Conducteurs en Equilibre

8/10/2019 Conducteurs en Equilibre

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Electrostatique : rvisions de SupConducteurs en quilibre lectrostatique


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Electrostatique : rvisions de sup, conducteurs en quilibre, transparents de cours, MP, Lyce Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

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Electrostatique : rvisions de Sup

Conducteurs en quilibre lectrostatique

I) Electrostatique ; rvisions de sup :

1 Loi de Coulomb, calculs direct du champ et du potentiel :


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3

* Gradient dune somme et dun produit :

[ ] [ ] [ ])()()()( rggradrfgradrgrfgrad rrrr

+=+

[ ] [ ] [ ])().()().()().( rggradrfrfgradrgrgrfgrad rrrrrr

+=

* En tout point, le gradient du champ scalaire )(rf r

est perpendiculaire la surface de niveau (la

surface iso-f) passant par ce point et il est dirig suivant la direction de variation la plus rapide de)(rf

r

, dans le sens des valeurs croissantes de )(rf r

.

Exemple en lectrostatique :

Les lignes de champs sont perpendiculaires aux quipotentielles et le champ est dirig vers les

potentiels dcroissants (car ))(( rVgradE r

r

= .


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5/54


5

2 Topographie du champ lectrostatique, lignes de champs et surfaces quipotentielles :


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7/54


7


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8

3 Le thorme de Gauss, quations locales de llectrostatique :

Ce thorme a t dmontr en 1re anne ; on peut lutiliser comme point de dpart pour

dmontrer la relation de Green-Ostrogradsky et prsenter linterprtation locale de loprateurdivergence.

On considre un volume lmentaire en coordonnes cartsiennes d= dxdydz. On montre quele flux lmentaire sortant de ce volume vaut :


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9

dz

E

y

E

x

Ed z

yx

+

+

=

Soit : (interprtation locale de la divergence)

Edivd

d r

=

Lcriture locale du thorme de Gauss sen dduit :

0=Ediv

r

Et on dmontre ainsi le thorme de Green-Ostrogradsky : (valable finalement pour tout champvectoriel)

dEdivdSnEsoitdEdivdVS

r

r

rr

== )()( .


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10

Thorme de Gauss pour le champ gravitationnel :


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11

Equations locales :

Remarque sur les oprateurs :

Retour sur loprateur gradient :

zyx uz

Vu

y

Vu

x

VVVgrad

rrr

r

+

+

==


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12

zyx uzuyux

rrr

r

+

+

= (oprateur nabla )

EEdivrrr

.=

EErotrrr

=

On retrouve alors facilement les expressions des ces oprateurs mais en coordonnes cartsiennes

uniquement ! (dans les autres systmes de coordonnes, il faut soit utiliser un formulaire ou alorsretrouver lexpression de ces oprateurs quand par exemple les symtries sont fortes et seule ladistance r intervient).

Les expressions suivantes ne sont pas connatre :


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13

En coordonnes cylindriques :

z

AA

rr

rA

rz

rAA

r

rA

rAdiv zrzr

+

+

=

+

+

=

)()(1)(1)()()(1

r

Et en coordonnes sphriques :

+

+

=

+

+

=

)(

sin

1)(sin

sin

1)(1)()sin()sin(

sin

12

2

2

2

A

r

A

rr

Ar

r

rAAr

r

Ar

rAdiv rrr

* Divergence dune somme et dun produit :

)()()()( rWdivrVdivrWrVdiv r

r

r

r

r

r

r

r

+=+

[ ] [ ])()()().()()( rVdivrfrVrfgradrVrfdiv rr

rr

r

rr

r

r

+=


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14

* Rotationnel dune somme et dun produit :

[ ] [ ] [ ])()()()( rWrotrVrotrWrVrot r

r

r

r

r

r

r

r

+=+

[ ] [ ])()()()()()( rVrotrfrVrfgradrVrfrot rr

rr

r

rr

r

r

+=

[ ] )().()().()()( rWrotrVrWrVrotrWrVdiv rr

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

=

(Voir le chapitre sur lanalyse vectorielle et un formulaire danalyse vectorielle)

4 Exemples de calculs de champs et de potentiels :

Voir feuilles dexercices.


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5 Relations de passage pour le champ :


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17

Rq1 : le Laplacien est encore not :2=

r

7 Energie lectrostatique :

a Energie dinteraction de deux charges ponctuelles :


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18

b Cas dune distribution discrte de n charges ponctuelles :


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c Energie lectrostatique dune sphre uniformment charge :

On tablit lexpression de lnergie lectrostatique dune sphre de rayon a uniformment chargeen volume, de charge totale Q et de densit volumique de charges .

On construit de manire rversible la sphre en amenant de linfini la charge drrdq 24= , qui

passe donc du potentiel nul au potentiel de la sphre en construction , de rayon r :

0

23

00 3

3

4

4

1)(

4

1)(

r

r

r

r

rQrV ===

Le travail lmentaire quil faut fournir est alors :

[ ] drrr

drrrdqVVrVdqdEWW Plect4

0

2

0

22

3

4

34)()()(

======

On en dduit :


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20

a

qadrrE

a

l

1

20

3

15

4

3

4

0

25

0

24

0

2

0

===

On peut aussi gnraliser la relation obtenue dans le cas de n charges ponctuelles :

dMVME espacel )()(2

1

)(

=

Ici, lintgration se limite au volume de la sphre de rayon a. Avec :

)3(6

)(;)( 22

0

raMVcsteM ===

Alors :

5

0

2222

00 15

44)3(

62

1adrrraE

a

l

==


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21

On peut galement utiliser la densit volumique dnergie lectrostatique :

+

==

a

aespacel drr

r

adrr

rdEE

0

2

2

2

0

32

2

0

0

2

0)(

41

34

32

1

2

1

et on obtient l encore le mme rsultat.

Par analogie, on en dduit lnergie gravitationnelle dune toile (ou dune plante) de masse M etde rayon a :

aGMEgrav

1

5

3 2=


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II) Diple lectrostatique :

1 Dfinition, exemples :


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23

2 Calcul du potentiel dans le cadre de lapproximation dipolaire :


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3 Champ lectrique du diple, topographie :


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25

4 Action dun champ lectrique extrieur, nergie potentielle dinteraction :


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26


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5 Quadriple lectrostatique : voir exercice

El i i i d d ilib d MP L M i (L M ) Oli i G i


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III) Equilibre lectrostatique des conducteurs :

1 Conducteur en quilibre lectrostatique :

2 Proprits des conducteurs en quilibre :

El t t ti i i d p d t ilib t p t d MP L M t i (L M ) Oli i G i


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On peut galement obtenir ce dernier rsultat partir de lquation de MG,0

=Edivr

.

Localement, les charges des ions positifs sont compenses par les charges des lectrons.

Cette paisseur est de lordre de 0,1 nm dans le cas du cuivre. La densit superficielle de chargesnest en gnral pas uniforme : elle dpend de la forme du conducteur et des autres conducteurset charges en prsence.

Electrostatique : rvisions de sup conducteurs en quilibre transparents de cours MP Lyce Montesquieu (Le Mans) Olivier Granier


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3 Thorme de Coulomb :

du champ lectrique et

Sens des lignes de champ :

+ + + + + - - -- -



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4 Pression lectrostatique :

On se place dans une modlisation surfacique.

Une surface lmentaire dS du conducteur est soumise la force :

extEdSfdrr

)(=

o extEr

dsigne le champ lectrique cr par les autres charges du conducteur (et ventuellement

dautres contributions). Soit propreEr

le champ d aux charges portes par la surface dS, alors on

a :

nEEE totpropreextr

rrr

0

==+

Si on assimile la surface dS, localement, un plan infini charg , alors nEproprer

r

02= et, par

consquent, nEextr

r

02

= . La force qui sexerce alors sur dS devient :



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ndSEdSfd extr

rr

0

2

2)(

==

Do la pression lectrostatique :

0

2

2

=eP



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5 Exemples de topographie de champs en prsence de conducteurs, rsolution duproblme de Laplace :

En prsence de conducteurs placs dans le vide (problme de Laplace), le potentiellectrostatique V(M) vrifie :

Lquation de Laplace en tout point : V = 0

La valeur du potentiel est impose sur les surfaces des conducteurs ( linfini, la valeur dupotentiel est choisie conventionnellement gale 0)

Il y a continuit du potentiel

La rsolution de ce problme conduit une solution unique qui permet den dduire toutes lesautres donnes du problme, comme le champ lectrique et les densits superficielles de chargesdes conducteurs par exemple.



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q p, q , p , , y q ( ),

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Exemple : interprtation du sens des lignes de champ

On considre le systme de trois conducteurs reprsent sur la figure suivante. Le potentiel linfini est nul. Sans effectuer de calcul, prciser le signe des diffrents potentiels V1, V2et V3et larelation dordre qui existe entre eux.

C1

C2

C3

Rponses : V3< 0 ; V2> 0, V1> 0, V1> V2et V1> V3.



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q p, q , p , , y q ( ),

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Exemple : influence dune charge ponctuelle q positive sur une sphre isole neutre

Une boule mtallique de rayon R est relie la Terre (son potentiel est donc nul). On place unedistance d du centre de la boule une charge ponctuelle q > 0.

a) O se trouvent les charges et commenter leur signe.

b) En calculant le potentiel au centre de la boule, calculer la charge Q porte par cette dernire.

c) Tracer les lignes de champ.

d) La boule est dsormais isole et porte une charge totale nulle (la charge q est toujoursprsente). Quel est le potentiel de la boule ? Tracer les lignes de champ.



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Rponses :

a) La boule acquiert une densit surfacique de charges ; des charges (venant de la Terre) ngativesvont tre attires sur la boule. Le potentiel de la boule reste nul puisquelle est relie la Terre.

b) Le potentiel au centre de la boule est nul :

qd

RQsoit

d

q

R

QOV ==+= 0

41

41)(

00

On remarque bien que Q < 0.

c) Lallure des lignes de champ est obtenue partir du logiciel Equipotential :



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Comme linfini et la boule sont au mme potentiel nul, aucune ligne de champ ne peut partir delun pour aller lautre.

Les lignes de champ partent donc de la charge q pour aller soit linfini soit sur la boule.



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d) La boule tant isole, sa charge reste nulle ; des charges positives se dplacent vers la droite etdes charges ngatives vers la gauche.

Lallure des lignes de champ est :

Son potentiel vaut :

d

q

d

q

ROV

000 4

1

4

10

4

1)(

=+=



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39



40/54

40



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41



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42

6 Etude des condensateurs :

a Dfinitions :



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43

b Exemples de condensateurs, calculs de capacits :



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44



45/54

45



46/54

46



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47



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c Aspect nergtique, exemple du condensateur plan :



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Exercice dapplication ; force exerce entre les deux armatures dun condensateur plan :

Soit un condensateur compos de deux armatures planes, de surface S et spares dune distanceL et soumis la tension U. On nglige les effets de bord.

On noteSQ =

.

Calculer la force hbFr

exerce par larmature du bas (charge +) sur celle du haut (charge -) .



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Rponse :Calcul direct :

La force hbFr

vaut :

bashb ESFrr

)( =

o basEr

dsigne le champ cr par larmature du bas. Il vaut :

zbas uE r

r

02

=

Et ainsi :

zhb uS

F r

r

0

2

2

=


S


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51

Avec UL

SCUSQ 0

=== :

zhb uL

SUF

r

r

2

2

0

2

=

Cette force est attractive : les deux armatures, de charges opposes, sattirent.

Utilisation de la pression lectrostatique :

On a alors, directement :

zzlhb uS

uSPF rr

r

0

2

2)(

==

Si, maintenant, on carte lentement larmature du haut vers le haut par exemple, le travail de la

force dattraction (rsistant) est compens par loprateur. Le travail de celui-ci vaut :


2222QQSS


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52

1

2

2

2

12

0

2

0

2

22

)(

22 C

Q

C

QLL

SWetdL

SW opop ===

Loprateur a contribu augmenter lnergie lectrostatique du condensateur, dont on retrouve

lexpression habituelle, C

QEl

2

2

= .


Exercice dapplication ; dtermination de la capacit dun condensateur sphrique


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Exercice d application ; dtermination de la capacit d un condensateur sphrique partir de la densit dnergie lectrostatique :

Dterminer lnergie stocke entre les armatures dun condensateur sphrique en fonction de lacharge Q porte par larmature intrieure.

Retrouver lexpression de la capacit du condensateur partir de la relation :

C

QEl

2

2

=



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54

Rponse :On rappelle que :

ru

r

QE

r

r

2

0

1

4

=

entre les deux armatures. Lnergie est alors :

==

210

222

2

0

0

11

8

4)1

4

(

2

12

1 RR

Qdrr

r

QE

R

R

l

do :

12

21

04 RR

RR

C =

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