Conservação da Energia - Fenômenos Mecânicos...2018/09/07 · A diferença energia potencial depende somente dos pontos inicial e final. Podemos escolher uma configuração de

�1

ConservaçãodaEnergiao Energiapotencial.o Forçasconservativasenão-conservativaso Conservaçãodaenergiamecânica

�2

Forçasconservativas:o Umaforçaéditaconservativaseotrabalhoqueelarealizadurante

umdeslocamentoforindependentedocaminho.o Otrabalhodependeapenasdospontosinicialefinal.o Issoéequivalenteadizerqueotrabalhorealizadoemumcaminho

fechadoénulo.

�3

Forçasnão-conservativaso Umaforçaéditanão-conservativaseotrabalhoqueelarealiza

duranteumdeslocamentodependedocaminho.o Nestecaso,asomadasenergiasmecânicasdosistema(potencial+

cinética)nãoseconserva.o Atritoearrastosãoexemplosdeforçasnãoconservativas.o Quandoatuaumaforcanãoconservativa,partedaenergia

mecânicaseconverteemenergianão-mecânica,e.g.calor.

�4

︎ Para forças conservativas (apenas) é possível definir uma energiapotencial𝑈atravésde:

�︎�f − 𝑈i︎ = ∆𝑈 = −𝑊

Como a força é conservativa, ∆𝑈 depende apenas dos pontos inicial efinal.︎Paraocasounidimensionaleumaforçavariável𝐹(𝑥)temosportanto:︎

︎︎

︎Seguemagoraexemplosdeconservativas.

EnergiaPotencial

4"

︎" Para" forças" conserva4vas" (apenas)" é" possível" definir" uma" energia'potencial'!"através"de:"""

!︎f − !i︎ = ∆! = −"#f − !i︎ = ∆! = −"#i︎ = ∆! = −"#

" Como" a" força" é" conserva4va," ∆!" depende" apenas" dos" pontos" inicial" e"final.""︎Para"o"caso"unidimensional"e"uma"força"variável"#($)"temos"portanto:""︎""""︎︎"""︎Seguem"agora"exemplos"de"conserva4vas."""

�U = �Z xf

xi

F (x)dx

Energia$Potencial$"

Vimosqueotrabalhorealizadopelaforçagravitacionalentredoispontosé:

Portanto,avariaçãodeenergiapotencialé:

EnergiaPotencialGravitacional

Vimos em aulas anteriores que o trabalho realizado pela mola noblocoduranteumdeslocamento𝑑=𝑥 ︎f −𝑥 ︎i é:

VejaqueWéindependentedocaminho(dependeapenasdospontosinicialefinal). ︎Logo,aforçaelásticaéconservativaepodemosdefinirumaenergiapotencialelástica:

EnergiapotencialelásticaVimos" em" aulas" anteriores" que" o" trabalho" realizado" pela" mola" no"bloco"durante"um"deslocamento"%"="$ ︎"−"$ ︎"é:""""""""""Veja" que" W" é" independente" do" caminho" (depende" apenas" dos"pontos" inicial" e" final)." ︎Logo," a" força" elás4ca" é" conserva4va" e"podemos"definir"uma"energia$potencial$elás0ca:""

WM =12kxi2 −12kx f2

= −12kx f2 −12kxi2"

#$

%

&'

Energia$potencial$elás0ca"

�UM = �WM =1

2kx2

f � 1

2kx2

i

218 C H A P T E R 8 Potential Energy and Conservation of Energy

CONSERVATIVE AND NONCONSERVATIVE FORCESThe work done by the gravitational force does not depend on whether an objectfalls vertically or slides down a sloping incline. All that matters is the change in theobject’s elevation. On the other hand, the energy loss due to friction on that in-cline depends on the distance the object slides. In other words, the path makes nodifference when we consider the work done by the gravitational force, but it doesmake a difference when we consider the energy loss due to frictional forces. Wecan use this varying dependence on path to classify forces as either conservative ornonconservative.

Of the two forces just mentioned, the gravitational force is conservative andthe frictional force is nonconservative.

Conservative Forces

Conservative forces have two important properties:

1. A force is conservative if the work it does on a particle moving between any twopoints is independent of the path taken by the particle.

2. The work done by a conservative force on a particle moving through any closedpath is zero. (A closed path is one in which the beginning and end points areidentical.)

The gravitational force is one example of a conservative force, and the forcethat a spring exerts on any object attached to the spring is another. As we learnedin the preceding section, the work done by the gravitational force on an objectmoving between any two points near the Earth’s surface is From this equation we see that Wg depends only on the initial and final y coordi-

Wg ! mgyi " mgyf .

8.2

Properties of a conservative force

Figure 8.2 (a) An undeformedspring on a frictionless horizontalsurface. (b) A block of mass m ispushed against the spring, compress-ing it a distance x. (c) When theblock is released from rest, the elasticpotential energy stored in the springis transferred to the block in theform of kinetic energy.

x = 0

x

m

x = 0

v

(c)

(b)

(a)

Us = kx212

Ki = 0

Kf = mv212

Us = 0

m

m

Vimos" em" aulas" anteriores" que" o" trabalho" realizado" pela" mola" no"bloco"durante"um"deslocamento"%"="$ ︎"−"$ ︎"é:""""""""""Veja" que" W" é" independente" do" caminho" (depende" apenas" dos"pontos" inicial" e" final)." ︎Logo," a" força" elás4ca" é" conserva4va" e"podemos"definir"uma"energia$potencial$elás0ca:""

WM =12kxi2 −12kx f2

= −12kx f2 −12kxi2"

#$

%

&'

Energia$potencial$elás0ca"

�UM = �WM =1

2kx2

f � 1

2kx2

i

218 C H A P T E R 8 Potential Energy and Conservation of Energy

CONSERVATIVE AND NONCONSERVATIVE FORCESThe work done by the gravitational force does not depend on whether an objectfalls vertically or slides down a sloping incline. All that matters is the change in theobject’s elevation. On the other hand, the energy loss due to friction on that in-cline depends on the distance the object slides. In other words, the path makes nodifference when we consider the work done by the gravitational force, but it doesmake a difference when we consider the energy loss due to frictional forces. Wecan use this varying dependence on path to classify forces as either conservative ornonconservative.

Of the two forces just mentioned, the gravitational force is conservative andthe frictional force is nonconservative.

Conservative Forces

Conservative forces have two important properties:

1. A force is conservative if the work it does on a particle moving between any twopoints is independent of the path taken by the particle.

2. The work done by a conservative force on a particle moving through any closedpath is zero. (A closed path is one in which the beginning and end points areidentical.)

The gravitational force is one example of a conservative force, and the forcethat a spring exerts on any object attached to the spring is another. As we learnedin the preceding section, the work done by the gravitational force on an objectmoving between any two points near the Earth’s surface is From this equation we see that Wg depends only on the initial and final y coordi-

Wg ! mgyi " mgyf .

8.2

Properties of a conservative force

Figure 8.2 (a) An undeformedspring on a frictionless horizontalsurface. (b) A block of mass m ispushed against the spring, compress-ing it a distance x. (c) When theblock is released from rest, the elasticpotential energy stored in the springis transferred to the block in theform of kinetic energy.

x = 0

x

m

x = 0

v

(c)

(b)

(a)

Us = kx212

Ki = 0

Kf = mv212

Us = 0

m

m

❑ Adiferençaenergiapotencialdependesomentedospontosinicialefinal.

❑ Podemos escolher uma configuração de referência para qual aenergia potencial gravitacional seja definida por um valor dereferência,geralmentezero.

❑ Adiferençadeenergiapotencialentreumdadopontoeopontodereferenciaéchamadadeenergiapotencial.

❑ Aescolhadopontodereferenciaéarbitráriaporqueadiferençanaenergiapotencialéindependentedopontodereferencia.

Potencialdereferência

�8

Definição1:Umsistemaconservativofechadoédefinidocomoumsistemanoqual:• Nenhumaforçaexternaatuasobreosistema. ︎ • Todasasforçasinternassãoconservativas.

Definição2:Denominamosenergiamecânicatotaldeumsistemaàsomadaenergiacinéticaedaenergiapotencial:E=K+U

Conservaçãodaenergiamecânica

Exemplodesistemaconservativoisolado

�9

CONSERVAÇÃODAENERGIAMECÂNICA:Aenergiamecânicatotaldeumsistemapermanececonstanteemqualquersistemaconservativofechado.

Demonstração:Peloteorematrabalho-energiacinéticatemos: Wtotal=ΔK.

Comotodasasforçassãoconservativas,podemosescreverotrabalhocomoWtotal=-ΔU.Substituindonaequaçãoacimatemos:

-ΔU=ΔK -(Uf–Ui)=Kf–Ki

Ki+Ui=Kf+Uf

i.e.aenergiamecânicaseconserva.

Ei = E f

Ki +Ui = K f +U f

0+mgh = 12mv2 + 0

v = 2gh

a)"

Ei = E f

Ki +Ui = K f +U f

0+mgh = 12mv2 +mgy

v = 2g(h− y)

b)"

Ei = E f

Ki +Ui = K f +U f

12mv0

2 +mgh = 12mv2 +mgy

v = v02 + 2g(h− y)

c)"

"d) Não haveria diferença na velocidade final da bola pois apenas forças conservativas estão presentes.

11"

Exemplo"01:"Potencial"Gravitacional:"Deixa6se"cair"uma"bola"de"massa"m"a"par4r"de"uma"altura"h.$(a)$Qual"a"sua"velocidade"quando"ela"bate"no"chão"se"ela"es4vesse"inicialmente"em"repouso?$(b)$Qual"a"sua"velocidade"quando"ela"es4ver"em"alguma"altura"y?$(c)$Qual"seria"sua"velocidade"ao"chegar"nesse"ponto"se"ela"4vesse"sido"arremessada"ver4calmente"para"baixo"com"alguma"velocidade"diferente"de"zero?"(d)$Haveria"diferença"na"velocidade"de"chegada"no"chão"se"ela"4vesse"sido"arremessada"para"cima?"

�10

Exemplo01:PotencialGravitacional:Deixa-secairumabolademassamapartirdeumaalturah.(a)Qualasuavelocidadequandoelabatenochãoseelaestivesseinicialmenteemrepouso?(b)Qualasuavelocidadequandoelaestiveremalgumaalturay?(c)Qualseriasuavelocidadeaochegarnessepontoseelativessesidoarremessadaverticalmenteparabaixocomalgumavelocidadediferentedezero?(d)Haveriadiferençanavelocidadedechegadanochãoseelativessesidoarremessadaparacima?

Exemplo"02:"Potencial"Gravitacional"e"Energia"Ciné4ca"

"Um"pêndulo"feito"de"uma"esfera"de"massa"m'presa"a"um"fio"de"massa"desprezível"e"comprimento"L,"é"solto"do"ponto"A,"conforme"mostra"a"figura"ao"lado."

"a)  Qual"a"velocidade"da"esfera"no"ponto$B?"b)  Qual"a"tração"na"corda"quando"ela"está"nesse"ponto?"

ΔE = 0E = K +U⇒ KA +UA = KB +UB

KA = 0

KB =12mvb

2

#

$%

&%

UA =mg(L − LcosθA )UB = 0#$&

0+mg(L − LcosθA ) =12mvb

2 + 0

v = 2gL 1− cosθA( )

FRB =maR =

mvB2

L∑FRB = T −mg∑

T −mg = mvB2

LT =mg+ 2mg 1− cosθA( )T =mg 3− 2cosθA( )

a)" b)"

13"

Exemplo02:PotencialGravitacionaleEnergiaCinética

UmpêndulofeitodeumaesferademassampresaaumfiodemassadesprezívelecomprimentoL,ésoltodopontoA,conformemostraafiguraaolado.

a) QualavelocidadedaesferanopontoB?b) Qualatraçãonacordaquandoelaestánesseponto?

�11

Exemplo03:EnergiaPotencial,CinéticaeForçadeAtrito

Umesquiadorpartedorepousonoaltodeumamontanhaemumadescidasematritode20mdealtura.Nofinaldadescidaeleencontraumasuperfíciehorizontalcomcoeficientedeatrito0,20.

a) Qualsuavelocidadenofinaldaladeira?

b) Qualadistânciaqueelepercorrenahorizontalantesdeparar?

�12

Exemplo"03:"Energia"Potencial,"Ciné4ca"e"Força"de"Atrito"

"Um"esquiador"parte"do"repouso"no"alto"de"uma"montanha"em"uma"descida"sem"atrito"de"20"m"de"altura."No"final"da"descida"ele"encontra"uma"superkcie"horizontal"com"coeficiente"de"atrito"0,20.""

a)  Qual"sua"velocidade"no"final"da"ladeira?"

b)  Qual"a"distância"que"ele"percorre"na"horizontal"antes"de"parar?"

A→ BΔE = 0UA +KA =UB +KB

mgh+ 0 = 0+ 12mvB

2

vB = 2gh

vB = 2×9,8×20vB =19,8m / s

B→CΔK =WatritomvC

2

2−mvB

2

2= −µKmgd

d = vB2

2µKg=2gh2µKg

=hµK

d = 200,20

=100m

a)" b)"

(Teorema"do"Trabalho"e"a"energia"ciné4ca)"

(Forças"Conserva4vas)"

15"

Exemplo04:PotencialGravitacionaleElástico

Omecanismodedisparodeumacertaarmadebrinquedoéfeitodeumamoladeconstanteelásticadesconhecida.Quandoamolaécomprimida12cm,umprojétilde35g,quandodisparado,atingeumaalturade20memrelaçãoàsuaalturaantesdodisparo.Desprezandotodasasforçasnãoconservativas,responda:a) Qualaconstanteelásticadamola?b) Qualavelocidadedoprojétil12cmapósaposiçãoinicialdedisparo?

�13

Exemplo"04:"Potencial"Gravitacional"e"Elás4co"

"O"mecanismo"de"disparo"de"uma"certa"arma"de"brinquedo"é"feito"de"uma"mola"de"constante"elás4ca"desconhecida."Quando"a"mola"é"comprimida"12"cm,"um"projé4l"de"35"g,"quando"disparado,"a4nge"uma"altura"de"20m"em"relação"à"sua"altura"antes"do"disparo."Desprezando"todas"as"forças"não"conserva4vas,"responda:"a)  Qual"a"constante"elás4ca"da"mola?"b)  Qual"a"velocidade"do"projé4l"12"cm"após"a"posição"inicial"de"disparo?"

ΔE = ΔUG +ΔUM +ΔKΔE = 0ΔUG =mgh− 0

ΔUM = 0− 12kx2

ΔK = 0− 0

0 =mgh− 12kx2

k = 2mghx2

=2×0,035×9,8×20

0,122

k = 953N /m

ΔK =12mv2 − 0

0 =mgx − 12kx2 + 1

2mv2

v = kx2

m− 2gx

v = 953×0,122

0, 035− 2×9,8×0,12

v =19, 7m / s

a)" b)"

17"




ΔUM = 0− 12kx2

ΔK = 0− 0

0 =mgh− 12kx2

k = 2mghx2

=2×0,035×9,8×20

0,122

k = 953N /m

ΔK =12mv2 − 0

0 =mgx − 12kx2 + 1

2mv2

v = kx2

m− 2gx

v = 953×0,122

0, 035− 2×9,8×0,12

v =19, 7m / s

a)" b)"

17"




ΔUM = 0− 12kx2

ΔK = 0− 0

0 =mgh− 12kx2

k = 2mghx2

=2×0,035×9,8×20

0,122

k = 953N /m

ΔK =12mv2 − 0

0 =mgx − 12kx2 + 1

2mv2

v = kx2

m− 2gx

v = 953×0,122

0, 035− 2×9,8×0,12

v =19, 7m / s

a)" b)"

17"




ΔUM = 0− 12kx2

ΔK = 0− 0

0 =mgh− 12kx2

k = 2mghx2

=2×0,035×9,8×20

0,122

k = 953N /m

ΔK =12mv2 − 0

0 =mgx − 12kx2 + 1

2mv2

v = kx2

m− 2gx

v = 953×0,122

0, 035− 2×9,8×0,12

v =19, 7m / s

a)" b)"

17"




ΔUM = 0− 12kx2

ΔK = 0− 0

0 =mgh− 12kx2

k = 2mghx2

=2×0,035×9,8×20

0,122

k = 953N /m

ΔK =12mv2 − 0

0 =mgx − 12kx2 + 1

2mv2

v = kx2

m− 2gx

v = 953×0,122

0, 035− 2×9,8×0,12

v =19, 7m / s

a)" b)"

17"

Consideremosoteorematrabalhoenergiaparaumcertocorpo:ΔK=W.

Agoraseparamosotrabalhototalrealizadosobreosistemaemduaspartes:ΔK=Wcons+Wext/diss

Otrabalhodasforçasconservativaspodeserescritocomo:Wcons=-ΔU.Logo,ΔK=-ΔU+Wext/diss ΔK+ΔU=Wext/dissouΔEmec=Wext/diss

Conservaçãodaenergiaemsistemasnão-isoladosoucomforcasdissipativas

Exemplo05:EnergiaCinética,PotencialElásticaeAtrito

Umblocode0,80kga1,2m/scolidecomumamoladeconstanteelásticade50N/m.a) Desprezando-seoatrito,qualseriaacompressãomáximada

mola?b) Qualseriaessacompressãoselevássemosemcontaumaforçade

atritoentreoblocoeasuperfíciecomcoeficientedeatritocinéticode0,50,supondoqueavelocidadecomqueoblocoatingeamolasejaamesma?

�15

Exemplo#05:#Energia#Ciné7ca,#Potencial#Elás7ca#e#Atrito#

#Um#bloco#de#0,80#kg#a#1,2#m/s#colide#com#uma#mola#de#constante#elás7ca#de#50#N/m.##a)  DesprezandoHse#o#atrito,#qual#seria#a#compressão#máxima#da#

mola?#b)  Qual#seria#essa#compressão#se#levássemos#em#conta#uma#força#

de#atrito#entre#o#bloco#e#a#super`cie#com#coeficiente#de#atrito#ciné7co#de#0,50,#supondo#que#a#velocidade#com#que#o#bloco#a7nge#a#mola#seja#a#mesma?#

Forças Conservativas →ΔE = 0ΔE = ΔK +ΔUM

ΔK = 0− 12mv2

ΔUM =12kx2 − 0

0 = − 12mv2 +

12kx2

x = v mk=1, 2 0,80

50x =15cm

a)#

Forças Não-Conservativas →ΔE =Watrito

−µkmgx = −12mv2 +

12kx2

25x2 +3, 9x − 0, 58 = 0

x =0, 092−0, 25$%&

⇒ x = 9, 2cm

b)#

5#






ΔK = 0− 12mv2

ΔUM =12kx2 − 0

0 = − 12mv2 +

12kx2

x = v mk=1, 2 0,80

50x =15cm

a)#



12kx2

25x2 +3, 9x − 0, 58 = 0

x =0, 092−0, 25$%&

⇒ x = 9, 2cm

b)#

5#






ΔK = 0− 12mv2

ΔUM =12kx2 − 0

0 = − 12mv2 +

12kx2

x = v mk=1, 2 0,80

50x =15cm

a)#



12kx2

25x2 +3, 9x − 0, 58 = 0

x =0, 092−0, 25$%&

⇒ x = 9, 2cm

b)#

5#

Exemplo#06:#Blocos#Conectados#em#Movimento#

#Dois#blocos#estão#conectados#por#um#cabo#de#massa#muito#pequena#que#passa#por#uma#polia#de#massa#também#irrisória,#que#gira#sem#atrito,#conforme#mostra#a#figura#ao#lado.#ConsiderandoHse#que#na#posição#inicial#a#mola#não#exerce#força#sobre#o#bloco#1,#calcule:#a)  A#máxima#elongação#da#mola#quando#o#bloco#1#desliza#sem#atrito.#b)  A#máxima#elongação#da#mola#na#presença#de#atrito.#c)  A#elongação#da#mola#no#ponto#de#equilíbrio.#

ΔE = 0ΔK +ΔUG +ΔUM = 0

−m2gh+12kx2 = 0

x = h⇒ xmax = 2m2gk

ΔE =Watrito

ΔK +ΔUG +ΔUM =Watrito

−m2gh+12kx2 = −µkm1gx

x = h⇒ xmax = 2m2g−µkm1g

k

Equilíbrio → FR = 0

−kx =m2g⇒ xequil =m2gk

a)# b)#

c)#

7#

Exemplo06:BlocosConectadosemMovimento

Doisblocosestãoconectadosporumcabodemassamuitopequenaquepassaporumapoliademassatambémirrisória,quegirasematrito,conformemostraafiguraaolado.Considerando-sequenaposiçãoinicialamolanãoexerceforçasobreobloco1,calcule:a) Amáximaelongaçãodamolaquandoobloco1deslizasematrito.b) Amáximaelongaçãodamolanapresençadeatrito.c) Aelongaçãodamolanopontodeequilíbrio.

�16

�17

Umacaixade3,00kgdeslizaparabaixodeumarampa.Arampatem1,00mdecomprimentoeumainclinaçãode30°,Acaixapartedorepouso,experimentaumaforçadeatritoconstantede5,00Necontinuaamover-seaumacurtadistâncianochãohorizontal,depoisdedeixararampa.a) Determineavelocidadedacaixanofimdarampa.

9#

210 Capítulo 8 Conservación de energía

cuando el objeto está en su posición de equilibrio. Si hay más de una fuerza conservativa, escriba una expresión para la energía potencial asociada con cada fuerza.

Use la ecuación 8.16 o la ecuación 8.17 para establecer una representación matemá-tica del problema. Resuelva para las incógnitas.

4. Finalizar. Asegúrese de que sus resultados sean consistentes con su representación men-tal. También de que los valores de sus resultados sean razonables y consistentes con la experiencia cotidiana.

EJEMPLO 8.7 Caja que se desliza por una rampa

Una caja de 3.00 kg se desliza hacia abajo por un rampa. La rampa mide 1.00 m de largo y está inclinada en un ángulo de 30.0°, como se muestra en la figura 8.10. La caja parte del re-poso en lo alto, experimenta una fuerza de fricción constante de 5.00 N de magnitud y continúa su movimiento una corta distancia sobre el piso horizontal, después de dejar la rampa.

A) Proceda con el planteamiento de energía para determinar la rapidez de la caja en el fondo de la rampa.

SOLUCIÓN

Conceptualizar Piense en la caja que se desliza por la rampa en la figura 8.10. Mientras más grande sea la fuerza de fric-ción, más lenta se deslizará la caja.

Categorizar Identifique la caja, la superficie y la Tierra como el sistema. El sistema se clasifica como aislado con una fuerza no conservativa en acción.

Analizar Ya que vi � 0, la energía cinética inicial del sistema, cuando la caja está en lo alto de la rampa, es cero. Si la coordenada y se mide desde la base de la rampa (la posición final de la caja, para la cual se elige que la energía potencial gravitacional del sistema sea cero) con la dirección hacia arriba positiva, por lo tanto yi � 0.500 m.

Evalúe la energía mecánica total del sistema cuando la caja está en lo alto:

Escriba una expresión para la energía mecánica final: Ef Kf Uf12mvf 2 0

Aplique la ecuación 8.16: ¢Emec Ef Ei12mvf 2 mgyi fkd

Resuelva para vf2 : 1) vf 2

2m 1mgyi fkd 2

Sustituya valores numéricos y resuelva para vf :

B) ¿A qué distancia se desliza la caja sobre el piso horizontal si continúa experimentando una fuerza de fricción de 5.00 N de magnitud?

SOLUCIÓN

Analizar Esta parte del problema se maneja exactamente igual que el inciso A), pero en este caso se considera que la energía mecánica del sistema consiste sólo en energía cinética, porque la energía potencial del sistema permanece fija.

vf 2.54 m/s

vf 22

3.00 kg314.7 J 15.00 N 2 11.00 m 2 4 6.47 m2>s2

30.0

vf

d = 1.00 m

vi = 0

0.500 m

�

Figura 8.10 (Ejemplo 8.7) Una caja se desliza hacia abajo por una rampa bajo la influencia de la gravedad. La energía potencial del sistema disminuye, mientras que la energía cinética aumenta.

13.00 kg 2 19.80 m>s2 2 10.500 m 2 14.7 J

Ei Ki Ui 0 Ui mgyi








SOLUCIÓN








2m 1mgyi fkd 2



SOLUCIÓN


vf 2.54 m/s

vf 22

3.00 kg314.7 J 15.00 N 2 11.00 m 2 4 6.47 m2>s2

30.0

vf

d = 1.00 m

vi = 0

0.500 m

�


13.00 kg 2 19.80 m>s2 2 10.500 m 2 14.7 J

Ei Ki Ui 0 Ui mgyi

Uma#caixa#de#3,00#kg#desliza#para#baixo#de#uma#rampa.#A#rampa#tem#1,00#m#de#comprimento#e#uma#inclinação#de#30°,#A#caixa#parte#do#repouso,#experimenta#uma#força#de#atrito#constante#de#5,00#N#e#con7nua#a#moverHse#a#uma#curta#distância#no#chão#horizontal,#depois#de#deixar#a#rampa.#a)  Determine#a#velocidade#da#caixa#no#fim#da#rampa.#

�18

b)Quedistânciapercorreacaixanochãohorizontalseelacontinuaexperimentandoumaforçadeatritoconstantede5,00N.

11#








SOLUCIÓN








2m 1mgyi fkd 2



SOLUCIÓN


vf 2.54 m/s

vf 22

3.00 kg314.7 J 15.00 N 2 11.00 m 2 4 6.47 m2>s2

30.0

vf

d = 1.00 m

vi = 0

0.500 m

�


13.00 kg 2 19.80 m>s2 2 10.500 m 2 14.7 J

Ei Ki Ui 0 Ui mgyi

b)#Que#distância#percorre#a#caixa#no#chão#horizontal#se#ela#con7nua#experimentando#uma#força#de#atrito#constante#de#5,00#N.#

Evalúe la energía mecánica del sistema cuando la caja deja la parte baja de la rampa:

Aplique la ecuación 8.16 con Ef = 0: Ef Ei 0 9.68 J fkd

Resuelva para la distancia d: d9.68 J

fk

9.68 J5.00 N

1.94 m

Finalizar Por comparación, es posible que pretenda calcular la rapidez de la caja en la parte baja de la rampa como un caso en el que la rampa no tiene fricción. Note también que el aumento en energía interna del sistema, a medida que la caja se desliza hacia abajo por la rampa, es 5.00 J. Esta energía se comparte entre la caja y la superficie, y cada una es un poco más caliente que antes.

Advierta además que la distancia d que se desliza el objeto sobre la superficie horizontal es infinita si la superficie no tiene fricción. ¿Esto es consistente con su marco conceptual de la situación?

¿Qué pasaría si? Un trabajador precavido decide que la rapidez de la caja cuando llega a la parte baja de la rampa es tal que su contenido podría dañarse. Por lo tanto, sustituye la rampa con una más larga de tal modo que la nueva rampa forma un ángulo de 25.0° con el suelo. ¿Esta nueva rampa reduce la rapidez de la caja a medida que llega al suelo?

Respuesta Ya que la rampa es más larga, la fuerza de fricción actúa en una distancia mayor y transforma más de la energía mecánica en energía interna. El resultado es una reducción en la energía cinética de la caja y se espera una rapidez menor cuando llegue al suelo.

Encuentre la longitud d de la rampa nueva: sen 25.0°0.500 m

d S d

0.500 msen 25.0°

1.18 m

Hallar vf2 de la ecuación 1) en el inciso A):

vf 2.42 m/s

vf 22

3.00 kg 314.7 J 15.00 N 2 11.18 m 2 4 5.87 m2>s2

De hecho la rapidez final es menor que en el caso de un ángulo mayor.

EJEMPLO 8.8 Colisión bloque–resorte

A un bloque, que tiene 0.80 kg de masa, se le da una velocidad inicial v�� 1.2 m/s hacia la derecha y choca con un resorte con masa des-preciable y cuya constante de fuerza es k � 50 N/m, como se muestra en la figura 8.11.

A) Suponga que la superficie no tiene fricción y calcule la compre-sión máxima del resorte después del choque.

SOLUCIÓN

Conceptualizar Las diversas partes de la figura 8.11 ayudan a imaginar lo que hará el bloque en esta situa-ción. Todo el movimiento tiene lugar en un plano horizontal, así que no es necesario considerar cambios en energía potencial gravitacional.

Sección 8.4 Cambios en energía mecánica para fuerzas no conservativas 211

Ei Ki12mvi 2

12 13.00 kg 2 12.54 m>s 22 9.68 J

E � � mv�21

2

x � 0

a)

b)

c)

v� � 0

d)

xmáx

�

�

�

�

E � � mv�2 � � kx�

212

12

E � � mv�2 � � mv�

212

12

E � � kxmáx12

v�

v�

x�

v� � –v�

2

Figura 8.11 (Ejemplo 8.8) Un bloque que se desliza sobre una superficie horizontal uniforme choca con un resorte ligero. a) Al inicio, toda la energía mecánica es energía cinética. b) La energía mecánica es la suma de la energía cinética del bloque y la energía potencial elástica en el resorte. c) La energía es completamente energía potencial. d) La energía se transformó de regreso a energía cinética del bloque. La energía total del sistema permanece constante a lo largo del movimiento.

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Conservação da Energia - Fenômenos Mecânicos...2018/09/07 · A diferença energia potencial depende somente dos pontos inicial e final. Podemos escolher uma configuração de