CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS - Prof. Juan Rodriguez · 2014. 2. 11. · Juan Enrique Rodríguez C. Octubre, 2013 1 . Índice ... D) es decir, mayor que ... En la figura resume el

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICERRECTORADO BARQUISIMETO

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA

CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS

Prof: Ing. (MSc).

Juan Enrique Rodríguez C.

1 Octubre, 2013

Índice

Comportamiento dinámico de los procesos controlados por retroalimentación

Diseño de controladores por retroalimentación

2

3



4


Para un sistemas de segundo orden: La función de transferencia para un proceso de segundo

orden es:

Colocando esta expresión en la ecuación.

Y recordando que para el problema D(s) = 0, tenemos

1s2sτ

K

sM

sYsG

22

PP

sD*K*sG1

sGsY*

K*sG1

K*sGsY

Cd

dSP

Cp

Cp

CP

A

CP

CP

CPA

SP

A

22

A

A

K*K1

ττ

K*K1

ζ

K*K1

K*KK

:Donde

sY*1s2ζsτ

KsY

A

A

De lo anterior nos damos cuenta de que la respuesta a lazo cerrado de un sistema de segundo

orden con control proporcional tiene las siguientes características:

5


• Sigue siendo de segundo orden

• La ganancia estática disminuye.

• Tanto el periodo natural y el factor de amortiguamiento decrecen. Esto implica que un

proceso sobreamortiguado, con control proporcional y el valor apropiado de KC, puede llegar

a ser subamortiguado (oscilatorio).

Considere la posibilidad de un cambio en escalón unidad en el punto de consigna [es decir, y

YSP(s) = 1/s]. entonces

s

1*

1s2sτ

KsY

22

A

P

AA

Dependiendo del valor de ζA

Para (ζA > 1) es sobreamortiguada, o

Para (ζA = 1) es críticamente amortiguado, o

Para (ζA <1) es amortiguado

Independientemente del valor particular de ζ, el valor máximo de y(t) está dada por el

teorema de valor final. Así:

CP

CPA

0s K*K1

K*KKsY*slim

En consecuencia, nos damos cuenta de nuevo la presencia del offset:

CPCP

CP

K*K1

1

K*K1

K*K1offset

6


El aumento en la velocidad de la respuesta del sistema y la disminución en el offset,

características ambas muy deseables, a expensas de sobreimpulsos elevados (errores máximos)

y respuestas oscilantes. Por lo tanto, como Kc aumenta, causa que ζ disminuya:

Todas las características anteriores se ponen de manifiesto en la figura.

7


En esta sección repetimos un análisis similar al anterior, pero utilizando una integral en lugar de

un controlador proporcional. Sin abrumar a la repetición de manipulaciones algebraicas, nos

limitaremos nuestra atención a los sistemas de primer orden solamente. Para el problema

considere que, Ysp(s) = 1/s y D(s) = 0. Entonces:

Efecto del control integral en la respuesta de un proceso controlado

Para un proceso de primer orden tenemos:

y por una acción de control integral simple,

Sustituyendo en la ecuación.

1sτ

KsG

p

p

p

sτ

KsG

I

CC

sY*1s2ζsτ

1sY

o

sY*

sτ

K*

1sτ

K1

sτ

K*

1sτ

K

sY

SP22

SP

I

C

P

P

I

C

P

P

τ

CPP

I

CP

PI

K*K*τ

τ

2

1ζ

K*K

τ*ττ

Donde

8


La acción de control integral solo se espera que haga que la respuesta del sistema de lazo

cerrado sea más lenta. Examinemos el comportamiento dinámico del sistema de circuito cerrado

cuando se aplica un cambio el set point en un escalón unitario. Así, tenemos que:

s

1*

1s2ζsτ

1sY

22

τ

La forma de la respuesta y(t) depende del valor de ζ [(sobreamortiguado, críticamente

amortiguado, o subamortiguado), pero el valor final de la respuesta se puede encontrar desde el

teorema de valor final.

Esto indica que el efecto más característico de la acción integral es:

Acción de control integral elimina cualquier offset.

011offset

Además

11s2ζsτ

1limsY*slim

220s0s

τ

9


Desde la siguiente ecuación,

se observa que a medida que aumenta Kc, el factor de amortiguamiento ζ disminuye. Las

consecuencias de la disminución de ζ son:

(a) En general la respuesta se mueve, de un lento sobreamortiguado a más rápido, pero el

comportamiento oscilatorio es amortiguado. (b) La respuesta del sobreimpulso y el índice de

decaimiento en lazo cerrado ambos aumentan.

Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que podemos mejorar la respuesta de la velocidad del

lazo cerrado a expensas de mayores desviaciones y oscilaciones más largas, como se puede ver

en la figura.

CPP

I

K*K*τ

τ

2

1ζ

10


Efecto de la acción de control derivativo

Para una acción de control derivativo solo, tenemos:

s**KG DCC

Suponiendo de nuevo por simplicidad que Gm = Gf = 1, la respuesta del lazo cerrado de un

sistema de primer orden con la acción de control de la derivada está dada por:

sY*1sτ*K*Kτ

s*τ*K*KsY

o

sY*

s*τ*K*1sτ

K1

s*τ*K*1sτ

K

sY

SP

DCPP

DCP

SP

DC

P

P

DC

P

P

La ecuación anterior, conduce a las siguientes observaciones sobre los efectos que tiene la acción

de control derivativo sobre la respuesta de lazo cerrado de un sistema:

l. El control de la derivada no cambia el orden de la respuesta.

2. Desde la ecuación anterior, está claro que la constante de tiempo eficaz de la respuesta a lazo

cerrado es (τP + KpKCτD) es decir, mayor que τP. Esto significa que la respuesta del proceso

controlado es más lento de lo que es el proceso original de primer orden.

11


Asumiendo de nuevo que Gm = Gf = 1, la respuesta a lazo cerrado es:

sY*1sτ*K*K2sτ

s*τ*K*KsY

o

sY*

s*τ*K*1s2sτ

K1

s*τ*K*1s2sτ

K

sY

SP

DCP

22

DCP

SP

DC22

P

DC22

P

El periodo natural de la respuesta de lazo cerrado sigue siendo el mismo.

La disminución en la velocidad de la respuesta y el aumento de la amortiguación demostrar

que: la acción de control derivativo produce un comportamiento más robusto para el proceso

controlado.

12


Efecto de las acciones de control compuesto

Aunque el control proporcional se puede usar solo, esto es casi nunca es el caso para las

acciones de control integral o derivada. En su lugar, controladores proporcional integral (PI) y

proporcional-integral-derivativo (PID) son los controladores habituales que emplean.

Efecto del control PI

La combinación de los modos de control proporcional e integral conduce a los siguientes

efectos sobre la respuesta de un sistema de circuito cerrado:

1. El orden de la respuesta aumenta (efecto de modo integral).

2. El offset se elimina (efecto de modo integral).

3. A medida que aumenta KC, la respuesta se vuelve más rápida [efecto de los modos

proporcional e integral] y más oscilatorios a los cambios en el punto de consigna, es decir, el

sobreimpulso e incrementa la relación de decaimiento o asentamiento (efecto de modo

integral). Para valores grandes de Kc, la respuesta es muy sensible y puede conducir a la

inestabilidad.

4. Como τI, disminuye, para la constante KC, la respuesta es más rápida pero más oscilatoria

con altos sobreimpulsos y relación de decaimiento (efecto de modo integral).

13


Efecto del control PID

La combinación de los tres modos de control conduce a una respuesta de lazo cerrado que tiene

en general las mismas características dinámicas cualitativas como las resultantes del control PI.

Vamos ahora a describir el beneficio principal introducido por la acción de control derivativa.

Hemos visto que la presencia de un control integral se ralentiza la respuesta de lazo cerrado de un

proceso. Para aumentar la velocidad de la respuesta de lazo cerrado, podemos aumentar el valor

de la ganancia Kc del controlador. Pero el aumento de suficientes Kc con el fin de tener

velocidades aceptables, la respuesta se hace más oscilatoria y puede conducir a la inestabilidad.

La introducción del modo derivativo aporta un efecto estabilizador en el sistema.

En la figura resume el efecto de un controlador PID en la respuesta de un proceso controlado.

Observe que aunque el aumento de KC, conduce a respuestas más rápidas, el sobreimpulso se

mantiene casi el mismo y el tiempo de establecimiento es más corto. Ambos son resultados del

control de la acción derivativa.

14




15

En esta clase nos enfrentamos a las siguientes dos preguntas: ¿Cómo seleccionamos el tipo de

controlador de retroalimentación (es decir, P, PI o PID), y cómo nos ajustamos a los parámetros

del controlador seleccionado (es decir, KC, τI, τD) con el fin de lograr una respuesta "óptima"

para el proceso controlado?. Estas dos preguntas, así como los métodos que conducen a su

resolución, se definirá a continuación:

Pregunta 1: ¿Qué tipo de controlador por retroalimentación se debe utilizar para controlar

un determinado proceso?

Dado que hemos decidido de alguna manera utilizar el control PI, todavía tenemos que

seleccionar el valor de la ganancia KC y el tiempo de reposición τI. En las clases anteriores, se

demostró muy claramente que estos dos parámetros tienen un efecto importante en la respuesta

del proceso controlado.

Así, la segunda pregunta de diseño:

Pregunta 2: ¿Cómo seleccionamos los mejores valores para los parámetros de ajuste de un

controlador de retroalimentación?

Esto se conoce como el problema de optimización del controlador. (tuning)

Para responder a estas dos preguntas de diseño tenemos que tener una medida cuantitativa con el

fin de comparar las alternativas y seleccionar el mejor tipo de controlador y los mejores valores

de sus parámetros.

Así, la tercera pregunta de diseño surge :


16

Pregunta 3 : ¿Qué criterio de desempeño debemos utilizar para la selección y el ajuste del

controlador ?

Hay una variedad de criterios de rendimiento que podríamos utilizar, tales como:

• Mantener la desviación máxima (error) lo más pequeño posible .

• Lograr tiempos de estabilización cortos.

• Minimizar la integral de los errores hasta que el proceso se ha asentado a su punto de ajuste.

Estudiemos ahora las preguntas anteriores con más detalle y proporcionaremos las directrices

iniciales para el diseño de un controlador de retroalimentación.

Respuesta de un sistema al cambio de escalón unitario con ningún control, y varios

tipos de controladores de retroalimentación.


17

Criterios de funcionamiento simple

Empezamos con los criterios de desempeño ya que tenemos que establecer alguna base para la

comparación de los diseños alternativos del controlador, y porque su selección constituye la

principal dificultad durante el diseño de un sistema de retroalimentación.

Consideremos dos diferentes sistemas de control por retroalimentación produciendo dos

respuestas a lazo cerrado que se muestran en la figura.

La respuesta A, ha alcanzado el nivel de operación deseada más rápidamente que la respuesta B.

Si el criterio para el diseño del controlador había sido, volver al nivel deseado de la operación

tan pronto como sea posible, entonces, claramente, nos gustaría seleccionar el controlador que

da el lazo cerrado con la respuesta A.

Pero, si nuestro criterio había sido, mantener lo más pequeña posible la máxima desviación o

volver al nivel deseado de la operación y estar cerca de él en el menor tiempo, entonces,

habríamos elegido el otro controlador.


18

Para todas las aplicaciones de control de procesos , se pueden distinguir:

Criterios de funcionamiento en estado estacionario: El criterio principal para el rendimiento

del estado estable es por lo general el error cero en el estado estacionario.

Criterios de rendimiento de la respuesta dinámica: La evaluación del comportamiento

dinámico de un sistema de circuito cerrado se basa en dos tipos de criterios comúnmente

utilizados:

1. Criterios que utilizan sólo en algunos puntos de la respuesta. Son más simples, pero sólo

aproximados.

2. Los criterios que utilizan en toda las respuestas a lazo cerrado es de tiempo t = 0, hasta t =

muy grande. Estos son más precisos pero también más engorroso para su uso.

Los criterios de rendimiento simples se basan en alguna características de la respuesta a lazo

cerrado de un sistema. Los más citados son:

Sobreimpulso

Tiempo de subida

Tiempo de establecimiento

Relación de asentamiento

Frecuencia de oscilación de la respuesta transitoria


19

Por lo tanto podemos diseñar el controlador con el fin de tener sobreimpulso mínimo, o tiempo

mínimo de establecimiento, y así sucesivamente. Hay que destacar, sin embargo, que una

característica simple no basta para describir la respuesta dinámica deseada. Por lo general, es

necesario que más objetivos se cumplen (es decir, reducir al mínimo el exceso, minimizar el

tiempo de establecimiento, etc).

De todos los criterios de rendimiento anteriores, la relación de asentamiento ha sido el más

popular. En concreto, la experiencia ha demostrado que una relación de asentamiento

es una compensación razonable entre un rápido tiempo de subida y un razonable tiempo de

estabilización. Este criterio se conoce generalmente como el criterio de la relación de un cuarto

asentamiento.

25.04

1

A

C

Respuesta de razón de asentamiento de un cuarto mediante el método de ganancia última

Este método, uno de los primeros, que también se conoce como método de circuito cerrado o

ajuste en línea, lo propusieron Ziegler y Nichols, en 1942; consta de dos pasos, al igual que todos

los otros métodos de ajuste:

Paso 1. Determinación de las características dinámicas o personalidad del circuito de control.


20

Paso 2. Estimación de los parámetros de ajuste del controlador con los que se produce la

respuesta deseada para las características dinámicas que se determinaron en el primer paso -en

otras palabras, hacer coincidir la personalidad del controlador con la de los demás elementos del

circuito.

En este método, los parámetros mediante los cuales se representan las características dinámicas

del proceso son: la ganancia última(KCU) de un controlador proporcional, y el período

último(TU) de oscilación.

Para la respuesta que se desea del circuito cerrado, Ziegler y Nichols especificaron una razón de

asentamiento de un cuarto. La razón de asentamiento (disminución gradual) es la razón de

amplitud entre dos oscilaciones sucesivas; debe ser independiente de las entradas al sistema, y

depender únicamente de las raíces de la ecuación característica del circuito. En la figura, se

muestran las respuestas típicas de razón de asentamiento.


21

Una vez que se determinan la ganancia última y el período último, se utilizan las fórmulas de la

tabla siguiente, para calcular los parámetros de ajuste del controlador con los cuales se producen

respuestas de la razón de asentamiento de un cuarto.

Ganancia

proporcional

Tiempo de

integración

Tiempo de

derivación

Tipo de controlador KC τI τD

Proporcional P KCU/2 --- ---

Proporcional-Integral PI KCU/2,2 TU/1,2 ---

Proporcional-Integral-

Derivativo

PID KCU/1,7 TU/2 TU/8

Determinación de la ganancia última de un controlador

La ganancia del controlador a la que el circuito alcanza el umbral de inestabilidad es de gran

importancia en el diseño de un circuito de control con retroalimentación. Esta ganancia máxima

se conoce como ganancia última.

Se determinará el criterio de estabilidad para sistemas dinámicos y se exponen dos métodos para

calcular la ganancia última: la prueba de Routh y la substitución directa.


22


23

Criterio de estabilidad

La respuesta de un circuito de control a una cierta entrada se puede representar mediante:

circuito del ticacaracterisecuación la de racies o reseigenvecto losson r,...,r,r

controlada variableo circuito del salida la es tc

:donde

entrada de términoseb...ebebtc

n21

tr

n

tr

2

tr

1n21

Para raíces reales: Si r < 0, entonces ert 0 conforme t ∞

Para raíces complejas: r = σ + iω ert = eσt(cos ωt + i sen ωt),

Si σ < 0, entonces eσt (cos ωt + i sen ωt) 0 conforme t ∞

En otras palabras, para que el circuito de control con retroalimentación sea estable, todas las

raíces de su ecuación característica debe tener números reales negativos o números

complejos con partes reales negativas.

Si ahora se define el plano complejo s como una gráfica de dos dimensiones, con el eje

horizontal para la parte real de las raíces y el vertical para la parte imaginaria, se puede hacer el

siguiente enunciado gráfico del criterio de estabilidad (ver figura)


24

Para que el circuito de control con retroalimentación sea estable, todas las raíces de su ecuación

característica deben caer en la mitad izquierda del plano s, que también se conoce como “plano

izquierdo”.

1) Método: Prueba de Routh:

La prueba de Routh es un procedimiento para determinar el número de raíces de un polinomio

con parte real positiva sin necesidad de encontrar realmente las raíces por métodos iterativos.

Puesto que para que un sistema sea estable se requiere que ninguna de las raíces de su ecuación

característica tenga parte real positiva, la prueba de Routh es bastante útil para determinar la

estabilidad.


25

La mecánica de la prueba de Routh se puede presentar como: dado un polinomio de grado n,

positiva real parte tienen raices cuantas determinar debe se

polinomio, del escoeficient losson a,a,...,a,a

donde

0asa...sasa

011-nn

01

1-n

1-n

n

n

Para realizar la prueba, primero se debe preparar el siguiente arreglo:

Fila 1 an an-2 an-4 … a1 0

Fila 2 an-1 an-3 an-5 … a0 0

Fila 3 b1 b2 b3 … 0 0

Fila 4 c1 c2 c3 … 0 0

… … … … … … …

Fila n d1 d2 0 … 0 0

Fila n+1 e1 0 0 … 0 0

En el cual los datos de la fila 3 a la n+1, se calculan mediante:

etc b

*baa*bc

b

*baa*bc

etc a

*aaa*ab

a

*aaa*ab

1

31n5n12

1

21n3n11

1n

5nn4n1n2

1n

3nn2n1n1


26

Y así, sucesivamente. El proceso se continúa hasta que todos los términos nuevos sean cero.

Una vez que se completa el arreglo, se puede determinar el número de raíces con parte real

positiva del polinomio, mediante el conteo de la cantidad de cambios de signo en la columna

extrema izquierda del arreglo; en otras palabras, para que todas las raíces del polinomio estén en

el plano s izquierdo, todos los términos en la columna izquierda del arreglo deben tener el mismo

signo.

Ejemplo: Determinación de la última ganancia de un controlador de temperatura mediante la

prueba de Routh:

Kc G(s)

H(s)

+

-

X(s) Y(s) 2s

1sG

1s

1sH

Solución:

1) Determinar la ecuación de transferencia con la retroalimentación, utilizando lo siguiente

Kc G(s)

H(s)

+

-

X(s) Y(s) a

b

G*Kc*aY

H*Yb

bXa

27

2) Sustituyendo cada uno de esos términos, y dejando la función expresado en X, Y, G y H,

resulta:

H*G*Kc1

G*Kc

sX

sYsF

3) Luego sustituyendo las funciones de transferencias descrita anteriormente, tenemos

2Kc3ss

1s*Kc

sX

sYsF

2

4) Aplicando la prueba de Routh

s2 1 Kc+2

s1 3 0

s0 b1

2Kc

3

0*12Kc*3b1

5) Se concluye

Para que todas las raíces estén en el semiplano izquierdo de s, por lo tanto el sistema sea

estable, entonces:

2Kc

02Kc

Para valores menores de -2, el sistema es inestable

Para valores mayores de -2, el sistema es estable

Para valores iguales a -2, el sistema es críticamente estable

28

CCV

S

CVS

KsG ; 13s

0,016sG

130s

50sG ;

110s

1sH

donde

0sG*sG*sG*sH1

Ahora se debe reordenar la ecuación en forma polinómica:

:donde

Routh de arreglo elpreparar es paso siguiente El

0K*0,80143s420s900s

0K*0,016*5013s130s110s

C

23

C

Ejemplo: Determinación de la última ganancia de un controlador de temperatura mediante la

prueba de Routh:

s3 900 43 0

s2 420 1+0,80KC 0

s1 17160-720KC

420

0 0

s0 (1+0,80KC) 0 0


29

Donde:

C

C

CC

1

21n3n11

CC

1n

3nn2n1n1

0,80K1

420

720K-17160

0*4200,80K1*420

720K-17160

b

*baa*bc

420

720K-17160

420

0,80K1*900-43*420

a

*aaa*ab

Para que el circuito de control sea estable, todos los términos de la columna izquierda deben

tener el mismo signo, positivo en este caso, y para esto se requiere que:

En la fila s1: 17160-720*KC ≥ 0 KC ≤ 23,8

En la fila s0: 1+0,80*KC ≥ 0 KC ≥ -1,25

El límite superior de la ganancia del controlador es la ganancia última que se busca:

KCU = 23,8 %/%

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