CONJUNTO DE NÚMEROS · 2. ecuaciÓn de la recta tangente y de la normal a una curva en un punto 3. funciÓn derivada 4. derivadas sucesivas 5. derivadas laterales 6. reglas de derivaciÓn

Matemáticas II Profesora: María José Sánchez Quevedo

1

FUNCIÓN DERIVADA

1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO ( Significado geométrico)

2. ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO

3. FUNCIÓN DERIVADA

4. DERIVADAS SUCESIVAS

5. DERIVADAS LATERALES

6. REGLAS DE DERIVACIÓN

7. TABLA RESUMEN DE LAS DERIVADAS

8. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA E IMPLÍCITA

9. REGLA DE L’HOPITAL PARA EL CÁLCULO DE LIMITES

1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO (Significado geométrico)

El problema que se plantea es el de trazar la “recta tan-gente” a la curva “f” en un punto P = ( a, f(a) ). (Recordemos que la pendiente de una recta se definía como el valor de la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.) La pendiente de dicha recta tangente será precisamente el valor de lo que denominaremos derivada de la función en el punto x = a, esto es:

)(tan afpendiente

Sea f una función continua en un intervalo I cerrado , )()( ICxf , para llegar a trazar

la recta tangente a la curva en el punto )(, afaP consideremos las siguientes rec-

tas secantes:

f


2

1. Recta 1s : es la recta secante a la curva que une los puntos )(, bfb y )(, afa

, la pendiente de dicha es el valor de la baxfTVM ,),(

tan,),()()(

)( 1

baxfTVM

ab

afbfspendiente

2. Recta 2s : es la recta secante a la curva que une los puntos )(, cfc y )(, afa ,

la pendiente de dicha es el valor de la caxfTVM ,),(

tan,),()()(

)( 2

caxfTVM

ac

afcfspendiente

3. Recta 3s : es la recta secante a la curva que une los puntos )(, dfd y

)(, afa , la pendiente de dicha es el valor de la daxfTVM ,),(

tan,),()()(

)( 3

daxfTVM

ad

afdfspendiente

4. En general la Recta ns : es la recta secante a la curva que une los puntos

, ( )x f x y )(, afa , la pendiente de dicha es el valor de la ( ), ,TVM f x a x

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ), , tann

f x f a f x f apendiente s TVM f x a x

x a x a

Y tomando límite

cuando x a (el punto b se aproxima al a ) se llega a que la pendiente de la recta tan-

gente a la curva en el punto )(, afaP sería:

( ) ( )

( ) ( ) lim ( ),x a

x a

f x f a dfpendiente T f a TVI f x a

x a dx

A )(af se le denomina “derivada de la función f en el punto x = a.

0

( ) ( )( ) ( ) tan lim

( ) ( )lim donde x = a + h h = x - a

h

x a

f a h f af a pdte T

hf x f a

x a


3

( ) ( ),f a TVI f x a es la “tasa de variación instantánea” de f en x = a.

axdx

dfaf

)( es la notación en física de la derivada de una función en un

punto. Ejemplo: Calcular la pendiente de la recta

tangente a la curva 2)( xxf en el punto de

abcisa x = 1. Dibujarla. La pendiente de la recta tangente a la curva

2)( xxf en el punto de abcisa x = 1 es el

valor de la derivada en x = 1:

Ejemplo: Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva x

xf1

)( en el punto de

abcisa x = 1. Dibujarla. La pendiente de la recta tangente a la curva

xxf

1)( en el punto de abcisa x = 1 es el valor

de la derivada en x = 1:

Ejemplo: Calcular la pendiente de la recta tangente a la

curva 2)( 2 xxf en el punto de abcisa x = 2. Dibujarla.

)1,1(

tan

2)1(

Ppuntoelen

genterectaladepdte

f

1

2

1 1

1

( ) (1)(1) lim

1

1 11 0lim lim

1 0 1

lim 1 2 (1) pendiente de larecta tangente a f

en elpunto (1, (1)) (1,1)

x

x x

x

f x ff

x

x xx

x x

x f

P f

)1,1())1(,1(

tan

1)1(

fPpuntoelen

genterectaladepdte

f

1

1 1

1 1

( ) (1)(1) lim

11 1

10

lim lim1 1 0

1 1lim lim 1

1

(1) 1 es la pendiente de larecta tangente

a f en elpunto (1, (1)) (1,1)

x

x x

x x

f x ff

xx

x xx x

x

x x x

f

P f

2

2 2

2 2

2 2

( ) (2)(2) lim

2

2 2 4 0lim lim

2 2 0

2 2lim lim 2 4

2pendiente de larecta tangente a f en elpunto

(2, (2)) (2,2)

x

x x

x x

f x ff

x

x x

x x

x xx

x

P f


4

La pendiente de la recta tangente a la curva 2)( 2 xxf en el punto de abcisa x = 2

es el valor de la derivada en x = 2, esto es (2) 4f :

2. ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA NORMAL A UNA CURVA EN UN

PUNTO Sea )()( aCxf , se tiene que:

( )t

( ) t ( ) : ( ) ( )( )

y f ag

x a

y f a g x a t y f a f a x a

Es la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (a, f(a)) en la forma punto-pendiente. Ejemplo: Ecuación de la recta tangente a la curva

2)( xxf en el punto de abcisa x = 1:

1,1)1(,1 fP

12121

2)1(2)()(

)1()1(

2

0

xyxy

fxxfxxf

xxffy

La normal a una curva es la perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Para obtener la ecuación de la normal tendremos en cuenta:

90

90

18090

tan

1tan

1tantan

0tantan1

tantan1

tantan

90tantan

Por tanto la ecuación de la normal en el ejemplo anterior sería:


5

2

3

2

11

2

11

2

1

)1(

12)1(

)1(

1)1( 0

xyxyf

f

xxf

fy

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva tany x en 4

x

2 2

: ( ) ( )( ) 14

tan 1 tan 1 tan 24 4

: 1 2( )4

t y f a f a x a f

f x x f x x f

t y x

Ejemplo: Hallar la ecuación de la tangente a la parábola 652 xxy paralela a la

recta de ecuación 023 yx

: ( ) ( )( ) se desconoce el punto de tangencia a,f(a) , para lo cuál, como

ha de ser paralela a 3x y-2 0 en el punto de tangencia tendrá la misma pendiente que:

y -3x 2 m -3 :

t y f a f a x a

esto es f

2

3

5 6 2 5 2 5 3 1

1 2

: 2 3( 1)

a

f x x x f a a a a

f

t y x

Ejemplo: En la parábola 2xxf se trazan las tangentes en los puntos de abcisas

x = 1 y x = -1. Calcular el ángulo que forman dichas tangentes.

La ecuación de la recta tangente a la curva xf en un punto afa,

3. FUNCIÓN DERIVADA

Consideremos, por ejemplo, la función 2)( xxf , tomemos un punto genérico x,

calculamos )(xf

0 0 0

0

2 20 0 00

0

0 0 0

0 0

0( ) lim lim lim

0

lim 2 ( ) 2

x x x x x x

x x

f x f x x x x xx xf x

x x x x x x

x x x f x x

Luego si xxfxxf 2)()( 2 , de este modo 422)2(212)1( ff

2

1 2

1 2

1 2

: ( ) ( )( )

1 1 1 1

2 1 2 1 2

: 1 2( 1) : 1 2( 1)

2 2 4 4tan arctan

1 1 2 2 3 3

t y f a f a x a

f x x f f

f x x f f

t y x t y x

m m

m m


6

En general, dada una función f, la función derivada es una aplicación de un subconjun-to de los números reales en otro subconjunto de los números reales, tal que a cada valor de la variable independiente le hace corresponder la derivada de la función para ese valor: A D se le denomina campo de derivabilidad, es el conjunto de valores posibles para

los que existe la derivada, es decir, existe el limite

0

00

0

limx x

f x f xf x

x x

. Será un

subconjunto del campo de existencia de la continuidad:

0

00 0

0

( ) limx x

f x f xf C x f x finito

x x

Paracadax , representalapendientedelarecta tangentealacurva f enelpunto( , ( ))f (x) x f x

Ejercicios:

1. Obtener la derivada de la función x

xf1

)(

2

1)(

1)(

xxf

xxf

2. Obtener la derivada de la función 2

1)(

xxf

32

2)(

1)(

xxf

xxf

0 0 0 0

0 0

0

0 0 0 00

0 0 0 0 0

0

2 20 0 0 0

1 1

( ) ( )( ) lim lim lim lim

1 1 1lim lim ( )

x x x x x x x x

x x x x

x x

f x f x x x x x x xf x

x x x x x x x x x x

x xf x

x x x x x x x x

x

1

2

3

f‘(x)

f ‘(1)

f ‘(2)

f ‘(3)

f ‘

0 0 0 0

0 0

2 20

2 2 2 2 2 20 0 0 0

0 2 20 0 0 0 0

0 0 0 0

2 2 2 2 4 3 30 0 0 0 0

1 1

( ) ( ) 0( ) lim lim lim lim

0

2 2 2lim lim ( )

x x x x x x x x

x x x x

x x

f x f x x x x x x xf x

x x x x x x x x x x

x x x x x x xf x

x x x x x x x x x


7

4. DERIVADAS SUCESIVAS La derivada de la 1ª derivada se llama derivada 2ª y la notaremos por f . La derivada de la 2ª

derivada se llama derivada 3ª y se denota por f y así sucesivamente.

5. DERIVADAS LATERALES Sea )()( ICxf se define la derivada lateral por la izquierda:

( ) ( )( ) lim ( )

x a

f x f af a pendiente T

x a

Y se define la derivada lateral por la derecha: ( ) ( )

( ) lim ( )x a

f x f af a pendiente T

x a

Si las derivadas laterales no coinciden o son infinitas, entonces la función no es deri-vable. Cuando f no es derivable en el punto x = a, entonces en ese punto se puede presentar un:

1. Punto anguloso: derivadas laterales finitas pe-ro distintas.

)()()()( aCxfafaf

2. Punto de retroceso: derivadas laterales infini-tas de distinto signo.

( )

( ) ( )( )

f af x C a

f a

3. Punto de tangente vertical derivadas laterales infinitas del mismo signo.

( )

( ) ( )( )

f af x C a

f a


8

Ejemplo: Estudiar la derivabilidad de la función: En primer lugar estudiamos la continuidad de la función, pues en los puntos en don-de f no es continua ya no sería derivable:

1x la función es continua por tratarse de funciones polinómicas. Veamos la continuidad en x = 1:

2

1

21 1

1

(1) 5

lim 6 5lim ( ) (1) lim ( )

lim 4 2 5

x

x x

x

f

xf x y f f x

x x

Luego la función es continua en x = 1. 1x la función es derivable por tratarse de funciones polinómicas y la función deri-

vada es: Veamos si en x = 1 es o no derivable, para ello calculemos las derivadas laterales a iz-quierda y a derecha en x =1:

2 2

1 1 1

1 1

4 2 5( ) (1) 4 3 0(1 ) lim lim lim

1 1 1 0

1 3lim lim 3 2 (1 ) 2

1

x x x

x x

x xf x f x xf

x x x

x xx f

x

2 2

1 1 1

1 1

6 5 1( ) (1) 0(1 ) lim lim lim

1 1 1 0

1 1lim lim 1 2 (1 ) 2

1

x x x

x x

x xf x ff

x x x

x xx f

x

Como las derivadas laterales son finitas pero distintas, se deduce que f no es derivable y que presenta en x = 1 un punto anguloso.

124

16)(

2

2

xsixx

xsixxf

2 1( )

2 4 1

x si xf x

x si x


9

Ejemplo: estudia la derivabilidad de la función f definida por:

3112

34)(

2

xsix

xsixxf

En primer lugar estudiamos la continui-dad de la función:

3x la función es continua por tra-tarse de funciones polinómicas. Veamos la continuidad en x = 3:

54lim

5112lim

)(lim

5)3(

2

3

3

3 x

x

xf

f

x

x

x

Luego la función es continua en x = 3.

3x la función es derivable por tratarse de funciones polinómicas.

2 3( )

2 3

x si xf x

si x

Veamos si en x = 3 es o no derivable, para ello calculemos las derivadas laterales a iz-quierda y a derecha en x = 3:

Como las derivadas laterales son finitas pero distintas, se deduce que f no es derivable y que presenta en x = 3 un punto anguloso.

Ejemplo: Estudia la derivabilidad de la función f definida por: 3 2xxf en x = 0:

Al ser las derivadas laterales infinitas de distinto signo, diremos que en x = 0 la función presenta un punto de retroceso.

3 3 3

3 3

2 2

3 3 3

3

2 11 5 2 6( ) (3) 0(3 ) lim lim lim

3 3 3 0

2 3lim lim 2 2 (3 ) 2

3

4 5 9( ) (3) 0(3 ) lim lim lim

3 3 3 0

3 3lim

3

x x x

x x

x x x

x

x xf x ff

x x x

xf

x

x xf x ff

x x x

x x

x

3lim 3 6 (3 ) 6x

x f

13 2

3

30 0 0 0

30

30

0 0 10 lim lim lim lim

0

1lim 0

1lim 0

x x x x

x

x

f x f xf x

x x x

fx

fx


10

Ejemplo:

Estudia la derivabilidad de la función f definida por: 3 xxf en x = 0:

Al ser las derivadas laterales infinitas de igual signo, diremos que en x = 0 la función presenta un punto de tangente verti-cal. Ejemplo: estudia la derivabilidad de la función f definida por:

2 1( )

3 2 1

x si xf x

x si x

En primer lugar estudiamos la continuidad de la función: 1x la función es continua por tratarse de funciones

polinómicas. Veamos la continuidad en x = 1:

1lim

523lim

)(lim

5)1(

2

1

1

1 x

x

xf

f

x

x

x

Por tanto en x = 1 la función no es continua, presenta una discontinuidad de salto fini-to. En todo caso es continua por la derecha. Al no ser continua en x = 1 tampoco va a ser derivable, en sentido global en x = 1.

233

3 20 0 0 0

3 20

3 20

0 0 10 lim lim lim lim

0

1lim 0

1lim 0

x x x x

x

x

f x f xf x

x x x

fx

fx


11

6. REGLAS DE DERIVACIÓN

1. Derivada de la función constante:

0 xfyKxfy

2. Derivada de una constante por una función:

xfayxfay

3. Derivada de la suma o diferencia de funciones:

xgxfyxgxfy

4. Derivada del producto de dos funciones:

xgxfxgxfyxgxfy

5. Derivada del cociente de dos funciones:

2xg

xgxfxgxfy

xg

xfy

6. Derivada de la función inversa:

2

1 f xy y

f x f x

7. Regla de la Cadena:

xgxgfyxgfy

RESUMEN DE LAS REGLAS DE DERIVACIÓN

k f k f

k R

gfgf

gfgfgf

2g

gfgf

g

f


12

7. TABLA DE DERIVADAS

ELEMENTALES COMPUESTAS

0 yky

1 nn nxyxy

1( )

n ny f x y n f x f x

n nnn xn

yxxy 1

11

xyxy

2

1

)()(1

)()( 1

1

xfxfn

yxfxfy n nnn

)()(2

1)( xf

xfyxfy

aayay xx ln

xxx eeeyey ln

)(ln)()( xfaayay xfxf

)()(ln )()()( xfexfeeyey xfxfxf

ex

yxy aa log1

log

xyxy

1ln

)(log)(

1)(log xfe

xfyxfy aa

)()(

1)(ln xf

xfyxfy

y senx y cosx

y cosx y senx 2secy tg x y x

2y ctg x y cosec x

y sec x y sec x tg x

y cosec x y cosec x cotanx

( ) ( ) ( )y sen f x y cos f x f x

( ) ( ) ( )y cos f x y sen f x f x 2( ) sec ( ) ( )y tg f x y f x f x

2( ) cosec ( ) ( )y ctg f x y f x f x

( ) ( ) ( ) ( )y sec f x y sec f x tg f x f x

( ) ( ) ( ) ( )y cosec f x y cosec f x ctg f x f x

2

1

1y arc senx y

x

2

1

1y arccos x y

x

2

1

1y arctg x y

x

2

1

1y arcctg x y

x

2

1

1y arc sec x y

x x

2

1( ) ( )

1 ( )y arc sen f x y f x

f x

2

1( ) ( )

1 ( )y arccosf x y f x

f x

2

1( ) ( )

1 ( )y arctgf x y f x

f x

2

1( ) ( )

1 ( )y arcctg f x y f x

f x

2

1( ) ( )

( ) ( ) 1y arc sec f x y f x

f x f x

REGLAS DE DERIVACIÓN

k f k f

k R

f g f g gfgfgf

2g

gfgf

g

f


13

8. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA E IMPLÍCITA

DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Se emplea para derivar una función potencial-exponencial, esto es, de la forma

)()( xgxfy

El proceso es el siguiente: 1. Se toma en los dos miembros logaritmo neperiano

)()(lnln xgxfy

2. Se desarrolla el logaritmo del 2º miembro )(ln)(ln xfxgy

3. Se deriva en los dos miembros

)(

)()()(ln)(

xf

xfxgxfxg

y

y

4. Se despeja y

)(

)()()(ln)()(

)(

)()()(ln)( )(

xf

xfxgxfxgxf

xf

xfxgxfxgyy xg

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

EJEMPLO: Encuentra la ecuación de la recta tangente a la cur-

va: en el punto (3, 1).

( ) ( ( ) ( )

( )

9. REGLA DE L’HOPITAL PARA EL CÁLCULO DE LIMITES

0 0 0 0

0Si tenemos que lim lim lim lim

0x x x x x x x x

f x f x f x f xy existe el

g x g x g x g x

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