Embed Size (px)
Citation preview
Geometria Plana Especialização 2008 - p. 1
Geometria Plana - Aula 02
Elaine PimentelUniversidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Matemática
● Esquema da aula
● Triângulos
● Congruência de triângulos
●1o caso: LAL
●2o caso: ALA
●3o caso: LLL
●3o caso: LLL
Geometria Plana Especialização 2008 - p. 2
Esquema da aula
Definição de triângulo.
Classificação.
Congruência de triângulos.
● Esquema da aula
● Triângulos
● Congruência de triângulos
●1o caso: LAL
●2o caso: ALA
●3o caso: LLL
●3o caso: LLL
Geometria Plana Especialização 2008 - p. 3
Triângulos
Dados três pontos A, B e C não colineares, chamamos detriângulo a reunião dos segmentos AB, AC e BC.
Elementos: vértices, lados, ângulos.
Classificação quanto aos lados: equiláteros, isósceles,escalenos.
Classificação quanto aos ângulos: retângulo, acutângulo,obtusângulo.
● Esquema da aula
● Triângulos
● Congruência de triângulos
●1o caso: LAL
●2o caso: ALA
●3o caso: LLL
●3o caso: LLL
Geometria Plana Especialização 2008 - p. 4
Congruência de triângulos
Um triângulo é congruente a outro se e somente se é possívelestabelecer uma correspondência entre seus vértices demodo que:■ seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do
outro;■ seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos
do outro.
A definição de congruência de triângulos dá todas ascondições que devem ser satisfeitas para que dois triângulossejam congruentes.
Apresentaremos aqui condições mínimas.
● Esquema da aula
● Triângulos
● Congruência de triângulos
●1o caso: LAL
●2o caso: ALA
●3o caso: LLL
●3o caso: LLL
Geometria Plana Especialização 2008 - p. 5
1o caso: LAL
Postulado LAL. Se dois triângulos têm ordenadamentecongruentes dois lados e o ângulo compreendido, então elessão congruentes.
Teorema do triângulo isósceles. Se um triângulo é isósceles, osângulos da base são congruentes.
Prova:
Exercício 1. Dado o quadrilátero ABCD tal que o segmento AB
bissecta os ângulos CAD e CBD, prove que△ABC ≡ △ABD.
● Esquema da aula
● Triângulos
● Congruência de triângulos
●1o caso: LAL
●2o caso: ALA
●3o caso: LLL
●3o caso: LLL
Geometria Plana Especialização 2008 - p. 6
2o caso: ALA
Teorema ALA. Se dois triângulos têm ordenadamentecongruentes um lado e dois ângulos a ele adjacentes, entãoesses triângulos são congruentes.
Prova: Seja X na semi-reta−−−→B′A′ tal que B′X = BA. Logo
△ABC ≡ △XB′C′ e portanto BCA = B′C′X . ComoBCA = B′C′A′, temos X = A′. Logo B′A′ ≡ BA e pelopostulado LAL, △ABC ≡ △A′B′C′.
Recíproca do teorema do triângulo isósceles. Se um triângulopossui dois ângulos congruentes, então ele é isósceles.
Prova:
● Esquema da aula
● Triângulos
● Congruência de triângulos
●1o caso: LAL
●2o caso: ALA
●3o caso: LLL
●3o caso: LLL
Geometria Plana Especialização 2008 - p. 7
3o caso: LLL
Teorema LLL. Se dois triângulos têm ordenadamentecongruentes os três lados, então esses triângulos sãocongruentes.
Prova: Seja X no semiplano oposto ao de C ′ em relação àreta A′B′ tal que XA′B′ ≡ CAB e A′X ≡ AC. Então temosque A′X ≡ A′C′. Seja D o ponto de interseção de C ′X com areta A′B′.
● Esquema da aula
● Triângulos
● Congruência de triângulos
●1o caso: LAL
●2o caso: ALA
●3o caso: LLL
●3o caso: LLL
Geometria Plana Especialização 2008 - p. 8
3o caso: LLL
Então △ABC ≡ △A′B′X o que implica que XB′ ≡ CB etambém XB′ ≡ C′B′ e portanto △A′C′X é isósceles de baseC′X e portanto A′C′X ≡ A′XC ′. Também, △B′C′X éisósceles de base C′X implica B′C′X ≡ B′XC ′. Logo
A′C′B′ ≡ A′XB′
e portanto
△A′B′C′≡ △A′B′X ⇒ △ABC ≡ △A′B′C′
Exercício 2. Se dois triângulos retângulos têm ordenadamentecongruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulossão congruentes.
