Consulta3 Del Contenido Del Primer Parcial

8/20/2019 Consulta3 Del Contenido Del Primer Parcial

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SAN ANTONIO DE LOS ALTOS: 14-02-2016.

EJERCICIOS DE CONSULTA DEL CONTENIDO DEL PRIMERPARCIAL DE MATEMÁTICAS VI

1.

Verifique el teorema de Stokes, para calcular la integral:

C

ydz xdy zdx , donde C es igual a:,

,2

,122

z y

y xC

Solución:

Sea ),,(),,( y x z z y x F , que es un campo vectorial de clase C1en S, siendo),( DS una superficie orientada, cuyo borde C es la imagen ),(c de una

curva D frontera orientada de D, parametrizada por c en dirección positiva.



Por el Teorema de Stokes:

S C S dS F rotFdS Fds )(

DONDE:

)(

Pr

1

.,))).(,(()(

,,))).(,()((

)(

S D

y x

S oy D

y x

S zadas sParametriSuperficiedxdyT T y xdS F

GráficasdxdyT T y x F

dS F

XY

A S, se puede parametrizar como:

1,),(),(

),2,,(),(

222

y x y x D y x

y y x y x

Luego, se calcula:

),1,1,1(),,()),((

y x z z y x

k ji

z y xrotF y xrotF ,

),1,1,0(

110

001),(

k ji

T T y x N y x



a) Cálculo de la integral de Superficie:

,2)(22

)1,1,0)(1,1,1(

,,))).(,()((

)(

Pr

D Adxdy

dxdy

GráficasdxdyT T y x F

dS F rotFdS

D

D

S oy D

y x

S S

XY

b) Cálculo de la integral de línea:

A la curva C, se puede parametrizar así:

,),2,,(cos)( t sent sent t t c

Entonces:

,20020222

cos2

)cos.12()cos.cos2(

)cos,cos,)(,cos,2()()).((

2

0

2

2

0

2

0

22

2

0

2

0

t sent t

dt t sent sent dt t sent t t sen sent

dt t t sent sent t sent dt t ct c F FdsC

De a) y b) queda comprobado el Teorema.



CONSULTA DE RAFAEL CARDOZO

2. a) Calcule el flujo del campo vectorial ),,(),,( 2 xz y xz z y x F a través

de la superficie cerrada que limita el cilindro:

.30,22 z R y x

b) Resuelva el ejercicio a) utilizando el Teorema de Gauss.

Solución:

a) La superficie cerrada S que limita el cilindro es la unión de tressuperficies: la tapa superior S1, la inferior S2 y la superficie cilíndrica S3.

Es decir se debe calcular la integral de F en cada una de estas superficies:



A S1, se puede parametrizar así:

R y x y x D y x Dr S

y x y xr r

222

1

32

,),(),(),(

),3,,(),(,:

),1,0,0(

010

001),(1

k ji

T T y x N y x

Cuyo sentido es hacia el exterior de la superficie S1, entonces:

.0cos)cos3(3

,)1,0,0).(3,,3(

),()).,((.

2

0

3

2

0

3

2

0 0

2

2

1

1

sen Rd Rd d xdxdy

dxdy x y x

dxdy y x N y xr F ndS F

R

D

D

DS


R y x y x D y x DmS

y x y xmm

222

2

32

,),(),(),(

),0,,(),(,:

),1,0,0(

010

001),(2

k ji

T T y x N y x

Cuyo sentido es hacia el interior de la superficie S2, entonces:

.0)1,0,0).(0,,0(

),()).,((.

2

2

2

D

DS

dxdy y

dxdy y x N y xm F ndS F


30,20,),(),(),(

),,,cos(),(,:

2

3

32

vuvu Dvu DS

v Rsenuu Rvu



),0,,cos(

100

0cos),(3 Rsenuu Ru R Rsenu

k ji

T T vu N vu

Cuyo sentido es hacia el exterior de la superficie S3, entonces:

D

DS

dudv Rsenuu Ru Rvu Ru Rv

dudvvu N vu F ndS F

)0,,cos).(cos,sin,cos(

),()).,((.

22

3

3

,2

9)cos(.

23

0

2

0

3322 Rdudvu sen Ruv RndS F

S

b) Siendo Ω el sólido o la región elemental simétrica en el espacio,limitada por S, superficie cerrada y orientada, y F un campo vectorial declase C1en Ω, se puede aplicar el Teorema de Gauss:

divFdV ndS F

S

.

En primer lugar se calcula la divergencia de F:,2),,( x y z z y xdivF

Para realizar la integral triple, se realiza el cambio a coordenadascilíndricas:

,30,20,0,sin,cos z R y x

Entonces:

d dzd sen z

dxdydz x y z nd S F

R

S

0

2

0

3

0

cos2

)2(.



,2

9.

,2

99

cos362

9

2

0

2

0

2

0

22

Rnd S F

Rd

d d sen

S

R

R

De a) y b) queda comprobado el Teorema.

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