• denken werkwijzen niet los van elkaar te zien. Bijvoorbeeld bij het schatten van

de orde van grootte van het te betalen bedrag kan er sprake zijn van de denken

werkwijzen probleemoplossen, abstraheren, logisch redeneren en representeren

& communiceren.

• begripsvorming en toepassing als een onderdeel van verwerving van de leerstof

te zien.

• de onderlinge aansluiting van verschillende leerlijnen binnen en tussen de

onderwijssectoren te verstevigen, in het bijzonder die tussen vmbo-gt en havo en

tussen het primair en voortgezet onderwijs.

De rol van informatietechnologie in het leergebied

Informatietechnologie gericht leren inzetten valt onder de denken werkwijze

'Gereedschappen en technologie gebruiken'. Zolang dat niet ten koste gaat van

noodzakelijke begripsvorming, kan informatietechnologie een deel van het rekenen

wiskundewerk voor zijn rekening nemen, rekenkundige en wiskundige problemen

inzichtelijk maken en extra mogelijkheden bieden voor bijvoorbeeld exploratief

onderzoek. Informatietechnologie kan verder een toepassingsdomein zijn voor andere

wiskundige denken werkwijzen zoals algoritmisch denken. Hier is samenhang met het

leergebied Digitale geletterdheid.

De positie van het leergebied in het curriculum

Creëren van doorlopende leerlijnen po-vo

We maken onderscheid tussen leerlijnen en ontwikkelingslijnen. Een leerlijn bestaat uit

een beredeneerde volgordelijkheid van leerdoelen en inhouden die tot een bepaald

einddoel leiden (SLO, z.j.). De lijnen waarlangs een leerling daadwerkelijk concepten

verwerft, worden ontwikkelingslijnen genoemd. Leerlijnen lopen van groep 1 tot en met

het einde van het voortgezet onderwijs (en verder …). Het is belangrijk dat deze

leerlijnen van po via vo naar vervolgonderwijs doorlopend zijn zodat een ononderbroken

ontwikkelingslijn mogelijk wordt. Daarmee wordt het ontstaan van overlap en hiaten

voorkomen. Bij het verbeteren van doorlopende leerlijnen worden de volgende

uitgangspunten gehanteerd:

• Als basis dient een stevig fundament van inhoudelijke kennis en wiskundige

denken werkwijzen, waarop voortgebouwd kan worden met abstracte diepgang.

De verhouding tussen de functionele basis en meer abstracte diepgang verschilt

tussen uitstroomperspectieven.

Andere voorbeelden van

verwante inhouden zijn:

• verhoudingen, breuken en

procenten

• decimale getallen en meten

• de wetenschappelijke notatie

en letterrekenen met

machten

7

• De niveaus van denken en handelen zijn de basis voor het vormgeven van de

leerlijnen in elk van deze perspectieven.

Wat precies deel uit maakt van het fundament en hoe leerlijnen van

uitstroomperspectieven op basis van denken handelingsniveaus vormgegeven worden,

komen later in het traject aan bod.

Versterken van de samenhang met andere leergebieden

De leergebieden leveren aan Rekenen & Wiskunde concepten die voor Rekenen &

Wiskunde contexten vormen. Dit leergebied levert vervolgens rekenen wiskundig

instrumentarium aan andere leergebieden. Op deze wijze krijgt het leergebied Rekenen

& Wiskunde meer betekenis voor de leerlingen dan nu het geval is. Uitgangspunt is dat

leerlingen rekenen wiskundige leerstof verwerven en zich wiskundige denken

werkwijzen eigen maken in het leergebied Rekenen & Wiskunde en toepassen in andere

leergebieden. Deze leergebieden dienen daarbij de verantwoordelijkheid te nemen om

rekenen en wiskunde op dezelfde manier te gebruiken als leerlingen dat geleerd hebben

bij rekenen en wiskunde om zo de samenhang te borgen, bijvoorbeeld via rekenbewust

vakonderwijs in het voortgezet onderwijs. Dit wil niet zeggen dat álle toepassing van

rekenen en wiskunde in andere leergebieden plaatsvindt. De curricula Rekenen &

Wiskunde bieden zelf ook ruimte voor toepassingen.

Tijdens het verwerven van het fundament van rekenen en wiskunde is het van belang

dat er aandacht besteed wordt aan vaktaal. Zij moeten deze taal niet alleen "op papier"

kunnen interpreteren, maar ze ook bij het oplossen van problemen zelf productief

kunnen gebruiken en de relatie kunnen leggen tussen rekenen wiskundetaal,

school(boek)taal en dagelijkse taal (Van Eerde, 2009).

Een compact curriculum

Een belangrijke doelstelling van Curriculum.nu is reductie van de overladenheid van de

verschillende curricula. Daartoe is het noodzakelijk dat de curricula compacter worden.

Om dit te realiseren worden onderstaande uitgangspunten gehanteerd:

• verwante inhoud wordt zo mogelijk in samenhang aangeboden, zoals elders

beschreven is.

• aan automatiseren en memoriseren wordt gepast aandacht geschonken, in de

ene onderwijssector soms meer dan in andere. Voor complexe berekeningen

wordt gebruik gemaakt van technologie in combinatie met schattend rekenen.

• als gevolg van het bovenstaande wordt de moeilijkheidsgraad van rekenen

wiskundetaken die uitgevoerd kunnen worden met alleen kennis van rekenfeiten

en beheersing van routines, beperkt.

• ook herschikking van leerstof tussen primair en voortgezet onderwijs behoort tot

de mogelijkheden.

8

GROTE OPDRACHTEN 1 t/m 6 (inhouden)

Grote opdracht 1: Getallen en bewerkingen

Relevantie

Deze Grote opdracht vormt een belangrijk fundament voor het leergebied Rekenen &

Wiskunde en de meeste andere leergebieden in alle fases van het primair en

voortgezet onderwijs en binnen alle andere Grote opdrachten.

De wereld om ons heen zit vol getallen: in het verkeer, de winkel, de keuken, in de

beroepspraktijk, op internet en op de beurs. In onze maatschappij zijn steeds meer

digitale hulpmiddelen die het complexere rekenwerk kunnen overnemen. Deze

verandering heeft impact op de aard van op te lossen problemen en op de wijze

waarop we problemen oplossen, de wijze van redeneren en op de wijze van

communiceren.

Als we met een wiskundige bril naar de wereld kijken, zien we dat getallen

verschillende betekenissen en functies kunnen hebben. Getallen kunnen namen

(buslijn 7), aantallen of maten aanduiden; denk bijvoorbeeld aan tijd, geld, getallen

op displays/meetinstrumenten, op verpakkingen en in gebruiksaanwijzingen. Maar

met getallen kan ook gerekend worden. Inzicht hebben in getallen en bewerkingen

en ermee kunnen werken is een noodzakelijke voorwaarde om te kunnen

functioneren in onze voortdurend veranderende maatschappij.

De toename van digitale hulpmiddelen die het complexere rekenwerk van ons

overnemen maakt dat schattend rekenen een belangrijkere vaardigheid wordt. Het is

van belang dat een leerling zich ervan bewust is in welke situaties schattend rekenen

volstaat, bijvoorbeeld bij de vraag hoeveel mensen er ongeveer op het perron staan

te wachten, maar ook wanneer niet. Als het bijvoorbeeld gaat om het doseren van

medicijnen, de hoogte van het salaris of de hoeveelheid wisselgeld vraagt dat om

een nauwkeurige berekening en is schatten niet toereikend. Met schattend rekenen

kan een leerling zijn antwoorden en die van anderen controleren. Ook al vermindert

deze ontwikkeling de nadruk op vlot cijferend kunnen rekenen met grote getallen,

begrip van en vaardigheid in het uitvoeren van bewerkingen volgens vaste of meer

flexibele procedures blijft van groot belang voor de verdere wiskundige ontwikkeling

en voor de redzaamheid. Bedenk alleen maar waarop men terug moet vallen als

(digitale) hulpmiddelen even niet beschikbaar zijn en om te controleren of de invoer

juist was. Hoewel er verschuivingen optreden in de vaardigheden die leerlingen

moeten leren om goed om te gaan met getallen en bewerkingen, is er door de komst

van digitale hulpmiddelen wel een reductie van de leerstof mogelijk.

Van goed kunnen omgaan met getallen en bewerkingen heb je een leven lang

plezier: in andere leergebieden, in het beroepenveld, als privépersoon en als burger.

Inhoud van de opdracht

Bij deze Grote opdracht 'Getallen en bewerkingen' gaat het enerzijds om het

verwerven van kennis, inzicht en vaardigheden op het gebied van getallen en

bewerkingen, anderzijds gaat het om het ontwikkelen van het vermogen op de

wiskundige denken werkwijzen: Probleemoplossen, Abstraheren, Logisch

redeneren, Representeren en communiceren, Modelleren, Algoritmisch denken en

Gereedschap en technologie gebruiken.

9

Jonge kinderen

Kinderen komen al op jonge leeftijd in aanraking met aantallen, nummers, cijfers en

getallen. Aanvankelijk worden getallen nog gekoppeld aan hoeveelheden. In het

volgende stadium abstraheren leerlingen: ze gaan getallen zien als objecten, die je

los kunt zien van een context ('drie', in plaats van 'drie appels'). Langzamerhand

gaan de getallen voor het kind leven.

Ze zien dat getallen bepaalde

betekenissen en functies hebben en

er ontstaat bij kinderen elementair

getalbegrip, zoals hoeveelheden

kunnen tellen en vergelijken. Hierbij

kunnen de kinderen ook de juiste

reken-/wiskunde taal toepassen. Ze

gaan getalsymbolen herkennen en

weten dat er een vaste volgorde is.

Getallen en getalbegrip

De leerlingen ontwikkelen inzicht in eigenschappen van en relaties tussen getallen.

Zo leren ze de tientallige structuur in ons talstelsel en denken na over bijvoorbeeld

deelbaarheid en priemgetallen.

Vanuit deze basis breidt het getalbegrip van leerlingen zich uit naar grotere getallen,

decimale getallen en breuken. Ook voor deze getallen geldt dat getallen aanvankelijk

aan betekenisvolle contexten gekoppeld worden, zoals aan geld: € 1,28. Vervolgens

wordt het getal losgekoppeld van de context (abstraheren) en wordt 1,28 een object

waarmee gerekend kan worden. Ook daar waar breuken in eerste instantie

aanduidingen zijn voor 'deel van een geheel', en resultaat van een deling, worden

breuken ook getallen waarmee gerekend kan worden (rationale getallen).

Nog later breidt het getalbegrip van leerlingen zich uit met negatieve getallen en

irrationele getallen (bijvoorbeeld π of √2). Deze representatie met cijfers kan

vervolgens aangevuld worden met andere representaties, bijvoorbeeld Romeinse

cijfers, binaire getallen en wetenschappelijke notaties. Getallen kennen meer dan

één representatie en lenen zich daarom voor verwerving van een denken werkwijze

als Representeren en communiceren. Bijvoorbeeld: Welke representatie gebruik je in

welke situatie?

Bewerkingen

Een eerste begrip van getallen en hoeveelheden biedt de basis voor het leren

rekenen. Bij het leren van de bewerkingen is het essentieel dat leerlingen niet alleen

de eigenschappen van bewerkingen leren, maar deze ook in samenhang aangeboden

krijgen. Het splitsen van getallen is voorwaardelijk voor het vlot kunnen uitvoeren

van de bewerkingen optellen en aftrekken. De relaties tussen die bewerkingen

(optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) leren ze doorzien en gebruiken.

Bijvoorbeeld de relatie tussen optellen en aftrekken of tussen vermenigvuldigen en

delen, maar ook tussen bijvoorbeeld optellen en vermenigvuldigen en aftrekken en

delen. Leerlingen leren de bijbehorende rekenen-wiskundetaal, verschillende

rekenstrategieën en rekenprocedures zowel voor exact rekenen als voor schattend

rekenen. Ze leren basisvaardigheden automatiseren (vlot uitvoeren) en in sommige

gevallen te memoriseren (direct weten, zoals bijvoorbeeld de tafels van

vermenigvuldiging). Ze kunnen met hun verworven kennis, inzicht en vaardigheden

10

nieuwe, nog onbekende problemen oplossen, al dan niet ondersteund met schema's

en plaatjes. Dat laatste kan als eerste kennismaking dienen met de denken

werkwijze Modelleren. De getallen waarmee leerlingen rekenen worden steeds

groter, en ze leren rekenen met decimale getallen en breuken.

Ook het aanbod van bewerkingen wordt uitgebreid met machtsverheffen,

worteltrekken en logaritmen. Ook hier is het van belang dat leerlingen niet alleen de

eigenschappen van deze bewerkingen leren, maar ook de relaties tussen die

bewerkingen doorzien en gebruiken (bijvoorbeeld de relatie tussen machtsverheffen

en worteltrekken en de voorrangsregels die gelden bij meerdere bewerkingen in een

opgave). Berekeningen met getallen kunnen uitgevoerd worden door middel van

standaardprocedures. Het beheersen daarvan is er één. Maar als een leerling

gevraagd wordt te beschrijven hoe zo'n procedure in zijn werk gaat, ontwikkelt hij

zijn algoritmisch denkvermogen. Bovendien lenen getallen zich om te leren logisch te

redeneren. Een vraagstuk om aan te tonen dat het product van twee oneven

getallen altijd oneven is, biedt gelegenheid om verschillende niveaus van redeneren

toe te passen (een paar voorbeelden uitschrijven, een rechthoek tekenen en

daarmee de bewering aantonen of (2n + 1)(2k + 1) = 4kn + 2n + 2k + 1 = even

getal + 1 = oneven getal.

Voorbeelden van wiskundige denken werkwijzen in vraagstukken binnen deze

Grote opdracht 'Getallen en bewerkingen':

Probleemoplossen

− In de bus zitten voor de halte 28 mensen en na de halte 31 mensen. Er

zijn 7 mensen ingestapt. Hoeveel mensen zijn er uitgestapt?

Abstraheren

− Leerlingen leren vanuit een verhaal of situatie een bewerking te

formuleren; jonge leerlingen leren te praten over 'drie' zonder daarbij nog

te denken aan een hoeveelheid.

Logisch redeneren

− De telrij of getallenrij is oneindig. Die rij ken je niet uit je hoofd. Hoe weet

je toch altijd wat het volgende getal is? Leg eens uit.

Representeren en communiceren

− Welk getal staat hier: 9,6 x 107? En hier: CIX?

Modelleren

− Een busrit begint met 4 passagiers. Gegeven is hoeveel passagiers op

elke halte in- en uitstappen. Maak een schema waaruit je kunt afleiden

hoeveel passagiers er op het einde van de busrit uitstappen.

Algoritmisch denken

− Leg stap voor stap hoe je een vermenigvuldiging als 28 x 67 cijferend

oplost.

Gereedschap en technologie gebruiken

- Gebruik je je rekenmachine om 6,99 + 7,95 op te tellen? Waarom

wel/niet?

Brede vaardigheden

Bij bovenstaande denken werkwijzen komen ook de volgende brede vaardigheden

aan bod:

11

Kritisch denken

Creatief denken en praktisch handelen

Probleemoplossend denken

Zelfregulering

Communiceren

12

Grote opdracht 2 : Verhoudingen

Relevantie

Denken in en omgaan met verhoudingen speelt een belangrijke rol in ons leven. In het

nieuws en via de politiek krijgen we berichten over allerlei verhoudingen: de balans

privé/werk, de stijging van consumentenprijzen met 2%, de machtsbalans of de

bevolkingssamenstelling. Ook in het persoonlijke leven en de beroepspraktijk

gebruiken we veelvuldig verhoudingen. Bijvoorbeeld bij het in- en uitzoomen op je

laptop, bij recepten, bij schoonmaakmiddeldoseringen en bij schaalmodellen die je met

een 3D printer kunt maken. Verhoudingen zijn zo nabij en overal aanwezig dat een

goed begrip ervan noodzakelijk is. Als we met een wiskundige bril kijken zien we dat er

bij verhoudingen steeds sprake is van twee of meer grootheden die ten opzichte van

elkaar vergeleken worden. Verhoudingssituaties kunnen kwalitatief of schattend

benaderd worden, zoals in de zin van: 'Mijn vader heeft grotere voeten dan ik, maar in

verhouding heb ik grotere voeten dan hij', of kwantitatief zoals bij schaal of

percentages. In het dagelijks gebruik is begrip van en vaardigheid in het omgaan met

verhoudingssituaties volgens vaste of meer flexibele procedures van groot belang,

bijvoorbeeld bij prijsvergelijkingen (Is de grote pot pindakaas in verhouding wel echt

goedkoper dan de kleinere pot?). Begrip van verhoudingen is belangrijk voor het

kunnen rekenen met samengestelde grootheden (bijvoorbeeld snelheid in km/uur,

dosering in ml/l), met vergrotingen binnen de meetkunde en bij kansen. Digitale

technologie, bijvoorbeeld werken met spreadsheets, kan het oplossen van

verhoudingsproblemen ondersteunen en vergemakkelijken.

Grootheden in verhouding tot elkaar leren zien draagt naast een verdere wiskundige

ontwikkeling bij aan de persoonsvorming en maatschappelijke redzaamheid.

Binnen het leergebied is er een sterke verbinding met de Grote opdrachten: 'Meten en

meetkunde' (het vergroten/verkleinen van figuren, rekenen met schaal, de

guldensnede, goniometrie) en 'Data, statistiek en kans'. Ook in andere leergebieden en

de beroepsvakken komen verhoudingen voor bij de toepassingen van het vak. Vanuit

het faciliterende karakter van het leergebied Rekenen & Wiskunde voor andere

leergebieden onderstrepen we hier wat in de visie beschreven is over een

samenhangende aanpak: toepassing van rekenen wiskundig instrumentarium op het

gebied van verhoudingen kan het begrip van verhoudingen vergroten bij alle

leergebieden.


Bij deze Grote opdracht 'Verhoudingen' gaat het enerzijds om het verwerven van

begrip, kennis, en vaardigheden op het

gebied van verhoudingen, anderzijds

gaat het om het ontwikkelen van het

vermogen op de wiskundige denken

werkwijzen: Probleemoplossen,

Abstraheren, Logisch redeneren,

Representeren en communiceren,

Modelleren en Gereedschap en

technologie gebruiken. De denken

werkwijze Algoritmisch denken past

minder bij deze grote opdracht.

13

Jonge kinderen komen al vroeg met kwalitatieve verhoudingen in aanraking. Er kan

gedacht worden aan uitdrukkingen als 'kleiner dan' en 'ouder dan' in verhouding tot

iets anders. Als leerlingen dit fundament begrijpen is een overstap naar een

kwantitatieve benadering met getalsmatige verhoudingen mogelijk. Dus niet meer 'hij

is ouder dan ik ben', maar 'hij is twee keer zo oud als ik ben'. Contexten uit het

dagelijks leven zoals het werken met recepten en de juiste hoeveelheid voer aan

verschillende aantallen dieren ondersteunen het begrip van en rekenen met

verhoudingen.

Het domein Verhoudingen leent zich goed om de denken werkwijzen

Probleemoplossen en Logisch redeneren te ontwikkelen. Veel situaties in het dagelijks

leven rond verhoudingen vragen om niet routinematige aanpakken. Denk bijvoorbeeld

aan prijsvergelijkingen met allerlei varianten zoals bijvoorbeeld aanbiedingen van

verschillende abonnementen voor mobiele telefoons. Het gaat dan zowel om het

berekenen van het goedkoopste abonnement als om het best passende abonnement,

afhankelijk van het gebruik door de persoon in kwestie.

Een verhouding kent verschillende representaties, zoals een percentage, een breuk,

een schrijfwijze als '1 van de 8' of een notatie als 1 : 8. Welke representatie wanneer

gebruikt wordt hangt af van de situatie en de doelgroep is onderdeel van

Representeren en communiceren.

Het is belangrijk dat breuken, procenten, verhoudingen en decimale getallen in

samenhang worden aangeboden evenals het hanteren van een gemeenschappelijke

taal voor het hele gebied van verhoudingen. Dit draagt ook bij aan Abstraheren.

Modelleren met bijvoorbeeld de strook, dubbele getallenlijnen en verhoudingstabellen

helpt bij het structureren van wiskundige verhoudingsproblemen. Bij het rekenen met

verhoudingen bepaalt de fase waarin een leerling zit, of naast deze modellen ook een

meer formele manier van rekenen nodig is, zoals rekenen met een verhoudingsfactor.

Bij gebruik van de rekenmachine of Excel is deze factor van belang.

In het vo komen herhaalde procentberekeningen, exponentiële verbanden en

evenredigheid aan de orde. Bij het vak economie leren leerlingen bijvoorbeeld rekenen

met rente over rente (samengestelde interest).

Voorbeelden van wiskundige denken werkwijzen in vraagstukken binnen deze Grote

opdracht 'Verhoudingen':

Probleemoplossen

− De BTW is verhoogd van 6% naar 9%. Met hoeveel procent nemen de

prijzen toe?

Abstraheren

− Op elke brildrager zijn er twee mensen die geen bril dragen. Welk deel van

de mensen draagt geen bril?

Logisch redeneren

− Als je eerst iets verhoogt met 10% en daarna weer verlaagt met 10%, kom

je dan weer op het oorspronkelijke bedrag uit? Leg je redenering uit.

− Zowel in groep 7 als in groep 8 is 40% van de leerlingen een meisje. Mag je

dan zeggen dat er in beide groepen evenveel meisjes zitten? Noem eens

voorbeelden.


− Een Engelse landkaart heeft een schaal van 1 inch : 3 mijl. Hoe schrijf je dat

in normale schrijfwijze?

14

Modelleren

− In de supermarkt zijn veel verschillende verpakkingen cola verkrijgbaar.

Geef met behulp van verhoudingstabellen aan welke verpakking de hoogste

literprijs heeft.


- Het vergroten en verkleinen van plaatjes op een tablet.

Brede vaardigheden


aan bod:

Kritisch denken



Zelfregulering

Communiceren

15

Grote opdracht 3: Meten en meetkunde

Relevantie

Meten en meetkunde komen we overal tegen in de wereld. Van de technische sector

tot de creatieve industrie en van de zorg tot de agrarische sector. Maar ook in het

persoonlijk leven. Al sinds de oudheid maken maten, ruimte, vormen en patronen deel

uit van onze wereld, van knutselen en bouwen tot aan het begrijpen van de

ruimtevaart. Het herkennen, verklaren en beschrijven van situaties in de ruimte om

ons heen (routebeschrijvingen, dag en nacht) horen tot het domein van de meetkunde.

Meten gaat over grootheden als lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht, temperatuur en

tijd. Nieuwe (digitale) hulpmiddelen als de elektrische fiets, gezondheidsapps en virtual

reality veranderen het handelen in het persoonlijk leven, de maatschappij, de studie en

het beroep op het gebied van meten en meetkunde. Dit draagt bij aan de

persoonsvorming.

Door met een wiskundige bril naar de wereld te kijken ontwikkelt de leerling een

gevoel voor ruimte, grootte, omvang en plaats. Het domein Meten en meetkunde bevat

contexten en onderdelen die de nieuwsgierigheid prikkelen en zo een onderzoekende

houding uitlokken. De beschikbaarheid van (digitale) hulpmiddelen die het fysieke

handelen uit handen kunnen nemen en/of tekeningen maken, geeft het zelf

construeren en meten met wiskundige gereedschappen een andere functie. Denk

bijvoorbeeld aan het meten van lengtes met behulp van een laser tot op de millimeter

nauwkeurig in plaats van met bijvoorbeeld een rolmaat.

Ook al vermindert deze ontwikkeling de nadruk op het zelf kunnen uitvoeren, begrip

van en vaardigheid in meten en het construeren van vormen en figuren volgens vaste

of meer flexibele procedures blijft van groot belang voor verdere wiskundige

ontwikkeling, voor maatschappelijke redzaamheid en (na)controle. En er verdwijnen

eenheden verschijnen nieuwe eenheden. Oude eenheden als 'duim' en 'ons' hebben

plaatsgemaakt voor de standaard-eenheden als 'meter' en 'kilogram'. Tegenwoordig

gebruiken we ook nieuwe grootheden als filedruk, BMI en downloadsnelheid. In de

toekomst zal kennis uit Meten en meetkunde in combinatie met andere onderdelen van

het leergebied Rekenen & Wiskunde en andere leergebieden toegepast worden in

nieuwe situaties. Denk aan zelfrijdende auto’s, navigatiesystemen en het meten van de

omvang van ijskappen.

Het domein Meten leent zich ook goed als context voor een verder begrip van het

getalsysteem, met de tientallige structuur. Denk bijvoorbeeld aan de tientallige

structuur van het metriek stelsel. Het goed benutten van de samenhang tussen de

grote opdrachten 'Getallen en bewerkingen' en 'Meten en meetkunde' kan bijdragen

aan een reductie van de leerstof.

16


Bij deze Grote opdracht 'Meten en meetkunde' gaat het enerzijds om het verwerven

van kennis, inzicht en vaardigheden op

het gebied van meten en meetkunde,

anderzijds gaat het om het ontwikkelen

van het vermogen op de wiskundige

denken werkwijzen: Probleemoplossen,



Modelleren, Algoritmisch denken en

Gereedschappen en technologie

gebruiken.

Meten gaat om het bepalen van grootte en omvang van grootheden, hetgeen de

leerling tot uitdrukking brengt in maten. Het betreft dan de volgende grootheden:

lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en tijd. Geld zou ook een maat genoemd kunnen

worden, maar dat is zo minimaal dat we die hier buiten beschouwing laten.

Leerlingen maken kennis met verschillende maten en (digitale) meetinstrumenten, en

in welke situaties die gebruikt worden. Een maat bestaat uit een combinatie van een

maatgetal en een eenheid. Omdat eenheden in elkaar omgerekend kunnen worden,

kent een maat verschillende representaties. Leerlingen leren deze kennen en begrijpen

en in elkaar omrekenen. Ze ontwikkelen maatgevoel en verzamelen referentiematen

(een grote stap is ongeveer een meter; een deur is ruim twee meter hoog). Bij het

leren doorzien van het metriek stelsel en omrekenen van eenheden maken leerlingen

gebruik van hun begrip van het tientallig stelsel.

Bij het onderwerp 'Tijd' verloopt dit anders. De klok en kalender passen niet in het

tientallig stelsel. Tijd is ook een onderwerp waarbij leerlingen kunnen werken aan de

denken werkwijze Representeren en communiceren. Denk bijvoorbeeld aan het

omgaan met kalenders, agenda's en hoe je met elkaar afstemt bij het maken van

afspraken of het maken van een reis.

Meetkunde beschrijft en verklaart vorm en ruimte. Dit gebeurt zowel in twee als in drie

dimensies.

Daarnaast is er overlap tussen meten en meetkunde. Het bepalen van de hoogte van

een huis is meten, het maken van een zijaanzicht is meetkunde. Het tekenen vanuit

verschillende perspectieven (plattegronden, zijaanzichten) draagt bij aan de

ontwikkeling van de denken werkwijze Modelleren. De opbouw gaat van herkennen

en benoemen van vormen, het indelen van vormen zoals driehoeken, vierkanten en

rechthoeken naar het definiëren van deze vormen. Leerlingen leren hierbij

abstraheren. Daarnaast leert de leerling ermee redeneren en rekenen. Bijvoorbeeld bij

het berekenen van de oppervlakte van een vlak figuur. Of het berekenen van de

inhoud van samengestelde figuren met behulp van formules (de inhoud van een huis =

de inhoud van een balk + inhoud van een prisma). Meten en meetkunde lenen zich ook

goed om de denken werkwijzen Probleemoplossen en Logisch redeneren te

ontwikkelen: Wat is de grootste oppervlakte die je kunt maken met een omtrek van 60

m2 en hoe weet je dat dit de grootste oppervlakte is? Logisch redeneren in de

meetkunde kan variëren van het gebruik van een schetsje tot een formeel wiskundig

bewijs, denk bijvoorbeeld aan het werken met kijklijnen. Algoritmisch denken kan in de

meetkunde aan bod komen bij het beschrijven van de wijze waarop een meetkundige

constructie met passer en liniaal uitgevoerd wordt.

Sommige leerlingen, afhankelijk van het uitstroomperspectief, werken aan analytische

meetkunde en vectormeetkunde (zowel twee- als driedimensionaal), bij andere

17

uitstroomprofielen ligt de nadruk op functioneel gebruik in de dagelijkse (beroeps-

)praktijk. Denk aan de bouw, koken, reizen.


opdracht 'Meten en meetkunde':

Probleemoplossen

− Hoeveel blikken van 2 liter verf heb je nodig om een muur van 8 bij 3,2

meter te verven?

Abstraheren

− Leg uit dat als de lengte en breedte van een rechthoek verdubbelen, de

oppervlakte van die rechthoek vier keer zo groot wordt.

Logisch redeneren

− Leg uit dat elk vierkant ook een rechthoek is.


− Teken de route die we gelopen hebben op www.afstandmeten.nl.

− Ontwerp op www.afstandmeten.nl een fietsroute van ongeveer 50 km

waarbij we ook weer terugkomen op het punt van vertrek.

− De luchtdruk in een fietsband is 80 pounds per square inch. Hoeveel

atmosfeer is dat?

Modelleren

− Maak een bouwtekening (op schaal) van het konijnenhok dat je gaat maken

met je groep.

Algoritmisch denken

− Beschrijf hoe je met passer en liniaal het midden van twee gegeven punten

kunt bepalen.


− Teken de middelloodlijn van een lijnstuk met behulp van passer en liniaal.

Brede vaardigheden


aan bod:

Kritisch denken



Zelfregulering

Communiceren

http://www.afstandmeten.nl/

http://www.afstandmeten.nl/

18

Grote opdracht 4: Variabelen, verbanden en formules

Relevantie

In de huidige samenleving is het belangrijk dat mensen snel op de hoogte kunnen zijn

van allerlei zaken en gebeurtenissen in de wereld, bijvoorbeeld bij rampen. Door de

informatie te ordenen en te vertalen in bijvoorbeeld grafieken kunnen we

gebeurtenissen beter begrijpen, verbanden leggen en een ontwikkeling voorspellen. De

technologie hierbij ontwikkelt zich in een rap tempo. Ontwikkelingen op het gebied van

bijvoorbeeld mobiele telefonie, duurzame energie, domotica (huisautomatisering) en

de beurshandel zorgen voor veel verschillende informatiestromen die niet altijd

overzichtelijk of te controleren zijn. Denk bijvoorbeeld ook aan misleidende grafieken

die een vertekend beeld schetsen omdat er een deel van de informatie niet zichtbaar

is.

Als we met een wiskundige bril naar de wereld kijken, zien we in informatie allerlei

verbanden. Denk bijvoorbeeld aan het verband tussen het aantal bananen en het

gewicht, tussen de tijd en de afgelegde afstand of tussen het aantal mensen

waaronder de kosten verdeeld moeten worden met het te betalen bedrag. Het gaat

steeds om twee (of meer) grootheden (die verschillende waarden kunnen hebben) die

met elkaar samenhangen. Wanneer bijvoorbeeld de kosten over meer mensen

verdeeld worden, neemt het te betalen bedrag per persoon af.

Bij het omzetten van informatie naar verbanden en formules spelen schematische

voorstellingen en modellen al van oudsher een grote rol. Wiskunde is betekenisvol

omdat het van belang is dat leerlingen leren met gegevens om te gaan, verbanden

leren zien en deze weer te geven in een formule met variabelen. Denk bijvoorbeeld

aan een (woord-)formule die de totaalkosten van een concertbezoek weergeeft met

een prijs per kaartje van € 25,- en daar bovenop de administratiekosten van € 10,-. De

woordformule wordt dan: totale kosten kaartjes = aantal kaartjes x € 25 + € 10.

Formules zijn een wiskundige weergave van verbanden. Zij vormen een universele taal

die de communicatie wereldwijd vergemakkelijkt.

Deze Grote opdracht vertoont een sterke samenhang met de Grote opdrachten

Getallen en Bewerkingen, Verhoudingen, Meten en Meetkunde, en Veranderingen en

benaderingen. Bij het ontdekken van patronen, voor het leggen van verbanden en het

opstellen van formules is een goed fundament van getalbegrip essentieel. Ook spelen

verhoudingen vaak een grote rol evenals het kunnen interpreteren van schematische

weergaves. In de leergebieden Mens & Natuur en Mens & Maatschappij wordt

veelvuldig gewerkt met verbanden en formules. Deze Grote opdracht Variabelen,

verbanden en formules leent zich voor uitwisseling tussen leergebieden en voor

samenvoeging van leerstof.

19


Bij deze Grote opdracht 'Variabelen, verbanden en formules' gaat het enerzijds om het

verwerven van kennis, inzicht en

vaardigheden op het gebied van

variabelen, verbanden en formules en

anderzijds om het ontwikkelen van het






Gereedschappen en technologie

gebruiken.

Leerlingen zijn al vroeg bezig met het concept verbanden door een regelmaat te

zoeken in geordende rijen getallen, deze regelmaat voort te zetten en met woorden te

beschrijven. Dit doen ze eerst door verder te tellen. Bij bepaalde situaties kun je niet

blijven tellen om tot een oplossing te komen zoals bij: hoeveel handen hebben alle

kinderen van de hele school samen? Bij grotere aantallen ontstaat de noodzaak om

een regelmaat te herkennen en dit verband te beschrijven in een (woord)formule,

zoals: aantal handen = aantal kinderen x 2.

Een formule is een middel om efficiënter met complexere situaties om te kunnen gaan.

Zij beschrijft volgens welke rekenstappen de waarde van een variabele berekend kan

worden als die van de andere variabele bekend is. Leerlingen leren dat de plaats van

een getal in een (woord)formule bepalend is voor de betekenis van het getal.

Voorbeeld: Wanneer je met oppassen drie euro per uur verdient en een vast bedrag

van vijf euro per keer, moet de drie gekoppeld worden aan de variabele 'aantal uren'

om uiteindelijk een correct eindbedrag te krijgen.

De variabelen in een formule kunnen worden weergegeven door middel van een

woord, een betekenisvolle letter (bijvoorbeeld de h van handen) of een willekeurige

letter (y). Ook bij de formule y = ax + b leert de leerling de betekenis en invloed van a

en b om y te berekenen. Het kunnen omzetten van situaties in (woord)formules

behoort tot de werken denkwijze Modelleren.

De leerling maakt kennis met en kan rekenen aan allerlei verbanden en

verschijningsvormen ervan. Hij leert zelf verbanden te beschrijven met behulp van

(woord-)variabelen. Afhankelijk van het uitstroomperspectief gebeurt dit binnen

contexten (loon = uurloon x aantal gewerkte uren) en/of binnen de wiskunde

(y = x2 + 5). Aan bod komen vooral het herleiden van formules, oplossen van

verschillende soorten vergelijkingen met verschillende methoden en

standaardverbanden en varianten daarop. Van standaardverbanden leren leerlingen

verschillende representaties kennen, zoals (de vorm) van formules en van grafieken.

Verbanden kunnen Representeren en er met begrip over kunnen communiceren met

anderen is het doel. Hiervoor leren leerlingen werken met tabellen, formules en

grafieken en waar zinvol met behulp van digitale technologie.

Verbanden en formules bieden ruim gelegenheid tot abstraheren, zoals bij formules: in

het denken van een leerling evolueert een formule van een rekenvoorschrift tot een

object waarover geredeneerd kan worden (Hoe kun je aan de formule zien dat y

kwadratisch toeneemt bij een verandering van x?) of waarmee probleemoplossen

mogelijk is (Bij welke omzet is er sprake van maximale winst?).

20


opdracht 'Variabelen, verbanden en formules':

Probleemoplossen

− Leerlingen bedenken reeksen getallen. Andere leerlingen moeten de reeksen

getallen afmaken en kunnen uitleggen welk patroon er te zien is.

Abstraheren

− Van welk van de volgende verbanden lopen de grafieken evenwijdig?

Beantwoord deze vraag zonder de grafieken te tekenen. y = 2x + 3,

y = −2x + 3, y = 2x – 3 en y = −2x – 3.

Logisch redeneren

− Als je het aantal handen weet, weet je dan ook hoeveel kinderen er zijn?

Leg eens uit.


− Teken een machientje waarbij je het verband weergeeft tussen het aantal

consumpties en het totaalbedrag.

Modelleren

− In elk boeket zit 4 euro aan groen, de rozen kosten 1,50 euro per stuk en

de gerbera's 1 euro per stuk. Maak een formule voor het totaalbedrag per

boeket.

Algoritmisch denken

− Beschrijf de stappen die je moet doen om een lineaire vergelijking op te

lossen.


− Los deze ongelijkheid op met behulp van ICT.

Brede vaardigheden


aan bod:

Kritisch denken



Zelfregulering

Communiceren

21

Grote opdracht 5: Data, statistiek en kans

Relevantie

Zijn alle berichten die met getallen onderbouwd worden, waar? Hoe weet je dat? De

tegenwoordige rekenkracht van computers maakt het mogelijk om sneller,

eenvoudiger en met minder kans op fouten zeer grote hoeveelheden gegevens te

verwerken. Het vermogen van burgers om gegevens te ordenen en te verwerken en

representaties te begrijpen is dan ook van steeds groter belang. Statistiek gaat over

het verzamelen, verwerken, juist interpreteren en representeren van gegevens en er

conclusies aan verbinden. Om greep te krijgen op onzekerheid en toeval is er de

kansrekening. Hiermee kunnen we bepalen welke uitkomsten mogelijk zijn en hoe

waarschijnlijk uitkomsten zijn.

Door via een wiskundige bril te kijken, leren leerlingen kritisch te reflecteren op

informatie. Deze reflectie stimuleert een onderzoekende houding en versterkt de

nieuwsgierigheid van leerlingen. Met deze houding neemt hun bewustzijn van de

wereld om hen heen toe. De beschikbaarheid van steeds meer en diverse informatie,

verandert ook het maken van afwegingen. Daarom is begrip van en vaardigheid in het

omgaan met gegevens volgens vaste of meer flexibele procedures van groot belang.

Met de groei van de omvang van informatie, groeien ook de verwachtingen over wat

we ermee kunnen. Maar informatie komt niet altijd overeen met de werkelijkheid.

Bewust leren omgaan met (een grote hoeveelheid) talige en cijfermatige informatie of

representaties zorgt ervoor dat informatie op de juiste waarde geschat kan worden.

Deze vaardigheid is voor leerlingen in alle leergebieden, bij (vervolg)opleidingen, in het

werkveld en het dagelijks leven van groot belang. In de toekomst zal meer kennis

hierover toegepast worden in nieuwe situaties. Denk hierbij bijvoorbeeld aan de

journalistiek, voorspellingen rondom het klimaat en het verwerken van data op velerlei

terreinen.


Bij deze Grote opdracht 'Data, statistiek

en kans' gaat het enerzijds om het


vaardigheden op het gebied van data,

statistiek en kans en anderzijds om het

ontwikkelen van de wiskundige denk-

en werkwijzen: Probleemoplossen,



Modelleren en Gereedschap en

technologie gebruiken.

Leerlingen leren al op vroege leeftijd gegevens te ordenen tot overzichtelijke

hoeveelheden, bijvoorbeeld als ze bespreken welk dier ze op 4 oktober in de klas willen

hebben: Iedereen legt een plaatje van zijn voorkeur in de juiste rij en zo ontstaat een

eenvoudig beelddiagram dat ze zelf kunnen interpreteren. Later leren ze hoe ze

gegevens op papier kunnen verwerken tot bijvoorbeeld een staafdiagram. Het maken

van schematische weergaven gebeurt niet alleen handmatig, maar ook met inzet van

ICT. Dit is een uiting van de denken werkwijze Representeren en communiceren. Met

behulp van deze representaties leren leerlingen kritisch denken en redeneren over

deze gegevens: 'Welk dier zouden we nu moeten uitnodigen en waarom denk je dat?'

22

Leerlingen leren meerdere visualisaties te maken om informatie geordend weer te

geven, onder andere tabellen, diagrammen en grafieken. Hieruit kunnen ze gegevens

aflezen en analyseren. Daarna conclusies trekken, trends herkennen en voorspellingen

doen. Voorbeeld: Maak een staafdiagram van de schoenmaten van alle kinderen uit je

groep. Welke schoenmaat komt het meest voor? Hoe ziet een staafdiagram hiervan er

over twee jaar uit? Leerlingen leren ook dat gegevens soms uit toeval kunnen zijn

ontstaan en dat ze daar dus bij het interpreteren en trekken van conclusies rekening

mee moeten houden: Als je een verkeerstelling houdt bij de straat van je school en er

zijn heel veel fietsers geteld, kan dat bijvoorbeeld toeval zijn (doordat er een

schoolklas langs kwam fietsen). Kritisch denken en conclusies trekken gaan hierbij

hand in hand.

Bij sommige uitstroomperspectieven komt het exploreren (onderzoeken en

interpreteren) van informatiebronnen aan bod, bijvoorbeeld bij misleidende grafieken.

Leerlingen leren dat ze misleidende grafieken kunnen herkennen bijvoorbeeld doordat

er gemanipuleerd is met de indeling van de assen.

De Grote opdracht 'Getallen en bewerkingen' vormt een belangrijke basis om

getalsmatige informatie te verzamelen, visualisaties te maken en te kunnen begrijpen.

Door steeds complexere informatie en grotere getallen te gebruiken, maar ook door

grotere verzamelingen in combinatie met statistiek toe te passen, bereiken de

leerlingen een hogere mate van abstract denken. Dit gaat van het maken van een

staafdiagram over de hoeveelheid regen die er gevallen is per dag tot het logisch

redeneren over een bevolkingspiramide. (Als de hoeveelheid geboortes afneemt en

mensen ouder worden, hoe ziet de bevolkingspiramide er over 50 jaar uit?)

De leerling leert om de grote hoeveelheid talige en cijfermatige informatie kritisch te

bekijken en op waarde in te schatten. In eerste instantie op basis van eigen

waarneming. Daarna door met logische opeenvolgende redeneerstappen een bewering

aan te tonen of te weerleggen. Nog later kan dat met beweringen op een hoger

abstractieniveau.

De leerling leert na te denken over kans, zoals de kans op regen en of een bepaald

spelletje eerlijk is of niet. Nadien volgt een meer formele aanpak van kansrekening.

Kansrekening biedt talrijke vraagstukken die uitnodigen tot probleemoplossen, zoals

het driedeurenprobleem (Stel dat je mag kiezen uit drie deuren: achter een van deur

staat een auto, achter de andere twee staan geiten. Je kiest een deur, bijvoorbeeld nr.

1, en de presentator, die weet wat er achter de deuren staat, opent een andere deur,

bijvoorbeeld nr. 3, met een geit erachter. Hij zegt dan tegen je: 'Zou je deur nr. 2

willen kiezen?' Is het in je voordeel om van deur te wisselen?)


opdracht 'Data, statistiek en kans':

Probleemoplossen

− Je rapportcijfer is gelijk aan het gemiddelde van drie proefwerkcijfers. Je

hebt op het eerste proefwerk een 4 en op het tweede proefwerk een 6

gehaald. Welk cijfer moet je ten minste op het derde proefwerk halen om op

je rapport een 5,5 of hoger te krijgen?

− Je doet met een vriend een spelletje en gooit een keer of wat met een

dobbelsteen. Als er een 2 of een 5 gegooid wordt, krijg jij van je vriend €

0,50. Als er iets anders gegooid, betaal jij je vriend € 0,20. Wie houdt er

naar verwachting geld over aan dit spelletje?

Abstraheren

− Als in een dataset alle getallen met een vaste waarde verhoogd worden,

verandert dan het gemiddelde, de spreiding of beide?

Logisch redeneren

23

− Beredeneer dat jouw oma (waarschijnlijk) een grotere kans heeft om 100

jaar oud te worden dan jij.


− Maak een steelbladdiagram van de cijfers in de klas van de laatste

rekentoets.

Modelleren

− Veel kansexperimenten kun je met de normale verdeling goed modelleren:

Bijvoorbeeld de kansverdeling van de som van de ogen van een aantal

dobbelstenen.


− Bereken de gemiddelde lengte van de leerlingen in de klas.

Brede vaardigheden


aan de orde:

Kritisch denken



Zelfregulering

Communiceren

24

Grote opdracht 6: Veranderingen en benaderingen

Relevantie

We hebben in de wereld te maken met verschillende nieuwe maatschappelijke

ontwikkelingen zoals een veranderend klimaat en daardoor het smelten van de ijskap,

de toenemende afvalberg en afnemende fossiele brandstoffen. Om veranderprocessen

te begrijpen is kennis nodig van veranderingen. In de wetenschap worden

veranderingsprocessen vaak gemodelleerd. Als je het startpunt van een proces weet

en de richting en grootte van de verandering, dan kan geprobeerd worden om de

toekomstige situatie te benaderen zodat we erop kunnen anticiperen. Denk

bijvoorbeeld aan 'code rood' bij een stormwaarschuwing.

Vanuit een praktisch perspectief zien we dat benaderingen van steeds grotere waarde

worden dan exacte uitkomsten. Door de toenemende rekenkracht van computers

liggen de technieken van de numerieke wiskunde (het onderdeel van de wiskunde dat

zich bezighoudt met benaderend rekenen) voor het benaderen van uitkomsten met een

zeer hoge nauwkeurigheid binnen handbereik. Door toepassing van numerieke

wiskunde zijn computersimulaties mogelijk bij praktische vragen en complexe

problemen als weersvoorspellingen en stromingsleer. Kennis van numerieke wiskunde

is nodig om digitale hulpmiddelen goed te hanteren en te begrijpen, denk hierbij vooral

ook aan het effect van (tussentijdse) afrondingen.

Alle leergebieden hebben te maken met veranderingen. Of het nu gaat om cultuur,

politieke veranderingen, migratie, (cyber)oorlog of het omgaan met elkaar, persoonlijk

of via de social media. Er zijn wiskundige technieken beschikbaar die veranderingen

beschrijven en soms ook kunnen voorspellen. Kennis van deze technieken is voor

leerlingen in alle leergebieden, bij (vervolg)opleidingen, in het werkveld en het

dagelijks leven van groot belang. In de toekomst zal er meer kennis over menselijk

gedrag in de (digitale) samenleving toegepast worden, bijvoorbeeld in het huishouden,

de zorg (robotisering), de landbouw en bij digitale platforms.


Bij deze Grote opdracht 'Veranderingen en benaderingen' gaat het enerzijds om het


vaardigheden op het gebied van

veranderingen en benaderingen en

anderzijds om het ontwikkelen van het






Gereedschap en technologie gebruiken.

Een belangrijk fundament voor het kunnen werken aan deze Grote opdracht ligt in

andere Grote opdrachten waarbij leerlingen leren werken met (hele) kleine getallen,

gemiddelden, verhoudingen, formules, tabellen en grafieken.

In eerste instantie leert de leerling een model of visualisatie, zoals een grafiek of een

tabel, te interpreteren en vast te stellen welke verandering zichtbaar is. De leerling kan

kritisch denken en redeneren over deze verandering. Bijvoorbeeld: 'Wat betekent het

als de lijn op een bepaald punt in een tijd-afstand lijngrafiek heel steil loopt?'. Hierbij is

25

een leerling ook bezig met de denken werkwijze Logisch redeneren: 'Wat gebeurt er

met het verloop van de grafiek als de temperatuur daalt? Leg je antwoord uit.'

Vervolgens leert de leerling werken met verschillen op intervallen die steeds kleiner

worden, zowel discreet (stapjes per eenheid) als continu. Bijvoorbeeld: 'Op welk

moment van de dag daalt de temperatuur het snelst?’. Door steeds kleinere intervallen

te bekijken, die niet meer realistisch en voorstelbaar zijn, is de leerling bezig met de

wiskundige denken werkwijze Abstraheren.

In een later stadium leert de leerling een model te maken om een verandering te

visualiseren, ermee te rekenen en onderzoek te doen. Hiermee wordt een beroep

gedaan op de wiskundige denken werkwijze Modelleren. Daarvoor zijn wiskundige

technieken als interpoleren (wanneer denk je dat Nederland ongeveer 8 miljoen

inwoners had?) en extrapoleren (wanneer denk je dat Nederland zo'n 20 miljoen

inwoners zal hebben?) belangrijke vaardigheden.

Deze Grote opdracht leent zich goed voor de wiskundige denken werkwijze

Probleemoplossen. Het kiezen van een zo goedkoop mogelijk telefoonabonnement bij

een veranderend verbruik van de hoeveelheid MB's is een voorbeeld hiervan. Ook

optimalisatieproblemen als 'wat is de oppervlakte van de grootste rechthoek die je

kunt maken met 30 meter prikkeldraad?' vallen onder deze wiskundige denken

werkwijze.

Wiskundige technieken om veranderingen te leren begrijpen zijn: benaderen,

inklemmen (bijvoorbeeld de zijde van een vierkant van 20 m2 bepalen door middel van

proberen: eerst 5, dan 4, dan 4,4, dan 4,45, enzovoort), differentiaalrekenen,

optimaliseren en lineair programmeren. Deze technieken kunnen in de vorm van een of

meer algoritmen weergegeven worden. Bij het begrijpen en toepassen van deze

technieken wordt een beroep gedaan op de wiskundige denken werkwijze

algoritmisch denken. Algoritmisch denken komt vooral sterk aan de orde bij numerieke

wiskunde. Dit onderdeel bevat een groot aantal benaderingsprocedures die zich goed

lenen om door middel van algoritmen beschreven te worden.

Bij deze grote opdracht wordt ook een beroep gedaan op de denken werkwijze

Representeren en communiceren: Veranderingen worden immers vaak visueel

gepresenteerd in grafieken, diagrammen en tabellen.


opdracht 'Veranderingen en benaderingen':

Probleemoplossen

− In een staafdiagram staat hoeveel regen er elke dag gevallen is. Bepaal

hoeveel regen er in totaal gevallen is.

Abstraheren

− Leg uit hoe je in een staafdiagram kunt zien waar zich de grootste

verandering voordoet.

− Gegeven is een grafiek die de plaats van een object weergeeft op een

bepaald tijdstip. Wijs het punt op de grafiek aan waar de snelheid van het

object gelijk is aan de gemiddelde snelheid vanaf t = 0.

Logisch redeneren

− Wat gebeurt er met de lengte van je remweg als je harder gaat rijden en

vervolgens remt? Leg eens uit.

− Leg Zeno's paradox uit: waarom haalt Achilles de schildpad uiteindelijk toch

in?


− Laat in een grafiek zien hoe de ontwikkeling van een hoeveelheid bacteriën

er uit ziet. Je start met 1 bacterie en deze splitst zich elk uur in tweeën.

− Voor differentiaalquotiënt en afgeleide functie bestaan verschillende

26

representaties, zoals d𝑦/d𝑥, 𝑦′ en �̇�.

Modelleren

− Modellen uit de economie voor het berekenen van de totale opbrengst:

TO = -3q2 + 45q met q = aantal producten. Wat is de marginale opbrengst

voor q = 3?

Algoritmisch denken

− Beschrijf de stappen om de oplossing van een vergelijking met behulp van

inklemmen te vinden.


− Los de lineaire vergelijking met inklemmen op. Bepaal of je hiervoor een

rekenmachine nodig hebt.

Brede vaardigheden


aan bod:

Kritisch denken



Zelfregulering

Communiceren

27

GROTE OPDRACHTEN 7 t/m 13 (denken werkwijzen)

Grote opdracht 7: Gereedschap en technologie gebruiken

Relevantie

De moderne technologie reikt gereedschap aan waarmee wiskundig handwerk verlicht

en verricht kan worden. Daarnaast biedt ze mogelijkheden om wiskundige

vraagstukken te verkennen, te onderzoeken en soms ook op te lossen. In de huidige

tijd is het gebruik van technologie niet meer weg te denken. Denk bijvoorbeeld aan het

gebruik van navigatie in het verkeer of gebruik van spreadsheets. Het heeft voor

leerlingen meerwaarde in te zien dat deze technologie ook zijn dienst kan bewijzen in

het leergebied Rekenen & Wiskunde. En dat ze in staat en bereid zijn dit op doordachte

en verantwoorde wijze te gebruiken.

Sommige digitale gereedschappen zijn een welhaast ideale omgeving om wiskundige

modellen vorm te geven. Een spreadsheet met formules is in feite een wiskundig

model. Dat geldt ook voor simulatieprogramma's waar een leerling het model zelf moet

invullen, zoals die ook bij het leergebied Mens & Natuur gebruikt worden. Bij het

modelleren vormen digitale gereedschappen een welkome aanvulling.

Veel digitale technologie heeft wortels in de wiskunde. Kennen en begrijpen wat de

functie van wiskunde is in digitaal gereedschap, is voor leerlingen relevant. Ze krijgen

hiermee inzicht in en waardering voor de rol van wiskunde in het algemeen in digitale

technologie in het bijzonder. Ook verdiept dit hun kennis van de mogelijk- en

onmogelijkheden van digitale gereedschappen.


Het gaat hier in eerste instantie om

doordacht en verantwoord gebruik van

gereedschappen en technologie.

Aan bod komen vragen als:

Wanneer gebruik ik welk

gereedschap? En wanneer niet?

Hoe kan ik beoordelen of gereedschap

betrouwbare uitkomsten biedt?

Wat is de nauwkeurigheid en

foutmarge van de uitkomsten?

Het kunnen bedienen en hanteren van gereedschap is hiervoor noodzakelijk.

In tweede instantie gaat het er om de wiskunde te kennen en begrijpen waarop

technologie gebaseerd is. Dit gaat minder ver dan kennis van de werking van een stuk

technologie. Vergelijk het met autorijden. Kennis van de functie van het

koppelingspedaal is voor elke automobilist relevant. De precieze werking van

koppelingsplaten en de versnellingsbak is voor automobilisten minder van belang.

Voorbeelden van Gereedschappen en technologie gebruiken in de verschillende

domeinen:

Getallen en bewerkingen

− met behulp van een rekenmachine of computer bewerkingen uitvoeren en

de uitkomsten kritisch beschouwen;

− waarom kan Excel niet 1 × 2 × 3 × … × 1000 uitrekenen?

28

Verhoudingen

− met behulp van een rekenmachine bewerkingen uitvoeren en de uitkomsten

kritisch beschouwen;

− hoe zorg je er voor dat lengte en breedte van een digitale foto op je

beeldscherm in de juiste verhouding blijven als je de foto vergroot of

verkleint? Door een van de hoekpunten onder een hoek van 45° te

verslepen.

Meten & meetkunde

− Meetinstrumentarium gebruiken, zoals passer, liniaal, lasermeter,

thermometer, (digitale) klok, display van de e-bike, GPS, kompas en

hoekmeter en uitspraken doen over de nauwkeurigheid van de

meetresultaten;

− digitale tekenprogramma's gebruiken om twee- en driedimensionale

objecten te modelleren en vervolgens vanuit verschillende perspectieven te

bekijken;

− is het mogelijk de exacte plaats te bepalen van een mobiele telefoon

waarvan de locatiemodus op 'uit' staat? Nee, je kunt wel met een

(kruis)peiling het gebied bepalen waar de telefoon zich bevindt. Als een

telefoon zich bij veel zendmasten heeft aangemeld, is het gebied tamelijk

klein.

Variabelen, verbanden en formules

− gebruik maken van grafische apps om snijpunten van grafieken te bepalen

en daarbij overwegingen te hanteren over de ligging van snijpunten;

− gebruik maken van grafische apps om families van verbanden in beeld te

brengen;

− spreadsheets en simulatieprogrammatuur gebruiken om modellen te maken

en door te rekenen;

− computeralgebra gebruiken om complexe algebraïsche bewerkingen uit te

voeren;

− samplen van geluidsfragmenten. Geluid is een periodiek verband tussen de

druk van de lucht ter hoogte van je oor en de tijd. Een sample is niet veel

meer dan een tabel van dit verband.

Data, statistiek & kansrekening

− spreadsheets gebruiken om kansexperimenten te simuleren;

− hoe kunnen systemen leren van gegevens die ze verzamelen en opslaan?

Veranderingen en benaderingen

− gebruik maken van grafische apps en andere software om minima en

maxima van grafieken te bepalen en daarbij overwegingen hanteren over de

ligging van deze extremen;

− spreadsheets en simulatieprogrammatuur gebruiken om modellen te maken

en door te rekenen;

− benaderingsmethoden programmeren of modelleren met behulp van

computers;

− hoe werkt beeldherkenning? Op het beeld wordt een aantal vaste punten

aangewezen en die punten worden vergeleken met een referentiebeeld.

Brede vaardigheden

Bij deze denk-/werkwijze komen de volgende brede vaardigheden aan bod:

Creatief denken en handelen

Kiezen voor passend gereedschap en technologie.

29

Probleemoplossend denken en handelen

Bepalen bij welke stappen in een oplossingsstrategie gereedschappen en

technologie hun dienst kunnen bewijzen.

Kritisch denken

Nagaan of uitkomsten van (digitaal) gereedschap betrouwbaar zijn.

30

Grote opdracht 8: Probleemoplossen

Relevantie

Het belang van het kunnen probleemoplossen kan nauwelijks overschat worden. Veel

maatschappelijke en andere vraagstukken kunnen beschouwd worden als een

probleem, waarvoor een oplossing gewenst is. Denk aan klimaatverandering,

bodemdaling in het gaswinningsgebied van Groningen, waterhuishouding, enzovoorts.

Welke oplossing het beste past, hangt af van verschillende factoren: politiek, sociaal,

fysiek, enzovoort. Het leergebied Rekenen & Wiskunde draagt ertoe bij keuzen op

onderbouwde wijze te maken. Ook in het dagelijks leven doen zich situaties voor die

als probleem beschouwd kunnen worden. Voorbeelden zijn: berekenen hoeveel

belasting je moet betalen over een vermogen, op hoeveel vakantiedagen je recht hebt,

of hoeveel studieschuld je opgebouwd hebt. Probleemoplossen is daarmee een

belangrijke werkwijze in dit leergebied en draagt bij aan socialisatie van de leerling.

Ook het hoofddoel van kwalificatie is gediend bij het vermogen problemen op te

kunnen lossen, in het bijzonder als het gaat om problemen in het leergebied Rekenen

& Wiskunde zelf. Denk bijvoorbeeld aan een slimme oplossing voor berekening van de

som van de getallen 1 tot en met 100 of in de onderbouw: het vinden van alle

splitsingen van 10. Door problemen uit het leergebied zelf en uit andere leergebieden

aan de orde te stellen verdiept het wiskundig inzicht en denken van leerlingen zich. En

daar heeft een leerling baat bij met het oog op het vervolg van zijn loopbaan. Ten

slotte doet probleemoplossen een beroep op analytisch en creatief denken en dat

draagt bij aan persoonsvorming.

In verschillende andere leergebieden komen problemen met een wiskundecomponent

voor, die om een oplossing vragen. Daarvoor is het essentieel dat een leerling over

relevante vakkennis beschikt, over probleemoplossingsvaardigheden in het algemeen

en voor wiskundeproblemen in het bijzonder, en voldoende (routine)vaardigheid heeft

in het uitvoeren van rekenen wiskundebewerkingen. De werkwijze Probleemoplossen

in dit leergebied kan daarin deels voorzien.


Het onderscheid tussen een probleem

en een routinematig oplosbaar

vraagstuk is dat bij een probleem niet

direct duidelijk is op welke wijze het

kan worden opgelost. Bij een

routinematig oplosbaar vraagstuk is dat

wel duidelijk. Dit onderscheid is relatief.

Wat voor de één een routinematig

oplosbaar vraagstuk is, kan voor een

ander een probleem zijn en omgekeerd.

Bovendien kan wat eerst een probleem vormt voor iemand, in een later stadium

routinematig oplosbaar zijn voor hem.

Problemen kunnen verdeeld worden in wiskundeproblemen, bijvoorbeeld "Bereken de

som van de getallen 1 tot en met 100", en toepassingsproblemen, bijvoorbeeld "Met

hoeveel procent stijgen de prijzen als de BTW stijgt van 6% naar 9%?". Niet elk

31

toepassingsvraagstuk is een probleem. Als je een toepassingsvraagstuk kunt oplossen

op routinematige wijze, is het (voor jou) een routinevraagstuk. Voor veel leerlingen zal

op een bepaald moment een vraagstuk als "Wat moet je betalen als je 20% korting op

een kledingstuk van € 69,95 krijgt?" een routinevraagstuk zijn.

Om een probleem op te lossen kun je gebruik maken heuristieken (methoden bij het

aanpakken van problemen). Voorbeelden daarvan zijn:

trial-and-error: iets uitproberen en kijken hoe dat uitpakt;

alle mogelijkheden opsommen en daaruit een keuze maken;

van achter naar voren werken;

een verband leggen met (eenvoudiger) verwante problemen die je al eerder hebt

opgelost;

het probleem opdelen in deelproblemen, die afzonderlijk oplossen en de

oplossingen samenstellen tot een oplossing van het hoofdprobleem.

Als onderdeel van het probleemoplossingsproces kunnen wiskundige modellen gebruikt

worden. Een wiskundig model is een weergave van een situatie met behulp van

wiskundige formalismen. Dat kan gebruikt worden om de probleemsituatie en de

vraagstelling te beschrijven. Het gebruik van modellen is echter niet beperkt tot het

oplossen van problemen. Evenmin vereist elk probleem dat er een wiskundig model

wordt opgesteld.

We zien onder leerlingen verschillende aanpakken van probleemoplossen. Die

illustreren we aan de hand van het volgende probleem: “Een man beweert van zichzelf,

zijn zoon en zijn kleinzoon: ”Mijn zoon is 24 jaar jonger dan ik; mijn zoon is 35 jaar

ouder dan mijn kleinzoon. Samen zijn wij 100 jaar oud. Hoe oud zijn we elk?"

Een leerling probeert met trial-and-error of 'handelend' een oplossing van het

probleem te construeren. Bij contextproblemen hebben zijn of haar probeersels

betekenis binnen de context.

Deze aanpak in het voorbeeld: Een leerling neemt voor de opa een bepaalde

leeftijd, bijvoorbeeld 70 jaar. Dan is de zoon 46 jaar en de kleinzoon 11 jaar oud.

Totaal = 127 jaar. Dan probeert hij 65 jaar. Dan is de zoon 41 jaar en de kleinzoon

6 jaar oud. Totaal = 112 jaar, enzovoort.

Een leerling lost het probleem op met behulp van een schematische beschrijving

van de probleemsituatie.

Deze aanpak in het voorbeeld: Een leerling tekent de situatie uit met balkjes en

ontdekt zo dat drie keer de leeftijd van opa – 24 – (24 + 35) gelijk moet zijn aan

100.

Een leerling lost het probleem op door waar nodig de probleemsituatie wiskundig te

modelleren, een oplossingsstrategie te bedenken, de handelingen uit de strategie

uit te voeren, de uitkomsten daarvan te bewerken tot een of meer oplossingen

(bijvoorbeeld: afronden, eenheden toevoegen, conclusies trekken) en de juistheid

van deze oplossing(en) te controleren.

Deze aanpak in het voorbeeld: Een leerling maakt een wiskundig model met x =

32

leeftijd van opa, y = leeftijd van de zoon en z = leeftijd van de kleinzoon en met

drie vergelijkingen.

De moeilijkheidsgraad van een probleem wordt onder andere door de volgende

factoren bepaald:

uit hoeveel verschillende handelingen de oplossingsstrategie bestaat;

hoeveel gegevens er gebruikt worden bij deze handelingen;

in hoeverre er sprake is van dingen als overbodige gegevens, ontbrekende

gegevens, de noodzaak om de uitkomsten te bewerken tot oplossingen,

verschillende bronnen waaruit gegevens betrokken moeten worden, …;

in hoeverre het noodzakelijk is een wiskundig model van de probleemsituatie op te

stellen.

Voorbeelden van Probleemoplossen in de verschillende domeinen:


− Vind alle splitsingen van 10 (wiskundige probleem).

− Bereken de som van de getallen 1 tot en met 100 (wiskundig probleem).

Verhoudingen

− Met hoeveel procent stijgen de prijzen als de BTW stijgt van 6% naar 9%?

(toepassingsprobleem)

Meten & meetkunde

− Hoeveel blikken van 2 liter verf heb je nodig om een muur van 8 bij 3,2

meter te verven? (toepassingsprobleem)


− Leerlingen bedenken een reeks getallen. Andere leerlingen moeten

bedenken wat het volgende getal van die reeks is (wiskundig probleem).

Informatie, statistiek & kansrekening

− Je doet met een vriend een spelletje en gooit een keer of wat met een

dobbelsteen. Als er een twee of een vijf gegooid wordt, krijg jij van je vriend

€ 0,50. Als er iets anders wordt gegooid, betaal jij je vriend € 0,20. Wie

houdt er naar verwachting geld over aan dit spelletje?



− In een staafdiagram staat hoeveel water er dagelijks verbruikt is. Bepaal

hoeveel water er in een maand gebruikt is (toepassingsprobleem).

− Hoeveel water zou een persoon ongeveer gebruiken op een dag?


Brede vaardigheden




Welke oplossingsstrategie leidt tot het gewenste resultaat?

Kritisch denken

Klopt mijn strategie? Moet ik niet een andere aanpak proberen?

Zelfregulering

Voer ik mijn strategie nog correct en volgens plan uit?

33

Grote opdracht 9: Abstraheren

Relevantie

Abstraheren in de betekenis van generaliseren vormt een belangrijke denkwijze in de

wiskunde. Wie niet kan abstraheren zal moeite hebben met de andere denken

werkwijzen van het leergebied en eveneens met het doorgronden van de inhouden van

het leergebied. Zijn of haar wiskundekennis is in dat geval oppervlakkig en

instrumenteel van aard. Dit strekt zich ook uit tot andere leergebieden waar wiskunde

een rol speelt.

Het belang van abstraheren richt zich in het bijzonder op persoonsvorming; het

vermogen tot generaliseren maakt dat iemand in staat is afstand te nemen van

concrete situaties, verbanden kan leggen met vergelijkbare situaties en daar lering uit

kan trekken. Hij kan doordringen tot de essentie van situaties en vraagstukken en kan

hoofd- van bijzaken onderscheiden. Hier kan iemand zijn hele leven voordeel van

ondervinden.


Abstraheren heeft betrekking op

enerzijds concrete objecten en

anderzijds op bewerkingen. Hieronder

staan twee voorbeelden die

verschillende niveaus van abstraheren

beschrijven.

Stel dat we leerlingen vragen een cirkel te karakteriseren.

1. Een leerling wijst een aantal cirkelvormige objecten in de directe omgeving aan

of geeft voorbeelden van voorwerpen die een cirkelvorm hebben (een

euromunt, een ronde tafel, een fietswiel).

2. Een leerling tekent met een passer een cirkel en zegt (desgevraagd) dat alle

punten op een cirkel gelijke afstand hebben tot het middelpunt.

3. Een leerling zegt daarnaast dat een cirkel de enige figuur is die lijnsymmetrisch

is met oneindig veel symmetrieassen. Of: dat een cirkel de figuur is met de

grootste oppervlakte bij een gegeven omtrek.

4. Een leerling zegt dat een cirkel een kromme is met een vergelijking van de

vorm (x – a)2 + (y – b)2 = r2 en legt verbanden met andere krommen. Deze

leerling legt desgevraagd uit waarom krommen met deze vergelijking cirkels

zijn.

Stel dat we leerlingen vragen berekeningen met procenten te karakteriseren

1. Een leerling geeft een voorbeeld van hoe je …% van iets berekent.

2. Een leerling laat ook andere procentberekeningen zien, zoals: "hoeveel procent

is iets van iets" en terugrekening van BTW. Deze leerling legt desgevraagd

verbanden tussen deze berekeningen en vertelt wat de betekenis ervan is.

34

3. Een leerling spreekt daarnaast over percentages, geeft een omschrijving van

een percentage en vertelt bijvoorbeeld dat een klein percentage van het één

meer kan zijn dan een groter percentage van het ander.

4. Een leerling zegt dat een percentage een voorstellingswijze is van een

verhouding en noemt andere voorstellingswijzen van verhoudingen, zoals

breuken en omschrijvingen als "1 van de …" of "op elke … zijn er …". Deze

leerling legt verbanden tussen deze voorstellingswijzen en redeneert over

verhoudingen in het algemeen.

In deze voorbeelden zien we hoe abstraheren in het denken van leerlingen kan

verlopen. Zowel cirkels als procentberekeningen worden in het denken van leerlingen

zelfstandige denkobjecten met een betekenis. Leerlingen kunnen praten en redeneren

over denkobjecten en onderkennen hun bestaan. Ze vormen een nieuwe werkelijkheid

voor de leerling. En op basis van deze nieuwe werkelijkheid kunnen leerlingen nieuwe

objecten in hun denken vormen.

Voorbeelden van Abstraheren in de verschillende domeinen:


− Jonge leerlingen leren te praten over 'drie' zonder daarbij nog te denken aan

een hoeveelheid.

Verhoudingen

− Een Engelse landkaart heeft een schaal van 1 inch : 3 mijl. Als een leerling

schaal als een denkobject beschouwt, heeft hij/zij weinig moeite de schaal

van deze kaart in een metrieke schaal te schrijven.

Meten & meetkunde

− Een leerling die een rechthoek kan karakteriseren aan de hand van zijn

kenmerken, kan ook uitleggen dat elk vierkant ook een rechthoek is.

− Een leerling die een meetkundige figuur als een denkobject beschouwt,

begrijpt dat twee congruente figuren dezelfde oppervlakte hebben.


− Een leerling die een vergelijking als een denkobject beschouwt, kan

onderstaande vraag beantwoorden zonder de vergelijkingen op te lossen.

Welke vergelijkingen hebben dezelfde oplossing?

0,55x – 4,2 = 23,1 55x – 420 = 2310 −55x + 420 = −2310

0,55x + 4,2 = −23,1 0,55x – 3,2 = 24,1 0,11x – 0,64 = 4,82


− Een leerling die een verzameling van getallen als een denkobject beschouwt,

kan onderstaande vraag beantwoorden: als in een verzameling getallen alle

getallen met een vaste waarde verhoogd worden, verandert dan het

gemiddelde, de spreiding of beide?


− Leerlingen met abstraheervermogen onderkennen het bestaan van oneindig

kleine veranderingen die niet gelijk zijn aan 0.

Brede vaardigheden


Oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan

Abstraheervermogen is een belangrijke factor voor succes in studie en loopbaan.

35

Grote opdracht 10: Logisch redeneren

Relevantie

In veel situaties in beroepen en daarbuiten moeten mensen een logische redenering

kunnen volgen of geven en redeneerfouten kunnen herkennen, zoals drogredenen en

misleidende redeneringen. In het kader van persoonsvorming en socialisatie is logisch

redeneren daarom een belangrijke vaardigheid. Verder is het vermogen om logisch te

redeneren van belang om je verder te bekwamen in het leergebied Rekenen &

Wiskunde.

Logisch redeneren in dit leergebied gaat over beweringen, stellingen, eigenschappen,

het aantonen of weerleggen daarvan én over het opsporen van stellingen en

eigenschappen. Met een logische redenering kan worden aangetoond of een bewering

of stelling waar is of niet. In een dergelijke redenering kunnen redeneerprincipes (zoals

"het bewijs uit het ongerijmde"), eigenschappen, stellingen en definities gebruikt

worden. Redeneerprincipes zijn buiten het leergebied en in het analyseren van

redeneringen van iemand anders ook goed bruikbaar.


Bij logisch redeneren gaat hem om

beweringen in algemene zin, zoals:

toon aan (of: leg uit, verklaar, …) dat

van élke driehoek de som van de

hoeken samen 180o is en niet: toon aan

dat van deze driehoek de som van de

hoeken samen 180o is. In het geval een

leerling nog nooit kennis gemaakt heeft

met de hoeksomeigenschap van

driehoeken, is het laatste voor hem een

probleem. De eerste bewering gaat over élke driehoek. Aantonen dat dit klopt, wordt

tot logisch redeneren gerekend.

Sommige beweringen zijn van de vorm "als A dan B", bijvoorbeeld: "Als het regent,

zijn de straten nat". In dat geval vormt A het uitgangspunt van een keten van

redeneerstappen, die op hun beurt moeten leiden tot B. In een enkel geval kent de

leerling een redenering voor een stelling uit het hoofd, denk bijvoorbeeld aan een

bewijs van de Stelling van Pythagoras. Dit uit het hoofd weten valt niet onder logisch

redeneren.

In het leergebied Rekenen & Wiskunde zien we een aantal manieren om stellingen en

eigenschappen op het spoor te komen:

inductief redeneren (vanuit voorbeelden of data zoeken naar overeenkomsten,

hier regels of eigenschappen uit halen en deze met nieuwe voorbeelden of data

controleren, bijvoorbeeld: "De kinderen uit mijn groep hebben allemaal tien

vingers aan hun hand. Dus alle mensen op aarde hebben tien vingers.");

deductief redeneren (uitgaan van wat al bekend/bewezen is en van daaruit

andere zaken afleiden; bijvoorbeeld de als-dan-redenering: "Als het regent, dan

zijn de straten nat" en "Als de straten nat zijn, dan is fietsen gevaarlijk". Hieruit

volgt: "Als het regent, dan is fietsen gevaarlijk.");

analoog redeneren (op basis van vergelijkbare situaties beredeneren hoe het is

in andere situaties, bijvoorbeeld: "De kinderen uit mijn groep hebben allemaal

36

tien vingers aan hun hand. Dat geldt daarom ook voor kinderen uit de

parallelgroep.")

Deze manieren van redeneren zien we in meer of mindere mate terug in de wijze

waarop een leerling een stelling, eigenschap of bewering aantoont of weerlegt. We

komen het volgende tegen.

Een leerling rekent een aantal voorbeelden door en als die de bewering staven

of weerleggen, veronderstelt hij/zij dat de bewering (on)waar is. Dit heeft

verwantschap met inductief redeneren.

Een leerling tekent een plaatje of schema en geeft naar aanleiding daarvan een

redenering. Of: hij/zij toont aan dat de bewering in een bepaalde context (niet)

klopt en veronderstelt dat dat in het algemeen ook zo is. Dit heeft ook

verwantschap met inductief redeneren en enigszins met analoog redeneren.

Een leerling geeft een wiskundig bewijs. Dit heeft verwantschap met deductief

redeneren.

Hieronder staan twee voorbeelden bij de stelling dat van elke driehoek de som van de

hoeken gelijk is aan 180o.

"Plaatje en praatje"

Knip de driehoek uit, maak twee kopieën en leg de drie driehoeken neer zoals

hieronder is te zien. Dat past precies. De som van de drie hoeken staat in de rode boog

en dat is precies een gestrekte hoek.

Formeel bewijs

Bekend veronderstelde stellingen en definities:

Een gestrekte hoek is een hoek van 180 graden.

Stelling van de Z-hoeken.

Bewijs:

(1) ∠𝐶1 + ∠𝐶2 + ∠𝐶3 = 180° (gestrekte hoek)

(2) ∠𝐴 = ∠𝐶1 (Z-hoeken)

(3) ∠𝐵 = ∠𝐶3 (Z-hoeken)

(4) ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶2 = 180° (volg uit 1, 2 en 3)

Q.E.D.

http://www.davdata.nl/hoeken3hoek.html

De moeilijkheidsgraad van een redeneervraagstuk wordt onder andere door de

volgende factoren bepaald:

http://www.davdata.nl/hoeken3hoek.html

37

hoeveel verschillende eigenschappen, definities, stellingen er noodzakelijk zijn

om de redenering op te zetten;

of er specifieke redeneerprincipes gebruikt moeten worden;

of vooraf bekend is dat de bewering weerlegd of aangetoond moet worden of

dat de leerling dat vooraf niet weet.

Voorbeelden van Logisch redeneren in de verschillende domeinen:


− Toon aan dat oneven getal x oneven getal = oneven getal

− Wat weet je van oneven getal + oneven getal?

Verhoudingen

− Als je eerst iets verhoogt met 10% en daarna weer verlaagt met 10%, kom

je dan weer op het oorspronkelijke bedrag uit? Leg je redenering uit.

Meten & meetkunde

− Leg uit dat als de afmetingen van een figuur verdubbelen, de oppervlakte

van die figuur vier keer zo groot wordt.

− Verder kent meetkunde talrijke stellingen die zich als redeneervraagstuk

lenen.


− Als je het aantal handen weet, weet je dan ook altijd hoeveel kinderen er

zijn? Leg eens uit.


− Beredeneer dat iemand een grotere kans heeft om een bepaalde leeftijd te

bereiken te worden dan iemand die jonger is.


− Toon de volgende stelling aan: tussen elk twee nulpunten van een

(continue) functie ligt ten minste één punt waar diens verandering gelijk is

aan 0.

Brede vaardigheden

Bij deze bekwaamheid komen de volgende brede vaardigheden aan bod:


Welke redeneerstappen leiden tot het gewenste resultaat?

Kritisch denken

Klopt mijn redeneertrant?

Zelfregulering

Mijn redeneerproces aansturen, reguleren en evalueren; volhardend zijn.

38

Grote opdracht 11: Representeren en communiceren

Relevantie

Representeren is het weergeven van wiskundige objecten en bewerkingen met behulp

van symbolen en benamingen. Het belang van het gebruik van correcte termen en

symbolen is vooral gelegen in de noodzaak over wiskunde te kunnen communiceren.

Wiskundetaal omvat begrippen, benamingen en symbolen. Het gebruik hiervan

vereenvoudigt communicatie met deskundigen die hierin zijn ingewijd. Maar

communicatie over wiskunde omvat meer dan dat. Ook is van belang wiskunde uit

kunnen leggen aan anderen. En daarvoor is het noodzakelijk symbolen en benamingen

te gebruiken die afgestemd zijn op doel en publiek. Representeren en communiceren

dragen bij aan kwalificatie – correct gebruik van symbolen en benamingen is in

vervolgopleidingen en beroep noodzakelijk – en aan socialisatie. De wijze waarop

leerlingen in staat zijn objecten en bewerkingen weer te geven, weerspiegelt hun

wiskundig denken en handelen. Representaties bieden leerlingen de mogelijkheid hun

wiskundig denken en wiskundig handelen tot uitdrukking te brengen.

In alle leergebieden waar rekenen en wiskunde wordt gebruikt, is representeren en

communiceren van belang. Het gebeurt dat in andere leergebieden afwijkende

symbolen en notaties gebruikt worden, bijvoorbeeld 'doorsnede' van een cirkel in

plaats van 'diameter' van een cirkel. Hier flexibel mee om te gaan en waar nodig

verbindingen te leggen tussen afwijkende en wiskundige symbolen en notaties is

eveneens van belang.


Representeren betreft het weergeven

van objecten en bewerkingen in de

vorm van visualisaties, formules en

symbolen. Het gaat er om hoe

wiskundige objecten en bewerkingen

worden weergegeven en genoemd. Ook

verwante begrippen en notaties vallen

hieronder. Zo geven we een breuk weer

in de vorm …

… of … …⁄ ; het getal boven de

streep heet 'teller' en het getal er onder heet 'noemer'. Of: de lijnstukken die de

hoekpunten van een driehoek met elkaar verbinden heten de 'zijden' van de driehoek.

Bij ruimtelijke figuren spreken we over 'ribben'.

Wiskundig communiceren heeft als doel wiskunde begrijpelijk te maken voor een breed

publiek en de universele taal van wiskunde onder ingewijden te kunnen spreken.

Bij het representeren zien we dat leerlingen verschillende namen en symbolen

gebruiken. We illustreren dit aan de hand van de vraag hoe je de uitkomst van de

optelling van twee getallen noemt.

Ze gebruiken zelf bedachte benamingen en informele taal, bijvoorbeeld

'erbijgetal.'.

Ze gebruiken formele wiskundetaal, namelijk de som van beide getallen.

39

In sommige gevallen is het wenselijk van weergave te wisselen, bijvoorbeeld als blijkt

dat een bepaalde weergave niet past bij een bepaald publiek of voor een bepaalde

situatie. Dit omzetten van weergaven wordt tot Representeren en communiceren

gerekend, voor zover dit volgens op min of meer vaste wijze plaats vindt, zoals bij

omzetting van 2 op de 5 naar 40% of twee vijfde deel.

Voorbeelden van Representeren en communiceren in de verschillende domeinen:


− Welk getal staat hier: 9,6 ∙ 107? En hier: CIX? En hier: 9.615.232?

Verhoudingen

− 2 op de 5 mensen draagt een bril. Hoeveel procent is dat?

− Welk van beide voorstellingswijzen zou je gebruiken om je ouders te

vertellen welk deel van de mensen een bril draagt?

Meten & meetkunde

− Hoe zou je aan een breed publiek duidelijk kunnen maken hoe een cilinder

er uit ziet?

− Teken de cirkel met vergelijking (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25.


− Teken de grafiek van het verband die weergegeven wordt met de formule

y = −2x + 6.

− Beschrijf de betekenis van de variabelen in een formule.


− Maak een staafdiagram van de lengtes van de leerlingen in de klas.


− Schrijf de oppervlakte onder een grafiek met een gegeven formule als een

integraal.

Brede vaardigheden


Communiceren

40

Grote opdracht 12: Modelleren

Relevantie

Modelleren gaat over het beschrijven van een situatie met behulp van schematische

voorstellingen en/of wiskundige formalismen, zoals formules, vergelijkingen, grafieken,

meetkundige figuren en kansverdelingen. Een beschrijving van een situatie met behulp

van wiskundige formalismen is een wiskundig model. Schematische voorstellingen en

wiskundige modellen kennen verschillende functies en die beschrijven op hun beurt het

belang van modelleren, zoals

Een schematische voorstelling en een wiskundig model kunnen worden gebruikt

bij het oplossen van problemen.

Met behulp van een wiskundig model kan een theorie (in een ander leergebied)

worden getoetst, zoals de theorie dat de planeten om de zon draaien of dat

populaties samenlevende prooi- en roofdieren elkaar in de tijd afwisselen qua

omvang. Men bedenkt een theorie en een of meer experimenten om die theorie

te toetsen. Op basis van de theorie wordt een wiskundig model opgesteld. Aan

de hand daarvan kunnen de uitkomsten van de experimenten voorspeld

worden. Blijken uitkomsten en voorspellingen in redelijke mate aan elkaar

gelijk, dan is dat een aanwijzing dat de theorie 'klopt'.

Met behulp van wiskundige modellen kunnen voorspellingen worden gegeven,

zoals de planbureaus van de overheid dat doen met macro-economische en

andere modellen en het KNMI dit doet ten aanzien van het weer.

En ten slotte worden in sommige gevallen beslismodellen, aan de hand waarvan

standaardbeslissingen genomen kunnen worden, in de vorm van een

schematische voorstelling of wiskundig model weergegeven.

Wiskunde ontleent haar bestaansrecht aan de toepasbaarheid daarvan, die je door

middel van wiskundige modellen kunt weergeven. Modelleren draagt er aan bij dat

leerlingen wiskunde als betekenisvol en voorstelbaar ervaren. Kunnen modelleren

draagt bij aan beter inzicht in de wereld om ons heen en in verschijnselen die zich in

die wereld en daarbuiten voordoen. Dit inzicht draagt op zijn beurt bij aan

persoonsvorming.

Modelleren komt in sommige andere leergebieden ook aan bod. Daarbij valt te denken

aan wiskundige modellen die het verloop van natuurwetenschappelijke verschijnselen

beschrijven, die het gedrag van populaties prooi- en roofdieren beschrijven en aan

economische modellen.


Ter illustratie van hoe modelleren in

zijn werk kan gaan, staat hieronder

een voorbeeld. Het gaat om een deel

van de spoorbrug in Deventer waarvan

alle balken even lang zijn. Gevraagd

wordt een wiskundig model te maken

voor het aantal balken waaruit deze

brug bestaat.

41

Het plaatje hierboven is een voorbeeld van een schematische voorstelling van de

spoorbrug. Een andere voorstelling van de situatie is onderstaande tabel. Deze tabel

kan enigszins als een wiskundig formalisme beschouwd worden.

Vervolgens kan aan de hand hiervan een formule worden afgeleid tussen het aantal

balken A en de lengte van de brug L. Die formule luidt A = 4L – 1. Aan de hand van dit

model zouden we bijvoorbeeld kunnen berekenen hoeveel balken nodig zijn voor een

brug met lengte 20 of welke lengte we kunnen overspannen met 35 balken. Deze

formule is een wiskundig formalisme en daarmee een voorbeeld van een wiskundig

model.

Een alternatieve aanpak is om geen tabel te maken, maar 'analytisch' te werk te gaan.

Als de lengte van de brug gelijk is aan L, dan hebben we L – 1 bovenbalken nodig.

Voor elke onderbalk hebben we twee schuine balken nodig, dus in totaal 2L. Daarom is

A = L + L – 1 + 2L = 4L – 1.

Het model in het voorbeeld is tamelijk eenvoudig. Wat maakt modelleren moeilijk?

Onder andere:

hoeveel specifieke kennis van de context noodzakelijk is;

welke wiskunde er bij komt kijken;

uit hoeveel verschillende wiskundedomeinen kennis betrokken moet worden;

of er zelfstandig (wiskundige) aannamen gemaakt moeten worden.

Voorbeelden van Modelleren in de verschillende domeinen:


− Een meisje heeft al €52 gespaard. Ze krijgt er €15 bij. Laat je berekening

zien op de getallenlijn.

− Een tegelvloer bestaat uit 30 bij 50 tegels. Met welke som kun je uitrekenen

hoeveel tegels er zijn?

Verhoudingen

− In de supermarkt zijn veel verschillende verpakkingen cola verkrijgbaar.

Geef met behulp van verhoudingstabellen aan welke verpakking relatief de

hoogste literprijs heeft.

Meten & meetkunde

− Maak een bouwtekening (op schaal) van het konijnenhok dat je gaat maken

met je groep.


− In elk boeket zit 4 euro aan groen, de rozen kosten 1,50 euro per stuk en

de gerbera's 1 euro per stuk. Maak een formule voor het totaalbedrag van

een boeket.

Informatie, statistiek & kans

− Veel kansexperimenten kun je met de normale verdeling goed modelleren:

Bijvoorbeeld de kansverdeling van de som van de ogen van een aantal

dobbelstenen.

Lengte 1 2 3 4

Aantal balken 3 7 11 15

42


− Modellen uit de economie voor het berekenen van de totale opbrengst:

TO = -3q2 + 45q met q = aantal producten. Wat is de marginale opbrengst

voor q = 3?

Brede vaardigheden



Kritisch denken en handelen

Voldoet mijn model? Zijn mijn modelaannamen terecht gebleken?

Zelfregulering

Ben ik nog op de goede weg?

43

Grote opdracht 13: Algoritmisch denken

Relevantie

Instellingen en bedrijven streven steeds meer naar het leren kennen en beschrijven

van individuele voorkeuren en smaken van hun gebruikers, klanten of deelnemers. Dit

met als doel ze persoonlijke aanbiedingen te kunnen doen, op hun interesse

toegesneden nieuwsberichten te presenteren, enzovoorts. Dit gepersonaliseerd aanbod

komt mede tot stand door middel van algoritmen. Deze algoritmen zijn niet publiek

toegankelijk. Maar de denkwijze Algoritmisch denken kan er toe bijdragen dat

leerlingen zich een voorstelling kunnen maken van hoe dergelijke algoritmen zouden

kunnen werken.

In het leergebied Rekenen & Wiskunde komen (standaard)bewerkingen voor, zoals het

uitvoeren van bewerkingen zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, maken

van uitslagen van meetkundige figuren, berekening van een gemiddelde van een

aantal getallen en oplossen van vergelijkingen. Voor elk van deze bewerkingen kan een

(standaard)procedure toegepast worden. Elk van deze procedures vormt een

algoritme: een verzameling vaste stappen in een vaste volgorde die leiden tot een

zeker resultaat. Tegenwoordig kunnen apparaten ook deze algoritmen uitvoeren. Het is

van belang dat leerlingen inzicht verwerven in dat dit kan en hoe dat in zijn werk gaat

of zou kunnen gaan.

Als we verder een probleem moeten oplossen, kunnen we een oplossingsstrategie

bedenken. Is het probleem eenmaal opgelost, heeft de oplossingsstrategie geen nut

meer. Maar wat als we de oplossingsstrategie willen bewaren om in de toekomst

soortgelijke problemen op te kunnen lossen? In dat geval is het mogelijk de

oplossingsstrategie in de vorm van een algoritme te schrijven. Deze toepassing van

algoritmisch denken biedt leerlingen handvatten om hun repertoire aan problemen en

bijpassende oplossingsstrategieën uit te breiden. Dat draagt bij aan hun kwalificatie

voor vervolgopleiding en beroep en aan vorming van hen als persoon.

Algoritmisch denken kent een sterke verwantschap met computational thinking in het

leergebied Digitale Geletterdheid. Algoritmisch denken vormt de basis van het

programmeren.


Een algoritme is een verzameling vaste

stappen in een vaste volgorde die vanuit

een beginsituatie leiden tot een bepaald

resultaat. Het beschrijven van

algoritmen valt onder algoritmisch

denken en heeft tot doel:

inzicht bieden in de wijze waarop

apparaten procedures kunnen

uitvoeren;

handvatten bieden om typen

problemen te herkennen en op te kunnen lossen.

Algoritmisch denken bestaat er uit algoritmen te ontwerpen en te beschrijven. Hiervoor

is het kunnen uitvoeren van algoritmen voorwaardelijk. Dit laatste is te typeren als

44

algoritmisch handelen. Denk bijvoorbeeld aan het bouwen van een autootje met Lego®

of het in elkaar zetten van een IKEA-kast.

Een leerling kan algoritmen op verschillende manieren beschrijven. Dit illustreren we

aan de hand van een algoritme om het rekenkundig gemiddelde van een aantal

getallen uit te rekenen:

aan de hand van een voorbeeld met een toelichting;

"Kijk maar: het gemiddelde van 1, 3, 4 en 7 is gelijk aan 15 (wijst de vier

getallen aan) gedeeld door 4 en dat is 3,75."

door middel van een tekstuele beschrijving zonder voorbeeld;

"Dat gaat als volgt:

Je telt alle getallen bij elkaar op …

Je telt hoeveel getallen er zijn …

… en je deelt beide uitkomsten door elkaar."

met behulp van een formele schrijfwijze met de basisstructuren opeenvolging,

keuze en herhaling en waar nodig met gebruikmaking van variabelen.

START

De som van de verwerkte getallen is nog 0

Het aantal verwerkte getallen is nog 0

ZOLANG er nog getallen verwerkt moeten worden

Neem het volgende getal

Tel dit getal op bij de som van de al verwerkte getallen

Verhoog het aantal verwerkte getallen met 1

EINDE

ALS het aantal verwerkte getallen > 0 DAN

Het gemiddelde = de som van de verwerkte getallen : aantal verwerkte

getallen

ANDERS

"Het gemiddelde van nul getallen kan niet berekend worden"

EINDE

KLAAR

Daarnaast kunnen algoritmen meer of minder moeilijk zijn. Factoren die daarbij een rol

spelen zijn onder andere:

het aantal stappen waaruit het algoritme bestaat;

het voorkomen van structuren als ALS – DAN – ANDERS en ZOLANG en

combinaties daarvan (= zogenaamde geneste structuren);

de noodzaak gegevens tijdens de uitvoering van het algoritme tijdelijk te

onthouden.

Voorbeelden van Algoritmisch denken in de verschillende domeinen:


45

− Beschrijf hoe je stap voor stap een vermenigvuldiging van twee gehele

getallen groter dan 10 cijferend uitvoert.

Verhoudingen

− Beschrijf hoe je stap voor stap kunt uitrekenen welk bedrag je voor iets

moet betalen als je een gegeven percentage aan korting krijgt.

Meten & meetkunde

− Beschrijf hoe je met passer en liniaal het midden van twee gegeven punten

kunt bepalen.

− Het is verder mogelijk meetkunde in verband te brengen met algoritmisch

denken door een robot te programmeren zodat hij langs de randen van een

bepaalde meetkundige figuur beweegt.


− Beschrijf de stappen die je moet doen om een lineaire vergelijking exact en

met inklemmen op te lossen.

− Een formule kan ook als een algoritme beschouwd worden. De afzonderlijke

deelberekeningen vormen in dat geval de stappen van het algoritme.


− Beschrijf stap voor stap hoe je het rekenkundig gemiddelde van een aantal

getallen kunt berekenen.

− Beschrijf hoe je stap voor stap veel gegevens kunt visualiseren in een

staafdiagram.


− Beschrijf stap voor stap hoe je de extremen van een functie kunt bepalen.

Brede vaardigheden

Bij deze bekwaamheid komen de volgende brede vaardigheden aan bod:


Een oplossingsstrategie op een meer of mindere formele wijze beschrijven.


Een algoritme bij een oplossingsstrategie van een probleem ontwerpen.

46

RAAMWERK GROTE OPDRACHTEN EN BOUWSTENEN REKENEN & WISKUNDE

GO's Grote Opdrachten BS Bouwstenen

Wiskundige inhouden

1 Getallen en bewerkingen 1.1 Getallen

1.2 Bewerkingen

2 Verhoudingen 2.1 Verhoudingen

3 Meten en meetkunde 3.1 Meten

3.2 Vorm en ruimte

3.3 Rekenen in de meetkunde

4 Variabelen, verbanden

en formules 4.1

Verbanden, verschijningsvormen, en

vergelijkingen

4.2 Speciale verbanden

5 Data, statistiek en kans 5.1 Kansen en kansverdelingen

5.2 Data en statistiek

6 Veranderingen en

benaderingen 6.1 Veranderingen

6.2 Benaderingen

Wiskundige denken

werkwijzen

7 Gereedschap en

technologie gebruiken 7.1 Gereedschap en technologie gebruiken

8 Probleemoplossen 8.1 Probleemoplossen

9 Abstraheren 9.1 Abstraheren

10 Logisch redeneren 10.1 Logisch redeneren

11 Representeren en

communiceren 11.1 Representeren en communiceren

12 Modelleren 12.1 Modelleren

13 Algoritmisch denken 13.1 Algoritmisch denken

47

GENERIEKE AANBEVELINGEN BOVENBOUW VMBO, HAVO en VWO

In de bovenbouw van het voortgezet onderwijs is een consolidatie, voortzetting, en

verdieping van alle bouwstenen noodzakelijk.

De havoleerlingen die geen wiskunde in hun pakket hebben, zullen nog wel les in

rekenen/wiskunde nodig hebben om het vereiste referentieniveau te halen.

In de aanbevelingen die zijn opgenomen in de bouwstenen is enkel een indicatie

gegeven over de onderwerpen die in de bovenbouw aan de orde komen en geen

uitspraak gedaan over de diepgang.

Uit de consultatie van 10 april1 blijkt dat m.n. de analytische meetkunde in het huidige

havo wiskunde-B- programma zo summier is dat het niet uit de verf komt en nauwelijks

iets toevoegt anders dan nog meer algebraïsche vaardigheden. De aanbeveling om

analytische meetkunde te vervangen door vectormeetkunde wordt overgenomen.

Het wiskunde-C-programma voor vwo kan zo blijven met als extra aanvulling de

normale verdeling.

Het wiskunde-D-programma voor havo-vwo is een keuze en behoort niet tot de kern,

de aanbevelingen hiervoor horen op een andere plek. Het OT onderschrijft het

bestaansrecht van wiskunde D.

Het wiskunde-A-programma voor havo-vwo wordt aangevuld met lineair programmeren

waarbij digitale hulpmiddelen ondersteunend worden ingezet, zoals dat ook het geval is

bij het berekenen van helling en differentiaalquotiënt. Het gaat meer over de inzichten

dan het algebraïsch kunnen berekenen.

Een zoektocht naar een uniek wiskunde-A-pakket en dit is niet een wiskunde-B-

minpakket.

Nog in discussie is de koppeling van het profiel en de soort wiskunde:

Voorstel:

Een keuze uit WC of WA bij de profielen CM, EM en NG

Een keuze uit WA of WB bij de profielen EM en NG

WB verplicht bij profiel NT

WD alleen mogelijk als ook voor WB is gekozen

De gezamenlijke inhoud van de onderbouw en de bovenbouw in vmbo-gt komt overeen

met de inhoud van de onderbouw van havo.

Om leerlingen uit vmbo-bb gelegenheid te bieden in één jaar extra verblijf op school

een kb-diploma te behalen komt het gezamenlijke programma vmbo-bb overeen met

dat van de eerste drie leerjaren van vmbo-kb.

1 Op 10 april 2019 zijn 50 leraren en/of experts geraadpleegd en in de eerste drie

consultatierondes zijn vele reacties gegeven.

48

BOUWSTENEN

Bouwsteenset 1.1: Getallen

Bouwsteen PO

Fase 1 (po onderbouw)

Inleiding

Jonge kinderen komen al vroeg in aanraking met tellen, hoeveelheden, cijfers en

getallen. Ze zeggen de telrij op als een liedje (akoestisch tellen), eerst zonder betekenis,

later gaan ze hoeveelheden en getallen herkennen en begrijpen. Aanvankelijk nog

gekoppeld aan hoeveelheden (bv. appels). Later leren ze getallen zien als objecten, die

je los kunt zien van een context (3, in plaats van 3 appels). Getallen krijgen betekenis en

het getalgebied breidt zich uit. Leerlingen gaan getalsymbolen gebruiken, kunnen het

getalstelsel doorzien en zien relaties tussen getallen. Het is essentieel dat leerlingen een

goede verbinding leggen tussen de informele getallenwereld en de formele wiskundetaal.

Kennis en vaardigheden

Leerlingen leren in het getalgebied tot ongeveer 1000:

met inzicht om te gaan met de telrij: zeggen de telrij op vanaf elk willekeurig getal

verder en terug, doorzien de structuur van de telrij en weten de plaats van getallen

ten opzichte van elkaar in de telrij.

met inzicht om te gaan met hoeveelheden: schatten en precies tellen, vergelijken,

ordenen en structureren (vijf- en tienstructuur) en representeren met behulp van

bijvoorbeeld turven DSK en met getalsymbolen.

met inzicht om te gaan met getallen: doorzien en gebruiken van de tientallige

structuur van ons talstelsel (bij het herkennen van de plaatswaarde van cijfers in

getallen), vergelijken en ordenen van getallen, splitsen en samenvoegen en

redeneren over getallen.

wiskundetaal te gebruiken (zoals de begrippen meer, minste, meeste, evenveel, half,

de helft) en getalsymbolen te herkennen, benoemen en noteren RC.

flexibel en speels om te gaan met de telrij, hoeveelheden, getallen en getalrelaties

zowel met als zonder contexten (uit andere leergebieden en andere wiskundige

inhouden) waarbij ze de verschillende denken werkwijzen toepassen. Te denken valt

aan vragen als:

o Kun je tellen met de regelmaat 'sprong van 3 vooruit, 1 achteruit'?

o Kun je zelf zo'n rij bedenken? AD

o 5 is altijd heel weinig, waar of niet waar? LR

o Mijn getal is oneven, ligt tussen 50 en 100 en de cijfers zijn opgeteld

samen 8. Wat kan mijn getal zijn? Weet je alle mogelijkheden en hoe zoek

je dat uit PR?

Fase 2 (po bovenbouw)

Inleiding

In de hogere leerjaren van het primair onderwijs breiden het getalgebied en het

getalbegrip van de leerlingen zich uit naar grote getallen, decimale getallen en breuken.

Leerlingen leren de structuur van het getalsysteem te doorzien en te gebruiken in

49

dagelijkse contexten maar ook op formeel niveau. Hierbij neemt schatten (zie

bouwsteenset 6.2) een belangrijke plaats in. Begrip van de relatie tussen gehele getallen,

decimale getallen en breuken is essentieel. Leerlingen maken in deze fase ook kennis

met eigenschappen van getallen, bijvoorbeeld even/oneven, priemgetallen.


Leerlingen leren:

met inzicht om te gaan met grote hoeveelheden, gehele getallen en de (oneindige)

telrij: tellen, vergelijken, ordenen, tientallige structuur, de plaatswaarde van cijfers in

getallen, getallen splitsen en samenstellen en relaties tussen gehele getallen.

Belangrijke andere wiskundige inhouden hierbij zijn Meten MMK (metriek stelsel, geld)

en omgaan met informatie DSK (inwonersaantallen van grote steden in infographics).

met inzicht om te gaan met decimale getallen (zowel met één als met meer cijfers

achter de komma): de decimale structuur doorzien, vergelijken en ordenen, de

plaatswaarde van cijfers in getallen en de relatie met breuken en gehele getallen.

Belangrijke wiskundige inhouden hierbij zijn meten MMK (bijvoorbeeld de afstand is 2,8

km betekent 2 kilometer en 800 meter MMK) en verhoudingen VE.

met inzicht om te gaan met breuken: het herkennen en interpreteren van breuken in

het dagelijks leven en het omgaan met de breuk als getal, deel van een geheel,

breuken vergelijken en ordenen en de relatie met andere breuken( te denken valt aan

het gelijknamig maken), gehele getallen en decimale getallen. Er is hierbij een grote

samenhang met de breuk als deling en verhouding VE. Het gaat hier ook om de

overgang van benoemde breuken naar onbenoemde breuken AB. Te denken valt aan:

2 op de 3 is 2

3 deel VE.

wiskundetaal te begrijpen, herkennen en gebruiken, zoals: uitspreken, noteren RC en

lezen van grote getallen, decimale getallen en breuken (a/b, a : b , 𝑎

𝑏 ), begrippen

zoals even, oneven, priemgetallen, tientallig, maar ook miljoen en miljard

(bijvoorbeeld in de context van geld).

flexibel en speels omgaan met gehele getallen, decimale getallen en breuken, met

relaties hiertussen en met eigenschappen van getallen, zowel in contexten (uit andere

leergebieden en andere wiskundige inhouden) als in formele situaties waarbij ze

verschillende denken werkwijzen toepassen. Te denken valt ook aan verdieping in

andere talstelsels (binaire stelsel, achttallig stelsel).

Bouwsteen VO onderbouw

Inleiding

In de onderbouw van het voortgezet onderwijs verdiepen de leerlingen hun inzicht,

kennis en vaardigheden op het gebied van gehele getallen, decimale getallen en breuken

en breidt de wereld van getallen zich verder uit voor de leerlingen. Ze maken kennis en

leren omgaan met negatieve getallen en irrationele getallen zoals 𝜋 en met wortels,

bijvoorbeeld √2 en leren omgaan met wetenschappelijke notaties.


Leerlingen leren:

zich verder te verdiepen in gehele getallen, decimale getallen en breuken, zowel

binnen complexere contexten als met complexere getallen.

50

met inzicht om te gaan met negatieve getallen en irrationele getallen, wortels,

machten en eenvoudige logaritmen.

dat getallen op verschillende manieren weergegeven kunnen worden RC, zoals √4 = 2

en dat bewerkingen onderdeel van een getal kunnen zijn. Zo is 2 + √3 een getal (je

hoeft dit niet meer uit te rekenen).

wiskundetaal te gebruiken: zoals 'wortels (√)', 'kwadraten en machten', 'pi (𝜋)',

wetenschappelijke notaties (bijvoorbeeld van heel grote getallen (6,2 x 1012) als heel

kleine getallen (4,1 x 10-6), [vwo] eindig en oneindig, negatieve-, rationele-,

irrationele-, natuurlijke getallen.

[vwo] te denken in andere talstelsels, zoals het binair stelsel, achttallig stelsel.

flexibel om te gaan met gehele getallen, decimale getallen, negatieve getallen,

irrationele getallen en relaties hiertussen waarbij ze verschillende denken

werkwijzen toepassen.

Aanbevelingen VO bovenbouw

Deze bouwsteenset is in de bovenbouw van het gehele voortgezet onderwijs ook

relevant.

Voor vmbo wordt de begripsvorming van de wetenschappelijke notatie van een heel

groot of een heel klein getal MN 4.3 toegevoegd in de bovenbouw. Voor havo en vwo

(wiskunde B) worden de getallen en getalbegrip uitgebreid, te denken valt aan een

verdieping in irrationele getallen. Tevens dienen deze leerlingen een getal te kunnen

benoemen als al dan niet een exact getal.

Toelichting

In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:

eerst herkennen van getallen in een context, vervolgens begrip los van een

context.

eerst met gehele getallen, dan met decimale getallen, vervolgens met breuken en

irrationale getallen en logaritmen.

eerst met getallen in een beperkt getalgebied, later ook groter getalgebied ,

vervolgens hele grote en hele kleine getallen.

Het is voor alle leerlingen essentieel dat ze zich op hun eigen niveau kunnen ontwikkelen

op het gebied van Getallen. Dat betekent dat het aanbod afgestemd dient te zijn op hun

vaardigheid en mogelijkheden. Dit aansluiten bij hun ontwikkeling biedt ook meer

garantie voor een positieve attitude naar het vak, zelfvertrouwen en plezier. Sommige

leerlingen hebben langer behoefte aan het werken met eenvoudige getallen in contexten

(specifiek ook bij breuken), terwijl andere leerlingen al snel op een formeel niveau

kunnen redeneren over complexe getallen.

De volgende denken werkwijzen krijgen specifieke aandacht waarbij een beroep wordt

gedaan op brede vaardigheden:

Logisch redeneren (kritisch denken, creatief denken en handelen, zelfregulering)

Representeren en communiceren (communiceren)

Algoritmisch denken (creatief denken en handelen)

Probleemoplossen (probleemoplossend denken en handelen, kritisch denken,

creatief denken en handelen, zelfregulering)

Abstraheren (oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan)

51

Deze bouwsteenset verhoudt zich als volgt tot andere bouwstenen binnen het leergebied:

Deze bouwsteenset vormt een belangrijk fundament voor de ontwikkeling van alle

andere domeinen binnen het leergebied rekenen en wiskunde.

Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:

Deze bouwsteenset vormt een belangrijke basis voor het begrip binnen andere

leergebieden. Te denken valt aan: het begrip over banksaldo, temperatuur etc. In

bijna alle leergebieden komen leerlingen in aanraking met getallen en getalbegrip

is daarvoor noodzakelijk.

Onderbouwing van de veranderingen in deze bouwsteenset ten opzichte van het huidige

curriculum:

In het po is het van groot belang dat er veel aandacht uitgaat naar de begripsvorming

van breuken. Leerlingen maken kennis met de verschillende verschijningsvormen van

breuken. Te denken valt aan de breuk als een deel van een geheel en als meetgetal.

Maar ook als uitkomst van een deling. Binnen het domein verhoudingen gaat het erom

dat leerlingen kennis maken met de breuk als verhouding en als factor. Deze brede basis

is van groot belang en noodzakelijk voor verder inzicht in de basis van bewerkingen van

breuken.

Daarnaast gaat het om het kennismaken met en het gebruik van wiskundetaal met

betrekking tot breuken. Daar waar het in de onderbouw gaat om ‘de helft’ en ‘een kwart’

gaat het in de bovenbouw om ‘teller’, ‘noemer’, ‘een vierde’, een achtste’ etc.

Daarnaast gaat het er binnen begripsvorming ook om dat er aandacht is voor de

overgang van ‘benoemd’ naar ‘onbenoemd’. De breuken dienen voor leerlingen het

karakter te krijgen van objecten die hun betekenis ontlenen aan een netwerk van

rekenkundige relaties. Hier ligt een uitermate geschikte link met de denken werkwijze

‘Abstraheren’.

Bijvoorbeeld:

Bij 3

4 zou het onder meer gaan om getalrelaties als:

3

4 =

1

4 +

1

4 +

1

4

3

4 = 3 ×

1

4 ;

3

4 = 1 –

1

4 ;

3

4 =

1

2 +

1

4

3

4 =

6

8 =

9

12 =

12

16 , etc.

Waarbij de betekenis van die getalrelaties wordt versterkt door de verbindingen

ertussen. Zo is 3

4 =

1

2 +

1

4 verbonden met

3

4 =

1

4 +

1

4 +

1

4, via

1

4 +

1

4 =

1

2 . En is

3

4 = 1 –

1

4

verbonden met 1

4 +

1

4 +

1

4 +

1

4 = 1, via

3

4 =

1

4 +

1

4 +

1

4.

Bovenstaande valt nog allemaal onder begripsvorming. Het gaat niet om de bewerkingen

maar de onderlinge relaties en de verschijningsvormen van breuken. Bewerkingen met

breuken worden in bouwsteenset 1.2 'Bewerkingen' beschreven. Dit dient een

prominente plek te krijgen in het curriculum van het primair onderwijs.

52

Bouwsteenset 1.2: Bewerkingen

Bouwsteen PO


Inleiding

Jonge kinderen leren al vroeg handelend met bewerkingen bezig te zijn: ze verdelen

snoepjes, ze tellen de ogen van twee dobbelstenen bij elkaar. In de eerste jaren van het

primair onderwijs leren leerlingen optellen en aftrekken en leren ze de bijbehorende

formele rekentaal. Later komt daar vermenigvuldigen en delen bij. Gememoriseerde

kennis van de optellingen en aftrekkingen tot 20 en de (vermenigvuldig)tafels tot en met

10 is onmisbaar voor het verdere rekenen.


Leerlingen leren met name binnen het getalgebied met gehele getallen tot 100:

met inzicht schattend en precies op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te

delen in contextsituaties en in wiskundetaal en leren hun oplossingsmanieren uit te

leggen RC.

wiskundetaal te gebruiken: begrippen zoals erbij, eraf, samen, verschil, is evenveel

als, splitsen, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, som, rekentaal,

verwisselen, omkeren, verdubbelen, halveren en notaties RC als .. + .. = .. / .. - ..=..

/ .. + .. = .. + .. / .. + .. + .. = .. / .. x .. = .. / .. : ..=.. / .. x .. x .. = .

met inzicht verschillende strategieën te gebruiken waarbij ze gebruik maken van de

eigenschappen van getallen en (relaties tussen) bewerkingen (handig rekenen). Te

denken valt aan: compenseren en verwisselen.

relaties tussen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen te doorzien, te

gebruiken en uit te leggen RC.

de splitsingen, optellingen en aftrekkingen onder 20 en de tafels tot en met 10 te

memoriseren.

flexibel om te gaan met de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en

delen en de onderlinge relaties zowel in contexten als op formeel niveau (uit andere

leergebieden en andere wiskundige inhouden) waarbij ze verschillende denken

werkwijzen toepassen. Te denken valt aan:

o Representeren en communiceren RC (Leg in een tekening en met woorden

uit hoe je rekent.)

o Probleemoplossen PR (Hoe weet je of je alle splitsingen van 10

opgeschreven hebt?)

o Logisch redeneren LR (Waarom mag je de getallen bij optellen wel

verwisselen en bij aftrekken niet?).


Inleiding

In de hogere leerjaren van het primair onderwijs leren de leerlingen de vier bewerkingen

hanteren met grotere en decimale getallen en benoemde breuken. Hierbij gaat het zowel

over het uitvoeren van de bewerking als het kunnen uitleggen van de verschillende

mogelijke strategieën. Leerlingen leren af te ronden op basis van regels of passend bij de

context. Ze leren hun kennis en vaardigheden toepassen in nieuwe situaties, zowel in

53

contexten als op formeel niveau. Hierbij neemt schattend rekenen (zie bouwsteenset 6.2)

een belangrijke plaats in. Daarnaast leren leerlingen gebruik maken van digitale

gereedschappen, zoals de rekenmachine.


Leerlingen leren:

de deeltafels tot en met 10 te memoriseren.

de basisbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met grotere en

decimale getallen uitvoeren door met inzicht gebruik te maken van cijferen, rijgen en

strategieën waarbij ze gebruik maken van de eigenschappen van getallen en (relaties

tussen) bewerkingen. Te denken valt aan: compenseren en verwisselen.

af te ronden op helen, tientallen, honderdtallen of duizendtallen op basis van regels of

passend bij de context.

te redeneren over de verschillende bewerkingen van onbenoemde en benoemde

breuken met betekenisvolle getallen en getalrelaties die terug te brengen zijn in een

concrete situatie en nog op te lossen zijn met een visualisatie. Het gaat om breuken

met de noemer 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 en 5, 10 en 100.

gangbare nationale en internationale symbolen te herkennen en te gebruiken die

verhoudingen VE weergeven ook op (digitale) gereedschappen GT . Te denken valt aan:

o deelteken is ÷ of / of :

o decimaal teken is . of ,

o vermenigvuldigingsteken is × of * of ∙

de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen uit te voeren met

behulp van een rekenmachine GT (op verschillende devices) en leren deze

rekenmachine met inzicht kritisch in te zetten.

flexibel om te gaan met de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en

delen en de onderlinge relaties zowel in contexten als op formeel niveau (uit andere

leergebieden en andere wiskundige inhouden) waarbij ze verschillende denken

werkwijzen toepassen. Te denken valt aan:

o logisch redeneren LR (Waarom heeft een optelling met twee oneven

getallen altijd een even uitkomst?')

o probleemoplossen PR (Hoe kun je de getallen 1 tot en met 100 snel

optellen?).


Inleiding

Leerlingen bouwen hier verder op het fundament dat in het primair onderwijs is gelegd.

Ze voeren nu ook bewerkingen uit met negatieve getallen, hele grote en hele kleine

getallen en met onbenoemde breuken. Leerlingen maken kennis met machten, wortels

en andere irrationale getallen en met logaritmen en leren hiermee te rekenen. Ze leren

de verschillende rekenstrategieën en relaties tussen getallen en bewerkingen te

gebruiken en uit te leggen. Digitale hulpmiddelen als de rekenmachine krijgen een

grotere rol, maar het is essentieel dat de leerlingen deze kritisch blijven hanteren en de

uitkomsten (schattend) controleren.

54


Leerlingen leren:

de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met positieve en

negatieve gehele, gebroken, decimale en [vwo] irrationale getallen uit te voeren AD

met behulp van verschillende strategieën.

machtsverheffen, worteltrekken en logaritmen te berekenen.

met inzicht te rekenen met machten en wortels, met hele grote en met hele kleine

getallen en met logaritmen MN 4.3.

(standaard)procedures te ontwikkelen voor het uitvoeren van de vier bewerkingen

van breuken waarbij de breuk als een object wordt beschouwd AB. Hierbij is

differentiatie binnen de onderwijsvormen noodzakelijk. Te denken valt aan het enkel

aanbieden van optellen, aftrekken en vermenigvuldigen in het vmbo.

de rekenmachine kritisch in te zetten GT.

flexibel om te gaan met de bewerkingen en de onderlinge relaties zowel in contexten

als op formeel niveau (uit andere leergebieden en andere wiskundige inhouden),

waarbij ze verschillende denken werkwijzen toepassen. Te denken valt aan logisch

redeneren LR (Waarom kun je √2 niet als een breuk schrijven?) en probleemoplossen

PR.


Nieuwe leerstof binnen dit domein is niet noodzakelijk voor de kern van de

bovenbouwvakken. Men name in het vmbo is het van belang om de rekenvaardigheden

te onderhouden en te blijven toepassen in probleemsituaties en binnen de

beroepsgerichte vakken. Het is belangrijk dat er afstemming plaatsvindt tussen de

vakken Rekenen en Wiskunde, waar de bewerkingen worden aangeleerd en geoefend en

de overige vakken waarin gerekend wordt (Rekenbewust vakonderwijs).

Daarnaast moeten leerlingen leren wanneer ze een rekenmachine gebruiken en moeten

ze kritisch blijven kijken naar de uitkomsten.

In de bovenbouw is het met name van belang dat leerlingen leren in aansprekende

contexten te rekenen waarin bewerkingen, verhoudingen en verbanden samen komen.

Als voorbeeld wordt verwezen naar de onderzoeksopdrachten uit de eindexamens

wiskunde A van havo en vwo 2018 (steeds de laatste vraag).

Toelichting


eerst basisbewerkingen, dan andere bewerkingen;

eerst bewerkingen met gehele getallen, dan met decimale getallen, vervolgens

met breuken en irrationale getallen en logaritmen;

eerst bewerkingen met getallen in een beperkt getalgebied, later ook getallen

zonder beperking, vervolgens hele grote en hele kleine getallen.






Probleem oplossen (probleemoplossend denken en handelen, kritisch denken,



Gereedschap en technologie gebruiken (kritisch denken)

55


Deze bouwsteenset vormt een belangrijk fundament voor de ontwikkeling van de

andere domeinen binnen het leergebied rekenen en wiskunde.


Deze bouwsteenset vormt een belangrijk fundament voor de ontwikkeling van

kennis en vaardigheden binnen andere leergebieden. In alle leergebieden waarin

rekenen en wiskunde worden gebruikt, komen namelijk bewerkingen met getallen

voor.

Het is voor alle leerlingen essentieel dat ze zich op hun eigen niveau kunnen ontwikkelen

op het gebied van Bewerkingen. Dat betekent dat het aanbod afgestemd dient te zijn op

hun vaardigheid en mogelijkheden.

56

Bouwsteenset 2.1: Verhoudingen

Bouwsteen PO


Inleiding

In de eerste leerjaren leren leerlingen door het opdoen van ervaringen (kwalitatieve)

verhoudingen te herkennen en deze te verwoorden: 'dit bed is veel te klein voor deze

beer' of 'hij heeft meer potloden dan ik'. Later leren ze te redeneren over kwalitatieve

verhoudingen: 'hoe groot moet het bed voor de beer dan zijn zodat hij er wel in past?'

Leerlingen maken daarna de stap naar getalsmatige verhoudingen zoals ‘er zitten twee

keer zoveel meisjes in het groepje dan jongens’.


Leerlingen leren:

verhoudingen te herkennen in verschillende dagelijkse situaties en afbeeldingen, deze

te verwoorden en toe te passen. Te denken valt aan recepten, siroop klaarmaken, het

vergroten en verkleinen van plaatjes op een tablet GT.

concrete en eenvoudige verhoudingen te gebruiken en toe te passen in betekenisvolle

contexten en hierbij wiskundetaal te gebruiken NE 5.1. Te denken valt aan 'in die

tekening zijn de voeten te groot getekend ten opzichte van het hoofd', 'ik heb twee

keer zoveel snoepjes als jij'.

het begrip ‘de helft’ met inzicht te gebruiken en toe te passen in situaties als ‘de helft

van een geheel', bijvoorbeeld een brood en ‘de helft van een hoeveelheid’,

bijvoorbeeld 12 broodjes.

in betekenisvolle verhoudingssituaties berekeningen uit te voeren via verdubbelen,

halveren, vermenigvuldigen.

eenvoudige verhoudingsproblemen PR op te lossen met behulp van een schematische

voorstelling MO. Te denken valt aan een verhoudingstabel of een strook.


Inleiding

In de hogere leerjaren krijgt het domein verhoudingen veel aandacht. Het bouwt voort

op het fundament dat in de lagere leerjaren is gelegd en leerlingen maken een overstap

naar formelere verhoudingstaal zoals ‘2 staat tot 3’. Leerlingen leren in deze fase ook

rekenen met procenten. Daarnaast worden verhoudingssituaties complexer van aard en

uitgebreid met procenten, schaal, breuken en vergrotings- en verkleiningsfactoren.


Leerlingen leren:

betekenis te geven aan breuken als weergave van een verhouding ( 2

3 deel van de

mensen …) GB, aan procenten en aan schaal MN 4.3 en er in dagelijkse situaties

berekeningen mee uit te voeren.

het verschil tussen interne verhoudingen (betrekking op dezelfde grootheid: ranja

mengen in de verhouding 1:7 ) en externe verhoudingen (betrekking op verschillende

grootheden: 3 kilo appels voor 5 euro).

57

verschillende typen verhoudingsproblemen op te lossen, te denken valt aan het

vaststellen van een verhoudingsrelatie, vergelijken van verhoudingen, maken van

gelijkwaardige verhoudingen.

betekenis geven aan vergrotingsfactoren en verkleiningsfactoren en hiermee in

eenvoudige situaties rekenen.


Inleiding

In de onderbouw van het voortgezet onderwijs onderhouden leerlingen de opgedane

kennis en vaardigheden. Bovendien worden verhoudingssituaties complexer van aard en

worden ze uitgebreid met exponentiële groei en rekenen met complexere

vergrotingsfactoren en promillage. Leerlingen leren te rekenen met formele breuken in

situaties die afgestemd zijn op de leerweg van de leerling.


Leerlingen leren:

kritisch te denken en te redeneren over verhoudingsproblemen waarin de

verhoudingsrelatie niet direct zichtbaar is.

[vmbo-tl] verhoudingsproblemen op te lossen met behulp van een vergrotingsfactor

in de meetkunde MMK of [havo, vwo] met behulp van een verhoudingsfactor in andere

domeinen en leergebieden, MN 4.3.

complexere verhoudingsproblemen op te lossen, te denken valt aan

verhoudingsproblemen met complexere getallen en complexere verhoudingen en

verhoudingsproblemen waarbij de 4e evenredige bepaald moet worden (a : b = ? : d).

relatieve toename/afname in procenten en [havo, vwo] in een groeifactor uit te

drukken. Te denken valt aan rente-op-renteberekeningen MM 3.1.

te rekenen over en te redeneren met percentages (kortingen, prijsverhogingen) ook

percentages groter dan 100%. Te denken valt aan het terugrekenen van bedragen

inclusief btw naar exclusief btw MM 3.2.

te rekenen met promille in betekenisvolle situaties MM 3.1.


In de bovenbouw ligt de nadruk op het toepassen van verhoudingen in verschillende

situaties, zowel binnen het leergebied (te denken valt aan het gebruik van de 3-4-5-

driehoek bij het redeneren over en rekenen in de meetkunde MMK , het rekenen met

verhoudingen met rationele getallen, breuken noteren met gebruik van negatieve

exponenten 1

8= 2−3 ) als buiten het leergebied (te denken valt aan het gebruik van de

Gulden Snede in de kunst KC 1.1, 3.1 en interestberekeningen MM 3.1). Verhoudingen spelen

in de bovenbouw onder andere een belangrijke rol bij evenredigheid MN 4.1.

In de bovenbouw is het met name van belang dat leerlingen leren in aansprekende

contexten te rekenen waarin bewerkingen, verhoudingen en verbanden samen komen.

Als voorbeeld wordt verwezen naar de onderzoeksopdrachten uit de eindexamens

wiskunde A van havo en vwo 2018.

Toelichting


58

van eenvoudige naar complexe verhoudingssituaties door complexere

verhoudingen en complexere getallen te gebruiken.

uitbreiding met procenten, schaal, vergrotingsfactoren, exponentiele groei en

promillage.

van begripsvorming van breuken naar het rekenen met formele breuken in de

context van verhoudingen in situaties die afgestemd zijn op de leerweg van de

leerling.

Het OT vindt het heel belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van

elke leerling.





Modelleren (kritisch denken, creatief denken en handelen, zelfregulering)






Deze bouwsteenset bouwt voort op bouwsteenset 1.1 GB.

Deze bouwsteenset dient als basis voor meetkundige vergrotingen MMK.

Deze bouwsteenset dient als basis voor het kunnen rekenen met kansen en

beschrijvende statistiek DSK.


Mens en Natuur: voor het rekenen met verhoudingen (MN 4.1 en 4.3).

Mens en Maatschappij: voor het rekenen met verhoudingen (MM 3.1 en 3.2).

Kunst en Cultuur: bouwsteen KC 1.1 en KC 3.1.


curriculum:

Verhoudingen zijn een belangrijke basis voor andere bouwstenen binnen het leergebied

rekenen en wiskunde. Het is belangrijk dat leerlingen de relatie tussen de meest

voorkomende breuken, procenten en decimale getallen kennen, herkennen en kunnen

gebruiken in verhoudingssituaties en –problemen binnen het leergebied Rekenen &

Wiskunde en andere leergebieden

59

Bouwsteenset 3.1: Meten

Bouwsteen PO


Inleiding

Jonge kinderen maken kennis met meten door allereerst ervaring op te doen met

vergelijken, ordenen en classificeren op basis van grootheden zoals lengte, gewicht,

inhoud, tijd. Tegelijkertijd ontwikkelen ze hierbij ook een (wiskunde)taal: Wie heeft de

grootste schoenen?

De jonge kinderen leren meten met natuurlijke maten (met informele meetinstrumenten

zoals 'stappen') en de noodzaak van het meten met standaardmaten (met formele

meetinstrumenten, zoals een meetlint). Ze leren hierover redeneren in eenvoudige

probleemsituaties.


Leerlingen leren:

te meten door te vergelijken en te ordenen van grootheden, te meten met natuurlijke

maten: op lengte, oppervlakte (bijvoorbeeld met vouwblaadjes of op een rooster),

inhoud (blokjes tellen, aantal bekertjes), gewicht, tijd en temperatuur en te meten

met standaardmaten en verschillende (digitale) meetinstrumenten af te lezen

(bijvoorbeeld een meetlint (cm/m), weegschaal (g/kg), maatbeker (ml/l)).

schattend te meten maar ook maten te verfijnen omdat nauwkeuriger meten

noodzakelijk is. Te denken valt aan je lengte meten in centimeters in plaats van in

meters.

wiskundetaal te gebruiken in de context van meten. Te denken valt aan de namen

van de verschillende grootheden en bijbehorende eenheden (bijvoorbeeld gewicht:

kg, gram; lengte: meter, centimeter), begrippen bij het vergelijken en ordenen

(bijvoorbeeld groot, groter, grootste). Ook leren ze specifieke begrippen als de dagen

van de week of de delen van de dag.

om te gaan met de grootheid tijd door tijdbesef te ontwikkelen, tijden af te lezen

(digitaal en analoog) en kennis te maken met verschillende eenheden voor tijd. Ze

leren hiermee eenvoudige berekeningen uit te voeren: Hoeveel tijd zit er tussen 3 uur

en half 5? Leerlingen leren hierbij ook dat tijd zowel een lineair als een periodiek

karakter heeft.

om te gaan met 'geld' als maat voor de waarde van dingen en het systeem van kopen

en betalen.

te redeneren over grootheden en bijbehorende eenheden in eenvoudige

betekenisvolle (conflict)situaties. Te denken valt aan: 'Is iets dat groter is ook altijd

zwaarder LR ? Hoe kan het dat in de ene vaas minder water zit maar dat het water

wel hoger staat?'


Inleiding

In de hogere leerjaren van het primair onderwijs leren de leerlingen vervolgens rekenen

met eenheden in betekenisvolle situaties en leren hierover te redeneren. Hierbij leren ze

ook met inzicht omgaan met het metriek stelsel. Ze doen verder vaardigheden op in het

gebruiken van moderne (digitale) meetinstrumenten. Daarnaast verwerven ze inzicht in

60

belangrijke aspecten van het praktisch meten, zoals het kiezen van een passend

meetinstrument, een passende eenheid, het schatten van maten en het representeren en

communiceren van het resultaat in wiskundetaal.


Leerlingen leren:

binnen meetsituaties de juiste grootheid te bepalen, het daarbij geschikte (digitale)

meetinstrument te gebruiken en het meetresultaat uit te drukken in de juiste

eenheid. Te denken valt hier ook aan het gebruik van moderne meetinstrumenten

zoals een meetapp GT.

referentiematen te ontwikkelen zodat ze zich een voorstelling van de verschillende

eenheden kunnen maken. Te denken valt aan 'een grote stap van een volwassene is

ongeveer 1 meter', 'je loopt ongeveer 4 km in een uur'.

eenheden om te rekenen in andere eenheden door met inzicht gebruik te maken van

het metriek stelsel.

voorbeelden uit het dagelijks leven te geven waarin grootheden met elkaar

gecombineerd worden en met inzicht te rekenen met deze 'samengestelde

grootheden'. Te denken valt aan snelheid in km/uur, €/kg MM 3.1, MN 4.3. Ze leren

hierover te redeneren in probleemsituaties PR. Te denken valt aan een vraag als: 'Bart

zegt dat hij 35 km heeft gefietst in 25 minuten'. Kan dat eigenlijk wel?

te rekenen met kloktijden en met tijden vanuit de kalender (eeuwen, jaren,

maanden, enzovoort). En leerlingen leren te redeneren over tijden. Te denken valt

aan een vraag als 'Als je een miljoen seconden oud bent, ben je dan kind,

jongvolwassene of al oud? Leg eens uit'.

te rekenen met geld in euro's, maar ook de relatie met buitenlandse valuta te

doorzien. Ze leren hoe betalingsverkeer zonder contant geld verloopt en ze worden

zich bewust van uitgavepatronen MM 3.1.


Inleiding

In de onderbouw van het VO breidt de leerling zijn begrip, kennis en vaardigheden

verder uit op het gebied van meten, rekenen in het metriek stelsel en het gebruik van

meetinstrumenten, bijvoorbeeld door te leren meten van hoeken en het gebruik van

nieuwe meetinstrumenten. De leerling leert rekenen met complexere samengestelde

grootheden (bv. MB per minuut ) in relevante toepassingen.


Leerlingen leren:

hun vaardigheid met meten, met rekenen in het metriek stelsel en gebruik van

(nieuwe) meetinstrumenten uit te breiden en te verdiepen. Zo leren ze hoeken te

meten, te benoemen en te ordenen en de juiste (digitale) meetinstrumenten

(geodriehoek, gradenboog GT) daarvoor te gebruikenMN 3.2, 3.4, 4.3, KC 1.1, 3.1.

te redeneren over nauwkeurig meten en na te denken over de mate van

nauwkeurigheid die vereist wordt, af te lezen van de resultaten en correcte notaties

te gebruiken.

met nieuwe grootheden (downloadsnelheid) en eenheden (kilobyte, gigabyte,

terabyte) te werken die voortkomen uit mondiale thema’s zoals duurzaamheid,

technologie.

61

met inzicht om te gaan met (nieuwe) eenheden en met digitale hulpmiddelen of

meetapps.


Bij de beroepsgerichte vakken leren leerlingen vaardig te worden in het aflezen van

vakspecifieke meetinstrumenten MN 3.4 en een keuze te maken voor passend gereedschap

en/of technologie GT. Ook wordt het rekenen met grootheden (met samengestelde

eenheden) als toepassing bij de verschillende vakken uitgebreid MN 4.3. [Havo/vwo]

Leerlingen leren rekenen met vectoren (samengestelde grootheid van richting en lengte).

Toelichting


de toename van het aantal grootheden. Als leerlingen kennis hebben van de

structuur van de standaardgrootheden en vaardig zijn in het rekenen met de

standaardeenheden als kilogram en meter, kunnen zij flexibeler omgaan met

andere grootheden en bijbehorende eenheden en hun voorvoegsels als kilo- en

deci-.

van concreet en dicht bij de leerling (de natuurlijke maten zoals stappen) naar

formeel en verderaf (standaardmaten als meter, downloadsnelheid);

van eenvoudige naar complexe problemen.


elke leerling.






Deze bouwsteenset leent zich als context voor verder begrip van getallen, zowel

gehele getallen, breuken als decimale getallen GB, VE.

Deze bouwsteenset draagt bij aan het ontwikkelen van maatgevoel (bouwsteenset

3.2), bijvoorbeeld: 25 mm neerslag betekent dat er 25 liter per m2 valt: is dit

veel?


Mens en Maatschappij: samengestelde grootheid €/kg, , uitgavenpatronen: MM

3.1;

Mens en Natuur: samengestelde grootheid km/u, gebruik meetinstrumenten MN

3.1, MN 3.2, MN 3.2, MN 4.3;

Kunst en Cultuur: gebruik meetinstrumenten; bouwsteen KC 1.1 en KC 3.1

Digitale Geletterdheid: 3.2.

62

Bouwsteenset 3.2: Vorm en ruimte

Bouwsteen PO


Inleiding

Jonge kinderen verkennen hun directe omgeving in eerste instantie vanuit het eigen

lichaam. Vervolgens ontdekken ze de ruimte om hen heen en oriënteren ze zich ook op

objecten en vormen in hun omgeving, in het platte vlak (bv. voetafdruk, vierkant, cirkel)

en driedimensionaal (bv. gebouwen, kubus). Ze ontwikkelen hun voostellingsvermogen

over hoe vormen en objecten zich in de ruimte kunnen voordoen en ze leren erover

praten en redeneren zonder dat ze deze vormen hoeven te zien. Door het volgen en

beschrijven van routes en het herkennen en construeren van regelmatige patronen

krijgen ze grip op de ruimte om zich heen.


Leerlingen leren:

een route op een eenvoudige plattegrond te beschrijven met begrippen, zoals rechts,

links, rechtdoor.

meetkundige begrippen te gebruiken, zoals recht, schuin, lijn, hoek, midden.

meetkundige figuren te benoemen en te herkennen, zoals vierkant, cirkel, kubus en

bol.

het voor-, zij of bovenaanzicht van ruimtelijke objecten of bouwsels te herkennen GT;

bouwplaten van driedimensionale figuren (zoals kubus, balk, piramide) te herkennen

en omgekeerd;

eenvoudige ruimtelijke objecten te maken van een bouwplaat, te denken valt aan een

doosje / balk.

van een eenvoudige patroon het spiegelbeeld te tekenen KC 1.1, 3.1.


Inleiding

In de hogere leerjaren verdiepen de leerlingen de eerder aangeboden kennis en

vaardigheden. Ze leren deze toe te passen in dagelijkse situaties, zoals bij het lokaliseren

van voorwerpen (de schaar ligt in de middelste la aan de linkerkant) en routes op

plattegronden en kaarten. Leerlingen leren dat meetkundige figuren objecten zijn (een

vel papier is een rechthoek), waarvan de eigenschappen van belang zijn.


Leerlingen leren:

begrippen voor richtingsaanduidingen te gebruiken bij het beschrijven en volgen van

een route, zoals linksaf, naar het noorden GT.

gegevens af te lezen en te interpreteren met een legenda, schaallijn en een rooster

met coördinaten op plattegronden VE, GT.

63

complexere meetkundige figuren te herkennen en te benoemen en hiervan

eigenschappen aan te geven. Te denken valt aan een ruit, vijfhoek, balk en piramide.

driedimensionale objecten te herkennen in tweedimensionale representaties, zoals in

een bouwplaat, schaduw, vooraanzicht of patroontekening en hierover redeneren LR.

Te denken valt aan: 'Waarom kan deze bouwplaat niet van dit object zijn? Wat klopt

er niet?'

symmetrie, draaisymmetrie en gelijkvormigheid van objecten te herkennen. Te

denken valt aan spiegelen en het zoeken van symmetrieassen KC 1.1, 3.1, GT.

digitale (hulp)middelen en gereedschappen met meetkundige toepassingen te

gebruiken, te denken valt aan het instellen en gebruiken van een navigatiesysteem of

een robot sturen en programmeren GT.


Inleiding

De leerling heeft in het primair onderwijs de nodige ervaringen opgedaan met vorm en

ruimte in de reële wereld. Daardoor zijn besef en begrip ontwikkeld. Ruimtelijke objecten

in de leefwereld van leerlingen zijn in deze fase die volgt meestal samengesteld en

complexer van aard. Ook raken ze meer vertrouwd met de digitale 2D- beelden van de

ruimtelijke vormen.


Leerlingen leren:

coördinaten te bepalen, routes te beschrijven en routes uit te zetten met behulp van

coördinaten of een navigatiesysteem.

te redeneren op basis van symmetrie, gelijkvormigheid en congruentie. Denk hierbij

aan het herkennen en voortzetten van regelmatige patronen in randen en

versieringen KC 1.1, 3.1 MO.

figuren te tekenen en (werk)tekeningen te maken, en daarbij passend (digitaal)

gereedschap te gebruiken. Te denken valt aan een passer, geodriehoek en digitale

programma’s KC 1.1, 3.1 GT.

in authentieke situaties veelgebruikte meetkundige begrippen en symbolen kennen,

lezen en te gebruiken. Te denken valt aan begrippen en symbolen voor rechte hoek,

evenwijdig, loodrecht, haaks RC.

meetkundige gereedschappen toe te passen, te denken valt aan het aansturen en

programmeren van een robot of het inzetten van Virtual Reality om het meetkundig

inzicht te vergroten GT.


Meetkundige objecten (punt, lijn, cirkel, parabool, hyperbool, ellips) door middel van een

analytisch verband kunnen weergeven en herleiden in een rooster en hierbij digitaal

gereedschap gebruiken.

Verder komen er bij wiskunde B elementen uit de vectormeetkunde en [vwo-wiskunde B]

parameterkrommen, bolmeetkunde aan bod. Bij havo wiskunde B komen er elementen

uit de 3D meetkunde aan de orde.

64

Toelichting


het herkennen en benoemen van de eigenschappen van ruimtelijke figuren van

eenvoudig naar complex.

de toename van het aantal en de complexiteit van objecten en representaties

(bouwsels, schaduwen, spiegels, plattegronden en schaal).

van herkennen van meetkundige symbolen naar gebruiken hiervan.

het gebruik van steeds complexere meetkundige gereedschappen en technologie.





Abstraheren (Oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan)


Modelleren (probleemoplossend denken en handelen, kritisch denken, creatief

denken en handelen, zelfregulering)


Deze bouwsteenset leent zich als context voor het inzetten van gereedschappen

en technologie, denk hierbij aan een passer, VR of navigatiesysteem GT.

Deze bouwsteenset leent zich als context voor verder begrip van verhoudingen,

denk hierbij aan gebruik van schaal VE.


Kunst en Cultuur: gebruik van ruimtelijke vormen, patronen, spiegelen KC 1.1 en

3.1.

65

Bouwsteenset 3.3: Rekenen in de meetkunde

Bouwsteen PO


Inleiding

De basis voor het leren rekenen in de meetkunde is dat leerlingen leren omgaan met

begrippen over meten en meetkunde en kennis over en inzicht krijgen in grootheden als

omtrek, oppervlakte en inhoud. De basis wordt beschreven in de bouwstenen 3.1 'Meten'

en 3.2 'Vorm en ruimte'. Daarom staan er geen kennis en vaardigheden beschreven in

deze fase.


Inleiding

In de hogere jaren van het primair onderwijs leren leerlingen rekenen met en redeneren

over de grootheden omtrek, oppervlakte en inhoud en leren ze hierbij ook formules

gebruiken. Daarnaast maken ze kennis met het begrip 'vergrotingsfactor'.


Leerlingen leren:

omtrek te bepalen van figuren door de lengtes van de lijnstukken op te tellen. Bij een

rechthoek en een vierkant leren ze deze te berekenen met behulp van de formule(s)

voor de omtrek VVF

oppervlakte te berekenen met behulp van een formule van:

o een rechthoek en vierkant;

o rechthoekige samengestelde figuren;

o de totale oppervlakte van (de vlakken van) een balk of kubus.

oppervlakte te berekenen van rechthoekige en gelijkbenige driehoeken door middel

van omkaderen.

inhoud te berekenen van balkvormige figuren met behulp van een formule.

rekenen met het begrip 'vergrotingsfactor'. Te denken valt aan het uitrekenen van de

oppervlakte of inhoud bij een vergrotingsfactor van bijvoorbeeld 3.


Inleiding

In de onderbouw van het voortgezet onderwijs leren leerlingen de opgedane kennis en

vaardigheden toe te passen op meer verschillende en complexere figuren in diverse

probleemsituaties. Leerlingen leren rekenen aan lengtes, hoeken, oppervlakte en inhoud.

Hierbij wordt het aantal formules voor oppervlakte en inhoud verder uitgebreid.


Leerlingen leren:

lengte, omtrek en oppervlakte te berekenen van en in complexere vlakke en

ruimtelijke figuren.

66

dat π de verhouding VE is tussen de omtrek en de straal van een cirkel. Leerlingen

leren vervolgens met een formule de omtrek en oppervlakte van een cirkel te

berekenen.

de stelling van Pythagoras te begrijpen en toe te passen in vlakke figuren. [kgt-havo-

vwo] deze stelling ook toe te passen in ruimtelijke figuren.

de inhoud te berekenen van diverse ruimtelijke figuren (cilinder, prisma, piramide,

kegel en [havo-vwo] bol) met behulp van formules.

de inhoud en oppervlakte te bereken van samengestelde ruimtelijke figuren KC 1.1, 3.1.

de eigenschappen van veelhoeken en van snijdende en evenwijdige lijnen te

gebruiken om hoeken te berekenen.

goniometrische verhoudingen te hanteren in twee- en driedimensionale figuren.


In de bovenbouw van havo en vwo is er alleen meetkunde aanwezig bij wiskunde B. Bij

de havo wordt er aandacht besteed aan analytische meetkunde. De combinatie van

Euclidische, analytische en vectormeetkunde op zowel havo als vwo (zie bouwstenen 3.1

en 3.2) zorgt ervoor dat leerlingen kunnen kiezen uit verschillende oplossingsstrategieën.

Juist het creatieve denken moet aangesproken worden.

Toelichting


de uitbreiding van eenvoudige naar complexe figuren.

van informeel rekenen aan vlakke en ruimtelijke figuren naar het toepassen van

formules.

Het OT vindt het belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van elke

leerling.



Logisch redeneren (kritisch denken, creatief denken en handelen, zelfregulering).


creatief denken en handelen, zelfregulering).

Representeren en communiceren (communiceren).


Deze bouwsteenset dient als context voor verder rekenen met vergrotingen VE,.


Kunst en cultuur: samengestelde ruimtelijke figuren KC 1.1 en 3.1.

67

Bouwsteenset 4.1: Verbanden, verschijningsvormen, vergelijkingen

Bouwsteen PO


Inleiding

In de eerste leerjaren leren leerlingen denken en redeneren over regelmaat en

verbanden. Ze leren de regelmaat in een getallenrij in eigen woorden te beschrijven,

waarna ze leren deze regelmaat zelf voort te zetten. Ook leren ze verbanden te zoeken in

hun naaste omgeving en deze in eigen woorden te beschrijven, bijvoorbeeld hoe verder

je van school woont, hoe langer je moet wandelen, of hoe sneller de donder na de

bliksem komt, hoe dichterbij de onweersbui.


Leerlingen leren:

regelmaat te herkennen in een serie getallen en deze regelmaat in woorden te

beschrijven NE 5.1 en voort te zetten. Te denken valt aan een rij als: 99, 97, 95, … wat

is dan het volgende getal? Hoe weet je dat?

eenvoudige verbanden in eigen woorden te beschrijven, te denken valt aan: 'Hoe

meer kinderen in de groep, hoe groter de kring'.

periodieke regelmaat te herkennen en te beschrijven MN 4.1, te denken valt aan dag en

nacht 'het wordt steeds weer nacht en daarna steeds weer overdag', eb en vloed MN

10.2.


Inleiding

In de hogere leerjaren leren leerlingen complexere verbanden tussen verschillende

grootheden te verwoorden zoals tussen tijd en afstand (hoe langer je fietst, hoe groter

de afgelegde afstand). Leerlingen leren de relatie tussen woordformules, tabellen en

grafieken kennen en uitleggen.


Leerlingen leren:

regelmaat in figuren bestaande uit aantallen stippen te herkennen en weer te geven

in een tabel RC, MO.

verschillende verschijningsvormen met elkaar in verband te brengen, te denken valt

aan: bij een woordformule een tabel maken of bij een tabel een grafiek maken.


Inleiding

In de onderbouw van het voortgezet onderwijs leren leerlingen verschijningsvormen van

verbanden in elkaar om te zetten. ICT wordt hierbij als hulpmiddel ingezet. Leerlingen

maken de stap van woordformules naar de formelere notatie met letters en symbolen.

Leerlingen leren vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen: numeriek, grafisch en met

ICT.

68


Leerlingen leren:

verschillende verschijningsvormen van verbanden (in tekst, grafiek, tabel en

(woord)formule) in elkaar om te zetten MO, al dan niet met behulp van ICT GT.

vergelijkingen en ongelijkheden numeriek of grafisch op te lossen VB, al dan niet met

behulp van ICT GT.

vergelijkingen, waarin de onbekende slechts op één plek voorkomt of die eenvoudig

hiertoe zijn te herleiden op te lossen met behulp van algebra. Te denken valt aan 2(𝑥 − 4) = 𝑥 en 2(𝑥 − 3)2 + 5 = 55. Te denken valt niet aan 𝑥2 = 𝑥.

vergelijkingen van de vorm 𝐴 ∙ 𝐵 = 0, 𝑓(𝐴) = 𝑓(𝐵) en 𝐴

𝐵= 0 op te lossen met behulp van

algebra. Te denken valt aan (𝑥 − 3)(6 − 2𝑥) = 0, √2𝑥 − 4 = √𝑥 + 5 en 𝑥2−4

2−3𝑥= 0, te denken

valt niet aan 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 en 𝑥−2

𝑥= 3.

uitdrukkingen te herleiden om formules te vereenvoudigen RC, vergelijkingen op te

lossen of variabelen vrij te maken. de verschillende betekenissen van het is-gelijk-teken kennen. Te denken valt aan 2 +

3 = ⋯ (bereken de uitkomst) en 𝑦 = 2𝑥 + 3 en 2(𝑥 + 3) = 2𝑥 + 6 (hier betekent het is-

gelijk-teken dat het aan beide zijden gelijkwaardig is aan elkaar) AB. het onderscheid te kennen tussen een onbekende (𝑥 + 2 = 5), een variabele (𝑦 = 2𝑥 +

3) en een parameter (𝑦 = 2𝑥 + 𝑏) AB.

de uitkomsten van vergelijkingen te interpreteren, daar waar nodig in termen van

een context.


[vmbo-bb] Leerlingen leren ook eenvoudige lineaire vergelijkingen met een onbekende

die als letter genoteerd wordt, op te lossen.

[vmbo-bb] Leerlingen leren in formules variabelen in woorden weer te geven.

[vmbo-kb] Leerlingen leren in formules variabelen met letters weer te geven die

verwijzen naar de betekenis van de variabele, bijvoorbeeld h voor hoogte en k voor

kijkafstand.

[vmbo-gt] Leerlingen leren in formules variabelen met willekeurige letters weer te geven,

bijvoorbeeld x voor hoogte en y voor kijkafstand.

[havo wiskunde B en vwo wiskunde A/C en wiskunde B] Leerlingen leren op een flexibele

manier omgaan met algebraïsche uitdrukkingen, waarbij bij wiskunde A/C het

algebraïsch oplossen in dienst staat van het latere herleiden. Bij wiskunde B is het

algebraïsch oplossen van vergelijkingen nadrukkelijker aan de orde.

[havo/vwo wiskunde A en wiskunde C] Leerlingen leren in aansprekende contexten te

rekenen waarin bewerkingen, verhoudingen en verbanden samenkomen. Als voorbeeld

wordt verwezen naar de onderzoeksopdrachten uit de eindexamens wiskunde A van havo

en vwo 2018.

[vwo wiskunde A en wiskunde C] Het onderwerp lineair programmeren biedt

mogelijkheden om kennis te maken met het gebruik van lineaire verbanden in

herkenbare contexten, waarbij de denken werkwijzen GT, MO, RC, AD worden aangesproken

[havo/vwo wiskunde B] Leerlingen leren problemen oplossen, waarbij het niet nodig is

dat er een context buiten de wiskunde aanwezig is, [vwo wiskunde B] onder andere

concepten als limiet, asymptoten, perforaties en inverse functies spelen een belangrijke

rol.

Toelichting


van concreet en dicht bij de leerling naar abstract;

69

van verwoorden van het verband naar weergeven in tabel of grafiek.


elke leerling.







Abstraheren (oriëntatie op jezelf, studie en je loopbaan)


Deze bouwsteenset vormt een belangrijke basis voor de bouwsteensets 6.1

Veranderingen en 6.2 Benaderingen.


Mens en Natuur: verbanden tussen natuurwetenschappelijke grootheden; MN 3.3,

MN 4.1, MN 10.2;

Nederlands: taal gebruiken om regelmaat te beschrijven. NE 5.1

70

Bouwsteenset 4.2: Speciale verbanden

Bouwsteen PO


Inleiding

Het herkennen en voortzetten van patronen met vaste toe- of afname is de kern van

speciale verbanden in de onderbouw van het po. Als er 1 leerling bij komt in de groep,

staan er 2 extra schoenen in de gang. Elke hand extra, zijn 5 vingers meer. Maar ook 1

auto minder, betekent 4 wielen minder.


Leerlingen leren:

patronen waarin er sprake is van een vaste toename of afname, te herkennen en

voort te zetten PR, zowel met figuren als met getallen; te denken valt aan het

voortzetten van de rij ° °°° °°°°° °°°°°°°.


Inleiding

In de bovenbouw van het po leren leerlingen ook andere soorten regelmaat. Naast de

vaste toe- of afname worden nu ook verbanden beschouwd waarbij er steeds met

hetzelfde getal vermenigvuldigd wordt of waarbij er door hetzelfde getal gedeeld wordt.


Leerlingen leren:

patronen waarin er sprake is van een vermenigvuldiging of deling met steeds

hetzelfde getal te herkennen en voort te zetten PR.


Inleiding

In de onderbouw van het voortgezet onderwijs wordt het aantal speciale verbanden

uitgebreid en geformaliseerd. Leerlingen maken kennis met de formules, grafieken en

eigenschappen van deze verbanden.


Leerlingen leren:

de soort regelmaat tussen een afhankelijke en onafhankelijke variabele te herkennen

in tabellen en deze voort te zetten als er sprake is van:

o Een lineair verband: (Als de onafhankelijke variabele met een vaste

hoeveelheid toeneemt, neemt de afhankelijke variabele met een vaste

hoeveelheid toe of af).

o Een exponentieel verband (Als de onafhankelijke variabele met een vaste

hoeveelheid toeneemt, neemt de afhankelijke variabele met een vaste

factor toe of af).

71

o Een logaritmisch verband (Als de onafhankelijke variabele met een vaste

factor toeneemt, neemt de afhankelijke variabele met een vaste

hoeveelheid toe of af).

o Een machtsverband of wortelverband (Als de onafhankelijke variabele met

een vaste factor toeneemt, neemt de afhankelijke variabele met een vaste

factor toe of af (machtsverband en in het bijzonder gebroken (de exponent

is negatief) of wortelverband (de exponent is een breuk)).

o Periodiek verband (De afhankelijke variabele vertoont een zich herhalend

patroon).

woordformules op te stellen MO bij lineaire en exponentiële verbanden, te denken valt

aan

𝐾𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛 = 50 + 𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑢𝑟𝑒𝑛 ∙ 10 en 𝐺𝑒𝑙𝑑𝑏𝑒𝑑𝑟𝑎𝑔 = 1000 ∙ 1,02𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑗𝑎𝑟𝑒𝑛

[vwo] op een steeds abstracte manier te werken met lineaire (𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, met 𝑎 =Δ𝑦

Δ𝑥)

en exponentiële verbanden (𝑦 = 𝑏 ∙ 𝑔𝑡).

(omgekeerd) evenredigheid te herkennen in verhoudingstabellen.VE.

te herkennen dat een gegeven verband al dan niet een verschuiving en/of vervorming

is van een van bovenstaande standaardverbanden AB . Indien dat het geval leren ze de

grafieken handmatig te tekenen, indien dat niet het geval is zetten ze digitale

gereedschappen in.GT

van de bovenstaande standaardverbanden grafieken te tekenen en karakteristieken

te benoemen.


In de bovenbouw komt voor alle leerlingen evenredigheid in de verschillende

verschijningsvormen van een verband aan bod in een meer abstracte vorm MN.

[havo wiskunde B/vwo Wiskunde A en wiskunde B] In de bovenbouw kan er aandacht

besteed worden aan het verschuiven en vermenigvuldigen van de diverse verbanden. Op

deze manier ontstaan er nieuwe varianten die door leerlingen verkend kunnen worden.

[vwo wiskunde B] verdieping van logaritmische en exponentiële verbanden ook als e-

machten of natuurlijke logaritmes.

Toelichting


van eenvoudige naar complexe patronen en verbanden.

van woordformules naar formules met variabelen.


elke leerling.



Probleemoplossen: vinden van de regelmaat

Algoritmisch denken: hoe schets je de grafiek door middel van de transformaties

Modelleren: bij een situatie een formule opstellen


Deze bouwsteenset is een specifiekere invulling van bouwsteen 4.1: Verbanden,

verschijningsvormen en vergelijkingen.

72


Mens en Maatschappij: vormt een context van speciale verbanden

Mens en Natuur: vormt een context van speciale verbanden



curriculum:

Door meer vanuit een overkoepelend perspectief de speciale verbanden te benaderen

krijg je in deze bouwsteenset meer interne samenhang en worden meer verbanden

belicht dan alleen lineair en kwadratisch.

73

Bouwsteenset 5.1: Kansen en kansverdelingen

Bouwsteen PO


Inleiding

Om greep te krijgen op onzekerheid en toeval is er kansrekening. Hiermee kunnen we

bepalen welke uitkomsten mogelijk zijn en hoe waarschijnlijk uitkomsten zijn. In de eerste

leerjaren van het primair onderwijs wordt een eerste basis gelegd als het gaat om

kansbegrip. Het is nog een onbewust leerproces waarbij het ervaren centraal staat. Denk

hierbij aan het spelen van dobbelspelletjes en nadenken over de kans van bepaalde worpen

in termen als 'eerlijk', 'niet eerlijk'. Tevens wordt er op ervaringsniveau gewerkt met

combinatoriek denk hierbij bijvoorbeeld aan mogelijkheden bij kledingkeuzes.


Leerlingen leren:

uit te leggen wanneer een spelletje eerlijk is (bijvoorbeeld ergens om loten, kop of

munt, steen-papier-schaar).

uit te leggen waarom bepaalde situaties meer kans hebben dan andere. Te denken

valt aan: uit een doos met 8 gele ballen en 2 rode ballen pak je met je ogen dicht een

bal. Welke kleur denk je dat die bal heeft? Waarom denk je dat? En als we er een

rode bal bijdoen en een gele bal uithalen? Leg eens uit hoe dat zit.

dat er bij 2 (keuze)mogelijkheden verschillende combinaties mogelijk zijn. Te denken

valt aan kinderen in een gezin, keuze snoepjes, combinaties kleding. Ze leren

hierover te redeneren. Aanvankelijk zal dat handelend zijn, maar kinderen die eraan

toe zijn kunnen dit in een schema weergeven MO.


Inleiding

In de hogere leerjaren van het worden de activiteiten uit de onderbouw voortgezet. Deze

worden uitgebreid met het doen van kansexperimenten, het toepassen van kansbegrip

en erover te redeneren. Begrip van breuken als verhouding en procenten is hiervoor

noodzakelijk VE.

Daarnaast maken leerlingen kennis met combinatoriek in concrete situaties waarbij ze

vooral tot oplossingen komen door informele strategieën te gebruiken en te modelleren

MO.


Leerlingen leren:

kansexperimenten uit te voeren (al dan niet digitaal) DG 3.2.

breukenkennis toe te passen bij het verwoorden van kansen VE. Te denken valt aan de

kans bij een zwangerschap op een jongen is 1

2 .

kennismaken met het maken van een schematische weergave MO (b.v. boomdiagram)

om aan te tonen hoeveel mogelijkheden (combinatoriek) er zijn bij een situatie van

meerdere items. Te denken aan: hoeveel verschillende combinaties kun je maken als

je 4 broeken, 2 truien en 3 paar schoenen hebt?

kansen te interpreteren bij alledaagse situaties (bijvoorbeeld weersverwachting: 'de

kans op regen vandaag is 80%').

redeneren over kansen onder andere bij bordspellen en daarover communiceren RC .

te redeneren en te communiceren over kansen.

74


Inleiding

In de onderbouw van het voortgezet onderwijs is er een voortzetting van de activiteiten

uit het primair onderwijs. Hier vindt het bepalen van aantallen mogelijkheden plaats door

te noteren en te ordenen MO en met behulp van dit overzicht te rekenen. Leerlingen leren

dat een kans de verhouding is tussen het aantal gunstige mogelijkheden en het totale

aantal mogelijkheden en leren hiermee rekenen, bijvoorbeeld met behulp van een

boomdiagram. Kansexperimenten nemen toe in complexiteit. Ook leren leerlingen

kansexperimenten te simuleren DG 3.2.


Leerlingen leren:

informatie systematisch te noteren bijvoorbeeld in roosters, boomdiagrammen,

wegendiagrammen MO en aan de hand daarvan berekenen hoeveel mogelijkheden er

zijn.

kansexperimenten op te zetten, uit te voeren en te simuleren (bijvoorbeeld met

digitale hulpmiddelen)DG 3.2.

kansen berekenen met behulp van de kansdefinitie van LaPlace).

kansbomen te maken en daarin de rekenregels ( som- en productregel) voor

kansrekening toe te passen. Zij leren daarbij bewerkingen met breuken GB toe te

passen.

formele vaktaal NE 5.1 te gebruiken.


Deze bouwstenen zijn in de bovenbouw havo, vwo relevant voor alle leerlingen en alle

wiskundevakken. Alle leerlingen maken kennis met de normale verdeling, voor havo is

kennis van de kenmerken en vuistregels voldoende. Voor vwo wiskunde A en C is er een

verdieping van het rekenen met kansen (som-, producten complementregel) en

rekenen ze aan kansexperimenten (verwachtingswaarde en standaarddeviatie). Bij

wiskunde B op vwo wordt alleen de kansrekening behandeld die nodig is om

hypothesetoetsen met een normale verdeling te kunnen uitvoeren.

In het vmbo beperkt deze grote opdracht zich tot de onderbouw. Voor leerlingen die door

willen stromen naar havo, is het van belang om het programma van havo onderbouw te

hebben doorlopen. Dit kan in het keuze deel.

Toelichting


van concreet en dicht bij de leerling (nadenken over kans op regen, redeneren

een spelletje eerlijk is of niet) naar uitvoeren van kansexperimenten en het

rekenen met kansen;

van eenvoudige naar complexe problemen;

complexere methodieken.


elke leerling.





75





Mens en Natuur: omgaan met risico's (MN 4.4);

Nederlands: vaktaal (NE 5.1);



curriculum:

Kansen en kansverdelingen is een nieuw onderwerp binnen het primair onderwijs. Het

vermogen van om gegevens te ordenen en te verwerken en representaties te begrijpen

wordt namelijk van steeds groter belang. Om greep te krijgen op onzekerheid en toeval

is er kansrekening. Hiermee leren leerlingen bepalen welke uitkomsten mogelijk zijn en

hoe waarschijnlijk uitkomsten zijn.

76

Bouwsteenset 5.2: Data en statistiek

Bouwsteen PO


Inleiding

Jonge kinderen zijn van nature geneigd om dingen te ordenen, te sorteren op

bijvoorbeeld kleur of vorm en te vergelijken op grootte, bijvoorbeeld de schelpen die zij

op het strand vinden of de kralen in een doos. In de eerste leerjaren van het primair

onderwijs leren ze hoe je niet alleen voorwerpen kunt ordenen, maar ook gegevens kunt

ordenen. Leerlingen leren turven, gegevens verzamelen en weer te geven in bijvoorbeeld

een beelddiagram. Ze leren over deze gegevens te redeneren en te communiceren

(uitleggen wat je kunt zien in het beelddiagram en wat niet).


Leerlingen leren:

na te denken over en te bespreken RC hoe je voorwerpen en gegevens overzichtelijk

kunt ordenen en vergelijken.

gegevens te verzamelen en hiervan eenvoudige grafische representaties te maken,

bijvoorbeeld een beeld- of staafdiagram DG 1.1.

eenvoudige grafische representaties zoals een beelddiagram of staafdiagram of

turftabel af te lezen en te interpreteren.

wiskundetaal te gebruiken zoals: diagram, turven, tabel, beeld, verzamelen,

informatie, gegevens.

om te gaan met eenvoudige gegevens en tabellen en diagrammen in contexten uit

andere leergebieden (te denken valt aan de het sorteren, turven en in beeld brengen

van boomvruchten die gevonden zijn (eikels, kastanjes)) en andere wiskundige

inhouden en ze leren daarbij verschillende denken werkwijzen toe te passen. Te

denken valt aan representeren en communiceren RC ('Wat kun je zien in dit

beelddiagram?') en logisch redeneren LR.


Inleiding

In de hogere leerjaren van het basisonderwijs maken de leerlingen kennis met nieuwe en

met complexere grafische representaties en leren ze zelf eenvoudige grafische

representaties (infographics) te maken al dan niet met behulp van ICT. Ze leren rekenen

met de centrummaten gemiddelde, modus en mediaan en de uitkomsten te

interpreteren. Daarnaast ontwikkelen de leerlingen een kritische houding ten opzichte

van data door gegevens, grafische representaties en daarbij getrokken conclusies te

schatten op waarheid (fact-checking).

77


Leerlingen leren:

gegevens te verzamelen en hiervan grafische representaties te maken op papier en

digitaal GT DG 1.1, 1.2. Bij bestaande grafische representaties (zoals infographics,

diagrammen en grafieken) leren ze voordelen en nadelen te benoemen van de

gekozen representatie, interpretaties te geven, conclusies te trekken en eventueel

voorspellingen te doen.

gegevens te verzamelen op verschillende wijzen, te denken valt aan het uitvoeren

van steekproeven.

wiskundetaal te gebruiken zoals: grafiek, gemiddelde, modus, mediaan, horizontale

x-as en verticale y-as, stijgen, dalen, scheurlijn.

in eenvoudige situaties met inzicht bij gegeven data de centrummaten, rekenkundig

gemiddelde, mediaan en modus te berekenen en te interpreteren en hierover te

redeneren.

om kritische vragen te stellen bij de wijze van onderzoek RC (o.a. in de media) DG 1.1, BU

07. Dit kan betrekking hebben op het verzamelen van informatie, de keuze van

visualisaties en in hoeverre conclusies bij de feiten correct zijn (fact-checking).

flexibel om te gaan met data en statistiek waarbij ze zowel andere wiskundige

inhouden toepassen als de verschillende denken werkwijzen toepassen. Te denken

valt aan vragen als 'Kun je aan de grafiek zien hoe het over een aantal jaren zal

zijn? Leg eens uit.'


Inleiding

In de onderbouw van het voortgezet onderwijs worden de activiteiten uit het

basisonderwijs voortgezet, waarbij de grafische representaties complexer en formeler

van aard zijn. Leerlingen leren op basis van deze visualisaties trends te herkennen en

voorspellingen te doen. Daarnaast wordt voorbereid op het kwantificeren van

onzekerheid, zoals beschreven wordt in de aanbevelingen voor de bovenbouw.


Leerlingen leren:

centrummaten en spreidingsmaten (waaronder de standaardafwijking) in eenvoudige

gevallen op papier en verder digitaal GT DG 1.2 te berekenen en erover te redeneren LR.

(creatieve KC 1.1) grafische representaties te interpreteren en te maken, waarbij

aandacht is voor, passend bij de data, handig gekozen assenstelsels, cumulatieve

frequenties, samengestelde tabellen en diagrammen RC. Ze leren op basis van de

grafische representaties trends te herkennen en voorspellingen te doen VVF, MO en

eventueel te interpoleren en extrapoleren.

zelfstandig de statistische cyclus te doorlopen. Dit betekent dat ze bij een

probleemsituatie 1. de juiste vragen stellen, 2. gegevens verzamelen, 3. de

resultaten presenteren in passende visualisaties, centrummaten en spreidingsmaten,

en 4. conclusies trekken op basis van de resultaten PR.

onderscheid te maken tussen correlatie en causaliteit.

waarheden van onwaarheden te onderscheiden door kritische vragen te stellen bij de

wijze van onderzoek, waarbij alle stappen van de statistische cyclus beschouwd

worden (fact-checking) AB.

78

flexibel om te gaan met data en statistiek waarbij ze zowel andere wiskundige

inhouden toepassen als de verschillende denken werkwijzen toepassen. Te denken

valt aan vragen als 'Welke invloed heeft de grootte van een steekproef op een

gemiddelde, modus en mediaan?, 'In welk land is de bevolkingsdichtheid groter als je

naar de data kijkt PR?'


Informatie en statistiek is in de bovenbouw relevant voor alle leerlingen en alle

wiskundevakken, waardoor horizontale doorstroming geen probleem is. Binnen de

leerwegen zullen de contexten en daarbij gebruikte waarden verschillen qua complexiteit

en grootte. De nadruk komt meer te liggen op het ontwikkelen van een kritische blik ten

aanzien van statistische weergaven en uitspraken (o.a. fact-checking en causaliteit) AB, RC.

In de bovenbouw van havo en vwo leren leerlingen ook zelf statistische technieken te

gebruiken en hierover te redeneren PR. Hierbij wordt onzekerheid gekwantificeerd in

betrouwbaarheidsintervallen, effectgroottes, p-waardes en significantieniveaus. Dit

kritisch beschouwen geeft leerling inzicht in waarheid en leugens BU 07, in oorzaak en

gevolg MM en in het onderscheid tussen causaliteit en correlatie MN 4.4, MM 11.5. Welk vervolg

een leerling aan zijn bevindingen geeft, is onderwerp van andere leergebieden NE 5.1, MVT

1.1. Op het vwo [wiskunde A, wiskunde B en wiskunde C] gaan alle leerlingen ook zelf

hypothesetoetsen met een normale verdeling uitvoeren. Bij wiskunde A op havo en vwo

gaan leerlingen zelf een onderzoek uitvoeren (ze doorlopen de statistische cyclus) en

werken met grote datasets, waarbij gebruik wordt gemaakt van ICT. Dit onderzoek kan

goed gekoppeld worden aan andere vakken MM 12.2, zoals bijvoorbeeld maatschappijleer.

Toelichting


van eenvoudige naar complexe en meer formele grafische representaties.

van het verzamelen en ordenen van gegevens, tot het verwerken hiervan in

grafische representaties.

van het lezen van grafische representaties naar het zelf maken van grafische

representaties.

van contexten dichtbij de leerling (lievelingskleuren van de schoenen) naar steeds

verder af (meest voorkomende woorden in een boek).

van het maken van representaties op papier naar het maken van representaties

met behulp van ICT.

van het aflezen van gegevens naar conclusies trekken, trends herkennen en

voorspellingen doen.


elke leerling.









79




Deze bouwsteenset bouwt voort op het de vaardigheid om grafieken en

diagrammen af te lezen en te maken VVF, al dan niet met digitale hulpmiddelen GT.


Mens en Natuur: onderscheid causaliteit en correlatie MN 4.4;

Mens en Maatschappij: oorzaak en gevolg, onderscheid causaliteit en correlatie;

MM 11.5

Nederlands: vaktaal, vervolg geven aan de bevindingen; NE 5.1

Moderne vreemde talen: vervolg geven aan de bevindingen; MVT 1.1

Digitale Geletterdheid: bouwstenen DG 1.1 en 1.2

Burgerschap: inzicht in waarheid en leugens, BU 07

Kunst en Cultuur: creatieve representaties maken bouwsteen KC 1.1


curriculum:

Statistiek is een nieuw onderwerp binnen het primair onderwijs. Het gaat over het

verzamelen, verwerken, juist interpreteren en representeren van gegevens en er

conclusies aan verbinden. Hiermee leren leerlingen kritisch te reflecteren op

informatie.

80

Bouwsteenset 6.1: Veranderingen

Bouwsteen PO


Inleiding

In de eerste leerjaren van het primair onderwijs wordt een basis gelegd als het gaat om

veranderingen. Het gaat hier vooral om het herkennen van veranderingen en hierover te

communiceren en redeneren. Een kind helpt mee tafeldekken en weet dat er elke dag 4

mensen aan tafel zitten, maar als er twee mensen meer komen eten dan weet het ook

dat er van alles twee meer nodig zijn: twee borden, bekers, messen en vorken en dat er

meer brood nodig is. Zo ook als er minder mensen aan tafel zullen zitten. Het kind

ervaart al op jonge leeftijd wat het betekent als aantallen af- of toenemen.


Leerlingen leren:

voorbeelden te geven van veranderingen in hoeveelheden en uit te leggen wat dit

betekent voor die hoeveelheden GB.

in eenvoudige tabellen, beelddiagrammen trends herkennen en beschrijven met

dagelijkse termen als groter worden, kleiner worden, gelijk blijven, enzovoorts NE 5.1.


Inleiding

In de hogere leerjaren van het primair onderwijs worden de activiteiten uit de onderbouw

voortgezet. In eerste instantie leren de leerlingen een model, zoals een grafiek of een

tabel bij een situatie te interpreteren en te bepalen welke verandering zichtbaar is. De

leerlingen leren kritisch te denken en te redeneren over deze verandering, bijvoorbeeld:

'Wat betekent het als de lijn op een bepaald punt in een tijd-afstand lijngrafiek heel steil

loopt?'


Leerlingen leren:

een verandering in een verschijningsvorm (grafiek, tabel, beschrijving) VVF te

herkennen en te verwoorden, te denken valt aan: af- en toename, stijgen, dalen,

constant, groei, verdubbelen, halveren, en er mee te rekenen.

in een situatie onderscheid te maken tussen vaste en variabele componenten. Te

denken valt aan een telefoonabonnement waarbij bellen binnen de bundel tegen een

vaste prijs plaatsvindt en bellen buiten de bundel tegen een tarief per minuut (SMS of

MB).

hoe een verandering in de ene verschijningsvorm van een verband (grafiek, tabel,

beschrijving) doorwerkt in de andere vorm(en). Te denken valt aan: als het tarief

(variabele component in de beschrijving) toeneemt, dan wordt de grafiek die het te

betalen bedrag weergeeft, steiler AB, VVF.

81

in voorkomende gevallen absolute en relatieve veranderingen te herkennen (de prijs

neemt met € 30,- respectievelijk 20% af), van elkaar te onderscheiden AB en te

gebruiken RC.

onderscheid te maken tussen gemiddelde verandering en momentane verandering.

Te denken valt aan het onderscheid tussen trajectmeting en flitsmeting bij

snelheidscontroles en het onderscheid tussen de omvang van een bevolking en de

groei van de bevolking MM 8.1.


Inleiding

De essentie van deze bouwsteenset ligt in deze fase. Hier krijgen leerlingen zicht op de

betekenis en weergave van de verandering van een verband.


Leerlingen leren:

het verloop van een grafiek te beschrijven met termen als toe- en afnemend,

stijgend, dalend, steeds herhalend, minimum, maximum, lineair, constant,

exponentieel, periodiek AB, RC NE 5.1 .

het effect van een verandering bij een verband in een van de verschijningsvormen

weer te geven in elk van de andere verschijningsvormen van het verband, ook met

digitaal gereedschap GT DG 3.2.

aan te geven welk soort gedrag een grootheid in de tijd vertoont in concrete situaties.

Zij kunnen voorbeelden geven van de bijbehorende verandering (plaats, snelheid,

temperatuur, afkoeling) MMK MN 4.2.

extreme waarden van een verband te bepalen als die weergegeven worden in een

grafiek of een tabel.

de richtingscoëfficiënt van een lineair verband in verband te brengen met het

veranderingsgedrag van de afhankelijke grootheid AB en [havo, vwo] dat

andersoortige verbanden niet één richtingscoëfficiënt kennen AB.

[vwo] dat exponentiële verbanden op lange termijn altijd sneller groeien dan lineaire

en machtsverbanden.

[vwo] bij een grafiek een toenamediagram te tekenen en een hellinggrafiek te

tekenen met behulp van digitale gereedschappen.


De toepassingen van de in de vo onderbouw aangeleerde concepten komen in de

bovenbouw van havo en vwo uitgebreid aan bod. Denk hierbij aan: differentiequotiënt,

globale hellinggrafiek tekenen, snelheid en versnelling, differentiaalquotiënt, [havo/vwo

wiskunde B] afgeleide functie berekenen, rekenregels voor differentiëren, raaklijn

opstellen, plaats, snelheid en versnelling berekenen, [vwo wiskunde B] Riemannsommen

en integralen, (rekenregels voor) integreren berekenen, tweede afgeleide.

Toelichting


82

Van concreet (veranderingen analyseren in rijen figuren of getallen) naar abstract

(over veranderingen praten en redeneren).


elke leerling.



Representeren en communiceren (communiceren);

Probleemoplossen (probleemoplossend denken en handelen, creatief denken en

handelen, kritisch denken en zelfregulatie);

Abstraheren (oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan);

Gereedschap en technologie gebruiken (kritisch denken).


Kennis over en vaardigheid met bouwsteenset 4.1 vormt voorkennis voor deze

bouwsteen.


Mens en natuur: bewegingsleer, reactiesnelheid, groei van populaties: 4.2.

Mens en maatschappij: marginale groei, verval van rivieren, weersverandering,

afname van luchtdruk bij toenemende hoogte, hellingen op de bergweg.8,1 en

11.5

Nederlands: terminologie rond veranderingen. Te denken valt aan toename,

afname, gelijk blijven, snel en langzaam groeien: 5.1

Digitale geletterdheid: 3.2.

83

Bouwsteenset 6.2 Benaderingen

Bouwsteen PO


Inleiding

De basis voor schatten en benaderen ligt in de onderbouw van het primair onderwijs. In

de eerste leerjaren maken leerlingen kennis met schatten en afronden (voor afronden zie

bouwsteen 1.2), voornamelijk in de context van het omgaan met hoeveelheden. Zo leren

ze bijvoorbeeld dat je bij een vraag als 'Waar zijn er de meeste van?' niet altijd precies

hoeft te tellen om tot een antwoord te komen. In de context van getallen leren ze

nadenken over de grootte van getallen 'ligt 28 dichter bij 20 of 30?'


Leerlingen leren:

in concrete situaties hoeveelheden tot ten minste 100 te schatten en schattend te

vergelijken. Te denken valt aan beredeneerd raden hoeveel paaseitjes in een vaas

zitten GB.

lengtes te schatten met behulp van eigen lichaamsafmetingen (hand, voet,

lichaamslengte) MMK.

de oppervlakte te benaderen door hokjes te tellen van een figuur MMK.


Inleiding

In de hogere leerjaren krijgen schatten en benaderen veel aandacht. De schattingen

worden complexer van aard. Bovendien leren leerlingen wanneer een schatting volstaat

en wanneer een exact antwoord nodig is. Ook leren zij in situaties redeneren over

nauwkeurigheid, orde van grootte en marges.


Leerlingen leren:

met inzicht de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen schattend

uit te voeren met zowel grotere getallen als decimale getallen GB.

verhoudingsproblemen schattend op te lossen in meer complexe contexten waarin de

verhoudingsrelatie niet direct zichtbaar is (bv.: 243 van de 1000 auto's reden te hard.

Welk deel is dat ongeveer?) VE.

de orde van grootte van een uitkomst van een berekening in te schatten

(bijvoorbeeld 23 x 32 door er 25 x 30 van te maken) en de juistheid van een

berekening op een device te controleren (inschatten of de uitkomsten wel of niet juist

kunnen zijn) GT

een keus te maken tussen exact en schattend rekenen afhankelijk van de situatie GB,

MMK.

gewicht, lengte, oppervlakte en inhoud van 3D-objecten te schatten en hierbij

eventueel referentiematen in te zetten MMK.

84

te redeneren over nauwkeurigheid, de orde van grootte en de marges bij een

gegeven situatie.


Inleiding

In de onderbouw staan wiskundige technieken centraal die een juiste inschatting van de

gezochte oplossing opleveren: benaderen, inklemmen (bijvoorbeeld de zijde van een

vierkant van 20 m2 bepalen door middel van proberen: eerst 5, dan 4, dan 4,5, dan 4,45,

enzovoort), interpoleren en extrapoleren. Deze technieken kunnen in de vorm van een of

meer algoritmen weergegeven worden AD.


Leerlingen leren:

een keus te maken tussen exact en schattend rekenen in meer complexe situaties. Te

denken valt aan rekenen met π of benaderingen van π; en met bijvoorbeeld √3 als

exact getal of benaderingen van √3 GB.

het resultaat van een getrapte berekening af te ronden in overeenstemming met de

gegeven situatie en het effect te beredeneren van tussentijds afronden.

te redeneren en te rekenen met de wetenschappelijke notatie (= een afronding), ook

met een digitaal gereedschap GT.

vergelijkingen op te lossen met numerieke methoden bijvoorbeeld door gebruik te

maken van tabellen AD of grafisch numerieke apps GT. Te denken valt aan de

nulpuntbepaling van een speciaal verband VVF.

te interpoleren: (een waarde tussen twee metingen) op basis van een tabel de

waarde van de uitvoervariabele van een verband (bij benadering) bepalen bij een

waarde van een invoervariabele die niet in de tabel voorkomt en te extrapoleren

(voorspellingen doen, voortzetten wat je nog niet weet AB): op basis van een grafiek

of een tabel de waarde van een uitvoervariabele van een verband (bij benadering) te

bepalen en bij een waarde van de invoervariabele die groter of kleiner is dan de

gegeven of af te lezen waarden.

andere benaderingsstrategieën toe te passen. Te denken valt aan inklemmen of

lineaire regressie RC en hierbij digitale gereedschappen te gebruiken GT.


[vmbo] Deze bouwstenen kennen in de bovenbouw een vervolg.

De toepassingen van de in de vo onderbouw aangebrachte concepten

komen in de bovenbouw van havo en vwo uitgebreid aan bod te

denken valt aan:

[wiskunde A] Voortzetting van technieken om te interpoleren en te extrapoleren;

[wiskunde B] Voortzetting van numerieke oplosmethoden.

Toelichting


van concreet en dicht bij de leerling (aantal paaseitjes) naar abstract

(wetenschappelijke notatie);

85

van eenvoudige benaderingsstrategieën (aantal bussen) naar complexere

benaderingsstrategieën (lineaire regressie);

van verwoorden van de orde van grootte van een schatting naar de mate van

nauwkeurigheid;

van concreet rekenen met benaderingen (in de vorm van b.v. decimale getallen) naar

abstract rekenen met het exacte getallen zoals √3 en π.


elke leerling.





Abstraheren (oriëntatie op jezelf, studie en je loopbaan)

Alle inhoudelijke bouwstenen binnen het leergebied Reken & Wiskunde zijn

voorwaardelijk voor deze bouwsteen.


Mens en Natuur: leveren contexten aan;

Mens en Maatschappij: leveren contexten aan.

86

Bouwsteenset 7.1: Gereedschap en technologie gebruiken

Bouwsteen PO


Inleiding

Het jonge kind heeft buiten school al kennis gemaakt met allerlei gereedschappen en ook

met digitale gereedschappen. Denk daarbij aan een liniaal en ook aan touchscreens, in

het bijzonder het gebruiken van schuifbalken en scrollen van teksten maar ook het

vergroten van plaatjes. Zij leren hier op een natuurlijke manier mee omgaan. Deze

gereedschappen worden ingezet om het rekenen en andere handelingen te verlichten.


Leerlingen leren:

eenvoudige (digitale) gereedschappen te bedienen en hun standaardfuncties te

gebruiken. Te denken valt aan een liniaal om rechte lijnen te kunnen trekken MMK, en

eenvoudige 3D-software om figuren te tekenen en vanuit verschillende perspectieven

te kunnen bekijken MMK.

verband te leggen tussen analoge en een digitale weergaven van een grootheid RC,

MMK.

een beschrijving van een bewerking te geven in de vorm van input – proces – output DG. In dit kader valt te denken aan sommen waarin een berekening voorgesteld wordt

met een pijlenschema.

(digitale) gereedschappen met inzicht te gebruiken in samenhang met de inhouden

uit fase 1 en in samenhang met andere denken werkwijzen.


Inleiding

In de hogere jaren van het primair onderwijs maken leerlingen kennis met de

rekenmachine en andere (digitale) gereedschappen en leren leerlingen meer over de

toepassingen en gebruik ervan, maar maken ze ook kennis met de wiskunde van de

digitale gereedschappen. Het gaat onder meer om doordacht en verantwoord gebruik van

gereedschappen en technologie. Aan bod komen vragen als: Wanneer gebruik ik welk

gereedschap? En wanneer niet? Hoe kan ik beoordelen of een gereedschap betrouwbare

uitkomsten biedt?


Leerlingen leren:

standaardfuncties van de rekenmachine te gebruiken GB.

specifieke representaties van bewerkingen in digitale gereedschappen. Te denken valt

aan * voor vermenigvuldiging en / voor deling.

minder gangbare (digitale) gereedschappen te bedienen en in te stellen DG 3.1. Te

denken valt aan lasermeter en fietscomputer, kompas en passer MMK.

een keuze te maken voor gereedschappen en technologie die passend zijn voor de

situatie DG.

de uitkomst van een (digitaal) gereedschap kritisch te beschouwen door de uitkomst

vooraf te schatten VB.

wiskundige bewerkingen te herkennen bij het gebruik van (digitale) gereedschappen

87

DG. Te denken valt aan vergroten, draaien en spiegelen bij fotobewerkingssoftware KC

3.1, aan aanzichten in 3D-software MMK en aan de essentie van de werking van een

routeplanner

verbanden te leggen tussen (digitale) gereedschappen en wiskundige concepten. Te

denken valt aan het verband tussen een passer en een cirkel MMK en aan het verband

tussen GPS en coördinaten MMK.


uit fase 2 en in samenhang met andere denken werkwijzen.


Inleiding

In deze fase leren leerlingen om te gaan met een geïntegreerd wiskundepakket of

spreadsheetpakket (zoals Geogebra of Excel) of combinaties van applicaties (zoals

Wolfram Alpha) en dit te gebruiken en toe te passen. Het gaat hier vooral om doordacht

en verantwoord gebruik van de verschillende gereedschappen van dit pakket. Aan bod

komen vragen als: Wanneer gebruik ik welk gereedschap/menu? Hoe kan ik beoordelen

of de uitkomst betrouwbaar is?


Leerlingen leren:

van de rekenmachine en ander digitaal gereedschap ook andere dan

standaardfuncties te gebruiken. Te denken valt aan breuken op de rekenmachine GB,

aan π, goniometrische verhoudingen, kwadrateren en worteltrekken op de

rekenmachine GB en het tekenen van boxplots in een spreadsheetprogramma DSK.

geïntegreerde (digitale) gereedschappen te bedienen.

afhankelijk van een situatie meerdere passende (digitale) gereedschappen in

combinatie te gebruiken en daartussen te schakelen DG 3.1.

de uitkomst(en) die door een (digitaal) gereedschap gegenereerd is (zijn), kritisch te

beschouwen door de uitkomst(en) vooraf te schatten, de mate van nauwkeurigheid

van de uitkomst aan te geven en aan te geven of een uitkomst exact of bij

benadering is VB.

wiskundige bewerkingen te herkennen bij het gebruik van (digitale) gereedschappen.

Te denken valt aan het opstellen van een cumulatieve frequentietabel DSK in een

spreadsheetprogramma, waarbij de gegevens telkens bij elkaar geteld worden.

verbanden te leggen tussen (digitale) gereedschappen en wiskundige concepten. Te

denken valt aan de binaire representatie van getallen GB, aan het verband tussen een

berekende cel in een werkblad van een spreadsheet en een wiskundige formule VVF en

aan het verband tussen een randomgenerator en het concept kans DSK.


uit deze fase en in samenhang met andere denken werkwijzen. Te denken valt aan

het uitvoeren van simulaties MO, het tekenen van de hellinggrafiek bij een gegeven

grafiek VB en inter- en extrapolatie met behulp van een spreadsheetprogramma VB.


Leerlingen maken kennis met de techniek die hoort bij coderen en decoderen.

Leerlingen maken kennis met minstens een programmeertaal en leren deze toepassen.

Leerlingen worden zich bewust van de technologische mogelijkheden en beheersen deze

ook en kunnen de juiste digitale toepassing kiezen voor een specifieke taak.

88

Leerlingen hebben inzicht in de technologische mogelijkheden en beperkingen van de

rekenmachine, grafische rekenmachine en/of computer.

Toelichting


de toename van het aantal te gebruiken gereedschappen zowel analoog als

digitaal en de relatie daartussen.

van concreet en dichtbij de leerling (gebruik van de rekenmachine of

afstandmeter op de telefoon) naar formeel en verderaf (gebruik van een

rekenblad, spreadsheet of simulatiesoftware);

van eenvoudige naar complexe (digitale) gereedschappen en applicaties.

van het gebruiken van gereedschappen naar de kennis over gereedschappen.

van gebruik van standaardfuncties naar gebruik van bijzondere functionaliteit in

gereedschappen.

van gebruik van gegeven gereedschap naar keuze voor een of meer

gereedschappen.


elke leerling.

Bij deze denken werkwijze wordt een beroep gedaan op de volgende brede

vaardigheden:

Kritisch denken, als ze uitkomsten kritisch moeten beschouwen.

Probleemoplossen, als ze overwegen welk gereedschap past bij welke stap in de

oplossingsstrategie.


Deze bouwsteenset leent zich als context voor alle andere inhoudelijke

bouwstenen omdat er m.b.v. digitale gereedschappen de mogelijkheid tot

uitproberen en onderzoek bestaat.

Deze bouwsteenset is voorwaardelijk voor alle andere bouwstenen omdat er zowel

met als zonder (digitaal) gereedschap gewerkt moet kunnen worden.


Digitale Geletterdheid: gebruik van technologie en kennis over technologie en de

daarbij gebruikte wiskundige toepassingen, bouwsteen DG 3.1.

Mens & Natuur: Leveren contexten.

Kunst & Cultuur: fotobewerkingssoftware, bouwsteen KC 3.1


curriculum:

Deze hele bouwsteenset is nieuw. Gereedschap en technologie gebruiken wordt in de

toekomst steeds belangrijker en het aanbod ervan steeds groter en is onmiskenbaar een

factor van belang in het dagelijks leven van leerlingen en ook van hun opleiding.

89

Bouwsteenset 8.1: Probleemoplossen

Bouwsteen PO


Inleiding

Jonge kinderen houden zich al vroeg bezig met probleemoplossen: Een zakje paaseitjes

eerlijk verdelen met je broer en zusje vraagt om een oplossing en is voor een kleuter

geen routinetaak. Zonder vaste strategieën zullen ze tot een oplossing komen,

bijvoorbeeld door uit te gaan delen of groepjes te maken en vervolgens bekijken of het

eerlijk is gegaan. In de eerste jaren van het po ligt de nadruk voor de leerlingen bij het

oplossen van problemen op het informeel zoeken naar oplossingen, vaak handelend en

via trial and error. Denk bijvoorbeeld aan een probleem als “Blikgooien: Iemand gooit

een bal naar een toren van 6 blikken (3-2-1). Hoe kan de toren daarna eruit zien? Zoek

alle mogelijkheden.” Belangrijk is dat ze over hun oplossingen communiceren met elkaar.


Leerlingen leren:

problemen te begrijpen door de situatie en de vraagstelling van het probleem onder

woorden te brengen MO , RC

heuristieken (methoden bij het aanpakken van problemen) in te zetten. Te denken

valt aan

o trial-and-error: iets uitproberen en kijken hoe dat uitpakt;

o alle mogelijkheden opsommen en daaruit een keuze maken;

o van achter naar voren werken;

o een verband leggen met (eenvoudiger) verwante problemen die je al

eerder hebt opgelost;

hun aanpak onder woorden te brengen en uit te leggen aan anderen RC

hun oplossing te controleren in het licht van het gestelde probleem.

te reflecteren over (de effectiviteit en efficiëntie van) hun aanpak van het probleem.

Ze verwoorden of hun aanpak bijgesteld kan worden aan de hand van opgedane

ervaringen

'probleemlossen' in samenhang met de inhouden uit fase 1 en in samenhang met de

andere denken werkwijzen.


Inleiding

In de hogere leerjaren van het primair onderwijs krijgen leerlingen te maken met

complexere problemen. Ze hebben ook al meer inhoudelijke kennis beschikbaar om in te

zetten. Te denken valt aan problemen waarbij te veel of (ogenschijnlijk) te weinig

gegevens voorhanden zijn.

Ze leren heuristieken meer bewust toe te passen en na te denken over welke heuristiek

het meest geschikt is. Nog steeds gaat het om problemen die ze niet routinematig

kunnen oplossen. De oplossingsaanpak van leerlingen wordt formeler van aard.

90


Leerlingen leren:

bewust heuristieken toe te passen. Te denken valt aan bijvoorbeeld:

o een (gefundeerde) inschatting maken en deze controleren.

o een probleem opdelen in deelproblemen.

o van achter naar voren te werken.

o problemen op te lossen door systematisch een lijst te maken van alle

potentiële mogelijkheden te inventariseren en de juiste te selecteren

('brute force').

o een simpeler voorbeeld van het probleem maken dat opgelost dient te

worden.

o problemen op te lossen door gebruik te maken van een verwant probleem

dat eerder is opgelost.

o het probleem vanuit een ander perspectief bekijken.




Inleiding

In de onderbouw van het voortgezet onderwijs wordt het aanbod uit het primair

onderwijs voortgezet. Leerlingen leren op een meer formele manier problemen op te

lossen en zijn in staat verschillende heuristieken te combineren en toe te passen. Ook de

complexiteit van de problemen neemt in deze fase toe.


Leerlingen leren:

de heuristieken die zij in het primair onderwijs geleerd hebben te verfijnen en vlot en

vaardig in te zetten bij complexere problemen.

meer heuristieken toe te passen bij het oplossen van problemen. Te denken valt aan

o het maken van een wiskundig model VVF, MO.

o het gebruiken van algebraïsche methoden.

o het inzetten van digitale hulpmiddelen om snel verschillende

mogelijkheden door te rekenen of in beeld te brengen GT.




Probleemoplossen is belangrijk voor alle sectoren en voor alle leerlingen van de klas.

Toelichting


de toename van het aantal te gebruiken heuristieken

van concreet en dicht bij de leerling (een nieuw probleem oplossen) naar formeel

en verderaf (problemen classificeren);

van eenvoudige oplossingen naar complexe analyse en reflectie.

91


elke leerling.




Kritisch denken, als ze het oplossingsproces en het resultaat kritisch moeten

beschouwen

Communiceren: het aan anderen kunnen duidelijk kunnen maken van de gevolgde

eigen aanpak, of duidelijk maken de gevonden oplossingsstrategie en oplossing de

juiste is.


Deze bouwsteenset maakt gebruik van alle inhoudelijke bouwstenen

Deze bouwsteenset is voorwaardelijk voor alle andere bouwstenen omdat

probleemoplossen een werkwijze is waar vaak een beroep op wordt gedaan.


Mens & Natuur: als context voor op te lossen problemen

Mens en Maatschappij: als context voor op te lossen problemen


curriculum:

Deze hele bouwsteenset is essentieel voor een goede reken-wiskundige ontwikkeling.

92

Bouwsteenset 9.1: Abstraheren

Bouwsteen PO


Inleiding

Kinderen zijn van nature geneigd om overeenkomsten te zoeken: 'Kijk, de maan is een

rondje, net als de tafel'. Ze leren dat in verschillende vormen (lamp, kopje, rotonde) 'een

cirkel' te herkennen is en gaan het woord cirkel zelfstandig gebruiken. Zo is een cirkel

een abstract denkobject geworden. In de eerste jaren van het onderwijs zijn leerlingen

ook intensief bezig met hoeveelheden en getallen. Ze leren een hoeveelheid van zeven

weer te geven met het getal 7, deze 7 los te gebruiken van contexten en erover te

denken en redeneren. We zeggen dan dat 7 een denkobject geworden is. Leren

abstraheren is essentieel voor het leren van wiskunde.


Leerlingen leren:

eerste stappen te zetten om objecten als getallen GB en vormen uit fase 1 te

abstraheren tot denkobjecten. Te denken valt aan: het leren van het denkobject

'kubus' en daarbij nieuwe voorbeelden te vinden ('die doos ziet er uit als een kubus')

MMK.

eerste stappen te zetten om bewerkingen GB uit fase 1 te abstraheren tot

denkobjecten. Te denken valt aan: optellen en aftrekken zonder context.

'abstraheren' in samenhang met de inhouden uit fase 1 en in samenhang met de



Inleiding

In deze fase zetten leerlingen de stap om de denkobjecten uit fase 1 en 2 op een nog

hoger abstractieniveau te bekijken en te benoemen. Een cirkel, kubus, balk, en bol zijn

allemaal ruimtelijke figuren. Bovendien maken ze kennis met het verschijnsel dat het

denkobject breuk bijvoorbeeld 3

5 als een deling gezien kan worden maar ook als een

getal.


Leerlingen leren:

objecten en bewerkingen die voorkomen in de inhouden uit fase 2 te abstraheren tot

denkobjecten.

eerste stappen te zetten om denkobjecten op hoger abstractieniveau in te delen.



93


Inleiding

Leerlingen abstraheren verder. Ze leren over nieuwe denkobjecten van een nog 'hogere

orde' (een cirkel is een verzameling punten met gelijke afstand tot het middelpunt) en ze

leren andere denkobjecten die uit verzelfstandigde bewerkingen voortkomen

(bijvoorbeeld machten uit vermenigvuldigingen). Ook zetten ze eerste stappen om

nieuwe objecten (bijvoorbeeld variabelen) te construeren uit andere denkobjecten

(getallen). Dat is alleen mogelijk als leerlingen accepteren dat die andere denkobjecten

een werkelijkheid vormen.


Leerlingen leren:

(vervolg)stappen te zetten om objecten en bewerkingen die voorkomen in de

inhouden uit fase 1, 2 en 3 te abstraheren tot denkobjecten.

verdere stappen te zetten om denkobjecten van 'hogere orde' te onderkennen. Te

denken valt aan verbanden VVF, die een beschrijving in tekst, een grafiek, een tabel

en een formule als representatie kennen.

verdere stappen te zetten om verzelfstandigde bewerkingen te abstraheren tot

nieuwe denkobjecten. Te denken valt aan 'nieuwe' getallen als machten, irrationale

wortels en logaritmen GB

stappen te zetten om nieuwe denkobjecten te construeren uit andere. Te denken valt

aan variabelen, die voortkomen uit getallen.




Adviezen voor abstraheren in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs:

Abstraheren is een ingewikkeld proces, waarvoor leerlingen de tijd moeten krijgen. Of

het abstraheren van inhouden tot denkobject nodig is, hangt af van het vervolg van de

leerlijn. Het is voor alle leerlingen van belang te leren abstraheren, maar de mate waarin

en aan de hand van welke inhouden hangt af van het uitstroomprofiel van de leerling en

de variant van wiskunde die beoefend wordt.

[vmbo-gt] Abstraheren komt in de bovenbouw voor leerlingen die door willen stromen

naar havo of naar een technische mbo-opleiding van niveau 4 meer aan bod dan nu het

geval is.

Toelichting


een steeds hoger abstractieniveau

een uitbreiding van het aantal denkobjecten.


elke leerling.


vaardigheden:

Oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan.

94

De inhouden van de volgende bouwsteensets zijn dienend voor deze denken werkwijze:

Meten en meetkunde


Verhoudingen


95

Bouwsteenset 10.1: Logisch redeneren

Bouwsteen PO


Inleiding

In de eerste leerjaren maken leerlingen al buiten rekencontexten kennis met eenvoudige

logische redeneringen die voortkomen uit een dagelijkse situatie. Ze leren beweringen

van de vorm als … dan … te begrijpen en op basis daarvan uitspraken te doen. Ook

binnen rekenen komen de eerste logische redeneringen aan bod. Te denken valt aan

redeneringen als “als twee erbij drie gelijk is aan vijf, dan is vijf eraf drie gelijk aan

twee”. Ook leren ze op basis van voorbeelden vermoedens te uiten en deze te staven aan

de werkelijkheid. Te denken valt aan redeneringen als “Zijn grote dingen altijd zwaarder

dan kleine dingen?”.


Leerlingen leren:

op basis van ervaringen logische uitspraken te doen.NE 5.1

ervaringen te verzamelen om logische uitspraken te onderbouwen of weerleggen.NE 5.1

beweringen van de vorm als … dan … te begrijpen en op basis daarvan uitspraken te

doen. NE 5.1

redeneringen met behulp van als … dan … in eigen bewoordingen onder woorden te

brengen. NE 5.1

hun vermogen logisch te redeneren te ontwikkelen in samenhang met de inhouden

van fase 1 en in samenhang met andere denken werkwijzen.


Inleiding

In de hogere leerjaren worden de logische redeneringen complexer van aard. Ze kennen

meer redeneerstappen. Bovendien wordt van leerlingen een wat formelere redeneerwijze

verwacht. Ten slotte zijn de inhouden waar logische redeneringen op worden toegepast

complexer. Leerlingen leren uitspraken die verkregen zijn door abstraheren te staven of

te weerleggen. Te denken valt aan “Is er bij elke keersom een deelsom te maken?” of

“Zijn alle kubussen balken of zijn alle balken kubussen?”


Leerlingen leren:

redeneringen onder woorden te brengen met gebruikmaking van (in)formele

wiskundetaal.

gegevens of voorbeelden te verzamelen om op basis van de overeenkomsten logische

uitspraken te doen en deze te staven aan meer gegevens of andere voorbeelden.

een eenvoudige logische redenering te geven op basis van beweringen, waarvan

verondersteld wordt dat ze waar zijn.

doorzien dat logisch redeneren kritisch moet gebeuren en tot fouten kan leiden. “Zijn

alle even getallen deelbaar door 6?” Het vinden van drie goede oplossingen wil niet

zeggen dat de redenering waar is voor alle even getallen.GB


96

van fase 2 en in samenhang met andere denken werkwijzen. Te denken valt aan:

Kloppen deze beweringen? "40% van iets is altijd meer dan 30% van iets anders" VE,

"Elk vierkant is een rechthoek" MMK, "Als je twee oneven getallen bij elkaar optelt, is

de uitkomst een even getal" GB.


Inleiding

In de onderbouw van het voortgezet onderwijs neemt de complexiteit van

redeneervraagstukken toe. Er moeten meer redeneerstappen gedaan worden, waarbij

kennis en inzicht uit de inhoudsdomeinen gebruikt moet worden. [havo, vwo] Daarbij is

een formele redeneerwijze van belang. [gt, havo, vwo] Verder leren leerlingen nieuwe

beweringen deductief af te leiden uit beweringen waarvan vastgesteld is dat ze waar zijn.


Leerlingen leren:

[havo, vwo] redeneringen onder woorden te brengen met behulp van formele

wiskundetaal. RC

een complexere logische redenering te geven op basis van beweringen, waarvan

verondersteld wordt dat ze waar zijn. Te denken valt aan: "in een rechthoek snijden

de diagonalen elkaar middendoor. Elke vierkant is een rechthoek. Dus in een vierkant

snijden de diagonalen elkaar middendoor.”

redeneerfouten uit logische redeneringen te halen. Te denken valt aan: “Als je een

even getal vermenigvuldigt met een oneven getal, is de uitkomst een even getal, dus

als je een even getal deelt door een even getal, krijg je een oneven getal.”

regels binnen de wiskunde begrijpen op basis van logische structuren. Te denken valt

aan: “-1∙3 = -3, want dat is een logische voorzetting van het rijtje 2∙3 = 6, 1∙3 = 3,

0∙3 = 0”

het verschil te begrijpen tussen een logische redenering op basis van beweringen,

waarvan verondersteld wordt dat ze waar zijn en een regel die wordt afgeleid uit

overeenkomsten tussen verschillen de voorbeelden. Te denken valt aan: “Het bewijs

dat de som van de hoeken van een driehoek 180 graden is, is van een andere orde

dan het opmeten van de hoeken van een driehoek in drie verschillende driehoeken”.


van deze fase en in samenhang met andere denken werkwijzen. Te denken valt

aan: toon deze beweringen aan: "De som van de hoeken van een driehoek is 180o"

MMK, "Als een getal deelbaar is door 6, dan is hij ook deelbaar door 3" GB. "Als een

driehoek rechthoekig is, dan geldt de Stelling van Pythagoras" MMK.


Logisch redeneren is mogelijk met alle inhouden. Als het logisch redeneren achterwegen

wordt gelaten, verwordt wiskunde tot een opeenstapeling van trucjes. Verder verdient

het aanbeveling dat leerlingen leren te handelen naar het inzicht dat ze hebben

opgedaan in het logisch redeneren om zich verder te ontwikkelen tot een kritische burger BU 03.

Toelichting


97

meer redeneerstappen

formeler taal

complexere inhouden


elke leerling.

Bij deze denken werkwijze wordt beroep gedaan op de volgende brede vaardigheden:

Kritisch denken


Zelfregulering

De inhouden van de volgende bouwsteensets zijn dienend voor deze denken

werkwijzen:

Meten en meetkunde


Verhoudingen


Nederlands: uitspraken doen, argumentatie NE 5.1

Burgerschap: kritische burger BU 0.3

98

Bouwsteenset 11.1: Representeren en communiceren

Bouwsteen PO


Inleiding

In de eerste leerjaren is er veel aandacht voor het representeren van hoeveelheden en

aantallen in woorden, beelden en getalsymbolen. De focus ligt hier op het gebruik van de

juiste begrippen in wiskundetaal. Ook leren leerlingen communiceren met elkaar over

bijvoorbeeld hoeveelheden GB of over hoe je eerlijk kunt meten MMK Dit representeren en

communiceren leren ze binnen alle inhouden die in deze fase worden aangeboden.


Leerlingen leren:

wiskundige begrippen (meer, minder) en wiskundige symbolen ( +, -, =) te

gebruiken NE 5.1.

aantallen te representeren met behulp van materialen en schema's, zoals een punt op

een getallenlijn en cijfersymbolen GB.

objecten en bewerkingen te representeren en er over te communiceren in samenhang

met de inhouden uit fase 1 en in samenhang met de andere denken werkwijzen. Te

denken valt aan: herkennen en benoemen AB of een gegeven figuur een cirkel is of

niet MMK, gegevens representeren in een diagram DSK of andere grafische

representaties en de namen van bijvoorbeeld vlakke figuren kennen en gebruiken

MMK.


Inleiding

In de hogere leerjaren worden de representaties complexer van aard en de communicatie

wordt formeler: leerlingen maken meer gebruik van wiskundige begrippen, formuleringen

en wiskundetaal. Leerlingen kunnen keuzes voor bepaalde representaties verantwoorden.


Leerlingen leren:

dat er verschillende representaties kunnen zijn voor eenzelfde object of bewerking.

Te denken valt aan een breuk weergeven in de vorm a

b of a 𝑏⁄ GB, VE, een deling

schrijven met verschillende deeltekens ÷, : en / GB , verschillende representaties

gebruiken voor een verhouding zoals een breuk, een percentage of een omschrijving

van de vorm "… op de …" VE.

deze verschillende representaties in elkaar om te zetten.

een passende representatie te kiezen in een gegeven situatie. Te denken valt aan het

weergeven van maten (10 000 meter als afstand bij schaatswedstrijden, maar 10

kilometer als afstand bij een autorit) MMK, het weergeven van grote getallen met

'miljoen' en 'miljard' of uitgeschreven in cijfers GB , de keuze voor een bepaald

diagram om gegevens weer te geven DSK.

dat er regels zijn voor correct wiskundig taalgebruik en wat het belang is van het

correct toepassen van deze regels. Te denken valt aan het gebruik van haakjes en

wat er gebeurt bij het ontbreken van haakjes GB.

99


met de inhouden uit fase 2 en in samenhang met de andere denken werkwijzen. Te

denken valt aan gegevens in tabellen en diagrammen DSK en 2D-representaties van

3D-figuren zoals aanzichten en plattegronden MMK.


Inleiding

In de onderbouw van het voortgezet onderwijs wordt de lijn uit het primair onderwijs

voortgezet, waarbij de representaties en communicatie nog complexer en formeler van

aard zijn, ook komen er nieuwe bij. Leerlingen leren formele wiskundetaal te gebruiken

en kritisch te zijn op onjuist gebruik hiervan.


Leerlingen leren:

formele vaktaal en wiskundige symbolen te herkennen en te gebruiken in gesproken

en geschreven tekst. Te denken valt aan begrippen als coördinaten, wortels en π ,

maar ook het verkort noteren van 2 x 2 x 2 naar 23 en deze uitkomst correct uit te

spreken als '2 tot de macht 3' GB. Of: gebruik van woord- of lettervariabelen in

formules VVF.

verschillende representaties van wiskundige objecten te maken met behulp van

wiskundige gereedschappen zoals passer, geodriehoek, gradenboog en digitale

gereedschappen GT.

verschillende representaties van wiskundige objecten of bewerkingen in elkaar om te

zetten. Te denken valt aan het omzetten van een formule in een tabel of een grafiek

VVF, DSK.

kritisch te zijn op representaties en dit kunnen verwoorden (fact-checking) DSK.


met de inhouden uit deze fase en in samenhang met de andere denken werkwijzen.


Maak onderscheid tussen uitstroomprofielen en wiskundevarianten op basis van nut en

noodzaak van formeel wiskundig taalgebruik.

Betrek correct communiceren over en met wiskunde in bijvoorbeeld profielwerkstukken.

Stem correct gebruik van representaties af met andere leergebieden.

[vmbo-gt] Voor leerlingen die willen doorstromen naar havo of een technische mbo-

opleiding van niveau 4 komen in de bovenbouw formelere representaties aan bod dan nu

het geval is. Te denken valt aan de representatie van de Stelling van Pythagoras in de

vorm a2 + b2 = c2 in plaats van in de vorm van een werkschema.

Toelichting


complexiteit van representaties en begrippen.

toename van het aantal wiskundige begrippen en vaktaal.

communicatie op abstracter (formeler) niveau.


elke leerling.

100


Communiceren


werkwijzen:

Meten en meetkunde


Verhoudingen

Data, statistiek en kans


Nederlands: woordenschat, vaktaal, communicatie NE 5.1

101

Bouwsteenset 12.1: Modelleren

Bouwsteen PO


Inleiding

In deze fase gaat modelleren over het beschrijven van een situatie met behulp van

reken-wiskundetaal en symbolen. Leerlingen leren schematische tekeningen te maken bij

situaties en met behulp daarvan vragen te beantwoorden. Tot slot vertaalt de leerling het

antwoord terug naar de concrete situatie. In deze fase beperkt het wiskundig modelleren

zich tot het domein getallen en bewerkingen. Een belangrijk aspect van modelleren is

een vereenvoudiging van de werkelijkheid, waardoor het antwoord kan afwijken van het

werkelijke antwoord. Dat is in deze fase niet of nauwelijks aan de orde.


Leerlingen leren:

een redenering te geven met behulp van een ‘rechthoekmodel’. Te denken valt aan:

Je hebt drie rijen van vijf blokjes. Laat zien dat je deze blokjes ook kunt verdelen in

vijf rijen van drie blokjes. Antwoord: drie rijen van vijf blokjes is 3 × 5 blokjes en vijf

rijen van drie blokjes is 5 × 3 blokjes. Omdat 3 × 5 = 5 × 3 klopt het.

schematiseren van een concrete situatie. Te denken valt aan het uittekenen op de

getallenlijn bij de volgende situatie “Tijdens de gymles wordt er tikkertje gespeeld. Er

zijn 29 kinderen in het veld. De tikker tikt eerst 5 kinderen af. Daarna nog eens 6.”

vertalen van een concrete situatie, al dan niet via een schema, naar een formele

berekening. Te denken valt aan het opstellen van de berekening 29 – 5 – 6 = bij

bovenstaande situatie.

het gevonden antwoord op de berekening terug te vertalen naar de concrete situatie.

Te denken valt aan het vertalen van het getal 18 naar het antwoord op de vraag

“Hoeveel kinderen zijn er over?”, oftewel 18 kinderen.

modelleren in samenhang met de inhouden uit fase 2 en in samenhang met de



Inleiding

In de hogere jaren van het primair onderwijs leren leerlingen meerdere schema’s en

modellen te gebruiken en een verstandige keuze hieruit te maken. Daarnaast leren ze die

ook toe te passen op andere inhouden en in complexere situaties. Wiskundig modelleren

kan nu ook op de onderwerpen verhoudingen, meetkunde en combinatoriek toegepast

worden. In deze fase komen ook situaties aan bod waarin gegevens ontbreken of meer

gegevens voorhanden zijn dan nodig.


Leerlingen leren:

een concrete situatie te schematiseren waarbij leerlingen een keuze maken voor een

passend ‘schema’.

een concrete situatie, te vertalen naar een wiskundig model. Te denken valt aan een

tabel, een meetkundig plaatje of een berekening.

102

overbodige gegevens te negeren en ontbrekende gegevens aan te vullen. Te denken

valt aan 'Voor een concert is een veld van 100 m bij 50 m beschikbaar. Het concert is

volledig uitverkocht en het veld staat helemaal vol met fans. Hoeveel fans denk je dat

er aanwezig kunnen zijn?'


andere denken werkwijzen. Te denken valt aan het gebruik van een

verhoudingstabel als je wilt uitrekenen welk pak frisdrank in verhouding het

goedkoopst is VE.


Inleiding

In de onderbouw van het voortgezet onderwijs leren leerlingen in het bijzonder

wiskundige modellen te maken met variabelen en formules, en hiermee te rekenen en te

redeneren. Ook kansmodellen doen hun intrede in de vorm van berekeningen bij

boomdiagrammen. Ze leren te rekenen met en te redeneren over deze beschreven

modellen en er voorspellingen mee te doen.

Leerlingen zijn zich ervan bewust dat ze een modelleercyclus volgen (schematiseren,

maken van een wiskundig model, rekenen binnen het model, terugvertalen naar de

werkelijkheid, reflecteren op het antwoord en de gekozen route). Bij het schematiseren

laten leerlingen nu ook variabelen weg, om de werkelijke situatie te vereenvoudigen,

zodat eraan gerekend kan worden.


Leerlingen leren:

te redeneren met behulp van modellen. Te denken valt aan: als de spanning in een

stroomkring twee keer zo groot wordt, neemt de stroomsterkte ook met een factor

twee toe. Of: Als we in een stroomkring met een weerstand eenzelfde weerstand

parallel schakelen, neemt de stroomsterkte met een factor twee toe. Maar als we

deze weerstand in serie bijschakelen, halveert de stroomsterkte.

een concrete situatie te schematiseren waarbij leerlingen een keuze maken voor een

passend ‘schema’ in complexere situaties. Ze leren overbodige gegevens te negeren

en ontbrekende gegevens aan te vullen.

een concrete situatie, al dan niet via een ‘schema’, te vertalen naar een wiskundig

model. Te denken valt aan een tabel, een meetkundig plaatje, een berekening, een

formule of een kansmodel. Ook maken ze keuzes in welke variabelen wel en niet

meegenomen worden in de beschrijving van het model.

de uitkomst binnen het model te vinden, terug te vertalen naar de werkelijke situatie

en kritisch te beschouwen of de juiste keuzes gemaakt zijn bij de keuze van de

variabelen en het ontwerpen van het model. Op basis van de kritische beschouwing

kunnen de keuzes aangepast worden.


andere denken werkwijzen. Te denken valt aan het gebruik van een

verhoudingstabel als je wilt uitrekenen welk pak frisdrank in verhouding het

goedkoopst is VE. Te denken valt aan het oplossen van optimaliseringsproblemen PR

door een model van de situatie op te stellen VVF of op basis van een tegelpatroon van

witte en zwarte tegels een formule op te stellen voor het aantal witte, zwarte en

totaal aantal tegels. VVF, MMK

103


Adviezen over modelleren voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs.

Ontwikkel modelleervaardigheid verder bij toepassingen in de wiskundevakken en

vooral bij andere vakken. Te denken valt aan modellen die het gedrag van

natuurwetenschappelijke verschijnselen beschrijven MN 3.3, macro-economische

modellen, kansexperimenten die gemodelleerd worden met behulp van de normale

verdeling en een regressielijn bij een puntenwolk DSK.

Maak bij het bovenstaande ook gebruik van technologie GTT.

Denk ook eens aan problemen die voorkomen in wiskundewedstrijden zoals

bijvoorbeeld de wiskunde A-lympiade en de wiskunde B-dag.

Toelichting


de toename van het aantal verschillende wiskundedomeinen waaruit kennis

betrokken moet worden.

de opbouw vanuit een schematische voorstelling naar een beschrijving met

wiskundige formalismen.

geen wiskundige aannamen hoeven doen naar het zelfstandig maken van

wiskundige aannamen.

Het OT vindt het belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van elke

leerling.



Kritisch denken en handelen

Zelfregulering


werkwijzen:


Verhoudingen

Meten en meetkunde


Informatie, statistiek en kans



Mens en Natuur MN 3.3

104

Bouwsteenset 13.1: Algoritmisch denken

Bouwsteen PO


Inleiding

Als je bij het aankleden eerst je schoenen aandoet, zullen hele jonge kinderen meteen

aangeven dat het zo niet 'hoort': Als je eerst je schoenen aandoet, kun je je sokken

immers niet meer aandoen. In veel situaties leren ze dat er een vaste volgorde is, een

stappenplan dat je moet volgen. Is dat eerst vooral imiterend, daarna ervaren ze het ook

zelf bij bijvoorbeeld het maken van een wagentje van lego aan de hand van het

stappenplan in het doosje. In deze eerste fase gaat het er niet alleen om dat kinderen

kennismaken met 'vaste volgordes', maar ook dat ze de noodzaak hiervan (h)erkennen.

Dit is een eerste kennismaking met 'algoritmisch denken'.


Leerlingen leren:

wat een stappenplan met een vaste volgorde is (algoritme) en leren voorbeelden te

geven uit het dagelijks leven (de routebeschrijving van huis naar school MMK, bij een

spelletje spelen de stappen volgen in je beurt).

uit te leggen of het werken volgens een vaste volgorde noodzakelijk is of niet in een

gegeven situatie. Te denken valt aan: bij een routebeschrijving MMK naar huis is een

vaste volgorde hoe je moet lopen wel belangrijk, bij het tafeldekken is dat minder

noodzakelijk. Ze denken ook na over de gevolgen als je niet volgens een vaste

volgorde werkt.

eenvoudige stappenplannen (algoritmen) te beschrijven in woorden. Te denken valt

aan een beschrijving van de volgorde waarin je je kleren aantrekt en hoe je een

figuur maakt met een vouwblaadje.

algoritmisch te denken in samenhang met de wiskundige inhouden uit fase 1 en in

samenhang met de andere denken werkwijzen. Te denken valt aan jonge kinderen

die een route maken MMK voor een robotje door te programmeren GT.


Inleiding

In de hogere leerjaren van het primair onderwijs leren de leerlingen niet alleen

algoritmen herkennen en uit te voeren, maar ook eenvoudige algoritmen zelf te

schrijven. Denk aan algoritmes van vaste procedures die ze leren (cijferen, kortingen

berekenen) en het schrijven van eenvoudige programmeertaal. Ook leren ze deze

beschrijvingen steeds meer formeel te noteren.


Leerlingen leren:

uit te leggen wat een algoritme is en eenvoudige algoritmen op formele wijze te

beschrijven met een opeenvolging van instructies en met als-dan-formuleringen. Te

denken valt aan het beschrijven van de stappen bij cijferen GB.

van eenvoudige problemen een oplossingsstrategie als een algoritme te beschrijven.

Te denken valt aan een algoritme om uit te rekenen wat je voor iets moet betalen als

je een bepaald percentage korting krijgt VE.

105

algoritmisch te denken in samenhang met de inhouden uit fase 2 en in samenhang

met de andere denken werkwijzen. Te denken valt aan het beschrijven van de wijze

waarop je een opgave met meerdere rekenbewerkingen GB doet, beschrijven hoe je

een patroon met specifieke karakteristieken kunt voortzetten VVF.


Inleiding

In de onderbouw van het voortgezet onderwijs bouwen de leerlingen voort op hun kennis

en vaardigheden die ze in het primair onderwijs hebben opgedaan. Ze leren gebruik te

maken van alle structuren die in een formeel beschreven algoritme voor kunnen komen,

zoals herhalingen, wiskundige bewerkingen, aantal te nemen stappen en

voorwaardelijkheid. Tevens maken leerlingen kennis met hoe instellingen en bedrijven

algoritmen gebruiken MM 3.1.


Leerlingen leren:

algoritmen op formele wijze te beschrijven, bijvoorbeeld het beschrijven van een

algoritme om de grootste gemene deler van twee positieve getallen te bepalen GB.

de programmeertaal van de digitale gereedschappen die ze tot hun beschikking

hebben en die daartoe geschikt zijn te gebruiken en hiermee eenvoudige

programma’s DG 3.2 te schrijven. Te denken valt aan een programma dat een

vergelijking oplost VVF, VB.

zich een voorstelling te maken van algoritmen die instellingen en bedrijven gebruiken

om een gepersonaliseerd aanbod van producten, diensten en content te doen MM 3.1.

algoritmen voor standaardprocedures en problemen van een specifiek type,

kwalitatief met elkaar te vergelijken op effectiviteit en efficiëntie. Te denken valt aan:

het vergelijken van een algoritme dat de grootste gemene deler van twee getallen

door middel van systematisch uitproberen bepaalt met het algoritme van Euclides.

algoritmisch te denken in samenhang met de inhouden uit deze fase en in samenhang

met de andere denken werkwijzen. Te denken valt aan beschrijving van het

inklemmen bij het oplossen van een vergelijking VVF of [havo/vwo] van het vinden van

alle priemgetallen lager dan een gegeven getal met behulp van een honderdveld

waarop veelvouden kunnen worden weggestreept (de Zeef van Eratosthenes) GB.


Adviezen voor algoritmisch denken in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs:

Een leerling die zich in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs verder wenst te

bekwamen in algoritmisch denken, kan een informaticavak volgen. In die vakken

komt ook het coderen van algoritmen aan bod, zodat een computer een algoritme

kan uitvoeren.

[havo/vwo] Verder kent informatica een aanzienlijke uitbreiding van kennis over

algoritmen. Algoritmisch denken in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs kan

zich in het leergebied Rekenen & Wiskunde beperken tot gebruik en onderhoud.

Verder is het van belang dat leerlingen leren te handelen naar het inzicht dat ze

hebben opgedaan in het gebruik van algoritmen die instellingen en bedrijven

hanteren.

106

Toelichting


complexiteit van situaties die een algoritme bevatten.

Van het herkennen van een algoritme naar het beschrijven ervan.

toename van het aantal wiskundige begrippen en vaktaal.

Wijze van beschrijvingen wordt formeler.


elke leerling.


vaardigheden:

Kritisch denken

Communiceren


werkwijzen:

Meten en meetkunde


Verbanden, variabelen en formules



Nederlands: woordenschat, vaktaal, communicatie NE 5.1

Digitale geletterdheid DG 3.2

Mens en Maatschappij MM 3.1

107

BIJLAGE 1: BEGRIPPENLIJST

Abstraheren Het uit probleemsituaties isoleren van specifieke

overeenkomsten en verschillen, zodat deze als nieuwe,

opzichzelfstaande entiteiten kunnen worden onderzocht

Automatiseren Het vrijwel routinematig uitvoeren van rekenhandelingen

Begripsvorming Het verwerven van inzicht met betrekking tot een concept

Wiskundige denken

werkwijzen

Domeinonafhankelijke rekenen wiskundevermogens van

een leerling Beheersing van routinevaardigheden en van

domeinonafhankelijke vaardigheden als

probleemoplossen en logisch redeneren maken deel uit

van wiskundige denken werkwijzen

Complexe getallen Een complex getal wordt weergegeven wordt als a + b ∙ i

waarbij i 2 = − 1.

Complexiteit Hoe moeilijk een reken-/wiskundige taak is die leerlingen

moeten (kunnen) uitvoeren

Concept Een rekenen/of wiskundig begripselement, zoals Getal,

Verhouding en Verandering, dat in het hoofd van een

leerling deel uit maakt van een mentaal netwerk

Construeren Een figuur vervaardigen met behulp van niet meer dan

een rechte liniaal, een passer en schrijfgerei

Context Een betekenisvolle situatie waarbinnen rekenen en

wiskunde kan worden toegepast of waarbinnen rekenen

en wiskunde kan worden geleerd

Denkniveau

Handelingsniveau

Geeft weer in welke mate een bekwaamheid in

leerlinggedrag zichtbaar is of moet zijn

Diagram Een schematische, grafische weergave van een proces of

van een aantal grootheden en hun onderlinge verband

Domein Een samenhangende verzameling inhouden

Examenprofiel Natuur & techniek, natuur & gezondheid, economie &

maatschappij en cultuur & maatschappij in havo en vwo

Tien beroepsgerichte profielen in het vmbo

Formeel rekenen Rekenen dat als voorkennis voor wiskunde dient.

108

Functioneel rekenen Rekenen dat dient om situaties uit de praktijk het hoofd

te bieden.

Gegevens of data Onbewerkte letters, cijfers en andere of andersoortige

symbolen die voor iemand geen betekenis hebben.

Grafiek Een visuele representatie van een hoeveelheid gegevens

waarbij de relatie tussen die gegevens zichtbaar is

gemaakt.

Herleiden Een formule of vergelijking in een eenvoudigere vorm

uitdrukken

Informatie Al dan niet bewerkte gegevens die voor iemand betekenis

hebben en die bijdragen aan diens kennis ergens van.

Inhoud Onderwerpen uit het leergebied Rekenen & Wiskunde die

deel uit maken van een curriculum

Leerlijn Een beredeneerde opeenvolging van leerdoelen, inhouden

en wiskundige denken werkwijzen die leidt tot een

bepaald einddoel

Leerstof Wat er door leerlingen te leren valt

Bestaat uit inhoud en wiskundige denken werkwijzen

Leerweg Basisberoepsgerichte, kaderberoepsgerichte, gemengde

en theoretische leerweg in het vmbo

Memoriseren Het uit het hoofd leren (inprenten) en kunnen

reproduceren van rekenfeiten, zoals optellingen tot

twintig en de tafels van vermenigvuldiging.

Onderwijssector Primair onderwijs, (voortgezet) speciaal onderwijs,

voortgezet onderwijs, vmbo, havo, vwo

Ontwikkelingslijn Volgens welke route een leerling leert of geleerd heeft

Som Wat je krijgt als je twee getallen (termen) optelt

Rekenen & wiskunde Verzamelnaam voor alle vakken en leerdomeinen met

rekenen en/of wiskunde in hun naam in alle sectoren

Tevens naam van het ontwikkelteam

Toepassing Gebruik van kennis, inzicht en denken werkwijzen om

een probleem in een bepaalde praktijksituatie op te

lossen.

109

Uitstroomperspectief Een perspectief voor leerlingen op uitstroom in een sector

in het voortgezet onderwijs

Wiskundevariant Wiskunde A, B, C en D

110

BIJLAGE 2: BRONNENLIJST

Boaler, J. (2016). Mathematical Mindsets. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons.

Boswinkel, N., & Schram, E. (2012). De Toekomst Telt. Enschede: SLO.

Charles, R. I. (2005). Big Ideas and Understandings as the Foundation for Elementary

and Middle School Mathematics. NCSM Journal of Mathematics Education Leadership,

7(3), 9-24.

Deloitte. (2014). Mathematical sciences and their value for the Dutch economy.

Amsterdam: Platform Wiskunde Nederland.

Dewey, J. (1910). How we think. Boston: D.C Heat & Co.

Drijvers, P, Streun, A. van, & Zwaneveld, L, (2016) Handboek wiskundedidactiek.

Amsterdam: Epsilon Uitgaven.

Eerde, H.A.A. van (2009). Rekenen-wiskunde en taal: een didactisch duo. Panama-Post -

Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 28 (3), (pp. 19-32) (14

p.).

European Commission. (2011). Mathematics Education in Europe: Common Challenges

and National Policies. Brussel: Education, Audiovisual and Culture Executive Agency

Eves, H. (1969). An introduction to the history of mathematics. New York: Holt, Rinehart

and Winston.

Expertgroep Doorlopende Leerlijnen taal en rekenen. (2008). Over de drempels met

rekenen. Enschede: SLO.

Feskens, R., Kuhlemeier, H., & Limpens, G. (2016). Resulaten PISA-2015. Arnhem: Cito.

Folmer, E., Koopmans - van Noorel, A, & Kuiper, W. (Red.). (2017). Curriculumspiegel

2017. Enschede: SLO.

Freudenthal, H. (1968). Why to teach mathematics so as to be useful. Educational

Studies in Mathematics, 1, 3-8.

Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures.

Dordrecht: Reidel.

Gilmore, C., Göbel, S.M., & Inglis, M. (2018). An introduction to mathematical cognition

Oxford: Routledge.

Gravemeijer, K. (2005). Revisiting ‘Mathematics education revisited’. Freudenthal, 100,

pp. 106-113.

Gravemeijer, K., Stephan, M., Julie, C. et al.(2017). What Mathematics Education May

Prepare Students for the Society of the Future? International Journal of Science and

Mathematics Education. 15(Suppl 1): 105. https://doi.org/10.1007/s10763-017-9814-6

Gravemeijer, K. P. (2016). Reken-wiskundeonderwijs voor de 21e eeuw: Zet vooral in op

kennis die een aanvulling is op wat de computer al kan. Tijdschrift voor remedial

teaching, 24(3), 20-22.

111

Gijzen, W., Buter, A., Hereijgens, C., & Weessies, H. (2015). Over de grenzen van de

referentieniveaus - een versneld aanbod in de hele basisschool. Rotterdam: Wijnand

Gijzen Onderwijsadvies.

Hirsch, E.D. (2016). Why knowledge matters. Rescuing our children from failed

educational theories. Cambridge MS: Harvard Education Press.

Hoeven, M. van der, Schmidt, V., Sijbers, J., Silfhout, G. van, Woldhuis, E., & Leeuwen,

B. van. (2017). Leerplankundige analyse PISA 2015. (2017). Enschede: SLO.

Hoogland, K. (2016). Images of numeracy: investigating the effects of visual

representations of problem situations in contextual mathematical problem solving.

Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven.

Hutten, O., Van den Bergh, J., Van den Brom-Snijders, P., & Van Zanten, M. (2014).

Rekendidactiek meten en meetkunde (2e ed.). Amersfoort, Nederland: Thieme

Meulenhoff.

Inspectie van het Onderwijs. (2017). Peil.onderwijs: Taal en rekenen aan het einde van

het basisonderwijs. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs.

Inspectie van het Onderwijs (2017). De Staat van het Onderwijs 2015/2016. Utrecht:

Inspectie van het Onderwijs.

Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen. (2009). Rekenonderwijs op de

basisschool: Analyse en sleutels tot verbetering. Amsterdam: Koninklijke Nederlandse

Akademie van Wetenschappen.

Nelissen, J. M. (2007). Recent onderzoek naar transfer. Reken-wiskundeonderwijs:

onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 26(1), 11-18.

Nelissen, J. M. (2015). Big ideas. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling,

praktijk, 34, 98-101.

Ohlsson, S. (2011). Deep Learning: How the Mind Overrides Experience. Cambridge:

Cambridge University Press.

Oonk, W., & De Goeij, E. T. (2006). Wiskundige attitudevorming. Tijdschrift voor

nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 25(4), 37-39.

Oonk, W., Keijzer, R., Lit, S., Den Engelsen, M., Lek, A., & Van Waveren Hogervorst, C.

(2011). Rekenen-wiskunde in de praktijk: Kerninzichten. Groningen/Houten: Noordhoff

Uitgevers.

Platform Onderwijs 2032. (2016). Ons Onderwijs2032 Eindadvies. Den Haag: Platform

Onderwijs 2032.

Platform Wiskunde Nederland. (2012). Formulas for Insight and Innovation,

Mathematical Sciences in the Netherlands; Vision document 2025. Amsterdam: Platform

Wiskunde Nederland.

Platform Wiskunde Nederland. (2014). Tussen wal en schip. Wiskundig-didactisch

onderwijsonderzoek in Nederland. Amsterdam: Platform Wiskunde Nederland.

112

Rijborz, D. (2018). Op zoek naar een vakoverstijgende didactiek voor rekenen-wiskunde

en aardrijkskunde op de lerarenopleiding basisonderwijs. Volgens Bartjens -

Ontwikkeling en Onderzoek, 47(5), 41-50.

Ruijssenaars, A.J.J.M. et al. (2004). Rekenproblemen en Dyscalculie. Rotterdam:

Lemniscaat B.V.

Schmeier, M. (2017). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Huizen: Uitgeverij Pica.

Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on

processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in

Mathematics, 22(1), 1-36.

Siegler, R.S., Duncan, G.J., Davis – Kean, P.E., Duckworth, K., Claessens A., Engel, M.

Susperreguy, M.I., & Chen M. (2012). Early predictors of high school mathematics

achievement. Psychological Science, 23(7), 691-697.

Sjoers, S. (2017). Sterke rekenaars in het basisonderwijs. Amersfoort: CPS

Onderwijsontwikkeling en advies.

SLO. (z.j.). Cursus Curriculumontwerp. Geraadpleegd op 17 mei 2018 van

http://www.cursuscurriculumontwerp.slo.nl/ariadne/loader.php/projects/slo/leergangond

erwijsontwerpen/site/kennisbank/Doorlopende_leerlijnen.docx/.

Streefland, L. (1982). Subtracting fractions with different denominators. Educational

Studies in Mathematics, 13(3), 233-255.

Streun, A. van (2001). Het denken bevorderen. Geraadpleegd op 8 oktober 2018 van

www.rug.nl.

Treffers, A. (1987). Three dimensions. A model of goal and theory description in

mathematics instruction - The Wiskobas project. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Treffers, A. (2008). Het voorkomen van ongecijferdheid. Reken-wiskundeonderwijs:

onderzoek, ontwikkeling, praktijk 27(3/4), 15-18.

UNESCO. (2012). Challenges in basic mathematics education. Parijs: UNESCO.

Vernieuwingscommissie wiskunde cTWO. (2013). Denken & doen: wiskunde op de havo

en vwo per 2015. Utrecht: Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs

Willingham, D.T. (2008). Critical thinking. Why is it so hard to teach? Arts Education

Policy Review, 109(4), 21-32.

Willingham, D.T. (2012). When can you trust the experts? How to tell good science from

bad in education. Hoboken NJ: John Wiley & Sons, Inc.

Zanten, M. van, & Notten, C. (Red.). (2017). Rekenen-wiskunde in de 21e eeuw.

Enschede/Utrecht: SLO/Panama.

Zanten, M. van. (2017). Leerplankundige verkenning van TIMSS-trends. Enschede: SLO.

Zanten, van M (2018). Klopt dit wel?, Volgens Bartjens, 37(5), 22 – 26.

http://www.cursuscurriculumontwerp.slo.nl/ariadne/loader.php/projects/slo/leergangonderwijsontwerpen/site/kennisbank/Doorlopende_leerlijnen.docx/




http://www.rug.nl/

http://www.rug.nl/

Documents

CONCEPTVOORSTELLEN LEERGEBIED REKENEN EN WISKUNDE...cijfers en symbolen er anders uitzien, maar de wiskundige principes blijven altijd hetzelfde. Deze universele vaktaal is voor ons