Contribution a la construction systématique des …csidoc.insa-lyon.fr/these/2002/ammous/chapitre2.pdfau mode de conduction discontinue conduit à des schémas lourds où le sens

CHAPITRE II

Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 34

1 Introduction ___________________________________________________________________ 35

2 Simulation des systèmes de l’électronique de puissance _______________________________ 36

3 Modèles moyens des convertisseurs de puissance_____________________________________ 36 3.1 Introduction_______________________________________________________________________ 36 3.2 Etat de l’art et classification __________________________________________________________ 38

3.2.1 Méthodes de moyenne d'état _______________________________________________________ 39 3.2.2 Méthodes relatives à la cellule de commutation_________________________________________ 39 3.2.3 Méthodes d'échantillonnage________________________________________________________ 40

3.3 Une démarche de construction basée sur l’analyse de causalité _______________________________ 41 3.3.1 Résumé de la démarche ___________________________________________________________ 43

3.4 Prise en compte des non-linéarites _____________________________________________________ 47 3.4.1 Linéarisation____________________________________________________________________ 55

3.5 Les délais virtuels __________________________________________________________________ 57 3.6 Estimation des pertes _______________________________________________________________ 58 3.7 Convertisseurs DC-DC et cellules de commutation ________________________________________ 59

3.7.1 Introduction ____________________________________________________________________ 59 3.7.2 Simplification du graphe de liens pour les convertisseurs DC-DC __________________________ 60

3.7.2.1 Variable d’état des modèles des composants de puissance à semi-conducteur ____________ 60 3.7.3 Simplification des graphes de liens des convertisseurs durant la commutation_________________ 61 3.7.4 Simplification des graphes de liens des différents convertisseurs DC-DC ____________________ 66 3.7.5 Equivalence des phases de commutation dans les graphes de liens simplifiés _________________ 68 3.7.6 Equivalence des simulations _______________________________________________________ 69 3.7.7 Modèles moyens des principaux convertisseurs DC-DC __________________________________ 72

3.7.7.1 Mode de Conduction continue _________________________________________________ 73 3.7.7.1.1 Cellule de commutation ____________________________________________________ 73

3.7.7.2 Buck _____________________________________________________________________ 75 3.7.7.3 Boost_____________________________________________________________________ 75 3.7.7.4 Buck-Boost________________________________________________________________ 76

3.7.8 Mode de conduction Discontinue____________________________________________________ 77 3.7.8.1 Boost_____________________________________________________________________ 78 3.7.8.2 Buck _____________________________________________________________________ 80 3.7.8.3 Buck-Boost________________________________________________________________ 81

4 Conclusion ____________________________________________________________________ 82


Chapitre2 Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance.

1 Introduction

Une des originalités du laboratoire est d’utiliser la technique de modélisation par graphes de liens.

Nous allons voir que cette technique est bien adaptée à la modélisation simplifiée des convertisseurs

et notamment des pertes.

Dans le domaine de la mécanique, les graphes de liens sont connus depuis 1961, avec les travaux

de H. Paynter (Bond graphs) [21]. Les graphes de liens ont été introduits pour les circuits

électroniques, vers la fin des années 80.

L’objectif de la modélisation analytique d’un convertisseur est de fournir un modèle simple et

rapide tout en permettant d’estimer entre autres, les pertes en commutation et en conduction. Ce

modèle servira à obtenir la fonction de transfert, du système linéairisé, ce qui permettra

l’application des méthodes de l’automatique des systèmes linéaires.

Depuis le milieu des années 70, un effort considérable est consacré au sujet de la construction de

modèles simplifiés d'un convertisseur statique.

Plusieurs méthodes ont été élaborées et ont mûri en parallèle avec le développement des

architectures de convertisseurs d'une part, des outils logiciels d'autre part, et enfin des objectifs de

simulation.

L’essentiel de ces travaux a conduit aux modèles « moyens » basés sur une représentation

moyennée du comportement du convertisseur sur la période de découpage.

Le modèle moyen du convertisseur offre le meilleur compromis coût de simulation / précision :

- l’absence d'éléments représentant les commutations, assure des pas de temps nettement plus

grands à la simulation;

Notre contribution porte notamment sur l'extension du modèle moyen pour permettre l'évaluation

des pertes dans les composants à semi-conducteur et des non-linéarités.

Dans ce chapitre, nous allons revenir succinctement sur les points suivants :


• Association des réseaux de Petri et graphes de liens, appliquée aux différents convertisseurs

(Annexe 2).

• Etude du modèle moyen en conduction continue et discontinue de courant.

• Définition des délais virtuels, et énergies dissipées dans un convertisseur.

2 Simulation des systèmes de l’électronique de puissance

Nous rappelons dans l'Annexe 2-(1 et 2) les différentes méthodes qui ont été publiées pour

représenter les interrupteurs. L’analyse de causalité y est représentée.

3 Modèles moyens des convertisseurs de puissance

3.1 Introduction

Une bibliographie sur le sujet se trouve dans [22]. Nous nous contentons de rappeler l’essentiel ci-

après.

Vers les années 70, la vision du concepteur d'un convertisseur à découplage continu-continu était

souvent celle de la figure 2.1.

Figure 2.1 Représentation du convertisseur continu-continu à découpage comme

un système linéaire [23].


Cette vision est illustrée par une structure hacheur abaisseur de tension, mais concerne l'ensemble

des convertisseurs continu-continu. La figure isole le bloc formé de la diode et du transistor,

commandé avec une modulation de la largeur d’impulsion, à fréquence fixe.

Souvent, pour réguler le fonctionnement de ce système, le concepteur doit obtenir l'erreur entre la

tension de sortie et la consigne ; signal d'erreur. Ce dernier constitue la commande du modulateur

de la largeur d'impulsion. L'analyse du système, pour l'élaboration de la régulation, nécessite les

fonctions de transfert commande-vers-charge, entrée-vers-charge et les impédances d'entrée et de

sortie du convertisseur.

L'un des objectifs de la modélisation simplifiée est d'obtenir ces fonctions de transfert, moyennant

l'approximation du comportement du système à celui d'un système linéaire, pour permettre

l'application des analyses et méthodes de l'Automatique des systèmes linéaires. Autrement dit, il

faut déterminer un système équivalent linéaire qui fournisse le comportement en petits-signaux vu

des extrémités du convertisseur, en englobant toutes les non-linéarités dans le point de

fonctionnement quasi-statique du convertisseur. En écrivant que chaque signal est la somme d'une

composante continue, S, et d'une composante petit-signal harmonique, s , le système équivalent

fournira les fonctions de transfert comme s

c

vv

, de la tension de sortie par rapport à la commande, par

exemple. Dans la suite du chapitre, nous allons traiter l’exemple d’un convertisseur « Boost ».

En introduisant un transformateur idéal, continu, caractérisé par le rapport, M, entre les tensions de

sortie et d'entrée, la modélisation aboutit au schéma de la figure 2.2. Cette technique a été résumée

par R.D. Middlebrook et S. Cùk dans [24].

Le modèle de la figure 2.2 s'applique à tous les convertisseurs continu-continu, à une seule cellule

de commutation, en adoptant quelques transformations.

Nous remarquons la présence d'un transformateur idéal dont le rapport de transformation est

directement le rapport cyclique (structure buck). Cet élément représente la transformation d'énergie

opérée par le convertisseur, et il s'agit de l'élément TF (transformateur) des graphes de liens. Notons

aussi que ce composant n’est pas un élément standard SPICE.


Figure 2.2 Schéma électrique équivalent linéaire du convertisseur continu-continu. Le rapport M

dépend de la structure du convertisseur [24].

Dans [24] figure l'hypothèse sur la fréquence de découpage communément admise, bien que

qualitative : "la fréquence de découpage doit être supérieure à la valeur la plus haute des fréquences

naturelles présentes dans le réseau passif."

La technique décrite [24] ne s'applique qu'au cas du mode de conduction continue, car l'extension

au mode de conduction discontinue conduit à des schémas lourds où le sens circuit (avec le

transformateur idéal) est perdu [25]-[26]. C'est pourquoi le calcul du modèle équivalent linéaire (ou

modèle moyenné, "averaged model") se place alors sur le plan de l'approche mathématique des

modèles à variables d'état, la fameuse "state-space averaging method" [27].

Le modèle simplifié du convertisseur est un élément clé d'un outil de CAO des systèmes de

puissance. Le modèle simplifié se situe au plus haut niveau d'abstraction du système. Ce niveau de

conception doit permettre d'évaluer conjointement la faisabilité du système, les aspects de

commande, les stratégies de refroidissement, ainsi que les contraintes électromagnétiques.

3.2 Etat de l’art et classification

Nous avons indiqué en introduction que le modèle simplifié (ou moyenné) du convertisseur offre le

meilleur compromis coût de simulation/précision. L'annexe bibliographique sur les modèles

simplifiés de convertisseurs est organisée en quatre parties relatives aux démarches employées pour

l'obtention du modèle. Nous citons à titre d’exemple quelques travaux sur la réalisation des modèles

moyens.


3.2.1 Méthodes de moyenne d'état

Le modèle est issu du traitement global des équations d'état du convertisseur. Il s'agit des "state-

space averaging methods".

Nous considérons un convertisseur en conduction continue, dont les interrupteurs sont idéaux. Le

premier travail consiste à analyser le fonctionnement du convertisseur au cours d'une période de

découpage. En considérant un seul mode de conduction, le fonctionnement fait apparaître plusieurs

topologies. Chacune de ces k topologies est présente durant une fraction di de la période de

découpage. Pour chacune des topologies, il faut écrire une équation différentielle ordinaire, (2.2),

dont les variables d'état sont les courants dans les inductances, et les tensions aux bornes des

condensateurs. Si tous les éléments passifs sont linéaires, l'équation (2.2) décrit un système linéaire.

( ) ( ) ( )i ix t A x t B t= + (2.2)

pour la topologie i durant l'intervalle [ ]1,i i it tξ −= .

Le modèle moyen d’état correspond à l’EDO ( ) ( ) ( )i i i ik k

x t d A x t d B t= +∑ ∑ , où k est le nombre de

topologies du circuit sur une période de découpage.

3.2.2 Méthodes relatives à la cellule de commutation

Le modèle simplifié est lié à l'approximation du comportement de la cellule de commutation, avec

une approche du type circuit ou bien mathématique.

Toutes ces méthodes rentrent dans ce que les anglo-

saxons ont appelé les "circuits averaging methods".

La publication de référence est celle de V. Vorperian [26]

avec le comportement en petits-signaux de la cellule de

commutation repris à la figure 2.3. Rapidement le

transformateur idéal a laissé la place à une représentation à 2 sources (courant et tension), liées au

rapport cyclique. E. Van Dijk [28] a proposé une formulation où coexistent les comportements

moyennés dans les deux modes de conduction en courant (figure 2.4).

c p

a

Vcp

ic

ia

K


Figure. 2.3 Schéma électrique équivalent de la

cellule de commutation en régime de petits-

signaux, pour le mode de conduction continue,

non-résonante.

Figure. 2.4 Schéma électrique équivalent du

comportement moyenné de la cellule de

commutation dans les modes de conduction

continue ou discontinue en courant.

3.2.3 Méthodes d'échantillonnage

Les équations décrivant le comportement du convertisseur sont discrétisées, et le modèle simplifié

est obtenu par approximation de ces équations discrétisées. Il s'agit des "sample-data methods".

Les équations différentielles ordinaires (2.2) constituent toujours le point de départ de ces

méthodes. La solution de l'équation différentielle ordinaire est discrétisée pour ne fournir les valeurs

des variables d'état qu'aux moments des sauts de topologie au cours de la période de découpage.

La relation (2.3) donne la forme générale d'une telle discrétisation, dans laquelle i est l'indice de la

topologie et n le numéro de la période en cours. Le vecteur des variables d'état a été scindé

arbitrairement en deux, avec les variables rapides (liées à la cellule de commutation) et les

variables lentes (liées au reste du réseau passif). De même les matrices Ai et Bi dans (2.2), ont été

scindées [29]-[30].

[ ] [ ] [ ]

[ ][ ]

[ ]

( 1) 0 0

( 1) 0

( 1)

( 1)

. . .

. ..1 . .

2

F ni F n i FSn S n Fn n ni

SSn S n i Sn n

S ni S n i ni

SFn F ni F n i

X t X t A X t B U t

A X t B U tX t X t

A X t X t

τ

τ

−

−

−

−

+ + + + + +

∼

∼ (2.3)

La partie délicate du modèle est représentée par l'ensemble des relations nécessaires pour exprimer

la valeur de la durée de la topologie en cours, τni, après un saut.


3.3 Une démarche de construction basée sur l’analyse de causalité

Cette démarche a fait l'objet de publications [31]-[32] ainsi que d'applications [33]. Concernant les

convertisseurs à interrupteurs idéaux, notre démarche a été décrite à propos du convertisseur boost

quasi-résonant, par exemple figure 2.5. Le résultat apparaît sous la forme du graphe de liens de la

figure 2.5, dont les équations constitutives ne sont autres que (2.4). Le point important dans la

représentation est le composant MTF qui apparaît dans les graphes de liens : il s'agit d'un

transformateur modulé. Le comportement moyenné d'un convertisseur s'attache en effet à décrire la

transformation d'énergie opérée par le convertisseur, indépendamment de la technique de

découpage mise en œuvre. Nous retrouvons des représentations qui sont de même nature que celles

liées aux premiers travaux [24] comme sur la figure 2.2.

2 21 1 1

11 11

1 1 2 21 1 1

1 1 1

1 ( , ).1 0

10 0 ( , ).

c L Lsc c

L Lc L c

CL h v i iv vd C TR ECi idt E CL h v i v

RCL L

− = + −

(2.4)

21 11 1

2 1 1

( , ) (1 cos )2.

c Lc L

L c

v iZh v ii vZ

α α= + + −

1

2 1

arcsin( )c

L

viZ

α −=

Vs=1/τ1.Ve

ie=1/τ1.is

MTF

τ1

ie

Ve

is

Vs


Se:E 1

I:L1

C:C1

R:R

0 MTF:Tr

τ1E

L1

C1 RZVS-QRAv. Mod.

τ1

Figure. 2.5 Graphes de liens du modèle moyenné (gauche) du convertisseur (haut) et pseudo-

schéma électrique (droite). La durée τ1 est celle de la fermeture de l'interrupteur commandé (en

mode de pleine onde résonante π<α<3π/2).

Notre démarche a d'abord permis de retrouver les résultats connus à propos des convertisseurs

idéaux, qu'ils soient résonants ou non. A ce stade nous avons pu dire que notre démarche permet

une construction systématique du modèle d'un convertisseur idéal dans un mode de conduction

donné.

Nous proposons maintenant de résumer notre démarche sous forme algorithmique, appliquée à un

convertisseur buck-boost idéal, dans le mode de conduction continue (à titre pédagogique,

figure 2.6).

L2L1 D

M

E

C1

R

C2


Figure. 2.6 Convertisseur idéal buck-boost. Schéma électrique (a), et graphe de liens acausal (b).

Les composants Sw sont des interrupteurs idéaux, équivalents à une source de tension nulle à l'état

fermé, et une source de courant nul à l'état ouvert. La commande g MLI, représente une

information ‘logique’ de commande aussi est-elle connectée comme un signal et non à travers un

lien d'énergie.

3.3.1 Résumé de la démarche

Les interrupteurs idéaux sont caractérisés par des réseaux de Petri. Ils présentent des changements

de causalité entre l'état fermé et ouvert. Le fonctionnement du convertisseur est alors résumé sur la

figure 2.7.

Figure. 2.7 Machine d’état du fonctionnement du convertisseur buck-boost idéal, en mode de

conduction continue (a) et discontinue (b).

En mode de conduction continue, la séquence de fonctionnement durant chaque période de

découpage est S=charge, roue-libre : l'état "charge" dure la fraction ρ de la période de découpage,

et l'autre état, la fraction, 1-ρ.

g est une commande MLI


Pour chaque topologie de la séquence cyclique de fonctionnement, l'algorithme établit la causalité

du graphe de liens du convertisseur (figure 2.8). En comparant les causalités, l'algorithme fait la

liste des éléments dont au moins un lien a changé de causalité : M, l1, n1, l2, D.

Ces éléments forment le bloc de commutation (Le bloc de commutation d'un système comprend

tous les composants dont la causalité change au moins une fois pendant la séquence cyclique (la

période de commutation)) du convertisseur (figure 2.9). Il s'agit là d'un point clef de la méthode :

isoler automatiquement la portion du circuit dont le comportement doit être représenté de manière

moyennée.

Figure 2.8 Analyse de causalité dans chaque état de la séquence cyclique de fonctionnement.

Figure. 2.9 Bloc de commutation du convertisseur buck-boost idéal.

L'hypothèse sur la valeur faible de la période de découpage par rapport aux autres constantes de

temps du réseau, se traduit par le fait que, durant une période de découpage, le réseau autour du

bloc de commutation ne varie pas du point de vue de ses variables d'état.

Ainsi les éléments connectés aux liens du bloc de commutation (#1 à #3, figure. 2.9), peuvent être

remplacés par des sources constantes assurant les mêmes causalités aux liens.

Le graphe de liens simplifié auquel la démarche aboutit (figure 2.10), va servir au calcul du

comportement moyenné du bloc de commutation : c'est-à-dire à calculer formellement la moyenne


des variables de sortie du bloc de commutation sur une période de découpage. Les variables d'entrée

du bloc de commutation sont imposées par le reste du graphe, c'est-à-dire les sources constantes.

La notion de bloc de commutation telle que nous la définissons à l'aide de l'analyse de causalité

offre deux avantages par rapport aux méthodes de substitution de la cellule de commutation, et la

méthode par moyenne d'état. Notre démarche est moins rigide que la substitution de la cellule de

commutation : la notion de cellule de commutation est élargie à d'éventuels composants parasites

comme nous le dirons plus loin. Notre démarche apporte ce qui manque à la méthode de moyenne

d'état : cerner la seule partie du circuit dont le comportement simplifié est requis.

Figure. 2.10 Graphe de liens simplifié pour le calcul du comportement moyenné du bloc de

commutation mis en évidence à la figure. 2.9.

L'analyse de causalité du graphe de liens simplifié, dans chaque état de la séquence cyclique, fournit

l'expression des variables i1, vL et i2, qui seront ensuite moyennées sur une période de découpage.

L'algorithme utilise l'analyse de causalité algébrique telle qu’elle a été établie [34]-[37]. Cette

analyse n'est pas détaillée ici, mais fournit les résultats triviaux suivants:

Etat "charge" 1

1

2 0

L

L

i Iv Vi

==

= (2.4)

Etat "roue-libre" 1

2

2

0

L

L

iv Vi I

== −

= − (2.5)

En moyennant les relations (2.4) et (2.5), pondérées de la durée de chaque état dans la période de

découpage, TS, il vient:


( )

( )

110

1 20

220

1 ( )

1 ( ) 1

1 ( ) 1

T

Ls

T

LLs

T

Ls

i t dt IiT

v t dt V VvT

i t dt IiT

ρ

ρ ρ

ρ

< >= =

< >= = − −

< >= = − −

∫

∫

∫

(2.6)

Les relations (2.6) sont celles du graphe de liens de la figure 2.11, traduisant 2 éléments MTF en

série. Les signes dans les relations sont visibles au niveau de l'orientation des liens les uns par

rapport aux autres.

Figure. 2.11 Graphe de liens du modèle moyenné du bloc de commutation de la figure 2.10.

Finalement en substituant le bloc de commutation par son modèle moyen, nous obtenons le modèle

moyen du convertisseur au sens de la méthode par moyenne d'état par exemple, (2.7) (figure 2.12).

10

1 1 0

L L

C C

i id L E Lv vdt

C RC

ρ ρ

ρ

− − = + − −

(2.7)

Figure. 2.12 Modèle simplifié du convertisseur buck-boost idéal en mode de conduction continue.

(1-ρ)(1/ρ) (1-ρ)(1/ρ)


3.4 Prise en compte des non-linéarites

La diode de puissance présente un modèle transitoire, qui peut être simplifié dans le cas de régimes

quasi-statique (figure 2.13.a), alors caractérisée par la caractéristique statique du composant.

Les états quasi-stationnaires ("charge" et "roue-libre") sont introduits de manière arbitraire, puisque

l'état "transitoire" peut représenter le comportement du convertisseur dans n'importe quelle

configuration. L'intérêt des états quasi-stationnaires est de faire "apparaître" la prise en compte des

non-linéarités des composants actifs, comme des termes supplémentaires dans le modèle simplifié

du convertisseur idéal.

Evidemment, les instants de transition d’un état quasi-stationnaire à un état transitoire doivent être

correctement choisis.

Figure. 2.13 Réseaux de Petri des modèles de la diode de puissance (a), et du convertisseur DC-

DC à une cellule de commutation, en mode de conduction continue (b).

Nous allons appliquer notre démarche de construction du modèle simplifié du convertisseur boost

non-idéal de la figure 2.14. Le convertisseur présente un fonctionnement qui est résumé comme sur

la figure 2.13.b en mode de conduction continue.

La figure 2.14 représente l'effet du câblage sous la forme de la seule inductance parasite de maille,

ld. L'effet du câblage peut être assez complexe, notamment en introduisant des inductances parasites

couplées. Notre démarche s'applique aussi bien à ces modèles complexes du câblage, qu'à l'exemple

simple que nous avons choisi de commenter.


Figure. 2.14 Convertisseur boost non-idéal. Schéma électrique (a), et graphe de liens portant la

causalité de l'état "transitoire" (b).

En mode de conduction continue, la séquence cyclique des topologies est S=charge, transitoire,

roue-libre, transitoire, avec les fractions respectives ρ1, ρ2, ρ3 et ρ4 de la période de découpage, TS,

telle que 4

1i STρ =∑ .

La détermination du bloc de commutation découle de la comparaison des causalités des graphes de

liens (figure 2.15) dans chaque état de la séquence cyclique de fonctionnement :M, n1, lg, rg, n3, D,

l2, ld.

Le graphe de liens simplifié de la figure 2.16 est alors considéré pour construire le modèle moyenné

du bloc de commutation.

Figure. 2.15 Graphes de liens du convertisseur boost dans les états "charge" (a) et roue-libre (b).

I :ld I :ld

b)


Notons que le changement de causalité au niveau de la causalité dérivée / causalité intégrale impose

la présence de ld dans le bloc de commutation. Ce qui est essentielle, car aussi le modèle du câblage

doit être inclus dans le modèle moyen.

Figure. 2.16 Graphe de liens simplifié pour le calcul du modèle moyenné du bloc de commutation.

Les variables v1 et i2 sont les variables de sortie du bloc de commutation. La valeur moyennée du

courant de grille (et plus généralement de la commande) n'a pas d'influence dans le cadre d'un

modèle simplifié; nous ne la considérons pas dans le modèle moyen car l'énergie mise en jeu dans

cette partie du circuit est négligeable. Donc la commande sera assimilée à un signal idéal, par contre

les délais virtuels dépendent de la commande (Rg).

En reprenant chaque état de la séquence cyclique de fonctionnement, l'analyse de causalité fournit

les expressions des variables v1 et i2.

Etat "charge" ( )( )

1 1

2 2

DSon

Dfuite

v v I

i i V

=

= (2.8)

où vDSon(I1) est la caractéristique statique du transistor MOSFET, pour la tension vGS de

service, et iDfuite(V2) est la caractéristique statique inverse de la diode.

Etat "roue-libre" ( )1 2 1

2 1 2( )Don

Mfuite

v V v Ii I i V

= += −

(2.9)

Où vDon(I1) est la caractéristique statique de la diode, et iMfuite(V2) la caractéristique inverse du

transistor MOSFET.


Etat "transitoire" ( )

( )1

2

DS

D

v v t

i i t

=

= (2.10)

Où vDS(t) et iD(t) sont des variables de sorties des modèles transitoires du transistor MOSFET et de

la diode respectivement, dépendant des variables d'état respectives des modèles.

En négligeant les courants de fuite des composants, les moyennes des variables v1 et i2 sur la

période de découpage s'écrivent :

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

31 2 4

0 1 2 3

32 4

1 2 3

1 1 2 1

2 1

1

1

tt t t

DSon DS Don DSS t t t t

tt t

D DS t t t

v v I dt v t dt V v I dt v t dtT

i i t dt I dt i t dtT

< >= + + + +

< >= + +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ (2.11)

Où les temps t0 à t4 sont tels que, t4-t0=TS et ti-ti-1=ρi.TS, durée de la topologie i dans la séquence

cyclique topologiques.

[t1, t2] correspond à la commutation à l'ouverture du transistor MOSFET et [t3, t4] à la commutation

à la fermeture; et inversement pour la diode.

La relation (2.11) contient des intégrales de vDS, lié au modèle du transistor MOSFET. Pour aboutir

à une relation explicite, l'idée est de remplacer la variable vDS(t) par un signal idéal commutant entre

les mêmes valeurs extrêmes ( ) ( )1 1DS DSonv t v I= et ( ) ( )( )2 2 1DS Donv t V v I= + , et présentant la même

valeur intégrale sur [t1, t2] (figure 2.17).

Le temps t1 est défini au moment du changement de la tension de commande, Vg, tandis que t2

correspond au moment où le transitoire de commutation a disparu.


Signal idéal

V2+VDon(I1)

Figure. 2.17 Commutation à l'ouverture du transistor MOSFET. Onde typique de tension drain-

source, et définition du signal idéal équivalent au sens de la valeur moyenne (δoffvds>0).

Sur la figure 2.17, il vient:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

12 2

1 1 1

1 2 1 2 1 2 1.

offvDS

offvDS

DS DS

tt t

DSt t t

off offDSon v Don v Don

v t dt s t dt s t dt

v I t t V v I V v I

δ

δ

δ δ

+

+

= +

= + − + − +

∫ ∫ ∫ (2.12)

Où DS

offvδ est par définition le délai virtuel sur VDS à l’ouverture du transistor MOSFET, par rapport à

VG.

De même, nous définissons DS

onvδ à la commutation à la fermeture du transistor MOSFET

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )4

3

2 1 4 3 1 1DS DS

ton on

DS v Don Don v Dont

v t dt V v I t t v I v Iδ δ= + + − −∫ (2.13)

En prenant en compte (2.12) et (2.13) dans (2.11), nous obtenons :

( ) ( )( )1 1 2 1 1DS DS DS DS

off on off onv v v v

DSon DonS S

v v I V v IT T

δ δ δ δρ ρ − −

< >= + + + − +

(2.14)

où ρ.TS=(t1-t0)+(t4-t3) et (1-ρ).TS=t3-t1.


Nous obtenons de même :

2 1 1 D D

off oni i

S

i IT

δ δρ

−< >= − +

(2.15)

Où les délais virtuels D

offiδ et

D

oniδ caractérisent la commutation du courant dans la diode

respectivement à l'ouverture et à la fermeture. La figure 2.18 illustre le cas de l'onde de courant à

l'ouverture de la diode, avec la définition de D

offiδ .

Figure. 2.18 Commutation à l'ouverture de la diode. Onde typique du courant et définition du

signal idéal équivalent au sens de la valeur moyenne (δoffiD<0).

Les relations (2.14) et (2.15) constituent le modèle moyenné du bloc de commutation du

convertisseur boost de la figure 2.16. Ce modèle simplifié est représenté par le graphe de liens de la

figure 2.19.a. Le modèle moyenné du bloc de commutation devient naturellement dépendant de la

période de découpage et du rapport cyclique. Ce résultat est à rapprocher des développements de

[38].

En négligeant les caractéristiques statiques des composants, ainsi que les délais virtuels, nous

retrouvons les relations du modèle moyenné du bloc de commutation du convertisseur boost idéal.

Signal idéal

ID(t)

δoffiD

Vg(t)

I1

t3 t4


Figure. 2.19.a Graphe de liens du modèle

moyenné du bloc de commutation de la

figure 2.16

Figure. 2.19.b Graphe de liens du modèle

moyenné du convertisseur boost non-idéal de la

figure 2.14

Le modèle moyenné du convertisseur Boost de la figure 2.14 se construit autour du modèle

simplifié du bloc de commutation, en ajoutant les éléments initialement écartés lors de la

simplification aboutissant à la figure 2.16. Ce modèle simplifié du convertisseur Boost non-idéal est

présenté à la figure 2.19.b.

Les équations qui régissent le comportement des éléments entropiques RS :D et RS :M sont

données respectivement par 2.14 et 2.15.

Des résultats de simulation ont été publiées [33]-[37]. Notamment nous présentons des

comparaisons entre des simulations du modèle moyenné idéal ou non du convertisseur et le modèle

fin prenant en compte les composants de puissance.

La figure 2.20 illustre un exemple de démarrage d'un convertisseur buck. Le convertisseur est

modélisé de manière précise avec des modèles fins de composants à semi-conducteur, par le modèle

simplifié idéal et son modèle simplifié incluant les non-linéarités des composants actifs.

(1-ρ)

(1-ρ)


Figure. 2.20 Démarrage d'un convertisseur buck (cellule de commutation IRF450, STTA1260,

inductance parasite de maille 150nH, alimentation 48V, inductance de lissage 300µH,

condensateur de filtrage 47µF, charge résistive 5,5Ω, période de découpage T=3us, rapport

cyclique variant linéairement de 5% à 50% sur 500ms)."ideal/test" fait référence au modèle

simplifié idéal, "avnl/test" fait référence au modèle simplifié augmenté, "reel/test" fait référence au

modèle précis avec les modèles fins de composants

La simulation avec les modèles fins des composants à semi-conducteur prend en compte un câblage

virtuel avec une inductance parasite volontairement élevée, et un modèle thermique des puces de

silicium et d'un substrat hypothétique sur lequel les puces sont supposées reportées (i.e [40]).

La simulation fine a révélé des surtensions qui justifient l'emploi de dispositifs comme le transistor

IRF450 et la diode STTA1260 par exemple. Les délais virtuels ont été identifiés pour la même

cellule de commutation que celle utilisée dans le convertisseur.


La fréquence de découpage (~300kHz) est volontairement très élevée afin qu'elle soit supérieure à

la plus haute fréquence propre présente dans le circuit (= 12 LCπ

~4kHz). Ainsi la valeur de la

fréquence de découpage n'introduit pas de biais dans les résultats du modèle simplifié idéal par

exemple. Par contre le découpage à fréquence élevée introduit des pertes Joule considérables, ce qui

est aussi le but recherché pour mettre en évidence la nécessité de leur prise en compte.

La précision apportée par la prise en compte des non-linéarités des composants à semi-conducteur

est alors évidente sur la figure 2.20, quand les chutes de tension aux bornes des composants ne sont

plus négligeables ni leurs pertes Joule.

La mesure des délais virtuels sera traitée dans le chapitre 3.

3.4.1 Linéarisation

Les délais virtuels augmentent la précision du modèle moyen par rapport à une construction

considérant des interrupteurs idéaux. Ceci est visible en comparant des formes d’ondes temporelles.

L’intérêt des délais virtuels est également d’augmenter la précision évident vis à vis des fonctions

de transfert autour d’un point de fonctionnement [39]-[40]. Par exemple, la figure 2.21 montre que

le modèle moyen non idéal d’un boost (Annexe 2.3) permet de bien estimer la fonction de transfert

( )

ˆˆ

outVV ρ

, sortie vis-à-vis du rapport cyclique , mesurée à l’aide d’un impédance-mètre HP4194A.

Durant la phase d’analyse fonctionnelle du convertisseur, les fonctions de transfert nécessaires à la

conception de la boucle d’asservissement peuvent être calculées formellement à partir du modèle

moyen. Les délais virtuels sont des paramètres déjà identifiés (chapitre3).


Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

0

20

40

60Réponse fréquentielle des modèle identifié

102 103 104-300

-200

-100

0

To:Y(

Modèle idéal

Modèle non idéal

Mesure

Figure 2.21 Fonction de transfert du hacheur parallèle « sortie-sur-commande »,

pour les valeurs : ρ0=0.5, VR=48V, R=52Ω, L=3.2mH, C=47µF, RL=0.19Ω.

210 310 410

Fréquence (rad/s)


3.5 Les délais virtuels

Dans le modèle construit précédemment (paragraphe 3.4), les délais virtuels apparaissent comme

des paramètres non-linéaires. Dans ce paragraphe, nous nous attachons à dégager des relations entre

les délais virtuels (et les termes d’énergie) et les ondes de courant et de tension. Ces relations seront

utilisées lors de la phase expérimentale d’identification. En reprenant (2.12), la détermination de

DS

offvδ est possible par simulation ou mesure à partir de l'onde de tension vDS lors de l'ouverture du

transistor MOSFET. Il en va de même pour, D

offiδ et

D

oniδ .

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2

1

2 1 2 11 2 1

1DS

toffv DS Don

DSon Don t

v t dt t t V v Iv I V v I

δ

= − − + − +

∫ (2.16)

L'analyse des propriétés des délais virtuels conduit aux remarques suivantes.

• Leur détermination est indépendante des bornes temporelles finales (t2, figure 2.17), (t4, figure

2.18).

• L'identification des délais virtuels nécessite de manière générale les formes d'onde de

commutation du courant et de la tension de la cellule de commutation.

• La cellule de commutation règle son comportement transitoire en commutation, en fonction

• du courant direct (I1),

• de la tension inverse (V2),

• de l'inductance parasite de maille (identifiée ici à ld dans la figure 2.14),

• mais aussi des températures internes de la diode et du transistor MOSFET,

• du circuit de grille du transistor MOSFET, identifié au générateur de tension équivalent et

aux éléments parasites (lg et rg).

D'ailleurs les caractéristiques statiques des deux composants sont également sensibles à la

température du silicium.

L'identification des délais virtuels peut être menée par voie expérimentale ou par voie de

simulations fines. Cette identification est liée uniquement à la cellule de commutation.

A cellule de commutation identique, et éléments parasites de câblage très proche, les modèles

moyennés de deux convertisseurs différents utiliseront les mêmes valeurs de délais virtuels. La

réutilisation sera d'autant plus importante que la précision sera relâchée. Mais là n'est pas le but. Car

par voie de simulation, l'identification des délais virtuels devient une tâche peu coûteuse en temps


de calcul, et donc envisageable dans un outil de CAO, à l'occasion de chaque changement

(composant, topologie…) qui modifie le comportement des cellules de commutation. Nous

représentons ci-dessous (Figure.2.22) pour un exemple d’un convertisseur Boost, les variations des

délais virtuels en fonctions du courant direct, avec la tension inverse comme paramètre.

T e m p s B o o s t

i Dδ ( n s )

T e m p s B o o s tv D Sδ ( n s )

A u g m e n t a t i o n d e sv a l e u r s d e V 2

A u g m e n t a t i o n d e sv a l e u r s d e V 2

C o u r a n t I 1 ( A )

C o u r a n t I 1 ( A )

Figure 2.22. Variation de iDδ (en haut) et vDδ (en bas) en fonction de I1, paramétré

Par V2 entre 50V et 300V , Lc=100nH, Rg=10Ω, Lg=5nH, BYT12PI600, IRF740 (i.e Boost).

3.6 Estimation des pertes

Lors de son fonctionnement, la cellule de commutation présente des pertes par conduction et par

commutation. Ces pertes en commutation sur une période de découpage, dépendent de la

constitution de la cellule, ainsi que de son environnement, c'est-à-dire des paramètres cités plus haut

(IF: Courant direct, VR: Tension inverse, T: température, Lc: inductance de cablage…). Ces pertes

peuvent donc être identifiées comme le sont les délais virtuels.

Nous avons donc envisagé des termes virtuels d'énergie pour tenir compte des pertes en

commutation sur un cycle, pour le transistor MOSFET comme pour la diode.

( )1 1. . MCMosfet DSon

s

EP v I I

Tρ= + (2.17)


( )1 1. . DCDiode Don

s

EP v I I

Tρ= + (2.18)

Où MCE et

DCE sont des termes virtuels d'énergie permettant d'extrapoler les pertes en

commutation. La démonstration des résultats des équations ci-dessus sera démontrée plus loin dans

ce chapitre.

Cette technique très simple donne de bons résultats et permet la simulation électro-thermique au

niveau du système pour l'analyse du système de refroidissement ou une application.

3.7 Convertisseurs DC-DC et cellules de commutation

3.7.1 Introduction

Comme nous avons déjà mentionné dans l’introduction générale, les systèmes intégrés de puissance

sont de plus en plus utilisés. Avec ce type de technologie, la conception par réalisation de

prototypes successifs devient de plus en plus difficile. C’est pourquoi il est de plus en plus souvent

nécessaire de recourir à la simulation des convertisseurs.

Que ce soit pour la simulation faite au niveau de la commutation ou bien pour la construction d’un

modèle simplifié du convertisseur (comme un modèle moyen [43]), la simulation d’une

représentation minimale du circuit à simuler est un choix justicieux : La cellule de commutation.

Nous allons chercher ici à démontrer l’équivalence

entre les comportements des dispositifs de puissance au

sein de convertisseur ou de la cellule de commutation.

Henri Foch [44] a montré que l’analyse des

convertisseurs peut se simplifier à l’étude des cellules

de commutation. En effet chaque commutation

correspond au changement d’état de deux interrupteurs.

La cellule de commutation comprenne les deux

interrupteurs, une source de courant qui représente le courant direct (IF), et une source de tension

(VR) qui représente la tension inverse appliquée.

VR

i2

iD

IF

Lc

MOS

D

g

Rg


3.7.2 Simplification du graphe de liens pour les convertisseurs DC-DC

3.7.2.1 Variable d’état des modèles des composants de puissance à semi-conducteur

Les modèles SPICE existent pour la plupart des composants à semi-conducteur depuis plusieurs

années. Ces modèles peuvent être transformés facilement en des Modèles d'état (SSM:"State Space

Models") mais plus difficilement en graphes de liens.

Il a déjà été montré que l’analyse de la Causalité [44] peut être appliquée pour le graphe de liens

incluant des composants représentés par SSM.

Le modèle SPICE de la jonction PN (une diode) peut être représenté par un SSM comme suit [44]

( )DDD D

dQQi Fdt

= − (2.19.a)

( )D D DQV G= (2.19.b)

Où QD, est la variable d'état, c-à-d. la charge stockée dans la région de la charge d'espace, iD, et VD

les variables de port associées à la diode (Figure 2.23). Les fonctions FD et GD sont des fonctions

analytiques et régulières spécifiées dans [44].

Figure 2.23 Schéma et graphe de liens associer à la diode.

De même, le transistor MOSFET (Figure 2.24) peut être représenté par un SSM [44]:

GG

dQi

dt= (2.20.a)

( , )jDS DS G j

dQQ QFidt

= − (2.20.b)

( , )GS G G jQ QV G= (2.20.c)

( , )DS DS G jQ QV G= (2.20.d)

iD

VD

VD

iD


Où les iG, vGS, iDS, et vDS sont les variables de port classiques du transistor MOSFET. QG, QJ, sont

les variables d'état du modèle. QG correspond à la charge à l'intérieur de la grille, et Qj correspond à

la charge à l'intérieur de la région de charge d'espace de la jonction de Drain-Source.

Figure 2.24 Schéma et graphe de liens associer au transistor MOSFET.

3.7.3 Simplification des graphes de liens des convertisseurs durant la commutation

Figure 2.25 représente le circuit des convertisseur « Buck » et « Cellule de commutation ». Le

composant L est l'inductance de lissage, et le composant Lc représente l'inductance du câblage

parasite du circuit. Lc est la représentation minimale du modèle du câblage parasite. L'importance

de cette inductance parasite de câblage a été démontré dans [45]. De plus cette inductance assure la

causalité du graphe de liens. De point de vue physique, l'inductance du câblage joue un rôle majeur

sur le comportement transitoire des composants de puissance. En particulier l'inductance Lc fixe le

stress de la diode pendant son ouverture par exemple.

La prise en compte d’un modèle plus complexe du câblage ne change rien aux résultats qui sont

exposés. Nous allons montrer que ces composants de puissance rencontre le même stress electro-

thermique dans les deux circuits figure 2.25.

iDS

iG vDS

vGS

vDS

iDSiG vGS


Figure 2.25 Graphe de liens des convertisseurs buck (gauche), et la cellule de commutation

(droite).

VR D

Lc

MOS L

C

gRg VR

IF

Lc

MOS

D

g

Rg

Se :VR

I :Lc

0 1 1

I :L

R

C

0 1

Se :g 1

R :Rg

D

M Se :VR 0 1 1

I :Lc

D

Sf :IF

Se :g 1 R :Rg

M

0


1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

13.2m 13.22m 13.24m 13.26m 13.28m 13.3m

Courant dans l'inductance

Cou

rant

(A)

Temps( )

Figure 2.26 le courant à travers l’inductance L du convertisseur Buck.

-10,0

-5,0

0,0

13.020m 13.022m 13.024m 13.026m 13.028m 13.03m

Tension

Cur

rent

(A)

Temps (s)

50

51

52

53

54

55

56

57

58


Courant Diode

Ten

sion

(V)

-5

0

5

13.010m 13.012m 13.014m 13.016m 13.018m 13.020m

Tension

Courant diode


Cur

rent

(A)

Temps (s)

50

51

52

53

54

55

56

Tens

ion

(V)

Figure 2.27 Un zoom de la Fig.2.26: Courant à travers l’inductance L (presque constant), et la

tension à travers la charge R, durant l’état transitoire turn-on (à droite) et turn-off (à gauche) de la

diode pour le convertisseur Buck.

T=période de

commutation


Figure 2.26 représente les courbes de courant et de tension pendant un état transitoire dans le

convertisseur Buck de la figure 2.25. Les résultats de simulation ont été obtenus comme décrit dans

[46] en utilisant la simulation du graphe de liens (convertisseur Buck) sous PACTE [34] (Figure

2.25).

Les composants de puissance à semi-conducteur (SD: "Semiconductor Device") opèrent la plupart

du temps dans le mode quasi-statique. Donc un composant de puissance peut être remplacé par des

interrupteurs idéaux (Sw-élément: "Switchs") dans un mode quasi-statique. Aussi change-t-il de

causalité pendant la période de transition (Figure 2.26) [158].

Dans le papier [46], le Bloc de commutation d’un convertisseur (SB: "Switching Bloc") (Figure

2.28) basé sur l'analyse de causalité est défini. Le bloc de commutation du système comprend tous

les composants dont la causalité change au moins une fois pendant la séquence cyclique (la période

de commutation).

Dans la pratique, un composant appartient au bloc de commutation si la variable d’état du modèle

change. Par exemple tout interrupteur idéal appartient au SB. Aussi l'inductance Lc appartient au

SB, parce que la causalité de Lc change de causalité dérivée à causalité intégrale pendant une

période de commutation.

L'hypothèse appelée " Hypothèse Standard de Commutation" [87] (SSA: "Standard Switching

Assumption") suppose que tous les éléments de stockage d'énergie n'appartiennent pas au SB, ne

change pas (trop) d'énergie pendant une phase de commutation, donc pendant un instant court par

rapport à la période de commutation

Conséquence:

Quand l'hypothèse (SSA) est satisfaite, il est possible de remplacer les éléments C et L qui sont à

l'extérieur du bloc de commutation, par des sources adéquates Se et Sf d’effort et de flux

respectivement.

Le choix de Se et Sf doit conserver la causalité du graphe de liens. Alors il est possible de simplifier

le graphe de liens résultant (Figure 2.28.b).

Notons que c'est très important de ne pas remplacer les éléments C et L situés à l'intérieur du bloc

de commutation, parce que ces éléments contrôlent l’état transitoire pendant le changement de

phases (commutation). C'est le cas du composant Lc dans la figure 2.25 et 2.27. Ce souci de séparer

les composants appartenants au non au bloc de commutation permet d’éviter l’écueil des méthodes

de construction qui considèrent l’intégralité du circuit (circuit averaging, state-space averaging).


Figure 2.28 Simplification du graphe de liens du convertisseur Buck.

Donc à la figure 2.25 les éléments connectés au graphe de liens du bloc de commutation (#1 en

figure 2.28) peuvent être replacés par une source de flux [146]-[89]. Nous obtenons un graphe de

liens simplifié (Figure 2.28.b).

De point de vue physique, et dans le circuit de la cellule de commutation à la figure 2.25, les

sources IF et VR représentent respectivement les valeurs relevées pendant le temps de la

commutation, du courant dans l'inductance et de la tension du condensateur [46].

Se :VR

I :Lc

0 1 1

I :L

R

C

01

R :Rg

Se :g

Bond #1

1 a

Se :VR

I :Lc

01 1

Sf :IF

D

1

R :Rg

Se :g 1 b

VR D

Lc

MOS L

C

gRg VR D

Lc

MOS

IF gRg


3.7.4 Simplification des graphes de liens des différents convertisseurs DC-DC

Le convertisseur Buck est décrit dans la figure 2.25, les convertisseurs Boost et Buck-Boost sont

décrit dans la figure 2.29.

Figure 2.29 Circuits et graphes de liens respectivement des convertisseurs Boost (gauche) et Buck-

Boost (droite).

En utilisant l'Hypothèse Standard de Commutation (SSA), figure 2.30 montre le graphe de liens

simplifié respectivement des convertisseurs Buck (a), Boost (b), Cellule de commutation (c), Buck-

Boost (d), comme expliqué auparavant.

Lc

MOS

L D

VR C

g

Rg

LcMOS

L

D

VR1 CIF

gRg

0 Se :VR 1

I :Lc

D

01

I :L C

R

Se :g 1 R :Rg

M

1Se :VR1 0

Sf :I

I :L

C 1

D R

0

Se :g 1 R :Rg

M

1


Figure 2.30 Graphes de liens Simplifiés pour les différents convertisseurs.

Buck (a), Boost (b), Cellule de Commutation (c), Buck-Boost (d).

VR D

Lc

MOS

IF gRg

Lc

MOS

D

IF VR

g

Rg

VR

IF

Lc

MOS

D

g

Rg

LcMOS D

VR1 VR

2

IF g

Rg

0Sf :IF

I :Lc

D

Se :VR

Se :g 1

Rg

iL VL

id Vd iM VM

ig Vg

Mc

1 0

I :Lc iL VL

id Vd 1 1 Se :VR 0

D

Sf :IF

R:Rg

iM VM

Vg Se :g 1 ig

M a

1

Sf :IF

R:Rg

1

Se :VR

0

I :Lc

D

Se :g 1

iL VL

id Vd iM VM

ig Vg

M b

0 Se :VR2

Sf :IF D

1Se :VR1 0

I :Lc

1

Se :g 1

iL VL

id Vd

iM VM

Vg ig

M

d R:Rg

1


3.7.5 Equivalence des phases de commutation dans les graphes de liens simplifiés

Les mêmes phases de commutation nécessitent les mêmes courants et tensions transitoires pour les

composants à semi-conducteur tel que : iD(t), vD(t), iDS(t), vDS(t), iG(t), vGS(t).

Le modèle de variable d’état (2.19) et (2.20) est considéré pour la diode, et le transistor MOSFET.

Les variables d'état de tous les graphes de liens (Buck, Cellule de Commutation, Buck-Boost) sont

respectivement XLc, QD, Qj, QG pour l’inductance Lc, Diode et le transistor MOSFET.

En utilisant l'analyse de la causalité [154] et spécialement l'Analyse de la Causalité Formelle (FCA :

« Formal Causality Analysis ») [43], les équations d'état des différents graphes de liens des

convertisseurs (Buck, Boost, Cellule de commutation, Buck-Boost) sont obtenues. Les graphes de

liens fournissent les mêmes équations d'état (2.21-2.24).

( ) ( , )

LcLc

R D DSD G j

dX VdtQ Q QV G G

=

= − − (2.21)

( )DD D D

dQQFidt

= − (2.22)

( ) ( , )j LcF DS G j

c

dQ X Q QI Fdt L= + − (2.23)

GG

dQidt

= (2.24)

Les équations d’états du convertisseur Buck-Boost (Figure 2.30.d) sont représentées dans (2.25-

2.28). En définissant une tension inverse effective VR = VR1-VR2, le système est le même que (2.21-

2.24).

1 2( ) ( ) ( , )

LcLc

R R D DSD G j

dX VdtQ Q QV V G G

=

= − − − (2.25)

( )DD D D

dQQFidt

= − (2.26)

( ) ( , )j LcF DS G j

c

dQ X Q QI Fdt L= + − (2.27)

GG

dQidt

= (2.28)


Dans le cas du convertisseur Boost, le graphe de liens simplifié est exactement le même que celui

du graphe de liens de la cellule de commutation (Figure 2.30.c).

Les variables de port du transistor MOSFET et de la diode (iD(t), vD(t), iDS(t), vDS(t), iG(t), vGS(t))

peuvent être décrites en fonction des variables d’états (XLc, QD, Qj, QG).

L'application de l’analyse de la causalité permet d'obtenir les équations d'état et les relations

donnant toutes les variables de port des graphes de liens comme fonctions des variables d’états.

Dans le cas du convertisseur Boost (Figure 2.30.b), les variables de ports sont données comme suit:

LcD

c

XiL

= (2.29)

( )D D DQv G= (2.30)

( , )DS DS G jQ QV G= (2.31)

LcFDS

c

Xi IL

= − (2.32)

GG

dQi dt

= (2.33)

Finalement, tous les convertisseurs (Buck, Cellule de Commutation, Buck-Boost) correspondent

aux équations d’états (2.21-2.24) et les signaux de commutation iD(t), vD(t), iDS(t), vDS(t), iG(t),

vGS(t) sont toujours donnés par (2.29-2.33). La solution de cette équation différentielle (2.21-2.24)

aboutit à une solution unique. De plus le Théorème de Cauchy [9] implique l'existence de la

solution unique. Finalement dans tous les convertisseurs, les signaux de commutation iD(t), vD(t),

iDS(t), vDS(t), iG(t), vGS(t) ont la même valeur (pendant la phase de commutation) aussitôt que les

valeurs de VR et IF sont équivalentes dans tous les convertisseurs. Cependant les graphes de liens

simplifiés ne sont pas les mêmes, (Les courants dans les sources de tension ne sont pas les mêmes).

3.7.6 Equivalence des simulations

Nous voulons étudier ici les équivalences qui existent dans les simulations de ces différents circuits.

La figure 2.31 montre un résultat de simulation (PACTE), pour les circuits étudiées à l’ouverture

d’une diode dans les mêmes conditions de courant direct IF, de tension inverse VR, de températures


TDIODE , TMOS et pour le même câblage caractérisé ici par l’inductance de la maille Lc. Lors des

simulations nous avons utilisé les mêmes composants et la même commande pour les différents

convertisseurs : rg = 10W, lg =5nH. VR = 100V, C=470 µF, L=3.2nH, R=50W. La diode utilisée est

la BYT12PI600 [8]. Evidement, il est souvent nécessaire au niveau d’une simulation fine, d’utiliser

des modélisations plus avancées du câblage. Toutefois l’objectif de cette étude est de valider les

équivalences au premier ordre des différents circuits.

Tension VR pour le bras d’onduleur

Courant IF pour le boost, le buck et lacellule de commutation.

Courant IF pour le bras d’onduleur.

Tension (V) Courant (A)

Tension VR pour le boost, le buck, et la cellule decommutation

Figure 2.31 .Tension et courant au blocage de la diode pour les différents circuits (PACTE)

(Rg=10Ω, Lg=5nH, VR=100V, C=470µ, L=3.2nH, R=50Ω, Diode BYT12P600, MOS IRF740).

Les commutations équivalentes (Figure.2.31) confirment les résultats démontrés précédemment.


Courant (A)Courant de grille IG pour leBras d’Onduleur

Courant de grille IG pour le Boost,Buck, et la Cellule de commutation

Conclusion: nous venons bien de vérifier que dés lors que IF et VR sont identiques, tous les circuits

hacheurs aboutissent exactement aux même commutations des composants actifs.

En revanche le cas de l’onduleur montre manifestement

un écart significatif par rapport aux commutations dans

les circuits DC-DC (Figure 2.31 et 2.32).

En effet si nous étudions la commutation sur le bras

d’onduleur, la diode D2 est conductrice et M1 passe en

conduction. La diode D1 et le MOSFET M2 sont des

éléments non-linéaires que nous ne pouvons pas

simplifier car à l’état bloqué ils se comportent comme des capacités non-linéaires qui interagissent

avec l’inductance de câblage Lc.

En particulier cette interaction se vérifie au niveau du courant grille dans le MOSFET (Figure 2.33).

IF

V Lc1

Lc2

MOS1

MOS2

D1 :DIODE

D2 :DIODE

Courant (A)

Tension (V)

Tension Vmax pour le bras

d'onduleur

Courant Imax pour le

bras d'onduleur. Courant Imax pour le Buck,

Boost, la Cellule de commutation.

Tension Vmax pour le Buck, Boost,

la Cellule de commutation.

Figure 2.32 Le courant et la Tension

maximum au cours du blocage de la diode

pour tous les convertisseurs dans les mêmes

condition que la figure 2.31.

Figure 2.33 Le courant Ig à travers le

MOSFET (IRF740).


Il est donc clair que pour des simulations fines le bras d’onduleur n’est pas équivalent à la cellule de

commutation.

Figure 2.34 Perte en commutation pendant le blocage de la diode dans les mêmes conditions que

figure 2.31.

Cela à des conséquences non négligeables en ce qui concerne les pertes en commutation Figure

2.34.

3.7.7 Modèles moyens des principaux convertisseurs DC-DC

Pour la construction des modèles moyens des principaux convertisseurs DC-DC, nous allons traiter

les cas des modes de conduction continue et discontinue séparément. Nous fournissions une liste de

modèles. Il est bien évident qu’un réseau de Pétri gérera, pour un convertisseur donnée, les différent

modèles moyens. Dans ce réseau de Pétri des conditions doivent, en cours de simulation, indiquer le

mode de conduction du convertisseur, afin de permettre le changement de modèle, s’il y a lieu,

comme par exemple le passage de conduction continue à discontinue lors d’une variation de charge.

Si les conditions de transition sont à peu prêt connues, nous n’avons pas testé la mise en œuvre de

réseaux de Pétri des modèles moyens. Nous n’abordons pas cette partie (non aboutie) dans ce

manuscrit.

Energie(1µJ)

Energie pour le Bras d'onduleur

Energie pour le Buck, Boost,

Cellule de commutation


3.7.7.1 Mode de Conduction continue

Nous appliquons la même démarche vue au paragraphe 3.7.4 pour les différents types de

convertisseur DC-DC présentés au paragraphe 3.7.

3.7.7.1.1 Cellule de commutation

Figure 2-35 « Cellule de Commutation ».

La figure suivante représente les signaux idéaux de commutation qui remplacent les signaux réels

dans le cas de la cellule de commutation, comme déjà vu au paragraphe 3.4 (figures 2.17, 2.18).

IFVR M

g

Lc ie

vs

D

1Se :VR 0

M

Se :g

I :Lc

Sf :IF

D

0


Avec PDSon=VDSon.iDSon, PDon=VDon.IF. Pour la simplicité des traitements nous négligeons les

courants de fuite.

Les valeurs moyennes des différents signaux ci-dessus sont :

.[1 ]CelliD

e D Fi i IT

δρ< >=< − >= − − +

.[ ]CelliDS

DS Fi IT

δρ< >= +

( ). 1 .Cell CellvDS vDS

s R Don DSonv V V vT T

δ δρ ρ < >= + − − + +

. . [ ]CellPm

Mosfet DSon FEP v I

Tρ< >= +

t0 t1

t0+δvDon

t1+δvDoff

Vg

iD

IF

VD

VDon

VDoff

PD

PDon

VM

VDSoff

VDson

IDS

iDSon

PDS

pDSon

t0+δiDon

t1+δiDoff

1-ρTT

t0+δvDSoff

t1+δvDSon

t0+δpDon

t1+δpDoff

t0+δiDSoff

t1+δiDSon

t0+δpDSoff

t1+δpDSon


( ). . 1 [ ]CellPd

diode Don FEP v IT

ρ< >= − +

3.7.7.2 Buck

Figure 2.36 Hacheur « Buck », ou abaisseur de tension.

Pour le Buck les valeurs moyennes sont données comme suit :

.[1 ]BuckiD

D Fi IT

δρ< >= − +

.[ ]BuckiDS

e DS Fi i IT

δρ< >=< >= +

( ). . 1Buck BuckvDS vDS

s R DSon Donv V V vT T

δ δρ ρ < >= − − − − +

. . [ ]BuckPDS

Mosfet DSon FEP v I

Tρ< >= +

( ). . 1 [ ]BuckPD

diode Don FEP v I

Tρ< >= − +

3.7.7.3 Boost

Figure 2-37 Hacheur « Boost », ou élévateur de tension.

Pour le convertisseur Boost les valeurs moyennes sont données comme suit :

IF

M

VR

Lc

D

vs ie

VR IF

is

Mg

Lc D

ve

1Se :VR 0

M

Se :g Sf :IF

1

I :Lc

1 D

0Sf :IF 1

Lc

VR

M

Se :g

D0


.[1 ]BoostiD

s D FIi i Tδρ< >=< >= − +

.[ ]BoostiDS

DS Fi IT

δρ< >= +

( ). 1 .Boost BoostvDS vDS

e R Don DSonv V V vT T

δ δρ ρ < >= + − − + +

. . [ ]BoostPM

Mosfet DSon FEP v I

Tρ< >= +

( ). . 1 [ ]BoostPd

diode Don FEP v I

Tρ< >= − +

3.7.7.4 Buck-Boost

Figure 2.38 Hacheur « Buck-Boost ».

Pour le Buck-Boost les valeurs moyennes sont données comme suit :

( ).[1 ]Buck BoostiD

s D FIi i Tδρ

−

< >=< − >= − − +

.[ ]Buck BoostiDS

e DS FIi i Tδρ

−

< >=< >= +

1 2(( ) ). . 1Buck Boost Buck BoostvDS vDS

s R R DSon DSonv V V V vT T

δ δρ ρ− −

< >= − − − − − +

. . [ ]Buck BoostPM

Mosfet DSon FEP v I

Tρ

−

< >= +

( ). . 1 [ ]Buck BoostPD

diode Don FEP v I

Tρ

−

< >= − +

Nous traçons sur la figure 2.40, la variation de délais virtuels iDδ et v Dδ en fonction du courant

pour les différents convertisseurs DC-DC. Evidement comme nous avons montré que tous les

hacheurs fournissent exactement les mêmes commutations (Paragraphe 3.7), on constate bien que

les délais sont égaux dès lors que les conditions des commutations sont égales par ailleurs.

VR2 g

M

VR1

D L

Vs IF

is ie

1Se :VR1 0

M

Sf :IF

I :Lc

Se :VR2 1

D

Se:g

0

1


T i m e

i Dδ ( n s )

T i m e v Dδ ( n s )

Figure 2.40 Les délais virtuels iDδ and v Dδ pour le Boost,

Buck et la Cellule de commutation ( Diode : BYT12PI600, MOSFET : IRF740, Lc=100nH,

VR=150V, Rg=10Ω, Lg=5nH).

Nous rassemblons dans le tableau 2.1 le récapitulatif des résultats. Nous représentons pour chaque

convertisseur la tension et le courant à appliquer à la cellule de commutation équivalente.

Buck Cellule Boost Buck-Boost FlyBack Cûck

VR VR VR VR VR1-VR2 VR1-VR2 VR

IF IF IF IF IF IF I1-I2

Tableau 2.1

3.7.8 Mode de conduction Discontinue

Dans cette partie, nous traiterons le mode de conduction discontinue du fonctionnement des

convertisseurs DC-DC. Nous présentons ci-dessous les différentes équations de courant et de

tension obtenue tout calcul fait pour les convertisseurs déjà présentés. Cette partie sert seulement

d’illustration.


3.7.8.1 Boost

Figure 2.41 Hacheur « Boost ».

La figure suivante représente les signaux idéaux de commutations qui remplacent les signaux réels

dans le cas du Boost pour le mode de conduction discontinue.

Lc

MOS

L D

VR C

g

Rg 0 Se :VR 1

I :Lc

D

01

I :L C

R

Se :g 1 R :Rg

M


Avec PDSon=VDSon.iDSon, PDon=VDon.I0, α=(T2-t1)/T.

Dans le cas du Boost, les valeurs moyennes sont :

0 .[ ]2

CelliDS

DSIi T

δρ< >= +

( )2. .

2. .R s L

e Fs R

V Vi iL TV V

δρ < >=< >= + −

t0 t1

t1+δvDon

T2

Vg

iD

I0

VD

VDon

VDoff

PD

PDon

VM

VDSoff

VDSon

IDS

iDSon

PDS

pDSon

t1+δiDon

T2

ρT

T

t0+δvDSon

t1+δvDSoff

t1+δpDon

T2

t0+δiDSon

t1+δiDSoff

t0+δpDSon

t1+δpDSoff


,0( ).[ ]2

BoostOn iD

s DIi i

Tδ

α< >=< >= −

0. . [ ]2

BoostDSon PM

Mosfetv I EP

Tρ< >= +

,0. . [ ]2

BoostOn PDDon

diode

Ev IPT

α< >= −

Nous vérifions aussi bien que:

2 20 0. . . .

2( ) 2 ( )

out in

R DS S D

RR S

R S S R S

P PV i V i

L L VI IV VV V V V V

< >=< >< >= < >

=− −

3.7.8.2 Buck

Figure 2.42 Hacheur « Buck ».

De même pour le Buck, nous trouvons les valeurs moyennes suivantes :

,0( ).[ ]2

CellOn iD

DIi

Tδ

α< >= −

0 .[ ]2

BuckiDS

e DSIi i T

δρ< >=< >= +

( ) 2..

.2.R s R L

s Fs

V V Vi i L TV

δρ− < >=< >= +

0. .[ ]2

BuckDSon PM

Mosfetv I EP

Tρ< >= +

,0. .[ ]2

BuckOn PDDon

diode

Ev IPT

α< >= −

VR D

Lc

MOS L

C

gRg

Se :VR

I :Lc

0 1 1

I :L

R

C

0 1

Se :g 1

R :Rg

D

M


3.7.8.3 Buck-Boost

Figure 2.43 Hacheur « Buck-Boost ».

De même pour le Buck-Boost, nous trouvons les valeurs moyennes suivantes

( ) 21 2 1

2

..

.R R R L

L FR

V V Vi i L TV

δρ− < >=< >= +

,0( ).[ ]2

Buck BoostOn iD

s DIi i

Tδ

α−

< >= − < >= − −

0 .[ ]2

Buck BoostiDS

e DSI

i i Tδρ

−

< >= − < >= +

0. .[ ]2

Buck BoostDSon PM

Mosfetv I EP

Tρ

−

< >= +

,0. .[ ]2

Buck BoostOn PDDon

diode

Ev IPT

α−

< >= −

Lc MOS

L

D

VR1 CIF

gRg

1Se :VR 0

Sf :I

I :L

C 1

D R

0

Se :g 1 R :Rg

M

1


4 Conclusion

Pour la simulation des systèmes de puissance, nous avons appliqué l'analyse de causalité algébrique

à la construction de modèles simplifiés d'un convertisseur.

Les apports de cette démarche vis-à-vis de l'état de l'art, sont significatifs au niveau de la

systématisation de la construction du modèle, et de l'extension à la prise en compte des non-

linéarités des composants à semi-conducteur.

L'introduction des délais virtuels ramène la cellule de commutation au premier plan des

considérations.

Partant d'une structure de convertisseur, il est possible de construire systématiquement des modèles

moyens en fonction des différents modes de fonctionnement. En choisissant des délais virtuels

représentatifs des gammes en courant, tension et puissance, un concepteur peut débuter l'analyse

d'un prototype virtuel en se préoccupant à la fois de la loi de commande, des aspects thermiques et

probablement électromagnétiques. Ceci constitue bien la base d'un outil de conception.

En utilisant l'analyse de causalité, nous avons montré que si les commutations dans un

convertisseur DC-DC pouvait classiquement être étudiées dans le circuit simplifié de la cellule

de commutation, ce n’est pas le cas des commutations dans un onduleur de tension.

Ce point est important car nous développons des modèles simplifiés des convertisseurs en vue de

conception. Il est donc clair que ces modèles simplifiés devront différencier les convertisseurs DC-

DC et DC-AC.

Pour autant, la problématique de la construction des modèles moyens de convertisseur n’est pas

levée puisque la gestion de ces modèles, les uns par rapport aux autres en cours de simulation, n’a

pas encore aboutie.


Documents

Contribution a la construction systématique des …csidoc.insa-lyon.fr/these/2002/ammous/chapitre2.pdfau mode de conduction discontinue conduit à des schémas lourds où le sens