Contribution à l'étude DE LA

torsion des pièces droites prismatiques ' 530.

S i

PAR

E . Q V S E I N Ingénieur civil

Assistant à l'Ecole Polytechnique.

Extrait du Bnlletîn Technique de l'A. I. Br., n" 2. 1926 et 1, 1927.

B R U X B L L B i

iMPRIMERfE a. BOTHY t a . n U E DK LA C V N C O n D B

1927

Contribution à l'étude de

la torsion des pièces droites prismatiques

I. — Introduction historique.

Malgré le grand intérêt que présente le problème de la torsion, Ja théorie exacte du phénomène n'a pas pris pied, avec toute la généralité de ses développements, dans renseignements univer­sitaire de la résistance des matériaux. On s'y limite le plus sou­vent à l'étude de la seule section circulaire dont l'importance est évidemment capitale, mais la résistance à la torsion des sections elliptique, rectangulaire, carrée, triangulaire, des sections creuses, <les profilés, n'est presque jamais abordée.

C'est que, dans l'étude de la torsion, intervient un phénomène négligeable dans les cas courants de la traction, de la compres­sion et de la flexion : les sections transversales planes avant dé­formation ne restent plus planes après et cette déformation se manifeste longtemps avant le dépassement de la limite de pro­portionnalité. Il se fait, que seules, les sections circulaire et an­nulaire ne présentent pas cette particularité et leur étude peut se poursuivre en appliquant l'hypothèse simplificatrice de la flexion, que l'on désigne sous le nom d'(( Hypothèse de Bernouilli ».

Jetons un icoup d'œil rétrospectif sur l'historique du problème. Il a été étudié pour la première fois, théoriquement et expéri­

mentalement, par Coulomb, en 1784. Ce remarquable savant, qui a inventé à cette occasion la u Balance de Torsion » dans le but de

(i) Extrait de la thèse de Doctorat Spécial défendue devant la Faculté des Sciences Appliquées de l'U. L. B.

vérifier expérimentalement ses conceptions théoriques, a donné-les formules exactes pour le calcul de la section circulaire, la seule qu'il ait envisagée.

Navier, vers 1820, généralise les conceptions de Coulomb, les applique à toutes les sections et donne une théorie com,plète de la-torsion, décalquée sur celle de la flexion, qu'il venait de créer avec tant de succès.

Les expériences de Duleau et Savart, de 1829, infirmèrent complètement la théorie de Navier, sauf en ce qui concerne la section circulaire.

E n 1829, Cauchy prouve que, d'une manière générale, les sec­tions transversales ne peuvent pas rester planes après une dé­formation de torsion.

Dans une série de mémoires courant depuis 1833 jusque 1864, Barré de Saint-Venant a fait de la théorie de la torsion un

monument de science et de sagacité. Malheureusement, la mé­thode qu'il emploie, dénmomée par lui (( Méthode semi-inverse » est longue et compliquée, elle exige des connaissances approfon­dies en élasticité et elle n'a pas pu obtenir ses grandes entrées dans l'enseignement universitaire.

Notons encore que les expériences très précises de Bauschinger, de Bach, de Foppl et de Brettschneider ont admirablement con­firmé, à moins de 1,5 % d'erreur près, les déductions théoriques de D e Saint-Venant.

II. — Fonction potentielle de torsion.

PREMIERE PARTIE

D a n s de nombreux problèmes mécaniques l'application des fonctions potentielles conduit à des méthodes de résolution fort élégantes et l'on pouvait poser la question: « N'existerait-il pas une fonction définissant en chacun des points d'un solide sol­licité à torsion et en fonction des coordonnées de ce point, les états de tension et de déformation correspondant à cette sollici­tation ?

La question a été résolue par l 'affirmative, en 1920, par A. et L. Fôppl en se basant sur la théorie de De Saint-Venant.

On peut retrouver cette fonction tout en se libérant totalement de cette sujétion, de manière à donner une théorie intrinsèque de I3. torsion. En e f f e t :

Tous les essais de torsion montrent que:

a) les sections transversales planes avant déformation ne restent plus planes après, exception faite pour les sections circu­laire et annulaire. Cette déformation est nettement sensible long­temps avant le franchissement de la limite de proportionnalité.

b) Toutes les sections, suff isamment éloignées des extrémités, se déforment de la même manière.

c) Les génératrices rectilignes parallèles à l'axe de la pièce deviennent après déformation des hélices.

Nous arrivons donc à décomposer la déformation en une ro­tation relative des sections, dont l'amplitude est proportionnelle à leur distance et en une translation d'ensemble des sections, pa­rallèlement à l'axe de la pièce, telle que cette translation soit la même pour les points correspondants de toutes les sections.

Si nous rapportons la pièce à un système de référence tri-rec­tangle, tel que l 'axe (x) soit confondu avec l'axe de la pièce et le plan {y z) avec le plan de la section transversale à mi-lon­gueur :

Figure i.

o h peut écrire en appelant u, v, w les composants du dépla-

— 6 —

cernent suivant les 3 axes pour le point de coordonnées (x, y, z) • E n vertu de l'étude du mouvement hélicoïdal :

a) la rotation donne V = 6 xz.

w = — 0 z y.

o ù 6 est l 'angle de rotation par unité de longueur défini comme ang le de torsion unitaire.

t>) la translation définie plus haut donne

/ (y,

On en tire immédiatement les expressions des dilatations et d e s glissements :

' ~ d x ~ ' ' '''~~dy~° "^dz^^

et 8 = 8 + 8 + 8 = 0 .

V X u z

du cv du , . 3y dx dy dv dw . „ _ dz dy dw du du .

Les 6 fonctions associées à la déformation se réduisent donc à : du

; , , = - + 9 .

du

e t les relations entre tensions et déformations définissent l'état d e tension correspondant comme suit:

(du

Les équations d'équilibre de translation du parallélipipède élé­mentaire situé à l'intérieur du corps solide permettent d'écnre

en négligeant la composante Z des forces massiques (poids de la pièce), l'expression suivante:

La forme de leurs expressions permet également de conclure que r ^ et T sont indépendants de {x) et sont donc situés dans le plan [y z).

D'après le mode d'obtention des valeurs de r^^^ et r , nous pouvons affirmer que l'état de torsion, défini précédemment par la superposition de deux déplacements de déformation, et con­duisant aux expressions de l'état de tension trouvées ci-dessus, satisfait à toutes les équations de l'élasticité à condition que la fonction inconnue u = f {y z) satisfasse à l'équation:

que nous noterons u = o. et qui admet une infinité de solutions dont il faut choisir celle qui satisfait aux conditions au contour.

On remplace ce problème diff ici le par un problème équivalent que nous allons déterminer.

Nous obtenons comme équation d'équilibre restante :

dy dz

Si d'autre part nous éliminons (M) entre les expressions de ''11/ xz faisant appel à la propriété

dy dz dz 3y

on obtient immédiatement :

dz dy

L'expression + = 0 est la condition nécessaire et suf-dy dz

suff isante pour que et r^^ puissent être exprimés par une même fonction des coordonnées y et 2. Si l'on pose :

'"'-dz

dF

— 8 —

on vérifie bien que l'on a:

0

Introduisant ces conditions dans l'équation

— = 2§9

on obtient l'équation différentielle de la fonction F sous la forme:

F est la fonction potentielle de torsion. Elle définit tout le problème à condition de lui adjoindre les conditions au contoui requises.

Il suff i t pour cela d'appliquer les équations à la surface don­nées ,par l'étude de l'équilibre du tétraèdre élémentaire, ou de faire le simple raisonnement suivant :

Si ^ = / (y) est l'équation du contour de la section transver-dz

sale — e s t le coefficient angulaire de la tangente; d'autre part, dy

la tension tangentielle le long du contour doit être tangente à celui-ci, puisqu'il n 'y a pas de forces extérieures appliquées au contour dans le phénomène de torsion ; la condition au con­tour s'exprime donc par:

•Zxy d y

ou

^ dy-\- — dz = o dy dz

condition signifiant que la fonction F doit être invariable tout le long du contour de la section, que celui-ci soit extérieur ou intérieur.

Dans un phénomène de torsion les forces extérieures sont ap­pliquées aux faces terminales de la pièce. Elles peuvent, d'une manière générale, se réduire à une résultante et un couple. Nous allons montrer que cette résultante, qui doit être équilibrée p£ir les et les r , est nulle et que le couple subsistant justifie donc

— 9 —

Taien le nom de « Moment de torsion » dans les conditions ini­tiales du problème. La démonstration la plus simple et la plus •élégante de l'annulation de la résultante est due à M. Fr. V a n den Dungen, auquel nous en avions parlé; à son tour elle est une particularisation d'une propriété plus générale démontrée par M. Mineur dans Mathesis (1926). Elle consiste uniquement à montrer que l'on a:

T j c y dydz — 0

J J Q dydz = o

ce qui est évident, car cela peut s'écrire :

« t

Or, F, et F^, F'i et F'^ sont les valeurs de F au contour; nous savons d'autre part, que F est constant le long du contour et l 'on a donc bien:

J -zxy dydz=o

J dydz=~o

correspondant à l'annulation des forces extérieures.

C O N C L U S I O N S . — On obtient une solution exacte du pro­blème de la torsion pure si l 'on parvient à déterminer une fonc­tion F (y z) telle qu'elle réponde à l'équation différentielle:

= TM

let qu'elle satisfasse à la condition au contour:

— aw 4 - — a* -= 0 dy dz

— lO —

A y a n t déterminé F , on en tire:

dz

_ _ 9 F

32/

• _ 1 ^

• _

w

3M 3 F I = — 02

2y dz <è

du ^-^ ^ I fi

dy^'^dz'"^

M,

c'est-à-dire tous les éléments : tensions, déformations, forces exr-térieures définis en fonction des coordonnées.

D E U X I E M E P A R T I E .

L'existence d'une fonction potentielle de torsion permet de tirer certaines conséquences importantes pour la recherche de cette fonction et pour la figuration de l'état de tension. Nous allons énumérer successivement et sans les démontrer, les plus impor­tantes de ces propositions :

Conséquence I.

Si l'équation du contour de la section / (y, ^) = o satisfait à-l'équation différentiel le:

où K = constante. On a immédiatement la fonction potentielle F qui vaut :

F = f{y,s) + constante

Lorsqu'elle ne satisfait pas à cette condition la détermination-de F nécessite des recherches plus complexes partant de l'équa­tion

établie précédemment. C'est le point de départ de la méthode suivie f>ar Barré de Saint-Venant et c'est le cas pour la sectionc rectangulaire par exemple.

Conséquence H. La fonction F (y, z) étant la fonction potentielle die torsion-,,

les courbes de niveau ou équipotentielles ont pour équation :

Y ( y , = constante

et les lignes de force, qui sont leurs trajectoires orthogonales ont: pour équation :

dy dz â F ^ â f dy dz

Conséquence III. Si, en chaque point de coordonnées (y, z), on porte la valeur

de la fonction F correspondante, sur une normale à la sectioir. on obtient une surface d'équation :

x = Y(y, z.)

qui est la surface des tensions de la torsion. Cette surface est représentative du potentiel de torsion; c'est'

un monticule ayant la section pour base, si l'on choisit conve­nablement la constance arbitra're résultant de l'invariance de F le long du contour. Si nous coupons ce monticule par des plans;

— 12 —

T^arallèles à la section on obtient les courbes : F(y, z)= constante •qui sont les courbes de niveau.

Le monticule potentiel, dû à Prandtl, jouit de deux propriétés remarquables :

Première -propriété. Le moment de torsion vaut 2 fois le volume du monticule po­

tentiel.

Deuxième propriété. E n chaque point, l'inclinaison du monticule donne la valeur

•de la tension tangentielle au point correspondant de la section.

Conséquence IV. La projection orthogonale sur la section, des courbes de niveau

•du monticule potentiel donne les trajectoires des tensions tan­gentielles de la section et en chaque point la tension tangentielle est inversement proportionnelle de la distance normale séparant 2 trajectoires voisines. Par conséquent là, où les trajectoires sont resserrées il y a de fortes tensions, là oti elles sont distantes les tensions sont faibles. De là l'importance des trajectoires des ten­sions tangentielles qui fournissent une figuration extrêmement •caractéristique de la distribution des tensions dans une section tordue.

Conséquence V. L'angle de torsion unitaire 6 est inversément proportionnel

au module de glissement G et directement au moment de tor­sion Mj. Il dépend en plus de la forme et des dimensions de la •section transversale et l'on peut écrire d'une manière générale :

M/ = 9§J

en appelant J le module de résistance à torsion de la section.

Conséquence VI. Le phénomène de torsion constitue un état double de tension;

les deux tensions principales sont égales et de signes contraires et les deux facettes principales font avec le plan de la section un angle de 45°.

Application à la section elliptique.

L'équation de l'ellipse dans le système d'axes y, z confondu avec le système des axes de symétrie est :•

•=^-{-•-0 = 1 a v e c r t > 6 .

— i3 —

On a donc : /(>',2') = è y + « V —a-è-

D'après la Conséquence /> on doit former :

3^/ 3V"

•ce qui donne ici :

3V" 3"/ r—, + r^j = 2 {cf-\-ir) = constante. 3 / 32*

Cette même conséquence I permet alors d'écrire l'expression de 'la fonction potentielle :

a* 4 - 6 '

qui s'annulle au contour et qui satisfait donc aux conditions li­mites.

On en tire :

3 F _ a Qg

3 F 2SÔè'

• e t

d'où

2U .xy

dy

a' — b'

(ft) est de la forme K.(y.z) et est donc une solution particulière de l'équation de Laplace :

3 ^ 3 ^ _ 3 / 32' ~ ° '

On montre facilement que la section transversale initialement ,plane, déformée par le déplacement de translation (M) et par la .rotation relative, est un paraboloïde hyperbolique.

— 14 —

L a formule :

permet de conclure :

d'où :

ce qui fournit :

M/

M / . z

Mt-y

ou encore

I M/

2 L ^

Il est à remarquer que le moment d'inertie polaire n'intervient pas mais bien les moments d'inertie et par rapport aux axes y et z et que la tension maxima se produit aux extrémités du-petit axe.

Le monticule potentiel d'équation :

x.= - M L . ( è y + a V - a ^ è ' ) 71 ab

est un paraboloïde elliptique dont les courbes de niveau (qut sont les trajectoires des tensions) sont des ellipses.

L e champ de force de torsion a donc l'aspect suivant :

Figure i.

Les mêmes principes peuvent s'appliquer à l'étude d'une sec­tion cinnulaire constituée par deux ellipses semblables; leâ li­mites du profil correspondent donc à 2 trajectoires de tension et ceci permet de considérer un cylindre ayant une telle section, comme la différence de deux cylindres elliptiques pleins à con dition de modif ier la répartition des forces extérieures. Celle-ci est déf in ie par le monticule potentiel et le fait d'enlever le cy­lindre intérieur revient à couper le monticule potentiel par un plan horizontal.

Les formules de la section elliptique pleine peuvent donc ser­vir immédiatement dans ce cas à condition de remplacer et par leurs nouvelles valeurs :

4

4 où k est le rapport de similitude des deux ellipses.

— i6 —

Application à la section reciangulaire.

Les axes de symétrie du rectangle de côtés (2a) et {'2b') étant pris f)our axes et £• on a :

et

La condition de constance de — + — n'étant pas remplie

il devient impossible de déterminer directement F . Néanmoins, nous allons établir, en suivant la méthode potentielle, des ex­pressions approchées de r et r connues sous le nom de for-mules de Bach et déduites des nombreuses expériences effectuées par cet auteur.

Posons a priori :

F = C . f { y , z) ou Y = Q{y^— c^) {z' — b")

où la constante encore indéterminée C remplace le terme —— K.

des solutions exactes. Calculons C en partant des équations :

/ = f 1* {-.y 2 — y) dy M

F = C ( / — ( z ' — b')

i 3F ^ \ dz dy

On obtient facilement :

32

d'où :

Cette fonction s'annule au contour et satisfait donc aux con­ditions limites.

On en déduit :

9 i6 u'b^

9 i6

d'où 9M/

16 ab^

ce qui est la formule de Bach.

Remarque : Le T^^^ se produit au milieu des côtés longs dte rectangle.

I. — Analogie hydrodynamique de la torsion.

L'analogie entre certaines équations de l'hydrodynamique et les équations de la torsion établie par Barré de Saint-Venant, a été remarquée pour la j)remière fois par Thomson et Tait dans leur traité : A treatise of Nainral Philoso-pky.

Cette analogie se démontre facilement comme suit : La notion des trajectoires des tensions tangentielles et de leurs

propriétés conduit immédiatement à la notion d'un f lux plan; constant circulant dans les tubes formés par les trajectoires voi­sines.

Soient et les composantes coordonnées de la vitesse ( v ) de ce f lux supposé circuler dans un contour fermé.

L'équation de continuité hydrodynamique ("équation d'Euler)' permet d'écrire :

La constance du tourbillon de ce f lux donne la relation t

i n . — Analogies.

O dy dz

— constante

o Vy Vz

- i8 —

d 'où

r r— = constante dy dz

Le long du contour, le liquide doit se déplacer tangentielle-ment et la vitesse se trouve sur la tangente au contour.

Equations et conditions au contour sont donc les mêmes que pour le problème de torsion d'où la conclusion importante au point de vue de la figuration de l'état de tension :

Figure 2.

Les lignes de f lux auxquelles la vitesse est constamment tan­gente dans le problème hydrodynamique sont identiques aux tra­jectoires des tensions du problème de la torsion et jouissent de toutes leurs propriétés. Ces lignes de f lux se traçant facilement au simple jugé, permettent fréquemment la découverte d'une so­lution approchée pour une section de forme complexe et dans tous les cas la détermination à coup sûr des endroits de sollicitation maxima ou minima.

2. — Analogie hydrostatique de Prandtl.

Prandtl a démontré que l'équation différentielle de la surface formée par une bulle de savon tendue sur une ouverture et gon­f lée à l'aide d'une pression uniforme peut s'écrire, lorsqu'on se

.limite aux très petites déformations :

3y» 'èz s

— 19 —

Dans cette expression { f ) est la pression. ( j ) , la tension spécifique de capillarité. ^ une ordonnée quelconque parallèle à l'axe x.

Cette équation s'applique encore, avec une approximation suf-risante, si l'on remplace la bulle de savon par une membrane mince, une membrane de caoutchouc par exemple.

Figure 3.

Nous avons vu que l'équation différentielle du monticule po­tentiel était :

32F a'F

Les conditions au contour sont également identiques car la fonction ^ s'annuUe tout le long du contour de l'ouverture tout comme la fonction F s'annuUe le long du contour de la section.

On peut donc conclure, çu'à Véchelle convenable, la bulle de savon ref résente le monticule potentiel. C'est là l'analogie hy­drostatique de Prajidtl.

— 20 —

Pour étudier la résistance à torsion d'une section de forme quelconque, on découpe donc dans le couvercle d'un récipient un trou reproduisant cette section et un trou circulaire. Ces deux trous sont recouverts d'une bulle de savon et on fait agir à l'in­térieur du récipient la même pression (^).

La section circulaire, qui est entièrement connue par calcul,

permet la détermination du facteur — intervenant dans la ques-s

tien d'échelle; on peut alors déterminer tousl es facteurs du pro­blème de la torsion de la section étudiée à l'aide des propriétés du monticule potentiel.

Les physiciens anglais A. Griffith et G.-L Taylor ont réalisé pratiquement ce procédé pour étudier surtout les hélices d'avion et quelques profilés; ils font les mesures d'inclinaison à l'aide d'un dispositif optique d'auto-collimation, et ils tracent les cour­bes de niveau à l'aide d'une pointe en acier mobile parcourant toute la surface de la bulle à des hauteurs réglables.

Depuis lors, mis au courant des propriétés remarquables du monticule potentiel, M. Piccard, professeur de physique à l'Ecole Polytechnique et M. Jeanmoulle ont élaboré des procédés d i f f é ­rents mais tout aussi élégants, permettant en plus le tracé photo­graphique des courbes d'égale tension tangentielle.

Ils se proposent d'en faire incessamment une communication, dont le grand intérêt n'échappera à personne.