CONTINUIDADES y discontinuidades

7/23/2019 CONTINUIDADES y discontinuidades

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Continuidad y discontinuidades 1

CONTINUIDAD YDISCONTINUIDADES

0,9 0,99 0,99 1

2,98556 2,99364 2,99976 ?

A pequeos cambios de la variable independiente, pequeos cambios en la

funcin

Cierta capacidad predictiva

Dos ideas importantes:

LA GRFICA DE UNA FUNCIN CONTINUA NO TIENE QUE SER CONTINUA

UNA FUNCIN CONTINUA PUEDE TENER DISCONTINUIDADES


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2 Continuidad y discontinuidades

Definiciones entorno a continuidad

Sea una funcin definida en un entorno de punto c. Decimos que f es unafuncin continua en el punto csi:

1.

2.

Existe y es finito

3.

Sea una funcin definida en un entorno a la derecha del punto c. Decimosquefes una funcin continua en el punto cpor la derechasi:

1.

2.

Existe y es finito 3.

Sea

una funcin definida en un entorno a la izquierda del punto c. Decimos

quefes una funcin continua en el punto cpor la izquierdasi:

1.

2.

Existe y es finito 3.


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Evidentemente:

La funcin

es continua en cualquier punto del intervalo (a,b) salvo en los puntosc1, c3y c4:

En c1est definida pero: En c3est definida pero:

( es continua en c3por la derecha) En c4no est definida pero:

y

x

c1 c2 c3 c4

y f x ( )

a b

no es continua en c1, c3y c4

es una funcin continua en el punto c

es una funcin continua tanto a laderecha como a la izquierda del punto c


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Una funcin es continua en un conjunto A si escontinua en cada uno de los puntos del conjuntoA.

Una funcin es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo (a, b). Una funcin es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en el intervalo (a, b), continua por la derecha en

el punto ay continua por la izquierda en el punto b.

Continuidad en intervalos

La funcin es continua en el intervalo abierto La funcin es continua en el intervalo cerrado La CONTINUIDAD EN UN INTERVALO produce GRFICAS CONTINUAS.

Es decir, si la funcin es continua en un intervalo I, la grfica de la funcinfen I:

No puede tener cortes o interrupciones en I No puede presentar saltos en I

No puede tener huecos vacios en I

En definitiva, la grfica de una funcin continua en un intervalo se puede trazar de una sola vez,

sin levantar el lpiz del papel.

Nota: Cuando decimos que una funcin es continua en, por ejemplo, el intervalo

estamos

admitiendo slo continuidad lateral por la izquierda en el extremo b del intervalo, no continuidadglobal en dicho punto.

y

x

a b

y

x

a b


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Al conjunto de todos los puntos donde la funcin es continua se le denomina dominiode continuidad de

y lo notaremos como

, es decir:

Evidentemente, siempre

Decimos que la funcin es continua en su dominio o simplemente es continuasi

es continua en todos los puntos de su dominio de definicin, es decir,

.

Grfica de una funcin continua

A pesar de quefes una funcin continua , su grfica presenta saltos,

huecos y cortes

Hay que distinguir entre puntos de parada y discontinuidades.

DISCONTINUIDAD: punto en el que la grfica de una funcin presenta un corte

o un salto. Puede pertenecer o no al dominio de definicin de la funcin pero la

funcin tiene que estar definida tanto a la derecha como a la izquierda del punto.

Los puntosc4, c5y c6son discontinuidades

PUNTOS DE PARADA: punto en el que la funcin slo est definida a un lado.

Puede pertenecer o no al dominio de definicin de la funcin pero la funcin slo

est definida a un lado del punto.

Los puntos c1, c2, c3y c7 son puntos de parada

y

xc7c2 c3 c4

y f x ( )

c1 c5 c6


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+

Propiedades de las funciones continuas

Las funciones elementales bsicas (potenciales, exponenciales, logartmicas,

trigonomtricas y sus inversas) son continuas en todo su dominio.

Las operaciones aritmticas bsicas 1conservan la continuidad.

La composicin de funciones continuas es una funcin continua2.

1 Se sobreentiende que siempre que la funcin del denominador sea distinta de 0.2 Se sobrentiende que siempre que la composicin de ambas funciones est definida.

Una FUNCIN ELEMENTAL es una funcin obtenida al

aplicar operaciones aritmticas bsicas o de composicin

a las funciones elementales bsicas

TODA FUNCIN ELEMENTAL ES CONTINUA EN TODO SU

DOMINIO, es decir, sifes una funcin elemental, siempre

=


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Discontinuidad:

Punto en el que la grfica de una funcin presenta un corte o un salto. Puede

pertenecer o no al dominio de definicin de la funcin pero la funcin tiene que estar

definida tanto a la derecha como a la izquierda del punto.

)()( xfxfxx

11

lim23lim

(pero es continuaenx 1 por la derecha)

x 1 es la nica discontinuidad de

Como est definida en un entorno aderecha y a izquierda del punto x 1pero no el el punto 1, inmediatamente

x 1 es una discontinuidad de

ces una DISCONTINUIDAD desi:

est definida en un entorno delpunto c pero no es continua en el

punto c.

est definida tanto a la derechacomo a la izquierda del punto cpero

no est definida en el punto c.

obie

nobi

en

-2 -1 0 1 2 3 4

2

4

6

8

10

x

y

y f x ( )

-1 0

1 2 3

-1

1

2

3

4

5

6

x

y

y f x ( )

-2


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Ejemplo:Estudiar la continuidad y las discontinuidades de la funcin:

3

Luego:

Nota: Como sabemos que son las races del polinomio aprovechamos para factorizarlo como .

3 x= 2 es una raz doble del polinomio.

pero

est

definida a ambos lados de dichos puntos:

son discontinuidades de


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Estudio enx1

Como numerador y denominador son infinitsimos en x 1, buscamos sus mximas

reducciones:

Numerador:

Denominador:

Por lo tanto:

DISCONTINUIDAD EVITABLE

Six ces una discontinuidad de y ,es decir, existen, coinciden y son finitos

los dos lmites laterales en el punto c, se

dice que x ces una DISCONTINUIDAD

EVITABLE def

La funcin

presenta una discontinuidad

evitable enx 1 ya que:

x 1 es una discontinuidad def.

-1 0 1 2 4

x

-40

-20

20

40

y

3

y f x ( )

y 6


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Estudio enx2

Busco el signo del 0del denominador usando la factorizacin:

DISCONTINUIDAD INFINITA

Six ces una discontinuidad de y

es decir, existen, coinciden y son

infinitos del mismo signo ambos lmites

laterales en el punto c, se dice que x c

es una DISCONTINUIDAD INFINITA def

La funcin presenta una discontinuidadinfinitaenx 2 ya que:


-1 0 1 2 4x

-40

-20

20

40

3

y f x ( )

y 6


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Estudio enx0

Busco el signo del 0del denominador usando la factorizacin:

DISCONTINUIDAD DE SALTO

Six ces una discontinuidad de ylos lmites laterales en el punto cexisten

pero no coinciden, es decir,

se dice que x ces una

DISCONTINUIDAD DE SALTO def.

Si ambos lmites son finitos se denomina

discontinuidad de salto finito. Si al menos uno de

los dos es infinito la llamaremos discontinuidad

de salto infinito.

La funcin

presenta una discontinuidad de

salto(infinito) enx ya que:


-1 0 1 2 4

x

-40

-20

20

40

3

y f x ( )

y 6


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DISCONTINUIDAD ESENCIAL

Decimos que x ces una

DISCONTINUIDAD ESENCIAL def si la

funcin

es oscilante al menos por un

lado del punto c.La funcin presenta una discontinuidadesencial enx ya que:


es oscilante tanto a la derecha como ala izquierda dex

0,10 0,05 0 0,05 0,10

1

0,5

0,5

1

x

y


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EL TEOREMA DE BOLZANO

Teorema de Bolzano

Seauna funcin continua en elintervalo cerrado tal que . Entonces, existe al menos un

punto tal que Comofes continua en el intervalo , la grfica defha de ser continua. Para unir los puntos con ,la grfica defha de cortar al menos una vez al eje de

abscisas.

El teorema de Bolzano asegura que sifes continua en y , la grfica defcorta al menos una vez aleje de abscisas pero no asegura que este corte sea nico.

f cumple las hiptesis del teorema de Bolzano. tiene cinco races en el intervalo

y

xbra

xbr2a r3 r4r1 r5


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Ejemplo:

Consideremos la funcin . es una funcin continua en el intervalo . En los extremos del intervalo la funcin cambiade signo:

x 0 1

12 7El teorema de Bolzano lo nico que puede asegurar es que en el polinomio tiene almenos una raz.

(Se puede comprobar que en el polinomio tiene tres races: , y ).

Como , el teorema de Bolzano garantiza que en el polinomio tiene al menos una raz.Como se observa la funcin tiene tres races en el intervalo

.

0,2 0,4 0,6 0,8 1

12

8

4

0

4

8

y P x= ( )

x


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(no hay cambio de signo defen los extremos del intervalo)

Una raz en Dos races en Dos races en Ninguna raz en Cuando

no se puede aplicar Bolzano. En este caso, como vemos en las grficas, no

se puede asegurar nada sobre la existencia o no de races de la funcin en el intervalo Ejemplo:

Consideremos la funcin . es una funcin continua en el intervalo . En los extremos del intervalo la funcin nocambia de signo:

x 0 1 14 9El teorema de Bolzano no permite concluir nada sobre la existencia o no de races de en .(Se puede comprobar que en el polinomio tiene dos races: y )

El teorema de Bolzano no da ninguna informacin sobre las

races de en ya que no hay cambio de signo en lasimgenes de los extremos del intervalo.

Sin embargo, la funcin tiene dos races en el intervalo .

y

xba

r

xbr2a r1

xbr2a r1

xba

0,2 0,4 0,6 0,8 10

5

10

15

x

y

y P x= ( )


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Extensin del t para intervalos abiertosEl teorema de Bolzano se puede aplicar en intervalos abiertos incluso en intervalos no acotados

siempre y cuando no se viole la hiptesis de continuidad. Simplemente hay que comprobar que hay

cambio de signo en los lmites laterales de los extremos del intervalo.

Como es continua en y ,en el intervalo la funcinftiene al menos una

raz r.

Como es continua en y , en el intervalo lafuncinftiene al menos una raz r.

Ejemplo:

Consideremos la funcin

.

es una funcin continua en el intervalo . Evaluemos el signo de los lmites de lafuncin en los extremos del intervalo:

Aplicando el teorema de Bolzano podemos concluir que en el intervalo la funcin ftiene al menos una raz. En este caso, observando la grfica de fpodemos deducir que dicharaz es nica.

fes continua en y

ftiene al menos una raz en

xba r

x

8

8

r

20 30 40 50 60 70

80

60

40

20

0

20

40

x

y

y f x= ( )


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Teorema del signo

Sies una funcin continua enx c y , entonces existe un entorno Edel punto ctal que para todoxdel entorno E.

Sies una funcin continua enx

c y

, entonces existe un entorno Edel punto ctal que para todoxdel entorno E.

Comofes continua en y , la funcinfespositiva en un entorno de c1.Comofes continua en y ,f es negativa en

un entorno de .

Si

es una funcin continua enx c y

, no se puede afirmar nadarespecto al signo de alrededor de c. fes continua en y . En este caso, la funcinf

es negativa a la izquierda de y a la derecha de .fes continua en y . En este caso, la funcinfes positiva tanto a la izquierda como a la derecha de .

Una consecuencia inmediata del teorema de Bolzano es que:

Si es continua en un intervalo I y f no tiene ninguna raz en dicho intervalo,entonces o bien para todoxen el intervalo I.

.

Por lo tanto, para estudiar el signo de una funcin continua en un intervalo hemos de buscar

sus races en dicho intervalo.

y

c1

f c( ) > 01

f c( ) < 02

c2

y f x= ( )

c1

f c( ) =01f c( ) = 02

c2

y f x= ( )


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Estudio del signo de una funcin continua

Ejemplo: Estudiar el signo de la funcin:

Obtengamos el dominio def:

En cada uno de los intervalos la funcin f es continua, luegoslo puede cambiar de signo al atravesar una raz:

Races de f:

Estas races junto con los intervalos de continuidad de la funcin definen los intervalos:

En cada uno de los intervalos anteriores la funcin fha de mantener obligatoriamente el

signo (por qu?). Luego, basta con probar el signo en un punto de cada intervalo:

x 4 2,1 2,1 4 10 0,062 0,052 0,109 0,311 0,256

Por lo tanto, tenemos que:


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Teorema de Darboux o del valor intermedio

(Generalizacin del teorema de Bolzano)

Seauna funcin continua en elintervalo cerrado y sea w cualquiernmero comprendido entre y.

Entonces, existe al menos un punto c

tal que Comofes continua en el intervalo , la grfica def

ha de ser continua. Puesto que west comprendido

entre y , para unir los puntos con la grfica defha de cortar al menos una vez ala rectay w.

y

xbca

w


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20 Problemas propuestos

Problemas propuestos

1. Determinar y clasificar las discontinuidades de las siguientes funciones y estudiar el

comportamiento en los puntos de parada.

(1) f(x) 1 + 21 /x (2) f x x

x( ) sen

1

1

(3)

1

9ln)( 2

2

x

xxf (4) f x x( ) tg

1

(5) f xx

x

( )

1

1 (6) f(x) sen(tgx)

(7))3)(4(

cos1)(

2 xx

xxf

(8) f(x) ln senx

(9) f(x) ln(senx) (10) f x e x

x

x

( )/

1 0

0 0

si

si

(11) f x e

e

x

x( )

tg

tg

1

1 (12) f x

x

xx

x

( )

cos

ln( )

1

10

1

20

2 si

si

(13) f x

x x

xx

x

( )

ln

2 11

0 1

si

si

(14) f x

x

ex

x

x( )

sen( / )/

1

10

1 0

1 si

si

2. Definir f( )0 para que la funcin f(x) sea continua en el punto x 0

f x x x

x( )

ln( ) ln( )

1 1

3. Sean ay bdos nmeros reales no nulos. Hallar la relacin que ha de existir entre a, by cpara

que la funcin dada por

/

1 tan( ) si 0( )si 0

b x

a x xf xc x

sea continua en x 0.


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Problemas propuestos 21

4. Demostrar que si f(x) es una funcin continua que aplica el intervalo [0,1] en s mismo, existe

al menos un punto x0

[0,1] tal que f(x0) x

0 (nota: intentar definir una funcin a la que

aplicar Bolzano).

5. (a) Demostrar que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raz real.

(b) Demostrar que la ecuacin x3 x 1 0 tiene una raz en el intervalo (1,2). Calcular

aproximadamente dicha raz.

6. Estudia el signo de las siguientes funciones:

(1) f(x) 5 +x 6x2 (2)

2

2

3

8

( )

2

xx

x

f

x

(3)xx

xf

5

34)( (4) 2( ) 4f x x

(5)33( ) 3 2f x x x (6)

1( )

2

xf x

x

()5

( ) 4f xx

()3

5( ) 4f x

x

(7) 1( )3

f x xx

(8) 1( )3

f x xx

(9)3

6( )

(2 3)

xf x

x

(10)ln 2

( )5

xf x

x

(11)3

( )1 2ln( )

xf x

x

(12) ( ) 2cos(2 )[1 sen( )] sen(2 )cos( )f x x x x x

(13)sen(2 )

( )

1 sen( )

xf x

x

(14) 2( ) 5 2 1xf x x

(15)

2

5

7( )

4 x

xf x

e

(15) ( ) ln ln(3 )f x x

(15)4

( ) ln10

xf x

x

(16)

215 2( ) ln

1

x x

xf x

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