ConservaConservaçção de Energiaão de Energia

•Formulações Alternativas Base temporal:

Num instanteouNum intervalo de tempo

Tipo de Sistema:Volume de controloSuperfície de controlo

• Uma ferramenta importante na análise do fenómeno de transferência de calor, constituindo geralmente a base para determinar a temperaturado sistema em estudo.

CONSERVAÇÃO DE ENERGIA(Primeira Lei da Termodinâmica)

• Num instante de tempo:

Notar a representação do sistema através de umasuperfície de controlo (linha a tracejado) nas fronteiras.

Fenómenos superficiais

Fenómenos volumétricos

APLICAÇÃO A UM VOLUME DE CONTROLO

outin EeE && Taxa de transferência de energia térmica e/ou mecânica através da superfície de controlo, devido à transferência de calor, escoamento de um fluido ou transferência de trabalho

gE& Taxa de geração de energia térmica devido à conversão de outra forma de energia (e.g. eléctrica, nuclear, química); conversão essa de energia que ocorre no interior do sistema

stE& Taxa de variação de energia armazenada no sistema

• Num instante de tempo:

Notar a representação do sistema através de umasuperfície de controlo (linha a tracejado line) nas fronteiras.

Conservação de energia

APLICAÇÃO A UM VOLUME DE CONTROLO

Cada termo tem unidades [J/s] ou [W].( )aEdt

dEEEE stst

outgin 11.1&&&& ==−+

• Num intervalo de tempo:

( )bEEEE stoutgin 11.1Δ=−+ Cada termo tem unidades [J].

Casos especiais (Ligação à Termodinâmica)

(i) Processo Transiente para um Sistema Fechado de Massa (M) Assumindo Transferência de Calor para o Sistema (entrada de energia) e Trabalho Feito pelo Sistema (saída de energia)

Num intervalo de tempo

Q UW− = Δ (1.11c)

Num instante

(1.11d)dt

dUWq =− &

EXEMPLOS DE APLICAÇÃOExemplo 1.3: Aplicação à resposta térmica de um fio condutor com aquecimento por efeitode Joule (geração de calor à passagem da corrente eléctrica).

• Envolve mudança para energia térmica e para uma substância incompressível:

tdUdU dTMcdt dt dt

= =

• A energia abandona o fio condutor ( negativo)q

• A geração pode ser vista como trabalho eléctrico feito sobre o sistema ( negativo) W&

(ii) Processo Estacionário num Sistema Aberto com Escoamento e sem Mudança de Fase ou Geração

Num instante

202

o

m u pv V gz W⎛ ⎞

− + + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

• •22 i

m u pv V gz q⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

•(1.11e)

( ) enthalpy u pv i+ ≡ →• entalpia

( ) flow o w rkpv →• Trabalho do fluido

( )( ) ( )

incompressible liqui For an

0

d:

i o i o

i o

u u c T T

pv pv

− = −

− ≈

• Para um líquido incompressível

( )ideal gas constant specific heatFor an wi :th

i o p i oi i c T T− = −

• Para um gás perfeito com Cp constante

( ) ( )

2 2

For systems with significant heat transfer:

02 2

0i

i

V Vo

gz gz o

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− ≈

• Para sistemas com transferência de calor dominante

Há um caso especial para o qual não existe massa ou volume contidos na superfície de controlo

Conservação de Energia (num instante):

• Aplica-se em condições estacionárias e transientes

Considere a superfície de uma parede com transferência de calor (condução, convecção e radiação).

0cond conv radq q q′′ ′′ ′′− − =

( ) ( )4 41 22 2 2 0sur

T Tk T T T TL

ε σ∞−

− − − − =h

• Sem massa nem volume, não faz sentido falar em energia armazenada ou em geração no balanço de energia, mesmo que estes fenómenos ocorram no meio de que a superfície faz parte.

O BALANÇO DE ENERGIA SUPERFICIAL

(1.12)outin EE && −

• Num esquema do sistema, representar através de linhas a tracejado a superfície de controlo.

• Definir a base temporal apropriada.

• Identificar no esquema o transporte de energia relevante, e os termos de geração e/ou armazenamento, através de setas legendadas.

• Escrever a equação que governa a Conservação de Energia.

• Substituir os termos da equação de energia por expressões apropriadas.

• Resolver a equação em ordem à incógnita.

METODOLOGIA DA ANÁLISE DA PRIMEIRA LEI

EXEMPLOS DE APLICAÇÃOExemplo 1.43: Processamento térmico de uma bolacha de sílica num forno de 2 zonas.

Sabe-se que a bolacha de sílica está posicionada no forno com as superfícies inferior e superior expostas, respectivamente, à zona quente e zona fria.

Determinar (a) Taxa inicial de aquecimento da bolacha a partir de Twi = 300K, (b) Temperatura em regime estacionário.

A convecção é relevante?

ESQUEMAHipóteses:

a) Temperatura da bolacha uniforme

b) Temperaturas uniformes das regiões quente e fria

c) Trocas radiativas entre corpo pequeno e envolvente grande

d) Perdas da bolacha para o suporte desprezáveis

EXEMPLOS DE APLICAÇÃOExemplo 1.43: Processamento térmico de uma bolacha de sílica num forno de 2 zonas (cont)

ANÀLISE: No balanço de energia à bolacha de sílica deve contabilizar-se a convecção com o gás ambiente pelas superfícies inferior (l) e superior (u), as trocas de radiação com as zonas quente e fria e a acumulação de energia.

in out stE E E− =& & &

, , , ,w

rad h rad c cv u cv ld T

q q q q cddt

ρ′′ ′′ ′′ ′′+ − − =

Em termos de fluxo (por unidade de área)

( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 4,,

ww sur c w u w l wsur h

d TT T T T h T T h T T cd

dtεσ εσ ρ∞ ∞− + − − − − − =

(a) Como condição inicial temos Tw =Twi = 300K

( ) ( )8 2 4 4 4 8 2 4 4 4 440.65 5.67 10 W / m K 1500 300 K 0.65 5.67 10 W / m K 330 300 K− −× × ⋅ − + × × ⋅ −

( ) ( )2 28 W / m K 300 700 K 4 W / m K 300 700 K− ⋅ − − ⋅ − = 32700kg / m 875J / kg K× ⋅ ( )w i0.00078 m d T / dt×

( )w id T / dt 104 K / s=

EXEMPLOS DE APLICAÇÃOExemplo 1.43: Processamento térmico de uma bolacha de sílica num forno de 2 zonas (cont)

Em regime estacionário o armazenamento de energia é nulo. O balanço de energia é efectuado com a temperatura da bolacha em regime estacionário, Tw,ss

( ) ( )4 4 4 4 4 4w,ss w,ss0.65 1500 T K 0.65 330 T Kσ σ− + − ( ) ( )2 2

w,ss w,ss8 W / m K T 700 K 4 W / m K T 700 K 0− ⋅ − − ⋅ − =

w,ssT 1251 K=

Para determinar a importância relativa da convecção, resolver o balanço de energia sem convecção. Obtém-se (dTw/dt)i = 101 K/s e Tw,ss = 1262 K. Logo, a radiação controla a taxa de aquecimento inicial e o regime estacionário.