Control 1 Carrera: ingeniera elctrica Profesor: M.C. Rodrigo Rodrguez RubioAlumno: Cesar Antonio Martnez Campos Evaluacin 4ta unidadNombre del trabajo: estabilidad relativa y absoluta Concepto del lugar geomtrico de las races, mtodo de lugar geomtrico de las races.Fecha de entrega: 13 de mayo del 2015

ESTABILIDAD RELATIVA

La estabilidad relativa es una medida cuantitativa de la rapidez con la que la respuesta transitoria del sistema tiende a cero. Cuanto menor sea el tempo en estabilizarse la respuesta en el sistema es ms estable relativamente. En un sistema genrico la estabilidad relativa puede determinarse mediante el tiempo de establecimiento de las races dominantes ts=/En cuanto ms alejados estn los polos del eje imaginario menor ser el tiempo de estabilizacin y ms estable relativamente el sistema.Al disear un sistema de control es necesario que sea estable y que tenga una estabilidad relativa adecuada. El criterio de Nyquist no solo muestra si es estable sino tambin el grado de estabilidad.Un sistema de control con retroalimentacin simple como en la figura. Es estable si su ecuacin caracterstica a lazo cerrado es: F(s)= 1+G(s)H(s) y no tiene ninguna raz con parte real positiva.

EL CRITERIO DE NYQUISTEl criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta frecuencial a lazo abierto con la estabilidad a lazo cerrado; basado en el teorema de la variable compleja que se fundamenta en el mapeo de los contornos en el plano complejo Parte de los fundamentos que dan base al criterio son: 1.- para una trayectoria cerrada continua en el plano S que no pasa por ninguna singularidad , le corresponde una trayectoria cerrada en el plano F(s).2.- Si el contorno en el plano S(S),encierra igual numero de ceros que polos de F(s) Y el contorno F(s), (F(s)) no encerrara el origen.3.- si s encierra n polos de F(s) , F(s) rodea al origen n-veces en sentido anti horario.4.- si el s encierra m ceros de F(s) , F(s) rodea al origen m-veces en sentido horario.

Ejemplo:Una funcin de s tal como F(s) ,transforma una trayectoria cerrada del plano s(s), sobre el plano F(s) en una trayectoria cerrada en el plano F(s) (F(s)).como se menciono anteriormente ,F(s) corresponder con la ecuacin caracterstica a lazo cerrado , por lo que se tiene que Si G(s)H(s) = 1/(s+1) F(s)= 1+ (1/(s+1))F(s) solo tiene un cero en s=-2 y un polo en s=-1Para este ejemplo, se tomaran dos contornos en plano s(S) y se realizan las transformaciones de dichos contornos utilizando F(s). Tanto los contornos, como sus correspondientes transformaciones se muestran en las figuras.

Imagen: Primer caso El rea encerrada est a la derecha del recorrido cuando se mueve en sentido horario, por lo que en el primer caso el s encierra un polo y un cero de F(s) y en el segundo caso, el s encierra un cero de F(s) como puede observarse, en el primer caso el F(s), no encierra el origen pues el nmero de ceros y polos de F(s) encerrados en el s son iguales . En el segundo caso, el F(s) encierra el origen una vez pues existe un cero de F(s) encerrado en el s.

Imagen: Segundo casoESTABILIDAD ABSOLUTA

La caracterstica ms importante del comportamiento dinmico de un sistema de control es a estabilidad absoluta, es decir, si es estable o inestable el sistema.Un sistema de control es estable si la salida termina por regresar a su estado de equilibrio cuando el sistema est sujeto a una condicin inicial. Es decir para una entrada acotada se genera una salida acotada.Sistema crticamente estable Un sistema es crticamente estable si las oscilaciones de la salida continan de la forma de entrada.Estabilidad absoluta en el dominio complejo Se ha observado que la estabilidad depende de la ubicacin de las races del polinomio caracterstico .Aquellos polos , de primer o segundo orden , que se encontraban situados en el semiplano positivo aunque fuese uno solo ,hacan que la evolucin de la seal de salida no estuviera acotada.Un primer mtodo para conocer la estabilidad absoluta del sistema es calcular las races del polinomio caracterstico y observar que todas estn en semiplano negativo. Las regiones de estabilidad e inestabilidad se muestran en la figura.Se puede demostrar que para que la seal de salida sea acotada, ante una entrada acotada, se precisa que la respuesta impulsional del sistema tienda a cero cuando el tiempo aumenta. Esta condicin se formula como una condicin de convergencia absoluta:

CRITERIO DE ROUTH-HURWITZEste criterio es un mtodo algebraico que determina si las races de un polinomio de coeficientes constantes estn en el semiplano izquierdo del dominio en s, sin necesidad de calcular las races.Para dar condicin de suficiencia se requiere el criterio de Routh-Hurwitz basados en los determinantes de este ltimo. Con el objeto de simplificar el clculo de los determinantes de Hurwitz, Routh propuso una tabulacin tal que si los elementos de la primera columna no cambian de signo, las races estn en el semiplano negativo.Sea D(s) el polinomio caracterstico del sistema:nsn+an-1sn-1++a2s2El primer paso para constituir la tabla consiste en ordenar los coeficientes en las dos primeras filas, alternando su posicin entre la primera y segunda fila en orden decreciente del exponente:

La tabla estar constituida por n+1 filas, siendo n el grado del polinomio caracterstico. Los coeficientes a partir de la tercera fila, se formarn con los dados en las dos anteriores:

La expresin general de los coeficientes, xij, de cualquier fila i, a partir de la tercera, se constituir por la fila i-1 e i-2:

Una vez calculada la tabla de Routh, si no hay cambio de signo en la primera columna de sta no habr races en el semiplano positivo. Tantos cambios en el signo de los coeficientes de la primera columna indican tantas races en el dominio complejo positivo.Ejemplo:Teniendo la siguiente planta:

Cumple las condiciones de Cardano-Vietta, pero para la suficiencia habr de constituir la tabla de Routh. Ntese que el cero no influye en la estabilidad, aunque ste se encuentre en el semiplano positivo, como es en este caso. Eso si, el sistema es de fase no mnima.

Cumple las condiciones de Cardano-Vietta, pero para la suficiencia habr de constituir la tabla de Routh. Ntese que el cero no influye en la estabilidad, aunque ste se encuentre en el semiplano positivo, como es en este caso. Eso si, el sistema es de fase no mnima.

R: El sistema es inestable.

LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

El lugar geomtrico de las races es la trayectoria formada por las races de una ecuacin polinmica cuando un parmetro de sta vara. En el caso de Sistemas de Control, la ecuacin polinmica resultante es la ecuacin caracterstica, y el LGR es la trayectoria en el plano S (complejo) de las races de sta ecuacin cuando algn parmetro est cambiando:

Podemos ver ms claramente el parmetro variable de la siguiente forma: O con k como el parmetro variable.Ejemplo:Sea esto implica que la ecuacin caracterstica ser: Y el lugar geomtrico es:

EL LGR SE DIVIDE EN:1. RL: porcin del LGR cuando K es mayor o igual a cero (positiva ), [0, ) 2. CRL: porcin del LGR cuando K es menor que cero (negativa), (-infinito,0), la letra C al principio de RL significa que el CRL es el complemento del RL. 3. CR: contorno de las races, esto implica que hay ms de un parmetro variando en la ecuacin polinmica.Construir el LGR implica elaborar una grfica en el plano S en donde X es la parte real () y en Y la parte imaginaria (jw) de las races encontradas cuando K vara en la funcin de transferencia G(s)H(s); en el caso de que K sea igual a cero, lo que se tienen son los polos del sistema, esto se demostrar ms adelante.1. Encontrar G(s)H(s) Dado el sistema:

La funcin de transferencia en lazo cerrado es: Y la ecuacin caracterstica es:En el caso de que nos den una ecuacin polinomica, lo que hay que hacer es agrupar todos los trminos que tengan la variable K, y luego dividir por todos los trminos restantes para que la funcin quede expresada como la ecuacin anterior, esto es: Es la ecuacin polinmica o ecuacin caracterstica. Agrupamos los trminos de K. Dividiendo por los trminos que no contienen a K, que es la forma que queramos obtener.2. Nmero de ramas del LGR Con base en G(S)H(s) (funcin de transferencia en lazo abierto) del tem anterior, encontramos el nmero de polos (n) y sus valores y el nmero de ceros (m) y sus valores. n=nmero de polos que es igual al grado de la ecuacin caracterstica m =nmero de ceros o grado de la ecuacin del numerador.Del ejemplo anterior tenemos: n=2, y los polos son S=0 y S=-3. m=1, y el cero es en S=-1.NOTA: El nmero de ceros debe de ser igual al nmero de polos (teorema de ecuaciones racionales), por lo tanto s solo hay un cero finito (que posee valor), implica que el otro cero est en infinito. De sta manera tendramos 2 ceros en S=- 1 y en S=. La nomenclatura en el LGR es una X para cada polo y un 0 para cada cero finito. Teniendo lo anterior claro, se define el nmero de ramas como el nmero de polos del sistema, o sea, el grado de la ecuacin caracterstica. Las ramas son trayectorias que van desde K= - , pasan por K=0 y se van a K = .3. Asntotas y su interseccin Las asntotas nos darn una idea de por donde se irn las ramas del LGR, de all su importancia para elaborar un bosquejo a mano.Para RL:

Para CRL: o sea, para el complemento del anterior.Interseccin de las asntotas: cuando se tienen pares complejos conjugados, la parte imaginaria se cancela, por lo tanto la ecuacin anterior se puede reducir tomando solo las partes reales tanto de los polos como de los ceros.Ejemplo:De tenemos: n=2 polos en S=0 y S=-1, y dos ceros en el infinito, ya que no son finitos o no existen en la funcin de transferencia. |n-m|=2, i va hasta |n-m|-1=1.RL:

Las asntotas estn en =90 y 270 grados.CRL:

Las asntotas estn en = 0 y 180 grados.Interseccin:

4. Condicin de Magnitud y ngulo Con el fin de establecer s un punto del plano S, pertenece al LGR lo que se hace es primero aplicar la condicin de ngulo, luego de estar seguros de que s pertenece se le aplica la condicin de magnitud y se encuentra el valor de K.Condicin de ngulo

Esto implica que s el ngulo es un nmero entero par mltiplo de 180 pertenece al RL, pero si por el contrario es un mltiplo impar, pertenece al CRL.Ejemplo: Dado

Se quiere comprobar s el punto S1 pertenece al LGR.

Condicin de Magnitud Con sta encuentro el valor de K, y para hacerlo parto de la ecuacin caracterstica. Que es igual a: e igual a:

Por lo tanto: Donde el smbolo representa una productoria, esto es el producto de las magnitudes de los vectores existentes entre el punto S1 (al que queremos calcularle el valor de K, ya que pertenece al LGR) y los polos y ceros del sistema. En el caso de que K sea >=0 implica RL, en caso contrario CRL.Continuando con el ejemplo, vemos que las magnitudes de los polos al punto S1 son: B, C y D, mientras que la magnitud del vector que va desde el cero hasta S1 es: A.

5. LGR sobre el eje real Para observar la porcin del eje real que pertenece al LGR lo que se debe realizar es aplicar la condicin de ngulo de la siguiente forma:RL: s el nmero total de polos + ceros es impar,CRL: s el nmero total de polos + ceros es par,

Esto se logra ver ms fcilmente en la grfica:

Tomamos un punto S1 sobre el eje real, lo movemos a lo largo de este y observamos con la condicin de ngulo para cual de los dos RL o CRL cumple. Primer tramo (eje real positivo): a la derecha implica. # polos + # ceros =0, cero es par, por tanto implica CRL, esto lo podemos ver de la siguiente forma, cada polo y cero me forma un ngulo de cero grados con el punto S1 que esta a la derecha, excepto los polos complejos, que tendran dos ngulos, pero por ser complejos conjugados sus ngulos seran de igual magnitud pero de sentido contrario, lo que implica que al sumarse se cancelan. mltiplo par de 180. Segundo tramo (entre los polos complejos y el polo en S=0): a la derecha tenemos. # polos + # de ceros=1, implica RL. Tercer tramo (entre el tercer polo y los polos complejos): a la derecha tenemos. # polos + # de ceros=3, implica RL. De esto se puede observar que los polos complejos no influyen sobre el LGR en el eje real. Cuarto tramo (entre el primer cero y el tercer polo): a la derecha tenemos. # polos + # de ceros=4, implica CRL. Quinto tramo (entre el 4 polo y el cero): a la derecha tenemos. # polos + # de ceros=5, implica RL. Sexto tramo (entre el segundo cero y el cuarto polo): a la derecha tenemos. # polos + # de ceros=6, implica CRL. Que es mltiplo par de 180.ltimo tramo (a la izquierda del segundo cero): a la derecha tenemos. # polos + # de ceros=7, implica RL., que es mltiplo par de 180.6. ngulos de llegada y salida El ngulo de partida o llegada a los ceros o polos est determinado por la tangente del LGR en un punto muy cercano a los ceros o polos. Y se determina aplicando la condicin de ngulo.

BIBLIOGRAFIAKatsuhiko Ogata ingeniera de control moderna quinta edicin Editorial Prentice Hall, Mexico 2010. pp. 269 308. Santiago de Quertaro 13 de mayo del 2015