Coniche Tfa Classif

Didattica della Matematica per il triennioGeometria sintetica e geometria analitica

anno acc. 2012/2013

Univ. degli Studi di Milano

Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 1 / 22

Coniche come curve algebriche di ordine due

index

1 Coniche come curve algebriche di ordine due

2 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche



Luogo, non insieme

Piano euclideo E2, coordinate (x, y).

Conica = luogo del secondo ordine, descritto da

f (x, y) = a1,1x2 + 2a1,2xy + a2,2y2 + 2a1,3x + 2a2,3y + a3,3 = 0

con f polinomio di secondo grado (cio (a1,1, a1,2, a2,2) 6= (0, 0, 0)).Insieme degli zeri del polinomio f , Z(f ) = {p (x, y)|f (x, y) = 0}.Ovviamente, per 6= 0, si ha Z(f ) = Z(f ) : conta lequazione, non ilpolinomio.

La conica definita da f viene identificata a quella definita da f .



Conica = coppia (Z(f ), f ), (o meglio, classe di equivalenza di coppie deltipo (Z(f ), f ), modulo la relazione che identifica (Z(f ), f ) con (Z(f ), f ), se 6= 0.)Pu accadere che sia Z(f1) = Z(f2), con f1 non proporzionale a f2, (ad esempionel caso x2 = 0 e x = 0, oppure nel caso x2 + y2 = 0 e 2x2 + 3y2 = 0).In tale caso bisogna tenere distinte le coppie 1 = (Z(f1), f1) e2 = (Z(f2), f2).Sono due coniche distinte, con lo stesso insieme degli zeri.

La conica si dice riducibile se il polinomio f lo (in C).



Matrice associata

f (x, y) = a1,1x2 + 2a1,2xy + a2,2y2 + 2a1,3x + 2a2,3y + a3,3 =

( x y 1 )

(a1,1 a1,2 a1,3a1,2 a2,2 a2,3a1,3 a2,3 a3,3

)(xy1

)= 0

A matrice simmetrica, matrice dei coefficienti della conica.

TEOREMA - = (Z(f ), f ) riducibile se e solo se det(A) = 0.

traccia della dimostrazioneSappiamo che (a1,1, a1,2, a2,2) 6= (0, 0, 0).

Se a1,1 = a2,2 = 0, allora a1,2 6= 0 e lequazione diventa2x(a1,2y + a1,3) + 2a2,3y + a3,3 = 0,



per cui f riducibile se e solo se

2(a1,2y + a1,3) = (2a2,3y + a3,3)

ovvero se e solo se a1,2a3,3 2a1,3a2,3 0, e questo accade se e solo se

det(

(0 a1,2 a1,3

a1,2 0 a2,3a1,3 a2,3 a3,3

)) = a1,2(2a1,3a2,3 a1,2a3,3) = 0.

Se invece, ad esempio, a2,2 6= 0, allora lequazione divienea2,2y2 + 2(a1,2x + a2,3)y + (a1,1x2 + 2a1,3x + a3,3) = 0



che si spezza in a2,2(y )(y ) = 0 con , polinomi, se e solo se4 = (a1,2x + a2,3)

2 a2,2(a1,1x2 + 2a1,3x + a3,3) =(a21,2 a1,1a2,2)x2 + 2a1,2a2,3 a2,2a1,3x + (a22,3 a2,2a3,3) un quadrato perfetto, ovvero se e solo se

0 = (a1,2a2,3 a2,2a1,3)2 (a21,2 a1,1a2,2)(a22,3 a2,2a3,3) = a2,2det(A)quindi (essendo a2,2 6= 0) se e solo se det(A) = 0.


Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delleconiche

index

1 Coniche come curve algebriche di ordine due

2 Classificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche



Invarianti ortogonali

E2 conica di equazione

f (x, y) = a1,1x2+2a1,2xy+a2,2y2+2a1,3x+2a2,3y+a3,3 = ( x y 1 ) A

(xy1

)= 0.

Consideriamo le seguenti quantit estratte da A.I1(A) = a1,1 + a2,2, I2(A) = a1,1a2,2 a21,2, I3(A) = det(A).Se si considera, come polinomio che definisce , il polinomio f in luogo dif , la matrice associata diviene A in luogo di A e le quantit sopra definite sitrasformano inI1(A) = I1(A), I2(A) = 2I1(A), I3(A) = 3I1(A).



Consideriamo ora una traslazione definita da (x = x + a, y = y + b) oppureuna rotazione con centro nellorigine definita da(x = xcos() ysin(), y = xsin() + ycos()) e il polinomio trasformatof (x, y) = f (x, y).

Detta A la matrice associata a f , si haI1(A) = I1(A), I2(A) = I2(A), I3(A) = I3(A).Le quantit I1(A), I2(A) e I3(A) vengono detti invarianti ortogonali ,rispettivamente, lineare, quadratico e cubico di f .

Il gruppo delle congruenze (dirette) generato da traslazioni e rotazioniattorno allorigine.

Lannullarsi di Ii(A), per i = 1, 2, 3, il segno di I2(A), e il segno del prodottoI1(A)I3(A), esprimono propriet di (non solo di f ) invarianti percongruenze (dirette).



Il caso I2(A) 6= 0OSSERVAZIONE - Se I2(A) 6= 0, esiste una traslazione (della forma(x = x + a, y = y + b)) che riduce lequazione di nella forma

() a1,1x2 + 2a1,2xy + a2,2y2 + a3,3 = 0.

Infatti la condizione a1,3 = a2,3 = 0, corrisponde a

a1,1a + a1,2b + a1,3 = 0, a1,2a + a2,2b + a2,3 = 0e questultimo un sistema di due equazioni in due incognite che, perlipotesi I2(A) 6= 0, Crameriano.Si noti che questo ci dice che I2(A) 6= 0 implica lesistenza di un centro disimmetria.OSSERVAZIONE - Sia una conica di equazione (). Esiste una rotazione(della forma (x = xcos() ysin(), y = xsin() + ycos())) che riducelequazione di nella forma

() a1,1x2 + a2,2y2 + a3,3 = 0.



Infatti la condizione a1,2 = 0, corrisponde alla equazione

a1,2sin2() (a1,1 a2,2)sin()cos() + a1,2cos2() = 0ovvero

a1,2tang2() + (a1,1 a2,2)tang() a1,2 = 0

che ha soluzione poich il suo disciminante non negativo (come somma diquadrati).

Quanto visto sopra mostra che ogni conica con I2 6= 0 (conica a centro), congruente ad una di equazione a1,1x2 + a2,2y2 + a3,3 = 0, cio con

matrice A =

(a1,1 0 00 a2,2 00 0 a3,3

), con a1,1, a2,2 6= 0, (i cui con invarianti

ortogonali sono I1 = a1,1 + a2,2, I2 = a1,1a2,2, I3 = a1,1a2,2a3,3).



Classificazione delle coniche con I2 6= 0 (ovvero coniche acentro)

A) Caso riducibile (I3 = 0)A1) p2x2 + q2y2 = 0 (I2 > 0, coppia di rette immaginarie coniugate)A2) p2x2 q2y2 = 0 (I2 < 0, coppia di rette reali distinte)

B) Caso irriducibile (I3 6= 0)

B1) x2

a2 +y2

b2 = 1 (I2 > 0, I1I3 < 0, ellisse reale)

B2) x2

a2 +y2

b2 = 1 (I2 > 0, I1I3 > 0, ellisse immaginaria)

B3) x2

a2 y2

b2 = 1 (I2 < 0, iperbole)



Il caso I2(A) = 0

OSSERVAZIONE - Se I2(A) = 0, la parte quadraticaa1,1x2 + 2a1,2xy + a2,2y2 di f un quadrato perfetto.

Sia a1,1x2 + 2a1,2xy + a2,2y2 = (x + y)2. Con una rotazione si trasforma laretta di equazione x + y = 0 nellasse delle ascisse, per cui lequazionedella conica si trasforma in(ky)2 + 2a1,3x

+ 2a2,3y + a3,3 = 0, con k 6= 0

ovveroy2 + 2a1,3x

+ 2a2,3y + a3,3 = 0,

e quindi la matrice associata diviene

A =

0 o a1,30 1 a2,3a1,3 a

2,3 a

3,3

.



Classificazione delle coniche con I2 = 0

C) Caso riducibile (I3 = 0)I3 = 0 se e solo se a1,3 = 0, quindi in questo caso lequazione dellaconica trasformata y2 + 2a2,3y

+ a3,3 = 0,e pertanto la conica costituita da

C1) due rette parallele

C2) insieme vuoto (due fattori lineari complessi coniugati)

C3) due rette coincidenti



D) Caso irriducibile (I3 6= 0)Se I3 6= 0, ovvero a1,3 6= 0, con una traslazione lequazioney2 + 2a1,3x

+ 2a2,3y + a3,3 = 0, si trasforma in

y2 2px = 0, con p 6= 0,e pertanto

D) la conica una parabola.



Classificazione euclidea metrica

Ogni conica congruente ad una tra le seguenti (forme canoniche)

B1) x2

a2 +y2

b2 = 1 (I3 6= 0, I2 > 0, I1I3 < 0, ellisse reale)

B2) x2

a2 +y2

b2 = 1 (I3 6= 0, I2 > 0, I1I3 > 0, ellisse immaginaria: insiemevuoto)

B3) x2

a2 y2

b2 = 1 (I3 6= 0, I2 < 0, iperbole)D) y2 2px = 0 (I3 6= 0, I2 = 0, parabola)A1) p2x2 + q2y2 = 0 (I3 = 0, I2 > 0, coppia di rette immaginarie: un solopunto reale)



A2) p2x2 q2y2 = 0 (I3 = 0, I2 < 0, coppia di rette reali incidenti)C1) x2 a2 = 0 (I3 = 0, I2 = 0 coppia di due rette reali parallele)C2) x2 + a2 = 0 (I3 = 0, I2 = 0 coppia di rette immaginarie: insieme vuoto)C3) x2 = 0 (I3 = 0, I2 = 0, retta doppia)N.B. Due coniche che appartengono a famiglie diverse, tra leB1),B2), . . . ,C3 sopra elencate, non sono equivalenti dal punto di vistaeuclideo. Due coniche di una stessa famiglia, con valori diversi dei parametricoinvolti, in alcuni casi, possono essere equivalenti: ad esempio lellisse diequazione x

2

a2 +y2

b2 = 1 congruente a quello di equazionex2b2 +

y2

a2 = 1.



Classificazione euclidea simile

Dal punto di vista simile, la classificazione ovviamente ancora meno fine:ad esempio due ellissi di equazioni x

2

a2 +y2

b2 = 1 ex2c2 +

y2

d2 = 1 sono simili se esolo se ab =

cd oppure

ab =

dc (cio se e solo se hanno lo stesso rapporto tra

semiasse maggiore e minore: hanno la stessa forma).

Dal punto di vista simile tutte le parabole sono equivalenti: lomotetia diequazioni y = ya , x

= xa trasforma y = x2 in y = ax2.



Nessuno direbbeche lacirconferenza rossa pi stretta dellacirconferenza blu.Tutte lecirconferenzehanno la stessaforma.

Lo stesso accadeper le parabole:hanno tutte lastessa forma!

Dal punto di vistametrico, quello checambia lacurvatura.



Classificazione affine

Sia una conica nel piano affine A2. Con le trasformazioni usate per laclassificazione metrica (che sono congruenze e quindi affinit) lequazione di si riduce ad una delle forme viste sopra. Con unulteriore affinit dellaforma (x = ax, y = by), lequazione della conica si riduce ad una delleseguenti:

x2 + y2 = 1 ellisse realex2 + y2 = 1 ellisse immaginariax2 y2 = 1 iperboley2 2x = 0 parabolax2 y2 = 0 coppia di rette reali incidentix2 + y2 = 0 coppia di rette immaginarie incidenti in un punto realex2 1 = 0 coppia di rette reali parallelex2 + 1 = 0 coppia di rette immaginarie parallelex2 = 0 retta doppia



Classificazione proiettiva

Dal punto di vista proiettivo, esistono solo 5 coniche tra loro distinte:1 conica reale irrducibile2 conica immaginaria irriducibile3 due rette reali distinte4 due rette immaginarie distinte (conplesse coniugate)5 retta doppia


Coniche come curve algebriche di ordine dueClassificazione euclidea metrica, euclidea simile, e affine delle coniche

Documents

Coniche Tfa Classif