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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 1/24 Matemáticas Discretas TC1003 Módulo I: La Condicional Departamento de Matemáticas ITESM

Condicional 1

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Condicional 1

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Page 1: Condicional 1

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 1/24

Matemáticas DiscretasTC1003

Módulo I: La CondicionalDepartamento de Matemáticas

ITESM

Page 2: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 2/24

Introducción

La forma proposicional más importante es lacondicional.

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 2/24

Introducción

La forma proposicional más importante es lacondicional. También es la que motiva máserrores en su interpretación.

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 2/24

Introducción

La forma proposicional más importante es lacondicional. También es la que motiva máserrores en su interpretación. Esta formacondicional es la relacionada con la inferencialógica.

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 2/24

Introducción

La forma proposicional más importante es lacondicional. También es la que motiva máserrores en su interpretación. Esta formacondicional es la relacionada con la inferencialógica. Revise en su libro de texto condetenimiento todos los conceptos relacionadoscon las condicionales.

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 3/24

Definición de Forma Condicional

Una forma condicional o simplemente unacondicional es una proposición de la forma:

Si P, entonces Q

Donde P y Q son proposiciones.

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 3/24

Definición de Forma Condicional

Una forma condicional o simplemente unacondicional es una proposición de la forma:

Si P, entonces Q

Donde P y Q son proposiciones. A P se le llamarála hipótesis de la condicional o antecedente de laproposicional

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 3/24

Definición de Forma Condicional

Una forma condicional o simplemente unacondicional es una proposición de la forma:

Si P, entonces Q

Donde P y Q son proposiciones. A P se le llamarála hipótesis de la condicional o antecedente de laproposicional y a Q se le llamará conclusión de lacondicional o consecuente de la proposicional.

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 3/24

Definición de Forma Condicional

Una forma condicional o simplemente unacondicional es una proposición de la forma:

Si P, entonces Q

Donde P y Q son proposiciones. A P se le llamarála hipótesis de la condicional o antecedente de laproposicional y a Q se le llamará conclusión de lacondicional o consecuente de la proposicional.

En notación matemática la condicional serárepresentada por:

P → Q

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Ejemplos

■ Si n = m, entonces n+m es par.

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Ejemplos

■ Si n = m, entonces n+m es par.

■ Si n = 0, entonces n+m = m.

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Ejemplos

■ Si n = m, entonces n+m es par.

■ Si n = 0, entonces n+m = m.

■ Si n es múltiplo de 4, entonces n es par.

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 4/24

Ejemplos

■ Si n = m, entonces n+m es par.

■ Si n = 0, entonces n+m = m.

■ Si n es múltiplo de 4, entonces n es par.

■ Si Juan pasa con 80 todos los exámenes deDiscretas, entonces Juan acredita Discretas.

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 4/24

Ejemplos

■ Si n = m, entonces n+m es par.

■ Si n = 0, entonces n+m = m.

■ Si n es múltiplo de 4, entonces n es par.

■ Si Juan pasa con 80 todos los exámenes deDiscretas, entonces Juan acredita Discretas.

■ Si el programa de Juan está correcto, entoncesal ejecutarlo con los datos del profesor producirála salida esperada.

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 4/24

Ejemplos

■ Si n = m, entonces n+m es par.

■ Si n = 0, entonces n+m = m.

■ Si n es múltiplo de 4, entonces n es par.

■ Si Juan pasa con 80 todos los exámenes deDiscretas, entonces Juan acredita Discretas.

■ Si el programa de Juan está correcto, entoncesal ejecutarlo con los datos del profesor producirála salida esperada.

■ Si Tomás resolvió correctamente el problema demate, entonces Tomás obtendrá la respuestacorrecta.

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Alternativas para enunciar P → Q

■ Si P , entonces Q.

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Alternativas para enunciar P → Q

■ Si P , entonces Q.■ Si P , también Q.

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Alternativas para enunciar P → Q

■ Si P , entonces Q.■ Si P , también Q.■ Si P , Q.

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Alternativas para enunciar P → Q

■ Si P , entonces Q.■ Si P , también Q.■ Si P , Q.■ P implica Q.

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 5/24

Alternativas para enunciar P → Q

■ Si P , entonces Q.■ Si P , también Q.■ Si P , Q.■ P implica Q.■ P es suficiente para Q.

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Alternativas para enunciar P → Q

■ Si P , entonces Q.■ Si P , también Q.■ Si P , Q.■ P implica Q.■ P es suficiente para Q.■ Q cuando P .

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 5/24

Alternativas para enunciar P → Q

■ Si P , entonces Q.■ Si P , también Q.■ Si P , Q.■ P implica Q.■ P es suficiente para Q.■ Q cuando P .■ Q cada vez que P .

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 5/24

Alternativas para enunciar P → Q

■ Si P , entonces Q.■ Si P , también Q.■ Si P , Q.■ P implica Q.■ P es suficiente para Q.■ Q cuando P .■ Q cada vez que P .■ Q, si P .

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 5/24

Alternativas para enunciar P → Q

■ Si P , entonces Q.■ Si P , también Q.■ Si P , Q.■ P implica Q.■ P es suficiente para Q.■ Q cuando P .■ Q cada vez que P .■ Q, si P .■ A fin de que Q, basta que P .

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 6/24

Jerarquía de Operadores

Mayor Jeraquía ¬ ∧ ∨ → Menor Jerarquía

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Tabla de Verdad de la Condicional

p q p → q

F F

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Tabla de Verdad de la Condicional

p q p → q

F F T

F T

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Tabla de Verdad de la Condicional

p q p → q

F F T

F T T

T F

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 7/24

Tabla de Verdad de la Condicional

p q p → q

F F T

F T T

T F F

T T

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 7/24

Tabla de Verdad de la Condicional

p q p → q

F F T

F T T

T F F

T T T

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 7/24

Tabla de Verdad de la Condicional

p q p → q

F F T

F T T

T F F

T T TNote que■ Si la hipótesis es falsa, la implicación es

verdadera.■ Si la hipótesis es verdadera, la única posibilidad

de que la implicación sea verdadera es que laconclusión sea verdadera.

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 8/24

Proposicionales complejas con condicionales

Determine la tabla de verdad de: p ∨ ¬q → ¬q.

p q ¬p ¬q p ∨ ¬q p ∨ ¬q → ¬q

F F T T T T

F T T F F T

T F F T T T

T T F F T F

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 8/24

Proposicionales complejas con condicionales

Determine la tabla de verdad de: p ∨ ¬q → ¬q.

p q ¬p ¬q p ∨ ¬q p ∨ ¬q → ¬q

F F T T T T

F T T F F T

T F F T T T

T T F F T F

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 8/24

Proposicionales complejas con condicionales

Determine la tabla de verdad de: p ∨ ¬q → ¬q.

p q ¬p ¬q p ∨ ¬q p ∨ ¬q → ¬q

F F T T T T

F T T F F T

T F F T T T

T T F F T F

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 8/24

Proposicionales complejas con condicionales

Determine la tabla de verdad de: p ∨ ¬q → ¬q.

p q ¬p ¬q p ∨ ¬q p ∨ ¬q → ¬q

F F T T T T

F T T F F T

T F F T T T

T T F F T F

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 8/24

Proposicionales complejas con condicionales

Determine la tabla de verdad de: p ∨ ¬q → ¬q.

p q ¬p ¬q p ∨ ¬q p ∨ ¬q → ¬q

F F T T T T

F T T F F T

T F F T T T

T T F F T F

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Proposicionales complejas con condicionales

Determine la tabla de verdad de: p ∨ ¬q → ¬q.

p q ¬p ¬q p ∨ ¬q p ∨ ¬q → ¬q

F F T T T T

F T T F F T

T F F T T T

T T F F T F

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 9/24

Proposicionales complejas con condicionales

Determine la tabla de verdad de: p → q ∨ r.

p q r q ∨ r p → q ∨ r

F F F F T

F F T T T

F T F T T

F T T T T

T F F F F

T F T T T

T T F T T

T T T T T

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 9/24

Proposicionales complejas con condicionales

Determine la tabla de verdad de: p → q ∨ r.

p q r q ∨ r p → q ∨ r

F F F F T

F F T T T

F T F T T

F T T T T

T F F F F

T F T T T

T T F T T

T T T T T

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Proposicionales complejas con condicionales

Determine la tabla de verdad de: p → q ∨ r.

p q r q ∨ r p → q ∨ r

F F F F T

F F T T T

F T F T T

F T T T T

T F F F F

T F T T T

T T F T T

T T T T T

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Equivalencia Básica de la Condicional

Compruebe la equivalencia básica de lacondicional:

p → q ≡ ¬p ∨ q

p q p → q ¬p ¬p ∨ q

F F T T T

F T T T T

T F F F F

T T T F T

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 10/24

Equivalencia Básica de la Condicional

Compruebe la equivalencia básica de lacondicional:

p → q ≡ ¬p ∨ q

p q p → q ¬p ¬p ∨ q

F F T T T

F T T T T

T F F F F

T T T F T

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 10/24

Equivalencia Básica de la Condicional

Compruebe la equivalencia básica de lacondicional:

p → q ≡ ¬p ∨ q

p q p → q ¬p ¬p ∨ q

F F T T T

F T T T T

T F F F F

T T T F T

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Equivalencia Básica de la Condicional

Compruebe la equivalencia básica de lacondicional:

p → q ≡ ¬p ∨ q

p q p → q ¬p ¬p ∨ q

F F T T T

F T T T T

T F F F F

T T T F T

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 10/24

Equivalencia Básica de la Condicional

Compruebe la equivalencia básica de lacondicional:

p → q ≡ ¬p ∨ q

p q p → q ¬p ¬p ∨ q

F F T T T

F T T T T

T F F F F

T T T F T

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La Negación de la Condicional

La negación de la Condicional:

¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q

p q p → q ¬(p → q) ¬q p ∧ ¬q

F F T F T F

F T T F F F

T F F T T T

T T T F F F

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 11/24

La Negación de la Condicional

La negación de la Condicional:

¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q

p q p → q ¬(p → q) ¬q p ∧ ¬q

F F T F T F

F T T F F F

T F F T T T

T T T F F F

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 11/24

La Negación de la Condicional

La negación de la Condicional:

¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q

p q p → q ¬(p → q) ¬q p ∧ ¬q

F F T F T F

F T T F F F

T F F T T T

T T T F F F

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 11/24

La Negación de la Condicional

La negación de la Condicional:

¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q

p q p → q ¬(p → q) ¬q p ∧ ¬q

F F T F T F

F T T F F F

T F F T T T

T T T F F F

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IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

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La Negación de la Condicional

La negación de la Condicional:

¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q

p q p → q ¬(p → q) ¬q p ∧ ¬q

F F T F T F

F T T F F F

T F F T T T

T T T F F F

Page 51: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 11/24

La Negación de la Condicional

La negación de la Condicional:

¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q

p q p → q ¬(p → q) ¬q p ∧ ¬q

F F T F T F

F T T F F F

T F F T T T

T T T F F F

Page 52: Condicional 1

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 12/24

Casos en la Condicional:Compruebe la equivalencia:

p ∨ q → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)

p q r p∨q p ∨ q → r p → r q → r (p → r) ∧

(q → r)

F F F F T T T T

F F T F T T T T

F T F T F T F F

F T T T T T T T

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T T F T F F F F

T T T T T T T T

Page 53: Condicional 1

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 12/24

Casos en la Condicional:Compruebe la equivalencia:

p ∨ q → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)

p q r p∨ q p ∨ q → r p → r q → r (p → r) ∧

(q → r)

F F F F T T T T

F F T F T T T T

F T F T F T F F

F T T T T T T T

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Page 54: Condicional 1

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 12/24

Casos en la Condicional:Compruebe la equivalencia:

p ∨ q → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)

p q r p ∨ q p ∨ q → r p → r q → r (p → r) ∧

(q → r)

F F F F T T T T

F F T F T T T T

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Page 55: Condicional 1

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 12/24

Casos en la Condicional:Compruebe la equivalencia:

p ∨ q → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)

p q r p ∨ q p ∨ q → r p → r q → r (p → r) ∧

(q → r)

F F F F T T T T

F F T F T T T T

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Page 56: Condicional 1

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 12/24

Casos en la Condicional:Compruebe la equivalencia:

p ∨ q → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)

p q r p ∨ q p ∨ q → r p → r q → r (p → r) ∧

(q → r)

F F F F T T T T

F F T F T T T T

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Page 57: Condicional 1

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 12/24

Casos en la Condicional:Compruebe la equivalencia:

p ∨ q → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)

p q r p ∨ q p ∨ q → r p → r q → r (p → r) ∧

(q → r)

F F F F T T T T

F F T F T T T T

F T F T F T F F

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Page 58: Condicional 1

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 12/24

Casos en la Condicional:Compruebe la equivalencia:

p ∨ q → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)

p q r p ∨ q p ∨ q → r p → r q → r (p → r) ∧

(q → r)

F F F F T T T T

F F T F T T T T

F T F T F T F F

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IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 13/24

Variantes de una Condicional

Suponga una condicional P → Q. Otrascondicionales importantes construidas a partir deella son:

Page 60: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 13/24

Variantes de una Condicional

Suponga una condicional P → Q. Otrascondicionales importantes construidas a partir deella son:■ La recírpoca (converse):

Q → P

Page 61: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 13/24

Variantes de una Condicional

Suponga una condicional P → Q. Otrascondicionales importantes construidas a partir deella son:■ La recírpoca (converse):

Q → P

■ La contrapositiva (contrapositive):

¬Q → ¬P

Page 62: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 13/24

Variantes de una Condicional

Suponga una condicional P → Q. Otrascondicionales importantes construidas a partir deella son:■ La recírpoca (converse):

Q → P

■ La contrapositiva (contrapositive):

¬Q → ¬P

■ La inversa (inverse):

¬P → ¬Q

Page 63: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 14/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : Hoy es viernes santo.Q : Mañana es día sábado.

Page 64: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 14/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : Hoy es viernes santo.Q : Mañana es día sábado.

y supongamos que R representa P → Q. Entonces

Page 65: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 14/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : Hoy es viernes santo.Q : Mañana es día sábado.

y supongamos que R representa P → Q. Entonces■ La contrapositiva de R es: Si mañana no es día

sábado, entonces hoy no es viernes santo.

Page 66: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 14/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : Hoy es viernes santo.Q : Mañana es día sábado.

y supongamos que R representa P → Q. Entonces■ La contrapositiva de R es: Si mañana no es día

sábado, entonces hoy no es viernes santo.■ La recíproca de R es: Si mañana es día sábado,

entonces hoy es viernes santo.

Page 67: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 14/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : Hoy es viernes santo.Q : Mañana es día sábado.

y supongamos que R representa P → Q. Entonces■ La contrapositiva de R es: Si mañana no es día

sábado, entonces hoy no es viernes santo.■ La recíproca de R es: Si mañana es día sábado,

entonces hoy es viernes santo.■ La inversa de R es: Si hoy no es viernes santo,

entonces mañana no es día sábado.

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IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 15/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : ABCD es un cuadrado.Q : ABCD es un rectángulo.

Page 69: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 15/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : ABCD es un cuadrado.Q : ABCD es un rectángulo.

y supongamos que R representa P → Q. Entonces

Page 70: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 15/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : ABCD es un cuadrado.Q : ABCD es un rectángulo.

y supongamos que R representa P → Q. Entonces■ La contrapositiva de R es: Si ABCD no es un

rectángulo, entonces ABCD no es un cuadrado.

Page 71: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 15/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : ABCD es un cuadrado.Q : ABCD es un rectángulo.

y supongamos que R representa P → Q. Entonces■ La contrapositiva de R es: Si ABCD no es un

rectángulo, entonces ABCD no es un cuadrado.■ La recíproca de R es: Si ABCD es un rectángulo,

entonces ABCD es un cuadrado.

Page 72: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 15/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : ABCD es un cuadrado.Q : ABCD es un rectángulo.

y supongamos que R representa P → Q. Entonces■ La contrapositiva de R es: Si ABCD no es un

rectángulo, entonces ABCD no es un cuadrado.■ La recíproca de R es: Si ABCD es un rectángulo,

entonces ABCD es un cuadrado.■ La inversa de R es: Si ABCD no es un cuadrado,

entonces ABCD no es un rectángulo.

Page 73: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 16/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : Tomás siguó al pie de la letra las instrucciones.Q : Tomás llegó a su destino.

Page 74: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 16/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : Tomás siguó al pie de la letra las instrucciones.Q : Tomás llegó a su destino.

y supongamos que R representa P → Q. Entonces

Page 75: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 16/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : Tomás siguó al pie de la letra las instrucciones.Q : Tomás llegó a su destino.

y supongamos que R representa P → Q. Entonces■ La contrapositiva de R es: Si Tomás no llegó a

su destino, entonces Tomás no siguió al pie de laletra las instrucciones.

Page 76: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 16/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : Tomás siguó al pie de la letra las instrucciones.Q : Tomás llegó a su destino.

y supongamos que R representa P → Q. Entonces■ La contrapositiva de R es: Si Tomás no llegó a

su destino, entonces Tomás no siguió al pie de laletra las instrucciones.

■ La recíproca de R es: Si Tomás llegó a sudestino, entonces Tomás siguió al pie de la letralas instrucciones.

Page 77: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 16/24

Ejemplos de las variantes de una condicional

SiP : Tomás siguó al pie de la letra las instrucciones.Q : Tomás llegó a su destino.

y supongamos que R representa P → Q. Entonces■ La contrapositiva de R es: Si Tomás no llegó a

su destino, entonces Tomás no siguió al pie de laletra las instrucciones.

■ La recíproca de R es: Si Tomás llegó a sudestino, entonces Tomás siguió al pie de la letralas instrucciones.

■ La inversa de R es: Si Tomás no siguió al pie dela letra las instrucciones, entonces Tomás nollegó a su destino.

Page 78: Condicional 1

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 17/24

Tabla de verdad de una Condicional y su variantesp q ¬p ¬q p → q q → p ¬p → ¬q ¬q → ¬p

F F T T T T T T

F T T F T F F T

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T T F F T T T T

Page 79: Condicional 1

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 17/24

Tabla de verdad de una Condicional y su variantesp q ¬p ¬q p → q q → p ¬p → ¬q ¬q → ¬p

F F T T T T T T

F T T F T F F T

T F F T F T T F

T T F F T T T T

Page 80: Condicional 1

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 17/24

Tabla de verdad de una Condicional y su variantesp q ¬p ¬q p → q q → p ¬p → ¬q ¬q → ¬p

F F T T T T T T

F T T F T F F T

T F F T F T T F

T T F F T T T T

Page 81: Condicional 1

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 17/24

Tabla de verdad de una Condicional y su variantesp q ¬p ¬q p → q q → p ¬p → ¬q ¬q → ¬p

F F T T T T T T

F T T F T F F T

T F F T F T T F

T T F F T T T T

La condicional y su contrapositiva sı son equivalentes:

p → q ≡ ¬q → ¬p

Page 82: Condicional 1

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 17/24

Tabla de verdad de una Condicional y su variantesp q ¬p ¬q p → q q → p ¬p → ¬q ¬q → ¬p

F F T T T T T T

F T T F T F F T

T F F T F T T F

T T F F T T T T

La condicional y su contrapositiva sı son equivalentes:

p → q ≡ ¬q → ¬p

La condicional y su recíproca no son equivalentes:

p → q 6≡ q → p

Page 83: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 18/24

Segunda vista de es requisito para

Cuando se dice

A es un requisito para B

Page 84: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 18/24

Segunda vista de es requisito para

Cuando se dice

A es un requisito para B

Se está diciendo que:

Si no se cumple A, entonces no se cumple B

Page 85: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 18/24

Segunda vista de es requisito para

Cuando se dice

A es un requisito para B

Se está diciendo que:

Si no se cumple A, entonces no se cumple B

Es decir,¬A → ¬B

Page 86: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 18/24

Segunda vista de es requisito para

Cuando se dice

A es un requisito para B

Se está diciendo que:

Si no se cumple A, entonces no se cumple B

Es decir,¬A → ¬B

Esta es la contrapositiva de

B → A

Page 87: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 18/24

Segunda vista de es requisito para

Cuando se dice

A es un requisito para B

Se está diciendo que:

Si no se cumple A, entonces no se cumple B

Es decir,¬A → ¬B

Esta es la contrapositiva de

B → A

Por ello es que

A es un requisito para B se convierte enB→A

Page 88: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 19/24

Segunda vista de sólo si

Cuando se dice

A sólo si B

Page 89: Condicional 1

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 19/24

Segunda vista de sólo si

Cuando se dice

A sólo si B

Se está diciendo que:

Si no se cumple B, entonces no se cumple A

Page 90: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 19/24

Segunda vista de sólo si

Cuando se dice

A sólo si B

Se está diciendo que:

Si no se cumple B, entonces no se cumple A

Es decir,¬B → ¬A

Page 91: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 19/24

Segunda vista de sólo si

Cuando se dice

A sólo si B

Se está diciendo que:

Si no se cumple B, entonces no se cumple A

Es decir,¬B → ¬A

Esta es la contrapositiva de

A → B

Page 92: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 19/24

Segunda vista de sólo si

Cuando se dice

A sólo si B

Se está diciendo que:

Si no se cumple B, entonces no se cumple A

Es decir,¬B → ¬A

Esta es la contrapositiva de

A → B

Por ello es que

A sólo si B se convierte en A → B

Page 93: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 20/24

Observe las construcciones

Q siP y P sólo siQ

la palabra sólo cambia la posición de loselementos de la implicación P → Q. SiP : Tener a tiempo el depósitoQ: Ir a McAllenEn las afirmaciones:■ Noel dijo: Iré a McAllen si tengo a tiempo el

depósito (P → Q). P es una condición suficientepara Q. Noel posiblemente tiene otras manerasde llegar.

■ León dijo: Iré a McAllen sólo si tengo a tiempo eldepósito (Q → P ). P es una condición necesariapara Q. León tiene solo una manera de hacerlo.

Page 94: Condicional 1

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 21/24

La Bicondicional

Una forma bicondicional es una proposición de laforma:

Page 95: Condicional 1

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 21/24

La Bicondicional

Una forma bicondicional es una proposición de laforma:

P si y solamente si Q

donde P y Q son proposiciones.

Page 96: Condicional 1

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 21/24

La Bicondicional

Una forma bicondicional es una proposición de laforma:

P si y solamente si Q

donde P y Q son proposiciones. Esta proposiciónserá representada con la notación:

P ↔ Q

Page 97: Condicional 1

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Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 21/24

La Bicondicional

Una forma bicondicional es una proposición de laforma:

P si y solamente si Q

donde P y Q son proposiciones. Esta proposiciónserá representada con la notación:

P ↔ Q

Esta proposición es verdadera si P y Q tienen losmismos valores de verdad (verdadero o falso).

Page 98: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 22/24

Tabla de Verdad de la Bicondicional

p q p ↔ q

F F

Page 99: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 22/24

Tabla de Verdad de la Bicondicional

p q p ↔ q

F F T

F T

Page 100: Condicional 1

IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 22/24

Tabla de Verdad de la Bicondicional

p q p ↔ q

F F T

F T F

T F

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IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 22/24

Tabla de Verdad de la Bicondicional

p q p ↔ q

F F T

F T F

T F F

T T

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IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 22/24

Tabla de Verdad de la Bicondicional

p q p ↔ q

F F T

F T F

T F F

T T T

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IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 23/24

Variantes de estilo de la bicondicional

■ Si P entonces Q, y recíprocamente, si Qentonces P .

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IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 23/24

Variantes de estilo de la bicondicional

■ Si P entonces Q, y recíprocamente, si Qentonces P .

■ Si P entonces Q, y recíprocamente.

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IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 23/24

Variantes de estilo de la bicondicional

■ Si P entonces Q, y recíprocamente, si Qentonces P .

■ Si P entonces Q, y recíprocamente.■ Si P , y sólo entonces, Q.

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IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 23/24

Variantes de estilo de la bicondicional

■ Si P entonces Q, y recíprocamente, si Qentonces P .

■ Si P entonces Q, y recíprocamente.■ Si P , y sólo entonces, Q.■ P si Q, y sólo entonces.

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IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 23/24

Variantes de estilo de la bicondicional

■ Si P entonces Q, y recíprocamente, si Qentonces P .

■ Si P entonces Q, y recíprocamente.■ Si P , y sólo entonces, Q.■ P si Q, y sólo entonces.■ P si y sólo si Q.

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IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 23/24

Variantes de estilo de la bicondicional

■ Si P entonces Q, y recíprocamente, si Qentonces P .

■ Si P entonces Q, y recíprocamente.■ Si P , y sólo entonces, Q.■ P si Q, y sólo entonces.■ P si y sólo si Q.■ A fin de que P es necesario y suficiente que Q.

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IntroduccionLa CondicionalEjemplos 1AlternativasJerarquıa de nuevoTabla de VerdadEjemplo 2Ejemplo 3EquivaenciaNegacionVariantesEjemplo 4Ejemplo 5EjemploEstilossolo si de nuevoLa BicondicionalTabla BicondicionalVariantesBicondicionalSumario

Módulo I: La Condicional Matemáticas Discretas - p. 24/24

Temas Vistos

■ La proposición condicional■ Conversión de Texto a FBF con la condicional■ Equivalencias de la condicional■ Variantes de la condicional: La contrapositiva, la

recíproca y la inversa.■ La bicondicional