Contribuţii la studiul fenomenelor neliniare în teoria ... · structurale, oscilatorul liniar armonic în hidrodinamica fractală şi mişcarea de vibraţie a unităţii structurale,

$Page 1: Contribuţii la studiul fenomenelor neliniare în teoria ... · structurale, oscilatorul liniar armonic în hidrodinamica fractală şi mişcarea de vibraţie a unităţii structurale,$
Contribuţii la studiul fenomenelor neliniare în teoria polimerilor

5

UNIVERSITATEA "ALEXANDRU IOAN CUZA" IAŞI

RECTORATUL

ANUNŢ

La data de 19 ianuarie 2011, ora 11, în sala/ amfiteatrul ____________ domnul Munceleanu George Valentin va susţine, în şedinţă publică, teza de doctorat cu titlul “Contribuţii la studiul fenomenelor neliniare în teoria polimerilor”, în vederea obţinerii titlului ştiinţific de

doctor în domeniul Ştiinţe exacte, subdomeniul Fizică. Comisia de doctorat are următoarea componenţă:

Preşedinte

prof. univ. Dr. Dumitr Luca, Decan al Facultății de Fizică,

Universitatea “Al. I. Cuza” Iaşi

Conducători ştiinţifici

Prof. Univ. Dr. Maricel Agop, Catedra de Fizică, Facultatea de

Construcţii de Maşini şi Management Industrial, Universitatea

Tehnică „Gh. Asachi” Iaşi

Prof. dr. ing. Bogdan Simionescu, Membru al Academiei

Române, Facultatea de Inginerie Chimică şi Protecţia mediului,

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi” Iaşi şi Institutul de Chimie

Macromoleculară „Petru Poni” Iași

Referenţi

prof. univ. dr. Dumitru Vulcanov, Facultatea de Fizică,

Universitatea de Vest Timișoara

prof. univ. dr. Viorel Puiu Păun, Facultatea de Științe Aplicate,

Universitatea Politehnica București,

prof. univ. dr. Viorel Melnig, Facultatea de Fizică, Universitatea

“Al. I. Cuza” Iași

Vă invităm să participaţi la şedinţa de susţinere a tezei.

Teza poate fi consultată la Biblioteca Facultăţii de Fizică

RECTORATUL


6

CUPRINS

CONTRIBUŢII LA STUDIUL FENOMENELOR NELINIARE ÎN TEORIA POLIMERILOR

Introducere

Capitolul 1. Elemente de fizica polimerilor

1.1 Generalităţi

1.2 Elemente de teoria polimerilor

1.3 Concepte fundamentale

1.4 Clasificarea substanţelor macromoleculare

1.5 Soluţii diluate de polimer

1.6 Elemente de teoria fractalilor

Capitolul 2. Modelul lui Rouse în fizica polimerilor. Aplicaţii

2.1 Conceptul fizic

2.2 Mişcarea fluidului

2.3 Modelul moleculei de polimer

2.4 Mişcarea moleculei de polimer

2.5 Analiza proprietăţilor vâscoelastice

2.6 Aplicaţii. Teoria Rouse-Zimm pentru polimeri rigizi

2.7 Un model fractal in fizica polimerilor

2.8 Un model fractal al dependenţei frecării interne cu temperatura pentru

diverse tipuri de materiale (compozite cu matrice polimerică şi aliaje cu

memoria formei)

2.9 Ecuaţii de tip Schrödinger pentru studiul dinamicii polimerilor

2.10 Modelul hidrodinamic fractal pentru studiul dinamicii polimerilor

2.11 Vâscozitatea polimerului indusă prin potenţialul fractal

2.12 Dinamica globală şi locală a polimerului

Capitolul 3. Alte modele în fizica polimerilor. Aplicaţii ale modelului

fractal în fizica polimerilor

3.1 Modelul „Random Flight” (Zbor întâmplător)


7

3.2 Modelul lanţului Gaussian

3.3 Modelul volumului exclus

3.4 Consideraţii asupra teoriei lui Debye

3.5 Mişcarea Browniană. Ecuaţia Smoluchowski

3.6 Aplicaţii ale modelului fractal în fizica polimerilor

3.7 Groapa de potenţial în modelul fractal cu aplicaţii în fizica polimerilor

3.8 Oscilatorul liniar armonic în modelul fractal cu aplicaţii în fizica polimerilor

3.9 Particula liberă în modelul fractal cu aplicaţii în fizica polimerilor.

Statistica macromoleculei izolate

3.10 Tipuri de dinamici în modelul fractal cu aplicaţii în fizica polimerilor

Capitolul 4. Analiza comportamentului reţelelor generalizate de

polimeri

4.1 Generalităţi

4.2 Modelul reţelei Gaussiene

4.3 Funcţii de distribuţie pentru macromolecule Gaussiene. Reducerea

matricii Kirchhoff pentru molecule de mari dimensiuni (generalizate)

4.4 Spectrul de relaxare pentru reţele gaussiene generalizate (Perfect

întamplătoare)

4.5 Aspecte teoretice ale dinamicii plasmelor generate prin ablaţia ţintelor

polimerice cu fascicul laser

4.6 Comportamentul hidrodinamic al fluidelor fractale cu aplicaţii în fizica

polimerilor

4.7 Comportamentul conductiv al fluidelor fractale cu aplicaţii în fizica

polimerilor

Concluzii

Referinţe

Anexa A Anexa B Anexa C Anexa D Anexa E


8

Introducere

Prezenta lucrare intitulată CONTRIBUŢII LA STUDIUL

FENOMENELOR NELINIARE ÎN TEORIA POLIMERILOR este structurată în

patru capitole şi are la bază 157 de referinţe din care şapte sunt ale autorului

(cinci lucrări ISI).

În primul capitol intitulat „Elemente de fizica polimerilor” se definesc

polimerii, se dă o clasificare a lor şi, în final, sunt enumerate câteva din

proprietăţile acestora. O asemenea situaţie s-a realizat prin introducerea

unor concepte fundamentale (unitate structurală, grad de polimerizare, serie

polimer omoloagă, etc.), prin clasificarea substanţelor macro-moleculare,

prin analiza soluţiilor diluate de polimer, prin definirea vâscozităţii soluţiilor

diluate şi a vâscoelasticităţii lor, prin determinarea componentelor modulului

de forfecare complex şi a vâscoelasticităţii complexe, etc. Elementele de

dinamică neliniară, absolut necesare dezvoltărilor din capitolele doi-patru, s-

au referit doar la elemente de teoria fractalilor (definiţie, mulţimi fractale,

tipuri de fractali, proprietăţi şi exemple de fractali).

Capitolul al doilea intitulat „Modelul lui Rouse în fizica polimerilor.

Aplicaţii” dezvoltă modelul fundamental al fizicii polimerilor şi unele aplicaţii

ale acestuia. Acest lucru a fost realizat prin precizarea conceptului fizic, prin

studiul mişcării fluidului, modelul moleculei de polimer şi mişcarea moleculei

de polimer. Aplicaţiile modelului lui Rouse s-au referit la teoria Rouse-Zimm

pentru polimeri rigizi, modelul lanţului rigid, extinderea modelului Rouse

pentru reţele generalizate. Partea originală a acestui capitol se referă la

„construcţia” unui model fractal în fizica polimerilor considerând că nu numai

matricea de conectivitate ci şi dinamica polimerilor implică fractalitatea sub

toate formele ei.

Scopul capitolului al treilea intitulat „Alte modele în fizica polimerilor.

Aplicaţii ale modelului fractal în fizica polimerului” este de a prezenta câteva

modele şi teorii deosebit de utile în fizica polimerilor utilizate în multe lucrări


9

de specialitate, modele care completează modelul clasic al lui Rouse. Unele

modele permit dezvoltarea teoriilor soluţiilor diluate de polimeri: modelul

“zborului întâmplător”, al lanţului Gaussian respectiv al volumului exclus.

Altele, ca teoria ecranării a lui Debye şi teoria mişcării browniene, sunt de

asemenea extrem de utile în fizica polimerilor. Partea originală a acestui

capitol se referă la fundamentarea unui model fractal în fizica polimerilor

(prin aplicaţiile lui – modelul hidrodinamic, groapa de potenţial

unidimensională în hidrodinamica fractală şi interacţia a două unităţi

structurale, oscilatorul liniar armonic în hidrodinamica fractală şi mişcarea de

vibraţie a unităţii structurale, particula liberă în hidrodinamica fractală,

fundamentarea modelului lanţului Gaussian în fizica polimerilor, mişcarea

Browniană etc.). Menţionăm faptul că demersul nostru, în sensul de a utiliza

teoria spaţiului-timp fractal nu este singular, însă metoda utilizată de noi

diferă esenţial de metodele uzuale utilizate în fizica polimerilor [139-150].

Menţionăm faptul că în aceste referinţe utilizarea conceptului de fractal se

reduce doar la următoarele: i) corespondenţa tipului de fractal (de exemplu,

cel de tip Sierpinski) cu matricea de conectivitate ceea ce are ca finalitate

atât morfogeneza structurilor polimerice cât şi o ierarhizare a lor; ii) corelarea

dimensiunii fractale cu gradul de clustirizare al polimerului. Lipseşte

conceptul de fractal din dinamica polimerului (ecuaţii de mişcare, ecuaţii de

transport, etc.) ceea ce face ca modelele prezentate în referinţele [95-99,

139-150] să nu fie selfconsistente.

Capitolul al patrulea este intitulat „Analiza comportamentului

reţelelor generalizate de polimeri”. Primul paragraf este dedicat reţelei

Gaussiene esenţial în aplicaţiile care studiază reţele generalizate, de mari

dimensiuni. Paragraful al doilea prezintă o metodă generală de analiză a

macromoleculelor de formă complexă, iar paragraful al treilea este dedicat

analizei spectrului de relaxare pentru reţele macromoleculare generalizate.

Partea originală a capitolului se referă atât la studiul interacţiei radiaţiei laser


10

cu ţintele polimerice utilizând modelul fractal cât şi la studiul

comportamentului hidrodinamic şi convectiv al polimerului.

Capitolul 1

Elemente de fizica polimerilor

1.6 Elemente de teoria fractalilor

Teoria sistemelor cu dinamică neliniară reprezintă disciplina care se

ocupă de sisteme a căror date de ieşire nu sunt funcţii liniare de datele de

intrare.

Noţiunea de fractal este un concept matematic cu aplicaţii diverse:

turbulenţă, astronomie, magnetizaţie şi procese care sunt caracterizate

printr-o dimensiune fracţionară (fragmentată).

Operaţional există trei tipuri de utilizări ale termenului: geometrică,

statistică şi corelaţională.

Geometria euclidiană se ocupă de linii continue şi de forme simple,

netede care umplu uniform spaţiul cu dimensiuni întregi. Aceste forme

statice de geometrie clasică nu se găsesc în natură. Principala deosebire

dintre cele două tipuri de obiecte este aceea că partea clasică are bine

definite înălţimile, interiorul, grosimea, în timp ce fractalii nu au aceste

caracteristici.

Pe de altă parte stuctura neregulată a unui obiect fractal ideal nu

apare mai regulată dacă este mărită, în raport cu cea care se observă la

dimensiuni normale. La fiecare nivel al măririi din ce în ce mai multe structuri

sunt relevate. Structura neregulată care este acoperită este o funcţie de

mărire. Altfel spus, dacă se măsoară lungimea unui astfel de „obiect”,

lungimea acestuia depinde de dimensiunea instrumentului de măsurare. La

limita unei scări foarte mici (infinitezimale) obiectul devine de lungime

infinită.


11

Dependenţa dimensiunilor obiectului de instrumentul de măsurare

este proprietate definitorie a fractalilor.

1.6.1 Mulţimi fractale

Sunt identificaţi atractorii corespunzători stării staţionare (punctul

fix), comportării periodice (curbă închisă) şi comportării cuasiperiodice

(torul). Se caută atractorul corespunzător mişcării haotice. Se pleacă de la

sistemul Lorenz:

( )X Y X

Y rX XZ Y

Z XY bZ

(1.38 a-c)

Pentru anumite regiuni din spaţiul parametrilor, sistemul (1.39) prezintă o

dinamică haotică. Reprezentarea grafică pentru σ = 16, r = 45,92 şi b = 4:

(a)

(b)

Figura 1.5 a,b Planul fazelor (a) şi evoluţia temporală

corespunzătoare la două condiţii iniţiale foarte apropiate (b)

Figura (1.5a) reprezintă proiecţia portretului fazelor pe planul (X,Y).

Traiectoriile fazice acoperă dens o anumită regiune mărginită din spaţiul


12

fazelor. Traiectoriile fazice devin necorelate (diverg), sistemul prezentând

proprietatea de sensibilitate în raport cu condiţiile iniţiale (SCI).

Figura (1.5b) prezintă evoluţia temporară corespunzătoare la două

condiţii iniţiale foarte apropiate. Din acest motiv, comportarea sistemelor

haotice, după un timp suficient de lung, este impredictibilă.

Definiţie:

Există obiecte geometrice care nu sunt nici puncte (d = 0), nici

curbe (d = 1), nici suprafeţe (d = 2) sau hipersuprafeţe (d ≥3). Ele sunt

intermediare între dimensiunile d şi d + 1; deşi volumul lor în spaţiul d + 1

dimensional este zero, ele nu pot fi descrise în spaţiul d dimensional.

Acestea se numesc obiecte de dimensiune fracţionară sau fractali.

Mulţimea invariantă corespunzătoare comportamentului haotic

constă într-o infinitate de „straturi”, încât secţiunea transversală a acestora

este o mulţime fractală, vizitată succesiv de traiectoria fazică într-un mod

impredictibil. Într-un spaţiu bidimensional (d = 2), acest lucru nu se poate

realiza fără auto-intersecţia traiectoriilor (interzis de teorema lui Cauchy).

Într-un spaţiu cu d ≥ 3, configuraţia devine posibilă , printr-un proces de

pliere succesivă. Astfel de obiecte se numesc seturi stranii (atractori stranii).

1.6.2. Tipuri de fractali

Fractalii obţinuţi prin construcţii matematice se pot împărţi în două

mari categorii [37-63]:

Fractali obţinuţi prin divizare (praful Cantor, curba Koch, curba

Peano, covorul Sierpinski);

Notă: nu există o cea mai mică scală.

Fractali obţinuţi prin procese de creştere, în care caz se

porneşte de la un germene ce se dezvoltă prin alipiri succesive ale

unor structuri similare germenului.

Notă: nu există o cea mai mare scală.


13

Fractali matematici determinişti - Când proprietatea de

autosimilaritate (asupra ei vom reveni mai târziu) se manifestă

riguros la fiecare iteraţie fractalii respectivi sunt consideraţi

determinişti. Caracteristica esenţială este faptul că toate obiectele

obţinute la fiecare iteraţie sunt în acelaşi raport de asemănare cu

obiectul iniţial. Fractalul poate fi divizat în N părţi identice, fiecare

fiind versiunea rescalată a obiectului iniţial.

Fractali neuniformi şi fractali aleatori.

Fractalii neuniformi iau naştere prin aplicarea simultană a doi factori

de scală.

Fractalii aleatorii sunt fractalii a căror lege de construcţie nu ascultă

de legi deterministe. Astfel, numărul de obiecte ce se generează la fiecare

iteraţie, precum şi poziţia lor este aleatoare.

1.6.3 Proprietăţile fractalilor

Pentru o asemenea abordare am utilizat rezultate standard din

referinţele [37-63]. În plus referinţa [64] ne-a permis şi corespondenţa dintre

teoria fractarilor şi relativitatea de scală (RS) dezvoltată în [60, 65-70].

Principalele proprietăţi ale fractalilor sunt:

i) selfsimilaritate

ii) dimensiune fractală fracţionară

Altfel spus fractalii sunt recursiv definiţi şi infinit detaliaţi.

Proprietăţile fractalilor includ independenţa de scală, complexitatea

şi lungimea sau detaliile infinite. Structurile fractale nu au o singură scală de

lungime, iar procesele fractale nu pot fi caracterizate de o singură scală de

timp.

Selfsimilaritatea

Selfsimilaritatea, acea proprietate interesantă ce rezultă din însăşi

modul de definire, constă în aceea că, o parte din structură seamănă cu

întregul. Orice decupare la o scară oarecare sau anume aleasă, ne

dezvăluie acelaşi aspect.


14

Mandelbrot a descoperit din întâmplare fenomenul de

selfsimilaritate şi acest fenomen nu a putut fi explicat uzual prin metode

matematice specifice geometriei.

În Figura 1.6 se întâlneşte selfsimilaritatea perfectă.

Fig. 1.6 Selfsimilaritate perfectă

În natură însă fractalii prezintă selfsimilaritate statică sau

Browniană.

Dimensiunea fractală

Dimensiunea fractală este o măsură a complexităţii şi trebuie

discutată în comparaţie cu dimensiunea euclidiană şi cu cea topologică.

Din punct de vedere al geometriei euclidiene, dimensiunea

euclidiană a unui element geometric este numărul de coordonate necesar

pentru a determina acel element. Dimensiunea euclidiană şi dimensiunea

topologică reprezintă cazuri limită pentru dimensiunea fractală, adică între

ele există relaţia: T E

d D d , unde D este dimensiunea fractală, dT este

dimensiunea topologică, iar dE este dimensiunea euclidiană.

Se consideră că diferenţa TD d este o măsură a dezordinii

sistemului. Dacă TD d sistemul este ordonat sau slab dezordonat, iar

dacă Td D , el este puternic dezordonat.


15

Există mai multe moduri de a defini dimensiunea fractală:

dimensiunea de omotetie, dimensiunea Hausdorff-Bezicovici, dimensiunea

Minkowski-Bouligand, dimensiunea Kolmogoroff, etc. Toate aceste

dimensiuni au proprietatea de a nu fi în mod necesar numere întregi pentru

diferite corpuri. Ele pot fi numere fracţionare sau chiar iraţionale (π). În cele

ce urmează, pentru simplitate vom defini doar una dintre ele şi anume

dimensiunea fractală Kolmogoroff în acord cu referinţa [64]:

Dimensiunea fractală Kolmogoroff. Definiţie

Dimensiunea fractalică dată de Kolmogoroff se pare că este cea

mai simplă, dar ea nu se poate aplica decât în cazul spaţiilor unde este

definită noţiunea de cub. Datorită faptului că fractalii pe care noi îi

considerăm sunt submulţimi ale unui spaţiu euclidian, unde cubul este bine

definit, această definiţie este suficientă.

Vom justifica definiţia dimensiunii fractală dată de către

Kolmogoroff. Considerăm, în spaţiul Euclidian n-dimensional En, un cub cu

latura 1, având volumul1 1n . Fie acum p un număr natural. Cuburile

mici cu latura p1 au volumul n . Cubul unitate poate fi umplut

complet cu N cuburi mici, deci putem scrie:

1nN (1.39)

Prin logaritmare rezultă:

0log logN n (1.40)

deci

1

log logn N

(1.41)

Astfel


16

1

log

log

Nn

(1.42)

Aşadar, dimensiunea fractală Kolmogoroff a unei mulţimi M,

scufundată într-un spaţiu Euclidian cu minim de dimensiuni En, deci

nEM , este dată de:

0 1k

ND M

loglim

log

(1.43)

unde N este numărul minim de cuburi n-dimensionale cu latura care

acoperă mulţimea M.

1.6.4 Exemple de fractali

Setul (praful) lui Cantor

Se porneşte de la un iniţiator ce este un segment de dreaptă.

Legea de generare presupune doar îndepărtarea treimii din mijloc a

segmentului deschis (Figura 1.7)

Figura 1.7 Construcţia Setului lui Cantor

În acest mod, din repetarea la nesfârşit a legii, se obţine o structură

alcătuită dintr-un set de puncte, structură caracterizată printr-o dimensiune

dată de relaţia:

2 2

0 6333

ln lnlim ,

lnln

n

K nnD

(1.44)


17

O structură particulară, cu dimensiune intermediară cazurilor

cunoscute de geometria euclidiană, nici de dimensiune zero, specifică

punctului, dar nici de dimensiune 1, specifică liniei, ci 0,63092... Un mic

„monstru” matematic, scufundat într-o linie, dar care are o identitate doar de

dimensiune 0,63092... Pentru alte detalii se pot consulta referinţele [37-63].

Curba lui von Koch

Generarea sa implică alegerea unui iniţiator (dreapta), a unei legi

de construcţie (de transformare, de deformare, de rupere, etc.) şi un proces

ce repetă la nesfârşit aceeaşi operaţie dictată de legea aleasă, asupra

fiecărei părţi rezultate din operaţia iniţială.

Figura 1.8 Construcţia fractalului von Koch

Concret, în acest caz legea impune ca dreapta să fie divizată în trei

părţi egale, să fie înlăturată partea centrală şi în locul ei să se pună un

triunghi echilateral fără bază.

Dacă se rulează programul de generare a curbei lui von Koch, se

va identifica uşor această primă etapă. Apoi intervine procesul recursiv ce

presupune aplicarea legii pe fiecare segment de dreaptă rezultat. În acet

caz, cele 4 segmente devin, fiecare în parte, un „nou” iniţiator, suportul a 4

„imagini” micşorate şi aşezate după aceeaşi regulă. Esenţa procesului este

de a continua la infinit acest proces, deoarece doar după un număr infinit de

paşi se obţine ceea ce se numeşte Fractalul lui von Koch (Figura 1.8).

Această curbă este de lungime infinită şi are o dimensiune proprie

între 1 şi 2. Este un obiect „ciudat” pentru gândirea unui om obişnuit să

lucreze în abstract. Este o curbă continuă, derivabilă în nici un punct, care


18

depăşeşte „natura” unei linii, dar nu atinge calitatea de a fi suprafaţă.

Dimensiunea proprie, caracteristică curbei lui von Koch este:

4 4

1 2633

ln lnlim ,

lnln

n

K nnD

(1.45)

deci mai mare decât 1 şi mai mic decât 2 (dimensiunea planului).

Sita (triunghiul) lui Sierpinski

Vom prezenta un asemenea fractal întrucât există numeroşi

polimeri a căror structură poate fi pusă în corespondenţă cu acesta.

Iniţiatorul este un triunghi plin, iar prin aplicarea generatorului

(împărţirea fiecărei laturi a triunghiului în 2 părţi egale, deci N=2, unirea

mijlocului fiecărei laturi cu mijlocul celeilalte şi eliminarea triunghiului astfel

format din mijloc) se obţin trei triunghiuri autosimilare. Prin repetarea la

nesfârşit a acestui algoritm se obţine sita lui Sierpinski (Figura 1.9). Este

interesant de observat că sita lui Sierpinski combină autosimilaritatea cu o

altă simetrie clasică, rotaţia. Structura este congruentă cu ea însăşi dacă se

roteşte în jurul centrului propriu cu un unghi de 1200 sau un multiplu întreg

de 1200.

Figura 1.9 Triunghiul lui Sierpinski

Covorul (carpeta) lui Sierpinski

Este o altă formă de reprezentare a unor goluri pentru a modela o

„sită naturală”. În acest caz, factorul de scară este 3, adică iniţiatorul


19

constituit dintr-un pătrat plin este divizat în 9 părţi egale din care se

îndepărtează partea centrală. Raportul de masă este 8, adică sunt 8 pătrate

negre rămase prin eliminarea celui din mijloc (Figurile 1.10 şi 1.11).

Figura 1.10 Covorul lui Sierpinski

Figura 1.11 Covorul lui Sierpinski

O altă formă a carpetei lui Sierpinski

Exemple de structuri fractale deterministe construite după modelele

anterioare se pot multiplica la infinit. Aceste structuri se pot dovedi foarte

interesante pentru a modela unele probleme de transport în medii poroase şi

permit calcule analitice exacte pentru diverse proprietăţi fizice. Există şi

analoage tridimensionale ale fractalilor anteriori: sita tridimensională a lui

Sierpinski şi buretele Menger (Figurile 1.12 şi 1.13).

Figura 1.12 Sita tridimensională a lui Sierpinski Figura 1.13 Buretele Menger


20

Capitolul 2

Modelul lui Rouse în fizica polimerilor. Aplicaţii

2.7 Un model fractal în fizica polimerilor. Aplicaţii

2.7.1 Utilizarea conceptului de fractal în fizica polimerilor

Până în prezent utilizarea conceptului de fractal în fizica polimerilor

este sporadică şi lipsită de seflconsistenţă (nu există o teorie care să descrie

comportamentul local şi global al polimerului utilizând numai fractalul).

Utilizarea fractalului este foarte restrictivă: i) corespondenţa tipului de fractal

(de exemplu, fie de tip Sierpinski, fie de tip Vicsek) cu matricea de

conectivitate ceea ce are ca finalitate atât morfogeneza structurilor

polimerice cât şi o ierarhizare a structurilor (pentru detalii asupra utilizării

fractalului de tip Vicsek în teoria polimerilor se pot consulta [143,144,146] în

timp ce pentru alte tipuri de fractal se pot consulta [95-99, 139]); ii) corelarea

dimensiunii fractale cu gradul de clusterizare al polimerului (pentru detalii se

pot consulta [96, 97, 99]); iii) dependenţa unor proprietăţi specifice fractalilor

(dimensiune fractală etc.) sau a altora induse (compresie fractală –

reducerea volumului de informaţii prin utilizarea unor seturi fractale [57]) de

diverşi factori precum temperatura, concentraţia etc. (de exemplu în [96] se

obţine dependenţa dimensiunii fractale generată de diverse structuri

polimerice de temperatură). Conceptul de fractal lipseşte însă din dinamica

polimerului (ecuaţia de mişcare, ecuaţii de transport etc.) ceea ce face ca

modelele prezentate în [95-99, 139-149] să nu fie selfconsistente.

2.7.2 Nediferenţiabilitate în variantă Galileiană

Construcţia unui model coerent în fizica polimerilor implică

probleme de scală (de exemplu, dinamica locală şi cea globală) prin

completarea legilor de mişcare cu legile de scală.


21

Punctul de plecare este conştientizarea faptului că fizică actuală a

polimerilor se bazează pe presupunerea nejustificată a diferenţiabilităţii

mărimilor fizice. Această ipoteză este bine verificată în domeniul

macroscopic, dar îşi pierde valabilitatea, de exemplu în cazul comportărilor

mezoscopice etc., când mărimile caracteristice polimerului sunt continue, dar

nediferenţiabile. Există şi teorii în care se renunţă chiar şi la continuitate

(transfizica [58, 59]).

În cele ce urmează pentru construcţia modelului, vom utiliza

rezultatele din [60, 65-70] şi cele obţinute de noi în [90-94].

Să presupunem că mişcarea diverselor “obiecte fizice” are loc pe

curbe continue dar nediferenţiabile, adică pe curbe fractale de dimensiune

fractală constantă F

D . Natura “nediferenţiabilă” a spaţiului implică o rupere

spontană a invarianţei temporale la scală infinitezimală. Astfel, definiţiile

uzuale ale derivatei unei funcţii date în funcţie de timp sunt echivalente în

cazul diferenţial:

0 0dt dt

df f t dt f t f t f t dt

dt dt dt

( ) ( ) ( ) ( )lim lim (2.111)

Tranziţia între ele se face prin transformarea dt dt (invarianţa

temporală la scală infinitezimală).

În cazul nediferenţiabil se pot defini două funcţii ( / )d dt

şi

( / )d dt

ca funcţii explicite de parametrul afin t şi de scala dt (funcţii

fractale)

0 0dt dt

df dff t dt dt f t dt f t dt f t dt dt

dt dt dt dt

( , ) ( , ) ( , ) ( , )lim , lim

(2.112 a,b)

Semnul (+) corespunde proceselor înainte, iar semnul (-) proceselor înapoi.


22

Aplicând procedura (2.112 a, b) coordonatelor spaţiale dX , atunci

se poate scrie:

d d d X x ξ (2.113 a,b)

unde d

x sunt variabilele clasice şi dξ sunt fluctuaţiile fractale introduse

de proprietăţile fractale ale „traiectoriei”. În particular, prin mediere, ecuaţia

(2.113 a,b) ia forma:

d d X x (2.114 a,b)

unde am admis

0idξ (2.115 a,b)

Din (2.113 a,b) se obţine câmpul vitezelor:

d d d

dt dt dt

X x ξ

(2.116 a,b)

S-a notat prin d / dt

( )x v viteza “înainte” şi prin

( )d / dt x v viteza „înapoi”. Dacă 2/)( vv poate fi considerată

viteza clasică, diferenţa lor, 2/)( vv corespunde vitezei fractale,

astfel încât se poate introduce viteza complexă:

2 2 2 2

d d d di i

dt dt

v v v v x x x x

V (2.117 a,b)

Folosind notaţiile xx dd , relaţia anterioară devine:

2 2

d d d di

dt dt

V x (2.118)

ceea ce permite definirea operatorului:


23

2 2

d d d di

t dt dt

ˆ (2.119)

Aşadar, dacă spaţiul timp este nediferenţiabil, trebuie să introducem

două viteze în loc de una. Astfel, o dublare a vectorului viteză este o

consecinţă nouă, specifică nediferenţiabilităţii care nu are corespondent în

fizica „standard” (în sensul fizicii diferenţiale).

Acum, la nivelul descrierilor noastre, nu putem favoriza v în raport

cu v . Ambele opţiuni sunt la fel de bine „calificate” pentru a descrie legile

naturii. Singura soluţie viabilă pentru această problemă este considerarea

simultană atât a proceselor „înainte” 0dt , cât şi a proceselor „înapoi”

0dt . Atunci, numărul gradelor de libertate se dublează în raport cu

descrierea clasică, diferenţială (6 viteze în loc de 3).

Deci mişcările au loc într-un spaţiu Euclidian tridimensional pe

curbe fractale. Coordonatele spaţiale sunt fractali, iar timpul nu este fractal.

Un asemenea spaţiu îl vom numi spaţiu fractal.

2.7.3 Ecuaţia de mişcare pentru studiul dinamicii polimerilor

Să presupunem, în continuare, că curba fractală este „scufundată”

într-un spaţiu tridimensional şi fie X de componente 1 3X ,i i vectorul

de poziţie a unui punct de pe curbă. Să considerăm, de asemenea, o funcţie

( , )f tX şi următoarea dezvoltare în serie Taylor până la ordinul n:

1

ini i i i i

ii

df f X dX t dt f X dt dX dt f X ttX

( , ) ( , ) ( , )

(2.120)


24

Neglijând toate derivatele de ordinul trei şi patru, condiţie mai mult

decât suficientă pentru abaterea de la liniaritate, ultima ecuaţie devine (am

considerat doar mişcările pe fractali):

21

2

i i i

i i i i

i i

df f X dX t dt f X dt

dX dt f X t dX dt f X tt tX X

( , ) ( , )

( , ) ( , ) (2.121)

De aici, valorile medii înainte şi înapoi ale acestei relaţii folosind

notaţiile iidx d X

se scriu sub formă unitară:

2

2

2

2 2

1

21

2

i i l

i i l

f fd f dt f d dt

t tf f

d X dt d X d XX t X X

X (2.122 a,b)

Admitem următoarele ipoteze: valorile medii ale funcţiei f şi ale

derivatelor sale coincid cu ele însele, iar diferenţialele id X

şi dt sunt

independente, de aceea media produselor lor coincide cu produsul mediilor.

Atunci ultima ecuaţie devine:

2

2

22 2

1

21

2

i i l

i i l

f fd f dt f d dt

t tf f

d X dt d X d XX t X X

X (2.123 a,b)

sau incă, folosind ecuaţia (2.113 a,b) se obţine:

22

22 2

1

21

2

i i l i l

i i l

f fd f dt f d dt

t tf f

d x dt d x d x d dX t X X

x (2.124 a,b)


25

Deoarece id descrie proprietăţile fractale ale curbei de mişcare

cu dimensiunea fractală F

D , este natural să presupunem că aceste

„cantităţi” infinitezimale FD

id

sunt proporţionale cu dt . Acestea implică

relaţia (ecuaţia fractalului [101, 102])

0

FD

id D dt

(2.125)

unde 0

D este pentru început un coeficient de proporţionalitate. În cazul

general, relaţia (2.125) poate fi scrisă sub forma:

F

D

d dt

(2.126)

sau încă

1

FDdt

d

unde dt corespunde scalei de rezoluţie, scalei temporale asociată

tranziţiei fractal-nefractal şi scalei de lungime (am admis că dt t -

principiul substituţiei).

Să ne concentrăm asupra mediei i ld d

. Dacă i l ,

această medie este zero în virtutea indepenedenţei lui id

de ld

. Astfel,

folosind ultima ecuaţie (2.126), se poate scrie:

2

0F

i l il Dd d D dt

(2.127 a,b)


26

Considerând că curba de mişcare este de tip Peano şi că aceasta

„umple” complet o suprafaţă plană fără a se intersecta, atunci dimensiunea

fractală tinde asimptotic la valoarea 2 , 2F

D , iar ecuaţia (2.127 a,b)

devine:

0

( )i l ild d D dt

(2.128 a,b)

cu

1,

0,

ili l

i l

şi convenţiile

0, 0

0, 0

i l

i l

d d dt

d d dt

Rezultă că (2.124 a,b) poate fi scrisă sub forma:

2 2

2

22 2

0

1

21 1

2 2

i

i

i l il

i l i l

f f fd f dt f d dt d x dt

t t X tf f

d x d x D dtX X X X

x (2.129 a,b)

Dacă (2.129) se multiplică 1

dt

şi se neglijează termenii care

conţin factorii diferenţiali, în final se obţine:

0

1

2

d f ff D f

dt t

v (2.130 a,b)

unde s-a făcut notaţia:


27

2 2 2

2 2 21 2 3

f f ff

X X X

(2.131)

Să calculăm în continuare ˆf

dt

. Ţinând cont de (2.118) se

găseşte:

0 0

0 0

0

ˆ 1

2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1

2 2 2

2 2 2

d f d f d f d ffi

dt dt dt dt dt

f ff D f f D f

t t

i f ff D f f D f

t t

Dfi f i f

t

v v

v v

v v v v

(2.132)

sau încă,

20

ˆ

2

Df ff i f

t t

V (2.133)

Această relaţie ne permite să definim operatorul fractal:

0

ˆ

2

Di

t t

V (2.134)

Să aplicăm acum principiul covarianţei de scală şi să postulăm că

trecerea de la mecanica clasică la mecanica „nediferenţiabilă”, poate fi

implementată prin substituirea derivatei de timp standard ddt

prin


28

operatorul complex ˆ

dt . În consecinţă se poate scrie ecuaţia geodezicelor

spaţiului fractal sub forma sa covariantă:

0

ˆ0

2

Di

dt t

V VV V - V (2.135)

Aceasta înseamnă că câmpul acceleraţiilor complexe globale,

ˆ t V depinde atât de câmpul acceleraţiilor complexe locale, t V ,

convecţia câmpului vitezelor complexe, V V , cât şi de disipaţia câmpului

vitezelor complexe, V . Mai mult prezenţa câmpului complex de

acceleraţii, a câmpului complex de viteze şi a coeficienţilor complecşi de

structură (de exemplu, coeficientul imaginar de vâscozitate 0 2iD )

specifică faptul că polimerul asociat cu un fluid fractal (fluid în care mişcările

particulelor au loc pe curbe fractale) are un comportament de tip

vâscoelastic sau histeretic. Altfel spus fluidul fractal (adică polimerul) poate fi

descris prin modele reologice de tip Kelvin-Voight sau Maxwell aşa cum

rezultă din [2, 3, 6, 25].

Prin (2.135) rezultă că şi “modulul de elasticitate” al polimerului este

o mărime complexă. Într-adevăr, scrisă sub forma unidimensională

22

022 0

d V dVV

dx dx

unde am admis

0

0

2, , 2

, .

dVV i V

t iD dx

cc i const

iD

VV V V

soluţia formală


29

0 0

1 22 2

0 0 0

sin

, , .

xV V e kx

k i V const

induce prin k un „modul de elasticitate” complex.

2.8 Un model fractal al dependenţei frecării interne cu

temperatura pentru diverse tipuri de materiale (compozite cu matrice

polimerică şi aliaje cu memoria formei)

2.8.1 Scopul paragrafului

Structurile microelectromecanice (MEMS) se utilizează în industria

senzorilor şi în comunicaţiile fără fir. Litografia electronică permite reducerea

dimensiunilor acestor structuri până la 100 nm şi fabricarea de sisteme

nanoelectromecanice (NEMS), care consumă foarte puţină energie.

NEMS-urile pot fi, fie polimeri, fie materiale compozite cu matrice

polimerică, fie aliaje cu memoria formei etc. Toate aceste materiale au însă

o caracteriastică comună şi anume capacitatea ridicată de disipare a

energiei mecanice în energie termică.

Într-o lucrare recentă [72] am realizat un studiu comparativ

experimental şi teoretic între capacitatea de disipare a energiei mecanice şi

energia termică a unui aliaj cu memoria formei pe bază de cupru (Cu-Zn-Al)

şi un material compozit cu matrice polimerică din vinil ester (detalii de

structură se găsesc în [74, 75]). Experimental s-a observat o “bună”

capacitate de disipare a energiei a aliajului cu memoria formei exercitată în

domeniul de temperaturi ai transformării martensitice faţă de o valoare mai

redusă a frecării interne ce caracterizează materialul compozit cu matrice

polimerică. Pentru alte detalii experimentale (compoziţie chimică,

microstructuri, SEM – Scanning Electrons Micropics, frecare internă,


30

dependenţa modulului Young de temperatură, dilatograme de material etc.)

se poate consulta lucrarea noastră [72].

În cele ce urmează vom prezenta doar un model teoretic asociat

capacităţii de disipare a energiei mecanice în energie termică atât pentru

aliaje cu memoria formei cât şi pentru compozite cu matrice polimerice. Am

omis rezultatele experimentale din [72] având în vedere atât scopul teoretic

al prezentei lucrări cât şi contribuţia noastră efectică în elaborarea modelului

teoretic.

2.8.2 Amortizarea internă

Sistemele nanoelectromecanice se caracterizează printr-un factor

de calitate foarte înalt. Cele mai multe studii privind mecanismele de disipare

a energiei au fost realizate pe sisteme oscilante cu dimensiuni mari şi la

frecvenţă mică, de aproximativ 1Hz. Pentru a ridica factorul de calitate a

NEMS înspre valoarea 107, trebuie să înţelegem cum funcţionează cele mai

importante mecanisme de disipare a energiei la scară nanometrică.

În general, se cunosc trei mecanisme primare de amortizare [76]:

amortizarea internă de material;

amortizare structurală (legături, interfeţe);

amortizare fluidă (interacţiune structură-fluid).

Amortizarea internă rezultă din disiparea energiei mecanice în

interiorul materialului datorită diverselor procese microscopice şi

macroscopice. Amortizarea internă poate fi vâscoelastică sau histeretică.

Amortizarea structurală este cauzată de energia mecanică disipată

prin mişcările relative dintre diferitele componente ale structurii. Amortizarea

de tip interacţiune solid-fluid rezultă din forţele de interacţiune dintre solid şi

fluid şi interacţiunile dinamice asociate.

Amortizarea internă implică o buclă histeretică. Mai mult, legea

constitutivă tensiune-deformaţie posedă o buclă histeretică.

Suprafaţa buclei histeretice măsoară disiparea energiei pe unitatea de volum


31

a materialului, pe ciclu de încărcare. Aceasta este exprimată sub forma

capacităţii de amortizare pe unitatea de volum şi este notată cu d. Deci d

este dată de integrala ciclică [76]

d d (2.136)

Integrala ciclică a forţei de disipare, care este aria buclei histeretice,

este egală cu lucrul mecanic al forţei de amortizare. Rezultă că această

integrală reprezintă energia disipată pe ciclu de mişcare. Aceasta este

capacitatea de amortizare, care, atunci când se împarte la volumul de

material, se numeşte capacitatea de amortizare pe unitatea de volum, v

d .

Spre deosebire de forţa elastică (forţă de tip resort), forţa de

amortizare nu este funcţie numai de coordonatele generalizate q, ci şi de

viteza generalizată, q . Indexarea cu punct reprezintă derivata în raport cu

timpul.

Se consideră o forţă f q care nu depinde decât de coordonatele

generalizate q (deplasări, rotaţii). Pentru o anumită valoare q, forţa este

aceeaşi indiferent de magnitudine şi de direcţia de mişcare (de exemplu,

valoarea şi semnul lui q ).

Rezultă că, într-un ciclu de încărcare şi descărcare, nu se mai

formează o buclă histerezis, iar lucrul mecanic net depus într-un ciclu

complet de mişcare este nul. Se consideră acum o forţă ,f q q , care

depinde atât de q cât şi de q . Chiar la viteze mici, forţa de amortizare, într-o

direcţie de mişcare, poate fi semnificativ diferită de forţa din direcţia opusă.

Ca rezultat, se formează o buclă histerezis care corespunde lucrului

mecanic al forţei de amortizare. Prin urmare, forţa de amortizare depinde şi

de o viteză relativă q . În particular, frecarea Coulomb, care nu depinde de

mărimea q , depinde de semnul lui q [76].


32

Pentru un material vâscoelastic liniar, o lege constitutivă folosită în

mod curent este modelul Kelvin-Voigt [77]

d

Edt

(2.137)

unde E este modulul elastic al lui Young şi η este modulul vâscoelastic care

este independent de timp.

Capacitatea de amortizare pe unitatea de volum este dată de

v

dd d

dt (2.138)

Să calculăm frecarea internă a unui corp care se supune ecuaţiei

(2.137). Dacă procesele sunt cvasiperiodice, adică

0 0

i t i te e , (2.139 a,b)

vom găsi prin derivare

i i , (2.140 a,b)

Acestea substituite în (2.137) conduc la

E i (2.141)

respectiv, modulul complex de elasticitate

E E i (2.142)

Inversul factorului de calitate Q este prin definiţie raportul dintre

energia disipată pe ciclu c

W şi energia elastică totală e

W [76]

1 1

2

c

e

W

Q W (2.143)

Energia elastică a oscilatorului şi, respectiv, energia disipată pe ciclu devin

cu (2.139)


33

2 2

0 0

1

2W E W , (2.144 a,b)

Atunci (2.143) se exprimă astfel

1

2

Im

Re

W Etg

Q W E E

(2.145)

şi reprezintă „frecarea internă” (capacitate de dispare a energiei mecanice în

energie termică), se mai numeşte unghi de pierdere.

2.8.3 Modelul matematic

Utilizând relaţia (2.145) obţinem acum dependenţa de temperatură

a capacităţii de disipare a energiei mecanice în energie termică pentru

diverse tipuri de materiale. Pentru aceasta să admitem faptul că unghiul total

de pierdere , fie pentru un aliaj cu memoria formei, fie pentru un compozit

cu matrice polimerică, este o sumă de două unghiuri 1 2 Astfel

pentru un aliaj cu memoria formei unghiurile corespund componentei

martensitice şi a celei austenitice, iar pentru un compozit cu matrice

polimerică unul din unghiuri corespunde matricii, iar celălat fazei de

ramforsare. Atunci vom avea:

1 2

1 2

1 21

tg tgtg tg

tg tg

(2.146)

Ţinând seama că

1 2

1 2

1 2

tg tg tgE E E

, , (2.147 a, b)

relaţia (2.146) ia forma


34

1 2

1 2

21 2

1 2

1

E Etg

E

E E

(2.148)

Acum structura mixtă, fie austenită-martensită ca în cazul

materialelor cu memoria formei, fie matrice- faza de ramforsare ca în cazul

materialelor compozite cu matrice polimerică, poate fi asimilată unui

amestec de două fluide fractale astfel încât [60]

B

mD k T (2.149)

unde m este masa particulei „reprezentative” a fluidului fractal, D este

constanta lui Nottalle corespunzătoare tranziţiei fractal-nefractal [60], T este

temperatura absolută, kB este constanta lui Boltzmann şi este pulsaţia

mişcării. Facem observaţia că relaţia (2.149) generalizează relaţia uzuală

Bk T cu constanta redusă a lui Planck [30].

Având în vedere relaţia (2.149) putem introduce următoarele relaţii:

12

1 2

1 2

1B

D

k

E E mD T

(2.150)

1

2

1 2

1 2

1 2

1 2

E Econst

E E

(2.151)

D

Tt

T (2.152)


35

Se obţine expresia

21

ttg

t

(2.153)

Rezultă următoarele:

i) relaţia (2.153) descrie calitativ bine dependenţa capacităţii de

disipare de temperatura redusă- Figura 2.6 a,b atât pentru aliajele cu

memoria formei cât şi pentru materialele compozite cu matrice polimerică;

ii) există o temperatură critică, notată cu D

T , la care capacitatea de

disipare are valoarea maximă. Pentru aliajele cu memoria formei această

temperatură este cea corespunzătoare „tranziţiei de fază” martensită-

austenită la concentraţii egale de fază. Pentru compozitele cu matrice

polimerică temperatura critică corespunzătoare „tranziţiei de fază” este

impusă prin concentraţia fazei de ramforsare. De regulă D

T trebuie

identificată cu temperatura critică de polimerizare. Valoarea ei este

dependentă de stările standard ale monomerului şi polimerului care

trebuiesc obligatoriu precizate atunci când operăm cu aceste mărimi.

Necesitatea rezultă din faptul că simultan cu reorganizarea legăturilor

chimice au loc şi o serie de procese fizice-dizolvare, condensare, cristalizare

etc. – fiecare asociat cu o variaţie de entalpie şi entropie, care pot micşora

sau creşte valoarea teoretică a căldurii şi entropiei de polimerizare;

iii) faptul că în experimentele noastre, frecarea internă pentru aliajele

cu memoria formei este mai mare comparativ cu cea a compozitelor cu

matrice polimerică poate fi specificată de modelul teoretic prin valoarea lui

, astfel încât (AMF) a aliajelor cu memoria formei > (CMP) a

materialelor compozite cu matrici polimerice;

iv) curbele teoretice sunt simetrice în raport cu asimptota verticală

1t . Modelul nu explică însă asimetria curbelor experimentale (asimetria

martensită-austenită ca în cazul aliajelor cu memoria formei, sau cea matrice


36

polimerică – faza de ramforsare ca în cazul compozitelor cu matrice

polimerică).

Figura 2.6 a,b Dependenţa capacităţii de disipare a energiei mecanice în

energie termică de temperatură, reprezentare grafică a) 3D şi b) 2D.

Trebuie deci admise ipoteze suplimentare pentru explicarea acestor

asimetrii.

2.9 Ecuaţii de tip Schrödinger pentru studiul dinamicii

polimerilor

Se admite că fluidul fractal este irotaţional, adică

0 Ω V (2.154)

Atunci V se poate alege de forma

2 lniD V (2.155)

unde am admis

0 2D D (2.156)

În acest caz (2.135) ia forma unitară

2ˆ0

2iD

dt t

V V VV


37

Se pune astfel în evidenţă energia specifică a polimerului

2

2W iD

VV

De aici pentru

i V v u

expresia anterioară ia forma

2 2

' '',

1'

2

''

W W W

W D

W D

v u u

v u v

Substituind (2.155) în (2.135) şi utilizând identităţile:

2 2

ln ln , , 2f

f f f f ff

(2.157)

ceea ce implică

ln 2 ln ln

(2.158)

se obţine:

2ˆ

2 ln ln 0tiD iD iD Ddt

V

(2.159)

Întrucât,

ln ln

ecuaţia (2.159), poate fi integrată, până la un factor arbitrar al fazei care

poate fi considerat nul, sub forma ecuaţiei de tip Schrödinger:


38

2 0tD iD (2.160)

Într-un asemenea cadru prezenţa unui câmp de tip (gravito) magnetic

implică substituirea derivatei obişnuite cu derivata covariantă ig A

cu /eg e în cazul câmpului electromagnetic sau /gg m în cazul

câmpului gravitoelectromagnetic.

Aşadar ecuaţia generalizată de tip Schrödinger se obţine ca o

mişcare irotaţională a unui fluid „vâscos” având un coeficient de vâscozitate

imaginar dependent de lungimea de scală. Aceste rezultate generalizează

pe cele din teoria lui Nottale [60, 65-70]. Pentru mişcări pe curbe Peano

2FD [57] la scală Compton, 2D m / , relaţia (2.160) se reduce la

ecuaţia uzuală a lui Schrödinger

2

1 02

im

Atunci Ψ devine simultan atât funcţie de undă cât şi un potenţial complex al

câmpului de viteze complexe.

2.10 Modelul hidrodinamic fractal pentru studiul dinamicii

polimerilor

Fie câmpul complex de viteze V

, 2 , ln , iSi D S D e V v u v u (1.161)

cu amplitudinea şi S faza lui ψ. Substituind (2.161 a-d) în (2.135) şi

separând partea reală de cea imaginară, se obţine:


39

2 2

02

0

Dt

Dt

v v uu

uv u v

(2.162)

sau încă, abstracţie făcând de un factor arbitrar al fazei care poate fi

considerat nul printr-o alegere corespunzătoare a fazei lui Ψ,

0

t

t

m m Q

v v v

v (2.163 a,b)

cu Q potenţialul fractal

2

22

mQ mD mD

uu (2.164)

Dacă sistemul fizic se află şi în câmpul conservativ de forţe al unui

potenţial exterior U (fie un câmp electrostatic, fie un câmp gravitostatic),

atunci ecuaţia (2.163 a) ia forma

tm m Q U v v v (2.165)

Potenţialul fractal depinde doar de partea imaginară a vitezei complexe.

Aşadar, acesta este indus de nediferenţiabilitatea spaţiului

Relaţiile (2.163 a,b) şi (2.164) definesc ecuaţiile hidrodinamicii

fractale.

Funcţia de undă ,r t este invariantă când faza ei se schimbă

cu un multiplu întreg de 2 . Într-adevăr, a doua ecuaţie (2.161 b) implică:

2 4 0 1 2m d mD dS nmD n , , , , ...v r (2.166)


40

o condiţie a compatibilităţii între modelul hidrodinamic al relativităţii de scală

şi mecanica ondulatorie.

Pentru / 2D m se obţine relaţia uzuală

m d nh v r .

Setul de ecuaţii al hidrodinamicii relativităţii de scală reprezintă un

sistem complet de ecuaţii diferenţiale pentru câmpurile , t r şi ,r tv ;

relaţia (2.166) „asigură” în mod univoc, corelaţia între fiecare soluţie

,n

v şi funcţia Ψ.

Câmpul , t r este o distribuţie de probabilitate şi anume,

probabilitatea de a găsi „particulele” de fluid în vecinătatea dr a punctului r la

timpul t, dP d r , 1dr , integrala spaţială fiind extinsă pe

întregul „volum” al sistemului. Orice variaţie temporală a densităţii de

probabilitate , t r este însoţită de o variaţie spaţială a densităţii

curentului de probabilitate v .

Câmpul real de viteze v(r,t) (vezi ecuaţia (2.165)), variază spaţial şi

temporal la fel ca un fluid hidrodinamic plasat în câmpul de forţe al unui

potenţial exterior U şi un potenţial fractal (2.164). Fluidul (în sensul de

ansamblu statistic de particule) prezintă, oricum, o diferenţă esenţială faţă de

un fluid obişnuit: într-o mişcare de rotaţie v(r,t) creşte (descreşte) odată cu

descreşterea (creşterea) distanţei r faţă de centru (vezi ecuaţia (2.166)).

Distingem acum următoarele stări fractale staţionare:

i) Stările fractale dinamice. Pentru / 0t şi 0v , ecuaţiile

(2.165) şi (2.163 b) devin


41

2

2 212 0, 0

2mv U mD

v (2.167 a,b)

sau încă, prin integrare

2

2 212 ,

2m U mD E F

v v (2.168 a,b)

Aşadar, inerţia m v v , forţele exterioare U , şi forţele fractale

Q sunt în echilibru în orice punct al câmpului (vezi ecuaţia (2.167 a)).

Suma dintre energia cinetică 2 / 2mv , energia potenţială externă (U) şi

energia potenţială fractală (Q) este invariantă, adică egală cu constanta de

integrare E E r (vezi ecuaţia (2.168 a)). E E reprezintă energia

totală a sistemului dinamic. Câmpul de probabilitate v nu are surse

(ecuaţia (2.165 b)); liniile de câmp ale densităţii curentului de probabilitate

sunt închise (vezi ecuaţia (2.167 b)).

ii) Stările fractale statice. Pentru / 0t şi 0v , ecuaţiile

(2.165) şi (2.163 b) devin

2

22 0U mD

(2.169)

sau încă, prin integrare

222U mD E

(2.170)

Forţa exterioară U este echilibrată de forţa fractală Q în orice

punct al câmpului (vezi ecuaţia (2.169)). Suma dintre energia potenţială


42

exterioară (U) şi cea fractală (Q) este invariantă, adică egală cu constanta

de integrare E E r (vezi ecuaţia(2.170)). E E reprezintă energia

totală a sistemului fractal static. Relaţia (2.163 b) este satisfăcută identic.

2.11 Vâscozitatea polimerului indusă prin potenţialul fractal

Să considerăm potenţialul fractal Q sub una din formele

222 2

2

12

2

2

Q mD mD

mmD

u

u

(2.171)

Vom arăta că potenţialul (2.171) poate genera un tensor al

tensiunilor vâscoase. În acest scop definim tensorul simetric

2 2ln i l

i l i lmD mD

(2.172)

Divergenţa acestui tensor este egală cu densitatea de forţă asociat

potenţialului fractal Q

Q σ (2.173)

Aşadar este identificat cu tensorul tensiunilor vâscoase ale ecuaţiei

Navier-Stokes

d

m m m Q U Udt t

v vv v σ

(2.174)

Tensorul densităţii de impuls are expresia

il i l ilm v v (2.175)


43

şi satisface ecuaţia de transport

m Ut

v (2.176)

Putem astfel introduce vâscozitatea cinematică

2

D (2.177)

respectiv, vâscozitatea dinamică

2

Dm (2.178)

Aşa încât tensorul tensiunilor vâscoase ia forma uzuală

i l

il l i

u u

x x

(2.179)

Prin urmare vâscozitatea internă a polimerilor nu este de natură

potenţială, ci de natură cinetică prin câmpul de viteze fractale. Mai mult, prin

(2.178) rezultă:

i) pentru xm M şi p unde xM este masa moleculară a x unităţii

monomere şi p este densitatea polimerului, (2.178) ia forma uzuală

2

.x pM constD

(2.180)

în raport cu concentraţia polimerului. Relaţia este valabilă pentru topituri de

polimeri sau soluţii concentrate de polimeri (de exemplu, soluţii concentrate

de polistiren, poliacetat de vinil şi poliizobutilenă [7]).

ii) prezenţa împletiturilor moleculare pentru soluţii concentrate de polimer

implică pentru pm M şi p coeficientul de difuzie [7]


44

2

2 2

0

exp3

x

A

p

N kT rD Z

M kT

(2.181)

unde AN este numărul lui Avogadro, k este constanta lui Boltzmann, 0

este frecvenţa deplasărilor centrului de masă a segmentului liber, este

lungimea deplasărilor, 2r este distanţa pătratică medie dintre capetele unei

catene cu libertate deplină de mişcare, Z este numărul de segmente ale

catenei şi x este energia de activare a x unităţi monomerice. Susbstituind

(2.182) în (2.178) se găseşte relaţia uzuală [7]

2

2

0

exp6

x

AN kT rZ

M kT

(2.182)

De aici, cu substituţiile

2

2

06

AN kT rt Z

M

(2.183)

x

t k

(2.184)

rezultă dependenţa coeficientului de vâscozitate relativ de

temperatura redusă ct T T sub forma

exptt

(2.185)

unde cT este o temperatură specifică polimerului [7]. Prezentăm în Figura

2.7 dependenţa ,t . Curbele teoretice descriu calitativ “curbele”


45

2

4

61

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0

5

10

15

2

4

6

experimentale, de exemplu, pentru poliacetatul de vinil sau poliizobutilenă

[7].

Fig. 2.7 Dependenţa coeficientului de vâscozitate relativ de temperatura

redusă t şi

2.12 Dinamica globală şi locală a polimerului

Mişcarea globală a unui polimer este descrisă de o ecuaţie de tip

Navier-Stokes pentru un câmp complex de viteze cu coeficient de structură

(coefficient de vâscozitate) complex. Neglijând convecţia, ecuaţia ia forma

aproximativă

iDt

VV (2.186)

şi admite în caz unidimensional soluţia formală

21

, exp44

Vii

(2.187)

unde am făcut substituţiile

t

𝛽


46

, t xD

Cum V poate fi pusă în corespondenţă cu clasele de funcţii n ale lui

Jacobi [150], obţinem câmpurile de viteze:

2

2

2

2

1

2 12

1 1

1

2 12

2 2

2

3 3

2

4 4

, , 1

, ,

, ,

, , 1

......................................................

nn n

n

nn

n

n n

n

n n n

n

V i h z

V h z

V h z

V h z

(2.188 a-d)

unde

1 22 ,

ii

e h z e hz

(2.189 a, b)

De exemplu, câmpul de viteze 1 ,V în prima aproximaţie a lui

1 , are expresia

1

9cos sin cos sin 3

4 4, 2

9sin sin sin sin 3 ...

4 4i

(2.190)

Rezultă o selffocalizare a câmpului de viteze global: câmpul de viteze fractal

„modulează” câmpul de viteze diferenţiabil.


47

Separarea mişcărilor la scală diferenţiabilă şi fractală implică, prin

(2.162 a,b) în cazul neglijării convecţiilor, ecuaţia

0Dt

vu (2.191)

la scală diferenţiabilă şi ecuaţia

0Dt

uv (2.192)

la scală fractală. Acum aplicând operatorul lui (2.191) ceea ce o aduce la

forma

0Dt

v u (2.193)

şi substituind în ea v din ecuaţia (2.192), adică

1

D t

uv (2.194)

se găseşte

2

2 2

10

D t

uu (2.195)

Similar rezultă şi ecuaţia

2

2 2

10

D t

vv (2.196)

Având în vedere relaţiile (2.161 b,c) ecuaţiile (2.195) şi (2.196) prin integrare

iau formele


48

2

12 2

2

22 2

1.

1ln ln .

SS Q const

D t

Q constD t

De aici, în cazul unidimensional, cu restricţiile

1 2 0Q Q

şi în notaţiile

, lnw S

se găseşte

4 2

4 2 2

10

w w

x D t

(2.197)

Ecuaţiei (2.197) îi asociem condiţiile iniţiale pentru 0t ,

,0 , ,0w

w x f x x g xt

(2.198 a,b)

ceea ce arată că la momentul iniţial macromolecula este încovoiată potrivit

cu funcţia f x şi având o viteză iniţială g x .

Pentru o macromoleculă „rezemată” la capătul 0x condiţiile la

limită sunt

2

20, 0, 0, 0

ww t t

t

(2.199 a,b)

Dacă macromolecula este „încastrată” la capătul 0x avem

0, 0, 0, 0w

w t tt

(2.200 a,b)


49

Să analizăm acum vibraţiile libere ale unei macromolecule de

lungime liniară l ale cărei capete sunt libere sau simplu „rezemate” sau

„încastrate”. Presupunem că soluţia ecuaţiei de mişcare (2.197) este de

forma

, expw x t u x i t (2.201)

unde este viteza unghiulară.

Ecuaţia (2.197) devine

4 24 4

4 20,

uk u k

x D

(2.202)

Aplicând transformata Laplace,

0

expu p u x px dx

ecuaţiei (2.202), obţinem

2 3

3 2

4 4 2 3

10 0 0 0

u u uu p p u p p

p k x x x

(2.203)

Transformata inversă Laplace

0

expu x u p px dp

aplicată ecuaţiei (2.203) conduce la soluţia

2 3

2 2 3 3

1 1 10 0 0 0

u u uu x u S kx T kx U kx V kx

x x x

(2.204)


50

unde constantele 2 3

2 3

0 , 0 , 0 , 0u u u

ux x x

reprezintă

deplasarea, rotirea secţiunii transversale a macromoleculei, o mărime

proporţională cu „momentul încovoietor” şi o mărime proporţională cu „forţa

tăietoare” în secţiunea transversală 0x , dacă ţinem seama că

„momentul încovoietor” şi „forţa tăietoare” sunt date de

2 3

2 2

2 3, , ,

w uM x t D T x t D

x x

Funcţiile care apar în (2.204) sunt

1 1cosh cos , sinh sin ,

2 2

1 1cosh cos , sinh sin .

2 2

S x x x T x kx kx

U x x x V x k x kx

(2.205 a-d)

Presupunem că macromolecula este încastrată în secţiunea 0x

şi simplu rezemată în secţiunea x l :

2

20 0, 0 0, 0, 0

u uu u l l

x x

(2.206 a-d)

Calculând derivatele 2 3

2 3

, ,u u u

x x xx x x

din (2.204) şi

introducând expresiile obţinute în (2.206 a-d), obţinem sistemul de două

ecuaţii


51

2 3

2 2 3 3

3 2 3

3 2 3

1 10 0 0

10 0 0

u uu l U kl V kl

x x

u u ul S kl T kl

x x x

(2.207 a,b)

Condiţia ca determinantul acestui sistem de ecuaţii să fie nul

conduce la ecuaţia

0, th tg kl (2.208 a,b)

Primele trei rădăcini ale acestei ecuaţii transcendente sunt

1 2 33,927, 7,069, 10,210 (2.209 a,b)

Celelalte rădăcini se pot calcula aproximativ din

4 1 , 54

r r r

Frecvenţele unghiulare proprii se calculează din formula

2

2, 1,2,...,r r

Dr

l (2.210)

Modurile proprii corespunzătoare frecvenţelor proprii se calculează

din (2.204).

Dacă macromolecula este încastrată la ambele capete, condiţiile la

limită devin

0 0, 0 0, 0, 0u u

u u l lx x

(2.211 a-d)

În mod anolog se obţine ecuaţia

cos 1 0, ch kl (2.212 a,b)

ale cărei prime trei rădăcini sunt


52

1 2 34,730, 7,853, 10,996 (2.213 a-c)

Celelalte rădăcini sunt date de (2.210).

Pentru o macromoleculă încastrată în 0x şi liberă în x l

avem condiţiile la limită

0 0, ' 0 0, '' 0, ''' 0 u u u l u l (2.214 a-d)

Ecuaţia transcendentă este dată de

cos 1 0, ch kl (2.215 a,b)

ale cărei primele trei rădăcini sunt

1 2 31,875, 4,694, 7,855 (2.216 a-c)

Celelalte rădăcini sunt date de (2.210).

Modurile vibraţionale reprezintă de fapt unde staţionare în

macromoleculă. Expresia generală a undei staţionare este dată de (2.201).

Toate punctele macromoleculei vibrează cu o mişcare armonică având

aceeaşi frecvenţă r .

Prin urmare, în cazul neglijării convecţiilor la orice scală,

fenomenele fractale şi cele diferenţiale se condiţionează reciproc. Rezultatul

acestei condiţionări are ca finalitate generarea în macromolecule de unde

staţionare de frecvenţă (2.210). Această relaţie poate fi utilizată în

determinarea structurii spectrelor primare.

Să utilizăm rezultatele anterioare în descrierea dinamicii polimerului

polidimetilfiloxan grefat cu polietilenoxid. Cum lanţul principal

(polidimetilfiloxanul) nu este solubil în solvent, iar catenele (polietilenoxidul)

sunt solubile în solvent, „arhitectura” iniţială (în absenţa vibraţiilor) a

polimerului este de tip pieptene (corpul pieptenului este asimilat lanţului

principal din polidimetilfiloxan, iar dinţii pieptenului catenele din

polietilenoxid). Mişcările vibratorii fac însă ca polimerul să ia formă de ghem


53

cu substructura insolubilă (polidimetilfiloxan) parte centrală a lui şi

substructura solubilă (polietilenoxid) parte exterioară a lui. Aceasta se

realizează prin „mecanismul” de separare a mişcărilor vibratorii pe scalele

de interacţii întrucât unul este spectrul de vibraţii al polidimetilfiloxan

2 11 1 2 1100c k c D l c cm cu

3 2710 , 24 10k N m kg şi altul cel al polietilnoxidului

2 11 1300D l c cm cu 3 271,86 10 , 31 10k N m kg

[14, 22].

Acum, pe baza modelului fractal, comportamentul polimerului în

soluţie este următorul:

i) Mişcarea se separă pe scale de interacţie (cea diferenţială şi cea

fractală);

ii) La scală diferenţială prezenţa câmpului de viteze v are drept

consecinţe modificarea continuă a distribuţiei configuraţiei moleculelor de

polimer. Efectul este acela de a transporta fiecare segment al fiecărei

molecule de polimer împreună cu lichidul;

iii) Mişcarea la scală fractală impune prin câmpul de viteze u mişcări

termice coordonate ale macromoleculelor ceea ce are ca efect faptul că

aceste configuraţii driftează continuu spre distribuţia cea mai probabilă;

iv) Condiţionarea reciprocă a mişcărilor la cele două scale se

realizează prin potenţialul fractal şi are ca finalitate generarea vâscozităţii

interne. Deci, vâscozitatea internă nu este de natură potenţială ci de natură

cinetică prin câmpul de viteze fractale;

v) Mişcarea relativă realizată prin câmpul de viteze v u determină

disiparea energiei aşa încât contribuţia polimerului la partea reală a

vâscozităţii complexe rămâne mare.


54

Capitolul 3

Alte modele în fizica polimerilor.

Aplicaţii ale modelului fractal în fizica polimerilor

3.6 Aplicaţii ale modelului fractal în fizica polimerilor

Vom fundamenta modelul fractal dezvoltat de noi în capitolul doi pe

baza unor aplicaţii în fizica polimerilor. Pentru aceasta vom prezenta mai

întâi modelul de macromoleculă izolată şi rotaţia internă cu bariera (respectiv

groapa) de potenţial.

3.7 Groapa de potenţial în modelul fractal cu aplicaţii în fizica

polimerilor

Întrucât mişcarea de rotaţie este esenţială în cazul polimerilor,

Nottale în [151] dezvoltă pentru mişcarea de rotaţie un formalism similar cu

cel pentru mişcarea de translaţie din [60, 65-70].

Aserţiunea fundamentală este că mişcarea de rotaţie a

macromoleculelor are loc pe curbe continue şi nediferenţiabile, adică pe

curbe fractale. Rezultă ecuaţia de tip Schrödinger [151]

2

0 0

1

2

l

lS iS Ut

(3.138)

şi de aici hidrodinamica fractală, prin separarea părţii reale şi a celei

imaginare conţinute în 0iS Se

2

0

1 1.

2 2

ll l

l

SS S U S E const

t

(3.139)

0l

lt

(3.140)

unde


55

, l l

l lS

(3.141 a,b)

Mărimea l este viteza unghiulară la scală diferenţială,

l sunt

coordonatele unghiulare, U este potenţialul extern, iar 0S o constantă

a cărei expresie o vom preciza ulterior.

Utilizând formalismul anterior să studiem mişcarea de rotaţie a unei

macromolecule în groapa de potenţial din figura 3.10.

Figura 3.10 Groapă de potenţial cu pereţi infiniţi

În acest scop vom utiliza rezultatele din [71, 92].

În starea staţionară densitatea de curent

.c const (3.142)

prin ecuaţia (3.140). Acum condiţiile la limită

0 0a (3.143)

implică valoarea nulă a constantei c. Aşadar, partea reală (diferenţiabilă şi

deterministă) a câmpului complex de viteze unghiulare este nulă,

0 (3.144)

+∞ +∞

0 a θ

U(θ)


56

adică fluidul fractal este coerent (particulele de fluid au prin relaţia (3.141 a)

aceeaşi fază S). Aplicarea relaţiei (3.139) implică

2

2 2

0

20

d E

d S

(3.145)

Vom căuta soluţia ecuaţiei diferenţiale (3.145) sub forma

1/2

2

0

2sin ,

EA k k

S

(3.146 a,b)

Din condiţiile (3.143) rezultă 1 2 3ka n n cu , , ,...

Se găsesc valorile proprii

22

0

2n

S nE

a

(3.147)

respectiv funcţiile proprii

22

sinn

n

a a

(3.148)

Rezultă că partea imaginară (nediferenţiabilă sau fractală şi

stochastică) a câmpului complex de viteze unghiulare este nenulă

00

ln

2

S d n nS ctg

d a a

(3.149)

aşa încât „potenţialul fractal” devine


57

22220 0

2 22 2

0 0

2

2 2 2

1

2 2sin

n

S Sd n nQ ctg

d a a

S Sn n

na a

a

(3.150)

Identitatea relaţiilor (3.147) şi (3.150) specifică faptul că

„observabila” sub forma „energiei” este generată de câmpul fractal de viteze

unghiulare

22

0

2n n

S nE Q

a

(3.151)

Explicitarea lui 2

0 2S se poate face ţinând seama de forma

spectrului de rotaţie al moleculei poliatomice care este determinată de

valoarea momentelor de inerţie , ,A B CI I I raportate la axele principale

, ,A B C .

Pentru molecule liniare se ia în considerare numai unul dintre cele

trei momente de inerţie principale, de exemplu BI . Atunci pentru a de

ordinul unităţii, rezultă identificarea

0

B

SI

(3.152)

astfel încât

22

28n

B

hE n

I (3.153)

Formula uzuală [7, 9]


58

2

21

8I

B

hE J J

I

se obţine din (3.153) pentru 2 1n J J .

Modelul poate descrie comportamentul unei macromolecule într-un

câmp extern de forţe, de exemplu cel indus prin soluţii diluate. Mai mult se

poate analiza şi „interacţia” a două macromolecule. În acest scop să definim

următoarele mărimi:

i) câmpurile de viteze unghiulare reale individuale (la scală

diferenţială)

0 0n n n

,

ii) câmpurile de viteze unghiulare fractale individuale (la scală

nediferenţială)

0

0

n

n n

n nS ctg

a an n n n

S ctga a

iii) potenţialele fractale individuale

22

0

22

0

2

2

n n

n n n n

S nE Q

a

n nSE Q

a

Prin aplicarea procedurii mai sus menţionate rezultă:

i) câmpul de viteze unghiulare reale rezultant (la scală diferenţială)

0R n n n


59

Aceasta înseamnă că la scală macroscopică comportamentul

„structurii” obţinute prin interacţia celor două macromolecule este de tip

suprafluid sau supraconductor;

ii) câmpul de viteze unghiulare fractale rezultant (la scală

nediferenţială)

2

2

0

0

0 0

n n n

R

n n n

S n n nan

n Sa n n n

S Sa a

;

Deci există transfer de impuls doar pe componenta fractală rezultantă;

iii) potenţialul fractal rezultant

2 22

1 1 1 12

nE Q n n n Q n Q n n n Q n n

cu

22

0

1 2

SQ

a

.

Ultima relaţie scrisă sub forma:

2

2

1 0

0 0

1 1

22 2

2

n

n n n nE Q n S

S S

nQ Q

pune în evidenţă timpii caracteristici

0 0

1 1

2 2

2

S ST T

nQ Q ,


60

Acum orice funcţie F n (şi în particular R, n

Q ) a cărui domeniu

este restricţionat la întregii n Z poate fi scrisă ca o sumă finită de

exponenţiale, dacă şi numai dacă este periodică, astfel încât, există un

întreg r cu proprietatea că

F n F n r

pentru orice n. O asemenea sumă finită este numită de obicei serie Fourier

finită [105].

În cazul nostru vom admite identificarea

22expt

F n i nT

Condiţia necesară şi suficientă pentru ca această exponenţială să fie o

funcţie periodică în n este ca raţia tT

să fie raţională, adică

p

t Tq

cu ,p q Z . Se legitimează astfel „rolul” subarmonicelor

1 1q

t p T ,

în procesul de „evoluţie” a unei structuri mixte de tip macromoleculă-

macromoleculă. Aşa încât vom avea, fie „evoluţii” spre haos prin

„suprapunerea rezonanţelor” (suprapunere pe subarmonici), fie „evoluţie”

prin autoorganizare prin „blocarea rezonanţelor” (pentru detalii se pot

consulta referinţele [106 - 121]). Ori în ultima din situaţii, se pot evidenţia noi

mecanisme de transport în structurile polimere [18 - 21] (transport de impuls

unghiular la scală fractală).


61

3.8 Oscilatorul liniar armonic în modelul fractal cu aplicaţii în

fizica polimerilor

Modelul poate mima comportamentul legăturii macromoleculă-

macromoleculă în soluţie (reamintim că în modelul lui Rouse legătura

macromoleculă-macromoleculă se realizează prin forţe elastice [30, 31]). Va

rezulta fie un scenariu de evoluţie spre haos, fie un criteriu de evoluţie spre

autoorganizare.

În acest scop vom utiliza rezultatele originale din [71, 90]. Fie o

macromoleculă de masă m în câmpul de forţe:

2 21

2U x m x x , (3.154)

unde este pulsaţia mişcării.

În stare staţionară, 0t

, densitatea curentului de probabilitate,

j v este constantă prin ecuaţia (2.167 b),

.j x x v x C const (3.155)

De aici, prin condiţiile de frontieră:

0x x (3.156)

rezultă C=0, adică câmpul de viteze v x este nul,

0v x (3.157)

Din (3.157) şi (2.161 b) rezultă că S=const. adică particulele

fluidului fractal sunt în fază (fluid de tip supraconductor sau suprafluid).

Pentru 0t

şi 0v x ecuaţia (2.170) cu resticţiile (3.154) ia

forma


62

222

2 20

22

d Ex

Ddx mD

(3.158)

0x x x ,

sau încă, introducând variabila adimensională:

2

,xD

(3.159)

22

20

d E

mDd

(3.160)

0 ,

O soluţie n există dacă şi numai dacă energia totală

este cuantificată:

1

2 0 1 22

E mD n n

, , , , ... (3.161)

Se găseşte densitatea de probabilitate:

221

4 2 !n nn

H eD n

(3.162)

cu n

H polinoamele lui Hermite de ordinul n.

Acum cu (3.162) se poate construi câmpul de viteze

unidimensional:


63

1

2 2lnn

x

n

Hdu D D n

dx H

(3.163)

respectiv potenţialul fractal:

22

2

2

12 1

2

x x

n

mu dudQ D mD mD n

dxdx

(3.164)

unde am utilizat relaţiile:

1

1 2

2

2 2 1 0

n

n

n n n

dHnH

d

H H n H

(3.165)

Rezultă:

i) există un câmp de viteze nenul, (3.163), generat prin

stochasticizare şi, deci, un transfer de impuls;

ii) Câmpul de viteze (3.163) „controlează”, prin potenţialul fractal

(3.164), „regimurile de curgere” ale unui fluid cuantic;

iii) „observabila” din mecanica cuantică dată sub forma energiei

cuantificate:

1

2n nE Q U mD n

(3.166)

permite implementarea criteriului lui Reynolds, e

R :

c c

e

V LR (3.167)

unde


64

2

42 2

c

c c c c

mVE V L D

m , , (3.168)

cV este o viteză critică de curgere,

cL este o lungime critică prin care are

loc curgerea, iar este un coeficient de „vâscozitate” specific lichidului.

Există o valoare minimă a numărului lui Reynolds, n=0, şi care, prin

notaţiile:

2c c

p mV x L Dm

, , (3.169)

induce relaţia „egalitară” alui Heisenberg:

2

p x

Pentru numere Reynolds mari, n , regimul de curgere al

fluidului devine turbulent. Altfel spus, tranziţia de scală microscopic-

macroscopic poate fi asociată unui scenariu de evoluţie spre haos prin cvasi-

periodicitate (echivalent criteriului Ruelle-Takens) [106 - 121] prin care un

fluid coerent la scală microscopică devine turbulent (incoerent, normal) la

scală macroscopică. Când turbulenţa se blochează, sistemul evoluează spre

autoorganizare.

În acord cu referinţele [18 - 21], modelul poate descrie şi mişcarea

de vibraţie a macromoleculelor. Astfel, admiţând că valoarea constantei

elastice pentru legătura C-H este de ordinul 25 10 N m şi folosind formula

de calcul a lungimii de undă

1 1 1

2 2

k

c c

unde este masa redusă a celor doi atomi,


65

H C

H C

m m

m m

cu 27 271,64 10 , 19,8 10H Cm kg m kg se obţine valoarea de

13040cm, comparabilă cu valorile

1 12850 2960cm cm , înregistrate

pentru grupele CH, CH2, CH3 din alcani. Diferenţele sunt explicate prin

simplificările aduse modului real de vibraţie (neglijarea influenţelor grupelor

atomice adiacente). Mai mult, deşi la scală macroscopică nu există transfer

de impuls, totuşi, la scală microscopică, poate exista un asemenea transfer

pe componenta fractală (cea de vibraţie) între macromolecule.

3.9 Particula liberă în modelul fractal cu aplicaţii în fizica

polimerilor. Statistica macromoleculei izolate

Pentru aceasta vom utiliza rezultatele originale din [71, 92]. În cazul

unidimensional ecuaţiile (2.163 a,b) şi (2.164) devin:

22

2

12

v vm v mD

t x x x

(3.170)

0vt x

(3.171)

Starea iniţială a macromoleculei (sau a unei unităţi structurale) este

specificată atât prin viteza

0, .v x t c const (3.172)

cât şi prin distribuţia gaussiană de poziţie (distribuţie după parametrul )

2

0

10,

x

x t e x

(3.173)


66

unde poate corespunde unei lungimi specifice a macromoleculei aşa cum

vom arăta mai târziu.

Aşadar la momentul t=0 centrul distribuţiei x este în 0

0x şi are

viteza 0

v c .

Condiţiile de frontieră sunt date prin relaţiile:

,v x ct t c (3.174)

0, ,x t x t (3.175)

Atunci, în acord cu metoda din [92], soluţiile sistemului (3.170), (3.171) cu

restricţiile (3.172) – (3.175) au expresiile:

2

22

22

1

22

, expx ct

x t

DD tt

(3.176)

2

2

2

2

2

2

Dc tx

v

Dt

(3.177)

Relaţiile (3.176) şi (3.177) descriu mişcarea liberă a particulei la scală

diferenţială.

La scală nediferenţială viteza particulei este:


67

2

2

2

2

ln,

x ctu x t D D

x Dt

(3.178)

şi generează potenţialul fractal

2

22 2

2 22

22

12 2

2 22

x ctmu uQ mD mD mD

x DD tt

(3.179)

respectiv forţa fractală

2

2

22

2

4

2

x ctQF mD

xD

t

(3.180)

Utilizând coordonatele adimensionale:

x

t , (3.181 a,b)

şi parametrii adimensionali

2 22D

, (3.182 a,b)

viteza normalizată la scală diferenţială are expresia

2 2

2 2 2

,,

vv

c

(3.183)


68

- vezi figura 3.11, viteza normalizată fractală:

Figura 3.11 Viteza normalizata la scala diferenţială

02 2 20

2u Du u

u

,, , (3.184)

- vezi figura 3.12, respectiv forţa fractală normalizată

Figura 3.12 Viteza fractală normalizată

2

02 32 2 20

4F mDF F

F

,

, , (3.185)


69

Figura 3.13 Forţa fractală normalizată

- vezi figura 3.13.

Aşadar, în timp ce mişcarea observabilă este uniformă v c ,

mişcările asociate atât la scală diferenţială (vezi relaţia (3.177)), cât şi la

scală nediferenţială (vezi relaţia (3.178)) sunt neomogene în x şi t sub

acţiunea forţei (3.180).

Forţele fractale în semispaţiul x x şi x x cu

.x const se compensează reciproc

x x

x x

dv dvm m

dt dt

(3.186)

Aceasta înseamnă că macromolecula în mişcare liberă polarizează

simultan „vidul” („mediul” indus de toate unităţile structurale mai puţin cea

care suportă „polarizarea”) înapoia lui x ct şi în faţa x ct , de o

asemenea manieră încât forţa rezultantă prezintă o distribuţie simetrică în

raport cu planul ce conţine poziţia macromoleculei observabile x ct la

orice moment de timp t. Prezenţa unei perturbaţii induce însă o asimetrie în


70

raport cu planul care conţine poziţia macromoleculei observabile aşa încât

mişcarea macromoleculei nu mai este uniformă la orice moment de timp.

În acest fel se poate fundamenta modelul lanţului Gaussian în fizica

polimerilor [18, 21] prin aproximaţia fractală a mişcării.

În ceea ce am prezentat anterior a rezultat că fractalitatea este

acoperită total de stocasticitate.

Acum vom caracteriza macromolecula prin mărimile specifice: i)

probabilitatea ca sfârşitul ultimului segment al unei catene cu Z segmente să

se afle în domeniul ,x x dx la momentul t x c

2

22

00

00

1, , exp

4422

x ctx t Z

DtDt D ZD ZD ZD Z

(3.208)

ii) viteza la scală diferenţială

2

0

0

2

0

0

42

, ,

42

Dtc D Z tx

D Zv x t Z

DtD Z

D Z

(3.209)

iii) viteza la scală microscopică

2

0

0

, , 2

42

x ctu x t Z D

DtD Z

D Z

(3.210)


71

iv) forţa fractală

2

2

0

0

, , 4

42

x ctF x t Z mD

DtD Z

D Z

(3.211)

În relaţiile anterioare 0D reprezintă valoarea medie pătratică a

incrementului proiecţiei catenei la creşterea ei cu un segment, iar Z

reprezintă numărul de segmente ale unei catene..

3.10 Tipuri de dinamici în modelul fractal cu aplicaţii în fizica

polimerilor

Modelul fractal poate mima nu numai un tip de dinamică a unităţii

structurale etc. prin mişcarea Browniană ci şi cinetica de eliberare a

medicamentelor din matricea polimerică prin difuzie Fickiană sau ne-

Fickiană.

În acest scop vom utiliza rezultatele originale din [71, 93].

Vom rescrie mai întâi operatorul fractal (2.134) cu 02D D sub

forma

ˆiD

t t

V (3.212)

Aplicată funcţiei fractale arbitrare , ,F t dtx se obţine „legea de

conservare”

ˆF FF iD F

t t

V (3.213)

sau încă, prin separarea părţii reale de cea imaginară


72

0, F

F F D Ft

v u (3.214 a,b)

În consecinţă, la scală diferenţială, variaţia temporală Ft

şi

termenul convectiv , F v , se compensează reciproc în timp ce la scală

nediferenţială, termenul convectiv, F u şi cel disipativ, D F îşi fac

echilibrul.

Din sumarea relaţiilor (3.214 a,b) se găseşte ecuaţia

F

F D Ft

v u (3.215)

Ecuaţia uzuală de tip difuzie se obţine pentru v u , adică prin

sincronizarea mişcărilor la cele două scale. Se găseşte

F

D Ft

(3.216)

De aici, utilizând procedura din [18-21], şi considerând că F C , unde C

este câmpul de concentraţie, se stabileşte corelaţia cu mişcarea Browniană

şi deci cu un anumit tip de dinamică a unităţii structurate etc.

Ecuaţia (3.216) este compatibilă cu legea de difuzie de tip Fick:

F j

unde j este densitatea de curent, F gradientul mărimii F şi un

coeficient de transport. Un asemenea rezultat este foarte important în

cinetica de eliberare a medicamentelor din matricea polimerică.

Procesele de eliberare implicate în acest proces sunt guvernate de

difuzie Fickiană, transport anormal sau difuzie ne-Fickiană. Dintre toate trei

se pare că primul fenomen bazat pe legea difuziei a lui Fick este considerat

ca fiind modelul ce se potriveşte cel mai bine cu aplicaţiile practice. Datorită

matematicii foarte complicate implicate, majoritatea modelelor sunt limitate la


73

geometrii simple ale dispozitivelor cum ar fi cea plană, cilindrică, sferică sau

elipsoidală.

Cea mai frecventă şi uşor de utilizat ecuaţie ce descrie procesele

implicate în eliberarea controlată de medicamente este ecuaţia lui Peppas,

întâlnită şi sub numele de legea puterii [152, 153]:

ntMkt

M

unde tM este cantitatea de medicament acumulată după un timp t ,

M este cantitatea de medicament acumulată după un interval de timp

foarte mare, k este constanta ce ţine cont de caracteristicile structurale de

încorporare a medicamentului şi de geometria sistemului şi n este

exponentul de eliberare.

Valoarea exponentului n din ecuaţia lui Peppas depinde de

geometria sistemului de eliberare de medicamente şi dă informaţii cu privire

la mecanismul de eliberare ce are loc. În tabelul 3.1 sunt date valorile lui n

pentru diferite geometrii ale sistemului de eliberare.

Tabelul 3.1: Valoarea exponentului n din ecuaţia lui Peppas şi

mecanismele de eliberare controlată pentru diferite geometrii (după [152,

153]).

Valoarea exponentului n

Filme subţiri Geometrie

cilindrică

Geometrie

sferică

Mecanismul de

eliberare

0.5 0.45 0.43 Difuzie Fickiană

0.5 < n < 1.0 0.45 < n < 0.89 0.43 < n < 0.85 Transport anormal

1.0 0.89 0.85 Hidratarea

polimerului


74

Transportul anormal implică suprapunerea mai multor fenomene ce

au loc la eliberarea medicamentului inclusiv difuzie, hidratarea matricei

polimere, dizolvarea acesteia, relaxarea lanţurilor polimere şi eliberarea

medicamentului.

Legea lui Peppas în prezentul context se poate obţine din ecuaţia

fractalului (2.125) conform metodei din [154]. Atunci, n este pus în

corespondenţă cu dimensiunea fractală FD şi deci, cu tipul de curbă

fractală. În acord cu cinetica de eliberare a medicamentelor din matricea

polimerică vom avea deci trei tipuri de curbe fractale corespunzătoare celor

trei tipuri de mecanisme de eliberare (difuzie Fickiana, transport anormal şi

hidratarea polimerului).

Capitolul 4

Analiza comportamentului reţelelor generalizate de polimeri

4.5 Aspecte teoretice ale dinamicii plasmelor generate prin

ablaţia ţintelor polimerice cu fascicul laser

4.5.1 Rezultate experimentale

Experimental [126], plasma a fost generată prin ablaţia unei ţinte

copolimerice (de tip polistiren – poli4-vinilpiridine asupra structurii chimice se

poate consulta [127]) pe baza unui puls de radiaţie laser (Nd: YAG de 532

nm). Energia pulsului este cuprinsă în intervalul (10-80 mJ). Lungimea

temporală a pulsului este de 10 ns şi este focalizată de o lentilă cu distanţa

focală f=25 cm la incidenţă normală pe ţinta plasată într-o cameră vidată (cu

presiunea p<10-6

tori). Se obţine un spot la impact de diametru de ordinul

300 𝜇m. Formarea şi dinamica plasmei explozive au fost analizate în

principal cu ajutorul unei camere performante (CCDE –PI MAX, 576x384, cu

interval de declanşare 20 ns) plasată perpendicular de direcţia de

expansiune. În [126] este prezentată expansiunea plasmei de bloc

copolimerice în timp pentru un puls laser cu energia de 40mJ. Imaginile


75

indică generarea a două structuri de plasmă. Analiz indica următoarele: i) În

intervalul de timp (10-50)ns după pulsul laser, „regiunea” vizibilă a plasmei

este practic staţionară şi este formată din două structuri distincte, fiecare cu

zone de emisie maximă; ii) Prin măsurarea poziţiilor de emisivitate maximă

la diferite momente de timp, rezultă o dependenţă liniară. Folosind aceste

date s-a calculat viteza de deplasare a acestor structuri

4

1 4,66 10v m s , pentru prima formaţiune şi 3

1 6,9 10v m s

pentru cea de a doua formaţiune.

Pentru a confirma rezultatele experimentale, au fost efectuate

măsurători adiţionale electrice utilizând o sondă Langmuir cilindrică (din inox

cu 5 mm lungime şi 0,8 mm în diametru), polarizată la -30V şi plasată la

distanţe diferite de plasma generată. Curentul ionic prin sondă arată două

structuri de plasmă prin evidenţierea a două maxime la intervale de timp de

sosire diferite.

Mai mult utilizând aceste valori temporale şi luând în consideraţie

poziţia sondei se obţin vitezele care corespund valorilor calculate anterior.

Împărţirea plasmei în două componente, una fiind mai lentă, iar cealaltă mai

rapidă este semnalată în mai multe articole (de exemplu vezi [128, 129]) ca

efect al presiunii foarte înalte din mediul exterior. Această împărţire se poate

observa pentru toate speciile de ioni [130]. Efectul poate fi descris utilizând

fenomenul jetului de gaz supersonic expandat [130], iar formarea celor două

structuri bine localizate are ca posibilă explicaţie existenţa structurilor de tip

strat dublu din plasmă. Experimentul [126] arată că şi la presiuni joase se

realizează divizarea plasmei în două structuri. Mai mult fenomenul are loc,

deoarece a doua structură de plasmă a formei de „ciupercă” se dilată în

atmosfera generată de substanţa anterior evaporată în urma interacţiunii

laser-ţintă.

4.5.2 Modelul matematic

Modelarea noastră numerică confirmă că „ruperea” plasmei poate fi

explicată în termenii modelului fractal – vezi lucrările [71, 91, 93]. Astfel,


76

interacţiunea cu radiaţia laser implică mai întâi “căderea” vaporilor iniţiali şi

apoi absorbţia radiaţiei laser de către aceştia având ca finalitate faptul că

radiaţia laser nu mai “cade” pe suprafaţa ţintă cu aceeaşi intensitate. În

acest caz, putem considera că la nivelul suprafeţei ţintă se formează un strat

subţire de plasmă care practic are o viteză de deplasare mică. O astfel de

plasmă poate fi caracterizată printr-o distribuţie de densitate spaţio-

temporală care este strict conectată cu profilul spaţio-temporal al laserului.

Să multiplicăm ecuaţia (2.163 b) cu funcţia fractală ε, ceea ce implică

t t

v v (4.194)

Ţinând seama că

0t

v

legea de conservare a mărimii ε ia forma:

0t

v (4.195)

În particular, dacă ε este densitatea de energie a fluidului fractal [132]

2

2

pe

v (4.196)

unde e este densitatea de energie internă, p presiunea de fluid şi

2

2v densitatea de energie cinetică, ecuaţia (4.195) reprezintă legea de

conservare a energiei.

În aceste condiţii comportamentul convectiv al unei plasme de

ablaţie se obţine prin integrarea numerică a sistemului de ecuaţii (2.163 a,b)

cu


77

p

Q

adică sistemul de ecuaţii al hidrodinamicii fractale

p

mt

vv v (4.197)

0t

v (4.198)

completat cu legea de conservare a energiei sub forma

pt

v v (4.199)

Plasma de expansiune are simetrie axială şi este analizată într-un

sistem de coordonate cilindrice în „regiunea” de deasupra suprafeţei ţintă

(Figura 4.11). Axa Oz coincide cu axa razei laser şi este îndreptată de-a

lungul normalei exterioare la suprafaţa ţintei, iar axa Or este în lungul

suprafeţei ţintei. Evoluţia plasmei satisface următoarele ipoteze: i) plasma

este în echilibru termodinamic local şi satisface condiţia de cvasineutralitate;

ii) expansiunea este descrisă în aproximaţia unui gaz nevâscos şi netermo-

conductiv; iii) energia disipată prin radiaţie termică este neglijabilă aşa încât

putem considera ecuaţia de stare a gazului ideal; iv) termenul sursă este

introdus prin condiţii la limită.

În aceste circumstanţe dinamica bidimensională a gazului de

plasmă este descrisă de ecuaţiile (4.197), (4.198) şi (4.199) scrise sub

formele


78

2

2

10

1

1

1 1

nrnu nv

t r r z

nu prnu nuv

t r r z r

nv prnuv nv

t r r z z

ne ru vrnue nve p

t r r z r r z

(4.200 a-d)

unde t este timpul, r şi z sunt coordonatele spaţiale, n densitatea atomilor, u

şi v componentele vectorului viteză. Pentru integrarea numerică vom folosi

următoarele condiţii iniţiale şi la limită: i) domeniul de integrare de tip „cutie”

este umplut cu un gaz neperturbat,

0

0

0 : 0,

, 0 r z

t u v n n

T T r z L L

(4.201)

unde T este temperatura;

ii) interacţiunea razei laser cu ţinta produce o sursă de plasmă localizată pe

suprafaţa ţintei, ce se presupune a avea un profil spaţio-temporal gaussian

2 2

max

: 0,

2exp exp

2 2

plasma

r

L L

z v u v T T

Lrt

n nd

(4.202)

unde Ld este diametrul , L este pulsul fascicolului laser şi

1.18plasmaT eV este temperatura iniţială a plasmei. Facem observaţia


79

că pentru plasmele de ablaţie induse de ţinte metalice temperatura iniţială a

plasmei este 10eV .

Precizăm că ablaţia are loc doar într-o regiune cu un diametru de

aproximativ 100𝜇m, adică dimensiunea medie a unei reţele generalizate de

polimeri. Densitatea maximă a atomilor maxn este luată în acord cu

densitatea critică a electronilor 20 3

ec.n 2 10 128cm pentru o

lungime de undă a laserului de λ=532 nm şi o densitate medie a sarcinii

ionice 1z [129]. Facem observaţia că pentru ţinte metalice densitatea

critică a electronilor este 21 3

ec.n 10 cm şi densitatea medie de sarcină

2z .

i) Condiţiile de simetrie impun relaţiile

0, : 0 , 0

0 , 0

r r r

r r

r L u u L v v L

n n L T T L

(4.203)

iar neperturbarea plasmei gazoase, condiţiile la limită:

0 0: 0, , zz L u v n n T T (4.204)

Sistemul de ecuaţii (4.200 a-d) cu condiţiile (4.201) – (4.204) este

rezolvat numeric utilizând diferenţele finite şi următorii parametri:

20 3

max300 , 10 , 100 , 1,95 10 , r y L LL L m ns d m n cm

3

0 max 010 , 0,01n n T eV .

În Figurile 4.12 a-l sunt prezentate curbele bidimensionale de

contur ale densităţii totale a atomilor pentru momentele de timp t=6 ns (a) -

t=17 ns (l) aşa cum rezultă din simulările numerice. Se observă că zona

centrală a plasmei este divizată în două structuri şi mai mult, forma de

ciupercă şi mişcarea de tip vortex apare la marginea structurilor de plasmă

(instabilitatea Rayleigh-Taylor [132]).


80

r

z

Lr

Lz

Ţintă

Radiaţie laser

Plasma iniţială

Gaz neperturbat

0

Figura 4.11 Domeniul de integrare utilizat în simularea numerică a

plasmei de ablaţie

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002

0

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002

0

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

a) t=6ns b) t=7 ns


81

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002

0

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002

0

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002

0

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002

0

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002

0

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002

0

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

c) t=8ns d) t=9ns

e) t=10 ns f) t=11 ns

g) t=12ns h) t=13 ns


82

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002

0

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002

0

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002

0

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

0 0.00005 0.0001 0.00015 0.0002

0

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

z (m)

1017 cm-3 n

T

1020 cm-3

r (m)

i) t=14s j) t=15s

k) t=16ns l) t=17ns

Figura 4.12 a-l Curbele bidimensionale de contur ale densităţii

totale a atomilor pentru diverse momente de timp rezultate prin simularea

numerică a sistemului de ecuaţii (4.200 a-d).


83

Rezultatele noastre pentru ţinte copolimerice se diferenţiază total

de cele din [116] pentru ţinte metalice. Diferenţierile sunt legate de

concentraţii maxime ale electronilor, temperaturile maxime ale electronilor,

densităţile medii de sarcină, viteze ale plumelor, etc. etc.

4.6 Comportamentul hidrodinamic al fluidelor fractale cu

aplicaţii în fizica polimerilor

Să studiem propagarea unei perturbaţii în concentraţie într-o soluţie

polimerică. Pentru aceasta vom asimila soluţia polimerică cu un fluid fractal

descris de ecuaţiile hidrodinamicii fractale. În coordonatele plane (x,y)

ecuaţiile (2.163) cu condiţionarea Q p iau forma:

0x y

nnv nv

t x y

(4.205)

2

x x x y

pnv nv nv v

t x y x

(4.206)

2

y x y y

pnv nv v nv

t x y y

(4.207)

unde am considerat

nm (4.208)

Introducând coordonatele adimensionale

0

, ,

, , x x y y

t t kx x ky y

v k v v k v n n n

(4.209 a-f)

şi admiţând că variaţia presiunii este dată doar de variaţia de concentraţie

(considerăm că procesul este izoterm), adică

Bp k T n (4.210)


84

ecuaţiile (4.205)- (4.207) devin

0x y

nn v n v

t x y

(4.211)

2 x x x y

nn v n v n v v

t x y x

(4.212)

2 y x y y

nn v n v v n v

t x y y

(4.213)

În expresiile (4.212) şi (4.213) am utilizat relaţia de scalare (pentru unitatea

de masă)

2 2 1Bk Tk (4.214)

Fluidul fractal are „simetrie” carteziană şi este analizată într-un

sistem de coordonate normalizate. Evoluţia fluidului fractal satisface

următoarele ipoteze: i) el este în echilibru termodinamic local şi satisface

condiţia de cvasineutralitate; ii) evoluţia perturbaţiei este descrisă în

aproximaţia unui fluid nevâscos şi netermoconductiv de ecuaţiile normalizate

(4.211) - (4.213); iii) energia disipată prin radiaţie termică este neglijabilă aşa

încât putem considera funcţionabilă ecuaţia de stare a fluidului ideal; iv)

termenul sursă este introdus prin condiţii la limită.

Pentru integrare numerică vom impune condiţiile iniţiale:

0

0, , 0, 0, , 0, 0, , 1 4

., 0 1 1

x yv x y v x y n x y

T T const x y

(4.215 a-e)

şi condiţiile pe frontieră:


85

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 2

,0, 0, ,1, 0, ,0, 0, ,1, 0,

,0, 1 4, ,1, 1 4

, ,0 0, , ,1 0, , ,0 0, , ,1 0,

1 2 1 2, ,0 exp exp

1 4 1 4

, ,1 1 4

x x y y

x x y y

v t y v t y v t y v t y

n t y n t y

v t x v t x v t x v t x

t xn t x

n t x

(4.216 a-l)

Se observă că profilul spaţio-temporal iniţial în concentraţie este

gaussian. Sistemul (4.211)-(4.213) cu condiţiile iniţiale (4.215 a-e) şi

condiţiile de frontieră (4.216 a-l) a fost integrat numeric utilizând diferenţele

finite [131]. Prezentăm în Figura 4.13 a-j curbele bidimensionale de contur

ale densităţii normalizate pentru momentele normalizate de timp

1 2 , 1 3 , 2 3 , 1 4 , 2 4 ,t a t b t c t d t e

3 4 , 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5t f t g t h t i t j

,

iar în figurile 4.14 a-j şi 4.15 a-j curbele bidimensionale de contur ale vitezei

normalizate xv , respectiv yv pentru aceleaşi momente de timp.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(a) 1 2t (b) 1 3t


86

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(c) 2 3t (d) 1 4t

(e) 2 4t (f) 3 4t

(g) 1 5t (h) 2 5t


87

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(i) 3 5t (j) 4 5t

Figura 4.13 a-j Curbele bidimensionale de contur ale densităţii normalizate

pentru diverse momente de timp normalizate rezultate prin simularea

numerică a sistemului de ecuaţii (4.211)-(4.213)

(a) 1 2t (b) 1 3t

y

1 4 n

1

x


88

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(c) 2 3t (d) 1 4t

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(e) 2 4t (f) 3 4t

(g) 1 5t (h) 2 5t


89

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(i) 3 5t (j) 4 5t

Figura 4.14 a-j Curbele bidimensionale de contur ale vitezei normalizate xv



(a) 1 2t (b) 1 3t

y

1 4

xv

1

x


90

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(c) 2 3t (d) 1 4t

(e) 2 4t (f) 3 4t

(g) 1 5t (h) 2 5t


91

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

i) 3 5t (j) 4 5t

Figura 4.15 a-j Curbele bidimensionale de contur ale vitezei normalizate yv



Prezenţa „picurilor” atât în concentraţia normalizată cât şi vitezele

normalizate specifică fie evoluţia spre haos a ”structurii” prin intermitenţe

asociate unor bifurcaţii, fie evoluţia spre autoorganizare prin blocarea

haosului. Blocarea haosului şi generarea unor autostructuri în soluţiile

polimerice specifică noi mecanisme de transport, de exemplu transportul prin

autostructuri (pentru detalii se pot consulta referinţele [20, 103, 104]). În

acest fel anomalia termică a polimerilor poate fi explicată, de exemplu pe

y

1 4

yv 1

x


92

baza unor mecanisme fundamentate prin autostructurarea soluţiilor

polimerice (generarea de clusteri etc. [20, 103, 104])

4.7 Comportamentul conductiv al fluidelor fractale cu aplicaţii

în fizica polimerilor

Pentru mişcări sincrone la scală diferenţială şi fractală, adică

v u , ecuaţia de transfer termic în fluide fractale

ˆ0

T TT iD T

t t

V (4.217)

ia forma standard

T

D Tt

(4.218)

Să studiem acum propagarea unei perturbaţii termice într-un fluid

fractal presupunând următoarele: i) fluidul fractal este local în echilibru

termodinamic; ii) propagarea perturbaţiei este descrisă de ecuaţia (4.218)

care în coordonatele normate

0, , , t t kx x ky y T T T (4.219 a-d)

ia forma

2 2 2

2 2, 1

T T T k D

t x y

(4.220 a,b)

iii) Termenul „sursă” este introdus prin condiţiile la limită.

Pentru integrarea numerică vom impune condiţiile iniţiale

1

0, , ,0 1 14

T x y x y (4.221 a,b)

şi cele la limită


93

1 1

,0, , ,1,4 4

T t y T t y (4.222 a-d)

2 2

1 4 1 4, ,0 exp exp , , ,1 1 4

1 4 1 4

t xT t x T t x

Să observăm că perturbaţia în temperatură are un profil spaţio-

temporal gaussian. În plus, dacă conducţia are loc în prezenţa unui perete,

condiţia suplimentară este

, ,1 0T

t xy

(4.223)

Prezentăm în figurile 4.16 a-j şi 4.17 a-j curbele bidimensionale de

egală temperatură normalizată pentru momentele normalizate de timp

1 10 1t a t j în absenţa peretelui respectiv în prezenţa lui.

Rezultă următoarele: i) perturbaţia de temperatură dispare prin “difuzie”; ii

prezenţa peretelui “regenerează” perturbaţia termică.

Perturbaţia în temperatură se stinge datorită proporţiilor reologice

ale soluţiilor polimerice. Dimpotrivă, cuplajul catenar regenerează perturbaţia

termică.

y

1 4 n

1

x


94

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figurile 4.16 a-j Curbele bidimensionale de contur ale temperaturii

normalizate pentru diverse moment de timp normalizate în absenţa peretelui

a) 1 10t b) 2 10t

c) 3 10t d) 4 10t

e) 5 10t f) 6 10t

g) 7 10t h) 8 10t

i) 9 10t j) 1t


95

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figurile 4.17 a-j Curbele bidimensionale de contur ale temperaturii

normalizate pentru diverse moment de timp normalizateîn prezenţa peretelui

a) 1 10t b) 2 10t

c) 3 10t d) 4 10t

e) 5 10t f) 6 10t

g) 7 10t h) 8 10t

i) 9 10t j) 1t


96

Concluzii

Principalele concluzii originale ale prezentei teze de doctorat sunt

următoarele:

2.1) Se face o analiză critică a utilizării conceptului de fractal în

fizica polimerilor (matricea de conectivitate ceea ce are ca efect atât

morfogeneza structurilor polimerice cât şi o ierarhizare a structurilor;

dependenţa unor proprietăţi specifice fractalilor ca dimensiunea fractală de

temperatură, concentraţie etc.). Acest concept lipseşte însă din dinamica

polimerului (ecuaţia de mişcare, de transport, etc.);

2.2) Se construieşte modelul fractal în fizica polimerilor

presupunând că mişcările (translaţii, rotaţii etc.) unităţilor structurale au loc

pe curbe continue şi nediferenţiabile (curbe fractale cu dimensiunea fractală

FD ). Rezultă că dinamicile globale ale polimerului pot fi asociate cu cele

ale unui fluid fractal descris de ecuaţii de tip Navier-Stokes cu coeficienţi de

vâscozitate imaginari pentru câmpuri complexe de viteze. Partea reală a

câmpului complex de viteze este diferenţiabilă (deterministă şi independentă

de scală), iar partea imaginară este nediferenţiabilă (fractală şi dependentă

de scală). Se statuează în acest fel comportamentul reologic (vâscoelastic

sau histeretic) al fluidului fractal şi deci al polimerului aşa cum se întâmplă şi

în realitate. În acest context se arată că coeficienţii de structură ai

polimerului sunt mărimi complexe (modulul de elasticitate etc.);

2.3) Se obţine un model fractal ce are ca finalitate dependenţa

frecării interne cu temperatura atât pentru compozitele cu matrice polimerică

cât şi pentru aliajele cu memoria formei. Din analiza modelului a rezultat că:

i) relaţia (2.153) descrie calitativ, bine dependenţa capacităţii de disipare de

temperatura redusă- Figura 2.6 a,b atât pentru aliajele cu memoria formei

cât şi pentru materialele compozite cu matrice polimerică; ii) există o

temperatură critică, notată cu D

T , la care capacitatea de disipare are

valoarea maximă. Pentru aliajele cu memoria formei această temperatură

este cea corespunzătoare „tranziţiei de fază” martensită-austenită la

concentraţii egale de fază. Pentru compozitele cu matrice polimerică

temperatura critică corespunzătoare „tranziţiei de fază” este impusă prin

concentraţia fazei de ramforsare; iii) faptul că în experimentele noastre,

frecarea internă pentru aliajele cu memoria formei este mai mare comparativ

cu cea a compoziţiei cu matrice polimerică poate fi specificată de modelul

teoretic prin valoarea lui , astfel încât a aliajelor cu memoria formei >

a materialelor compozite cu matrici polimerice; iv) curbele teoretice sunt


97

simetrice în raport cu asimptota verticală 1t . Modelul nu explică însă

asimetria curbelor experimentale (asimetria martensită-austenită ca în cazul

aliajelor cu memoria formei, sau cea matrice polimerică – faza de ramforsare

ca în cazul compozitelor cu matrice polimerică).

2.4) Mişcărilor rotaţionale ale fluidului fractal implică ecuaţii de tip

Schrödinger. Mai mult energiile globale ale fluidului fractal sunt funcţii

complexe ceea ce implică comportament reologic pentru polimeri;

2.5) Modelul fractal hidrodinamic specifică faptul că vâscozitatea

intrinsecă a polimerului este generată de potenţialul fractal. Într-un

asemenea context rezultă atât relaţia dintre masa moleculară a x unităţi

monomerice şi densitatea polimerului în raport cu concentraţia polimerului

cât şi dependenţa de temperatură a coeficientului de vâscozitate pentru

soluţii concentrate de polimer. Ultima dependenţă descrie calitativ „curbele”

experimentale pentru poliacetatul de vinil sau poliizobutilenă;

2.6) Se arată că neglijând convecţia, în dinamica globală a unui

fluid fractal câmpul de viteze fractal „modulează” câmpul de viteze

macroscopic. Mai mult, separarea mişcărilor pe scale de interacţie, descrise

prin acelaşi tipuri de ecuaţii din teoria plăcilor subţiri pentru deformaţii mari,

specifică faptul că în polimeri apar unde staţionare cu frecvenţe dependente

de caracteristicile polimerului. Se exemplifică teoria pe dinamica polimerului

polidimetilfiloxan grefat cu polietilenoxid.

2.7) Mişcarea se separă pe scale de interacţie (cea diferenţială şi

cea fractală). La scală diferenţială prezenţa câmpului de viteze v are drept

consecinţă modificarea continuă a distribuţiei configuraţiei moleculelor de

polimer. Efectul este acela de a transporta fiecare segment al fiecărei

molecule de polimer împreună cu lichidul. Mişcarea la scală fractală impune

prin câmpul de viteze u mişcări termice coordonate ale macromoleculelor

ceea ce are ca efect faptul că aceste configuraţii driftează continuu spre

distribuţia cea mai probabilă. Condiţionarea reciprocă a mişcărilor la cele

două scale se realizează prin potenţialul fractal şi are ca finalitate generarea

vâscozităţii interne. Mişcarea relativă realizată prin câmpul de viteze

v u determină disiparea energiei aşa încât contribuţia polimerului la

partea reală a vâscozităţii complexe rămâne mare.

Partea originală a capitolului doi se referă la fundamentarea

modelului fractal în fizica polimerului pe baza unor aplicaţii. Rezultă:

3.1) Se introduce modelul macromoleculei ideal izolate şi se

specifică modul în care sunt generate barierele (gropile) de potenţial. În

acest context se studiază groapa de potenţial în modelul fractal utilizând


98

modelul hidrodinamic fractal a lui Nottale considerând că mişcarea de rotaţie

este esenţială în cazul polimerilor. A rezultat faptul că modelul poate descrie

atât comportamentul unei unităţi structurale într-un câmp extern de forţe, de

exemplu, cel indus prin soluţii diluate, cât şi acela rezultat din interacţia a

două unităţi structurale. În ultima din situaţii la scală macroscopică

comportamentul „structurii” obţinute prin interacţia celor două unităţi

structurale este de tip suprafluid sau supraconductor, nu există transfer de

impuls la scală macroscopică, dar există transfer de impuls la scală fractală.

Mai mult, se legitimează „rolul” subarmonicelor în procesul de „evoluţie” a

unei structuri mixte de tip unitate structurală – unitate structurală. Aşa încât

vom avea, fie „evoluţii” spre haos prin „suprapunerea rezonanţelor”

(suprapunere pe subarmonici), fie „evoluţie” prin autoorganizare prin

„blocarea rezonanţelor”. Ori în ultima din situaţii, se pot evidenţia noi

mecanisme de transport în structurile polimere. Pentru modelele liniare se

obţine expresia energiei.

3.2) Având în vedere rolul esenţial al forţelor elastice în

fundamentarea modelului lui Rouse, s-a studiat oscilatorul liniar armonic în

modelul fractal. Din model rezultă că: la scală macroscopică nu există

transfer de impuls între unităţile structurale, dar la scală microscopică există

un câmp de viteze nenul (3.163), generat prin stochasticizare şi, deci, un

transfer de impuls. Câmpul de viteze (3.163) „controlează”, prin potenţialul

fractal (3.164), „regimurile de curgere” ale unui fluid fractal. „Observabila” din

mecanica cuantică dată sub forma energiei cuantificate (3.166) permite

implementarea criteriului lui Reynolds, (3.167). Există o valoare minimă a

numărului lui Reynolds, care induce relaţia „egalitară” a lui Heisenberg.

Pentru numere Reynolds mari, n , regimul de curgere al fluidului

devine turbulent. Altfel spus, tranziţia de scală microscopic-macroscopic

poate fi asociată unui scenariu de evoluţie spre haos prin cvasi-periodicitate

(echivalent criteriului Ruelle-Takens) prin care un fluid coerent la scală

microscopică devine turbulent (incoerent, normal) la scală macroscopică.

Modelul poate descrie şi mişcarea de vibraţie a unităţii structurale. Atunci,

deşi la scală macroscopică nu există transfer de impuls, totuşi, la scală

microscopică, poate exista un asemenea transfer pe componenta fractală

între unităţile structurale. Se explicitează modelul pentru cazul legăturii C-H;

3.3) Din studiul particulei libere în hidrodinamica fractală se

fundamentează modelul lanţului Gaussian în fizica polimerilor. Din model a

rezultat că în timp ce mişcarea observabilă a unei unităţi structurale este

uniformă, mişcările asociate atât la scală diferenţială (3. 177), cât şi la scală

nediferenţială (3.178) sunt neomogene în x şi t sub acţiunea forţei (3.180).


99

Forţele fractale se compensează reciproc datorită simetriei mişcării.

Aceasta înseamnă că unitatea structurală în mişcare liberă (în soluţii diluate)

polarizează simultan „vidul”, de o asemenea manieră încât forţa rezultantă

prezintă o distribuţie simetrică în raport cu planul ce conţine poziţia unităţii

structurale observabile la orice moment de timp t.

Rolul fractalităţii este exemplificat prin calcularea dimensiunilor

macromoleculei. În acest context se generalizează şi modelul lanţului

Gaussian;

3.4) Se arată că mişcarea Browniană esenţială în dinamica

polimerilor, se obţine prin sincronizarea mişcărilor la cele două scale

(diferenţială şi nediferenţială). În acelaşi context se obţine legea de difuzie a

lui Fick şi se studiază cinetica de eliberare a unui medicament din matricea

polimerică. Se specifică importanţa fractalităţii într-un asemenea proces.

Partea originală a capitolului al patrulea se referă la analiza

comportamentului reţelelor generalizate de polimeri prin studiul interacţiei

ţintă polimerică-fascicul laser, transport de tip convectiv şi conductiv. Astfel:

4.1) Simulările numerice privind dinamica unei plasme de ablaţie,

plasmă generată prin interacţia ţintă polimerică- fascicul laser, indică

generarea a două autostructuri (straturi duble electrice) cu viteze diferite de

deplasare. Forma de ciupercă şi mişcările de tip vortex ce apar la marginea

structurilor de plasmă specifică o instabilitate de tip Rayleigh-Taylor.

Diferenţele între plasma de ablaţie cu ţinte polimerice şi cele cu ţinte

metalice se referă la concentraţii, temperaturi electronice, viteze ale plumelor

etc. De regulă valorile parametrilor, mai sus menţionaţi, în cazul ţintelor

polimerice sunt mai mici cu un ordin ca în cazul ţintelor metalice;

4.2) Utilizarea unor coordonate plane normalizate în integrarea

numerică prezintă avantajul că nu mai trebuie specificată scala spaţio-

temporală la care se studiază fenomenul, altfel spus aceste rezultate sunt de

maximă generalitate. Prezenţa „picurilor” atât în concentraţia normalizată cât

şi vitezele normalizate specifică evoluţia spre haos a structurii prin

intermitenţe asociate unor bifurcaţii fie pe câmpul de viteze, fie pe cel de

concentraţii;

4.3) Comportamentul conductiv al unui polimer este specificat în

modelul fractal prin sincronizarea câmpurilor de viteze la cele două scale.

Într-un asemenea context din integrările numerice a rezultat că perturbaţia în

temperatură se stige datorită caracterului reologic al polimerului, în timp ce

fenomenul de cuplare catenară autogenerează perturbaţia în temperatură. În

acest fel s-ar putea explica multe din „anomaliile” observate în dinamica

polimerilor.


100

Referinţe

1. Biswas, P., Kant, R., Blumen, A. – Polimer Dynamics and Topology:

Extension of stars and Dendrimers in external Fields, Macromol, Theory and

Simulation, 9, 56, 2000

2. Doi, M., Edwards, S.F. – The theory of polymer dynamics, Clarendon

Press, Oxford, 1986

3. Tudose, R.Z., Volintiru T şi alţii – Reologia compuşilor macromoleculari,

Vol. II – Reologia stării lichide, Bucureşti, Ed. Tehnică, 1983

4. Constatinescu, L.M., Barna, E.S., Structura moleculară a polimerilor,

Editura Universităţii Bucureşti, 1997

5. Mîndru, I. şi Leca, M. – Chimia macromoleculară şi a coloizilor, Bucureşti,

Ed. Didactică şi Pedagogică, 1977

6. Tudose, R.Z., Volintiru, T ş.a. – Reologia compuşilor macromoleculari,

Vol. I – Introducere în reologie, Bucureşti, Ed. Tehnică, 1983

7. Volintiru, T., Ivan, Ghe., - Introducere în Fizico-Chimia Polimerilor, Ed.

Tehnică, Bucureşti, 1980

8. Carraher C.E., Boca, R. Jr., - Introduction to Polymer Chemistry, Second

Edition Publication, Publisher: CRC Press, USA 2010;

9. Kumar, A., Gupta, R.K., - Fundamentals of Polymer Engineering,

Publisher: CRC Press; 2 edition, USA, 2003

10. Hiemenz, P.C., Timothy, P. L., - Polymer Chemistry, Publisher: CRC

Press, 2 edition, USA, 2007

11. Cowie, J.M.G. , Arrighi, V., - Polymers: Chemistry and Physics of

Modern Materials, 3 Edition

Publisher: CRC Press, USA, 2007

12. Gupta, R.K., Kennel, E., Jea Kim, K., - Polymer Nanocomposites

Handbook Editor(s): Publisher: CRC Press, 1 edition USA, 2009

13. Chanda, M., - Introduction to Polymer Science and Chemistry: A

Problem Solving Approach, Bangalore CRC Press, 1 edition, 2006

14. Skotheim,T.A.,Reynolds,J., - Conjugated Polymers: Theory, Synthesis,

Properties, and Characterization, Publisher: CRC Press, 1 edition USA,

2006

15. Wallace, G.G., Teasdale,P.R., Spinks,G.M., Kane,L.A.P., - Conductive

Electroactive Polymers: Intelligent Polymer Systems, , Publisher: CRC

Press, 3 edition, USA, 2008

http://www.crcpress.com/product/isbn/9781439809532;jsessionid=XoFFm6NzgrrOBulVFs7Biw**









http://www.crcpress.com/product/isbn/9780849373848







101

16. Mark, H.F., - Encyclopedia of Polymer Science and Technology,

ChemTec Publishing, 3 edition, USA, 2007

17. Mark, H.F., - Encyclopedia of Polymer Science and Technology,

ChemTec Publishing, 3 edition, USA, 2004

18. Wohlfarth, C., - CRC Handbook of Thermodynamic Data of Polymer

Solutions, ChemTec Publishing, USA, 2005

19. Cherdron D.,, Rehahn, H., Ritter, M., Voit H., - Polymer Synthesis:

Theory and Practice Fundamentals, Methods, Experiments Braun, B. , 4

edition, 2010

20. Strob, G.R., - The Physics of Polymers: Concepts for Understanding

Their Structures and Behavior, Springer, 3 edition, 2007

21. Sperling, L. H.,- Introduction to Physical Polymer Science Hardcover,

Publisher Wiley-Interscience, 4 edition, 2005

22. Bower, D. I., - An Introduction to Polymer Physics Cambridge University

Press, 1 edition 2002

23. Stein, R., S. - Topics in Polymer Physics, Imperial College Press, 2006

24. Khokhlov, A., R., Grosberg, A., Y., Pande V. , S., - Statistical Physics of

Macromolecules (Polymers and Complex Materials), Hardcover, Publisher:

American Institute of Physics, 2002

25. Ward, I., M., Sweeney, J., - An Introduction to the Mechanical Properties

of Solid Polymers , Wiley, 2 edition, 2004

26. Pokrovskii V., N. - The Mesoscopic Theory of Polymer Dynamics

(Springer Series in Chemical Physics), Hardcover, Publisher: Springer, 2009

27. Mark J., E. - Physical Properties of Polymers Handbook, Hardcover,

Publisher: Springer; 2 edition, 2006

28. Kawakatsu, T., - Statistical Physics of Polymers: An Introduction,

Springer Berlin Heidelberg, 2010

29. Boyd, R., Smith, G. - Polymer Dynamics and Relaxation, Hardcover,

Publisher: Cambridge University Press, 1 edition, 2007

30. Rouse, P., E. – A theory of the Viscoelastic Properties of Dilute Solution

of Coiling Polimers, J. Chem. , 21, 7, 1272, 1953

31. Oprea, C.V., Bulacovschi, V., Constantinescu, Al., - Polimeri. Structură şi

proprietăţi, Editura Tehnică, Bucureşti, 1986

32. Bixon, M., Zwazing, R. – Optimized Rouse-Zimm Theory for Stiff

Polimers, J. of Chem. Phys., 68, 4, 1978

33. Graesseley.W.W. – Macromolecules, 13, 372, 1980

34. Klockowski, J., Mark, E. – The relaxation spectrum for Gaussian

networks, Macromol., 23, 3481, 1990

http://www.amazon.com/Physics-Polymers-Concepts-Understanding-Structures/dp/3540252789/ref=sr_1_3?ie=UTF8&s=books&qid=1276789998&sr=1-3

http://www.amazon.com/Physics-Polymers-Concepts-Understanding-Structures/dp/3540252789/ref=sr_1_3?ie=UTF8&s=books&qid=1276789998&sr=1-3

http://www.amazon.com/L.-H.-Sperling/e/B001IQWCB0/ref=ntt_athr_dp_pel_1

http://www.amazon.com/David-I.-Bower/e/B001H6UQVY/ref=ntt_athr_dp_pel_1

http://www.amazon.com/Richard-S.-Stein/e/B001K87ZO0/ref=sr_ntt_srch_lnk_8?_encoding=UTF8&qid=1276790470&sr=1-9

http://www.amazon.com/Topics-Polymer-Physics-Joseph-Richard/dp/1860944124/ref=sr_1_9?ie=UTF8&s=books&qid=1276790470&sr=1-9

http://www.amazon.com/Statistical-Physics-Macromolecules-Polymers-Materials/dp/1563960710/ref=sr_1_12?ie=UTF8&s=books&qid=1276790726&sr=1-12

http://www.amazon.com/Statistical-Physics-Macromolecules-Polymers-Materials/dp/1563960710/ref=sr_1_12?ie=UTF8&s=books&qid=1276790726&sr=1-12

http://www.amazon.com/I.-M.-Ward/e/B001IYTNVY/ref=sr_ntt_srch_lnk_6?_encoding=UTF8&qid=1276790798&sr=1-18

http://www.amazon.com/Introduction-Mechanical-Properties-Solid-Polymers/dp/047149626X/ref=sr_1_18?ie=UTF8&s=books&qid=1276790798&sr=1-18

http://www.amazon.com/Introduction-Mechanical-Properties-Solid-Polymers/dp/047149626X/ref=sr_1_18?ie=UTF8&s=books&qid=1276790798&sr=1-18

http://www.amazon.com/Mesoscopic-Polymer-Dynamics-Springer-Chemical/dp/9048122309/ref=sr_1_21?ie=UTF8&s=books&qid=1276790890&sr=1-21

http://www.amazon.com/Mesoscopic-Polymer-Dynamics-Springer-Chemical/dp/9048122309/ref=sr_1_21?ie=UTF8&s=books&qid=1276790890&sr=1-21

http://www.amazon.com/Physical-Properties-Polymers-Handbook-James/dp/0387312358/ref=sr_1_26?ie=UTF8&s=books&qid=1276790956&sr=1-26

http://www.amazon.com/Statistical-Physics-Polymers-Toshihiro-Kawakatsu/dp/3642077862/ref=sr_1_25?ie=UTF8&s=books&qid=1276791029&sr=1-25

http://www.amazon.com/Polymer-Dynamics-Relaxation-Richard-Boyd/dp/0521814197/ref=sr_1_46?ie=UTF8&s=books&qid=1276791197&sr=1-46


102

35. Eichinger, B.E., Martin J.E. – Distribution function for Gaussian

molecules. II Reduction of the Kirchoff matrix for large molecules, J. of

Chem. Phys., 69, 10, 1978

36. Debye, P., Buche, A. – J. Chem. Phys., 16, 573, 1948

37. Mandelbrot, B. B.,- The fractal geometry of Nature, Academic Press,

New York, 1975

38. Mandelbrot, B.B. - How Long Is the Coast of Britain ? Statistical Self-

Similarity and Fractional Dimension; Science, 156, 636, 1967

39. Mandelbrot, B.B., - Les Objectes Fractals: Forme, Hazard et Dimension,

Flammarion, Paris 1972

40. Mandelbrot, B.B.,- Fractals, Freeman, San Francisco, 1977

41. Agop, M., Stroe, A., - Spaţiul-timp fractalic şi gravitaţie, Editura Ars-

Longa Iaşi, 2008

42. Stroe, A., Aramă, A., V., Anton, C., A., Andronache, I. - Fractalii şi

aplicaţiile lor interdisciplinare, îndrumar pentru elevi, profesori şi nu numai…,

Editura Ars-Longa, 2007

43. Agop, M., Jarcau, M. - Fractalitate şi gravitaţie, Editura Ars-Longa, Iasi,

2006

44. Abăcioaie, S.D. , Agop, M., - Dinamica neliniară şi gravitaţia, Editura Ars

Longa, Iaşi, 2009

45. Agop, M., Crăciun, P. - Microfractalitate, macrofractalitate şi gravitaţie,

Editura Ars Longa Iaşi, 2008

46. Agop, M., Radu, C., Nica, P., Enache, V., - Autoorganizarea interfeţei

solid-lichid şi implicaţii, Editura Ars-Longa, Iasi, 2007

47. Agop, M., Chicoş, L., - Contribuţii la studiul interacţiunii plasmei cu

câmpurile fizice, Editura Ars-Longa, Iaşi, 2007

48. Agop, M., Băcăiţă, S.- Spaţiu-timpul fractalic şi straturi duble în plasme

de descărcare, Editura Ars-Longa, Iaşi, 2007

49. Oancea, S., - Analiza fractalǎ- Aplicaţii în ştiinţele naturii, Editura Pim,

Iaşi, 2006

50. Budei, L.,- Modele cu fractali. Aplicaţii în arhitectura mediului, Editura

Univ. ”Gh. Asachi”, Iaşi, 2000

51. Barnsley, M., - Fractals Everywhere. Deterministic Fractal Geometry,

Boston University Press, 1988

52. Le Mehante, A., - Les Geometries Fractales, Hermes, Paris, 1990

53. Heck, A., Perdang, J.M., (Eds) - Applying Fractals in Astronomy,

Springer Verlag, 1991

54. Feder, J., Aharony, A., (Eds) - Fractals in Physies North - Holland,

Amsterdam, 1990


103

55. Berge, P., Pomeau, Y., Vidal, Ch., - L'Ordre dans le chaos, Hermann,

Paris, 1984

56. Bamsley, MF., - Fractals Everywhere, Academic Press, Orlando, 1988

57. Gouyet, JF., - Physique et Structures Fractals, Masson Paris, 1992

58. El Naschie, M.S., Rössler, O.E., Prigogine, I., (Eds) - Quantum

mechanics, diffusion and chaotic fractals, Elsevier, Oxford, 1995

59. Weibel, P., Ord, G., Rössler, O.E. (Eds) - Space time physics and

fractality, Festschroft in honer of Mohamad El Naschie Vienna, New York,

Springer 2005

60. Nottalle, L., - Fractal Space- Time and Microphysics. Towards a Theory

of Scale Relativity, World Scientific, Singapore, 1993

61. Munteanu, F., - Introducere în geometria fractală,

http://www.csc.matco.ro/1fract.html

62. Negra, F., - Fractalii, 3; http://www.ingfiz.ro/if/revistanr3.pdf 2003

63. Harabagiu, A., Agop, M., Magop, D. - Fractalitate şi mecanică cuantică,

Editura Ars Longa Iaşi, 2010

64. Gottlieb, I., Mociuţchi, C. - Elemente de teoria fractalilor în Haoticitate,

Fractalitate şi câmpuri, Editori M. Agop, M. Colotin şi V.P. Păun, Ars Longa,

Iaşi 2009, 12-43

65. Chaline, J., Nottale, L., Grou P. - Des fleurs pour Schrödinger: La

relativite d’echelle et ses applications, Ellipses Marketing, Paris, 2009

66. Chaline, J., Nottale, L., Grou P. - Les arbres de e’ evolution: Univers,

Vie, Sociétés, Hachette, Paris, 2000

67. Nottale, L., - The theory of scale relativity: Nondifferentiable geometry,

Fractal space-time and Quantum Mechanics, Computing Anticipatory

Systems: CASYS’ 03-33 Sixth International Confference, AIP Confference

Proceedings, 718, 68-95, 2004

68. Nottale, L., Schneider, J., - Fractals and non-standard analysis, J. Math.

Phys. 25,12, 96, 1984

69. Nottale, L., - Fractals and the quantum theory of space-time, Int. J. Mod.

Phys. A4, 50, 47,1989

70. Nottale, L., Scale relativity and fractal space-time: Applications to

quantum physics, cosmology and chaotic systems. Chaos, Solitons &

Fractals 7, 877, 1996

71. Munceleanu, . G.V., Magop, D., Marin C., Agop M., –Modele fractale în

fizica polimerilor, Editura Ars Longa, Iaşi, 2010

72. Păun, V. P., Cimpoieşu, N., Hanu Cimpoieşu, R., Munceleanu, G., V.,

Forna, N., Agop M. – On the energy dissipation capacity and the shape

http://www.csc.matco.ro/1fract.html

http://www.ingfiz.ro/if/revistanr3.pdf


104

memory. A comparative study between polimer , composits and alloys,

Materiale plastice 47, 158-163, 2010

73. Kirkood, J., Riseman, J. - J. Chem. Phys., 16, 565, 1948

74. Rohtagi, P., K., Guo, R., Keshevaram, B. N., - ASM International,

Cleveland, 889, 1995

75. Matsunage, T., Kim, J., K., Hardcastle, S., - Mater. Sci. Eng. A. 235,

333, 2002

76. Chirviu, V., Ştiucă, P., Munteanu, L., Donescu, S., - Introducere în

nanomecanică, Editura Academiei Române, Bucureşti, 2005

77. Aczel, O., Bozan, C. ,– Dislocaţiile şi frecarea internă la metale, Editura

Fada, Timişoara 1974

78. Jespersen, S., Blumen, A., – Polymer dynamics in time dependent

Matheron de Marsily flows: An exactly solvable model, arXiv:cond-

mat/0011252 v1 p. 1-12, Aug 2005

79. Chitanvis, S., – Physics of polymer melts: a novel perspective,

arXiv:cond-mat/0002407,p.1-10, Sep. 2005

80. Ahlrichs, P., Dunweg, B., - Simulation of a single polymer chain in

solution by combining lattice Boltzmann and molecular dynamics,

arXiv:cond-mat/9905183 v1, p.1-17, Aug 2005

81. Bouchiat, C. - Hartree-Fock model of a self-avoiding flexible polymer,

arXiv:cond-mat/0201445 v 1, p. 1-25, Ian 2002

82. Euric, F., Maas, P. - Soft ellipsoid model for Gaussian polymer chains,

arXiv:cond-mat/ 0008425, p. 1-17, Aug. 2005

83. Furukawa, A – Viscoelastic effect on hydrodynamic relaxation in polymer

solutions, arXiv:cond-mat/0209655 v3 p. 1-7, Dec 2002;

84. Prasad, A., Hori Y. Kondev, J. - Elasticity of semiflexible polymers in two

dimensions, www.ArXiv.com/0504654, Apr 2005

85. Rosa, A., Hoang T.X., - Elasticity of semi flexible polymers with and

without interactions, www.ArXiv.com/0307015, v1 Jul 2003

86. Marenduzzo, D., Micheletti, C., - Continuum model for polymers with

finite thickness, www.ArXiv.com/0503596, v1, p. 1-10, Oct 2005

87. Euric, F., Maas, P., - Soft ellipsoid model for Gaussian polymer chains

arXiv:cond-mat/0008425, p. 1-17, Aug. 2005

88. Reichl L., E., – A modern course in statistical physics, University of

Texas Press, Austin, 1980

89. Ignat, M., – Curs de termodinamicǎ şi fizicǎ statisticǎ, Editura Univ.”Al. I.

Cuza, Iaşi, 1995

90. Munceleanu, G.V., Păun, V.P., Casian-Borez, I., Agop, M., - The

microscopic-macroscopic scale transformation through a chaos scenario in

http://www.arxiv.com/0307015


105

the fractal space-time theory, International Journal of Bifurcation and Chaos,

sub tipar 2010

91. Agop, M., Niculescu, O., Timofte, A., Bibire, L., Ghenadi, A. S.,

Nicuţă,A., Nejneru, C., Munceleanu, G.V., – Non-differentiable Mechanical

Model and its implications, Internaţional Journal of Theoretical Physics 10

773, 1-19, 2010

92. Agop, M., Munceleanu, G.V., Niculescu, O., Bibire-Dandu,T., - Static

and free time-dependent fractal systems through an extended Hydrodinamic

model of the scale relativity theory, Physica Scripta 82, 1-8, 2010

93. Casian-Botez, I., Agop, M., Nica, P., Păun, V, Munceleanu., G.V., –

Conductive and convective type behaviors at nano-time scales, Journal of

Computational and Theoretical Nanoscience, 7,1-10, 2010

94. Timofte, A., Colotin, M., Munceleanu, G., V., Păun, V. P., Bibire-Dandu,

T., Agop, M.,– Haoticitate şi fractalitate prin câmpuri de viteze în Haoticitate,

fractalitate şi câmpuri, Editori, M. Agop, M. Colotin, V.P. Păun, 48-139,

Editura Ars Longa, Iaşi, 2009

95. Kozlov, G., V., Zaikov, G.E. - The Structural Stabilization of Polymers:

Fractal Models (New Concepts in Polymer Science), Hardcover, Publisher:

VSP Intl, 2006

96. Kozlov, G., V., Zaikov, G.E. , Novikov, V. U. - Fractal Analysis of

Polymers: From Synthesis to Composites, Hardcover, Publisher: Nova

Science Publishers, 2003

97. Kozlov,G., V., Zaikov, G.E. - Fractals and Local Order in Polymeric

Materials, Hardcover, Publisher: Nova Science Pub, 2001

98. Avnir, D., - Fractal Approach to Heterogeneous Chemistry: Surfaces

Colloids and Polymers, Publisher: John Wiley & Sons Ltd, 1989

99. Rothschild, W.G., - Fractals in Chemistry, Hardcover, Publisher: Wiley-

Interscience, 1998

100. Kuhn, W., - Colloid, Z., 68, 2, 1934

101. Cresson, J., - Scale Calculus and the Schrodinger Equation, J. Math.

Phys., 44, 4907, 2003

102. Cresson, J., - Non differentiable Variational Principles J. Math.Anal.

Applic., 307 48, 2004

103. Ferry, D.K., Goodnick S. M. - Transport in Nanostructures, Cambridge

University Press, 2001

104. Imry, Y.,- Introduction to Mesoscopic Physics, Oxford University Press,

Oxford, 2002

105. Aronstein, D.L., Strond, Jr., C.R. – Fractional wave- function revivals in

the infinite square well, Phys. Rev. A, 55, 6, 4526, 1997

http://www.amazon.com/G.-V.-Kozlov/e/B001JP4AJ2/ref=sr_ntt_srch_lnk_1?qid=1279531383&sr=1-1

http://www.amazon.com/Structural-Stabilization-Polymers-Fractal-Concepts/dp/9067644587/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1279531383&sr=1-1

http://www.amazon.com/Structural-Stabilization-Polymers-Fractal-Concepts/dp/9067644587/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1279531383&sr=1-1


http://www.amazon.com/Fractal-Analysis-Polymers-Synthesis-Composites/dp/1590336607/ref=sr_1_3?s=books&ie=UTF8&qid=1279531383&sr=1-3

http://www.amazon.com/Fractal-Analysis-Polymers-Synthesis-Composites/dp/1590336607/ref=sr_1_3?s=books&ie=UTF8&qid=1279531383&sr=1-3


http://www.amazon.com/Fractals-Local-Order-Polymeric-Materials/dp/1590330846/ref=sr_1_7?s=books&ie=UTF8&qid=1279531542&sr=1-7

http://www.amazon.com/Fractals-Local-Order-Polymeric-Materials/dp/1590330846/ref=sr_1_7?s=books&ie=UTF8&qid=1279531542&sr=1-7

http://www.amazon.com/Fractal-Approach-Heterogeneous-Chemistry-Surfaces/dp/0471917230/ref=sr_1_10?s=books&ie=UTF8&qid=1279531836&sr=1-10

http://www.amazon.com/Fractal-Approach-Heterogeneous-Chemistry-Surfaces/dp/0471917230/ref=sr_1_10?s=books&ie=UTF8&qid=1279531836&sr=1-10

http://www.amazon.com/Fractals-Chemistry-Walter-G-Rothschild/dp/047117968X/ref=sr_1_12?ie=UTF8&s=books&qid=1279532295&sr=8-12


106

106. Gutzwiller, M.C., - Chaos in Classical and Quantum Mechanics,

Springer-Verlag, New York, 1990, Editura Tehnică, Bucureşti, 1998

107. Jackson, A.A., - Perspectives in nonlinear dynamics, I + II, Cambridge,

University Press Cambridge, 1993

108. Baker, G. L.; Gollub, J. P., - Chaotic Dynamics – an Introduction,

Springer-Verlag, 2 edition, New York, 1996

109. De Almeida, A. M.,- Hamiltonian Systems: Chaos and Quantization,

Cambridge Univ. Press, New York, 1992

110. Devaney R. L., - An Introduction to Chaotic Dynamical Systems,

Benjamin/Cummings, Memlo Parl. 1986

111. Hilborn, R. C.- Chaos and Nonlinear Dynamics, Oxford University

Press, Oxford, 1994

112. Tabor, M.- Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics, John Wiley

and Sons, New York, 1989

113. Stöckmann, H. J., - Quantum Chaos: An Introduction, Cambridge Univ.

Press, Cambridge, 1996

114. Ott, E. - Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press,

New York 1993

115. Kapitaniak, T., Controlling Chaos: Theoretical and Practical Methods in

Nonlinear Dynamics, Academic Press, London, 1996

116. Borsos, Z., Simanciu, I., Hotinceanu, M., Agop, M. - Sisteme stocastice

clasice şi cuantice, Editura Ars Longa, Iaşi, 2008

117. Marek, M., Schreiber, I., - Chaotic Behaviour of Deterministic

Dissipative Systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1991

118. Szemplinska Stupnicka, W., Ioos, G., Moon, F. C., -Chaotic Motion in

Nonlinear Dynamival Systems, Springer – Verlag, New York,1988

119. Cristescu, P.C., - Dinamici neliniare şi haos. Fundamente teoretice şi

aplicaţii, Editura Academiei, Bucureşti, 2008

120. Abăcioaie, D., Agop, M. - Elemente de dinamică neliniară şi aplicaţii,

Editura Ars Longa, Iaşi, 2008

121. Arnold, V. I., Abramovich, W. S., IL’Yashenko, YU. S., Shilnikov, L. P.,

- Bifurcation Theory and Catastrophe, 2 edition, Springer-Verlag, Heidelberg,

1999

122. Landau, l., LifchitZ, E.,- Physique theorique – Mecanique des fluids,

Editura Mir, Moscova, 1981

122. Rader, A.J., Chennubhotla, C., Yang, L.W., – The Gaussian network

model: Theory and applications, J. Phys. D., Appl. Phys. 35, 41, 2005

123. Bahar, I., – Collective motions in HIV-1 reverse trascriptase;

examination of flexibility and enzyme function, J. Mol. Biol., 285, 1023, 1999


107

124. Bahar, I., Atilgan, A.R., Erman, B., – Direct evaluation of thermal

fluctuations in proteins using a single-parameter harmonic potential, Fold.

Des., 2, 173, 1997

125. Wang, Y., – Global ribosome motions revealed with elastic network

model, J. Struct. Biol., 147, 302, 2004

126. Niculescu, O., Nica, P., Forna, N., Casian-Botez, I., Ioniţă, I.,

Constantin, B., Bădărău Gh., – Experimental investigations of polimer

plasma laser ablation, Materiale plastic, 46, 3, 336, 2009

127. Zhixiang, W., Sadhiov, M., Shijiro, M., Akira, I. , J. Jour. Appl. Phys.

44, 12, 2005, 402

128. Gurlui, S., Agop, M., Nica, P., Focşa, C.,- Phys. Rew. E. 78, 062706,

2008

129. Gurlui, S., Vizureanu, P., Agop, M., Nica, P., Ziskind, M., Focşa, C. ,

Ziskind, M., Forna, N., Ioannon, P. D., Borsos,Z., - Experimental and

Theoretical aspects of aluminium expanding laser-plasma, J. Jour. Of

Applied Phys. 48, 066001, 2009

130. Bulgakog, A.V., Bulgakova, N.M. , J. Phys. D. Appl. Phys. 31, 693,

1998

131. Zienkievicz, O.C., Taylor, R.L., -The finite element method, McGaw-

Hill, New York 1991

132. Groups, V., Cotzur, C., - Functional Polysiloxanes. 1.

Polydimethylsiloxanes Containing Chloromethylphenethyl , Eur. Polym. J.,

30, 309, 1994

133. Pinteala, M., Harabagiu, V., Cotzur, C., Simionescu, B.C., Simionescu,

C.I.,- Functional Polysiloxanes as Precursors in Copolymer Synthesis,

Synth. Polym. J., 1 (2 - 3), 259, 1994

134. Pinteala, M., Harabagiu, V., Simionescu, B. C. , David, G., - Materials

with New Properties - a Challenge for Polymer Synthesis, J. Serb. Chem.

Soc., 62, 295, 1997

135. Groups, V., Grigorescu, G., Ioan, S., Pinteala, M., Simionescu, B.C., -

Short-range Interaction Parameters for Polydimethylsiloxanes with Different

Terminal, J. Serb. Chem. Soc., 63, 961, 1998

136. Pinteala, M., Harabagiu, V., Simionescu, B.C. , David, G., Lungu, V., -

Siloxane and N-acetyliminoethylene Based Copolymers Obtained by

Combined Polymer Synthesis Techniques Mol. Cryst. Liquid Cryst., 354,

269, 2000

137. Stanciu, A., Fundueanu, Gh., - Polymeric Materials – from Fundamental

Research to Specific Applications, Int. J. Forming Processes, 10 (1), 9 – 22,

2007


108

138. N. Marangoci, N., Farcas, A., Pinteala, M., Harabagiu, V., Simionescu,

B.C. , Sukhanova, T., Perminova, M., Grigoryev, A., Gubanova, G.,

Bronnikov, S., - Synthesis, Morphology, and Thermal Behavior of

Polyrotaxanes Composed of γ-Cyclodextrin and Polydimethylsiloxanes J.

Incl. Phenom. Macrocycl. Chem., 63, 355, 2009

139. Blumen, A., Jurjiu, A., - Multifractal spectra and the relaxation of model

polymer networks, J.Chem.Phys. 116, 2636, 2002

140. Jurjiu, A., Friedrich, Ch., Jurjiu, A., - Strange kinetics of polymeric

networks modelled by finite fractals, Chem.Phys. 284, 221, 2002

141. Jurjiu, A., Koslowski, Th., Blumen A., Dynamics of deterministic fractal

polymer networks: Hydrodynamic interactions and the absence of scaling,

J.Chem.Phys. 118, 2398, 2003

142. Blumen, A., Jurjiu, A., Koslowski, Th., -Network Models and their

Dynamics: Probes of Topological Structure, Macromol.Symp. 191, 141, 2003

143. Blumen, A., Jurjiu, A., Koslowski, Th., von Ferber, Ch., - Dynamics of

Vicsek fractals, models for hyperbranched polymers, Phys.Rev.E 67,

061103, 2003

144. Jurjiu, A., Koslowski, Th., von Ferber, Ch., Blumen, A., -Dynamics and

scaling of polymer networks: Vicsek fractals and hydrodynamic interactions,

Chem.Phys. 294, 187, 2003

145. Blumen, A., Jurjiu, A., Koslowski, Th., -Dynamics of hyperbranched

polymers and dendrimers: Theoretical Models, Macromol.Symp. 210, 301,

2004

146. Blumen, A., von Ferber, Ch., Jurjiu, A., Koslowski, Th., - Generalised

Vicsek fractals: Regular hyperbranched polymers, Macromolecules 37, 638,

2004

147. Koslowski, Th., Jurjiu, A., Blumen, A., -Polaron formation and hopping

conduction in hyperbranched polymers: a theoretical approach,

J.Phys.Chem B 108, 3283, 2004

148. Blumen, A.,Volta, A., Jurjiu, A., Koslowski, Th., -Monitoring energy

transfer in hyperbranched macromolecules through uorescence

depolarization, J. Luminescence 111, 327, 2005

149. Blumen, A.,Volta, A., Jurjiu, A., Koslowski, Th., - Energy transfer and

trapping in regular hyperbranched macromolecules, Physica A 356, 12, 2005

150. Buwman, F., - Introduction to elliptic function with applications, English

University Press, London, 1955

151. Nottale, L., - Generalized Quantum Potentials, June 8, 2009

152. Siepmann, J., Siepmann, F., - Mathematical modeling of drug delivery,

Int. Jour. Pharmaceutics, 364, 328, 2008


109

153. Liu, B.T., Hsu, J.H., - Theoretical analysis on diffusional release from

ellipsoidal drug delivery devices, Chemical Engineering Science, 61, 1748,

2006

154. Nechifor C., - Mathematical modeling of drug delivery, Appl. Phys. Lett

(trimis spre publicare 2010)

155. Petra, I.C., Ionescu, L.M., Barna, E., - Fizica polimerilor. Metode de

analiză fizico-structurală, Universitatea Bucureşti, 1981

156. Renardy, M., - An existance theorem for model equations resulting from

kinetic theories of polymer solutions, IMA Preprint Series #588, October

1989

157. Meselson, M., Stahl, F.W., Vinegrad, J., - Equilibrum sedimentation of

macromolecules in density gradients, Pres. N.AS, Chemistry, 27, 581, 1957

Referinţe cu contribuţia autorului

1. Munceleanu, G.V. etc. – Modele fractale în fizica

polimerilor, Editura Ars Longa, Iaşi, 2010

2. Păun, V. P., Cimpoieşu, N., Hanu Cimpoieşi, R.,

Munceleanu, G.V., Forna, N., Agop M. – On the energy

dissipation capacity and the shape memory. A comparative

study between polimer , composits and alloys, Materiale

plastice, 47, 2 p. 158-163, 2010

3. Munceleanu, G.V., Păun, V.P., Casian-Borez, I., Agop,

M., - The microscopic-macroscopic scale transformation

through a chaos scenario in the fractal space-time theory,

International Journal of Bifurcation and Chaos, sub tipar 2010


110

4. Agop, M., Niculescu, O., Timofte, A., Bibire, L., Ghenadi, A.

S., Nicuţă,A., Nejneru, C., Munceleanu, G.V., – Non-

differentiable Mechanical Model and its implications,

Internaţional Journal of Theoretical Physics 10 773, 1-19, 2010

5. Agop, M., Munceleanu, G.V., Niculescu, O., Bibire-

Dandu,T., - Static and free time-dependent fractal systems

through an extended Hydrodinamic model of the scale

relativity theory, Physica Scripta 82, 1-8, 2010

6. Casian-Botez, I., Agop, M., Nica, P., Păun, V,

Munceleanu., G.V., – Conductive and convective type

behaviors at nano-time scales, Journal of Computational and

Theoretical Nanoscience, 7, 1-10, 2010

7. Timofte, A., Colotin, M., Munceleanu, G., V., Păun, V. P.,

Bibire-Dandu, T., Agop, M.,– Haoticitate şi fractalitate prin

câmpuri de viteze în Haoticitate, fractalitate şi câmpuri, Editori,

M. Agop, M. Colotin, V.P. Păun, 48-139, Editura Ars Longa,

Iaşi, 2009

Documents

Contribuţii la studiul fenomenelor neliniare în teoria ... · structurale, oscilatorul liniar armonic în hidrodinamica fractală şi mişcarea de vibraţie a unităţii structurale,