Conductibilitate, cond. termică

1. O probă metalică cu permeabilitatea magnetică relativă μ=1 este plasată în câmp electric şi magnetic. Electronii de conducţie pot fi trataţi ca un gaz de electroni liberi de densitate n şi având σ timpul mediu între două cicniri succesive. Obţineţi soluţia ecuaţiei de mişcare pentru electronii din acest metal.

Soluţie: Forţa F

r care se exercită asupra unui electron aflat în câmpul electric E

rşi câmpul

magnetic de inducţie Br

este ( )BEeF

rrrr×+−= v

Pe de altă parte, ecuaţia de mişcare a unui electron de masă m, cu σ timpul mediu între două ciocniri succesive (timp de împrăştiere) este:

v1 rr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

τdtdmF

Rezultă că

( )BEedtdm

rrrr×+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + vv1

τ

Alegând câmpurile: ( ) ( )B,,BE,E,EE zyx 00;

rr

viteza unui electron va avea componentele ( )zyx vvvv ,,r şi, pe componente, ecuaţia de mişcare devine:

( )yx BEedtdm vv1

x +−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

τ

( )xy BEedtdm vv1

y −−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

τ

zeEdtdm −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + zv1

τ

În regim staţionat, 0v=

dtdr şi cele trei ecuaţii devin

( )yxx BEem vv +−=τ

( )xyy BEem vv −−=τ

zz eEm−=v

τ

Notând cu

meB

C =ω

pulsaţia de rezonanţă ciclotron, soluţiile celor trei ecuaţii de mişcare în regim staţionar (pe componente) sunt:

1

yCxx Eme vv τωτ

−−=

xCyy Eme vv τωτ

+−=

zz Emeτ

−=v

2. Proba metalică din problema precedentă se află doar în câmpul electric al unei unde electromagnetice tieEE ω

0rr

= , unde ω este pulsaţia de oscilaţie a câmpului electric. Pornind de la ecuaţia de mişcare a unui electron de masă m, obţineţi expresia conductivităţii complexe:

( ) ( )( )21

10ωσ

ωσσωσ−

−=

i

Obţineţi expresia indicelui de refracţie şi analizaţi –l pe diferite domenii de frecvenţă. Soluţie: Considerând că un electron de conducţie de viteză vr aflat în câmpul electric E

r este

supus şi unei forţe de frânare vrr

τmF .fr −= care se manifestă prin procesele de împrăştiere, τ fiind

timpul de împrăştiere, presupunând ca unda electromagneticăse propagă după direcţia (Ox), ( 00,,EE )r

, ecuaţia de mişcare a unui electron de conducţie este:

dtdrmeE

dtrdm

τ−−=2

2

Soluţiile vor fi căutate de forma tierr ω

0= astfel că:

titi erdt

rderidtdr ωω ωω 0

22

20 ; −==

şi, prin înlocuire, se obţine soluţia ecuaţiei de mişcare:

( )

τωω i

Emetr

−=

2

Densitatea de curent va fi, atunci,

dtdrnej −=

unde: n este densitatea electronilor de conducţie şi

( ) ωττ

τωω

ωim

eii

ime

dtdr

+−=

−−==

11v

2

Înlocuind, expresia densităţii de curent devine

( )Ei

mneE

imnej 2

22

11

11

ωτ

ωττωτ

τ

+

−=

+=

2

Dacă legea Ohm este valabilă Ej σ=

expresia conductivităţii complexe este:

( ) ( )( )21

10ωτ

ωτσωσ+

−=

i~

unde ( )m

ne τσ2

0 = este conductivitatea statică.

Stiind că într-un mediu disipativ, 0≠σ , vectorul de undă este complex ωσμεμω ik~ −= 22

şi, într-un metal într-un domeniu larg de frecvenţe 00 μμεε ≅≅ , , expresia vectorului de undă devine:

ωεσ

ω

ωεσω

ωεσμεω

0

2

2

222

02

2

000

22

111 ~

n~

cn~k~

~

c

~k~

−=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Ţinând cont de expresia conductivităţii complexe obţinută mai sus, rezultă:

( )20

22

111

ωτ

ωτωτ

ε +

−−=

imnein~

Notând 0

22

εω

mne

p = pulsaţia proprie a electronilor în plasmă, separând partea realăşi cea

imaginară, expresia indicelui de refracţie complex devine:

( ) ( )22

2

22

222

2

22

111

111

τωω

τω

τω

τω

ωτ

ωτω

τω

+−

+−=⇒

+

−−= ppp in~iin~

Cazuri particulare: a. 1<<ωτ (infraroşu îndepărtat)

( )in~eiin~ pippp −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒=−≅−≅

−11 2

1

2222

2ωτω

ωτω

ωτω

ωτω π

unda este atenuată în metal prin efect pelicular. b. 1>>ωτ

2

2

22

222 11

ω

ω

τω

τω ppn~ −=−≅

b1. (infraroşu sau vizibil) 11610 −=< spωω

21

2

21⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

ω

ω pin~ pur imaginar

unda este complet reflectată b2. pωω > (ultraviolet, raze X)

3

n real metalul este complet transparent.

3. Presupunând că relaţia de dispersie pentru un electron din banda de conducţie (BC) este de forma

.constakE += 2

aflaţi valoarea constantei a, dacă pentru un câmp magnetic 210mW,B = pulsaţia de rezonanţă

ciclotron este . 1111081 −⋅= s,Cω Presupunând că semiconductorul este dopat cu impurităţi pentavalente, estimaţi

concentraţia donorilor, dacă coeficientul Hall la temperatura camerei este C

m,RH3

610256 −⋅= .

Soluţie: Frecvenţa ciclotron a unui electron aflat în câmp magnetic este

*CmeB

=ω

unde m* este masa efectivă a electronilor din BC. Pe de altă parte, masa masa efectivă a unui electron este definită ca

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂= 2

22

kE*m h

şi, pentru relaţia de dispersie dată este

a*m

2

2h=

Rezultă că valoarea constantei a este

eBa C

2

2ωh=

( ) 238219

112341026

1010612108110051 Jm,Jm,,

,,a −−

−⋅=

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=⇒

Pentru un semiconductor de tip , n>>p şi constanta Hall este

neRH

1−≅

unde n este concentraţia electronilor de conducţie. La temperatura camerei toţi donorii sunt ionizaţi, astfel încât concentraţia donorilor este egală cu concentraţia electronilor de conducţie:

( )3243

196 10106110256

11 −−−−

=⋅−⋅

=⇒−=≅ mm,,

NeR

nN DH

D

4. Presupunând că relaţia de dispersie pentru un electron din banda de conducţie (BC) este de forma

.constakE += 2

4

aflaţi valoarea constantei a, dacă pentru un câmp magnetic 210mW,B = frecvenţa

unghiulară de rezonanţa ciclotron este . 1111081 −⋅= s,Cω Presupunând că semiconductorul este dopat cu impurităţi pentavalente, estimaţi

concentraţia donorilor, dacă coeficientul Hall la temperatura camerei este

Cm,RH

3610256 −⋅= .

Soluţie: Frecvenţa ciclotron a unui electron aflat în câmp magnetic este

*CmeB

=ω

unde m* este masa efectivă a electronilor din BC. Pe de altă parte, masa masa efectivă a unui electron este definită ca

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

2

22

kE*m h

şi, pentru relaţia de dispersie dată este

a*m

2

2h=

Rezultă că valoarea constantei a este

eBa C

2

2ωh=

( ) 238219

112341026

1010612108110051 Jm,Jm,,

,,a −−

−⋅=

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=⇒

Pentru un semiconductor de tip , n>>p şi constanta Hall este

neRH

1−≅

unde n este concentraţia electronilor de conducţie. La temperatura camerei toţi donorii sunt ionizaţi, astfel încât concentraţia donorilor este egală cu concentraţia electronilor de conducţie:

( )3243

196 10106110256

11 −−−−

=⋅−⋅

=⇒−=≅ mm,,

NeR

nN DH

D

5. Curba de mai jos prezintă variaţia cu temperatura a rezistivităţii electrice a unui solid.

Estimaţi drumul liber mediu la T=0K şi T=300K şi apreciaţi dacă acest solid este un metal.

5

ρ(106Ωcm)

125

Soluţie: Din relaţia de definiţie a conductivităţii

mne τ

ρσ

21==

rezultă pentru timpul mediu dintre două ciocniri succesive:

ρτ 2ne

m=

unde:

• N este concentraţia electronilor, o valoare tipică pentru metale fiind 323 10 −= cmn• kg masa unui electron ,m 311019 −⋅=

Drumul liber mediu va fi τ⋅= Fl v

unde vF reprezintă viteza electronilor la suprafaţa Fermi şi, pentru concentraţia dată, vF=108cm/s.

Din figura de mai sus, la temperatura T=0K rezistivitatea este , astfel încât timpul mediu dintre două ciocniri succesive este:

cmΩρ 61025 −⋅=

( )s,

mC,m

kg, 158219329

311051

1025106110

1019 −

−−−

−⋅=

⋅⋅⋅

⋅=

Ωτ

şi drumul liber mediu

cm,s,s

cml 7158 1051105110 −− ⋅=⋅⋅=

La temperatura T=300K rezistivitatea este , timpul mediu dintre două ciocniri succesive va fi:

cmΩρ 610120 −⋅=

( )s

mC,m

kg, 168219329

31103

10120106110

1019 −

−−−

−⋅=

⋅⋅⋅

⋅=

Ωτ

T(K)

100 200 300

50

25

100

75

6

şi drumul liber mediu

310310310 8158 =⋅=⋅⋅= −− cmss

cml Ǻ

La temperatura camerei, drumul liber mediu pentru un metal pur este Ǻ. Acest material având drumul liber mediu mult mai mic, nu este un metal pur, este puternic impurificat, ceea ce face ca timpul mediu între două ciocniri succesive să scadă datorită ciocnirilor cu impurităţile şi astfel, drumul liber mediu să scadă.

400300 −≅l

6. Sa se determine drumul liber mediu al fononilor în germaniu la temperatura T = 30 K stiind ca

temperatura Debye este θ = 360 K, conductivitatea termica a retelei masa

molara MGe = 72,6 kg/kmol, densitatea ρGe = 5500 kg/m3 si viteza în Ge, v = 4500 m/s. Se considera ca

toata caldura este transportata numai de fononi.

kgKWm /1055,14 23−⋅=κ

Solutie: Conductivitatea termica a retelei este data de relatia: lρυκ c31

=

Unde: -capacitatea calorica este (la temperaturi mici, T<<θ) 334

2345

12⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

θθπ T

MRT

MRc

-v este viteza sunetului (pentru fononi acustici) iar

- l - drumul liber mediu al fononilor.

Din cele doua relatii rezulta

c13

ρυκ

=l

m101014.1 −⋅=l

7. Sa se deduca, pentru un semiconductor intrinsec relatia n.p, unde n si p sunt concentratiile de

electroni din banda de conductie, respectiv de goluri din banda de valenta.

Solutie

Calculam numarul electronilor excitati spre banda de conductie la temperatura T.

La temperaturi care prezinta interesputem presupune pentru banda de conductie ca TkB>>− με , atunci

functia de distributie Fermi Dirac se reduce la:

TkBefμε −

≈

Aceasta este probabilitatea ca o stare de electron sa fie ocupata.

Energia unui electron în B.C. este:n

gn mkE

2

22h+=ε

Numarul de electroni pe unitatea de volum, cu energia cuprinsa intre ε si ε+dε este:

7

( ) ( ) εεπ

εε dEmd ge

e2/1

2/3

222

21

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Νh

Concentratia de electroni din banda de conductie va fi:

( ) ( ) TkE

Be

Ee

B

g

g

eTkmdfn−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ν= ∫

μ

πεεε

2/3

2

0

22

h

Functia de distributie pentru goluri este legata de functia de distributie a electronilor:

( ) ( ) Tk

Tkeg

B

B

ee

ffμε

εμεε−

− ≈

+

=−=

1

11

Punem conditia TkB>>− με . Densitatea de stari va fi:

( ) ( ) εεπ

εε dmd eg

2/12/3

222

21

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Νh

Concentratia de goluri din banda de valenta va fi:

( ) ( ) TkBggg

BeTkm

dfpμ

πεεε

−

∞−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ν= ∫

2/3

2

0

22

h

Rezulta relatia de echilibru.

( ) TkE

geB B

g

emmTkpn−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅ 2/3

2/3

224

hπ

8. Intr-un semiconductor impurificat cu atomi donori în concentratie Nd = 5⋅1020 m-3, concentratia

purtatorilor intrinseci este ni = 4⋅1019 m-3. Sa se calculeze concentratiile purtatorilor de sarcina electrica

liberi în semiconductor la temperatura mediului ambiant.

Solutie

Din conditia de neutralitate a semiconductorului impurificat atat cu atomi donori cat si cu atomi

acceptori, rezulta:

ad NNpn −+=

Din legea actiunii maselor rezulta:

( ) ( adadi NNppNNnnpnn −+=+−=⋅=2 )

Concentratia electronilor

( ) 22 421

2 iadad nNNNNn +−+

−=

Concentratia de goluri:

( ) 22 421

2 iadad nNNNNp +−+

−−=

Daca semiconductorul este impurificat numai cu atomi donori, atunci:

( ) 3182

22 1018,31212

421

2−⋅=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=++−= m

NnNnNNpd

idid

d

8

320105 −⋅=+= mpNn d

9. Densitatea de curent într-un conductor de Al este j = 1 A/mm2. Sa se calculeze viteza de drift a

electronilor de conductie, cunoscând ca acestia au concentratia egala cu cea a atomilor de Al în retea. Se

dau: masa molara MAl = 26,98 kg/kmol, densitatea ρΑl = 2,7⋅103 kg/m3, sarcina electrica elementara

si numarul lui Avogadro Ce 19106,1 −⋅= 12310022,6 −⋅= molNA .

Solutie

Densitatea de curent: envj =

Concentratia de purtatori:

MNn Aρ

=

Rezulta viteza de drift:

smNe

jM

AAl

Al /1004,1 4⋅=ρ

=υ

10. La capetele unui fir de Cu, cu lungimea de m1=l

3−m

, se aplica o tensiune U = 10 mV.

Cunoscând concentratia electronilor liberi, , rezistivitatea i

sarcina electrica a electronului, , sa se calculeze:

281043,8 ⋅=n

C

mCu Ω⋅=ρ −81055,1 s

e 19106,1 −⋅=

a) mobilitatea electronilor de conductie în Cu

b) timpul în care un electron strabate lungimea conductorului

Solutie

a) conductivitatea μ=σ en

rezulta mobilitatea electronilor:

Vsmnene

/1078,41 23−⋅=ρ

=σ

=μ

b) viteza de drift este:

l

UE μ=μ=υ

timpul in care electronul strabate lungimea conductorului:

sU

net 42

1009,2 ⋅=ρ

=υ

=ll

9

11. Rezistenta R, a unui semiconductor intrinsec este de 2000Ω la temperatura de 300K si de

78Ω la 400K. Sa se determine largimea benzii interzise a semiconductorului

Solutie:

TkE

B

g

econstR ⋅=

TkE

constRB

g 1ln +=

11

1lnTk

EconstR

B

g+= ; 2

21lnTk

EconstR

B

g+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

212

1 11lnTTk

ERR

B

g

Eg = 0,67 eV.

12. O proba de Si, cu lungimea si sectiunea S = 2 mm2, impurificata cu atomi acceptori

se afla la o temperatura la care toti acceptorii sunt ionizati. Stiind ca la atomi de Si revine

un atom acceptor si cunoscând mobilitatile electronilor si golurilor, μn = 0,13 m2/V.s si μp = 0,05 m2/V.s

precum si concentratia intrinseca, ni = 2,5.1016 m-3, sa se calculeze:

mm5=l

70 107 ⋅=N

a) conductivitatea pentru goluri, respectiv pentru electroni;

b) rezistenta electrica a probei

Se dau: masa molara, MSi = 28,086 kg/kmol , densitatea ρSi = 2420 kg/m3, sarcina electrica elementara

si numarul lui Avogadro Ce 19106,1 −⋅= 12310022,6 −⋅= molNA .

Solutie:

concentratia atomilor de Si este

MNN A

Siρ

=

concentratia acceptorilor este: 320

001041,7 −⋅=

ρ== m

MNN

NNN ASi

a

Daca , ia nN >> aNp ≈

11

093,5 −−Ω=μ

ρ=μ≈μ=σ m

MNNeeNep p

Apapp

2innp =

a

iiNn

pnn

22≈=

10

1182

1075,1 −−− Ω⋅=μ≈μ=σ mNneen n

a

inn

b) Rezistenta:

pn σ<<σ

Ω=σ

≈σ+σ

=ρ= 42211SsS

Rppn

lll

13. O sonda Hall, de forma cubica cu latura de 2 mm, masoara câmpuri magnetice cu valori

minime de 10-3 T. Tensiunea Hall la aceasta valoare a câmpului trebuie sa fie de minim 1 mV. La

capetele placutei se aplica o tensiune U = 10 V. Stiind ca mobilitatea purtatorilor este de 0,5 m2/V.s, sa

se calculeze concentratia acestora.

Solutie:

BnejaaEU HH ==

aUEj σσ ==

BneUU H σ=

eB

UUn

H

σ=

19101,3 ⋅=n

14. O placuta cu grosimea h = 10 mm si lungimea = 50 mm, confectionata dintr-un

semiconductor extrinsec de tip p este plasata într-un câmp magnetic uniform perpendicular, de inductie

B = 0,5 T. La capetele placutei se aplica o tensiune U = 10 V. Tensiunea Hall masurata este UH = 50

mV. Rezistivitatea materialului fiind ρ = 2,5 Ω.m, sa se calculeze concentratia.

l

Solutie:

BpejhhEU HH ==

l

UEjρ

σ 1==

BpeUhhEU HH ρl

==

ρeBh

UUp

H l=

11

19105 ⋅=p

12