Conic section-clip vidva

คณิตศาสตร เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย www.clipvidva.com

1

เรขาคณติวเิคราะห์ และภาคตดักรวย

ในเรื่องเรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย เปนบทท่ีเอาไปประยุกตใชตอในหลายๆเรื่องท่ีเกี่ยวกับรูปทรงตางๆในวิชาตางๆท้ัง ฟสิกส หรือคณิตศาสตร นองๆหลายคนมีปญหากับบทนี้นะครับวาคอนขางยากเนื่องจากสูตรเยอะ ประยุกตคอนขางมาก และทําขอสอบไมทัน พี่มั่นใจวาถาต้ังใจเรียนซะหนอยปญหาเหลานี้นาจะหมดไปนะครับ

เรขาคณิตวิเคราะห และภาคตัวกรวย

1. จุด

3. วงกลม

6. พาราโบลา

2. เสนตรง

1.1) ระยะหางระหวางจุดสองจุด

4. วงรี

5. ไฮเพอรโบลา

1.2) จุดกึ่งกลางระหวางจุดสองจุด

1.3) จุดที่แบงระยะทางเปนระยะ m:n

1.4) จุดตัดเสนมัธยฐานสามเหลี่ยม

2.1) ความชัน

2.2) สมการเสนตรง

2.3) ระยะหางระหวางจุดกับเสนตรง

2.4) ระยะหางระหวางเสนตรงคูขนาน


2

1. จุด

การเขียนช่ือจุดนิยมใชตัวอักษรใหญ เชน จุด P,จุด Q และอาจเขียนกํากับดวยคูอันดับในพิกัดฉาก ใน

รูป P(x,y) เชน Q(2,-4) ใชแทนจุดท่ีช่ือ Q และ มีพิกัดเปน (2,-4)

1.1 ระยะหางระหวางจุดสองจุด สัญลักษณท่ีใชแทนระยะทางระหวางจุด P กับ Q คือ PQ หรือ PQ

2 2

2 1 2 1PQ (x x ) (y y )= − + −

(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)

1.2 จุดก่ึงกลางระหวางจุดสองจุด

1 2 1 2x x y yR( , )

2 2

+ +

(ท่ีมา: คณิต มงคลพิทักษสุข , “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554)

1.3 จุดที่แบงระยะทางเปนระยะ m:n

1 2 1 2mx nx my nyR( , )

m n m n

+ ++ +


Q(x2,y2)

P(x1,y1)

Q(x2,y2)

P(x1,y1)

Q(x2,y2)

P(x1,y1)

n

m


3

ตัวอยาง กําหนดพิกัดจุด P(1,-2) และ Q(-5,4)

ก.ระยะ PQ เทากับเทาใด

ข.ใหหาจุดกึ่งกลางของ PQ

ค.ใหหาพิกัดจุด R ท่ีทําให PR : RQ 2 : 3=

1.4 จุดตัดของเสนมัธยฐานสามเหลี่ยม



4

ตัวอยาง กําหนดสามเหล่ียมรูปหนึ่งมีจุดยอดอยูท่ี A(2,8), B(6,12), C(-2,-4) ถาจุด P และ Q อยูบนดาน A B และ BC ตามลําดับ โดยมีอัตราสวน AP : PB 1 : 3= และ BQ : BC 3 : 4= ใหหาคาของ PQ

ตัวอยาง ขอความตอไปนี้ถูกหรือผิด

ก.จุด A(10,5), B(3,2), C(6,-5) เปนจุดมุมของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

ข.จุด D(1,2), E(-3,10), F(4,-4) อยูบนเสนตรงเดียวกัน

ค.จุด A(-2,3), B(-6,1), C(-10,-1) อยูบนเสนตรงเดียวกัน


5

ตัวอยาง ใหหาจุด P บนแกน X ซึ่งอยูหางจากจุด P1 (1,-2) และP2 (3,5) เปนระยะเทากัน

ตัวอยาง ถา (m,n) เปนจุดตัดของเสนมัธยฐานของสามเหล่ียมรูปหนึ่งซึ่งมีจุดยอดอยูท่ี (4,5), (-4,7)

และ (4,1) แลว คา m-n เทากับเทาใด

2. เส้นตรง

2.1 ความชัน (slope; m) ของเสนตรง ความชันของเสนตรง คือ อัตราสวนระหวางคา y ท่ีเปล่ียนแปลงไป ตอคา x ท่ีเปล่ียนแปลงไป ใช

สัญลักษณ m โดยคา m อาจะเปนบวก หรือลบ หรือเปนศูนยก็ได

- ถา m>0 แสดงวา เสนตรงนี้เฉียงข้ึนทางขวา

- ถา m<0 แสดงวา เสนตรงนี้เฉียงลงทางขวา

- ถา m=0 แสดงวา เปนเสนนอนขนานแกน x

- และสําหรับเสนต้ังขนานกับแกน y นั้น m หาคาไมได (เปนอนันต)


6


2.2 สมการของเสนตรง รูปท่ัวไปท่ี1 ของสมการเสนตรงคือ Ax+By+C = 0 ( โดยท่ี A,B,C เปนจํานวนจริงใดๆ )

รูปท่ัวไปท่ี2 ของสมการเสนตรงในรูป y=mx+c โดย m คือความชัน และ c คือระยะตัดแกน y


จากสมการท่ัวไปท่ี1 และ 2 เราสามารถสรุปไดวา

สมการรูปท่ัวไปท่ี1ของเสนตรง สามารถจัดใหอยูในลักษณะ A C

y xB B

= − − จึงทําใหทราบวา คา

ความชัน m = A

B− และระยะตัดแกนy c=

C

B− เสมอ

ขอควรรู


7

ตัวอยาง กําหนดพิกัดจุด P(1,3) และ Q(5,9)

ก . ความชันของเสนตรงท่ีผานจุด P และ Q เทากับเทาใด

ข.ใหหาสมการเสนท่ีตรงท่ีผานจุด P และ Q

ตัวอยาง กําหนดพิกัดจุด P(1,3) และ Q(5,9) ใหหาสมการของเสนตรง L ซึ่งต้ังฉากกับ เสนตรงPQ

และผานจุดกึ่งกลางของเสนตรง PQ

2.3 ระยะหางระหวางจุดกับเสนตรง



8

สมการระยะหางนี้มีการแทนคาจุด (x1,y1) ลงในสมการเสนตรงในรูป Ax+By+C=0 ซึ่งจะสอดคลอง

กับความรูพื้นฐานท่ีวา ถาแทนคาแลวไดเทากับ 0 หมายถึงจุดๆนี้อยูบนเสนตรงพอดี จากสูตรก็จะไดระยะทาง

เทากับ 0 ดวย

2.4 ระยะหางระหวางเสนตรงคูขนานทั้งสองเสน


ตัวอยาง กําหนดเสนตรง L1 : 2x+3y-24 = 0

ก.ระยะทางจากจุด S(-2,5) ไปยังเสนตรง L1 เทากับเทาใด

ข.ใหหาสมการเสนตรงท่ีอยูหางจาก L1 เปนระยะ 2 13 หนวย

ขอสังเกต


9

ค.ใหหาจุดบนเสนตรง L2 : 2x+y-6 = 0 ซึ่งอยูหางจาก L1 เปนระยะ 2 13 หนวย

ตัวอยาง กําหนดสมการเสนตรง L3 : 3x y 2 3+ = และ L4 : 3x 3y 18+ =

ก.เสนตรงท่ีขนานกับ L3 จะตองมีความชันเทาใด

ข.มุมระหวาง L4 กับแกน x ท่ีเปนมุมแหลม มีขนาดกี่องศา


10

3. วงกลม

วงกลม คือ “เซตของคูอันดับท่ีอยูหางจากจุดคงท่ีจุดหนึ่ง เปนระยะเทากัน” เรียกจุดคงท่ีนั้นวา จุด

ศูนยกลาง (Center; C) และเรียกระยะทางนั้นวา รัศมี (Radius; r)

สมการวงกลม

สมการของวงกลม ถูกสรางข้ึนจากสมการระยะทางระหวางจุดสองจุด โดยอาศัยหลักการวา ระยะทาง

จากจุด (x,y) ใดๆท่ีอยูบนวงกลม ไปยังจุดศูนยกลาง จะตองมีคาคงท่ีเทากับความยาวรัศมีเสมอ


ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรูปวงกลมท่ีมีสมการเปน 2 2x y 2x 4y 10 0+ + − − =


11

ตัวอยาง ใหสมการวงกลมท่ีมีจุดศุนยกลางอยูท่ี (1,-2) และผานจุด (2,1) และตอบในรูป

Ax2+By2+Dx+Ey+F=0 โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม

ตัวอยาง ใหหาสมการท่ัวไปของวงกลมท่ีมีลักษณะดังแตละขอตอไปนี้

ก.มีจุดศูนยกลางอยูท่ี (3,4) และผานจุด (1,1)

ข.ผานจุด (1,-5) และผานจุดตัดท้ังสองของวงกลม 2 2x y 2x 2y 8 0+ − + − = กับ2 2x y 3x 3y 8 0+ + − − =



12

ค.เสนผานศูนยกลางเสนหนึ่ง เช่ือมระหวางจุด (1,1) กับ (2,2)

3.1 เสนสัมผัสวงกลม เสนสัมผัสวงกลม คือ เสนตรงท่ีลากผานจุดบนวงกลมเพียงจุดเดียวเทานั้น โดยเรียกจุดๆ นี้วาจุด

สัมผัส มีสมบัติทางเรขาคณิตอยางหนึ่งของรูปวงกลมท่ีกลาววา เสนสัมผัสวงกลมจะต้ังฉากกับรัศมี ณ จุด

สัมผัสนั้นเสมอ


ตัวอยาง ใหหาความยาวของเสนสัมผัสท่ีลากจากจุด (0,1) ไปยังจุดสัมผัสบนวงกลม

3x2+3y2+11x+15y = -9


13

ตัวอยาง ใหหาสมการของเสนตรง ท่ีสัมผัสวงกลม 2 2x y 8+ = ท่ีจุด (2,2)

ตัวอยาง ใหหาคา k ท่ีทําให 2 2x y 6x 8y k 0+ − + + = เปนวงกลม

ตัวอยาง เสนตรงเสนหนึ่งมีความชันเทากับ 4 3− และผานจุดศูนยกลางวงกลม 2 2x y 4x 2y 1 0+ − + + = ถาเสนตรงเสนนี้ตัดกับวงกลมนี้ท่ีจุด A กับ B และกําหนดจุด D(-1,-2) แลว

พื้นท่ีของสามเหล่ียม ABD เทากับเทาใด


14

4. วงร ี

วงรี คือ “เซตของคูอันดับท่ี ผลรวมของระยะทางไปยังจุดคงท่ีสองจุดมีคาเทากัน” เรียกจุดคงท่ีสอง

จุดนั้นวา จุดโฟกัส (F1, F2) และนอกจากนี้ระยะทางรวมซึ่งเปนคาคงท่ีนั้น จะมีคาเทากับความยาวของแกน

เอก (2a) พอดี

แกนเอก (Major Axis) คือเสนแสดงความยาวของวงรี ( 1 2V V ) ยาว 2a หนวย และ แกนโท (Minor

Axis) คือเสนแสดงความกวางของวงรี ( 1 2B B ) ยาว 2b หนวย โดยท่ี a > b เสมอ

คา a และ b เทียบไดกับรัศมีวงกลม, แกนเอกและแกนโท เทียบไดกับเสนผานศูนยกลางของวงกลม

ตางกันตรงท่ีแนวนอนและแนวต้ังของวงรีจะยาวไมเทากัน

สมการวงรี



15

เมื่อพิจารณารูปวงรีทีละดาน จะมีลักษณะโคงคลายรูปถวย ซึ่งแตละรูปนั้นจะมีจุดโฟกัสอยูภายในโคง

ดวย และระยะโฟกัส c สามารถหาไดจากคา a กับ b โดยมีความสัมพันธกันในรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ซึ่งมีดาน

a ยาวท่ีสุด นั่นคือ 2 2c a b= −

ตัวอยาง ใหสมการวงรีท่ีมีจุดศูนยกลางอยูท่ี (2,1) มีจุดโฟกัสอยูท่ี (2,4) และจุดยอดอยูท่ี (2,-4) และ

ตอบในรูป 2 2Ax By Dx Ey F 0+ + + + = โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม

ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรูปวงรีซึ่งมีสมการเปน 2 27x 16y 28x 96y 60 0+ + − + =

และต้ังฉากกับเสนตรง 3x+4y = 5

ขอควรรู


16

ตัวอยาง ใหหาสมการรูปท่ัวไปของวงรี ท่ีมีลักษณะดังแตละขอตอไปนี้

ก.จุดศูนยกลางอยูท่ี (3,-1) แกนเอกขนานกับแกน y และยาว 8 หนวย โดยแกนโทยาว6 หนวย

ข.จุดยอดอยูท่ี (-4,2) และ (2,2) โดยแกนโทยาว 4 หนวย

ค.จุดศูนยกลางอยูท่ี (-2,1) มีจุดโฟกัสท่ี (-2,4) และผานจุด (-6,1)

ตัวอยาง ใหหาสมการเสนตรงท่ีผานจุดศูนยกลางของวงรี 2 24x 9y 48x 72y 144 0+ − + + =


17

ตัวอยาง ระยะหางระหวางเสนตรงคูขนานท่ีทํามุม 45° กับแกน x และผานจุดโฟกัสท้ังสองของวงรี 2 2x 3y 4x 2 0+ − − =

ANET50 ถา k, l และ m เปนจํานวนจริงท่ีทําใหวงรี 2 2kx ly 72x 24y m 0+ − − + = มีจุด

ศูนยกลางอยูท่ีจุด (4,3) และสัมผัสแกน y แลว ขอใดตอไปนี้ผิด

ก.ความยาวแกนเอกเทากับ 12 หนวย

ข.ความยาวแกนโทเทากับ 8 หนวย

ค.ระยะหางระหวางจุดโฟกัสท้ังสองเทากับ 4 5 หนวย

ง.จุด (2,6) อยูบนวงร ี

ANET 49 วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนยกลาง อยูท่ีจุดศูนยกลางของวงรีท่ีมีสมการเปน 2 29x 4y 36x 24y 36 0+ − − + = ถาวงกลมวงนี้สัมผัสกับเสนตรงท่ีผานจุด (1,3) และ (5,0) แลวรัศมีของ

วงกลมวงนี้เทากับเทาใด


18

5. ไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอรโบลา คือ “เซตของคูอันดับท่ี ผลตางของระยะทางไปยังจุดคงท่ีสองจุดมีคาเทากัน” เรียกจุด

คงท่ีสองจุดนั้นวา จุดโฟกัส (F1,F2) และผลตางระยะทางซึ่งเปนคาคงท่ีนั้น จะมีคาเทากับความยาวของแกน

ตามขวาง (2a) พอดี

แกนตามขวาง ( Transversal Axis) 1 2V V ยาว 2a หนวย และ แกนสังยุค (Conjugate Axis) 1 2B B

ยาว 2b หนวย (โดย a กับ b ยาวเทาใดก็ได) ใชประกอบกันในการสราง เสนกํากับ (Asymptote) 2 เสน เพื่อ

บังคับความกวางของไฮเพอรโบลา

สมการไฮเพอรโบลา



19

ไฮเพอรโบลามุมฉากเอียง

ไฮเพอรโบลาท่ีมีคา a=b (กรอบส่ีเหล่ียมจัตุรัส)นั้น รูปวงรีในกรอบจะกลายเปนวงกลม และเสนกํากับ

2 เสนต้ังฉากกันพอดี เรียกไฮเพอรโบลาแบบนี้วาเปน ไฮเพอรโบลามุมฉาก (Rectangular Hyperbola)




20

ตัวอยาง ใหสรางสมการไฮเพอรโบลาท่ีมีจุดศูนยกลางท่ี (2,1) มีจุดโฟกัสท่ี (2,-4) และจุดยอดท่ี (2,4)

และตอบในรูป 2 2Ax By Dx Ey F 0+ + + + = โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม

ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรูปไฮเพอรโบลาท่ีมีสมการเปน 2 2x 5y 10y 25 0− + − =

ตัวอยาง ใหหาสมการท่ัวไปของไฮเพอรโบลา ท่ีมีลักษณะดังแตละขอตอไปนี้

ก.จุดศูนยกลางอยูท่ี (-3,1) มีจุดยอดท่ี (2,1) และแกนสังยุคยาว 6 หนวย


21

ข.จุดโฟกัสอยูท่ี (-1,-6) และ (-1,4) โดยแกนตามขวางยาว 6 หนวย

ตัวอยาง ถาภาคตัดกรวยรูปหนึ่งมีสมการเปน 2 29x 16y 18x 64y 199 0− − − − = แลวผมรวม

ของระยะทางจาดจุกโฟกัสท้ังสองไปถึงเสนตรง 3x+4y = 8 เปนเทาใด

ตัวอยาง กําหนดไฮเพอรโบลา 2 29(x 1) 4(y 2) 36− − − = ใหหาสมการวงรีซึ่ง ผลบวกของ

ระยะทางจากจุดใดๆบนวงรี ไปยังจุดท่ีไฮเพอรโบลาตัดแกน x ท้ังสองจุด เปน 8 หนวย

ตัวอยาง กําหนด E แทนวงรี 2 26x 5y 12x 20y 4 0+ + − − = ใหหาสมการไฮเพอรโบลาท่ีมีจุด

ศูนยกลางรวมกับ E มีจุดยอดอยูท่ีเดียวกับจุดโฟกัสของ E และมีความยาวแกนสังยุคเทากับความยาวแกนโท

ของ E พอดี


22

PAT1 ก.ค.53 กําหนดวงกลมรูปหนึ่งมีจุดปลายของเสนผานศูนยกลางอยูบนจุดศูนยกลางและจุดโฟกัสดาน

หนึ่งของไฮเพอรโบลา 2 29x 16y 90x 64y 17 0− − + + = แลววงกลมดังกลาวมีพื้นท่ีเทากับขอใดตอไปนี้

ANET 50 ถาเสนกํากับของไฮเพอรโบลา 2 216x 9y 32x 36y 164 0− + + − = ตัดแกน x ท่ีจุด A

และ B แลว ระยะระหวาง A, B ยาวกี่หนวย

PAT1มี.ค. 53 กําหนดใหวงรีรูปหนึ่งมี สมการเปน 2 225x 21y 100x 42y 404 0+ + − − = แลว

ไฮเพอรโบลาท่ีมีจุดยอดอยูท่ีจุดโฟกัสท้ังสองของวงรีและผานจุด ( 3,1 8 )− + มีสมการตรงกับขอใดตอไปนี้

ก. 2 25y 4x 10 8y 32x 25 0− − − − =

ข. 2 23y 2x 6 8y 8x 15 0− − − + =

ค. 2 2y 4x 2y 16x 19 0− − − − =

ง. 2 2y 7x 2y 28x 28 0− − − − =


23

6. พาราโบลา

พาราโบลา คือ “เซตของคูอันดับท่ีมีระยะหางจากจุดคงท่ีจุดหนึ่ง เทากับระยะไปยังเสนตรงคงท่ีเสน

หนึ่ง” เรียกจุดคงท่ีจุดนั้นวา จุดโฟกัส (Focus; F) เรียกเสนตรงคงท่ีเสนนั้นวา ไดเรกตริกซ (Directrix; เสน

บังคับ)

รูปก ราฟท่ีไดจะมีลักษณะเปนเสนโคงคลายถวย สองดานสมมาตรกัน โดยเสนสมมาตรจะผานจุดโฟกัส

และต้ังฉากกับเสนไดเรกตริกซ เรียกเสนนี้วา แกน (Axis) ของพาราโบลา และจุกวกกลับของพาราโบลาจะ

เรียกวา จุดยอด (Vertex) อยูกึ่งกลางระหวางจุดโฟกัสกับเสนไดเรกตริกซพอดี (ตามนิยามท่ีไดกลาวขางตน)

สมการพาราโบลา



24

ตัวอยาง ใหหาสมการรูปท่ัวไปของพาราโบลา ท่ีมีลักษณะดังนี้

ก.จุดยอดอยูท่ี (-2,3) และจุดโฟกัสอยูท่ี (5,3)

ข.จุดยอดอยูท่ี 0 และผานจุด (-4,-6) โดยมีแกน x เปนแกนสมมาตร

ค.จุดโฟกัสอยูท่ี (2,2) และมีสมการไดเรกตริกซเปน x+2=0



25

ง.ผานจุด (1,3), (9,1) และ (51,-2) โดยแกนสมมาตรขนานกับแกน x

ตัวอยาง คอรดท่ีเกิดจากเสนตรง 2x-y=8 ตัดกับพาราโบลา y2=8x มีความยาวเทาใด

ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆของรูปพาราโบลาท่ีมีสมการเปน 2x 2x 2y 3 0− − − =

ตัวอยาง ใหสรางสมการพาราโบลาท่ีมีจุดยอดอยูท่ี (1,-2) และผานจุด (2,1) โดยมีแกนสมมาตรแนวต้ัง

และตอบในรูป 2 2Ax By Dx Ey F 0+ + + + = โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม


26

ตัวอยาง ใหหาสมการพาราโบลาท่ีผานจุดของเสนตรง x=y กับวงกลม x2+y2+6x=0 โดยมีแกน x เปน

แกนสมมาตร

ตัวอยาง จุดบนโคง 24y (x 1)= − ซึ่งอยูหางจากจุดโฟกัส 13 หนวย จะอยูหางจากแกน x เทาใด

PAT1มี.ค. 54 ใหเสนตรง x-y+2=0 ตัดกับวงกลม 2 2x y 6x 4y 4 0+ + − + = ท่ีจุด A และ จุด B ถา

(a,b) เปนจุดโฟกัสของพาราโบลาซึ่งมีเสนตรง y=2 เปนแกนของพาราโบลาและพาราโบลานี่ผานจุด A และจุด

B แลว a+b เทากับเทาใด


27

ANET 51 ให A และ B เปนจุดยอดของไฮเพอรโบลา 2 24x y 24x 6y 11 0− − + + = สมการของ

พาราโบลาท่ีมี เสนตรงAB เปนเลตัสเรกตัม และมีกราฟอยูเหนือแกน x คือสมการในขอใดตอไปนี้

ก. 2(x 3) 4(y 2)− = − ข. 2(x 3) 8(y 1)− = −

ค. 2(x 2) 4(y 2)− = − ง. 2(x 2) 8(y 1)− = −

ENTมี.ค. 48 กําหนดใหพาราโบลารูปหนึ่งมีสมการเปน 2y 16x 4y 12 0− − − = ถา L เปนเสนตรงท่ี

ผานโฟกัสของพาราโบลารูปนี้ และต้ังฉากกับเสนตรง 3x-2y+5 = 0 แลว ระยะตัดแกน y ของเสนตรง L มีคา

เทากับเทาใด

ENTต.ค. 46 ให H เปนไฮเพอรโบลา 2 24x 12y 16x 72y 44 0− + + + + = ซึ่งมีจุดโฟกัสคือ F1 และ

F2 ให E เปนวงรีซึ่งมีจุดศูนยกลางรวมกับ H โดยมี F1 และ F2 เปนจุดยอด และสัมผัสแกน y ถา E ตัดแกน x

ท่ีจุด A และ B แลว AB ยาวเทากับเทาใด


28

เอกสารอางอิง

คณิต มงคลพิทักษสุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สํานักพิมพ Science Center, 2554.

สมัย เหลาวานิชย, รศ., “ตะลุยคลังขอสอบเขามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร สาระการเรียนรูพื้นฐานและ

เพิ่มเติม”, สํานักพิมพไฮเอ็ด พับบลิชช่ิง.

http://kruaun.wordpress.com/testbank/pat1/

http://th.wikipedia.org/wiki/เรขาคณิตวิเคราะห

http://www.se-ed.com/eShop/(A(AL6pITGrygEkAAAAYjc2MWRjNzgtYTc5Yy00OTc2LTk0MGUtODQ1M2ZkZTBkYTg0PFDIt43WQO5K9Yk4v9matQvqJ641))/Search/SearchList.aspx?Keyword=%CA%C1%D1%C2-%E0%CB%C5%E8%D2%C7%D2%B9%D4%AA%C2%EC,-%C3%C8.&SearchType=Author&SelectType=All

Documents

Conic section-clip vidva