Conjunto(1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

INTRODUC ~AO A TEORIA DOS

CONJUNTOS

Ricardo Cezar Ferreira

[email protected]

junho/2010

Indice

1 Conjuntos 1

1.1 Conceitos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Relac~ao de Pertine^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Determinac~ao de um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Conjunto Vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Igualdade de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Diagrama de Venn-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Inclus~ao e Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Conjunto das Partes de um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Uni~ao e Intersec~ao de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.1 Uni~ao e Intersec~ao de uma Famlia de Conjuntos . . . . . . . . 17

1.7 Diferenca de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8 Complementar de um Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.9 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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Captulo 1

Conjuntos

Neste captulo apresentaremos os principais conceitos e propriedades da Teoria de

Conjuntos, que s~ao amplamente utilizados no desenvolvimento de toda Matematica.

Daremos uma abordagem intuitiva e, conforme a necessidade, citaremos os axiomas

envolvidos.

1.1 Conceitos Basicos

Na Teoria de Conjuntos, as noc~oes de conjunto, elemento e relac~ao de pertine^ncia

entre elemento e conjunto, s~ao conceitos aceitos sem denic~ao, ou seja, s~ao

conceitos primitivos. Intuitivamente, quando pensamos em um conjunto ou falamos

de um determinado conjunto, estamos nos referindo a certos elementos, que por uma

raz~ao ou outra, nos convem situar coletivamente. Estes elementos podem ser qual-

quer coisa, como por exemplo: livros de uma biblioteca, uma manada de bufalos,

numeros, pessoas, pases etc . . . . Ao explicitarmos um conjunto pelos seus elemen-

tos, que se sup~oem sempre distintos dois a dois entre si, escreveremos o conjunto

com seus elementos entre chaves e separados por uma vrgula. Por exemplo:

(a) O conjunto do alfabeto portugue^s: fa,b,c,d,e, . . . , x,y,zg.

(b) O conjunto dos numeros pares: f0, 2;4;6; : : :g.

(c) O conjunto dos numeros primos: f2,3,5,7,. . . g.

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RCF CAPITULO 1. CONJUNTOS

(d) O conjunto das letras da palavra matematica: fm,a,t,e,i,cg.

Em geral, costuma-se utilizar letras minusculas a; b; c; : : : ; x; y; z, para representar

elementos e letras maiusculas A;B;C; : : : ; X; Y; Z, para representar um conjunto.

Sendo que, em alguns casos, um determinado conjunto A pode ser elemento de

um conjunto B. Por exemplo, A = f1g e B = ff1g; f1; 2gg. Deste modo, as vezes,utilizaremos letras maiusculas para representar elementos de um determinado

conjunto que e formado, por conjuntos. Alem disto, temos algumas notac~oes

especiais, como por exemplo:

(a) N = f1; 2; 3; : : :g conjunto dos numeros naturais.

(b) Z = f0;1;2;3; : : :g conjunto dos numeros inteiros.

(c) Q = fab: a; b 2 Z; b 6= 0g conjunto dos numeros racionais.

(d) R conjunto dos numeros reais.

(e) C conjunto dos numeros complexos.

1.1.1 Relac~ao de Pertine^ncia

Para indicar que o elemento x pertence ao conjunto A, escreve-se \x 2 A" que sele^: x pertence ao conjunto A ou x e elemento do conjunto A. Por outro lado, se x

n~ao pertence ao conjunto A ent~ao escrevemos \x 62 A" que se le^: x n~ao pertence aoconjunto A ou x n~ao e elemento do conjunto A.

Exemplo 1.1 7 2 N, 2 62 N, 122 Q, p2 62 Q, p3 2 R, p1 62 R, p1 2 C.

Exemplo 1.2 Seja P = f2; 3; 5; 7; : : :g o conjunto dos numeros primos, segue que,11 2 P , pois 11 e um numero primo. Por outro lado, 12 62 P , uma vez que, 12 n~aoe um numero primo.

Exemplo 1.3 Considere os conjuntos dos inteiros n~ao negativos Z+ = f0; 1; 2; 3; : : :ge dos inteiros diferentes de zero Z = f1;2;3; : : :g. Deste modo, 0 2 Z+ e0 62 Z. Por outro lado, 1 2 Z e 1 62 Z+.

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RCF 1.1. CONCEITOS BASICOS

Exemplo 1.4 Considere o conjunto A = f0; 1; f2gg, seus unicos elementos s~ao: onumero 0, o numero 1 e o conjunto f2g; que tem apenas o numero 2 como elemento.Conjunto que tem apenas um elemento e chamado de conjunto unitario. Podemos

escrever, 0 2 A, 1 2 A e f2g 2 A. Note que, 2 62 A, pois 2 6= f2g.

Exemplo 1.5 O conjunto B = ff0g;Ng e formado apenas por dois elementos, asaber: f0g e N, sendo assim, f0g 2 B e N 2 B. Consequentemente, 0 62 B, 1 62 B,2 62 B, 3 62 B, . . . .

Exemplo 1.6 Considere o conjunto A formado pelos elementos N;Z;Q e R, isto e,

A = fN;Z;Q;Rg. Podemos escrever, N 2 A, Z 2 A, Q 2 A e R 2 A. Observe queC 62 A.

1.1.2 Determinac~ao de um Conjunto

Temos duas maneiras de determinar um conjunto: a primeira e listando os seus

elementos, como foi feito anteriormente. A segunda maneira, conhecida como

Axioma da Especicac~ao, consiste em denir uma propriedade P (x) que deve ser

satisfeita pelos elementos do conjunto A. Deste modo, x 2 A se, somente se, P (x)e verdadeira. Simbolicamente, escrevemos:

A = fx : P (x) e verdadeirag: (1.1)

que se le^: O conjunto A e formado pelos elementos x, tal que, a propriedade P (x) e

verdadeira. Os dois pontos \:" s~ao lidos como \tal que". Em alguns livros os dois

pontos \:" s~ao substitudos por uma barra \=" ou por um ponto e vrgula \;".

Exemplo 1.7 Sejam A o conjunto formado por todos os pases e B o conjunto

formado por todos os estudantes de Matematica, ou seja,

(a) A = fx : x e um pasg:

(b) B = fx : x e um estudante de Matematicag:

3


Por outro lado, se todos os elementos do conjunto A s~ao elementos de um dado

conjunto B, ent~ao podemos escrever o conjunto A da seguinte maneira:

A = fx 2 B : P (x) e verdadeira g: (1.2)

Exemplo 1.8 Considere os conjuntos:

(a) Z+ = fx 2 Z : x 0g. Ent~ao, a 2 Z+ se, so se, a 2 Z e a 0.

(b) Z = fx 2 Z : x 6= 0g. Deste modo, b 2 Z se, somente se, b 2 Z e b 6= 0.

(c) A = fx 2 R : x2 > 0g. Se c 2 R e c2 > 0, podemos concluir que, c 2 A. Noteque, 0 62 A pois 02 0, ou seja, a condic~ao de x2 > 0 n~ao foi satisfeita.

(d) B = fx 2 R : x2 3x+2 = 0g: Veja que, B = f1; 2g, pois 1 e 2, s~ao os unicosnumeros reais que s~ao razes da equac~ao x2 3x+ 2 = 0:

(e) C = fx 2 R : x 2 ou x 2g. Por exemplo, 2 2 C pois 2 2 R,2 2, do mesmo modo, 3 2 C, 3 2 R e 3 2. Por outro lado, 1 62 C,uma vez que, 1 6 2 e 1 6 2.

Uma conseque^ncia do Axioma da Especicac~ao e que n~ao existe um conjunto que

contenha todos os conjuntos, ou seja, n~ao existe um conjunto universo. De fato,

considere um conjunto A qualquer e dena o conjunto B = fX 2 A : X 62 Xgprovaremos que B 62 A e como A e um conjunto qualquer podemos concluir que n~aoexiste um conjunto que contenha todos os outros conjuntos. Vejamos, suponha por

absurdo que B 2 A, sendo assim, temos apenas duas situac~oes a analisar, a saber:B 2 B ou B 62 B. Se B 2 B ent~ao segue da denic~ao do conjunto B que B 62 Buma contradic~ao com o fato de B 2 B. Por outro lado, se B 62 B ent~ao como B 2 Apodemos concluir queB 2 B, novamente um absurdo, poisB 62 B. Portanto, B 62 A,como A e um conjunto qualquer, segue que, n~ao existe um conjunto que contenha

todos os outros conjuntos. Este resultado foi apresentado por Bertrand Russel em

1902. Cantor, em sua Teoria de Conjuntos admitia a existe^ncia do conjunto de todos

os conjuntos e o argumento apresentado por Russel constitua-se numa contradic~ao,

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RCF 1.2. CONJUNTO VAZIO

ou seja, um paradoxo, na Teoria de Cantor. O paradoxo mencionado cou conhecido

como o paradoxo de Russel. A vers~ao popular deste paradoxo e dada por:

Numa certa cidade existe um unico barbeiro e este so faz a barba dos homens que

n~ao barbeiam a si proprios. Pergunta: Nesta cidade, quem faz a barba do barbeiro?

1.2 Conjunto Vazio

Denic~ao 1.1 O conjunto que n~ao possui elemento e chamado de conjunto vazio e

sera denotado por ;.

Exemplo 1.9 Alguns conjuntos que n~ao possuem elementos.

(a) fx 2 N : x 0g.

(b) fx 2 R : x 6= xg.

(c) fx 2 R : x2 + 1 = 0g.

(d) fx 2 Q : x2 = 2g.

1.2.1 Igualdade de Conjuntos

Denic~ao 1.2 Sejam A e B dois conjuntos, o conjunto A e igual ao conjunto B,

denotado por A = B se, e somente se, todo elemento de A e elemento de B e todo

elemento de B e elemento de A. Simbolicamente,

A = B , (8x; x 2 A) x 2 B) e (8x; x 2 B ) x 2 A): (1.3)

Note que, para provar que A = B devemos mostrar a veracidade das condicionais:

(a) Se x 2 A ent~ao x 2 B.

(b) Se x 2 B ent~ao x 2 A.

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Consequentemente, o conjunto A e diferente do conjunto B, denotado por, A 6= Bse, e somente se, existe x0 2 A, tal que, x0 62 B, ou existe y0 2 B, tal que, y0 62 A.Simbolicamente,

A 6= B , (9x : x 2 A e x 62 B) ou (9x : x 2 B e x 62 A): (1.4)

Exemplo 1.10 O conjunto A = fa; e; i; o; ug e igual ao conjunto B = fe; o; i; u; ag.Observe que, para todo x 2 A, x 2 B e vice versa, qualquer x 2 B e elemento doconjunto A, segue da Denic~ao 1.2 que A = B. Veja que a ordem dos elementos do

conjunto n~ao e importante.

Exemplo 1.11 O conjunto Z+ = f0; 1; 2; : : :g dos inteiros n~ao negativos e diferentedo conjunto dos numeros naturais N = f1; 2; 3; : : :g, pois 0 2 Z+ e 0 62 N.

Proposic~ao 1.1 (Propriedades da Igualdade) Sejam A, B e C conjuntos, temos

as seguintes propriedades:

(a) Reexiva: para todo A, A = A.

(b) Simetria: Se A = B ent~ao B = A.

(c) Transitividade: Se A = B e B = C ent~ao A = C.

Dem. (a) Suponha que exista um conjunto A tal que A 6= A, sendo assim, existex0 2 A tal que x0 62 A, um absurdo. Portanto A = A para todo A.

(b) Seja x 2 B, como A = B, segue que, x 2 A, ou seja, acabamos de mostrar quetodo elemento de B e elemento de A. Do mesmo modo, seja x 2 A, por hipoteseA = B, sendo assim, x 2 B, isto e, todo elemento de A e elemento de B. Segue daDenic~ao 1.2 que B = A.

(c) Seja x 2 A, por hipotese A = B, segue que, x 2 B, temos tambem que B = C,sendo assim, x 2 C. Acabamos de provar que todo elemento de A e elemento de C.Analogamente, seja x 2 C, por hipotese B = C, deste modo, x 2 B e como B = Apodemos concluir que x 2 A, logo todo elemento de C e elemento de A. Uma vez

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RCF 1.3. DIAGRAMA DE VENN-EULER

que, todo elemento de A e elemento de C e todo elemento de C e elemento de A,

segue da Denic~ao 1.2 que A = C.

1.3 Diagrama de Venn-Euler

No diagrama de Venn-Euler, os conjuntos s~ao representados por uma regi~ao no plano

limitada por um crculo e os elementos por pontos, conforme Figura 1.1.

A

x

y

Figura 1.1: O conjunto A representado pelo diagrama de Venn-Euler.

Note que, x 2 A e y 62 A, uma maneira simples e instrutiva de representar osconjuntos e a relac~ao de pertine^ncia. De um modo geral, um conjunto pode ser

representado por uma regi~ao no plano limitada por uma curva fechada que n~ao se

auto-intercepta em nenhum ponto.

A

u

x

y

Figura 1.2: Diagrama de um conjunto.

N~ao existe o conjunto universo, ou seja, o conjunto que contem todos os outros

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conjuntos. Porem podemos admitir a existe^ncia de um conjunto que contem todos

os elementos com os quais estaremos trabalhando. Este conjunto e chamado de

universo de trabalha e denotado por u, como mostra a Figura 1.2.

1.4 Inclus~ao e Subconjuntos

Denic~ao 1.3 Sejam A e B conjuntos, se todo elemento do conjunto A e elemento

do conjunto B. Ent~ao, diremos que,

(a) A e subconjunto de B.

(b) A esta contido ou includo em B, denotado por A B.

(c) B contem A, denotado por B A.

Simbolicamente,

A B , (8x; x 2 A) x 2 B): (1.5)

B

A

Figura 1.3: O conjunto A e subconjunto de B.

Deste modo, para provar que o conjunto A esta contido no conjunto B, temos que

demonstrar a veracidade da seguinte condicional: \se x 2 A ent~ao x 2 B", ou

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RCF 1.4. INCLUS~AO E SUBCONJUNTOS

de modo equivalente, podemos provar a veracidade de sua contrapositiva, isto e,

\se x 62 B ent~ao x 62 A".

Por outro lado, se existe x0 2 A, tal que, x0 62 B, diremos que,

(a) A n~ao e subconjunto de B.

(b) A n~ao esta contido ou n~ao esta includo em B, denotado por A 6 B.

(c) B n~ao contem A, denotado por B 6 A.

Simbolicamente,

A 6 B , (9x : x 2 A e x 62 B): (1.6)

B

A

x0

Figura 1.4: O conjunto A n~ao e subconjunto de B.

Se A B e B 6 A, diremos que A e subconjunto proprio de B.

Exemplo 1.12 O conjunto A = f1; 2; 3g esta contido no conjunto B = f1; 2; 3; 4g,ou seja, A B, porem B 6 A, pois 4 2 B e 4 62 A.

Exemplo 1.13 Note que, Z Q, ou seja, o conjunto dos numeros inteiros e sub-conjunto dos numeros racionais. Porem Q 6 Z, uma vez que, 1

22 Q e 1

262 Z.

Exemplo 1.14 O conjunto N dos numeros naturais contem o conjunto P = f2; 3; 5;7; : : :g dos numeros primos, isto e, N P , mas N 6 P pois 1 2 N e 1 62 P .

Exemplo 1.15 Observe que N Z+ e Z+ N, ou seja, estes conjuntos possuemos mesmos elementos. Portanto, N = Z+.

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Proposic~ao 1.2 Seja A um conjunto qualquer, se A ; ent~ao A = ;.Dem. Suponhamos A 6= ;, sendo assim, existe x 2 A. Como por hipotese A ;,segue que, x 2 ;, um absurdo. Logo, se A ;, podemos concluir que A = ;.

Teorema 1.1 ; A para todo A.Dem. Suponha que exista um conjunto A, tal que, ; 6 A. Deste modo, existex0 2 ;, tal que, x0 62 A, um absurdo. Portanto, ; A para todo A.

A partir do Teorema 1.1, podemos concluir que, o conjunto vazio ; e subconjuntode qualquer conjunto. Por outro lado,

Corolario 1.1 O unico subconjunto do conjunto vazio e o proprio conjunto vazio.

Dem. Segue do Teorema 1.1 que ; ;, ou seja, o conjunto ; e subconjunto do;. Aplicando a contrapositiva da Proposic~ao 1.2, podemos armar que para todoconjunto A 6= ;, A 6 ;, em outras palavras, se A 6= ; ent~ao A n~ao e subconjunto do;. Portanto o unico subconjunto do conjunto vazio e o proprio conjunto vazio.

Teorema 1.2 (Propriedades da Inclus~ao) Sejam A, B e C conjuntos, temos

as seguintes propriedades:

(a) Reexiva: A A para todo A.

(b) Antisimetria: A B e B A se, somente se, A = B.

(c) Transitiva: se A B e B C ent~ao A C.

Dem. (a) Suponha por absurdo que exista um conjunto A tal que A 6 A. Destemodo, podemos concluir que, existe x0 2 A tal que x0 62 A, um absurdo. PortantoA A para todo A.

(b) Se A B e B A ent~ao todo elemento de A e elemento de B e todo elementode B e elemento de A logo A = B. Reciprocamente, se A = B, segue da Denic~ao

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RCF 1.5. CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO

1.2 que os conjuntos A e B possuem os mesmos elementos consequentemente A Be B A.

(c) Seja x 2 A, por hipotese A B, deste modo, podemos concluir que, x 2 B. Poroutro lado, B C logo x 2 C. Portanto A B.

Antisimetria da inclus~ao do item (b) e um resultado importante para provar a igual-

dade entre dois conjuntos. Por exemplo, se precisamos provar que um dado con-

junto X e igual a um conjunto Y , devemos provar que, X Y e que Y X, destemodo, poderemos aplicar a propriedade da antisimetria da inclus~ao para concluir

que X = Y .

1.5 Conjunto das Partes de um Conjunto

Dado um conjunto qualquer A podemos pensar em um conjunto que contenha todos

os possveis subconjuntos de A. Por exemplo, A = f0; 1g, segue que,

(a) ; A.

(b) f0g A, f1g A e f0; 1g A.

De fato, (a) o conjunto ; e subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, ; A paratodo A, conforme Teorema 1.1.

(b) Note que, todo(s) elemento(s) dos conjuntos f0g, f1g e f0; 1g s~ao elementos doconjunto A = f0; 1g. Logo, f0g A, f1g A e f0; 1g A. Portanto o conjuntoque contem todos os subconjuntos de A e dado por: f;; f0g; f1g; f0; 1gg.

Com estes fatos em mente, vamos apresentar a denic~ao de conjunto das partes de

um conjunto, a saber:

Denic~ao 1.4 O conjunto formado por todos os subconjuntos de um dado conjunto

A, denotado por P (A), e chamado de conjunto das partes de A. Simbolicamente,

P (A) = fB : B Ag:

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A partir desta denic~ao, temos as seguintes equivale^ncias logicas,

X 2 P (A) , X A: (1.7)X 62 P (A) , X 6 A: (1.8)

Uma vez que, o conjunto P (A) e formado somente por conjuntos, utilizaremos letras

maiusculas para representar um elemento qualquer do conjunto P (A), como foi feito

nas equivale^ncias logicas dadas em (1.7) e (1.8).

Exemplo 1.16 Segue do Corolario 1.1, que o unico subconjunto do conjunto vazio e

o proprio conjunto vazio. Logo P (;) = f;g. Veja que o conjunto f;g e um conjuntounitario que tem apenas o conjunto ; como elemento.

Exemplo 1.17 Considere o conjunto unitario A = f0g, deste modo, o conjunto daspartes de A sera dado por: P (A) = f;; f0gg.

Exemplo 1.18 Dado o conjunto A = fa; b; cg, o conjunto das partes de A e dadopor: P (A) = f;; fag; fbg; fcg; fa; bg; fa; cg; fb; cg; Ag .

Denic~ao 1.5 Um conjunto formado somente por conjuntos e chamado de uma

famlia de conjuntos.

Exemplo 1.19 Dado um conjunto A o conjunto P (A) e uma famlia de conjuntos.

De fato, segue da Denic~ao 1.4 do conjunto das partes, que P (A) = fB : B Ag,logo P (A) e um conjunto formado somente por conjuntos. Portanto, P (A) e uma

famlia de conjuntos.

Teorema 1.3 Seja A um conjunto qualquer. Ent~ao

(a) ; 2 P (A).

(b) A 2 P (A).

Dem. (a) Segue do Teorema 1.1 que ; A, para todo, A. Logo, ; 2 P (A).

(b) Suponha que exista um conjunto A0, tal que, A0 62 P (A0). Deste modo, A0 6 A0,um absurdo. Portanto, A 2 P (A) para todo A.

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RCF 1.6. UNI ~AO E INTERSEC ~AO DE CONJUNTOS

Proposic~ao 1.3 Sejam A e B dois conjuntos, se A B ent~ao P (A) P (B).Dem. Seja X 2 P (A), segue da denic~ao do conjunto das partes que X A. Porhipotese A B, podemos aplicar a propriedade transitiva da inclus~ao para concluirque, X B. Deste modo, X 2 P (B). Portanto, P (A) P (B).

Proposic~ao 1.4 Sejam A e B dois conjuntos, se P (A) P (B) ent~ao A B.Dem. Suponha que A 6 B, ou seja, existe x0 2 A tal que x0 62 B, consequentementefx0g A e fx0g 6 B, sendo assim, fx0g 2 P (A) e fx0g 62 P (B), logo P (A) 6 P (B),que nega a hipotese. Portanto se P (A) P (B) podemos concluir que A B.

1.6 Uni~ao e Intersec~ao de Conjuntos

Denic~ao 1.6 Sejam A e B conjuntos, a uni~ao do conjunto A com o conjunto B,

denotada por, A [ B, e o conjunto formado pelos elementos que est~ao em A ou B.A intersec~ao do conjunto A com o conjunto B, denotada por, A \ B, e o conjuntoformado pelos elementos que est~ao em A e B. Simbolicamente,

A [B = fx : x 2 A ou x 2 BgA \B = fx : x 2 A e x 2 Bg

Se A \B = ;, diremos que A e B s~ao disjuntos.u

B B

B

A

AA

B

Figura 1.5: O conjunto A [B esta representado pela regi~ao pintada.

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u

B B B

A

AA

Figura 1.6: Nos dois primeiros diagramas o conjunto A\B esta representado pela regi~aopintada. No terceiro diagrama A e B s~ao disjuntos, ou seja, A \B = ;.

De acordo com a Denic~ao 1.6, temos as seguintes equivale^ncias logicas:

x 2 A [B , x 2 A ou x 2 B: (1.9)x 62 A [B , x 62 A e x 62 B: (1.10)x 2 A \B , x 2 A e x 2 B: (1.11)x 62 A \B , x 62 A ou x 62 B: (1.12)

Exemplo 1.20 Considere os conjuntos A = f1; 2; 3; 4; 5g, B = f6; 7; 8; 9; 10g,C = f2; 4; 6; 8; 10g e D = f1; 3; 5; 7; 9g. Segue que,

A [B = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10gA \B = ;B [ C = f2; 4; 6; 7; 8; 9; 10gB \ C = f6; 8; 10gC [D = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10gC \D = ;

Note que, A e B s~ao disjuntos, C e D s~ao disjuntos, mas B e C n~ao s~ao disjuntos.

Proposic~ao 1.5 Sejam A e B conjuntos. Ent~ao,

(a) A A [B e B A [B.(b) A \B A e A \B B.

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Dem. (a) Seja x 2 A, segue da denic~ao de uni~ao de conjuntos que x 2 A [ B.Logo, A A [ B. Do mesmo modo, se x 2 B ent~ao x 2 A [ B, sendo assim,B A [B.

(b) Seja x 2 A \ B, segue da Denic~ao de intersec~ao de conjuntos que x 2 A ex 2 B. Portanto, A \B A e A \B B.

Proposic~ao 1.6 Dados os conjuntos A e B,

(a) A B se, e somente se, (A [B) = B.

(b) A B se, e somente se, (A \B) = A.

Dem. (a) Segue da Proposic~ao 1.5 que B A [ B. Falta provar que A [ B B.Vejamos, seja x 2 A [ B, segue da denic~ao de uni~ao de conjuntos que, x 2 A oux 2 B. Se x 2 A, ent~ao x 2 B, pois por hipotese, A B. Deste modo, em ambos oscasos, poderemos concluir que x 2 B e consequentemente A[B B. Uma vez que,B A[B e A[B B, podemos aplicar a antisimetria da inclus~ao do Teorema 1.2,para concluir que A[B = B. Reciprocamente, seja x 2 A, sendo assim, x 2 A[B.Como A [B = B, segue que, x 2 B, logo A B.

Deixaremos a prova da veracidade da bicondicional do item (b) a cargo do leitor.

Teorema 1.4 (Propriedades da Uni~ao e Intersec~ao) Sejam A, B e C conjun-

tos. Ent~ao,

Comutativa: (a) A [B = B [ A(b) A \B = B \ A.

Associativa: (c) (A [B) [ C = A [ (B [ C)(d) (A \B) \ C = A \ (B \ C).

Distributiva: (e) (A [B) \ C = (A \ C) [ (B \ C)(f) (A \B) [ C = (A [ C) \ (B [ C).

Dem. (a) Seja x 2 A [ B, segue da Denic~ao de uni~ao de conjuntos que, (x 2 Aou x 2 B), equivalente a dizer que (x 2 B ou x 2 A). Deste modo, x 2 B [ A,

15


logo A [ B B [ A. Do mesmo modo, se x 2 B [ A, ent~ao (x 2 B ou x 2 A) ,(x 2 A ou x 2 B), sendo assim, x 2 A [ B, logo B [ A A [ B. Portanto,A [B = B [ A.

(d) Seja x 2 (A\B)\C, segue da denic~ao de intersec~ao de conjuntos que, (x 2 A\Be x 2 C), ou ainda, ((x 2 A e x 2 B) e x 2 C) equivalente a dizer que (x 2 A e(x 2 B e x 2 C)), consequentemente, x 2 A\(B\C), logo (A\B)\C A\(B\C).Do mesmo modo, considere x 2 A \ (B \ C), deste modo, x 2 A e x 2 (B \ C),ou seja,

x 2 A e (x 2 B e x 2 C), (x 2 A e x 2 B) e x 2 C, logo x 2 A \ B

e x 2 C, isto e, x 2 (A\B)\C, sendo assim, A\ (B\C) (A\B)\C. Portanto,(A \B) \ C = A \ (B \ C).

(e) Seja x 2 (A [ B) \ C, segue da Denic~ao 1.6 que, (x 2 A [ B e x 2 C), ouainda,

(x 2 A ou x 2 B) e x 2 C , (x 2 A e x 2 C) ou (x 2 B e x 2 C), logo

(x 2 A\C ou x 2 B \C), consequentemente, x 2 (A \ C)[ (B \C), sendo assim,(A [ B) \ C (A \ C) [ (B \ C). De modo analogo, seja x 2 (A \ C) [ (B \ C),segue da denic~ao de uni~ao e intersec~ao de conjuntos que,

(x 2 A e x 2 C) ou (x 2

B e x 2 C) , (x 2 A ou x 2 B) e x 2 C, logo x 2 (A [ B) e x 2 C, isto e,x 2 (A[B)\C, sendo assim, podemos concluir que, (A[B)\C (A\C)[(B\C).Portanto, (A [B) \ C = (A \ C) [ (B \ C).

De modo analogo prova-se os itens (b), (c) e (f), que ser~ao deixados como exerccio.

Lema 1.1 Sejam A, B e C conjuntos arbitrarios, A (B \ C) se, somente se,A B e A C.Dem. Seja x 2 A, uma vez que, A (B \ C), podemos concluir que, x 2 B \ C,deste modo, x 2 B e x 2 C. Logo, A B e A C. Reciprocamente, seja x 2 A,como A B e A C, segue que, x 2 B e x 2 C, sendo assim, x 2 B\C. Portanto,A B \ C.

Lema 1.2 Sejam A, B e C conjuntos arbitrarios. Se A B ou A C ent~aoA B [ C.

16


Dem. Seja x 2 A, por hipotese A B ou A C, sendo assim, x 2 B ou x 2 C,logo x 2 B [ C. Portanto, A B [ C.

Note que, a recproca da condicional do Lema 1.2 n~ao e verdadeira, ou seja, podemos

ter A B [ C com A 6 B ou A 6 C. De fato, considere A = f1; 2g, B = f1g eC = f1; 2; 3g, deste modo, B [ C = f1; 2; 3g, logo A B [ C, porem A 6 B.

Teorema 1.5 Sejam A e B conjuntos. Ent~ao,

(a) P (A \B) = P (A) \ P (B).

(b) P (A [B) P (A) [ P (B).

Dem. (a) Seja X 2 P (A \B), segue da Denic~ao 1.4, do conjunto das partes que,X A \ B, logo X A e X B, conforme Lema 1.1. Deste modo, X 2 P (A) eX 2 P (B), consequentemente, x 2 P (A) \ P (B). Logo, P (A \B) P (A) \ P (B).Considere agora, X 2 P (A) \ P (B), segue da denic~ao de intersec~ao de conjuntosque, X 2 P (A) e x 2 P (B), a partir da Denic~ao 1.4 do conjunto das partes,podemos concluir que, X A e X B, segue do Lema 1.1 que, X A \ B, logoX 2 P (A \B). Portanto, P (A \B) = P (A) \ P (B).

(b) Seja X 2 P (A) [ P (B) ent~ao X 2 P (A) ou X 2 P (B), deste modo, X Aou X B, em conseque^ncia, X A [ B, logo X 2 P (A [ B), assim sendo,P (A) [ P (B) P (A [B).

Considere os conjuntos A = f1g e B = f2g logo A [ B = f1; 2g. Deste modo,P (A) = f;; f1gg, P (B) = f;; f2gg e P (A [ B) = f;; f1g; f2g; f1; 2gg. Portanto,P (A [B) 6 P (A) [ P (B), pois f1; 2g 2 P (A [B) e f1; 2g 62 P (A) [ P (B).

1.6.1 Uni~ao e Intersec~ao de uma Famlia de Conjuntos

Surge naturalmente a ideia de generalizar a uni~ao e intersec~ao de conjuntos para

varios conjuntos. Para tanto, considere F uma famlia de conjuntos, ou seja, F e

um conjunto formado somente por conjuntos conforme Denic~ao 1.5, queremos fazer

a uni~ao e a intersec~ao de todos os conjuntos que est~ao em F , mas precisamente,

17


Denic~ao 1.7 Seja F uma famlia de conjuntos, a uni~ao dos conjuntos em F ,

denotada por,SA2F

A, consiste dos elementos que pertencem a pelo menos um conjunto

da famlia F . A intersec~ao de todos os conjuntos em F , denotada por,TA2F

A, consiste

dos elementos que pertencem a todos os conjuntos da famlia F . Simbolicamente,

SA2F

A = fx : x 2 A para algum A 2 Fg:TA2F

A = fx : x 2 A para todo A 2 Fg.

De acordo com esta denic~ao, temos as seguintes equivale^ncias logicas,

x 2 SA2F

A , 9A0 2 F tal que x 2 A0

x 62 SA2F

A , 8A 2 F temos que x 62 A

x 2 TA2F

A , 8A 2 F temos que x 2 A

x 62 TA2F

A , 9A0 2 F tal que x 62 A0.

Exemplo 1.21 Considere a famlia de conjuntos F = ff1g; f1; 2g; f1; 2; 3gg, destemodo,

SA2F

A = f1; 2; 3g e TA2F

A = f1g . De fato,

SA2F

A = f1g [ f1; 2g [ f1; 2; 3g

= f1; 2; 3g:TA2F

A = f1g \ f1; 2g \ f1; 2; 3g

= f1g:

Exemplo 1.22 Se F = ffa; b; cg; fb; c; dg; fc; d; eg; fd; e; fgg ent~aoSA2F

A = fa; b; cg [ fb; c; dg [ fc; d; eg [ fd; e; fg

= fa,b,c,d,e,fg:TA2F

A = fa; b; cg \ fb; c; dg \ fc; d; eg \ fd; e; fg

= ;:

18


Exemplo 1.23 Considere a famlia de conjuntos F = fN;Z;Q;Rg. Segue que,SA2F

A = N [ Z [Q [ R

= R:TA2F

A = N \ Z \Q \ R

= N:

Proposic~ao 1.7 Sejam A;B 2 F onde F e uma famlia de conjuntos. Se A Bpara todo A 2 F ent~ao S

A2FA B.

Dem. Seja x 2 SA2F

A, segue da denic~ao da uni~ao de uma famlia de conjunto que

existe A0 2 F tal que x 2 A0. Por hipotese A0 B, sendo assim, x 2 B logoSA2F

A B.

Proposic~ao 1.8 Sejam A;B 2 F onde F e uma famlia de conjuntos, A B paratodo B 2 F se, somente se, A T

B2FB.

Dem. Seja x 2 A, como A B para todo B 2 F , segue que, x 2 B para todoB 2 F , deste modo, x 2 T

B2FB, logo A T

B2FB. Reciprocamente, seja x 2 A, por

hipotese A TB2F

B, sendo assim, x 2 TB2F

B, segue da denic~ao de intersec~ao de uma

famlia de conjuntos que x 2 B para todo B 2 F . Logo, A B para todo B 2 F .

Teorema 1.6 (Generalizac~ao da Distributividade) Sejam F e G duas famlias

de conjuntos. Ent~ao,

(a)S

A2F;B2G(A \B) = S

A2FA \ S

B2GB.

(b)T

A2F;B2G(A [B) = T

A2FA [ T

B2GB.

Dem. (a) Seja x 2 SA2F;B2G

(A \B), segue que, x 2 A0 \B0, para algum A0 em F e B0

em G, deste modo, x 2 A0 e x 2 B0 consequentemente x 2 (SA2F

A) e x 2 ( SB2G

B),

ou seja, x 2 SA2F

A) \ ( SB2G

B) logoS

A2F;B2G(A \ B) ( S

A2FA) \ ( S

B2GB). Considere

x 2 SA2F

A\ S

B2GBent~ao x 2 S

A2FA e x 2 S

B2GB, segue da denic~ao de uni~ao de uma

19


famlia de conjuntos que existe A0 2 F tal que x 2 A0 e do mesmo modo, existe

B0 2 G tal que x 2 B0, deste modo, x 2 A0\B0 e consequentemente x 2S

A2F;B2G

A\B,

logo SA2F

A \ S

B2G

SA2F;B2G

A \B. Portanto S

A2F;B2G(A \B) = S

A2FA \ S

B2GB.

(b) Seja x 2 TA2F;B2G

(A [ B), sendo assim, x 2 A [ B para todos A 2 F e B 2 G, segue

que, x 2 A ou x 2 B para todos A 2 F e B 2 G, ou seja, x 2 TA2F

A ou x 2 TB2G

B,

deste modo, x 2 TA2F

A[ T

B2GBlogo

TA2F;B2G

(A[B) TA2F

A[ T

B2GB. Considere

x 2 TA2F

A [ T

B2GBent~ao x 2 T

A2FA ou x 2 T

B2GB, segue que, (x 2 A para todo

A 2 F ) ou (x 2 B para todo B 2 G), deste modo, x 2 A [ B para todos A 2 F

e B 2 G consequentemente x 2TA2F;B2G

(A [ B) logo TA2F

A [ T

B2GB T

A2F;B2G(A [ B).

PortantoT

A2F;B2G(A [B) = T

A2FA [ T

B2GB.

Teorema 1.7 Seja F uma famlia de conjuntos. Ent~ao,

(a) P (TA2F

A) =TA2F

P (A).

(b)SA2F

P (A) P ( SA2F

A).

Dem. (a) Seja X 2 P ( TA2F

A), segue da denic~ao de conjuntos das partes que

X TA2F

A, ou seja, X A para todo A 2 F , deste modo, X 2 P (A) para qualquer

A 2 F consequentemente x 2 TA2F

P (A), logo P (TA2F

A) TA2F

P (A). Do mesmo modo,

seja X 2 TA2F

P (A), segue da denic~ao de intersec~ao de uma famlia de conjuntos que,

X 2 P (A) para todo A 2 F , segue da denic~ao do conjunto das partes que X A

para qualquer A 2 F . Sendo assim, X TA2F

A e consequentemente X 2 P ( TA2F

A),

20

RCF 1.7. DIFERENCA DE CONJUNTOS

logoTA2F

P (A) P ( TA2F

A). Portanto, P (TA2F

A) =TA2F

P (A).

(b) Seja X 2 SA2F

P (A), segue da denic~ao de uni~ao de uma famlia de conjuntos

que, existe A0 2 F , tal que, X 2 P (A0). Segue da denic~ao do conjunto das partes

que, X A0 e consequentemente X SA2F

A, deste modo, X 2 P ( SA2F

A). Portanto,SA2F

P (A) P ( SA2F

A).

1.7 Diferenca de Conjuntos

Denic~ao 1.8 Sejam A e B conjuntos, a diferenca entre A e B, denotada por

A B, e o conjunto formado por elementos que pertencem a A, mas que n~aopertencem a B. Simbolicamente,

AB = fx 2 A : x 62 Bg:

A-B

A

B

Figura 1.7: O conjunto AB esta representado pela regi~ao pintada.

A partir da Denic~ao 1.8, temos as seguintes equivale^ncias logicas:

x 2 AB , x 2 A e x 62 B: (1.13)x 62 AB , x 62 A ou x 2 B: (1.14)

Exemplo 1.24 Se A = f1; 2; 3; 4g e B = f3; 4g ent~ao AB = f1; 2g e B A = ;.Note que, AB 6= B A.

21


Exemplo 1.25 Considere os conjuntos A = fa; b; c; dg e B = fc; d; e; fg, destemodo, AB = fa; bg e B A = fe; fg.

Exemplo 1.26 Aplicando a Denic~ao 1.8, podemos armar que,

(a) N Z = fx 2 N : x 62 Zg= ;:

(b) Z N = fx 2 Z : x 62 Ng= f: : : ;3;2;1; 0g

(c) Q R = fx 2 Q : x 62 Rg= ;:

(d) RQ = fx 2 R : x 62 Qg conjunto dos numeros irracionais.

Proposic~ao 1.9 Seja A um conjunto qualquer. Ent~ao,

(a) A A = ;.

(b) A ; = A.

(c) ; A = ;.

Dem. (a) Suponha que A A 6= ;, sendo assim, existe x 2 A A. Segue dadenic~ao de diferenca de conjuntos que, x 2 A e x 62 A, um absurdo. Portanto,A A = ;.

(b) Por denic~ao, A B = fx 2 A : x 62 Bg, logo A ; A. Por outro lado,seja x 2 A, podemos armar que, x 62 ;, deste modo, x 2 A ;, logo A A ;.Portanto, A ; = A.

(c) Suponha que ; A 6= ;, deste modo, existe x 2 ; A. Segue da denic~ao dediferenca de conjuntos que, x 2 ;, um absurdo. Portanto, ; A = ;.

Proposic~ao 1.10 Sejam A e B dois conjuntos. Ent~ao,

(a) A B se, e somente se, AB = ;.

22

RCF 1.7. DIFERENCA DE CONJUNTOS

(b) A \B = ; se, so se, AB = A e B A = B.

Dem. (a) Suponha que AB 6= ;, consequentemente, existe x 2 AB, segue dadenic~ao de diferenca de conjuntos que x 2 A e x 62 B, logo A 6 B. Reciprocamente,se A 6 B ent~ao existe x 2 A e x 62 B, sendo assim, x 2 AB, logo AB 6= ;.

(b) Segue da denic~ao de diferenca de conjuntos que, A B A e B A B.Seja x 2 A e y 2 B, como A \ B = ;, podemos concluir que, x 62 B e y 62 A, logox 2 A B e y 2 B A e consequentemente A A B e B B A. Portanto,A B = A e B A = B. Reciprocamente, suponha que A \ B 6= ;, sendo assim,existe x 2 A \ B, ou seja, x 2 A e x 2 B, logo x 62 A B e x 62 B A. Portanto,AB 6= A e B A 6= B.

Lema 1.3 Sejam A, B e C conjuntos, se A B C ent~ao A B e A 6 C.Dem. Seja x 2 A, como A B C, segue que, x 2 B C, deste modo, x 2 B ex 62 C, logo A B e A 6 C.

Proposic~ao 1.11 Sejam A e B dois conjuntos ent~ao P (AB) P (A) P (B).Dem. Seja X 2 P (A B), segue da denic~ao do conjunto das partes que,X A B. Sendo assim, X A e X 6 B, conforme Lema 1.3. Logo X 2 P (A)e X 62 P (B), consequentemente X 2 P (A) P (B). Deste modo, podemos concluirque, P (AB) P (A) P (B).

Teorema 1.8 Sejam A, B e C conjuntos. Ent~ao,

(a) A \ (B C) = (A \B) (A \ C).

(b) A [ (B C) (A [B) (A [ C).

Dem. (a) Seja x 2 A \ (B C), deste modo, x 2 A e x 2 B C, ou seja, x 2 B e

x 62 C. Segue que, x 2 A\B e x 62 A\C, consequentemente, x 2 (A\B)(A\C).

Logo, A \ (B C) (A \B) (A \C). Por outro lado, se x 2 (A \B) (A \C)

ent~ao x 2 A \ B e x 62 A \ C, deste modo, (x 2 A e x 2 B) e (x 62 A ou x 62 C).

23


Como x 2 A, podemos armar que, x 62 C, porem x 2 B, logo x 2 B C, sendo

assim, x 2 A \ (B C), em conseque^ncia, (A \ B) (A \ C) A \ (B C).

Portanto, A \ (B C) = (A \B) (A \ C).

(b) Seja x 2 (A [ B) (A [ C), segue da denic~ao de diferenca de conjuntos que,

x 2 (A[B) e x 62 (A[C), deste modo, (x 2 A ou x 2 B) e (x 62 A e x 62 C). Uma

vez que, x 62 A, podemos armar que, x 2 B e como x 62 C, segue que, x 2 B C,

sendo assim, x 2 A [ (B C), logo (A [B) (A [ C) A [ (B C).

Sejam A = f1g, B = f1; 2g e C = f2; 3g ent~ao B C = f1g, A [ B = f1; 2g,A [ C = f1; 2; 3g. Deste modo, A [ (B C) = f1g e A [ B A [ C = ;, logoA [ (B C) 6 A [B A [ C, pois f1g 6 ;.

1.8 Complementar de um Conjunto

Denic~ao 1.9 Dados dois conjuntos A e B onde A B. O complementar deA em relac~ao a B, denotado por {B(A), e o conjunto formado por elementos quepertencem a B, mas que n~ao pertencem a A. Simbolicamente,

{B(A) = fx 2 B : x 62 Ag

B

A

Complementar

de

A em B

Figura 1.8: O conjunto {B(A) esta representado pela regi~ao pintada.

24

RCF 1.8. COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO

Deste modo, podemos concluir as seguintes equivale^ncias logicas:

x 2 {B(A) , x 2 B e x 62 A: (1.15)x 62 {B(A) , x 62 B ou x 2 A: (1.16)

Exemplo 1.27 Se A = f1; 2; 3; 4g e B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g ent~ao o complementar deA em relac~ao a B e dado por: {B(A) = fx 2 B : x 62 Ag = f5; 6g.

Exemplo 1.28 Considere os conjuntos A = f1; 2; 3; 4g e B = f1; 2g, neste caso,A 6 B, logo n~ao faz sentido falar no complementar de A em relac~ao a B. Por outrolado, B A, sendo assim, teremos o complementar de B em A, que e dado por:{A(B) = fx 2 A : x 62 Bg = f3; 4g.

Exemplo 1.29 A partir da Denic~ao 1.9, segue que,

(a) {Z(N) = fx 2 Z : x 62 Ng= f: : : ;3;2;1; 0g

(b) {R(Q) = fx 2 R : x 62 Qg (conjunto dos numeros irracionais):

(c) {R(R) = fx 2 R : x 62 Rg= ;:

Proposic~ao 1.12 Seja A um conjunto qualquer. Ent~ao,

(a) {A(A) = ;.

(b) {A(;) = A.

Dem. (a) Suponha que {A(A) 6= ;, sendo assim, existe x 2 {A(A). Segue dadenic~ao de conjunto complementar que x 2 A e x 62 A, um absurdo. Portanto,{A(A) = ;.

(b) Por denic~ao, {A(;) = fx 2 A : x 62 ;g logo {A(;) = A.

Proposic~ao 1.13 Sejam A e B dois conjuntos onde A B. Ent~ao,

25


(a) A \ {B(A) = ;.

(b) A [ {B(A) = B.

Dem. (a) Suponha que A \ {B(A) 6= ;, sendo assim, existe x 2 A \ {B(A), logox 2 A e x 2 {B(A). Deste modo, x 2 B e x 62 A, um absurdo, pois x 2 A. Portanto,A \ {B(A) = ;.

(b) Seja x 2 A [ {B(A), deste modo, x 2 A ou x 2 {B(A). Como A B e{B(A) B, segue que, x 2 B, logo A [ {B(A) B. Considere agora, x 2 B, umavez que, A B, podemos concluir que, x 2 A ou x 62 A, sendo assim, x 2 A oux 2 {B(A), ou seja, x 2 A [ {B(A), consequentemente, B A [ {B(A).

Teorema 1.9 Seja F uma famlia de subconjuntos de A. Ent~ao,

(a) {A(SB2F

B) =TB2F

{A(B).

(b) {A(TB2F

B) =SB2F

{A(B).

Dem. (a) Seja x 2 {A(SB2F

B), segue da denic~ao de complementar de um conjunto

que, x 2 A e x 62 SB2F

B, ou seja, x 62 B para todoB 2 F , em conseque^ncia, x 2 {A(B)

para qualquer B 2 F , sendo assim, x 2 TB2F

{A(B), logo {A(SB2F

B) TB2F

{A(B). Por

outro lado, se x 2 TB2F

{A(B), ent~ao x 2 {A(B) para todo B 2 F , isto e, x 2 A e

x 62 B para todo B 2 F; consequentemente, x 62 SB2F

B, assim x 2 {A(SB2F

B), logoTB2F

{A(B) {A(SB2F

B). Portanto, {A(SB2F

B) =TB2F

{A(B).

(b) Seja x 2 {A(TB2F

B), segue da denic~ao de complementar de um conjunto que,

x 2 A e x 62 TB2F

B, ou seja, existe B0 2 F , tal que, x 62 B0, consequentemente, x 2

{A(B0), sendo assim, x 2SB2F

{A(B), logo {A(TB2F

B) SB2F

{A(B). Do mesmo modo,

se x 2 SB2F

{A(B), ent~ao x 2 {A(B0) para algum B0 2 F , isto e, x 2 A e x 62 B0, logo,

26

RCF 1.9. EXERCICIOS PROPOSTOS

x 62 TB2F

B, sendo assim, x 2 {A(TB2F

B), em conseque^ncia,SB2F

{A(B) {A(TB2F

B).

Portanto, {A(TB2F

B) =SB2F

{A(B).

1.9 Exerccios Propostos

1) Seja A =a; e; i

verique a veracidade ou falsidade dos itens abaixo:

(a) a 2 A (b) e 2 A (c) i 2 A (d) o 2 A (e) u 2 A

(f) a A (g) e A (h) i A (i) o A (j) u A

(k) fag A (l) feg A (m) fig A (n) fog A (o) fug A.

(p) fa; eg A (q) fa; ig A (r) fe; ig A (s) fa; e; ig A (t) fa; ug A.

2) Se B =1; f1g ent~ao e correto armar que

(a) 1 2 B (b) f1g 2 B (c) 1 B

(d) f1g B (e) f1; f1gg 2 B (f) f1; f1gg B.

3) Considere o conjunto A =2; f4; 5g; 4 verique a veracidade ou falsidade dos

itens abaixo:

(a) 2 2 A (b) f4; 5g 2 A (c) f4g A (d) f2; 4g A

(e) f4; f4; 5gg A (f) ff4; 5gg A (g) 5 2 A (h) f5g 2 A

(i) f5g A (j) f4; 5g A (k) f4; 5g 2 A (l) ff4; 5gg A

(m) f2; 4g 2 A (n) 2; 5 2 A (o) 2; 4 2 A (p) 2; f4; 5g; 4 2 A.

4) Para os conjuntos abaixo, construa P (A), o conjunto das partes de A.

(a) A = fa; bg (b) A = f0; 1; 2g (c) A = 1; f1g (d) A = 2; f4; 5g; 45) Considere B = f0; 1g, quais das seguintes sentencas s~ao verdadeiras ou falsas.

Justique as suas respostas.

27


(a) B 2 P (B) (b) B P (B) (c) fBg P (B) (d) fBg 2 P (B).

6) Verique a falsidade das implicac~oes abaixo, justicando as respostas mediante

diagramas de Venn-Euler e apresentando um contraexemplo.

(a) Se A B e B 6 C ent~ao A 6 C.

(b) Se A 6 B ent~ao B 6 A.

(c) Se A B e C B ent~ao A B e C A.

(d) Se A B ent~ao B 6 A.

7) Prove o Teorema 1, feito isto, aplique-o para provar a Proposic~ao 1.

Teorema 1 Sejam A, B e C conjuntos, se A B e B C ent~ao A C.

Proposic~ao 1 Sejam X, Y e Z conjuntos, se X 6 Y e X Z ent~ao Z 6 Y .

8) Prove os Teoremas 2 e 3, feito isto, aplique-os para provar o Corolario 1.

Teorema 2 Sejam A e B conjuntos, A = B se, somente se, A B e B A.

Teorema 3 Sejam A e B conjuntos, se A B ent~ao P (A) P (B).

Corolario 1 Sejam A e B conjuntos, se A = B ent~ao P (A) = P (B).

9) Prove o Teorema 4 e aplique os Teoremas 4 e 2, para provar, o Corolario 2.

Teorema 4 Sejam A;B X. Se A B ent~ao {X(B) {X(A).

Corolario 2 Sejam A;B X. Se A = B ent~ao {X(B) = {X(A).

10) Demonstre os Teoremas 5 e 6, feito isto, aplique-os para provar o Corolario 3.

Teorema 5 Sejam A;B X, {X(A) B se, e somente se, {X(B) A.

Teorema 6 Sejam A;B X, A {X(B) se, so se, B {X(A).

Corolario 3 Sejam A;B X, A = {X(B) se, somente se, B = {X(A).

11) Mostrar, mediante um exemplo, que a uni~ao n~ao e distributiva em relac~ao a

diferenca, isto e, A [ (B C) 6= (A [B) (A [ C). Agora, prove a distributiva da

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RCF 1.9. EXERCICIOS PROPOSTOS

intersec~ao em relac~ao a diferenca, ou seja, A \ (B C) = A \B A \ C.

12) Sejam A;B X, demonstre as igualdades abaixo:(a) AB = A \ {X(B) (b) {X(AB) = {X(A) [B

(c) AB = (A [B)B (d) AB = A (A \B).

(e) {X(A \B) = {X(A) [ {X(B) (f) {X(A [B) = {X(A) \ {X(B).

13) Seja F uma famlia de conjuntos, tal que, para todo A 2 F , A X. Prove que,

(a)TA2F

A SA2F

A.

(b)SA2F

A X.

(c)TA2F

A X.

(d) {X(SA2F

A) =TA2F

{X(A).

(e) {X(TA2F

A) =SA2F

{X(A).

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