Definisi Dari Probabilitas Definisi Secara Klasik

Andaikan kejadian E dapat terjadi dalam h cara dari seluruh

n cara yang mungkin , dan n cara ini berkemungkinan sama.

Maka peluang terjadinya peristiwa tersebut (disebut

kesuksesannya) dinyatakan oleh :

h p = Pr { E } = n

Probabilitas ( Peluang ) tidak terjadinya kejadian ini ( yang

juga disebut kegagalannya) dinyatakan oleh n – h h

q = Pr {tidak E}= = 1- = 1- p = 1-Pr{E} n n Jadi p + q = 1, atau Pr{E} + Pr {tidak E} = 1. Kejadian “tidak E” _ ~ kadangkala dinyatakan oleh E, E, atau ~E

Contoh 1 :

Sebuah dadu dilemparkan . muka/sisi dadu ada 6 yaitu

1,2,3,4,5,6

Jika dadu dalam keadaan seimbang maka setiap angka

mempunyai kesempatan yang sama yaitu 1/6

Kita tetapkan E adalah kejadian bahwa angka 3 dan 4 muncul pada sekali

lemparan sebuah dadu. Dadu dapat jatuh secara enam cara, yang

menghasilkan angka-angka 1,2,3,4,5 atau 6 dan jika dadu seimbang (yakni

tidak berat sebelah) kita dapat menganggap keenam cara ini

berkemungkinan sama. Karena E dapat terjadi dalam dua dari cara-cara ini,

kita punya :

Jawaban :

p = Pr { E } = nh

Peluang muncul : p =1/6+1/6= 2/6 = 1/3 peluang tidak muncul : p = 1-Pr{E} = 1-1/3 = 2/3

Probabilitas (peluang) suatu kejadian dinyatakan oleh

angka antara 0 dan 1. Jika kejadian itu tidak dapat terjadi,

probabilitasnya adalah 0. Jika ia harus terjadi, yaitu

terjadinya pasti, probabilitasnya adalah 1.

Jika p adalah probabilitas dari suatu kejadian yang akan

terjadi, perimbangan dari keberlangsungannya adalah p : q.

Jadi perimbangannya terhadap munculnya angka 3 atau 4

dalam sekali lemparan sebuah dadu yang seimbang adalah

q : p = 2/3 : 1/3 = 2 : 1 yaitu 2 terhadap 1

Contoh.

Sebuah uang logam dilemparkan satu kali

Misalkan sisi pertama kita sebut muka “angka”, dan sisi

kedua adalah “gambar” maka ada dua kejadian yang

mungkin, yaitu kejadian munculnya E = {Angka} atau

kejadian E = {Gambar} sisi uang terdiri dari dua sisi (n=2)

dan kedua sisi tersebut mempunyai kesempatan yang sama

untuk muncul, maka probabilitasnya adalah : ½

Kita memiliki dua kejadian ; munculnya (angka) dan tidak munculnya (gambar)

Contoh. Hitunglah probabilitas memperoleh kartu hati bila

sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu

bridge yang lengkap, jawab:

n=52 h=13 p = Pr { E } = nh =13/52

Contoh. hitunglah probabilitas diperolehnya bola merah

bila sebuah bola diambil dari suatu kotak yang berisi 10

bola merah dan 10 bola putih?

Jawab:

n=20 merah = h1=10 putih = h2=10

probabilitas bola merah terambil = ½

Definisi Frekuensi Relatif

Probabilitas taksiran atau probabilitas empiris dari suatu kejadian ditetapkan

sebagai frekuensi relatif dari terjadinya kejadian apabila banyaknya

pengamatan sangat besar. Probabilitas itu sendiri adalah limit dari frekuensi

relatif dengan banyaknya pengamatan yang bertambah besar secara tak

berhingga. Probabilitas adalah suatu konsep tak terdefinisi, sama halnya

dengan titik dan garis tidak terdefinisi dalam geometri.

Contoh 2 :

Jika Pelantunan sebuath mata uang logam rupiah sebanyak 1000 kali menghasilkan 529 ‘angka rupiah’, frekuensi relatif ‘angka rupiah’ adalah 529/1000 = 0.529. Jika 1000 kali pelantunan/pelemparan lain menghasilkan 493 ‘angka rupiah’, frekuensi relatif dari 2000 pelantunan/pelemparan adalah (529 + 493)/2000 = 0.511.

Jake E1 dan E2 merupakan dua kejadian, probabilitas bahwa E2 terjadi dengan Syarat bahwa E1 telah terjadi dinyatakan oleh Pr {E2|E1}, atau Pr {E2diberikan E1}, dan disebut probabilitas bersyarat dari E2 bila diberikan bahwa E1 telah terjadi.

• Jika terjadi atau tidak terjadinya E1 tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya E2, maka Pr{E2|E1} = Pr{E2} dan kita katakan bahwa E1 dan E2 adalah kejadian-kejadian bebas; jika tidak demikian mereka adalah kejadian-kejadian tak bebas (dependent event).

• Jika kejadian bahwa “E1 dan E2 keduanya terjadi” kita nyatakan dengan E1E2, yang kadang-kadang disebut kejadian majemuk.

• Maka Pr{E1E2} = Pr{E1}Pr{E2|E1}• untuk kejadian bebas Pr{E1E2} = Pr{E1}Pr{E2}

Untuk tiga kejadian E1,E2, dan E3 Pr{E1E2E3} = Pr{E1} Pr{E2|E1}Pr{E3|E1E2}Peluang terjadinya E1,E2, dan E3 adalah sama dengan probabilitas E1 x probabilitas E2 Bila diberikan bahwa E1 telah terjadi x probabilitas E3 bila diberikan bahwa baik E1 maupun E2 telah terjadi, maka untuk kejadian bebas Pr{E1E2E3} = Pr{E1} Pr{E2}Pr{E3}

Secara umum jika E1, E2, E3,…, En adalah n buah kejadian-kejadian bebas yang masing-masing mempunyai peluang p1, p2, p3,…, pn, maka probabilitas terjadinya E1 dan E2 dan E3 dan …, En adalah p1 p2 p3… pn.

Contoh 3.

Tetapkan E1 dan E2 masing-masing adalah kejadian “angka rupiah pada

pelantunan kelima” dan “angka rupiah pada pelantunan keenam” suatu mata

uang. Maka E1 dan E2 adalah kejadian-kejadian bebas, sehingga probabilitas

dari ‘angka rupiah’ pada pelantunan kelima dan keenam, dengan anggapan

dadu ‘seimbang’, adalah

Jawaban :

Pr{E1E2} = Pr{E1}Pr{E2}=4

1

2

1

2

1

Contoh 4.

Jika probabilitas A akan hidup dalam 20 tahun adalah 0,7 dan probabilitas B

akan hidup dalam 20 tahun adalah 0,5, maka probabilitas bahwa mereka

berdua akan hidup dalam 20 tahun adalah ?

Jawaban:

Pr{E1E2} = Pr{E1}Pr{E2} = (0,7)(0,5) = 0,35

Contoh 5.

Andaikan sebuah kotak berisi 3 bola putih dan 2 bola hitam.

Tetapkan E1 adalah kejadian “bola pertama terambil adalah hitam” dan E2

kejadian “bola kedua terambil adalah hitam” dimana setelah teambil bola

tidak dikembalikan. Disini E1 dan E2 adalah kejadian tak bebas.

Jawaban:

Pr{E1} =5

2

)23(

2

Pr{E2|E1} = 4

1

)13(

1

Pr{E1E2} = Pr{E1}Pr{E2|E1} = 10

1

4

1.

5

2

Kejadian Saling Terpisah

Dua kejadian atau lebih disebut saling terpisah (mutually exlusive) jika terjadinya salah satu dari mereka tak memungkinkan terjadinya yang lain. Jadi jika E1 dan E2 adalah kejadian-kejadian yang saling terpisah, Pr{E1E2} = 0

Jika E1 + E2 menyatakan kejadian bahwa “salah satu E1 atau E2 atau keduanya terjadi”, makaPr{E1+E2} = Pr{E1} + Pr{E2} - Pr{E1E2}

Khususnya, Pr{E1+E2} = Pr{E1} + Pr{E2} untuk kejadian-kejadian saling terpisah

Sebagai perluasan dari ini, jika E1, E2, E3,…, En adalah n buah kejadian saling terpisah, masing-masing mempunyai probabilitas p1, p2, p3,…, pn,

maka probabilitas terjadi dari salah satu E1 atau E2 atau E3 atau …, En adalah p1 + p2 + p3… + pn.

Contoh 6. Jika E1 adalah peluang atau probabilitas dari “penarikan suatu

kartu As(ace) dari setumpuk kartu” dan E2 adalah kejadian “penarikan

sebuah king”,

maka Pr{E1}=13

1

52

4 , dan

Pr{E2}=13

1

52

4 .

Peluang dari penarikan satu as atau satu king pada penarikan tunggal adalah

:

Pr{E1+E2} = Pr{E1} + Pr{E2} = 13

2

13

1

13

1

Karena As dan king keduanya tidak mungkin terambil pada satu penarikan, dan karenanya merupakan kejadian-kejadian yang saling terpisah.

Contoh 7. Jika E1 adalah kejadian “penarikan satu as”

dari suatu tumpukan kartu dan E2 adalah kejadian

“penarikan satu kartu daun (spade)”, maka E1 dan E2

tidak saling terpisah karena as dari kartu daun dapat

terambil. Jadi probabilitas penarikan salah satu as

atau satu kartu hitam atau keduanya adalah :

Pr{E1+E2} = Pr{E1} + Pr{E2} - Pr{E1E2}

Pr{E1+E2} = 13

4

52

16

52

1

52

13

52

4

Diskrit

Jika peubah X dapart menerima suatu himpunan diskrit dari nilai-nilai X1, X2,…, Xk adalah dengan probabilitas masing-masing p1, p2,…, pk, = 1, kita katakan bahwa suatu distribusi probabilitas diskrit untuk X telah terdefinisi. Fungsi p (X) yang mempunyai masing-masing p1, p2,…, pk untuk X = X1, X2,…, Xk disebut fungsi probabilitas atau fungsi frekuensi dari X dapat menerima nilai-nilai tertentu dengan probabilitas yang diketahui, seringkali ia disebut suatu peubah acak diskrit. Peubah acak dikenal juga sebagai peubah kesempatan (chance variable) atau peubah stoksatik.

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

p(X) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Contoh 8. andaikan sepasang dadu dilantunkan dan andaikan X menyatakan

jumlah titik yang diperoleh. Maka distribusi peluang diberikan oleh tabel ax.

Misalnya, probabilitas atau peluang memperoleh angka 5 adalah 9

1

36

4. Jadi

dalam 900 pelantunan dadu kita mengharapkan 100 pelantunan memberikan

angka 5.

Tabel ax.

Perhatikan bahwa hal ini analog terhadap distribusi frekuensi relatif dengan probabilitas menggantikan frekuensi relatif.

Jadi kita dapat mengatakan distribusi peluang sebagai bentuk teoritis atau bentuk ideal dari distribusi frekuensi relatif bilamana banyaknya pengamatan dibuat amat besar. Untuk alasan ini kita dapat memikirkan distribusi probabilitas sebagai distribusi untuk populasi, sedangkan distribusi frekuensi relatif adalah distribusi dari sempel yang berasal dari populasi ini.

• Distribusi probabilitas secara grafik dapat digambarkan dengan cara merajah p(X) terhadap X, seperti halnya untuk distribusi frekuensi relatif.

• Dengan mengkumulatifkan peluang-peluang kita peroleh distribusi probabilitas kumulatif yang analog terhadap distribusi frekuensi kumulatif relatif. Fungsi yang dikaitkan dengan distribusi ini kadangkala disebut suatu fungsi distribusi.

Soal Probabilitas

Latihan 1Kita tetapkan E adalah kejadian bahwa angka 2 muncul pada sekali lemparan sebuah dadu. Dadu dapat jatuh secara enam cara, yang menghasilkan angka-angka 1,2,3,4,5 atau 6 dan jika dadu seimbang (yakni tidak berat sebelah) kita dapat menganggap keenam cara ini berkemungkinan sama. Karena E dapat terjadi dalam dua dari cara-cara ini, kita punya :Jawaban :

Latihan 2Kita tetapkan E adalah kejadian bahwa angka 1, 2, dan 5 muncul pada sekali lemparan sebuah dadu. Dadu dapat jatuh secara enam cara, yang menghasilkan angka-angka 1,2,3,4,5 atau 6 dan jika dadu seimbang (yakni tidak berat sebelah) kita dapat menganggap keenam cara ini berkemungkinan sama. Karena E dapat terjadi dalam dua dari cara-cara ini, kita punya :Jawaban :

Latihan 3

Kita tetapkan E adalah kejadian bahwa angka 1, 2, dan 5 muncul pada sekali

lemparan sebuah dadu. Dadu dapat jatuh secara enam cara, yang

menghasilkan angka-angka 1,2,3,4,5 atau 6 dan jika dadu seimbang (yakni

tidak berat sebelah) kita dapat menganggap keenam cara ini

berkemungkinan sama. Karena E dapat terjadi dalam dua dari cara-cara ini,

kita punya :

Jawaban :

Latihan4

Lima kartu diambil secara acak dari sekelompok kartu bridge yang

lengkap (berjumlah 52 kartu)

a. Tentukan Kemungkinan terambilnya 4 kartu as

b. Tentukan Kemungkinan terambilnya 4 kartu as dan 1

kartu king

c. Tentukan Kemungkinan terambilnya 3 kartu sepuluh dan 2

kartu jack

Tentukan Kemungkinan terambilnya 1 kartu masing-masing dari kartu 9, kartu 10, kartu queen, kartu king, dan kartu jack

Latihan4

Lima kartu diambil secara acak dari sekelompok kartu bridge yang lengkap (berjumlah 52 kartu)

a. Tentukan Kemungkinan terambilnya 4 kartu asb. Tentukan Kemungkinan terambilnya 4 kartu as dan

1 kartu kingc. Tentukan Kemungkinan terambilnya 3 kartu

sepuluh dan 2 kartu jackd. Tentukan Kemungkinan terambilnya 1 kartu

masing-masing dari kartu 9, kartu 10, kartu queen, kartu king, dan kartu jack

Latihan 5.Sebuah bola diambil secara acak dari sebuah kotak berisi 6 bola merah, 4 bola putih, dan 5 bola biru. Tentukan probabilitas bahwa ia adalah (a) merah, (b) putih, (c) biru, (d) tidak merah, (e) merah atau putih

Latihan1. Dari 10 orang staf bagian produksi PT. MM diketahui- Sarjana teknik pria 1 orang- Sarjana teknik wannita 3 orang- Sarjana ekonomi pria 2 orang- Sarjana ekonomi wanita 4 orangdaari 10 staf tersebut dipilih secaara acak 1 orang untuk menjadi manager produksia. berapa caara yang dapat dibentuk jika manager haarus sarjana teknik?b. Berapa peluang A, jika A menyatakan kejadian manager seorang wanitac. Berapa peluang B, jika B menyatakan kejadian manager seorang priad. hitunglah P(A/B) dan P(AUB)!

Jawaba. banyaknya cara memilih 1 orang dari 4 wanita sarjana 4C1

b. A= kejadian bahwa manager adalah wanita P(A) = 7/10 = 0,7 c. B= kejadian bahwa manager adalah saarjana teknik P(B) = 4/10d. P(AB) = peluang kejadian memperoleh manajer saarjana teknik wanita = 3/10 = 0,3maka P(A/B) = P(AB) =0,3/0,4 = 3/4

P(B)P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB) 7/10 + 4/10 - 3/10 = 8/10 = 0,8

2. Sebuah distributor telepon seluler akan menyewa 2 buah stand di suaatu pusat perbelanjaan. Ada 5 buah stand yang terdiri atas 2 menghadap ke utara dan 3 stand menghadap ke selatan. Kelima stand tersebut mempunyai harga sewa yang sama dan mempuyai lingkungan yang sama. Jika distributor tersebut memilih stand dengan cara acak, tentukan:

a. berapa car kemungkinan untuk memilih stand secara acak?

b. jika distributor ingin menyewa hanya stand yang menghadap ke selatan berapa cara yang dapat dipilih.?

c. jika distributor ingin meyewa 1 stand yang menghadap ke utara dan 1 stand menghadap selatan, berapa cara yang dapt dipilih?

Jawaba. banyaknya caaara memilih 2 stand daari 5 stand adalah 5C2 =10 cara.

b. banyaknya cara memilih 2 stand daari 3 stand menghadap ke selatan adalah 3C2 = 3 cara

c. banyaknya cara memilih 1 stand menghadap ke utara dan 1 stand mengahadap ke selatan : 2C1 3C1 = 6 cara