Cônicas - nsaulasparticulares.com.brnsaulasparticulares.com.br/wp-content/uploads/2014/07/Geometria... · ( ) O semieixo maior da elipse 9x2 + 4y2 = 36 é paralelo ao eixo real da

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Cônicas

1. (Espcex (Aman) 2014) Sobre a curva 9x2 + 25y

2 – 36x + 50y – 164 = 0, assinale a

alternativa correta. a) Seu centro é (– 2,1). b) A medida do seu eixo maior é 25. c) A medida do seu eixo menor é 9. d) A distância focal é 4. e) Sua excentricidade é 0,8.

2. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana 2 2x y 4y 0 e a

parábola α de equação 2y 4 x .

a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com .α

b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola .α

Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as

inequações 2 2x y 4y 0 e 2y 4 x .

3. (Uem 2013) Sobre a cônica de equação 2 2x 4y 9, assinale o que for correto.

01) Trata-se de uma elipse. 02) A cônica intercepta o eixo das abscissas em (3,0) e (−3,0). 04) Se A e B são pontos da cônica que não são colineares com os focos D e E da cônica, os

triângulos ADE e BDE possuem o mesmo perímetro.

08) A circunferência centrada na origem e de raio 2 tangencia essa cônica.

16) O ponto 1

2 2,2

pertence à cônica.


4. (Ufpe 2013) A seguir, estão ilustradas partes dos gráficos das parábolas A e B, com

equações respectivas 2y x 8x 13 e 2y x – 4x – 3.

Analise as proposições abaixo, acerca dessa configuração. ( ) Um dos pontos de interseção das parábolas A e B tem coordenadas (1,–6). ( ) O vértice da parábola A é o ponto (4,2). ( ) A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas A e B tem equação

y 2x – 6.

( ) A distância entre os vértices das parábolas A e B é 102. ( ) A parábola B intercepta o eixo das ordenadas no ponto com coordenadas (0,–3). 5. (Epcar (Afa) 2013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse

de equação 2 2x 9y 8x 54y 88 0 é correto afirmar que

a) tem raio igual a 1. b) tangencia o eixo das abscissas. c) é secante ao eixo das ordenadas. d) intercepta a reta de equação 4x – y 0.

6. (Unesp 2013) Os pontos A e C são intersecções de duas cônicas dadas pelas equações

2 2x y 7 e 2y x –1, como mostra a figura fora de escala. Sabendo que 2 3

tg 493

e

tomando o ponto B 0,– 7 , determine a medida aproximada do ângulo ÂBC, em graus.

7. (Fgv 2013) Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação analítica

2 2(x 2) 4(y 5) 36, e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação,

então, m n é igual a a) 8. b) 7. c) 6. d) 4. e) 3.


8. (Udesc 2013) A área delimitada por uma elipse cuja equação é 2 2

2 2

x y1

a b é dada por

A ab .π Então, a área da região situada entre as elipses de equações 2 216x 25y 400 e

2 216x 9y 144 é:

a) 12 u.a.π

b) 20 u.a.π

c) 8 u.a.π

d) 256 u.a.π

e) u.a.π

9. (Ufrn 2013) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo.

O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as posições dos focos. Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a distância entre cada foco e a parede mais próxima é de a) 3 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. 10. (Uftm 2012) Os pontos P e Q estão na parábola dada por y = 4x

2 + 7x – 1, e a origem do

sistema de coordenadas cartesianas está no ponto médio de PQ. Sendo assim, P e Q são

pontos que estão na reta

a) 15x

y .2

b) y 7x.

c) 13x

y .2

d) y 6x.

e) 11x

y .2


11. (Uepb 2012) Deseja-se construir uma praça em forma de elipse em um terreno retangular

de dimensões x metros e y metros, com x y, de perímetro 300 m e área 25000 m , conforme

nos mostra a figura.

Estando previstas as instalações de duas torres de iluminação, uma em cada foco da elipse,

1 2F e F , local de melhor distribuição e aproveitamento das mesmas, concluímos que a

distância em metros entre as torres é

a) 100 3

b) 25 3

c) 50 3

d) 40 3

e) 30 3 12. (Espcex (Aman) 2012) A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação

2 29x y 36x 8y 11 é dada por

a) duas retas concorrentes. b) uma circunferência. c) uma elipse. d) uma parábola. e) uma hipérbole. 13. (Espcex (Aman) 2012) Num estádio de futebol em forma de elipse, o gramado é o retângulo MNPQ, inscrito na cônica, conforme mostra a figura. Escolhendo o sistema de coordenadas cartesianas indicado e tomando o metro como unidade, a elipse é descrita pela

equação 2 2

2 2

x y1.

36 60 Sabe-se também que os focos da elipse estão situados em lados do

retângulo MNPQ.

Assim, a distância entre as retas MN e PQ é a) 48 m b) 68 m c) 84 m d) 92 m e) 96 m


14. (Ufpb 2011) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para

fazer o projeto de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m x 120 m, onde deverá ser construído um jardim em forma de elipse na parte central.

Estão destacados na figura os segmentos AC e BD que são, respectivamente, o eixo maior e o menor da elipse, bem como os pontos F1 e F2, que são os focos da elipse onde deverão ser colocados dois postes de iluminação. Com base nessas informações, conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será, aproximadamente, de: a) 68 m b) 72 m c) 76 m d) 80 m e) 84 m

15. (Ime 2010) Uma hipérbole de excentricidade 2 tem centro na origem e passa pelo ponto

5,1 .

A equação de uma reta tangente a esta hipérbole e paralela a y 2x é:

a) 3 y 2 3 x 6

b) y 2x 3 3

c) 3y 6x 2 3

d) 3 y 2 3 x 4

e) y 2x 3

16. (Uft 2010) Considere IR o conjunto dos números reais e b IR . Encontre os valores de b,

tais que no plano cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a elipse 2

2xy 1

4 em um único

ponto. A soma dos valores de b é: a) 0 b) 2

c) 2 5

d) 5

e) 2 5


17. (Unesp 2010) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades.

Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura.

Vamos admitir que:

I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de

excentricidade 0,943;

II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua;

III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas

e pista).

Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a

distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente:

Dado: 0,9432 ≈ 0,889 e 0,111

a) 35. b) 30. c) 25. d) 20. e) 15. 18. (Udesc 2009) Analise as afirmações dadas a seguir, classifique-as como verdadeiras (V)

ou falsas (F).

( ) A equação x2 - 2x + y

2 + 2y + 1 = 0 representa uma circunferência que é tangente, tanto

ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas.

( ) A elipse de equação 9x2 + 4y

2 = 36 intercepta a hipérbole de equação x

2 - 4y

2 = 4 em

apenas dois pontos, que são os vértices da hipérbole.

( ) O semieixo maior da elipse 9x2 + 4y

2 = 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x

2 - 4y

2 = 4.

Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo.

a) V - V - V b) V - V - F c) F - V - F d) F - F - V e) V - F - F 19. (Ita 2008) Dada a cônica ë: x

2 - y

2 = 1, qual das retas abaixo é perpendicular à ë no ponto

P = (2, 3 )?

a) y = 3 x – 1 b) y = 3

x2

c) y = 3

x 13

d) y = -3

x 75

e) y = -3

x 42


20. (Unesp 2008) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma

estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais,

sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela

equação

2 2x y

100 25

= 1, com x e y em milhões de quilômetros.

A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que

o ângulo PÔA mede 4

π.

A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é:

a) 2 5 .

b) 2 10 .

c) 5 2 .

d) 10 2 .

e) 5 10 .


Gabarito: Resposta da questão 1:

[E] 9x

2 + 25y

2 – 36x + 50y – 164 = 0

9(x

2 – 4x + 4) + 25(y

2+ 2y + 1) = 164 + 36 + 25

9(x – 2)

2 + 25(y + 1)

2 = 225

2 2(x 2) (y 1)

125 9

Equação de uma elipse com centro no ponto (2, –1), eixo maior igual a 10, eixo menor igual a 6, distância focal igual a 8 e excentricidade e = 4/5 = 0,8. Portanto, a afirmação [E] é a verdadeira. Resposta da questão 2:

a) Resolvendo o sistema formado pelas equações de λ e ,α obtemos

2 2 2

2 2

2

2

2

x y 4y 0 x 4 y

y 4 x y 5y 4 0

x 4 y

y 5y 4 0

x 4 y

y 1 ou y 4

( 3,1) ou (0, 4).

b) Completando os quadrados, obtemos

2 2 2 2x y 4y 0 (x 0) (y 2) 4. Logo, λ possui centro em (0, 2) e raio 2.

Por outro lado, a equação canônica de α é 2y (x 0) 4. Assim, o ponto de máximo do

gráfico de α é (0, 4). Além disso, de (a) sabemos que α intersecta λ em ( 3, 1) e ( 3, 1).

Portanto, o conjunto dos pontos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações

2 2x y 4y 0 e 2y 4 x pertencem à região sombreada da figura abaixo.


Resposta da questão 3:

01 + 02 + 04 + 16 = 23. [01] Correto. Reescrevendo a equação, obtemos

2 2

2 2

x y1,

3 3

2

que é a equação de uma elipse centrada na origem, com a 3 e 3

b .2

[02] Correto. De (01), segue que a elipse intersecta o eixo das abscissas nos pontos

(a,0) (3,0) e ( a,0) ( 3,0).

[04] Correto. Pela definição de elipse, temos AD AE BD BE. Logo, como DE é lado

comum, segue o resultado. [08] Incorreto. De [01], sabemos que a elipse intersecta o eixo das ordenadas no ponto de

ordenada 3

y .2

Por outro lado, a circunferência centrada na origem e de raio 2

intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 2. Daí, como 3

2 1,4 1,5 ,2

concluímos que a elipse e a circunferência não se intersectam. [16] Correto. Temos

22 1

(2 2) 4 8 1 9.2

Resposta da questão 4: V – F – F – F – V. Resolvendo o sistema formado pelas equações das parábolas, encontramos:

2

2

y x 8x 13 x 1 e y 6.

x 5 e y 2y x 4x 3

Logo, os pontos de interseção das parábolas são (1, 6) e (5, 2).

A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas tem por equação

6 2y 2 (x 5) y 2x 8 2x 6.1 5

Completando o quadrado, obtemos:

2 2Ay x 8x 13 (x 4) 3,

donde concluímos que o vértice da parábola A é o ponto (4,3) (4, 2).

Completando o quadrado, vem


2 2By x 4x 3 (x 2) 7.

Daí, segue que o vértice da parábola B é o ponto (2, 7).

A distância entre os vértices das parábolas A e B é dada por

2 2(4 2) [3 ( 7)] 104 102.

A parábola B intersecta o eixo das ordenadas no ponto em que x 0, ou seja, (0, 3).

Resposta da questão 5: [B]

2 2x 9y 8x 54y 88 0

x2 – 8x + 16 + 9 (y

2 – 6y + 9) = –88 + 16 + 81

(x – 4)

2 + 9 (y – 3)

2 = 9

2(x 4) (y 3)1

2 23 1

Como o eixo maior da elipse mede 6 (3 + 3), concluímos que a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse possui centro no (4, 3) e raio 3; portanto, tangente ao eixo x. Resposta da questão 6:

Determinando os pontos A e C através da resolução de um sistema com as equações da parábola e da circunferência.

2 2

2

x y 7,

y x 1

A( 3,2) e C( 3,2) (figura abaixo)


Considerando, agora, o triângulo CDO:

2 2 3tg

33α ˆ ˆ49 COD 41 AOC 82α

ÂOC 82ÂBC 412 2

(ângulo inscrito)


[C]

Reescrevendo a equação 2 2(x 2) 4(y 5) 36, obtemos

2 2

2 2

(x 2) (y 5)1,

6 3

que é a equação de uma elipse centrada em (2, 5), com o semieixo maior paralelo ao eixo

das abscissas. Logo, como a 6 e b 3, temos m 2 6 8 e n 5 3 2. Portanto,

m n 8 ( 2) 6.


[C] Reescrevendo as equações das elipses, obtemos

2 22 2

2 2

x y16x 25y 400 1

5 4

e 2 2

2 2

2 2

x y16x 9y 144 1.

3 4

Logo, traçando os gráficos dessas elipses, vem


e, portanto, a área sombreada é dada por

(5 4 4 3) 8 u.a.π π


[C] Adotando convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no ponto

médio do segmento 1 2F F , considere a figura.

Temos 1A ( 10, 0), 2A (10, 0), 1B (0, 8), 2B (0, 8), 1F ( c, 0) e 2F (0, c), com

c 0. Logo, da relação fundamental da elipse, vem

2 2 2 2 2 2

1 2 2 1B F OF OB 10 c 8

c 6.

Portanto, a distância pedida é dada por

2 2OP OF 11 6 5 m.



[B]

Considere a figura, com , .

Como P( , ) e Q( , ) pertencem ao gráfico da parábola 2y 4x 7x 1, segue que

2 2

2 2

1

4 7 1 8 2 2.

74 7 1 4 7 12

Portanto, a equação da reta que passa por P e Q é dada por:

7

2y x x 7x.1

2


[C]

Sabendo que o perímetro do terreno mede 300 m e sua área 25000 m , temos

2(x y) 300 x y 150

xy 5000 xy 5000

x 100 e y 50

ou .

x 50 e y 100

Porém, como x y, segue-se que x 100 e y 50.

Daí, sendo 2OF f, pelo Teorema de Pitágoras, vem


2 22 2 2 2

2

x yf 50 25 f

2 2

f 25 3

f 25 3 m.

Portanto, o resultado é 2f 2 25 3 50 3 m.


[E] Completando os quadrados, obtemos

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

9x y 36x 8y 11 9(x 4x) (y 8y) 11

9[(x 2) 4] [(y 4) 16] 11

9(x 2) (y 4) 9

(x 2) (x 2)1,

1 3

que é a equação de uma hipérbole com eixo real paralelo ao eixo Ox. Resposta da questão 13: [E] Considere a figura.

Sejam 1F e 2F os focos da elipse.

Queremos calcular 1 2 1F F 2 OF .

Sabendo que 2 2

1 1FB 60 e 2 2

1OB 36 , da relação fundamental, vem

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

1

1

F B OB OF OF 60 36

OF 2304

OF 48 m.

Portanto, 12 OF 2 48 96 m.



[D]

2 2 2

2

d 30 50

d 1600

d 40m

2d 80m (distância focal)

Resposta da questão 15: [A]

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

c2 c a 2(I)

a

c a b (II).

De (I) e (II), temos:

a = b, logo a equação da hipérbole será

x y a .

Substituindo o ponto ( 5,1) na equação acima, temos:

5 1 a a 4.

Logo, a equação da hipérbole será dada p

2 2or: x y 4.


A equação da reta pedida é da forma y = 2x + k, já que é paralela à reta y = 2x.

Considerando o sistema 2 2x y 4 (I)

y 2x k (II)

e substituindo (II) em (I), encontraremos a seguinte

equação: 3x

2 + 4kx + k

2 – 4 = 0 que deverá ter o discriminante igual a zero, já que a reta deve ser

tangente à circunferência.

2 2

2 2

2

4k 4 3 k 4 0

16k 12K 48 0

4K 48 0

K 2 3.

Considerando k = 2 3 e multiplicando a equação + y 2x 2 3 por 3 temos a equação

3y 2 3x 6 apresentada alternativa [A].

Resposta da questão 16: [A] Resolvendo um sistema com as equações temos:

1)(4

22

bxx

124

222

bxbxx

8016

04485

04484

2

22

222

b

bbxx

bxbxx

Para que a reta seja tangente o delta deverá ser zero. 0

-16b2 + 80 = 0

-16b2 = - 80

b2 = 5

b= 5

Logo, a soma será 0 . Resposta da questão 17:

0,943ac0,943a

c


a2 = 5

2 + c

2 a

2 = 25 + (0,943a)

2 a

2 = 25 + 0,889a

2 0,111a

2 = 25 a =

111,0

25a =

15

3

1

5

...3333,0

5

A distância é 2ª = 2.15 = 30m Resposta da questão 18:

[B]

i) Verdadeira.

1e)1,1(1)1()1(0122 2222 rCyxyyxx

ii)

Verdadeira.

)0,2(e)0,2(44

3649

22

2

yx

yx

)0,2(e)0,2(241

421

222

AAaayx

iii) Falsa.

OxBBOyAAba

yx 212122

22

e4e9194

OxAAbayx 21

2222

''1e414

Portanto, .'' 2121 AAAA

Resposta da questão 19: [E] Resposta da questão 20: [B]

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