Conexin de los reales con el ESPACIO VECTORIALi.R representa a
los nmeros reales
+R=QIii. Por qu el ingeniero estudia los nmeros racionales?El
ingeniero estudia los nmeros racionales porque las medidas siempre
son fraccionarias. Al distribuir un material o el terreno, lo
dividiremos, aqu notaremos la presencia de los nmeros racionales.El
nmero cero tambin es importante ya que representa el inicio de toda
accin o proyecto.Espacio Vectorial Algebra Lineal!u es un espacio
vectorial?Es una estructura o una cuaterna de la forma { V ;+; K ;
} si y solo si satisface las condiciones de espacio
vectorial."onclusiones#a$V es un con%unto no vacio (V ) llamado
espacio vectorial si satisface las condiciones de espacio
vectorial.b$+ es una funcin aditiva.c$K es un con%unto no vaco ( K
) llamado campo o cuerpo si y solo si satisface las condiciones del
campo o cuerpo.d$ es una funcin producto.Construccin de Espacios
Vectoriales&i V=RK=Rentonces { R;+; R; }, 'no es un
espaciovectorial(.&i V=RR=R2K=Rentonces { R2;+; R; }, 'si es
unespacio vectorial(. )ebido a que R2 es un es espacio
vectorialbidimensional.&i V=RRR=R3K=Rentonces { R3;+; R; }, 'si
esun espacio vectorial(. )ebido a que R3 es un es espaciovectorial
tridimensional.&i V=RnK=Rentonces { Rn;+; R; }, 'si es un
espacio vectorial(. )ebido a que Rn es un es espacio vectorial de
n*dimensional.Ingresando a la !sica Producto "artesiano#)ados los
con%untos A y + llamaremos producto cartesiano a lae,presinA B
definida por#A B={( a; b) A B a A, bB}Conexin de los reales con los
espacios "ectorialesRRn es un producto cartesiano, tomo (x;~x)R
RnxR~xRn"onclusiones#a$xRxes variable -si x=t entoncestestiempot
0b$~xR2 x=( x1; x2)c$~xR3 x=(x1; x2; x3)
~xRn x=(x1; x2; ; xn)
RnRnmRn # Espacio vectorial.Rnm # Espacio matricial.Vector# .odo
elemento de un espacio vectorial se llama vector si satisface las
condiciones del vector.Ingresando al An!lisis I /elacin#&ean A
y + dos con%untos cualquiera, llamaremos relacin R: AB tal queRAB .
0uncin)efinicin# &ean A y + dos con%untos llamaremos funcin ! :
AB con regla decorrespondencia "=! (x) si y solo si satisface dos
condiciones#i.! ABii. &i ( x; ") ! ,(x; #)! "=# 0uncin
1ectorial#2na funcin ! : RRn con regla de correspondencia! (
x)={!1(t ); !2( $); ; !n(%)} se llama funcin vectorial de variable
real si ysolo si satisface las condiciones de funcin real.~! ( t
)=(t ; t2)R2 0uncin de varias variables)efinicin# 2na funcin RnR
con regla de correspondencia#=t (~x)=&(x; x1; x2; ; xn) se
llama funcin de varias variables.RnR ser3 una funcin de varias
variables si y solo si satisface la definicin de funcin de varias
variables.#=! (x; ")=x2+ "2 '#' x=2x ' #' "=2 "~#=(2 x; 2 ")~ #
gradiente. 0uncin transformacin#)efinicin# una funcin ( : RnRn
definida enRn con im3genes en Rn se llamafuncin transformacin si y
solo si cumple las condiciones de funcin transformacin.Algebra de
$unciones)efinicin 42na funcin ): Rn+2R se llama funcin algebraica
con regla de correspondencia#=)(x; " ; "*; ; "n) definida sobre el
con%unto Rn+2 y su imagen definida enR si y solo si satisfacen las
condiciones de funcin algebraica.)efinicin 5.oda ecuacin o todo
modelo de la forma )(x ; " ; "*; ; "n)=0 se llama ecuacin
diferencial ordinaria -E)6$ de orden 'n(, donde + n + ,.',(#
1ariable o un soporte para demostrar una teora. Es una variable
independiente.'y(# Es la variable dependiente "="(x)=&(x) y
adem3s dotada de sus derivadas 7asta el orden n*simo.)efinicin
8.oda ecuacin )( x ; " ; "*; ; "n)=0 se normali9a mediante la
despe%acin de la derivada mas alta de la ecuacin diferencial
ordinaria.Es decir#)( x ; " ; "*; ; "n)=0"n=-n"- xn=.(x ; "; "*; ;
"n1):lamada 'ecuacin diferencial ordinaria normal o
normali9ada(.)efinicin ;El orden de una ecuacin diferencial
ordinaria definida por )( x ; " ; "*; ; "n)=0 queda definida
implcitamente como la derivada de mayor orden que aparece en la
ecuacin diferencial ordinaria.)efinicin .oda ecuacin diferencial
ordinaria )(x ; " ; "*; ; "n)=0 se normali9a, es decir#&i )(x ;
" ; "*; ; "n1; "n)=0Entonces"n=-n"- xn=.( x ; "; "*; ; "n1) llamada
E)6 normali9ada? + n + ,)efinicin @2na solucin de la E)6 )( x ; " ;
"*; ; "n)=0 de clase /(i)n que satisface a dic7a ecuacin
diferencial ordinaria? es una funcin & tal que "="(x)=&(x)
, ! : RR 0 "=! (x),i=1, 2,3, , nE%emplo#"*=2 x-"-x=2 x-"=2
x-x-"=2x-x+c"=x2+c
"=&( x; c))efinicin A2na funcin & con regla de
correspondencia "="( x ; c1; c2; ; cn) se llama ecuacin general de
la E)6 en discusin."*=2 x"=x2+c "=&( x; c)BBB.&olucin
Ceneral)efinicin 4D&i las constantes arbitrarias de la solucin
general asume valores reales o particulares se llama &olucin
Particular de una E)6 normali9ada.&i "*=2 x"=x2+c
BBBBBBBB.&olucin Ceneral&i c=0 "=x2 BBBBBB.&olucin
ParticularEste es el Problema de Cauchy o Problema del valor
inicial o Problema de las Condiciones Iniciales o Problema de las
Fronteras.)efinicin 44.odo modelo de la forma#-"-x=) ( x;
")&(x0)="0&e llama problema de "auc7y.6bservaciones#i.
&i "(x0)="0x=x0+ "="0 ? se llama condiciones iniciales.ii. :a
funcin & se llama solucin de la ecuacin "*=)( x; " )iii.
Encontrar una funcin continua diferenciable & es equivalente al
problema de "auc7y, tal que satisfaga la ecuacin
diferencial"=&( x)= "( x)="0+x0x)(t1&1)-t , x+ I +
Riv.x=x0+ "="0( x ; ")=(x0; "0))efinicin 456btencin de una E)6 o
proceso inverso#"onsiste en determinar una ecuacin ordinaria
mediante el proceso de eliminacin de las constantes arbitrarias de
la solucin general de una E)6 normali9ada.Eotas#i. .oda solucin
&(x) debe satisfacer a una ecuacin diferencial ordinaria
normali9ada.ii. &i se conoce una E)6 normali9ada se debe
encontrar una funcin& llamada solucin, mediante mtodos
e,istentes y el ra9onamiento matem3tico.P/6+:EFA 4)etermine la
ecuacin diferencial ordinaria normal de la funcin ! : RR definida
por ! ( x)=Ae2x+Bx e2x donde ! ( x) es una solucin de
E)6./esolucini. "omo f es una funcin entonces por definicin de E)6,
f es diferenciable, entonces f es continua.ii. Adem3s ! : RR/ "=! (
x) es regla de correspondencia, entonces! ( x)=Ae2x+Bxe2x es
derivable.iii. )erivamos dos veces porque e,isten dos constantes
arbitrarias-"-x=-( Ae2x+Bx e2 x)-x"*=( Ae2x)*+(Bx
e2x)*"*=A(e2x)*+B(x e2x)*"*=2 Ae2x( x)*+B(2 xe2x( x)*+e2x( x)*)1or
re2la-e ca-ena"*=2 Ae2x -x-x+B(2x e2x -x-x+e2 x -x-x)"*=2 Ae2x+2Bx
e2x+Be2 x"*=2(A e2 x+Bx e2x)+Be2x"*=2 "+Be2 x:uego, la segunda
derivada#- "*-x =-(2 "+B e2 x)-x"3=2 "*+2Be2x"3=4 "*4 ""34 "*+4
"=0BBBBBBEs una E)6 normal de orden 5 y grado 4P/6+:EFA 5"ompruebe
que la funcin ! : RR, definida por ! ( x)=/1x+/2x0xsent -ttes una
solucin de una ecuacin normal definida por#x24 senx 4 "3x24 cosx 4
"*x 4 "*4 senx+" 4 senx+x4 " 4 cosx=0/esolucini.! es una funcin
diferenciable, entonces es continua en todo su dominio.ii. "omo la
funcin ! es diferenciable entonces su integral o su solucin es
derivable.iii. Pero ! : RR es una funcin entonces su regla de
correspondencia es un modelo de la forma "=! (x)"=/1 x+/2x0xsent
-tt, x + I)erivamos dos veces porque tiene dos constantes
arbitrariassent -tt/1 x+/2 x0x--"-x="*=/1+(/2x0xsent
-tt)*"*=/1+/2-(x0xsent -tt)-xPor el primer y segundo teorema
fundamental del c3lculo"*=/1+/2[x -(0xsent -tt)-x+-x-x0xsent
-tt]"*=/1+/2[x senxx+0xsent -tt]"*=/1+/2senx+/20xsent -ttiv. Pero
"=/1x+/2x0xsent -tt "/1xx=/20xsent -tt5i x0"*=/1+/2senx+
"/1xx"*=/1+/2senx+ "x/1"*=/2senx+ "x&egunda derivada- "*-x
=-(/2senx+ "x )-x"3=/2cosx+ x 4 "* "x2v. Pero "*=/2senx+ "x/2= x4
"*"x4 senx"3= x4 "*"x 4 senx (cosx)+x 4 "* "x2"3= x( x 4 "*")
cosx+(x 4 "* ")senxx24 senxx24 senx 4 "3=x24 "*4 cosxx4 " 4 cosx+x
4 "*4 senx"senxx24 senx 4 "3x24 "*4 cosxx4 "*4 senx+ "senx+x4 "
4cosx=0:o que queramos demostrar es cierto, es una E)6 normali9ada
de orden 5 y grado 4.F6)E:6 )E 1A/GA+:E&
&EPA/A+:E&)efinicin&ea ! : [ a; b] [ c ; -] R2R una
funcin diferenciable definida sobre el producto cartesiano [ a; b]
[ c; -] tal que "*=! (x; ") es una ecuacin con variables separables
de tal manera que ! ( x; ")=! 1(x)4 !2( "). Aqu x[ a; b] "[ c; -]
adem3s !1 y ! 2 son funciones diferenciables estrictamente
continuas.6bservaciones#i.! es una funcin diferenciable
estrictamente continua -no se puede derivar "=1x $.ii. "omo la
funcin ! es diferenciable, entonces implica que la funcin !es
continua.iii.[ a; b] [ c; -] es un subcon%unto de R2 llamado
producto cartesiano tal que a6x 6bc 6 " 6-.iv. .omemos el sistema
de /enato )escartes.v."*=! ( x; ") es variable separable, entonces
"*=!1(x)4 !2( ") tambines variable separable.-"-x=!1(x)4 !2( ")
BBB.. -1.&.$-"!2( ")=!1( x) 4 -x ? ! 2( ")=0 BBBB -1.&.$!1
( x) 4 -x-"!2( ")=0 BB.. -1.&.$dy = f(,)ca bvi. El
modelo7-x+8-"=0!1( x) 4 -x-"!2 ( " )=07-x+8-"=!1( x) 4 -x-"!2(
")Probemos#&i "*=! (x; ") BBBB.. -1.&$-"-x=!1(x)4 !2( ")
BBB.. -1.&.$!1 ( x) 4 -x-"!2( ")=0 BB.. -1.&.$!1 ( x) 4
-x+(1-")!2( ") =0&i 7acemos 7=!1( x) 8= 1!2( "); !2(
")07-x+8-"=07-x+8-"=0=! 1( x) 4 -x-"!2( "))efinicin#&i el
modelo 7-x+8-"=0 es -1.&$ entonces se cumple#x0x7-t
+"0"8-9=cEuler# 0unciones Homogneas)efinicin#&i :x, :" es un
elemento de los reales ( :x , :" R) entonces! ( :x ; :")=:n! (x; ")
donde f es una funcin diferenciable tal que"*=! (x; ") se llama
funcin 7omognea de Euler (n8).6bservacin#&i "*=! (x; ") es una
funcin 7omognea que responde a la funcin de Euler, en estos casos
para determinar su integral se usa un aniquilador "=;x o
x=";E%emplos#Problema 4)eterminar la solucin particular del
problema de "auc7y definida por#"*=x"(0)=1/esolucini. Este modelo
responde a las condiciones iniciales de "auc7y.ii. .omo "*=x-"-x=x
BBB. -1.&.$-"=x-x BBB -1.&.$x-x-"=0 BBB. -1.&$7-x+8-"=0
BBB -1.&.$Por definicinx-x-"=c x22 "=cBBB.&olucin
general"=x22 c"=x22 +< ; si ; +=65 "=v+omo2eneaK(x )4*x33 x4K(
x)+3(K( x))x3x=1K(x )4*x3=1-(K(x ))x3-x=0, aplicamosla -e!iniciBn
-(K( x ))x3-x=tK(x )=x44 +tvi$ /eempla9ando e '9( #=(K( x ))x3#=
x4+t x3/eempla9amos en #=@1@=4 x3x4+4t/eempla9amos en "=@+2xx(4+4t
) x"=6 x4+8t?sta es la !amilia-e sol@ciones-e @n par Jmetro
tF6)E:6& EMA".6&%0. :ibro# Ecuaciones diferenciales y
problemas con valores en la frontera. P3gina ==, e%ercicio 58.
&errera 'u(o) *aan/esuelva el problema con valor inicial{(
et"+t et") -t +( t et+2) -"=0" ( 0)=1/esolucini$ 1erificaremos si (
et"+t et") -t +( t et+2) -"=0 es e,acta' 7' " =et+t et' 8't =et+t
et, Eaec@aciBnes exactaii$ "omo es un modelo E,acto entonces @0tal
F@e '@'t =7'@' "=8@=7 -t +%( ")e(t "+t et")-t +%( ")@=@=t et"+%(
")iii$ .omemos @=t et"+%( ") y derivemos respecto de 'y( '@' "=t
et+%( ")* '@' "=8=t et+2=t et+%( " )*%( ")*2=0-(%( "))2-"=0,
aplicamosla -e!iniciBn-(%( "))2-"=c%( ")=2 "+civ$ /eempla9amos en
@=t et"+%( ")@=t et"++2 "+c@c=t et"++2 " , 5i omo2enea4Hacemos
"=@x-"=@-x+x-@?ntonces-"-x=2x"x2"2@-x+x-@-x=2@x2x2(1@2)x-@=(2@1@2@)-xx-@=(
@+@31@2)-x(1@2)-@@+@3-xx =0, aplicamos la-e!inicion(1@2) -@@+@3-xx
=cln(@1+@2)lnx=c@(1+@2) x=ec, si
