Upload
bartdordrecht
View
226
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 1/81Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
EENVOUDIGE
LIGGERBEREKENING:
• Buiging
• Dwarskracht• Vervorming
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 2/81Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
EEN BETONBEREKENING ISEEN
DOORSNEDEBEREKENING!
• als de doorsnede bekend is, kan de wapeningbepaald worden.
• als de wapening bekend is, kan een passendeafmeting bepaald worden.
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 3/81Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
VAN SPANNINGEN NAAR MOMENT(zie reader op site van Com B)
Leer der toegepaste mechanica:
• lineair - elastisch
• niet lineair - elastisch
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 4/81Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
N'
N
l
l
l
b
h h
a b
A (mm )2
A (mm )2
'
Prisma belast door een normaalkracht
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 5/81Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
AE
lNl
⋅
⋅=∆verlenging of verkorting:
l
l∆=εspecifieke vervorming:
A
N=σoptredende spanning:
)E
'
':druk(
σ
=εE
σ
=εWet van Hooke:
Verband tussen spanning en vervorming
E-modulus
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 6/81Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Het verband tussen spanning (σ) enspecifieke vervorming (ε).
Lineair - elastisch
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 7/81Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
''tan
ε
σ=α
tan α = E (α = arctan E).
M.a.w. de elasticiteitsmodulus van een materiaal wordt
voorgesteld door de helling (richtingscoëfficiënt) van hetσ’ - ε’ – diagram.
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 8/81Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
1
2
34 5
σ’ -
ε’ – diagram van een op d r u k belaste betonprisma
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 9/81Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Géén rechtlijnig verband tussenσ
enε
niet lineair – elastisch
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 10/81Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Lineair versus niet-lineair.
• afleiding m.b.v. lineair – elastisch materiaal
• overgang naar niet lineair – elastisch materiaal beton
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 11/81Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Md
= F·a
FdFd
a a
M-lijn
D-lijnFd
M = constant
“vierpuntsbuigproef” zuivere buiging
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 12/81Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
MATERIAALEIGENSCHAPPEN TREK & DRUK
ε’
σ’
σ’ 1
σ’ 2
σ’ 3
ε’ 1 ε’ 2 ε’ 3
1
2
3
Linear-elastisch, druk
ε
σ
σ1
σ2
σ3
ε1 ε2 ε3
1
2
3
Linear-elastisch, trek
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 13/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
spannings-(σ) en rek-(ε) diagrammen
σ1 ε1b
h
σ’ 1 ε’ 1 σ’ 2 ε’ 2 σ’ 3 ε’ 3 σ’ 3
σ2 ε2 σ3 ε3
drukN’
N
z
σ3
trek
Mu = N·z
punt 1 punt 2 punt 3 z is “inwendigehefboomsarm” (uit voorgaande grafieken)
de spanningen zijn rechtevenredig met de vervormingen
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 14/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Uiterst opneembaar moment: Mu
(inwendig moment)
Volgt uit geometrie en materiaaleigenschappen
• het moment wat k an worden opgenomen
• momentcapaciteit van de doorsnede
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 15/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Rekenwaarde van het moment: Md
(uitwendig moment)
Volgt uit de mechanica (rekensommmetje)
• het moment wat m o e t worden opgenomen
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 16/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Mu≥ M
d
Inwendig moment≥
Uitwendig moment
constructie-onderdeel voldoet op sterkte
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 17/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Optredende spanning is: σ
Uiterst opneembare spanning is: f
Vergelijk met bijv. staal:
Optredende spanning: σs (index s van staal)
Uiterst opneembare spanning: f s (vloeispanning)
voor staalkwaliteit S235JR is dit 235 N/mm2
Uit het laatste diagram van dit voorbeeld kan worden
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 18/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Uit het laatste diagram van dit voorbeeld kan wordenopgemaakt dat:
∑H=0
N = N’ (er is hier verder géén uitwendige normaalkracht aanwezig)
Mu = N · z ofwel Mu = N’ · z
N = de resultante van de inwendige trekkracht
N’ = de resultante van de inwendige drukkracht
z = inwendige hefboomsarm
Tussen N en N’ ontstaat een inwendig moment (koppel), met
afstand z (inwendige hefboomsarm).
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 19/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
De grootte van N is gelijk aan de inhoud van de
spanningsfiguur (bekend uit de mechanica):
oppervlak van de spanningsdriehoek vermenigvuldigd
met de breedte:
N = oppervlak ∆ * breedte balk
N = ½ · (σ · ½h) * b
[Newton]
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 20/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
De kracht N grijpt aan in het zwaartepunt van dedriehoek
z = 2 * afstand zwaartepunt tot n.l.
z = 2 * (2 /3 · ½h) = 2 /3h
N’
N
z
Mu = N·z
σ3
σ’ 3
1 /3 * 1 /2h
2 /3 * 1 /2h
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 21/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Mu = N · z
Mu
= ½ · σ · ½h · b * 2 /3
h = 1 /6
bh2 · σ [Nmm]
2
61
u
bh·M=σ⇒
M
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 22/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
I
z·M index=σUit de mechanica volgt:
z = afstand van de n.l. tot aan de beschouwde uiterste vezel, onder of boven.Voor rechthoekige doorsneden is zboven = zonder = ½h.
Deze ‘z’ niet verwarren met de inwendige hefboomsarm!
I = Axiaal Kwadratisch Oppervlakte MomentVoor rechthoekige doorsneden is dit: 1 /12 · bh3.
2
6
13
12
1
bh·
M
bh·
h½·M=σ⇒=σ
Vergelijk dit met de vorige uitkomst!
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 23/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
VOORBEELD
Rechthoekige doorsnede b*h = 150 * 300 mm²
Materiaalgegevens: (alléén t.b.v. sterkte)
(zie grafiek): f trek = f’ druk = 10 N/mm²
Bepaal het uiterst opneembare moment Mu
van deze doorsnede.
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 24/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Grafiek t.b.v. rekenvoorbeeld
ε
σ
εu
Linear-elastisch, trek en druk
f u = 10 N/mm²
Uitwerking:
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 25/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Uitwerking:
Teken altijd eerst het spannings- en rekfiguur:
150
300
f u
f’ u ε’ u
εu
N’
N
z
10 N/mm²
½h
½h
10 N/mm²
Kracht N = ½ · σ · ½h · b
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 26/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Kracht N = ½ σ ½h b
½ · 10 · ½·300 · 150 = 112.500 N (112,5 kN)
Hefboomsarm z = 2 * (2 /3 · ½h)
2 · (2 /3 · ½·300) = 200 mm.
Mu = 112.500 · 200 = 22,5·106 Nmm² (22,5 kNm)
Een groter moment kan deze doorsnede niet opnemen.
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 27/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Beschouw onderstaande balk + belasting
Md = F·a
FdFd
a a
M-lijn
M = constant
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 28/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Md = F·a
FdFd
a a
M-lijn
Stel: Fd = 10 kN
a = 2 m.
Materiaaleigenschappen en doorsnede ongewijzigd:
de balk is gemaakt van de doorsnede die zojuist is berekend(met Mu = 22,5 kNm)
Is deze balk sterk genoeg om de gegeven belasting te
dragen?
Als Md ≤ Mu, dan heeft de doorsnede voldoende capaciteit
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 29/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
om het aanwezige moment op te nemen en is de balk dussterk genoeg.
Mu is zojuist berekend en is 22,5 kNm
Md wordt bepaald door de uitwendige belasting en volgtuit de mechanica:
Md = Fd · a Md = 10 · 2 = 20 kNm.
20 kNm (Md) < 22,5 kNm (Mu) voldoet
de balk is dus sterk genoeg.
NIET LINEAIR – ELASTISCH GEDRAG
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 30/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
NIET LINEAIR ELASTISCH GEDRAGVAN BETON
σ’
ε
σ
σ-ε-diagrambeton onder trek
ε’
σ-ε-diagrambeton onder druk
werkelijk verloop
geschematiseerd
Conclusie:
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 31/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Conclusie:
er bestaat géén rechtlijnig verband tussen
spanning en vervorming, zowel voorbeton onder druk als onder trek.
• Het drukdiagram wordt geschematiseerd tot een bi-lineair diagram
• Het trekdiagram wordt alléén gebruikt om hetscheurmoment te bepalen.
• Verder wordt uitgegaan dat beton géén trek kan
opnemen
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 32/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
• De optredende trekkrachten worden volledig door dewapening opgenomen.
trek
druk M M
• Omdat gewapend beton een samengestelde doorsnedeis, moeten ook de materiaalgegevens van hetwapeningsstaal bekend zijn.
De E-modulus van betonstaal is een vast gegeven:
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 33/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
g g
Es = 2,0·105
N/mm²
f s
FeB 500
FeB 400
FeB 220= 190 N/mm2
= 350 N/mm2
= 435 N/mm2
arctg E s
f s
f s
f s
a b
s s
s su s
De rek aan het einde van de schuine tak voor FeB500 is dus:
‰18,2002175,010·0,2
435
5s≈==ε
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 34/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Hieruit volgt dus dat staal een bijzonder lange horizontaletak heeft.
In deze tak neemt de spanning niet meer toe, alléén devervorming!
M.a.w. de kracht in het staal blijft onveranderd, alleenwordt het staal langer.
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 35/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
De benodigde σ-ε-diagrammen zijn hieronderweergegeven:
ε’
σ’
σ-ε-diagrambeton onder druk
ε
σ
σ-ε-diagrambeton onder trek
εs
σs
σ-ε-diagramstaal onder trek
f'b
1,75‰
f bm
≈0,20‰ 2,175‰27,5 – 32,5‰
f s
3,50‰
De diagrammen zijn onderling niet op schaal getekend!
FdFd
Beschouw de balk uit
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 36/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Md = F·a
a a
M-lijn
Beschouw de balk uit
voorgaand voorbeeld:
De doorsnede is nu een gewapende betonbalk, met dewapening aan de onderzijde (trekzijde).
T.g.v. de gegeven belasting zal onderin de ligger trek enbovenin druk optreden.
Trekzone diagrammen (grafieken) raadplegen die gebaseerd zijn
op trek (staal en beton)
Drukzone diagrammen (grafieken) raadplegen die gebaseerd zijnop druk (beton)
De belasting wordt in vier stappen vanaf nul opgevoerd.
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 37/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Iedere stap wordt gekozen bij een markant (kritisch)
punt op één van de drie diagrammen:
1. moment dat aan de onderzijde de beton nog juistniet scheurt, scheurmoment
2. moment dat het staal gaat vloeien (einde van deschuine tak, εs = 2,175‰).
3. moment dat beton gaat stuiken (einde van de
schuine tak, ε’ b;pl = 1,75‰).
4. moment dat beton bezwijkt (einde van de
horizontale tak, ε’ b;u = 3,50‰)
1 . Mo m en t d at aan d e o n d er z i j d e d e b et o n n o g j u i st
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 38/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
1 . Mo m en t d at aan d e o n d er z i j d e d e b et o n n o g j u i stn i et sch e u r t ( M r ) .
Dit is de fase dat het einde van de schuine tak in het beton-trekdiagram wordt bereikt.
f s
ε’
σ’
σ-ε-diagrambeton onder druk
ε
σ
σ-ε-diagrambeton onder trek
εs
σs
σ-ε-diagramstaal onder trek
f'b
1,75‰
f bm
≈0,20‰ 2,175‰27,5 – 32,5‰
punt 1
punt 1 punt 1
3,50‰
B e t o n d r u k z o n e
bovenz i j d e ba lk
Be ton t rek z one
ond erz i j de ba lk
Be tons taa l
ond erz i j de ba lk
De constructie gedraagt zich lineair-elastisch (samengestelde doorsnede).
Vervormings- en spanningsdiagram voor de nog juist
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 39/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
ongescheurde doorsnede (Mr)
f bm
As
b
h
f s E s
balk ongescheurd
' b<1,75‰ ' f ' b b<<
s<
b
s s< f
b b<_ f
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 40/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Uit het ε-diagram blijkt:
• εs << 2,175‰
• εb,max is bereikt
• ε’ b << 1,75‰
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 41/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Uit het σ-diagram blijkt:
• σs << f s staal vloeit nog lang niet.
• f b = f bm de maximale betontrekspanning isbereikt.
• σ’ b << f’ b de maximale betondrukspanningis nog lang niet bereikt.
2 M om en t da t he t st aa l gaat v l oei en ( M )
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 42/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
2 . M om en t da t he t st aa l gaat v l oei en ( M e) .
Dit is de fase dat het einde van de schuine tak in het staal-trekdiagram wordt bereikt.
f s
ε’
σ’
σ-ε-diagrambeton onder druk
σs
σ-ε-diagramstaal onder trek
f'b
1,75‰ 2,175‰ 27,5 – 32,5‰
punt 2
punt 2
3,50‰
Trekspanning in beton
is overschreden: gescheurd gééntrekopname meermogelijk grafiek nietmeer nodig.
σ-ε-diagrambeton onder trek
Als de belasting wordt opgevoerd, scheurt de balk aan de onderzijde en alletrekkrachten komen in het staal, want het beton is niet meer in staat dezetrekspanningen op te nemen. Bij verder door belasten zal het staal gaan vloeien.
Vervormings- en spanningsdiagram op het moment dat
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 43/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
staal vloeit (Me)
As
b
balk gescheurd
h
f s E s
' b<1,75‰ ' f ' b b<
s= s s= f
b b>f
Wordt niet meer beschouwd
géén trek meer in de beton!
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 44/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Uit het ε-diagram blijkt:
• εs = 2,175‰
• de rek in het beton aan de trekzijdeis niet meer van belang
• ε’ b < 1,75‰
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 45/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Uit het σ-diagram blijkt:
• σs = f s staal vloeit.
• σb >> f bm beton is aan de onderzijde
gescheurd en kan geentrekspanningen meer opnemen.
• σ’ b < f’ b de maximale betondrukspanningis nog niet bereikt.
3 . Mo m en t d at h e t b et o n g aat st u i k e n ( M p l) .
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 46/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
g ( p l)
Dit is de fase dat het einde van de schuine tak in het beton-drukdiagram wordt
bereikt.
σ’ σs
f s
2,175‰27,5 – 32,5‰
punt 3f'b
1,75‰
punt 3
3,50‰ εsε’
σ-ε-diagram, beton onderdruk
σ-ε-diagramstaal onder trek
Bij verder opvoeren van de belasting zullen de eerste vezels aan de bovenzijde in hetbeton gaan stuiken. Het staal was al aan het vloeien en dit blijft zo, alléén de rekwordt groter (punt 3 ligt nu verder verwijderd op de horizontale tak dan punt 2).
Vervormings- en spanningsdiagram op het moment dat
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 47/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
beton stuikt (Mpl)
As
b
h
f s
balk betonstuik
f s E s
' b=1,75‰ ' ' b b=
b b>f
s>
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 48/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Uit het ε-diagram blijkt:
• εs > 2,175‰
• ε’ b = 1,75‰
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 49/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Uit het σ-diagram blijkt:
• σs = f s staal vloeit nog steeds,kracht neemt niet meer toe
• σ’ b = f’ b de maximale
betondrukspanning is bereikt.
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 50/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Let op, stap 2 en 3 kunnen ook in de omgekeerdevolgorde voorkomen:
De eerste uiterste vezels in de beton kunnenal stuiken (1,75‰ – grens bereiken) voordathet staal vloeit (f s wordt bereikt).
controleer altijd de uitgangspunten!
4 . Mo m en t d at h e t b et o n b ezw i j k t ( Mu ) .
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 51/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Dit is de fase dat het einde van de horizontale tak in het beton-drukdiagram wordt
bereikt.
f s
ε’
σ’
σ-ε-diagrambeton onder druk
σs
σ-ε-diagramstaal onder trek
f'b
1,75‰27,5 – 32,5‰
punt 4
punt 4
3,50‰εs
2,175‰
Bij nog verder opvoeren van de belasting zullen steeds meer vezels aan de bovenzijdeen in de lagen juist daaronder in het beton gaan stuiken.Het staal, dat al een tijdje aan het vloeien is, blijft dit nog steeds doen en de rek wordtals maar groter.
Vervormings- en spanningsdiagram op het moment datbeton bezwijkt (M )
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 52/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
beton bezwijkt (Mu)
f ' b
As
b
beton op punt van bezwijken
h
f s
' b = ' bu = 3,5‰
s
b b>f
Dit stadium wordt gehanteerd voor sterkteberekeningen
f ' b
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 53/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
f s
geschematiseerd
parabolisch (werkelijk) parabolisch-rechthoekig (E.C.)
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 54/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Uit het ε-diagram blijkt:
• εs >> 2,175‰
• ε’ b = 3,50‰
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 55/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Uit het σ-diagram blijkt:
• σs = f s staal vloeit nog steeds, krachtneemt al lang niet meer toe
• σ’ b = f’ b de maximale betondrukspanningwordt bereikt over een groterehoogte (over meer vezels)
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 56/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Er zijn nu zoveel betonvezels ‘gestuikt’, dat deconstructie als bezweken kan worden beschouwd.
Verder opvoeren van de belasting, met behoud van deconstructie, is onmogelijk.
Dit is dus de laatste fase.
“Bezwijkstadium”
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 57/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
1. Beton scheurt 2. Staal vloeit
3. Beton stuikt 4. Beton bezwijkt
Het bezwijkstadium is het stadium waarin
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 58/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
de constructie getoetst wordt.
De inwendige momentcapaciteit kan niet groter worden.
dit is het het maximale moment wat de constructie kan
opnemen. het maximale draagvermogen.
Hoe groot is nu dit moment?
INWENDIG EVENWICHT
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 59/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Er moet sprake zijn van inwendig evenwicht (ΣH = 0):
de horizontale resultante van de betondrukkracht (N’ b)moet gelijk zijn aan de horizontale kracht in het staal (Ns)
N’ b
f s
f 'b
dh
Ns
De kracht in het staal is:
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 60/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Ns = As · f s
De kracht in het beton is:
N’ b = inhoud spanningsfiguur
oppervlak · breedte + oppervlak ∆ · breedte
½ · f’ b · xu · b () + ½ · ½ · f’ b · xu·b (∆)
N’ b = ¾ · f’ b · xu · b
xu = hoogte van de ‘betondrukzone’ (is dus de hoogte van de driehoek en de
rechthoek in de spanningsfiguur, het gebied waarin druk zit in de beton).
Het inwendige moment wat kan worden opgenomen doord d d d i d lijk
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 61/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
deze gewapende doorsnede is dus weer gelijk aan:
Mu = Ns · z ofwel Mu = N’ b · z
z = inwendige hefboomsarm
afstand tussen de kracht in het beton N’ b
en de kracht in het staal Ns
Grootte en aangrijpen van N’ b
f 'b
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 62/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
f b
1
2
_ xu y= x7
18
_ u
y = xII u2
3
_
y = xI u1
4
_
xu
I
II 1
2
_ xu
AI f ' b= 1
2
_ xu
AII
f ' b
= 1
4
_ xu
Σ A f ' b= 3
4
_ xu
yI yI= 1
4
_ xu
yII
yII
= 2
3
_ xu
( y
y
0,75)= =3
4
_
( 0,39)= =7
18
_
AI f ' b= 1
8
_ xu2
AII
f ' b
= 1
6
_ xu
2
Σ A f ' b= 7
24
_ xu2
7
18
_ xu
y f ' b= = =
Σ A 7
24
_ x2u
f ' bΣ A 34 _ xu
< _ B 65 0,75 0,39B 75 0,73 0,38
B 85 0,70 0,37
B 95 0,66 0,36
B 105 0,62 0,35
I
IIN’ b
N’ b grijpt aan op 7 /18 xu vanaf de bovenzijde.
RUIMTELIJKE WEERGAVE
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 63/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
BEZWIJKSTADIUM
N' b
N s
f ' b
f s
z
x u
1
2
_ xu
1
2
_ xu
As
d
bb
h
a b c
s
' bu
Inwendige hefboomsarm z = d - y (y = 7 /18 xu)
Spanningsfiguur in het bezwijkstadium van resp. eengewapende betonbalk en een gewapende betonvloer
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 64/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
a
b
N' b
N' b
N s
N s
z
z
x u
x u
As
As
n.l.
n.l.
b
h
h
d
d
Let op het verschilin netto hoogte d !
De vorm van de betondrukzone is exact gelijk aan hetbi-lineaire diagram (gedraaid en gespiegeld)
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 65/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
g (g g p g )
f s
f 'b
dh
3,50‰
1,75‰
0
ε’
σ’
σ-ε-diagrambeton onder druk
f'b
1,75‰ 3,50‰
z = d - 7 /18 xu (z = d – y)
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 66/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
m.b.v. staalkracht Ns:
Mu = As · f s · (d - 7 /18 xu)
ofwel
Ns = N’ b
m.b.v. betonkracht N’ b:
Mu = ¾ · f’ b · xu · b · (d - 7 /18 xu)
xu is de grote onbekende.
GLOBALE BENADERING
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 67/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Alléén geschikt voor een globale (ontwerp-)berekening!
z is bij benadering gelijk aan 0,9d z ≈ 0,9d(volgt uit de vele berekeningen die ooit al zijn gedaan)
Mu
= As
· f s· 0,9d A
s= M
u / (f
s· 0,9d)
• als de wapening bekend is, kan M worden berekend
• als M bekend is, kan de wapening worden berekend.
EXACTE OPLOSSING:
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 68/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
N’ b = Ns (volgt uit ΣH = 0)
b
ss
u f b3
f A4
x ′=ssbu4
3
f Af bx =′
df 300
f 4
x b
s0
u ⋅′
ω
=
100
bd
A
0
s
ω
=
ω0 is wapeningspercentage (betrokken op de netto doorsnede).
f4ω
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 69/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
( )u187
ssu xdf AM −=
100
bd A 0
s
ω=
df 300
f 4
xb
s0u ⋅′
ω
=
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ ⋅
′
ω⋅−⋅⋅
ω= d
f 300
f 4df
100
bdM
b
s0187
s0
u
⎞⎛ ωω f4bd s070
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 70/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅′
ω
⋅−⋅⋅
ω
= df 300
f 4
df 100
bd
Mb
s0
18
7
s
0
u
Links en rechts delen door bd2 f'b :
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′
ω−
′⋅
ω=
′ b
s0
b
s0
b2
u
f 1350
f 71
f
f
100f bd
M
Het rechterdeel van deze vergelijking is afhankelijk van de betonkwaliteit
(f’ b), de staalkwaliteit (f s) en het wapeningspercentage (ω)
Omdat het gebruik van de materialen (beton en staal)
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 71/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Omdat het gebruik van de materialen (beton en staal)
bekend zijn, kan ω0 ondubbelzinnig bepaald worden.
Als ω0 bekend is, is ook As bekend:
(b en d in mm.)
(b en d in m.)
2
0s 10db A −⋅⋅⋅ω=
40s 10db A ⋅⋅⋅ω=
ω0 komt echter kwadratisch voor in het rechterdeel
er moet een vierkantsvergelijking worden opgelost
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 72/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
er moet een vierkantsvergelijking worden opgelost.
Om dit ‘lastige’ rekenwerk te vereenvoudigen, zijn ertabellen gemaakt.
Voor verschillende beton- en staalkwaliteiten zijn dewaarden van ω0 bepaald, behorende bij de waarde:
b
2
u
f bd
M
′
Deze staan in GTB-tabel 11.2.a
(GTB is Grafieken en Tabellen voor Beton)
Alle beton- en staalkwaliteiten
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 73/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Er zijn ook tabellen waarin f’ b niet meer in de noemerstaat.
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 74/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Dit zijn de zogenaamde tabellen voor ‘vastgestelde’ sterkteklassen f’ b is al ingevuld, omdat deze bekend is.
Dus zo’n tabel hoort specifiek bij bijv. B25 en kan nietvoor een andere betonsterkteklasse gebruikt worden!
Let bij gebruikmaking van deze tabellen hierop.
Dit is, bijv. voor B25 en FeB500, terug te vinden in GTB-tabel 11.3.a.
Bij gebruikmaking van deze tabellen, kan voortussenliggende waarden rechtlijnig geïnterpoleerd
worden.
Vastgestelde sterkteklase
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 75/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
f 'b
3,50‰
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 76/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
De methode om zelf handmatig met de inhoud van despanningsfiguur de uitkomst te bepalen of te rekenenmet de methode volgens de genoemde GTB-tabellenlevert dus exact dezelfde resultaten op!
Fase 4, waarin ε’ b = 3,50‰, is dus exact hetzelfde
stadium als waarop de tabellen zijn gebaseerd.
f s
dh
1,75‰
0
druk beton
trek staal
Minimum-wapeningspercentage
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 77/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Er moet in een doorsnede tenminste zoveel wapening
aanwezig zijn dat het scheurmoment Mr kan wordenopgenomen door deze wapening
balk ongescheurd
b b<_ f
Minimum-wapeningspercentages voorbetonstaal
min0ω
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 78/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
betonstaal
B 15 B 25 B 35 B 45 B 55 B 65
FeB 200
FeB 400FeB 500
0,26
0,150,12
0,34
0,190,15
0,41
0,230,18
0,48
0,270,21
0,56
0,370,24
0,63
0,350,27
min0ω
Maximum-wapeningspercentage
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 79/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
Wapening moet vloeien aleer de breukspanning in debeton bereikt wordt!!
• Vloeien van het staal is zichtbaar door aanzienlijkescheurvorming in de trekzone.
• De constructie waarschuwt als het ware dat er breuk opkomst is.
• Zou de wapening niet vloeien, dan bezwijkt de constructiedoor overbelasting van de betondrukzone plotseling en zonder
voorafgaande zichtbare vervorming.
Maximum-wapeningspercentages ω0 max voor
5/14/2018 Constructief Ontwerpen Met Material En B - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/constructief-ontwerpen-met-material-en-b 80/81
Constructief Ontwerpen met Materialen B 7P118
betonstaal
ω0 max B 15 B 25 B 35 B 45 B 55 B 65
FeB220
FeB400FeB500
2,55
1,140,83
4,25
1,911,38
2,95
2,671,94
7,65
3,432,49
9,35
4,203,05
11,05
4,963,60