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Señales aleatorias, estacionarias y Ergódicas
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Bibliografía Básica:Epig 3.3•Statistical and Adaptive Signal Processing - Spectral Estimation, Signal Modeling, Adaptive Filtering and Array Processing, 2005 Dimitris G. Manolakis
Sumario•Introducción •Procesos Aleatorios•Procesos estacionarios •Procesos ergodicos •Densidad Espectral
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Procesamiento Digitalde Señales
Introducción
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Se definieron una serie de conceptos
Probabilidad p(1)
Variable aleatoria x(ζ )=x
Función de Probabilidad Pr{x(ζ) ≤ x}
Función de distribución de probabilidad
Función densidad de probabilidad
Media
Varianza
Desviación típica
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Procesamiento Digitalde Señales
Introducción
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Matriz de correlación
Matriz de covarianza
Proceso estocástico discreto
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Considere un experimento con un número finito o infinito de resultados en un
espacio
S = {ζ1, ζ2, … },
cada ocurrencia con una probabilidad
Pr{ζk}, k = 1, 2, …
si se le asigna a cada elemento ζk de S
una secuencia de ocurrencia determinada
x(n, ζk), −∞<n<∞.
El espacio S, la probabilidad Pr{ζk}, y la secuencia x(n,ζk), −∞<n<∞, constituye
un conjunto de experimentos estocástico.
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Procesamiento Digitalde Señales
Proceso estocástico discretos
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Formalmente
x(n,ζ ), −∞<n<∞,
es una secuencia aleatoria
si para n fijo, n=n0, x(n0,ζ) es una variable aleatoria.
El conjunto de todas las secuencias {x(n,ζ )} es un proceso, y cada
secuencia individual x(n,ζk), correspondiente a un valor especifico
de ζ=ζk, es una realización del proceso.
Proceso estocástico discretos
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Existen cuatro posibles interpretaciones de x(n,ζ), dependiente del
valor de n y ζ:
• x(n,ζ) si n fijo y ζ variable es una variable aleatoria
• x(n,ζ) si ζ fijo y n variable son muestras de una secuencia
• x(n,ζ) si ambos n y ζ son fijos es un número .
• x(n,ζ) si ambos n y ζ son variables es un proceso estocástico .
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Procesamiento Digitalde Señales
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x(n,ζ)
n
x(no,ζ) Variable aleatoria
x(n,ζ1)Realización
x(n,ζ2)
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Cada vez que se realiza el experimento, cada variable aleatoria de la
secuencia generará un valor y se obtiene una señal denominada
realización del proceso estocástico.
Cada vez que se realice el experimento se obtiene una realización del
proceso estocástico.
A pesar de ser todas las realizaciones diferentes
Las realizaciones tendrán en común el proceso estocástico
Este modelo representa la realidad donde múltiples señales recibidas
con la misma información tienen forma diferente. 9
Conclusión
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Si todas las muestras tienen una variación
independiente una de cualquier otra, estamos en
presencia del ruido blanco
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Señales Aleatorias
Estimación
Teoría de los procesos
Estocásticos
Análisis Filtrado
Modelación Filtros adaptativos
Arreglos de procesado
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Consideraciones para las señales aleatorias
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Describir un proceso estocástico implica calcular Función
Densidad de Probabilidad de cada variable aleatoria
x(n,ζ)
Imposible, se recurre a los momentos
Los momentos son de dos tipos:
1. Momentos de cada Variable aleatoria
2. Momentos que relacionan las diferentes variables
aleatorias de cada secuencia.12
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Momentos de cada variable aleatoria
Media:
Valor cuadrático medio:
Varianza:Momentos que relacionan diferentes variables aleatorias de un
proceso:
Autocorrelación:
Autocovarianza
Momentos que relacionan diferentes procesos
Crosscorrelación:
Crosscovarianza 13
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Proceso estocástico discretos
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Para n=n0, se tiene x(n0,ζ) es una variable aleatoria de función de
distribución de probabilidad Fx{x;n0}
Entonces se tendrá x(n1,ζ) y x(n2,ζ) para dos variables aleatorias n1 y
n2 con función de distribución conjunta
Fx{x1,x2;n1,n2}
Caracterizada cada variable por su función de distribución de
probabilidad
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Proceso estocástico discretos
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Un proceso de infinitas variables aleatorias estará, en sentido
estadístico, perfectamente descrito por la función de distribución de
orden k-esimo
Fx{x1, ...,xk;n1,...,nk} =Pr{x(n1)≤x1,..., x(nk) ≤xk }
Se conoce para valores de k ≥1 para todo instante n1 y n2,... nk
y la función de densidad de probabilidades
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Obvio que se requiere para la descripción probabilística una
cantidad de información difícil de obtener en la práctica.
Por eso se recurre a los promedios de primer y segundo orden, a los
momentos.
Para simplificar la nomenclatura se suele representar, el proceso
aleatorio x(n,ζ) como x(n) que además se considera complejo para
generalizar
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Descripción estadística de segundo orden
Valor medio
Varianza
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Para la estadística de x(n) en dos instantes diferentes n1 y n2 se
utiliza la función de autocorrelación o autocovarianza
La función de autocorrelación de las variables aleatorias x(n1) y x(n2)
Nos da la medida de la dependencia de los valores del proceso en
dos instantes diferentes
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La función de autocovarianza de las variables aleatorias x(n1) y x(n2)
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Para la estadística de dos procesos está la función de
crosscorrelación de las variables aleatorias x(n1) e y(n2)
Y la crosscovarianza
crosscorrelación normalizada
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En dependencia del comportamiento estadístico los procesos se
clasifican en:
•Procesos independientes
•Procesos incorrelacionados
•Procesos ortogonales
•Periódicos en sentido amplio (WSP)
•Estacionario en sentido amplio
•Estadísticamente independiente
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Covarianza
Covarianza mide grado de relación entre dos procesos
Cómo varía uno respecto al otro
En forma aproximada se estima según Matlab
M
(x-µx)(y-µy)n=1
n=M
xy= =
xyn=1
n=M
-µxµyM
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Si x e y son procesos aleatorios independientes se cumple:f(x,y)=f(x)f(y)
El grado de independencia lo da la matriz de covarianza. Si E{x,y}=E{y,x} 0Son independientes.
Dos procesos aleatorios x e y se consideran independientes, si los valores fuera de la diagonal son 0.
C={ }x~
2E
{ }y~2E
{ }x y~ ~E
{ }y x~ ~E
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Matriz covarianza de dos variables aleatorias independientes% variables aleatorias dependientesx=[randn(5000,1)];y=[randn(5000,1)];C=cov([x,y])
1.0080 0.0036C= 0.0036 0.9966
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Procesamiento Digitalde Señales
Ejemplo de matriz de covarianza de dos variables aleatorias no independientes% variables aleatorias dependientesd=randn(5000,1);x=[randn(5000,1);d];y=[randn(5000,1);d];C=cov([x,y])
1.0116 0.5116C= 0.5116 1.0268
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Cada variable aleatoria de la secuencia tiene función
densidad de probabilidad diferente
FDP de x(n1) FDPdex(n2).
Procesos estocástico
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Proceso Estacionario
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x(n,ζ)
n
x(n1,ζ)x(no,ζ)
l
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Procesos estacionarios
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Un proceso estocástico es estacionario si la estadística para x(n) es
igual a la estadística para x(n+k) para todo k
Un proceso estocástico es estacionario de orden N si
fx(x1,...,xN;n1,...nN)=fx(x1,...,xN;n1+k,...nN+k)
Si se cumple para N=1,2,3... Es estrictamente estacionario SSS
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Sus propiedades estadísticas no varían al trasladar el origen de tiempo
Proceso estocástico Estacionario en sentido estricto
Si la media y la autocorrelación no varían al trasladar el origen del tiempoMedia:
E{x(n)}=µx(n)= µx=cteAutocorrelación:
rxx(n1,n2)=E{x(n1)x(n2)}= rxx(l)=E{x(n)x(n+l)}; l=n2-n1
Proceso estocástico Estacionario en sentido amplio
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Proceso Estacionario y Ergódico
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Para un proceso se cuenta con un conjunto reducido de
realizaciones,
¿como se puede caracterizar el proceso ?
Debe cumplir determinadas propiedades, para que de una
realización se obtengan los parámetros estadísticos.
Debe ser ergódico
Procesos estacionarios y ergódicos
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Un proceso estocástico es ergódico si sus momentos (los promedios
de cada variable aleatoria de la secuencia) coinciden con los
promedios temporales de cualquiera de sus realizaciones
Procesos estacionarios y ergódicos
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Definición
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x(n,ζ)
n
x(no,ζ) Variable aleatoria
x(n,ζ1)Realización
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Para un proceso estocástico es importante conocer las
Funciones densidad y sus momentos
Se estima a partir de una realización del proceso.
Para una realización, sólo se tiene un resultado, un valor de
cada variable aleatoria
Los momentos de cada variable aleatoria
Se estiman a partir de una realización
Procesos estacionarios y ergódicos
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Procesamiento Digitalde Señales
Para obtener los parámetros del proceso con una realización
se deben tener todos los valores y se realizarían según
Procesos estacionarios y ergódicos
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Parámetros a Obtener
Valor medio {x(n)}
Valor Medio Cuadrático {|x(n)|2}
Varianza {|x(n)-{x(n)}|2}
Autocorrelación {x(n)x(n-l)*}
Autocovarianza {[x(n)-{x(n)}] [x(n-l)-{x(n)}]*}
Crosscorrelación {x(n)y(n-l)*}
Crosscovarianza {[x(n)-{x(n)}] [y(n-l)-{y(n)}]*}
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Obvio que no se pueden obtener todas las muestras de una
realización, entonces se utiliza
Procesos estacionarios y ergódicos
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Densidad espectral de potencia
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La densidad espectral de potencia de un proceso
estocástico es x(n) es la transformada de Fourier de la
función de autocorrelación rx(l) y se puede definir como
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Densidad espectral de potencia cruzada
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La densidad espectral de potencia de dos proceso estocástico x(n) e y(n) se obtiene a través de la crosscorrelación rxy(l)
Y la función de crosscorrelación rxy(l) es
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Densidad espectral de potencia cruzada
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Propiedad importante
1. Es una función compleja y periódica de ω de periodo
2π y cumple que
Rxy(W)=R*xy(W)
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Función Densidad espectral de potencia compleja
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Si las secuencias rx(l) y rxy(l) son sumables absolutamente se puede definir su transformada Z
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Densidad espectral de potencia
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Ejemplo Obtenga el espectro de potencia y el espectro de potencia complejo de la función
rx(l)=a|l| -1<a<1Respuesta
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Densidad espectral de potencia
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Densidad espectral de potencia
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Densidad espectral de potencia
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Próxima actividad Sistemas Lineales con estímulo
aleatorio
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