Upload
others
View
22
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN "GRIGORE MOISIL"
Ediţia a VIII-a, 1-3 februarie 2013, URZICENI
CLASA A IX-A
________________________________________________________
Subiectul 1. Se consideră numerele naturale , şi notăm
(( ( ) ) ) ( )
Demonstraţi că există numere naturale astfel încât
( ) ( ) ( )
Cristinel Mortici, Târgovişte
Subiectul 2. Fie astfel încât este număr triunghiular. Arătaţi că există
astfel încât şirul ( ) definit pentru fiecare număr prin
cu şi are proprietatea că este număr triunghiular, pentru orice
(Prin număr triunghiular înţelegem orice număr natural de forma ( )
unde ).
* * *
Subiectul 3. Fie un triunghi, mijloacele laturilor respectiv şi punctele
de intersecţie ale simedianei din cu segmentele respectiv
Demonstraţi că unghiurile şi sunt congruente.
GM
Notă: Timp de lucru: 2 ore. Fiecare subiect se va nota de la 1 (din oficiu) la 10.
__________________________________________________Selecţie: Prof. dr. habil. Cristinel Mortici
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN "GRIGORE MOISIL"
Ediţia a VIII-a, 1-3 februarie 2013, URZICENI
CLASA A X-A
________________________________________________________
Subiectul 1. Determinaţi funcţiile ) ) care satisfac simultan proprietăţile:
a) ( ) √ ( ) oricare ar fi ).
b) ( ) oricare ar fi ).
* * *
Subiectul 2. Demonstraţi că pentru orice ( ) şi cu avem:
Cristinel Mortici, Târgovişte
Subiectul 3. Fie ( ) cu şi cu proprietatea că
( )( )
( )
Demonstraţi că numerele
|
| |
| |
|
sunt in progresie geometrică.
GM
Notă: Timp de lucru: 2 ore. Fiecare subiect se va nota de la 1 (din oficiu) la 10.
__________________________________________________Selecţie: Prof. dr. habil. Cristinel Mortici
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN "GRIGORE MOISIL"
Ediţia a VIII-a, 1-3 februarie 2013, URZICENI
CLASA A XI-A
________________________________________________________
Subiectul 1. Fie două numere reale ) fixate. Definim mulţimea
{ ( ) ( ) | { } }
Pentru fiecare notăm cu ( ) suma elementelor matricei . Determinaţi
( )
( )
Dorel Miheţ, Timişoara
Subiectul 2. Fie funcţiile ] cu proprietatea că ( ) ( ),
oricare ar fi şirul ( ) ] cu Demonstraţi că:
a) Pentru orice şir ( ) ] cu , avem ( ) ( )
b) Pentru orice există ( ) astfel încât | ( ) ( )| oricare ar fi ]
şi cu ( )
* * *
Subiectul 3. Fie ( ) cu Demonstraţi că ( ) ( )
GM
Notă: Timp de lucru: 2 ore. Fiecare subiect se va nota de la 1 (din oficiu) la 10.
__________________________________________________Selecţie: Prof. dr. habil. Cristinel Mortici
CONCURSUL INTERJUDEŢEAN "GRIGORE MOISIL"
Ediţia a VIII-a, 1-3 februarie 2013, URZICENI
CLASA A XII-A
________________________________________________________
Subiectul 1. Fie { } un semigrup cu proprietatea că , , .
a) Demonstraţi că sau , pentru orice .
b) Demonstraţi că dacă în plus, este monoid, atunci , oricare ar fi .
Dorel Miheţ, Timişoara
Subiectul 2. Demonstraţi că următoarea limită există şi este finită:
( ∫ (
)
√
)
* * *
Subiectul 3. Determinaţi toate grupurile finite care satisfac simultan proprietăţile:
a) | | nu este divizibil cu
b) are exact | | subgrupuri ciclice.
GM
Notă: Timp de lucru: 2 ore. Fiecare subiect se va nota de la 1 (din oficiu) la 10.
__________________________________________________Selecţie: Prof. dr. habil. Cristinel Mortici