Construção e Análise de Gráficos - fisica.ufpr.brfisica.ufpr.br/cf358/cons_an_graf_v12.pdf · 1 Física Básica Experimental I Construção e Análise de Gráficos Física Básica

1

Física Básica Experimental I

Construção e Análise de Gráficos


0 10 20 30 40 50 60

0

50

100

150

200

250

Y(u

nid

ad

e y

)

X(unidade x)

Por que fazer gráficos ?

• Facilidade de visualização de conjuntos de dados

• Facilita a interpretação de dados– Exemplos:

• Engenharia

• Física

• Economia

• Biologia

• Estatística

Tabela

2


Porque fazer gráficos a mão?

• Razões para fazer gráficos manualmente– Facilita a interpretação do dados

– Permite avaliar na mão o comportamento de um conjunto de dados obtidos em campo


Procedimento para Fazer Gráficos

0 1 2 3 4 5 6 7

0

2

4

6

8

10

12

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8 10

0

20

40

60

80

100

-10 -8 -6 -4 -2 0 2-100

-80

-60

-40

-20

0

20

(a)

Y A

xis

Titl

e

X Axis Title

(b)

Y A

xis

Tit

le

X Axis Title

(c)

Y A

xis

Titl

e

X Axis Title

(d)

Y A

xis

Tit

le

X Axis Title

3



0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

2

4

6

8

10

12

V 2 (

m 2/s

2 )

X (m)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0

2

4

6

8

10

12



0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00

2

4

6

8

10

12

V 2 (

m 2/s

2 )

X (m)

4



• Método do BOM-SENSO– Existem outros mas são menos práticos

• Material– Papel milimetrado (vem anexo na prova)

• ATENÇÃO:– O papel milimetrado da prova está levemente fora de escala

– NÃO UTILIZE A RÉGUA PARA POSICIONAR OS PONTOS


1a etapa – Análise dos Dados

• Dado o conjunto de dados que vai ser colocado no gráfico– Verificar quem são:

• Grandeza Independente → a ser colocada no eixo x

• Grandeza Dependente → a ser colocada no eixo y

– Exemplo de conjunto de dados• Num experimento para a determinação da densidade (em g/cm3)de um

material mediu-se a massa (m) e o volume (V) de diferentes objetos constituídos do mesmo material. Nesta medida nossa grandeza independente (Gx) é a massa e a nossa grandeza dependente (Gy) é o volume.

Massa (g) 9 20 28 42 55

Volume (cm3) 49 108 155 223 290

5


2a etapa – Montagem do eixo-x

• Dados variam de 9 g até 55 g– Limite inferior dos dados

• Escolho 0 (zero) como origem (arbitrário e conveniente)– Facilita a vida na hora de determinar o coeficiente linear

– Limite superior dos dados• Escolho 60 g por conveniência

– É mais fácil trabalhar com múltiplos de 10 do que de 5

• Então:– Eixo x varia de 0 g até 60 g

– Vou fazer divisões desta escala de 10 em 10 g (6 divisões)• Poderia ser de 20 em 20 g (3 divisões → muito pouco)

• Poderia ser de 30 em 30 g (2 divisões → menos ainda)


• Ajustando a escala no papel milimetrado– Exagerado

– Econômico

Escolho a origem

Traço a reta (eixo x)

10 20 30 40 50

Marco as divisões no eixo x

��#!!??%�

0

10 20 30 40 50


0 60

• Esta economia de papel gera os seguintes problemas

• Baixa qualidade do gráfico

• Dificuldade de localizar os pontos

• Dificuldade na correção (normalmente implica em desconto de nota)

6


– Ideal (neste caso)

10 20 30 40 50


0 60 m (g)

muito importante

• Neste caso • 2 cm = 20 mm = 10 g

• logo 1 cm = 5 g e 1 mm = (10 g / 20 mm) = 0,5 g e para facilitar 2 mm = 1 g

• Jamais

– Colocar dados no eixo (9, 20, 28,…..)

– Usar uma régua no milimetrado da prova (está fora de escala)


3a etapa – Montagem do eixo-y

• Dados variam de 49 cm3 até 290 cm3

– Limite inferior dos dados• Escolho 0 (zero) como origem (arbitrário e conveniente)

– Não vai implicar em uma perda de espaço útil no papel

– Poderia iniciar em 40 cm3 mas isto dependeria das divisoes empregadas

– Limite superior dos dados• Escolho 300 cm3 por conveniência

• Então:– Eixo y varia de 0 cm3 até 300 cm3

– Vou fazer divisões desta escala de 50 em 50 cm3 (6 divisões)• Poderia ser de 25 em 25 cm3 (12 divisões → excessivo)

• Poderia ser de 100 em 100 cm3 (3 divisões → muito pouco)

7


– Direto ao caso Ideal

• Nota-se um aproveitamento muito bom do espaço existenteV (cm3)

Marco as divisões no eixo y

50

100

150

200

250

300

0

– Neste caso• 2 cm = 20 mm = 50 cm3

• logo 1 mm = (50 cm3 / 20 mm) = 2,5 cm3 e para facilitar 2 mm = 5 cm3

– Jamais• Colocar dados no eixo (49, 108, 155,….)

• Usar uma régua no milimetrado da prova (está fora de escala)


m

(g)

Vol

(cm3)

9 49

20 108

28 155

42 223

55 290

10 20 30 40 500 60 m (g)

V (cm3)

50

100

150

200

250

300

10 20 30 40 500 60 m (g)

V (cm3)

50

100

150

200

250

300

4a etapa – Plotando os pontos

8


Algumas regras gerais sobre gráficos

• Gráficos feitos a partir de dados obtidos no campo ou experimentalmente– Empregar pontos (símbolos) para os pontos

– Exceção:

– Gráficos com número excessivo de pontos (espectros)


Regressão Linear –Bom Senso

10 20 30 40 50 60

50

100

150

200

250

300

Volu

me (

cm

3)

Massa (g)

9



10 20 30 40 50 60

50

100

150

200

250

300V

olu

me (

cm

3)

Massa (g)



10 20 30 40 50 60

50

100

150

200

250

300

Volu

me (

cm

3)

Massa (g)

10



10 20 30 40 50 60

50

100

150

200

250

300V

olu

me (

cm

3)

Massa (g)



tg α = a = ∆Y/∆X = ∆V/∆M = (V2-V1)/(M2-M1)

10 20 30 40 50 60

50

100

150

200

250

300

Volu

me (

cm3)

Massa (g)

Equação da reta:

Y = aX + b

a = coef. angularb = coef. linear

b

tg α = a

M2M1

V2

V1

coeficientes

11


Regressão Linear –MMQ

• Experimento– Medida de grandezas físicas– Apresentam relações de dependência entre si– Exemplo:

• MRUV

• x = f(t) → dependência tipo função do 2o grau

• O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)

– Permite a obtenção da equação que relaciona as grandezas físicas– Isto é denominado por Regressão– Softwares Matemáticos

• Permitem o cálculo dos parâmetros da regressão • São os coeficientes numéricos das equações• Origin (mais utilizado na disciplina)• Desenvolvimento de programas • FORTRAN, C, MATLAB, BASIC,

20 0

1

2x x v t at= + +r r r r


• Alguns Exemplos

– Modelo do primeiro grau (reta): ; parâmetros a determinar: a e b .

– Modelo do segundo grau: ; parâmetros a determinar: a, b e c .

– Modelo do terceiro grau: ; parâmetros a determinar: a, b, c e d.

– Modelo exponencial: ; parâmetros a determinar: a, b e c .

baxy +=

cbxaxy ++=2

dcxbxaxy +++=23

cxbeay −+=

• Nesta disciplina → Modelo Linear– MMQ → Regressão Linear

• Exemplo– Supondo que em determinada prática foram medidos os valores de duas grandezas físicas x e y

onde, previamente, é sabido que elas se relacionam segundo um modelo do primeiro grau. – Com os dados medidos foi montada a tabela:

– Gráfico dos pontos medidos

Y y1 y2 y3 ... yn

X x1 x2 x3 ... xn

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10

y

x

12


– Procura-se uma reta que relacione a grandeza física representada no eixo y em função da grandeza física representada no eixo x

• Em princípio são infinitas as retas que podem ser traçadas de maneira a representar o comportamento dos pontos do gráfico.

• Se cada um dos alunos da classe traçar uma reta, usando um critério subjetivo, serão inúmeras as retas obtidas.

• MMQ

– Atribui critérios para que seja possível a obtenção de uma única reta

– Independentemente de quem a determina (a menos dos arredondamentos).

– O principal critério

• A soma dos quadrados dos desvios seja mínima.

• O desvio δδδδ i é a diferença entre o valor medido xi e o valor médio

( )i i

x x xδ = −


Determinação dos coeficientes

• O coeficiente angular é determinado por

• o coeficiente linear é dado por

1 1

2

1 1

. .

.

n n

i i i i

i in n

i i i

i i

y x y x

a

x x x

δ δ δ δ

δ δ δ

= =

= =

= =

∑ ∑

∑ ∑

yxab +−=

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10

y

x

tg α = a

b

( )i i

x x xδ = −

13


Montagem da tabela de MMQ

m(g) 10 22 28 42 50

Vol (cm3) 51 98 155 205 245

Dados

Σ =Σ =

y(Vol((cm3))x(m(g)) ( )i ix x xδ = − ( )i iy y yδ = − .i ix yδ δ2

ixδ

x = y =

10

22

28

42

50

51

98

155

205

245

30,4 150,8

-20,4

-8,4

-2,4

11,6

19,6

-99,8

-52,8

4,2

54,2

94,2

2035,92

443,52

-10,8

628,72

1846,32

4944,4

416,16

70,56

5,76

134,56

384,16

1011,2


Determinação dos coeficientes

• O coeficiente angular é determinado por

• o coeficiente linear é dado por

1 1

2

1 1

. .

.

n n

i i i i

i in n

i i i

i i

y x y x

a

x x x

δ δ δ δ

δ δ δ

= =

= =

= =

∑ ∑

∑ ∑

yxab +−=

gcmg

cmg

xx

xy

an

i

ii

n

i

ii

/9,42,1011

.4,4944

.

.3

2

3

1

1===

∑

∑

=

=

δδ

δδ

b = 150,8 cm3 - [4,9 (cm3/g) 30,4 (g)] = 1,84 cm3

14


10 20 30 40 50 60

50

100

150

200

250

300V

olu

me (

cm

3)

Massa (g)

Regressão Linear –MMQ

Equação da reta:

Y = aX + b = 4,9X + 1,84

(X1,Y1)

(X2,Y2)


Também é possível determinar o parâmetro a(coeficiente angular) pela equação:

2

11

2

1 11

)(.

..

∑∑

∑ ∑∑

==

= ==

−

−

=n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

i

n

i

iii

xxn

yxyxn

a

Para facilitar o uso desta equação, sugere-se a tabela a seguir.

∑y ∑x ∑2

x ∑xy

x2y x x.y

4,2 1

5,8 2

8,6 3

10,4 4

12,0 5

15


FIM

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