Conjuntos I.N

www.matestay.com

9. Sea

8. Si

TEORIA DE CONJUNTOS.

1. Sea A = {1, 2, 4, a, b, c}. Responda si lo siguiente es verdadero o falso:a) 2 ∈ A; b) 3 ∈ A; c) c /∈ A; d) � ∈ A; e) � /∈ A; f) a ∈ A.

2. Sea A = {x/x es un número real y x < 6}. Responda si lo siguiente es verdadero o falso:a) 3 ∈ A; b) 6 ∈ A; c) 5 /∈ A; d) 8 /∈ A; e) −8 ∈ A; f) 3, 4 /∈ A.

3. Escriba el conjunto en la forma {x/P (x)}, donde P (x) es una propiedad que los elementosdel conjunto tienen en común:a) {2, 4, 6, 8, 10}; b) {a, e, o, i, u}; c) {1, 4, 9, 16, 25, 36}; d) {−2,−1, 0, 1, 2}.

4. Dados los conjuntos U = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, A = {−2, 1, 3, 5}, B = {−1, 0, 3, 4}determine cada una de las siguientes relaciones:a) A ∩B; b) A ∩B; c) A ∪B; d) A ∪B; e) A ∩B; f) A ∩B.

5. Demuestre lo siguiente:a) A ⊆ A ∪B; b) A ∩B ⊆ A; c) A−A = �; d) A−B = A ∩B;e) A− (A−B) ⊆ B; f) Si C ⊆ A y C ⊆ B, entonces C ⊆ A ∪B;g) Si A ⊆ C y B ⊆ C, entonces A ∪B ⊆ C.

6. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es igual a A?a) {4, 1, 2, 3, 5}; b) {2, 3, 4}; c) {1, 2, 3, 4, 5, 6};d) {x/x es un entero y x2 ≤ 25}; e) {x/x es un entero positivo y x ≤ 5};f) {x/x es un número racional positivo y x ≤ 5}.

7. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es vacío?a) {x/x es un número real y x2 − 1 = 0}; b) {x/x es un número real y x2 + 1 = 0};c) {x/x es un número real y x2 = −9}; d) {x/x es un número real y x = 2x+ 1};e) {x/x es un número real y x = x− 1}.

A = {1, 2, 5, 8, 11}. Responda si lo siguiente es verdadero o falso:a) {5, 1} ⊆ A; b) {8, 1} ∈ A; c) {1, 6} A; d) {1, 8, 2, 11, 5} A;e) � ⊆ A;f) {2} ⊆ A; g) {3} /∈ A; h) A ⊆ {11, 2, 5, 1, 8, 4}.

3RO. MEDIO ELECTIVO.

A = {1, 2}, encuentre P (A).

INSTITUTO NACIONAL 1/10 Prof. Carlos H. Estay Fuentes.

www.matestay.com

11. Sea

10. SeaA = {x/x es un entero y x2 < 16}. Responda si lo siguiente es verdadero o falso:a) {0, 1, 2, 3} ⊆ A; b) � ⊆ A; c) {−3,−2,−1} ⊆ A; d) A ⊆ {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3};e) {x/x es un entero y |x| < 4} ⊆ A.

.A = {1, 2, 3, ..., 15}:

a) ¿Cuántos subconjuntos de A contienen todos los enteros impares de A?b) ¿Cuántos subconjuntos de A contienen exactamente tres enteros impares?c) ¿Cuántos subconjuntos de A de ocho elementos contienen exactamente tres enterosimpares?

.

12. Demuestre que A = B si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A.

13. Dados los conjuntos U = {a, b, c, d, e, f, g, h, k}, A = {a, b, c, g}, B = {d, e, f, g}

C = {a, c, f}, D = {f, h, k}.

Obtenga:

a) A ∪B;b) B ∪ C;c) A ∩ C;d) B ∩D;e) A−B;f) A;g) A ∆ B;

h) A ∆ C;i) A ∪D;j) B ∪D;k) C ∩D;l) A ∩ (B ∪ C);m) B − C;n) C −B;

o) B;p) C ∆ D;q) A ∪B;r) A ∩B ∩ C;s) A ∩D;t) (A ∪B) ∩ C;u) A ∪B ∪ C;

v) A ∩B;w) C ∪D;x) C ∪D;y) C ∩D;z) C ∩ �.

14. En una encuesta hecha a 120 personas se encontró que a 71 personas les gusta escucharmúsica clásica, a 80 personas les gusta escuchar música nacional, y que a 42 de ellas lesgustaba ambos tipos de música:a) ¿A cuántas personas, de las encuestadas, les gusta la música clásica, pero no la músicanacional?b) A cuántas personas no les gusta ninguna de las dos?Resp: a) 29 personas; b) 11 personas.

15. En un zoológico hay 80 animales de 11 meses de nacidos. A tal edad se les enseñan dosaspectos: ambientación y a cambio de alimentación. Hay 40 animales ambientándose, 30 cam-biando su alimentación y 20 aprendiendo ambas cosas:a) Cuántos animales se ambientan, pero no cambian su alimentación?b) Cuántos cambian su alimentacion, sin cambiar su ambiente?c) Cuántos animales cambian su alimentación o su ambiente?

Resp: a) 20 animales se ambientan sin cambiar su alimentación; b) 10 cambian sualimentación sin cambiar su ambientación; c) 50 animales cambian su alimentaci;on o suambiente.


www.matestay.com

16. En un grupo de 90 alimentos, 36 productos contienen azúcar, 32 tienen ácido cítrico y 32conservador; 6 productos contienen a la vez, azúcar, ácido cítrico y conservador; 12 contienenácido cítrico y azúcar, 10 contienen conservador y azúcar, y finalmente 8 contienen ácidocítrico y conservador:a) ¿Cuántos productos contienen exclusivamente ácido cítrico?b) ¿Cuántos sólo azúcar?c) ¿Cuántos contienen sólo conservador?d) ¿Cuántos de los productos contienen ácido cítrico y conservador, pero no azúcar?e) ¿Cuántos productos no contienen ninguna de las sustancias mencionadas?Resp: a) 18; b) 20; c) 20; d) 2; e) 14.

17. En un restaurant de 900 comidas servidas durante cierto día laboral se obtuvo la siguienteinformación:370 incluyeron filete de pescado;290 incluyeron carne asada;214 incluyeron tinga de pollo30 incluyeron filete y carne asada;40 incluyeron filete y tinga;20 incluyeron carne asada y tinga;20 incluyeron filete, carne asada y tinga.a) ¿Cuántas comidas llevaron exclusivamente filete?b) ¿Cuántas comidas llevaron exclusivamente carne asada?c) ¿Cuántas no llevaron ninguno de los tres?d) ¿Cuántas llevaron filete o carne asada, pero no tinga?Resp: a) 320 comidas llevaron sólo filete; b) 260 tienen sólo carne asada; c) 96comidas llevaron ninguno de los tres; d) 590 comidas que llevaron filete o carne asada,pero no tinga.

18. En una encuesta a 40 personas sobre sus deportes olímpicos preferidos, se encontró quea 20 les gusta la gimnasia, a 20 la natación y a 12 el ciclismo. A 5 de estas personas lesgustan simultáneamente los tres deportes, a 8 la gimnassia y la natación, a 7 la gimnassia yel ciclismo, y a 6 la natación y el ciclismo:a) ¿A cuántas personas les gusta la natación y el ciclismo pero, no la gimnassia?b) ¿A cuántas les gusta la gimnassia o el ciclismo, pero no la natación?c) ¿A cuántas les gusta uno o dos de estos deportes, pero no los tres conjuntamente?Resp: a) 1; b) 16; c) 31.

19. Se interrogó a 300 jóvenes acerca de la adicción al tabaco, alcohol, drogas o alguna com-binación de éstas. Se encontró que 122 lo eran al alcohol, 212 al tabaco y 97 a las drogas, 67eran adictos tanto al alcohol como al tabaco, 50 al alcohol y a las drogas, 44 al tabaco y alas drogas, y solamente 7 lo eran a los tres tipos:a) ¿Cuántos son adictos al alcohol pero no al tabaco?b) ¿Cuántos son adictos al alcohol y las drogas, pero no al tabaco?c) ¿Cuántos son adictos al tabaco o a las drogas, pero no al alcohol?Resp: a) 11 jóvenes; b) 24 jóvenes; c) 64 jóvenes.


www.matestay.com

25. Dados los conjuntos

20. En una encuesta aplicada a 260 estudiantes de preparatoria se obtuvieron los siguientesdatos:64 toman un curso de matemáticas94 toman un curso de computación58 toman un curso de administración28 toman cursos de matemáticas y administración26 toman cursos de matemáticas y computación22 toman cursos de administración y computación14 toman los tres cursos.a) ¿Cuántos de los estudiantes de la encuesta no toman ninguno de los tres cursos?b) ¿Cuántos de los estudiantes de la encuesta toman sólo el curso de computación?

21. Una encuesta aplicada a 500 televidentes produce la siguiente información:285 ven programas cómicos195 ven programas deportivos115 ven programas culturales45 ven programas cómicos70 ven programas deportivos50 ven programas culturales50 no ven ningún programa.a) ¿Cuántos entrevistados ven los tres tipos de programas?b) ¿Cuántos entrevistados ven sólo uno de los tres?

22. ¿Cuándo es A−B = B −A? Explique.

23. Sean U = {1, 2, 3, ..., 9, 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 8},

C = {1, 2, 3, 5, 7}, D = {2, 4, 6, 8}.Determine las relaciones:

a) (A ∪B) ∩ C;b) A ∪ (B ∩ C);c) C ∪D;

d) C ∩D;e) (A ∪B)− C;f) A ∪ (B − C);

g) (B − C)−D;h) B − (C −D);i) (A ∪B)− (C ∩D).

24. En cada parte, encuentre el conjunto con el menor número de elementos posible, quecontenga a los conjuntos dados como subconjuntos:a) {a, b, c}, {a, d, e, f}, {b, c, e, g}; b) {1, 2}, {1, 3},�; c) {1, a}, {2, b}.

U = R, A = {x/x es una solución de x2 − 1 = 0}, B = {−1, 4}.Obtenga:a) A; b) B; c) A ∪B; d) A ∩B.


www.matestay.com28. Suponga que


26. Dados los conjuntos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 4, 6, 8}, B = {2, 4, 5, 9}

C = {x/x es un número entero y x2 ≤ 16}, D = {7, 8}.Obtenga:

a) A−B;b) B −A;c) A;d) A ∆ B;e) A ∪D;f) B ∪ C;

g) A ∩D;h) B ∩ C;i) C −D;j) C;k) C ∆ D;l) B ∆ C;

m) A ∪B ∪ C;n) B ∪ C ∪D;o) A ∩B ∩ C;p) A ∪A;q) A ∪A;r) A ∩A;

s) A ∪B;t) A ∩B;u) A ∩ (B ∪ C);v) (A ∪B) ∩D;w) B ∩ C ∩D;x) A ∩ (C ∪D).

U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, c, f, g}, B = {a, e}, C = {b, h}.Obtenga:

a) A;b) B;c) A ∪B;

d) A ∩B;e) C;f) A−B;

g) A ∩B;h) B ∪ C;i) A ∪A;

j) C ∩ C;k) A ∆ B;l) B ∆ C.

A y B son subconjuntos de un conjunto universal U con n(U) = 100. En-cuentre el número de elementos en cada una de las regiones básicas del diagrama de Venn si:a) n(A) = 40, n(B) = 70 y n(A ∩B) = 20;b) n(A) = 30, n(B) = 60 y n(A ∪B) = 85;c) n(A) = 35, n(A ∩B) = 5 y n(A ∪B) = 32;d) n(B −A) = 20, n(B) = 30 y n(A ∪B).

.

29. Una encuesta de 1.000 personas mayores de 40 años reveló que 312 fumaban, 80 teníancáncer y 660 ni fumaban ni tenían cáncer. Dibuje un diagrama de Venn para responder estaspreguntas:a) ¿Cuántas personas de las encuestadas fumaban y tenían cáncer?;b) ¿Qué porcentaje de fumadores tenían cáncer?c) ¿Puede la encuesta indicar que fumar produce cáncer?

30. Considere los siguientes conjuntos:

A = {2, 4, 5, 7}, B = {x/x ∈ Z y x es un cuadrado perfecto}

C = {x/x ∈ Z y x2 = 4}, D = {−1,−2, 0}. ¿Cuáles pares de conjuntos son disjuntos?.

31. Se dan los conjuntos A, B y C. Con ayuda de las operaciones de unión e intersecciónescriba un conjunto que conste de los elementos pertenecientes:a) A los tres conjuntos; b) Por lo menos a dos de dichos conjuntos;c) Por lo menos a un conjunto.


www.matestay.com

32. Suponga que A y B son subconjuntos de un conjunto universal U con n(U) = 100. En-cuentre el número de elementos en cada una de las regiones básicas del diagrama de Venn si:a) n(A) = 40, n(B) = 70 y n(A ∩B) = 20;b) n(A) = 30, n(B) = 60 y n(A ∪B) = 85;c) n(A) = 35, n(A ∩B) = 5 y n(A ∪B) = 32;d) n(B −A) = 20, n(B) = 30 y n(A ∪B) = 47.

.


U = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, A = {−2, 1, 3, 5}, B = {−1, 0, 3, 4}.

Determine cada una de las siguientes relaciones:a) A∩B; b) A∩B; c) A∩B; d) A ∩B; e) A∪B; f) A∪B.

34. Verifique que |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B| dados los conjuntos:a) A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 6, 8};b) A = {a, b, c, d, e, f}, B = {a, c, f, g, h, i, r};c) A = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8, 9};d) A = {x/x es un número entero positivo < 8};B = {x/x es un número entero tal que 2 ≤ x ≤ 5};e) A = {a, b, c, d, e}, B = {f, g, r, s, t, u};f) A = {x/x es un número entero positivo y x2 ≤ 16},B = {x/x es un número entero negativo y x2 ≤ 25}.

35. Si A y B son conjuntos disjuntos tales que |A ∪B| = |A|, ¿qué se puede decir de B?

36. Calcule la diferencia simétrica A ∆ B si:a) A = {1, 3, 4, 6, 9} y B = {1, 2, 3, 7}; b) A = {1, 3, 4, 6, 9} y B = {2, 5};c) A = {1, 3, 4, 6, 9} y B = {3, 6, 9}.

37. Determine A−B:a) A = {1, 3, 5, 7}, B = {5, 9, 11, 13};b) A = {−1, 0, 1, 4, 6, 7, 9, 11}, B = {2, 4, 6, 8, 10};c) A = {1, 2, 3, 4}, B = {6, 8, 10, 12};d) A = {4, 6, 8}, B = {2, 4, 6, 8, 10}.

38. Una encuesta de 200 obreras mayores de 30 años revela que 60 tienen grado preuniversitario,80 ganan más de $ 4.000 al año y 30 tienen grado preuniversitario y ganan más de $ 4.000 alaño. Dibuje un diagrama de Venn para responder estas preguntas:a) ¿Cuántas mujeres ni tienen grado preuniversitario ni ganan más de $ 4.000 al año?b) ¿Qué porcentaje de las mujeres que tienen grado preuniversitario ganan más de $ 4.000al año?c) Indican los resultados de la encuesta que las mujeres con grado preuniversitario tienenmayores probabilidades de mejorar sus ingresos?


www.matestay.com

39. Una encuesta de 1.000 personas mayores de 40 años reveló que 312 fumaban, 80 teníancáncer y 660 ni fumaban ni tenían cáncer. Dibuje un diagrama de Venn para responder estaspreguntas:a) ¿Cuántas personas de las encuestadas fumaban y tenían cáncer?b) ¿Qué porcentaje de fumadores tenían cáncer?c) ¿Puede la encuesta indicar que fumar produce cáncer?

40. Considere los conjuntosA = {(x, y) ∈ R2/2x− y = 4}; B = {(x, y) ∈ R2/x+ 3y = 9}; C = {(x, y) ∈ R2/y = 2x}.Encuentre lo siguiente: a) A ∩B; b) A ∩ C; c) B ∩ C; d) A ∪ C.

41. Demuestre las siguientes proposiciones. Supóngase un universo U :a) Si A ⊆ B, C ⊆ D, entonces A ∩ C ⊆ B ∩D y A ∪ C ⊆ B ∪D;b) A ⊆ B si, y sólo si, A ∩B = �;c) A ⊆ B si, y sólo si, A ∪B = U .

42. Demuestre que la igualdad A − (B − C) = (A − B) ∪ C es cierta cuando y sólo cuandoA ⊃ C.

.43. Demuestre las igualdades:

a) A− (A−B) = A ∪B;b) A ∪ (B − C) ⊃ (A ∪B)− C;c) (A−B)− C = A− (B ∪ C);

d) (A−B) ∩ C = (A ∩ C)− (B ∩ C);e) (A−B)∪ (B −A) = (A∪B)− (A∩B);f) (A ∪ C)−B ⊂ (A−B) ∪ C.

44. Demuestre que la inclusión A−B ⊂ C es cierta cuando y sólo cuando A ⊂ B ∪ C.

45. Determine en qué razón (X ⊂ Y,X ⊃ Y,X = Y ) se encuentran los conjuntos X e Y si:a) X = A ∪ (B − C), Y = (A ∪B)− (A ∪ C);b) X = (A ∩B)− C, Y = (A− C) ∩ (B − C);

www.Mate

matica

1.com

c) X = A− (B ∪ C), Y = (A−B) ∪ (A− C).

46. SeanA = {x ∈ N/2 < x ≤ 6}, B = {x ∈ N/1 < x < 4}, C = {x ∈ N/x2 − 4 = 0}.

¿De qué elementos constan los conjuntos:a) B ∪ C; b) A ∩B ∩ C; c) A ∪B ∪ C; d) (A ∩B) ∪ (B ∪ C).

47. Los conjuntos A y B están compuestos, respectivamente, de los elementos a = 4n + 2,b = 3n, n ∈ N. Hallar A ∩B.

.

48. Suponga que el conjunto A contiene n elementos, el conjunto B, m elementos y la inter-sección A ∩B, k elementos. Hallar el número de elementos de A ∩B.

.

49. Sea que A ⊂ N y cada elemento de A es un número múltiplo bien a 2, o bien a 3, o bien a 5.Hallar el número de elementos del conjunto A si entre ellos tenemos: 70 números múltiplos a2; 60 números múltiplos a 3; 80 números múltiplos a 5; 32 números múltiplos a 6; 35 númerosmúltiplos a 10; 38 números múltiplos a 15; 20 números múltiplos a 30.

.INSTITUTO NACIONAL 7/10 Prof. Carlos H. Estay Fuentes.

www.matestay.com

58. Sean

50. Considere los siguientes conjuntos:

A = {2, 4, 5, 7}, B = {x/x ∈ Z y x es un cuadrado perfecto},

C = {x/x ∈ Zyx2 = 4}, D = {−1,−2, 0}.

¿Cuáles pares de conjuntos son disjuntos?.

51. Se dan los conjuntos A, B y C. Con ayuda de las operaciones de unión e intersecciónescriba un conjunto que conste de los elementos pertenecientes:a) A los tres conjuntos; b) Por lo menos a dos de dichos conjuntos;c) Por lo menos a un conjunto.

52. ¿Si A ∪B = A ∪ C, deberá ser B = C? Explique.

53. ¿Si A ∩B = A ∩ C, deberá ser B = C? Explique.

54. Demostrar que:a) (A ∪B) ∩ (A ∪B) ∩ (A ∪B) ∩ (A ∪B) = �;b) (A ∩B) ∪ (A ∩B) ∪ (A ∩B) ∪ (A ∩B) = U ;c) A ∪B = (A ∩B) ∪ (A ∩B) ∪ (A ∩B).

55. Demuestre que las igualdades A ∪ B = B y A ∩ B = A son ciertas cuando y sólo cuandoA ⊂ B.


56. Demuestre que el resultado es siempre cierto o bien dé un ejemplo específico para demostrarque no lo es:a) Si A ∩X = B ∩X, entonces A = B; b) Si A ∪X = B ∪X, entonces A = B;c) Si A−B = C −B, entonces A = C; d) Si A−B = A− C, entonces A = C;e) (A−B) ∪ (B −A) = (A ∪B)− (A ∪B).

57. Determine si la relación es o no correcta:a) (A ∩B) ∪ (C ∩D) = [(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)] ∩ [(A ∩B) ∪D];b) A ∩ (B ∪ C) = A ∪ (B ∩ C);c) (A ∩B ∩ C) ∪D = [(A ∩B) ∪D] ∩ [(A ∩B) ∪ C];d) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

A y B subconjuntos tomados al azar del conjunto U . Demuestre las igualdades:a) A−B = A∪B; b) (A∩B)∪(A∩B) = A∪B; c) (A∪B)∩(A∪B) = A∪B.

www.matestay.com

59. Para los conjuntos A, B, C ⊆ U , y mediante diagramas de Venn, analice la veracidad ofalsedad de las siguientes relaciones:

a) A ∆ (B ∩ C) = (A ∆ B) ∩ (A ∆ C); b) A ∩ (B ∆ C) = (A ∩B) ∆ (A ∩ C);c) A ∆ (B ∪ C) = (A ∆ B) ∪ (A ∆ C); d) A ∪ (B ∆ C) = (A ∪B) ∆ (A ∪ C);e) A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C); f) A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C);g) A ∆ (B ∆ C) = (A ∆ B) ∆ C.

60. Sea A ⊂ U , B ⊂ U . Hallar el conjunto X ⊂ U verdaderas y cuáles falsas. Para las falsas,proporcione un ejemplo en el que la afirmación no se cumpla:

a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ C para todo conjunto A, B, C;b) A ∪B ⊆ A ∩B implica que A = B;c) (A ∩ �) ∪B = B para todo conjunto A, B;d) A ∩ (� ∪B) = A siempre que A ⊆ B;e) A ∩B = A ∪B para todo conjunto A, B.

61. Hallar los subconjuntos A y B del conjunto U si se sabe que para todo conjunto X ⊂ Ues cierta la igualdad X ∩A = X ∪B.

62. A ∪ B = U equivale a A ⊂ B y a A ⊃ B. Igualmente, A ∩ B = � equivale a A ⊃ B ya A ⊂ B. Demostrar que A ⊂ B, es equivalente a A ∩ B = � y a A ∪ B = U . IgualmenteA ⊃ B, equivale a A ∩B = � y a A ∪B = U . En particular, resulta B ⊂ X ⊂ A si y sólo si(X ∩A) ∪ (B ∩X) = � o (X ∪A) ∩ (B ∪X) = U .

63. Demuestre las siguientes relaciones:

a) Si A = B y B = C, entonces A = C;b) Si A = B, entonces A ∩X = B ∩X;c) Si A = B, entonces A ∪X = B ∪X;d) Si A = B, entonces A = B;e) Si A ⊂ B, entonces A ∪B= B;

f) Si A ⊂ B, entonces A ∩B = A;g) Si A ⊂ B, entonces B ⊂ A;h) Si A ⊂ B, entonces A−B = �;i) Si A ∩B = �, entonces B −A = B.


64. Demuestre que la igualdad A − (B − C) = (A − B) ∪ C es cierta cuando y sólo cuandoA ⊃ C.

.

65. Para cualquier conjunto A, ¿qué es A ∆ A?¿qué es A ∆ �?

www.matestay.com

.

66. Utilizando las leyes de la teoría de conjuntos, simplifique las siguientes relaciones:

a) A ∪B ∪ (A ∩B ∩ C);b) (A ∩B) ∪ (A ∩B ∩ C ∩D) ∪ (A ∩B);

c) (A−B) ∪ (A ∩B);d) A ∩ (B −A).

67. Demuestre las igualdades:

a) A− (A−B) = A ∩B;b) (A−B)− C = A− (B ∪ C);

c) (A−B)∪ (B −A) = (A∪B)− (A∩B);d) (A−B) ∩ C = (A ∩ C)− (B ∩ C).

68. Demuestre lo siguiente:a) A ∩ (B ∆ C) = (A ∩B) ∆ (A ∩ C);b) A ∆ B ⊆ (A ∆ C) ∪ (B ∆ C);c) (A ∩B ∩ C) = A ∪B ∪ C;d) A ∩B ⊆ A y A ⊆ A ∪B para todo conjunto A, B;e) Si A ⊆ B y A ⊆ C, entonces A ⊆ B ∩ C;f) Si A ⊆ C y B ⊆ C, entonces A ∪B ⊆ C;g) A ⊆ B si y sólo si B ⊆ A;h) A ⊆ B si y sólo si A ∪B = B.

69. Demuestre o refute lo siguiente:a) A ∩B = A ∩ C implica B = C;b) A ∪B = A ∪ C implica B = C;c) A ∩B = A ∩ C y A ∪B = A ∪ C implica B = C;d) A ∪B ⊆ A ∩B implica A = B;e) A ∆ B = A ∆ C implica B = C.

70. Demuestre que el complemento relativo no es conmutativo; es decir, A − B = B − A nosiempre es verdadero.

71. Demuestre que el complemento relativo no es asociativo; es decir, (A−B)−C = A−(B−C)no siempre es verdadero.

72. Demuestre que (A−B)− C ⊆ A− (B − C) para todo conjunto A, B, C.

73. Demuestre las inclusiones:a) A ∪ (B − C) ⊃ (A ∪B)− C; b) (A ∪ C)−B ⊂ (A−B) ∪ C.


Documents

Conjuntos I.N