1 S . E. I. T.

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN

S.E.P. I

Y DESARROLLO TECNOLÓGICO

cenidet "CONTROL DIFUSO ADAPTABLE APLICADO A UN

PROCESb DE INTERCAMBIO DE CALOR"

" T E S I S PARA OBTENER EL GRADO DE

"MAESTRO EN CIENCIAS EN

INGENLERÍA ELECTR~NICA ' I P R E S E N T A CARLA NATALIA CASTRO RANGEL

IN~GENIERO EN ELECTR~NICA POR EL INSTITUTO TECNOL~GICO DE LA LAGUNA

'1 DIRECTOR DE TESIS:

M.C. CARLOS DANIEL GARCIA BELT-

'1 CO-DIRECTOR M.C. PEDRO RAFAEL MENDOZA ESCOBAR

CUERNAVACA, MOR. JUNIO DEL 2000

-- - -. $ 1 0 ‘7

S.E.1.T S.N.1.T S.E.P.

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACI~N Y DESARROLLO TECNOL~GICO cenidet

ACADEMIA DE LA MAESTRÍA EN ELECTR~NICA

FORMA R11 ACEPTACION DEL TRABAJO DE TESIS

I Cuemavaca, Mor.

Dr. Jesús Amoldo Bautista Corral Director del cenidet Presente

Jefe del Depto. de Electrónica At’n. Dr. Luis Gerardo Vela Valdés

Después de haber revisado el trabajo de tesis titulado: “Control Difuso Adaptable Aplicado a un Proceso de Intercambio de Calor”, elaborado por el alumno Carla Natalia Castro Rangel, bajo la dirección del M.C. Carlos Daniel García Beltrán y co-dirección M.C. Pedro Rafael Mendoza Escobar, el trabajo presentado se ACEPTA para proceder a su’impresión.

1 A T E N T A M E N T E

Dr. Luis Gerardo Vela Valdés Dr. + Enrique uintero Mármol-M.

C.C.P.: Dr. Abraham Claudio Sánchez / Pdte. de la Academia de Electrónica Ing. Jaime Rosas ÁIvarez / Jefe del Depto. de Servicios Escolares Expediente.

INTERIOR INTERNADO PALMIRA S/N. CUERNAVACA, MOR, MCXICO AP 5-164 CP 62050, CUERNAVACA. TELS. (73)12 2314.12 7613.18 7741. FAX (73) 12 2434 DI. Jaime Arau RoffiellJefe del Depto de Electrónica EMAIL iarau@senidet.edu.mx ‘I cenidet

I/ ! II

I,

I II

I

II

!I

I I Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Cuernavaca. Morelos

k Ing. Carla Natalia Castro Rangel Candidato al grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica Presente

t

I I l Después de haber someti,do a revisión su trabajo final de tesis titulado: “CONTROL DIFUSO ‘ ADAPTABLE APLICADO A UN PROCESO DE INTERCAMBIO DE CALOR ”, y habiendo

cumplido con todas las indicaciones que el jurado revisor de tesis le hizo, le comunico que se le 1 concede autorización para que proceda a la impresión de la misma, como requisito para la l obtención del grado. I I I Reciba un cordial saludo., t I

I I

A T E N T A M E N T E

’ Dr. Luis Gerard0 Vela Valdés I Jefe del Depto. de Electrónica

I C.C.P. expediente.

p I !

INTERiOR INTERNADO PALMIRA UN. CUERNAVACA, MOR. MÉXICO AP 5-164 C P 62050, CUERNAVACA, TELS. (73)122314. 127613. 187741, FAX (731 122434

I

I

Dr. Jaime Asau RoMel/Jefe del Depto de Elechónico EMAiL jgrau@>cenidet.edu.mx .I

b

cenidet

A I 1

11

A i .)

i/

I/ I!

‘t

D e d i c a t o r i a

Diosito Gracias por todo, por siempre.

I’ Muy especialmente para mi “GiieIi”((q

Gracias Güelipor todo tu amor y tus bendiciones, por estar conmigo y acompañarme en

todo momento. Por; consentirme como sólo tú sabías hacerlo. Te quiero. Te extraño. Este logro es tuyo.

María Rubio

Para mi “Ma”

Ejemplo de superación constante. Ejemplo de sencillez y humildad. Por tu amor y apoyo

incondicional. Gracias por ser mi Mami. Te quiero mucho Mamita.

’!

I1

I1

Irma Rangel Rubio

Para mi L‘Papi’’ Por tu amor. Por tu sabiduría y apoyo en todo momento. Por ser el hombre al que llamo

“Papi“. Te quiero, Papito. !

Carlos Castro Sánchez

Frida A la niñal más linda, tierna y alegre del universo. Dicha de mi hogar.

Frida Castro Rangel

Al amor de mi vida AI ángel que me envió Dios, para quererlo y compartir mi vida con él. Al hombre que amo.

TU corazón. Tú mi amor. Te amo. 1)

Gustavo Iván Alarcón Rocha

A g r a d e c i m i e n t o s

A Gustavo quien con su paciencia, comprensión y consejos, compañia, apoyo y amor I)

me ayudó en los momentos más dificiles de esta etapa de mi vida.

A todos los compañeros de generación: Gustavo, Armando, Marquito, Hemilo,

Nancy, Toño, Victor, Sinuhé, Esteban, Alán y Morteo, quienes junto a ellos pasé momentos inolvidables. Gracias por su compañía.

It

1

I/

A ese gran ser humano, con quien convivir es sinónimo de aprender. Gracias

profesor Carlos Daniel, por ayudarme a llegar a la cima. 'I

Al profesor ,'Pedro Rafael, quien estuvo apoyándome incondicionalmente con su enseñanza y sus consejos.

Al "copilot$' de este viaje, al profesor Enrique Quintero, quien con su sabiduría y experiencia, llegó konmigo a la meta.

!l

A todos mid profesores, muchas gracias por su enseñanza.

Al CENiDET por darme la oportunidad de terminar estos estudios. 'I

Al CONACYT por haberme brindado el apoyo económico para realizar mis estudios I)

demaestría. ,

I C O N T E N I D O

CAPíTULO 1 INTR'ODUCCIÓN 1

CAP~TULO 2 CONTROL DIFUSO ADAPTABLE n

2.1 Control difuso 2.2 Descripción demetodologías difuso adaptables 2.3 Sistemas difusos Takagi-Sugeno

2.4 Esquema de cdntrol difuso adaptable indirecto

2.4.1 Ley de control de equivalencia certera

2.4.2 Ley de control por modos deslizantes I/

2.4.3 Ley de control acotado 2.4.4 Mecanismo de adaptación del sistema difuso

2.5 Comentarios 'del capítulo ,

I

11

12

16

20

21

21

25

27

CAP~TULO 3 CONTROL DIFUSO ADAPTABLE DE UN PÉNDULO INVERTIDO I1

DE BASE ROTATORIA 3.1 Descripción 3.2 Modelado

3.2.1 Model0 no lineal

28

30

31 3.2.2 Análisis de la dinámica cero 31

3.3 Pruebas bajo simulación aplicando control por linealización realimentada 35

3.4 Diseño del'controlador difuso adaptable 37

3.5 Pruebas y análisis de resultados 43

I

i II

CAP~TULO 4 CONTROL DIFUSO ADAPTABLE DE UN INTERCAMBIADOR DE I\

CALOR Y b

47

48

55

4.1 Descripción del módulo RCT 100

4.2 Modelado del intercambiador de calor monotubo 4.2.1 Obtención del modelo no lineal I

4.2.2 Identificación de parámetros

4.2.3 Pruebas de validación ll I/

4.3 A 4.4 Diseño del controlador difuso adaptable A I( h 4.5 Pruebas y análisis de resultados i I( I1

Análisis de la dinámica cero del modelo no lineal

CAP~TULO 5 CONCLUSIONES Y TRABAJOS/FUTUROS I1

56

58

62

70

73

80

APÉNDICE A 11

NOMENCLATURA

REFERENCIAS

BIBLIOGRAFÍA

83

91

93

96

A

U

¡I A

,I.

1

y

m

ANTECEDENTES

En cada lengua, "adaptar" significa cambiar un comportamiento conforme a nuevas circunstancias [l].~ Intuitivamente, un regulador adaptable es un regulador que puede

modificar su comportamiento en respuesta a cambios en la dinámica del proceso y los

disturbios [l].

11

It

'1

'I

El control adaptable es un tipo de control realimentado no lineal en el cual los estados

del proceso se pueden separar en dos categonas en función de la razón de cambio [l]. Los estados que cambian muy despacio son vistos como parámetros [l] y los que cambian rápido forman parte de la adaptación. Esto introduce la idea de dos escalas de tiempo: una

escala de tiempo,rápida para la realimentación ordinaria y una más baja para actualizar los parámetros del regulador [l]. Esto implica que los reguladores con parámetros constantes lineales sean no adaptables [l]. En un controlador adaptable se asume que hay alguna clase

de realimentación del desempeño del sistema en lazo cerrado [l].

'I

11

11

If

t

I

I1

I1

Hay una gran necesidad de trabajar en la itnplementación de algontmos adaptables, involucrando el, uso de heurística, experiencia humana y conocimiento a priori acerca del

,I

'1

I

2 h I(

Introducción CSQkUlO 1

i.

I1 I ¡I

sistema a controlar (tal como la caddad de Nido, el orden de la planta, el número de Parametros desconocidos, el ancho de banda de &¡ación de 10s parhetros,,.) 121,

Investigadores han introducido esquemas adaptables que utilizan datos generados

durante la operación en línea del controlador heurística especial de adaptación para aprender parámetros desconocidos de la dinámica de la planta e introducirlos en el

controlador a priori 131.

I/

II

¡I I/ ¡I ;i

.A Una alternativa de solución son los controladores difuso adaptables los cuales tienen

un muy buen desempeño en algunas áreas ya que permiten la inclusión de heurística

(métodos que permiten resolver los problemas por tdnteos sucesivos, cada uno de los cuales

tiene en cuenta la nueva situación creada por el precedente), conocimiento a priori

(demostración que consiste en descender de la causala1 efecto o de la esencia de una cosa a sus propiedades) y experiencia humana (conocimiento que se adquiere gracias a la práctica

y la observación) de la planta a controlar [4].

I/

i

i

i i I(

II

La ventaja más importante de un controlador difuso adaptable sobre un controlador

adaptable convencional es que los controladores difuso adaptables son capaces de

incorporar información de operadores humanos, mientras que los controladores adaptables convencionales no [4]. Esto es especialmente impo'itante para. los sistemas con un alto

grado de incertidumbre, tales como procesos químicos: aéreos, y sobre todo, porque aunque estos sistemas son dificiles de controlar desde el p 4 t o de vista teórico de control, son exitosamente controlados por operadores humanos.

il . 11

I/

I/

1 :i I( I(

i ¿Cómo pueden controlar con éxito los operadores humanos tales sistemas complejos

sin un modelo matemático en sus mentes? Si se pide a un operador humano que explique su estrategia de control, tal vez, sólo proporcione unas docas reglas de control mediante una descripción lingüística acerca del comportamiento del 'sistema bajo varias condiciones las cuales son, por supuesto, también en términos lingihticos. El control difuso adaptable

I,

II

11

¡I i i; ;\

I

3 Capitulo 1 Intmdureibn ’’ . .

proporciona una herramienta para utilizar eficiente y sistemáticamente la información lingüística.

Aunque esas descripciones y reglas de control difuso no son precisas y pueden no ser suficientes para dispar un buen controlador, proporcionan una información muy importante acerca de cómo controlar al sistema y como se comporta.

‘1

1

CONTROL DIFUSO ADAPTABLE

En la literatura de control adaptable convencional, los controladores adaptables se clasifican en dos kategonas (Narendra y Parthasarathy [5]): controladores adaptables

directos e indirectos 141. En el control adaptable directo, los parámetros del controlador se ajustan directamente para reducir el error de salida entre la planta y el modelo de referencia.

I1

‘1

En el control adaptable indirecto, los parámetros de la planta se estiman y el controlador se escoge asumiendo”que los parámetros estimados representan los verdaderos valores de los

parámetros de la planta [4].

‘I

En control “difuso, la información lingüística de los expertos humanos se puede clasificar en dos categorías [4]:

b

Reglas ;de control difuso las cuales indican en que situaciones que acciones de

control’ deberían ser tomadas (por ejemplo, ftecuentemente se utilizan las siguientes reglas de control difusas SI-ENTONCES para conducir un carro: “SI la velocidad es baja, ENTONCES aplico más fuerza en el acelerador”, donde “baja” y “mád” son etiquetas de los conjuntos difusos).

Reglas difusas SI-ENTONCES las cuales describen el comportamiento de una

I1

‘1

‘1

planta desconocida (por ejemplo, se puede describir el comportamiento de un carro ‘‘utilizando reglas difusas SI-ENTONCES: “SI se aplica más fuerza ai

acelerador, ENTONCES la velocidad del carro se incrementará”, donde “más” e I1

“incrementará” son etiquetas de los conjuntos difusos).

,

I/ Introdurclón Cspltulo 1 I(

h LOS controladores difuso adaptables uhlizan esas dos clases de información

I¡ lingüística correspondiente al esquema de kontrol adaptable directo e indirecto,

J respectivamente [41. Más especificamente, los ilcontroladores difuso adaptables directos

i usan sistemas lógicos difusos como controladores; de ahí que las reglas de control difuso linguisticas se puedan incorporar directamente en esos controladores. Por otra parte, los

controladores difuso adaptables indirectos usan sistemas lógicos difusos para el modelo de

la planta y construyen los controladores asumiendo que el sistema lógico difuso representa

a la verdadera planta; es así, que las reglas difusas SI-ENTONCES que describen a la

planta se pueden incorporar en el controlador difusf adaptable indirecto. Formalmente, se

4

I/

I1

I/

I(

I\ I/ 1

tienen las siguientes definiciones [4]:

Si un controlador difuso adaptable exnplea sistemas lógicos difusos como

controladores, es llamado un controIador dtfiso adaptable directo. Un

controlador difuso adaptable directo puedf incorporar reglas de control difuso

I! I

directamente en él. i/ ,I

Si un controlador difuso adaptable emplea sistemas lógicos difusos como un

modelo de la planta, es llamado un controlador dt@o adaptable indirecto. Un

controlador difuso adaptable indirecto puedh incorporar descripciones difusas de

la planta (en téminos de reglas difusas SI-EtTONCES) directamente en él.

d

I\

I/

En este trabajo se busca introducir enfoques de Control difuso adaptable, aplicados a

sistemas no lineales continuos en el tiempo, que gam$cen un buen desempeño y que en su

implantación requieran la menor cantidad de suposiciones o restricciones y de ,I

I.

conocimiento a priori de la planta.

En este trabajo de tesis, se tratan dos metodolo&as de esquemas difuso adaptables: Passino [3], [6] y Wang [4], [7], explorando su aplicabilidad, bajo simulación, en dos

I I(

sistemas no lineales.

- ._ -----.__ -

5 Cllpitulo 1 Intmduccl6n

'1

I1

Aunque existe literatura en cuanto a la utilización de las metodologías [3], [4], [6] y

[7], ésta se ha limitado a ejemplos de sistemas no lineales de uso académico o de poca

complejidad, por io que es importante incursionar explorando la aplicabilidad de estas

metodologias en proc{sos de tipo industrial complejos.

I1

't

La aplicación de esquemas difuso adaptables debena ir encaminada más hacia plantas de tipo industrial (eneste proyecto se aplicó a un intercambiador de calor) para analizar y

verificar que tan aceptable podría ser la implantación de esta técnica a nivel industrial, así como también un análisis estricto sobre la estabilidad de esquemas difuso adaptables.

'I

'I

f

ORGANIZACIÓN DE LA TESIS

En el capítulo 2 se proporciona una introducción breve al control difuso, una descripción de las metodologías difuso adaptables y por último, el análisis del esquema difuso adaptable

empleado.

81 Para el tercer capítulo, se presenta el primer caso de estudio (reproducción de un

ejemplo de la metbdología empleada), un péndulo invertido de base rotatoria, en el cual se

va a aplicar el esquema difuso adaptable bajo simulación. Además, también se proporciona el modelo del sistema, así como un análisis no lineal del mismo, que es necesario para el

diseño del control difuso adaptable. Cabe mencionar, que es en este capítulo donde se

asimila la metodología mediante la reproducción del ejemplo del péndulo.

'I

I1

I1

,I

En el capítulo 4 se ejemplifica, tambíén bajo simulación, un caso típico industrial, un intercambiador de calor monotubo (que está integrado en el módulo de temperatura RCT

100). AI 'guy que el péndulo invertido de base rotatoria, se presentan su modelo matemático y análisis no lineal, así como los resultados obtenidos al aplicar el esquema difuso adaptablg.

't

6 IntraduccUn ClPltUlO 1 II

I/

Por último en el capítulo 5, se dm'a conoler I1 las ventajas y desventajas del esquema II

de control difuso adaptable y se proveen algunas'investigaciones futuras que pueden ayudar

a identificar las limitaciones en el alcance y contenido de este trabajo. I/

I1 Y ¡I I1 ll

I/ ?' i 1 I¡

11

i

i I1 /I ¡/

i/ 1

, II

... ... -.-. 1 .- .

2

-' CONTROL DIFUSO

ADAPTABLE

2.1 CONTROL DIFUSO El control difuso es una alternativa práctica para una variedad de aplicaciones innovadoras

de control ya que proporciona un método conveniente para construir controladores no lineales vía el us,b de información heurística, además, que pueden ser incluidos en una amplia variedad de esquemas de control.

I

Censores

Variables

2

Variable

Variables I lingüisticas

wnlinuas I wntinua

Figura 2.1 Un conrmlador di/ .o. (Adoprodo de K. J. Aslriim. lnrelligenl Control. E u r o p m Control Conference. Grenoble, France. Juiy2-3 1991. Vol. 3.p. 2330). I1

7

8 Control difuso adaptable Capitulo 2 ,I I

Un diagrama a bloques de un controlador aifuso se muestra en la Figura 2.1. Todas las señales de los sensores son convertidas a variables lingüísticas caracterizadas mediante

funciones de pertenencia. Este proceso, llamado fusificación, es equivalente a una

conversión ordinaria. El número de variablesi lingüísticas (niveles de conversión) es típicamente pequeño, generalmente de tres a siete! En la Figura 2.2 se muestra la situación

cuando una variable real es convertida a tres variables lingüísticas representadas cada una

mediante funciones de pertenencia: negativo (N), c"eo (C) y positivo (p).

,I

I/

ir

I1

I

I)

I/ ¡I

F i p m 2.2 Fusflcoción es decir. conversión de uno vodble reo1 en vadobles lingüísficas. (Adoplada de K. J . Aslrdm, Inlelligeni Conrrol. European Co!~lrol Conference. Grenoble, France.

July 2-5 1991, Vol. 3, p . 23!/).

¡I

Para un valor dado de una variable real la funcióh I\ de pertenencia expresa el grado de

validez para cada variable lingüística [8]. Si f,(.) representa la función de pertenencia

asociada con la variable lingüística A , una medida con el valor x es representado por la

función f, (x)fA (.) o sat, @(.)) donde sat, es la función saturación que restringe el rango

I1

II

I1

del intervalo (0,n) [SI.

I1 Una ley de control difuso puede ser vista como una realimentación de estados, que

proporciona una representación de la señal de control cdmo una variable difusa en términos I(

.I,.

9 Cnpi1ulo 1 Conlml difusa ndaplnble

de los estados, donde se asume que todas las variables de estado están disponibles como variables lingüísticas [8], Considérese una ley de control donde las variables de estado

error (e ) y su razón''de cambio (v), están disponibles como variables lingüísticas N

(negativo), C (cero) j ! P (positivo) y la señal de control u también es convertida en tres

niveles N (negativo), C (cero) y P (positivo). Por ejemplo, una ley de control difuso puede entonces expresarse p'or tres reglas:

li

I

'1

.l

,I R(1): Si (e no N y v P) o (e P y v C) entonces u N R(2): Si (e y Y C) o (e y v de signo opuesto) entonces u C

11 R(3): Si (e no P y Y N) o (e N y v Z) entonces u P

11

'I

Estas reglas dan las'condiciones para que la variable lingüística que representa a la señal de control sea negativa, cero o positiva. La ley de control difuso proporciona la señal de

control como una variable lingüística. La variable lingüística es entonces mapeada a un número real mediante una operación llamada "defusificación". Esto corresponde a tomar el conjunto de consecuentes que resultan diferentes de cero, promediándolos o ponderándolos.

, t

b

I1

,I

Un enfoqdpara diseñar un controlador difuso es intentar imitar las acciones de un operador experimentado. Una ventaja es que la ley de control difuso expresada en términos

de variables lingüísticas es frecuentemente simple y transparente. 'I

I/

,l El control convencional comienza con un modelo matemático del sistema, y los

controladores son diseñados para el modelo. El control difuso empieza con experiencia y heurística hum&a, y los controladores son diseñados mediante la síntesis de esa experiencia y hthística humana (Figura 2.3). Aunque los puntos de principio de los dos

enfoques son diferentes, los productos finales son los mismos -controladores no lineales

para sistemas no lineales. De ahí que, la teona de control difuso debe ser vista como un

subconjunto de la teoría de control no lineal.

I1

I/

I

t

IO

¡I It

Control dliuso adaptable CPPltUlO 2 I( I1

, i\

Capltula 2 Control dirusa adaptable

construyen de experiencia y heurística humana, no de modelos matemáticos. Es

por eso que,lel error en los modelos debería tener menos influencia sobre el controlador, :Se necesita un análisis profundo de la robustez de los controladores

difusos [4]. ,:

e Análisis de ,kstabilidud de controladores difusos no adaptables. Hay algunos

estudios de esta clase (por ejemplo, Langari y Tomizuka [9]), pero los resultados

fueron con condiciones suficientes las cuales restringen la flexibilidad del diseño

de los controladores difusos. Se necesita una mejor teona [4].

Procedimiento de diseño sistemático de controladores difusos. Los procedimientos de diseño sistemáticos de los controladores difusos deberían desarrollarse basándose en el análisis de estabilidad y robustez previo [4].

11

Análisis y diseño de nuevos controladores difuso adaptables. Muchos de los

recientes desarrollos en la literatura del control adaptable no lineal se deberían utilizar mas [4].

2.2 DESCFUPCIÓN DE METODOLOGÍAS DIFUSO ADAPTABLES En la actualidad existen algunas metodologías difuso adaptables [4], [7] y [15] que se basan

todas ellas en la misma filosofia general. Hay dos metodologías en particular que

sobresalen de las otras por los estudios y análisis realizados, y son: (1) Metodología Wang y (2) Metodología Passino. Estas metodologías están profundamente explicadas en algunos

artículos ylibros (31, [4], [6] , [7], [IO], [ i l l y [12].

'1

En la metodología Wang Únicamente se han realizado estudios bajo simulación utilizando el esquema difuso adaptable. En la metodología Passino se han hecho estudios

bajo simulación iy experimentales y se han comparado los resultados del esquema difuso

adaptable con los obtenidos al utilizar otro tipo de controladores, como un regulador lineal cuadrático, un controlador por linealización realimentada, por mencionar algunos.

II

11

'I

'I

i Control difuso adaptable Capftulo 2 il ii

Una de las características más importantes, si no es que la más importante en los

esquemas difuso adaptables de ambas metodolodías, es la dinámica cero del sistema. para li il

el sistema no debe tener dinámica cero. I/ i

Para que la metodología Passino se pueda aplicar: 11

el sistema no debe tener dinámica cero, ó A

el sistema debe tener dinámica cero global y asintóticamente estable. I\ It

¡I il

12

que se pueda aplicar la metodología Wang:

De acuerdo a lo anterior se concluye que la metodología Wang es un subconjunto de

la metologia Passino, es por eso que se decidió escoger el esquema difuso adaptable de la

metodologia Passino, por ser más general y abarcar una clase mayor de plantas no lineales. 1)

Como se comentó en la introducción, existen dos tipos de esquemas difuso adaptables

el directo y el indirecto. Se escoge en particular el esquema difuso adaptable indirecto, de

la metodología Passino, ya que se pueden incorporar’. descripciones difusas de la planta (en

términos de reglas difusas SI-ENTONCES) directaminte en él.

I/

i

;I

¡I II

,I 2.3 SISTEMAS DIFUSOS TAKAGI-SUGENO ii

La ley de control difuso adaptable indirecto de Pas!ino utiliza sistemas difusos Taka@- Sugeno. Por lo que a continuación se definirá un sistema difuso Takagi-Sugeno. 11

I1

I1 1;

Un sistema difuso de múltiples entradas y una salida (MISO) es un mapeo no lineal I/

de un vector de entrada X = [xI ,x2 ,. . ., x, ]’ E ’iRn a una salida 7 = 7(X) E !TI (se utiliza X I/

como un vector general de entrada al sistema difuso; púede o no ser el mismo que el de los I( “estados” que se usa en todas las secciones posteriores). Utilizando el modelo Takagi- 11 Sugeno [16], el sistema difuso se caracteriza por un conjunto de p reglas Si-Entonces

almacenadas en una base de reglas y expresadas como: I! i

Cnpltulo 2 Control difuso adaptable

R,: Si (Y, es y . . . y X, es FL )

:; Entonces cI = g , ( X ) ii

1 :

,I Rp: Si (y, es f lk y - y X, es P i ) I Entonces cp = g, (X)

Aquí, p: es el a-ésimo valor lingüístico asociado con la variable lingüística Xb que

describe la entrada x b , y cq =g,(X) es el consecuente de la q-ésima regla y

gp : X” + X . Utilizando la teoría de conjuntos difusos, la base de reglas se expresa como:

1

R I : Si (F,‘ y .., y Fi) 11

Entonces c, = g, ( X )

Rp: Si (Flk Y “ ’ Y F”‘)

Entonces c, = g,(X)

donde Fi es un {onjunto difuso definido por:

’!

‘I La función de pertenencia ,uFc E [0,1] cuantifica que tan bien la variable lingüística

X, que representa xb es descrita por el valor lingüístico p: .

El antecedente del conjunto difuso 4 x F, x. . .x Fn (producto difuso Cartesiano), de

cada regla es cuantificado por la “norma-t” [4] la cual podría definirse de varias formas,

I1 14 I/ Control difuso idsitable Capitulo 2

1 I\.

operador mínimo sería: ¡I 1 ll ¡I

como el operador-mínimo; operador producto o algún otro. La “norma-t” utilizando el 1

p F , w x F . (.I > ‘ p ‘ 9 ’n

I1 I/ I/

‘y la ‘‘norma t” basada en el operador-producto:

!I

li

I/

I(

I/ Usando fusificación singleton, la defusificación se puede obtener mediante:

(2.3)

II

¡I

i 11

donde pi := pFlx...xF~ (xI , . . . , x.) es el valor que la función de pertenencia (definida vía (2.2)

ó (2.3)) toma sobre X = [xI;..,x,p para el antecedente de la i-ésima regla. Es supuesto

que el sistema difuso está definido para todo X E %” II , se tiene cL,p # O. Se puede 1).

.!

expresar (2.4) equivalentemente como:

I( I1

iI donde C’ := [c , . . .cp] y cT : = [ p l ~ ~ ~ p p , l / [ ~ ~ , p , ] . S e asume que 7, elmapeo producido S

por el sistema difuso, es Lipschitz continuo [2]. En esta metodología, los consecuentes de I/ i I( I/ I1 11 //

Capitulo 2 Contml dlluw adaptable 1s

,I

la salida para cada regla se toman como una combinación lineal de un conjunto de

funciones Lipschitz continuas e , (X) E 93, k =1,2;..,m - 1, así que: 11

I1

'I " ci = & ( X )

,I' : =a,,o + a,.,e,(x)+... + ai.m-2em-2(X)+ ai,m-lem-l(x) (2.6)

i = 1, .-, p . Definienklo lo siguiente: ./

Y

El vector consecuente asociado con las reglas difusas es ahora dado por c = ATz , así que (sustituyendo (2.7) y (2.8) en (2.5)) la salida del sistema difuso se puede expresar

como:

y = zTA< (2.9)

(2.9) es una f o l a especial de sistemas difusos Takagi-Sugeno.

'!

Control difuso adapisble Capitulo 2 16 i

i ¡I

2-4 ESQUEMA DE CONTROL DIFUSO ADAPTABLE INDIRECTO iI El objetivo del algoritmo difuso adaptable indirecto de la metodología Passin0 es disefiar

un sistema de control el cual causará que la salida/y,, de la planta con grado relativo r, siga a ,I

Ii una trayectoria de salida deseada, y,. i

¡I H 11

Se hace la siguiente consideración en la señal de referencia.

RI) Consideración para la señal de referencia: La trayectoria de salida deseada y sus I1

L

I¡ i/

il

ii

I

derivadas y,,,. . . están disponibles y son acotadas.

En esta metodología, de Passino, se utiliza un “controlador adaptable indirecto con

error de salida”, tal como se muestra en la Figura 2.4 (usando la terminología de [2]) donde

un identificador trata de aproximar las dinámicas dy la planta y utiliza esto para sintonizar

10s parámetros de un controlador de tal manera que y,, siga ayrn, de ahi, e, = Y , - Y , --+ 0. il I\

11 Se considera una planta siso (una planta con una entrada Y una salida) descrita Por:

(2.10)

(2.11)

I\

i donde X E X” es el vector de estados, u p E X es la entrada, y p E % es la salida de la

planta y las íünciones f(X),g(X)E%i”, y & ~ ) E R son suaves (infinitamente /I

diferenciables).

II Si la planta tiene “grado relativo fuerte”2 r entonces:

i 4, = 5 2 = L , W II

I1

11 I(

I/ I/

i i

Grado relativo fuerte se refiere a 121.

-

11 Capitulo 2 Control dlfuuro adaptable

11 J

(2.12)

I Ii I Fisura 2 4 Siserno de eon1rol diruso adaplable indiredo. (Adoplada deJejJrv I: Spmner and Kevin M. Pasrino,

Sioble Adaptive Control UsingFuzzy Qslem ond Neurol Newrkr . IEEE Tronrociionr on Furzy Syslem, Augur1 1996, Vol. 4. No. 3. p . 343).

tomando g, = y p ,ha r-isima derivada de la salida de la planta podrá expresarse como:

y, ( r ) = [a(x4+ P ( X ) ] u p (2.13)

donde L:h(X) es la r-ésha derivada de Lie de h(X) con respecto a g

{ L , ~ ( x ) = (ah/aX)g(X) y, por ejemplo, L Z , ~ ( X ) = L , [ L , ~ ( X ) J ) ; y se asume que para

algún Po > O , 4~ tiene I P(X) l> Po así que es acotada lejos de cero @or conveniencia se

asume p ( X ) > O, sin embargo, se puede modificar para sistemas los cuales están definidos

I

I Control difuso adaptable Caplhilo 2 18

h con P(X)<O) . Se asume que &Y) y ,&Y) 11 representan dinámicas no lineales desconocidas de la planta.

11 Se deben aproximar las funciones a@) y P(X) con sistemas difusos

7, = T , ( X ) = z ~ A , 6 u y 7) =&(X)= z iA,cp mediante el ajuste de A, y A,. Los

parámetros de las matrices A, y AB se asume que'!van a ser definidos dentro del conjunto

de parámetros n, y QB (zonas de trabajo para las!\reglas difusas, algoritmo de adaptación

y algoritmo de proyección de ambos sistemas difÜsos a ( X ) y &Y)), respectivamente.

Además, se define el subespacio S, %in como' el subespacio a través del cual la

trayectoria de estado puede moverse bajo control en lazo cerrado (aquí se están haciendo

consideraciones no a priori acerca del tamaño de SI!!; más tarde, se especificará una ley de

control que ubicará un límite explícito sobre S, ). Nótese que:

1 i

Y

¡I ii

I ¡I

I

donde:

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

'1 19 Capitulo 2 Control d l luy adaptable

y d, (x) y d , ( ~ ) so{ errores de aproximación los cuales aumentan de valor c w d o a@)

y p (X ) son representadas por sistemas difusos. Se asume que 2 \ d , ( X ) ( , Y

Dp(X)2(dp(X)I donde Da@) y D p ( X ) se establecen de acuerdo a criterio del

diseñador y son límites del error entre los sistemas difusos y el sistema real. Ya que 10s

sistemas difusos son1 "aproximadores universales" [4] ambos I d,(X)I y I dp(X)I pueden

ser arbitrariamente pequeños mediante una selección propia del sistema difuso si a ( X ) y

p ( X ) son suaves (por supuesto esto puede requerir un número arbitrario grande de reglas).

Es importante mantener en mente que D a ( X ) y D B ( X ) representan la magnitud del error

entre las funciones no lineales describiendo las dinámicas del sistema y los sistemas difusos

cuando los "mejores" parámetros son usados dentro de los sistemas difusos.

't

11

I)

I)

8)

'I

'I

Las aproximáciones de los sistemas difusos a ( X ) y AX) con el sistema real son: 81 I/

'1 11

(2.19)

donde las matrices A, y Ap son actualizadas en línea. Las matrices de los parámetros de

error: 1

I1

I

o,@)= ~ , ( t ) - A;;

Oa(t)= Aa(f ) -A;

(2.20)

(2.21)

son usadas para definir la diferencia entre la estimación actual de los parámetros y los mejores valores de los parámetros definidos por (2.16) y (2.17).

I1

Considérese la ley de control adaptable indirecto:

- 20 I/

I/ Control difuso adaptable Capitulo 2 I 1 up = u,, + u,; +Ubi ll Y I\

I\

(2.22)

La ley, de control se compone de tres leyes ‘be control, una ley de “control acotado”,

ubi , una ley de control por “modos deslizantes”, u,, , y una ley de control de “equivalencia I/

certera” [2] u,. I/ 4 I

1 I/ ¡I 1 2.4.1 Ley de control de equivalencia certera

La ley de control de equivalencia certera está definida como: 1

(2.23)

¡/ i/

It

I1

I/

II

donde v(t) := y:) + ve, + Z, , con Z, := e, - e:’ y 7 > “O. Por ahora se asume que ](X) es

acotado lejos de cero así que (2.23) está bien defin&, sin embargo, después se asegurará

esto. El error de seguimiento se define como e, := k’e donde e:= [e,, e,

k := [ k, ...k,-* 11 , y e, :=y, -y, , entonces, e, = [e ; ... e(“”] [k,, ... k,_,] . Se proponen

los elementos de k tal que L(s):= sr-’ + k,-*s‘-* + .,;. + k,s + k, tenga sus raíces en el

semiplano izquierdo. El objetivo del algoritmo adaptable es “aprender” como controlar la

planta para llevar e, a cero. Entonces, e, es una medición del error de seguimiento. La ley

de control de “equivalencia certera” se utiliza para describir u,, ya que la ley de control se’

obtiene asumiendo que las estimaciones de los parámedos del modelo son muy cercanos a

los parámetros de la planta red, así que un “controlador,por linealización realimentada” se puede obtener [2 ] . Aunque las estimaciones no sean muy cercanas a los parámetros de la planta, la ley de control de equivalencia certera puede sei! usada después para manipular las

.I¡

I T T

I/

I/

;I

u il

I\

‘I, , I

I,

I\

¡I 11

- . ¡/ A I

11 Y ¡I I1

dinámicas del sistema en una forma especial. <_ . .~ . ,

. . , , . , ~ ‘ I . .. ~ . , . . .. ’ ’

,

:I

‘1

11 Cspltdo 2 Control difuso idaptable

2.4.3 Ley de control por modos deslizantes I1

I/ Se define como:

,

donde: 1 x 2 0 -1 x < o

sgn(x) :=

- - -. .. . - . .~ ~. . - - ....

21

(2.24)

(2.25)

If

II y k,,(t)= D,(X)+~8(X)Iu,I que es la ganancia que representa al término de control por

modos deslizantes. ,, I1

‘1

II Se debe aclar,ar que aunque u,, es llamada ley de control “por modos deslizantes”, no

garantiza que la tr&ectona de estado se “deslizará” a lo largo de una variedad e, = O como

tradicionalmente se garantiza con un control por modos deslizantes no adaptable [17]. El objetivo de la ley de control por modos deslizantes es cubrir los errores de modelado entre

las funciones no lineales del sistema a ( X ) y ,@), y los sistemas difusos con parámetros

óptimos z,TAi<, y Z ; A ; < ~ .

I

‘f

11

I1

‘1

2.4.2 Ley de control acotado

Para definir la ley de control acotado se tienen definidos los parámetros E,,, y M e tal que

O <E,,, I M e . S&:escoge la ley de control acotado para ser:

11

If

(2.26)

‘1

- 22

Y

Capitula 2 i Control difuso idaptable i

si Me _<le,/

para cualquier otro caso I1

S i M , - E w - < l e , l < M , (2.27) n(t) =

A i 1 X t O

Y i

sgn(x):= -1 x < o / I/ (2.28) i La ley de control acotado es continua y definida así que es usada siempre y cuando

A Se requiere que se establezcan límites PI ( X ) 2 / A X ) / y a, ( X ) 2 la(X)I i Utilizando esos estados

le,l2 M e .

cuando e, 2M, con a , ( X ) y / , ( X ) continuos en X.

dependientes de los límites, se define la siguiente gan'ancia:

I1

II

I\ I\

11

I) I/

En este punto, es conveniente defuiir funciones de transferencia: I1

(2.30)

II

¡I

i

las cuales son estables ya que L(s) tiene sus polosfen el semiplano izquierdo. Como

eo' = Gi(s)e, con e, acotado, entonces e:) E !.,,(f1L = {z(t): sup,/z(t] < m}). . Esto se

muestra para el caso e, = e:+ koe,, en la Figura 2.5 donde si le,l_< M e entonces e, y e',

permanecen en la región sombreada (es decir, le,,\ S - y e, _< 2 M , ) . I M e I/ k, 1 . 1 I1

extenderse a sistemas de dimensión más grande como: 11

~ .. A I/

I1

Esto puede

I

I /I

I II

1 I

I . Figura 2.5 Limirer alrededor de la variedad e, = eo + koe, = O . (Adopiprodo de Jeffrey í: Sponer

and Kevin M. Paisino, Siable Adaplive G m r o l W n g Fuuy Syrremr and Neural Nmvrb, IEEE Tramodioionr on FuqSysIems. AUaiSr 1996, Val. 4. No. 3. p . 343). 't

I ,

y ya que e:-" = e: - ~ ~ ~ ~ k j e ~ ) se puede demostrar que:

-_ - - - ..~...

23

(2.31)

(2.32)

1

'I

para todo tiempo si (e,! < M e y las condiciones iniciales son tales que

Ieon(O)l~M,BG,'(s)II1,i=0, ..., r - 2 . La norma uno de la función de transferencia está

definida como lp,(s)ll, := L/ g , (r)ldc, donde g, ( t ) es la respuesta al impulso de G,(s).

Se observa, que (2.31) y (2.32) proporcionan los limites del error de salida cuando se utiliza

la ley de control acotado ub, .

,I I

I ',

I1

Hasta este punto, se han mostrado los límites del error de salida. Ahora, se muestra

Las que para algdas plantas los límites de los estados también son garantizados. I

I/ 24 Capitulo 2 ¡I COntml difuso adaptable

I/ dinámicas de la planta de grado relativo r descrips ‘1 por (2.10) pueden ser escritas en forma

I1 normal como:

i 41 = 42 i!

I/ i il

.;=Y(&) I1

(2.33)

(2.34)

(2.35)

(2.36)

(2.37) /I

¡l. i I/

!I con x E %”-‘ y yp = 4,. La “dinámica cero” del sistema está dada como

(2.38) I

.;=Y(O,lr) I/

¡I I/

/I Ahora se puede considerar el control adaptable de plantas que no tienen dinámica

cero, o plantas las cuales tienen una dinámica cerolglobal y asintóticamente estable (es

decir, plantas donde (2.38) es exponencialmente estable cuando los estados x se mueven

fuera de una región 1.1 > B ) . Los dos tipos de planta &tán caracterizados por las siguientes I\

¡I consideraciones. i/

11

//

I

li

PI) Consideración de la planta: La planta tien& grado relativo r = n (es decir, no /I

I I1

tiene dinámica cero) tal que:

I/ d - x , = a(x)+ak(t)+’[P(X)~p

i dt

c*prtuia 2 Conirni difuso adaptable 25

donde y, = x , , Aquí II se asume que existe Po > O tal que Po, y que xI,'..,x, son

I I medibies !

P2) Consideracibn de la planta: La planta es de grado relativo r (1 L r < n) con

dinámica cero globahente asintóticamente estable existe Po > O tal que P(x) 1 Po. Las

salidas y,:.', y, ('-') son medibles.

U Ya que los sisremas difusos don utilizados para aproximar a ( X ) y a(X), se requiere

que la planta sea descrita por Pi) ó PZ), asegurando los límites en los estados y entonces las

funciones de pertenencia de entrada de los sistemas difusos no necesitan cubrir todo %I".

El espacio a través del cual la trayectoria de estado de la planta puede viajar S, se

determina encontrdndo el rango de la señal de referencia y del error de salida de (2.31) y (2.32). Entonces, el rango de los estados se puede determinar de la selección y aplicación particular de la representación de estado.

I t

2.4.4 Mecanismo de adaptación del sistema difuso

Las leyes de adaptación del sistema difuso que están definidas por: ii I1

A, ( t) = - Q h J ~ e , (2.39)

A,A~)=-Q~'z,G";~,u,, (2.40) .

iI no garantizan que A, E nu y A, E QP, por lo que se utiliza un "algoritmo de proyección"

(Figura 2.6). Si íos espacios de los parámetros están definidos de tal manera que estén

acotados por A, E [A,"", A,"" J y A, E [AT, A,""] entonces se puede usar un simple

algoritmo de proyección (se utiliza la notación AE[A"'",A""] para definir los límites

I

I

l

,I

Control difuso adaptable Capitulo 2 26 ¡I

1 sobre 10s elementos de la matriz tal que ai,i E 1L [am? un" I, i = 1,. . . , m, j = 1,. . . ,n donde

A , A ~ " , A W U E %rnw están definidos elemento poq 11 elemento como A = [ai,j],A"" =[a$],

y A'"" =[a,:']). Se define a,. ~ para ser el elemento ¡I

,I 1.1 ' 8 . 1

id-ésimo de z,<Te, y ap para ser

Entonces! las matrices de los parhetros están 1.1 I,, .I

¡I el elemento ij-ésimo de zp<ie,u,.

actualizadas de acuerdo a:

donde:

¡I

I1

A, = -Q- e Ill A, (2.41)

(2.42)

I/ I( ....

A = \Bu,,/, para cualquier otrb caso

I1

11 i I\

con alguna A: E (AT,A,"") fija y alguna AB E ( A ~ mrnl~Ama) , también fija. Asumiendo que

los parámetros están inicializados de tal manera que A, E [A,"'", A,""] y Ap E [Ay, A" 1, el elemento a,,4, llegará a ser más grande que su límite solamente si a,,A, = a:,;, Y

I1 I(

> O . Como el algoritmo de proyección previene que esto ocurra, se asegura que

A,, I A,",: donde ' 'I" es una relación elemento a ele,mento (un argumento similar puede

ser hecho asegurando que A,,p 2 A"). Entonces, ltilizando esta ley de actualización

modificada se asegurará que los parámetros de las matrices permanezcan dentro del espacio

' , .A, I1

li

i

I1

I/ ¡I ¡I I/ h

h I(

permitido.

I ,I

, Hiperplan0 de soporte

~ i g r r ~ 2.6 iiuSmcien del algoritmo deprayección. (Adapladn de la obra de ~;,yi” wring. Adupfive F ~ r r y Systems ond Control: Design andStobilily AnQbsis.

Englew~od Cliffs. NJ: Prenrice Half, 1994, P. 118).

I 2.5 COMENTm:OS DEL CAPíTULO Aún cuando el sistema descrito corresponde a un sistema adaptable “inteligente”, es necesario “disefiar” el sistema de acuerdo a la planta a controlar. El diseño del controlador difuso adaptable involucra ia selección de algunos parheiros:

Para el algoritmo difuso, 1 las funciones y <DB(t).

Para la ley de control por modos deslizantes, I

los parámetros p, , Da y Dp.

Para la ley de control acotado,

Para el algoritmo, y de adaptación,

iosparáhettos E,, M,, a,(~) y P,(x).

matices A? y AT

0 matrices A,”” y A;”

matices A: y A;

I En este c p o el sistema adaptable es usado para controlar una planta que no es

completamente conocida, la lógica difusa permite un mejor manejo de estas incertidumbres.

i

h

ii I

1

,I 3

I' I CONTROL DIFUSO 'I :ADAPTABLE DE UN

PÉNDULO I1 INVERTIDO i

DE BASE ROTATORIA U

El ejemplo del pendulo invertido de base rotatona, que se expone en este capítulo, es una

reproducción del ejemplo de la metodología Passino [lo]. Esto se hizo con el propósito de asimilar la metodología difuso adaptable

11

I /

't

3.1 DESCRIPC~ÓN El primer caso de estudio es un péndulo invertido de base rotatoria. El péndulo invertido de base rotatona es un sistema subactuado (es decir, tiene menos entradas que grados de libertad) e inestable que presenta considerables retos en el diseño de control. Un modelo

11

I1

28

29

II

I/

Control difuso adaptable de I un phdulo invertido de base rotatoria Capitulo 3 ¡\ ¡I

identificación. ¡I ¡I I\

matematico no lineal de este sistema se desarrolló en [13] y [14] mediante técnicas de

;I #I

El diagrama del sistema se muestra en la Figpra 3.1. La flecha del motor de comente

directa tiene una base rotatoria fija a él, que además permite la medición de su propio

ángulo (con respecto a la posición inicial) ai cual s.e!referirá como eo . i

I1 li i I el 1

._.-.- ,~,,..-y ___. ---.- . .*- i :j ” ....-- ..__ . . ... -- ..__ --_

Bpe rotatoria

Figura 3.1 Diogroma delpéndulo Winjajo and Stephen Yurkovich. Intelligenl Confro1 for Swing Up ond Boloncing for on lnverfed Pei,$ulum System, in Proc. 6h IEEE In1 Con/:

Confr. Appiicnf.. Aibnny. NY. Sept. 1995.p. 53.5). .

11 ¡I 1 ;I

El péndulo puede rotar libremente alrededor de ¡a base, y su ángulo es O,. El punto I1

11 I1

de equilibrio estable del péndulo se asume que tiene ukpalor de x radianes. ‘I

1. //

¡I

Como se explica en [13], el sistema del péndulo invertido de base rotatoria presenta

dos problemas por separado: primero, se necesita diseñar un controlador que sea capaz de balancear al péndulo, y segundo, se tiene que usar un ’/ algoritmo swing up adecuado en el péndulo para que alcance una posición vertical

velocidad angular

(es decir, donde O, =O) Y SU

Esto facilita el trabajo del controlador sea cercana a cero. !!

¡I

A

¡I

II

balanceante el cual “atrapa” la dinámica del péndulo e intenta balancearlo. En este trabajo I I1

II

no se introducirán detiles del control swing up, y se concentrara solamente sobre el control

balanceante del péndulo suponiendo que de alguna forma el péndulo entra en una región

I I donde el ángulo 6, es pequeño.

i li

I 3.2 MODELADO

El péndulo invertido de base rotatoria se puede representar con un modelo no lineal de

cuatro estados. De ellos, solamente e,, y 6, están

directamente disponibles para medición; los otros dos estados tienen que ser estimados.

Para hacer esto, se utiliza una aproximación con diferencias hacia atrás de primer orden de la derivada. Como se probó en [ 131, este método de estimación es muy confiable y preciso.

Entonces, para el resto de la sección, se asumirá, que todos los estados están directamente

disponibles para el controlador.

Los estados son $o, 80, 6, y 6, .

1 . d

Las ecuaciones diferenciales que describen la dinámica del sistema del péndulo

invertido de base rotatoria (note que @, = O es el punto de equilibrio inestable) están dadas

por:

1 . ‘I I

.. e, = -ap e,+ K,U

6 -. ---8,+- C, * m l g 1 I sen8, +-O, K, *- I J, J I J I 1 -

I

(3.1)

(3.2)

I

I

1

donde m, = 8.6184 x lo-* kg es la masa del péndulo, I , = 0.1 13m es la distancia del centro

de masa del péndulo, g=9.8066m/s2 es la aceleración debido a la gravedad,

J , = 1.301 x 10-3N-m-sZ es la inercia del péndulo, C, = 2 9 7 9 ~ lo” (N-m-s)/rad es la

constante de fricción entre el péndulo y la base rotatoria, K , = 3 3 . 9 ~ low3 es una constante

de proporcionalidad, y u es la entrada de control (voltaje aplicado al motor). Un modelo de

U . I

1

I

// , 31 Control difuso adaptable d$ un pendulo invertido de base rotatoria Capitulo 3

11

I/

primer orden del motor de comente directa es"bado por O,(s)/U(s)= K p / ( s + a p ) con

up = 33.04 y K , = 74.89. Los valores numéricos U de las constantes fueron determinados I/ !I expenmentaimente en [13]. Nótese que el valor de K, depende de si el péndulo se

encuentra en una posición invertida o no invertida! es decir, para 4 2 < 6, < 3n/2 se tiene

Kl = 1.9 x lo", y K , = -1.9 x lo-' para cualquier ktro caso (se recuerda que 6, = n es el

punto de equilibrio estable). Cuando el sistema se simula, una condición inicial es utilizada

para determinar el valor de K, de acuerdo a la relacion anterior.

,I

1

I1

il

I\ ¡I I1 I/

3.2.1 Modelo no lineal i .¡I

ii i iI

I/

Se tiene que xi = eo, x2 = Bo, x, = 8, y xq = 0, . Enkonces una representación en variables

de estado de la planta está dada por:

II

XI = x * .I\ I/

x2 = nix2 -+ b,u I1

11 X) = xq I/

(3.3)

I\ 8'

x4 = u2x2 + u3 senx, + a4x4 + b,u I/ I/ i

donde: /I a I = - a p ; u2 = -(K,u,,/J,) u3 = rn,l,/J, , aq = -(C,/Ji), b, = K , and b, = K , K p / J , . Ya

que solamente se tiene el interés de balancear el péndulo, se toma la salida del sistema I

4 como y = xj.

I/ I/

I I(

i I/

I II

3.2.2 Análisis de la dinámica cero

De acuerdo a las ecuaciones (2.10) y (2.11) el modelo del péndulo se puede reescribir como:

I 11

I( h i

I.

I

31

Se encuenira que el sistema tiene grado relativo dos porque después de diferenciar

Entonces se puede ..

dos veces la salida, se obtiene y = a2x2 + u3 senx, +u,x, + b,u .

calcular la forma n o p a l mediante las dos primeras funciones: i

z, = $dl (x ) = h(x) = x3 (3.6)

z* =#z(X)=L,h(x)=Xq (3.7)

B Hay que encontrar dos funciones +3 ( x ) y $d4(x) tales que junto a las dos antenores

formen una transformación cuyo jacobiano sea no singular, es decir un difeornorfisrno, y

que satisfagan L8@3 ( x ) = O , ( x ) = O , para completar el cambio de coordenadas que

permita obtener la forma normal. Luego el jacobiano propuesto es: 1

O 0 1 o

I O 1 O -b, /b2

es así como se tiene la siguiente transformación:

- 33 .!I

¡I ZI = x 3 h

I1 I z* =XI

z3 = XI + X I

Capitulo 3 Contml difuw adaptable de un pkndulo Invertido de base rotatorla I1

z4 = x z -(&).. (3.9)

II I)

A partir de las coordenadas anteriores en funció/i de los estados se obtiene el sistema

dinámico transformado con la característica de estar,en forma “n~rmal”~ : /I

I1 //

z, = z2

II

Ij (3.10)

Las ecuaciones que representan la dinámica cero, del sistema están en función de z3 y

z4, ya que zI y zz no forman parte de ella. Igualando zI y zz a cero, obtenemos las II

i i I1 I(

ecuaciones que representan la dinámica cero:

ó

11

I/

II ii

can6nica en sistemas lineales. ¡I 1 li I(

I1

.I Cambio dc coordenadas ni función de los estados nccesano para el análisis de la dinámica cem y semejante a l a conocida forma

li

Capitulo 3 Contml difuso adaptable de un péndulo lnvertldo de base rotstoria 34

(3.11)

I1

Se observa del conjunto de ecuaciones anterior, que la dinámica cero del sistema es

marginalmente estable, ya que al -a,b, lb, = O [lo]; además de que se obtienen dos 'I

I,

Únicos valores característicos de la dinámica cero ubicados en el origen. ,

También es pbsible observar que cualquier punto (z,(cua[quier valor),O) es un

punto de equilibrio, es decir que la zona de atracción es únicamente el eje de las abscisas es

por eso que al proponer una condición inicial (z,(cuaiquier valor),O) este punto no se

moverá ya que todos los puntos sobre el eje de las abscisas son puntos de equilibrio.

'f

'1

't

'1

'1

Para analizar'ila estabilidad de estos puntos de equilibrio se procedió a simular la

dinámica de los ceros y se encontró que para cualquier condición inicial

(z, (cualquier V U I ~ , ~ ) , O) el sistema no se mueve ya que la condición inicial está cayendo en

uno de los infinitos puntos de equilibrio de la zona de atracción. 1

I

La Figura 3.2 muestra esta gráfica. Es así como el péndulo cabe dentro de la consideración P2,"ya que converge a un punto de equilibrio estable, es decir es asintótica y

globalmente estable.

11

'1

'f

't I,

't 1

I/

- - - - --- -

I1

¡I Control dlluso adaptable de un pendulo invertido de bane mtstorln Capitulo 3 I/

I Figura'3.2 Dinámica cemglobaly osinróricarnenre errable &lpénnulo invertido de base rolorono.

11 1 i! 11

3.3 PRUEBAS BAJO SIMULACI~N APLICANDO CONTROL POR LINEALIZACI~N RE ALIMENTADA ¡I

I/

il ¡I

Como se describe en [2] y [18], se puede definir bna ley de control por linealización realimentada como:

1 I/ u, =-[-(u,x, +u3 senn,fi+u,x,)+v]

4 i

Y . YP

sen xj + a4x4

I/

I( I¡

I/ i I/ ¡/

Figura 3.3 Esquema de conrroipor lineolizacidn renlimeniodoponi eipénduio invertido de bare mrarona. I/

I 'I

(3.12)

36 ~ ~ ~ i t ~ l ~ 3 control dir& idaptnble de un péndulo invertido de base rotatoria

'1

'1 para simular el lazo cerrado de linealización realimentada, es necesario especificar la II señal v.

Se tiene que y i ( t ) es una trayectoria de referencia preespecificada (igual a cero para

el caso del péndulo ifivertido de base rotatona), al menos dos veces diferenciable (debido al

grado relativo del sistema), y se toma e, = y - y,,, (siguiendo la notación de [2] y [is]). 'I

I

-4.5 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................... I ;/\nguio del pendulo

8 1

.. '1

Entonces, se tiene que Y =y,- 2e,-8e0 con lo cual se obtiene un sistema en lazo

cerrado estable (en el sentido entrada-salida) con polos en s = -1 f 2.65~' [lo]. La

selección de los polos en lazo cerrado se hizo debido a consideraciones prácticas: expenencia con linealización realimentada sobre el experimento del péndulo indica que al

intentar llevar el error de salida a cero muy rápido puede algunas veces resultar inútil o en un desempeño degradado; de ahí que, se escogieron éstos polos un tanto lentos [lo]. Los

resultados de simulación en la Figura 3.4 son como se esperaban - e l péndulo es

balanceado, y la base se mantiene girando a una velocidad constante.

11

I1

'I

I)

I1

'I

'1

I

..: ....................... : ............

..: ........... : ........... : ........... : ..........

0.5 I I I I

............... ...... i ...................... -

I I r ;Entrada de control '1 ., -10 I

O 1 2 3 4 5 6 Tiempo (segundos)

,, Figura 3.4 Rerulindor de simulación aplicnndo conrrolpor Iineolizneión renlimenr<irlo en elpéndulo invenldo de base roiarorin.

'! 'I

11

-- I/

I/

¡I

¡I H ¡I I1 11 I/ Y ¡I ¡I

II

If

diruso adaptable de un phdula invertido de base rofptoria c~~~~~~~ 37 ill

Se 1% pmebas de simulación del control por ]inealizaci,jn realimentada, ya

que de equivalencia Certera u, se basa en el funcionamiento de linealización

realimentada, Y debe por si so10 (funcionando como control realimentado) controlar a la planta una vez que ha sido optimizado.

3.4 DISEÑO DEL CONTROLADOR DIFUSO ADAPTABLE

En esta sección se proporciona una descripción completa de cada ley de control que forma

parte del controlador difuso adaptable indirecto, expÜesto en el capítulo dos. 11 I\

Como se mostró previamente, el modelo del phdulo tiene grado relativo de dos. La

ecuación diferencial entrada-salida del modelo del péndulo puede entonces ser reescrita

como:. I/ i i/

¡I I1

I/

h 11 I1

I( i

I\

I/

.. Y = [a(Xll+ b(-h (3.i3)

sustituyendo los valores numéricos de los parámetros se obtiene:

(3.14)

(3.15)

a ( X ) = 4 8 . 2 5 2 1 ~ ~ + 73.4085senx3 - 2 . 2 8 9 8 ~ ~

P(X) = -109.3705 I\

I/

I1 En estas ecuaciones, se utiliza el signo “aproximapamente igual” porque no se espera

que los parámetros numéricos de las ecuaciones representen exactamente las dinámicas entrada-salida del péndulo; más bien, el lado derecho de (3.14) y (3.15) son simplemente las mejores aproximaciones conocidas para a ( X ) y AX), respectivamente. Nótese que

,&Y) < O , así que existe un Po < 0 (se toma, por ej’Lmpio, Po = -100, el cual da un

margen seguro de error) tal que P ( X ) I Po para todo “1 t O ; entonces, p(x) es acotada

;\

I

I/

I1

I/

lejos de cero, una condición que se necesitará para asegdar estabilidad. I1 I(

I( i ii

~~ ~~~~ ~. . . .~ ___._ ~ , .

- 2 1 . . . -

-- .-~_~_ , .

.I

,t

.t

I

38 CPpitUlo 3 control di& adaptable de un péndulo invertido de base rotatoria

posible repr&ntar (3.14) y (3.15) usando una forma especial de Sistemas difusos

Takagi-Sugeno [16]. I1 Para brevemente presentar la notación, se toma un sistema difuso

denotado por 7 ( X ) . " Entonces, 7 ( X ) = ~ ~ l c i p i / ~ ~ l p i Aquí, se asume fusifícación

singleton de la entrada X = [xi;..,x,]T ; el sistema difuso tienep reglas, y pi es el valor de

la función de perten,encia para el antecedente de la i-ésima regla dada la entrada X. Se

asume que el sistema difuso se construye de tal manera que cp ,ui # O para todo X E 'W . El parhetro ci es el consecuente de la i-ésima regla la cual, en esta metodología, se toma

como una combinación lineal de funciones continuas Lipschitz zk (X),. R, k = 1,. . . , m - 1,

ad que ci =

If

'I

8)

'1

I1

,=I I1

1

11

+ a:i.iz, (X) + . . . + ai,m_l z,,_~ (X ) , i = 1,. . . , p . Se define:

'1

II 7 't

A =

(3.16)

(3.17)

(3.18)

Entonces,''la ecuación no lineal que describe al sistema difuso puede ser escrita como .I

jyx) = Z ' A Q .

I)

Dada esta notación, se puede escribir:

,I

'I

'!

!j

I/ 39 Control difuso sdsprable d i u n péndulo invertido de base rotstorla Capitulo 3 Y

11 11

(3.19)

A X ) = 2;'4g, +d,(X) (3.20) ¡I I1 !I

li

ii I\

II 11.

I/

donde d, ( X ) y d, ( X ) son errores de aproximación que aumentan cuando a@) y p ( ~ )

son representadas con sistemas difusos, y A i , A;I representan los parámetros del sistema

difuso desconocido y óptimo que minimizan los e ~ o r e s de aproximación. Se asume que

D,(X)2Id,(X)I Y D,(X)21dp(X)I, donde &(X) y D,(X) son límites, que se

establecen a criterio del diseñador, de los errores de aproximación entre la representación

del sistema actual con sistemas difusos. Esas funciones se tomaron como 0, ( X ) = 0.5 y

D,(X) = 1.1, ya que los errores se esperaban que;!fueran pequeños (hay que tomar en

cuenta que si se quiere llevar a pruebas experimental&, los valores se modificarán, ya que

posiblemente las complejidades de la planta real sean mucho mas difíciles de representar

que el modelo). Nótese que esos valores fueron escogidos como resultado de un proceso de

sintonizado, donde para empezar se utilizaron estimaciones intuitivas burdas de los valores y entonces se sintonizaron para mejorar el desempeño:(del controlador. El efecto funcional

de incrementar los Iímites de error D,(X) y D,(X) i s incrementar la magnitud de la ley

I1

, II

ii

I/

iI

I1 I, I( I(

i

de control por modos deslizantes.

Se aproxima la representación del sistema difuso aesconocido usando:

I/ '1

ú.(X) = z'A,(t)S;, (3.21)

Mx)= Z T A p ( ' ) r ; (3.22) // li 81

II donde las matrices A,(?) y A,(?) serán actualizadas mediante un método de adaptación,

como se muestra en (3.26). Basándose en la forma general del modelo del sistema (3.3), se 1

i

b i I/

I1

II

I1

1

1 'I

40 capttuto 3 Control diihiro adaptable de un péndulo Invertido de base rotatorin

toma el siguiente conjunto de ecuaciones á ( X ) y p(a(x): z = [l, x,, x2, sen x,, x 4 r . Los

sistemas difusos utili) cinco reglas cada una de la forma: I .

donde:

si ,x3 es 6 entonces ci = J,(z), i = i,..',5 (3.23)

;I

,I A(z j= a,x, + a3 senx, + a4x4 para el sistema difuso O@).

Cada L(z) es, respectivamente, una columna de las matrices z'A,(t) y zTAp( t ) , y

se inicializó el sistema con:

(3.24)

I I

Nótese que el diseño del sistema difuso es sobreespecificado, principalmente en el

caso de &f) porque, del modelo del sistema, esta función no depende del vector X. Sin

embargo, esta selección fue hecha para permitir una mayor flexibilidad en la adaptación. La inicialización (3.24) da al sistema el mejor punto conocido de comienzo en el espacio de búsqueda. La entrada de los conjuntos difusos se describe en la Figura 3.5 (la ganancia

normalizada para la entrada at sistema difuso x ) fue puesta en uno por simplicidad).

ii 1 .

11 capitulo 3 41 Control difuso adaptable de un póndulo Invertida de base rotatoria

i i

I1 i/ .. ¡I I1

Definiendo las señales e, = k,e, +e, y va ( t ) = y, + p, + k, e, , donde ahora se toma

e, = Y , - y y se tiene TJJ = 1, k, = 8 (con estas! selecciones, los polos de la función de

transferencia del error son s = -1 y s = -9, ib cual produce un tiempo pequeño de 'I

asentamiento del error [lo]).

ii Figura 3.5 Funciones depertenencia de entroda a cada sistemu di/uo. (Adoptado de Raúl Ordoñez,

Jon Zumberge, [et. ai.], Adaptive Fuzzy Control: Erpenmenü and comparative Analyses. IEEE T r m on Funy Sysr.. Moy 1997, Vol 5. No. 2. p. 174).

ii

1i Entonces, la ley de control difuso adaptable indgecto [3] y [6] está dada por:

li

ui = u, +u,, + U b i I1 I\ I/

donde la ley de control de equivalencia 11

u,, = [l/flX)] [- á ( X ) + vo ( t ) ] . La ley de control por

(3.25)

certera es tomada como

modos deslizantes es dada por I\

us, = (l/p,)[O,(X)+O,(X)luoI]sgn(e,). Para definir I la ley de control acotado u*, ,

primero se necesitan determinar funciones acotadas' a , ( X ) y P,(X) para 1 a@)/ y I1

I1 4

i I &')I, respectivamente. Basándose en los valoresinuméricos de (3.14) y @.IS), las

como funciones acotadas se determinaroq empíricamente

a, ( X ) = OX, '+ 7Sx, + 1 Ox,, a, (X) = 140. I

I/ I

se tiene que Entonces,

' b t = I ( ~ / ~ , ) ( I ~ ( ~ ) I + ~ , ( ~ ) + [ / ~ ( ~ ) ~ + ~ , ( x ) ] ~ ~ , . I ) + I U , , ~ )Fgn(e,) para cuando li I\

¡I

le,l> M,, y ubi = O para cualquier otro caso. El parámetro M, define un subconjunto

cerrado acotado, del error en espacio estado e , , Se tomb M e = 0.4; nótese que aunque es

I

'I CspíNlo 3 Control difuso adaptable de Ud péndulo invertido de base rotatorla 41

posible, en principio, tomar un valor pequeño arbitrario de M e , es frecuente el caso de que

el control acotado actúe "demasiado" con un valor de M e pequeño, y los límites inevitables 11

en la señal de entrada de control causan que el sistema llegue a ser inestable. También

nótese que del anlilisis de estabilidad en [3] y [6 ] , la ley de control acotado no es requerida para estabilidad, y puede, entonces ser puesta a cero si no proporciona alguna desventaja en uti diseño en particulk. Sin embargo, da al diseñador la flexibilidad de escoger un límite

para el error, io cual en el caso del péndulo es una característica muy Útil.

't

11

'I IO

I Para definir las ecuaciones de adaptación, se tiene una matriz identidad de 5 x 5 15,

11

se tiene Q = 0.05í5 y se toma: ,I

,I

11 I1 Au(t) = -Q"z<,'e, II

't A,@)= -Q"z<;e,u, 'I

I1 I1

(3.26)

Un algoritm; de proyección (definición del tamaño de la zona de incertidumbre) se

utiliza para asegurar que A,(t) y A p ( t ) permanezcan con límites razonables;

específicamente, es suficiente asegurar que f l X ) esté lejos de cero con p ( X ) 5 ,I

< O.

El algoritmo de adaptación del control difuso adaptable indirecto garantiza que las

matrices @,(t)= A,(t)- A i y Q P ( t ) = A,(f)-A; al menos permanecerh acotadas. 1)

Nótese también 81 que (3.14) y (3.15) son sólo aproximaciones, basadas en el mejor conocimiento de ia planta. Entonces, es posible que la representación del sistema difuso de

la ecuación entrada-salida &(X) y f l X ) no converga a (3.14) y (3.15), pero tal vez io haga

a un mejor (o peor) modelo del sistema. I1

.I -- - ---- - - -lb-

Capitulo 3 '/ /I

43 Control difuso adaptable de un péndulo invertido de base rotatoria

11 3.5 PRUEBAS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS

En las siguientes figuras se observan los resultados de implementar (bajo simulación) la ley de control difuso adaptable indirecto en el péndulo invertido de base rotatoria. En el primer caso (Figura 3.6) se maneja una zona de incertidumbre del 0.5%, que es la definición de la zona de trabajo donde operan las reglas del sistema difuso, así como también el algoritmo

de adaptación y por ende el algoritmo de proyección, exitosamente se mantiene erguido al

péndulo sin oscilación alguna, el voltaje aplicado al motor de comente directa es constante

y diferente de cero lo que conlleva a una inyección de energía para que la base giratoria rote libremente.

,I II I1

II I/ 11

I/

11

I/ i I1 I

i I/

I!

I/

En el segundo caso, Figura 3.7, se maneja l a zona de incertidumbre del 40% y se

vuelve a obtener una respuesta buena por parte de la salida de la planta, aunque en

comparación con la Figura 3.6, no es tan buena ya que con una zona de incertidumbre del

40% la señal de control tiene valores muy pequeños (muy cerca de cero) y eso hace que no se inyecte la suficiente energía al sistema por lo qud el giro de la base rotatoria es lento y

tarda más en estabilizarse la salida (ángulo del péndulo) además

pequeñas oscilaciones en la salida de la planta por la misma causa. I/

I¡ I1

de que se presentan

.......... ; .......... ..........

O 1 2 3 4 ' 5 6 -10

o .' : . . c O 1 2 3 .¡! 6

..............

. . . nira a ewntro

>

O 1 2 3 4 1 1 5 6 Tiempo (segundos)

-1

I/

i ¡I

I/ I/

'I Figu;o 3.6 Respr<erIo delpéndulo invwfido de bare rofofo~ 01 oplicor la ley de confro1

dfwo odopfable. con una ion" de incerfidumbre del 0.5%.

II

. . . . . . . . . . ..... . ~- ~~

-

t

I '

el código fuente.

Archivo librería utilizado por pendulo 1 .uU I pendu1ol.h

1 pendulo2.h Archivo librena utilizado por pendulo2.uir

Archivo librena utilizado por pendulo3.uu

li

pendulo3.h -

1

C m o i d i d 1 adaptable de un péndulo invertido de base rotatoris ' 44 11

capftulo 3

Se pensaría tal vez, que entre mayor fuera la zona de incertidumbre, la respuesta de la se demuestra lo planta y la señal de control fueran poco eficientes; pero en ambas

contrario.

Tiempo (segundos)

Figuq 3.7 Rerpues~a delpéndulo invertido de bare rolaioria al aplicar lo ley de coniml difuso adnploble, con wta mno de incertidumbre del 40%. I

A continuacihn se muestran los archivos utilizados para el control del péndulo

invertido de base rotatoria bajo la ley de control difuso adaptable indirecto. Estos archivos

se diseñaron para ejecutarse bajo el ambiente de Labwindows versión 5.0.1. LOS programas

de ejecución se en el diskette anexo a esta tesis.

Nombre del archivo

pendulo.prj

Descripción del archivo

Es el archivo que permite el acceso al archivo fuente, las interfaces y librerías. II pendu1o.c Archivo de simulación principal que contiene

pendulo4.h

pendulo5.h

pendulo6.h

pendulo 1 .uk

pendulo2.uir

pendulo4.uir

pendul06.uk

penduIo3.uk

pendulo5.uk

45

Archivo librería utilizado por pendulo4.uk

Archivo librería utilizado por pendulo5.uk

Archivo li6rería utilizado por pendulo6.uk

11

I1

11

'I

'I li Archivo gráfico II

,I

Archivo gráfico

I! Archivo gráfico

1' Archivo gráfico

Ill Archivo gráfico

II Archivo gráfico

li .

I/ CONTROL DIFUSO

'ADAPTABLE 11 DE UN

INTERCAMBIADOR DE

CALOR

Con el propósito de &valuar el esquema de control difuso adaptable en un proceso de tipo industrial, se seleccihnó un intercambiador de calor. Un intercambiador de calor es un

aparato que se utiliza para transferir calor de un fluido circulando sobre un lado de una pared a otro fluido (o fluidos) circulando al otro lado de esa pared. Cuando se utilizan para

realizar simultánedente transferencia de calor y transferencia de masa, los intercambiadores de cplor llegan a ser algunos tipos de equipos especiales, frecuentemente conocidos con otros nombres. Cuando generan fuego directamente de un proceso de

combustión, llegan a ser homos, calentadores, y máquinas. Si hay un cambio de fase en

uno de los fluidos que está circulando -condensación de vapor a agua, por ejemplo- el

11

I/

46

41 CqIlt"l0 4 I1 Control difuso adaptable de un intercambiador de calor

II :I

I1

- .

equipo se puede llamar evaporador, sublimador, columna de destilación, condensador o condensador-enfriador. Los intercambiadores de calor también se pueden diseñar para realizar procesos de generación de energía y reacciones químicas. Los intercambiadores

entonces, llegan a ser una parte integral de los sistemas reactivos y pueden conocerse, por ejemplo, como reactor nuclear, reactor catalítico o popmenzador. Los intercambiadores de

calor son normalmente utilizados sólo para la transfeiencia y eliminación o recuperación de calor sin un cambio de fase en el fluido. Los fluidos sobre ambos lados de la pared son usualmente líquidos, pero también pueden ser gases tales como vapor o aire; o también

pueden ser metales líquidos tales como sodio o mercuno. Las sales derretidas, en algunas aplicaciones, son también utilizadas en intercambiadores de calor como fluidos. El ejemplo

más simple de un intercambiador de calor podría serilun intercambiador de casco y tubo, dos

tubos coaxiales, circulando un fluido caliente por el tubo interior y un fluido frío por la

sección anular con el propósito de calentar al flui(o frío. Los intercambiadores de calor

tienen una amplia zona de aplicación en la indusha química, incluyendo refinación de

petroieo y procesamiento petroquímico; en la inhustiia alimenticia, por ejemplo, para

pasteurización de leche y enlatado de comidas proc'esadas; en la generación de vapor para

11 U !l. .

I1 I1 II . 11 II . 11

11

'I

la producción de electricidad; en sistemas de reacción nuclear; en aviación y vehículos

espaciales; y en el campo criogénico para la separación de gases a baja temperatura. Los intercambiadores de calor son los "caballos de batalla" del área de calentamiento,'

ventilación, aire-acondicionado y refngeración.

;I 3 >

1 'I 'I

4.1 DESCRIPCI~N DEL M ~ D U L O RCT 100 'I El intercambiador de calor con el que cuenta ell 'I módulo de temperatura RCT 100 está

formado por dos tubos coaxiales. El problema de control consiste en regular la temperatura de salida del casco por acción de una válvula controladora de flujo, en este caso agua caliente suministrada por un pequeño termorregdidor y el agua fría es suministrada por la red. El proceso es el que a continuación se deschbe (refiérase a la Figura 4.1): el primer elemento en contacto del agua de la red es un rotámetro, con el cual se puede medir la velocidad del agua fría; luego fluye hasta llegar aiina llave de bola de dos vías, de ahí pasa

11

II

I1

11

I/ Capitulo 4 Cootrol~diluso adaptable de un interenmljiador de calor

I/ 48

por una manguera al intercambiador monotubo y comienza el calentamiento. Cuando sale

del intercambiador, a través de una manguera pasa a una llave de bola de dos vías, que es el

último elemento en contacto del agua ffía (ya calentada) para salir a temperatura deseada del módulo de temperatura. El agua caliente, que está almacenada en el termorregulador, pasa primero por la microválvula de regulación, para luego verificar su flujo volumétrico en

un rotámetro, es entonces cuando llega al intercambiador. Cuando sale del intercambiador

vuelve al termorregulador. Por medio de las conexiones de entrada-salida de agua fría al

intercambiador, se pueden estudiar arreglos en contracomente y co-comente en el

intercambiador monotubo.

II

I1

I/

u I/

,I

I/

I/

1

Entrada de I1

I/

i

agua fria

Figura 4.1 Dingrnmn de insrmmentneión del módulo de remperniura RCT 100

4.2 MODELADO DEL'INTERCAMBIADOR DE CALOR MONOTUBO 11

I/

I/

Uno de los principales métodos para el modelado de intercambiadores de calor es el método de división en nodos [I91 y [20].

I/

1

control difuso adaptable !I de un intercarnbiador de -lor Capitulo 4

para empezar con el análisis, hay que dividii al intercambiador en nodos (partes)

iguales, tanto para el casco (sección anular del intercarnbiador) como para el tubo (sección intenor), y las ecuaciones obtenidas se aplicarl a cada nodo. Es decir un análisis

49

iI

I I

diferencial finito. A H I! . 11

'!I

11

L~ descripción del funcionamiento del intercambiador de calor de doble tubo se hará

en función de los coeficientes de transmisión de calor de las dos comentes y de la resistencia calonfica de la pared del tubo. El intetcambiador de calor está constituido por dos tubos coaxiales, circulando uno de los dos fl$idos por el tubo interior (agua caliente para este caso) y el otro por el espacio anular (agua Ma). El calor se transmite a través de la pared del tubo interior. Las comentes pueden circular en la misma dirección, tal como se

indica en la Figura 4.2, pero normalmente e: más conveniente utilizar el flujo en contracomente (así se obtiene la máxima transferencia de calor), es decir, invertir el sentido de flujo de una de las comentes, de forma que uno cualquiera de los dos flujos, es negativo.

En el análisis siguiente se supondrá flujo turbulento en contracorriente y también que las pérdidas de calor a los alrededores son despreciables. Las magnitudes correspondientes al fluido caliente se representan con el subíndice t (&bo) y las correspondientes al fiio con el

I! I1 I\

I!

II I/

subíndice c (casco). iI II !I

A). Balance macroscópico de energía para cada una de las corrientes consideradas en su

totalidad. El balance de energía en estado no esiicionario de cada nodo está dado por (4.1):

donde:

E,,,, = energía total del fluido (kg-m2 / sz)

U = energía interna (kg-m2 / s2)

p= presión del fluido (kg / m-s') v = volumen (m3)

(4.1)

os

Cspltulo 4 Control difuso adapdble de un intercsmbisdor de calor 51 It

H = U + pV , entalpía (kg-m2 I sz) - i l II 'I

Para líquidos

incompresibles que circulan bajo una diferencia de presión no excesivamente elevada, tomando el coeficiente calorífico del agua Cp como constante, se llega a (4.4):

Como .no hay pérdidas de calor a los a!+dedores - Q, = Q, . I/

11

I1 11

AZ? = I 'epdq+-(p , 'I 1 - p i ) H P

(4..4)

I II donde:

p = densidad del fluido (kg / m3) II II 1

conduce a la relación AI? = CpAT. Por consiguiente, I1 (4.2) y (4.3) pueden expresarse así: 'I

II

'I F

B). Balance rnacroscbpico de energía aplicado en forma diferencial. Aplicando (4.1) a un

segmento dz de la comente del fluido caliente (puede también ser el fluido Eo) en el intercambiador (véase Figura 4.2), se obtiene:

1

t

De acuerdo con (4.8):

,I

Q = h(2mLHq - T,) II I1

I/

I1

Capitulo 4 Control h u s o adaptable de un intercambiador de calor 51

I1 dQ, se puede sustituir por h, (2m,dz)(Tc - T,), siendo h el coeficiente de transmisión de

calor que viene dadqipor (4.9): I/

I1

I/

11

I/

donde: I/

k= conductividad térmica (kg - m / s3-OC) I1

Nu = número de Nusselt (adimensional)

De = diámetro equivalente (m) I/

I/

I1

I/ Para el fluido caliente resulta por consiguiente:

I1 La ecuación correspondiente para el fluido fiío es:

I1

(4.9)

(4.10)

(4.1 1)

11 Como no se pueden establecer valores absolutos para U,, , U,,,, = pCpV(T - T,). Es

en esta parte donde se incluye la ecuación de la pared del tubo ((4.13), sus términos se

representan con el subíndice m), que es la que produce la transferencia de calor. Luego, (4.10) y (4.1 1) introduciendo la ecuación de la pared del tubo, resultan ser para el i-ésimo

.I

nodo: I1

i I/

'I

Cspltul0 4 'I

Control difuso adaptable de un intercambiador de calor [I

'I

.r 'I

II

Volumen del nodo

I1 Area de transferencia de calor para el nodo i

I!

Capacitancia térmica del nodo en el tUbo

53

v. It =- n

A n

A . = L

PV), c r = @ n

I1 Figurn 4.3 Diogrnmo de noroeión del inlercombiadorpara el casgide dos nodos (es decir i=2) confiujo conrracorriente.

(Adoptado de J. R. While. Vi. Marhematical Modeling of E@mring s)stems: Care Shrdy D - Shell and Tube Heat Exchanger, pdgino: h t r p : / ~ . e n g u m l . ~ ~ ~ ~ C h ~ ~ U o ~ l i ~ h i t ~ s d ~ ~ s # s 6 d m ~ ~ / ~ 6 d m ~ d l . h l m ~ .

I/

Cspltuio 4 Control difuso I adaptable de un lntercambiador do rsior

I

1 Resistencia de flujo sobre el tubo I/ R, =. 11 mIcP,

n Resistencia a la transferencia de energía del tubo a la pared

Capacitancia térmica de la pared

ir R,, = - I/

h, AI

P V X I1 C , = k n I

I/ n Resistencia a la transferencia de energía del

casco a la pared

Resistencia de conducción entre los nodos de la

pared

Capacitancia térmica del nodo en el casco

R =- me h,A,

L R =- I) mm

P V ) , I/ c,=@ n

54.

Resistencia de flujo sobre el casco I/

1 R, = .

mc t P C

I/

11

I) siguientes ecuaciones: ,

ii

Tomando estas definiciones y sustituyendo en (4.12), (4.13) y (4.14), se obtienen las

(4.15)

(4.17)

II

Estas 3 ecuacioned, aplicadas a cada nodo, dan una representación razonable de la

dinámica de cualquier intercambiador de calor de tipo monotubo en el casco, tubo y metal, incluyendo el del módulo de temperatura RCT 1 OO.

Cnpltulo 4

En las ecuaciones anteriores, que forman .e! modelo lineal del intercambiador de

calor, se tienen dos entradas al sistema T,;" (teFperatura de entrada al tubo) y T,,

(temperatura de entrada al casco). Como (4:25), v (4.16) y (4.17) son ecuaciones

diferenciales se utiliza un método no iterativo, para'ksto 't se utilizó un método de integración

iI

' . Y il

Control difuro adapgbie de un lntercnmbiador de calar 5s !f

'I

Euler con paso de integración de 0.001. 'I iI II 'I 4.2.1 Obtención del modelo no lineal 11

11

II ii

Para variar la temperatura del fluido en el casco (agua fría), es necesario cambiar la cantidad de calor inyectado al sistema, existen dos opciones para realizar esto: el primer método es variar la temperatura del tubo y el segundo método es actuar directamente sobre el flujo másico del fluido en el tubo (agua caliente), el término de flujo másico del fluido es el siguiente: 'I

II 1

11 1

m, = p,A,Fl, 11

(4.18)

donde p, es la densidad del fluido que circula por 11 el tubo, A, es el área de flujo en el tubo

!I II

y vel, es la velocidad del fluido que circula por el tubo. Es en este último término donde se

actúa directamente para modificar la temperatura del fluido en el casco, y es por eso que se

toma como entrada la velocidad del fluido en; el tubo. En este caso se representa ai intercambiador del módulo de temperatura RCT 100 como un sistema de dos nodos, y se toma como entrada la velocidad del fluido en el tubo:

:I !I 1

II

(4.19)

56

(4.20)

Esta representación cumple la forma (2.10) y (2.1 1) (representación no lined), y donde:

I/

I/ yi = 2.5316 a, = 0.2756 p, =OS607 k, = qt, = 80.5 " C

y, = 0.9014 a, 7 0.3478 p, = 0.7575 k, = T,,, = 28 O C

a3 7 0.07221 ,ü3 = 37 .3449~10~

I/ p4 = 0.1968

I/ para obtener los valores numéricos de estos parámetros consúltese la sección I del apéndice

A. I/

I/

A simple vista el I modelo no lineal podría confundirse con una realimentación de

estados pero no es así ya que la señal de control depende de señales externas al sistema.

I/

II

4.2.2 Identificación de parámetros A continuación se definen cada uno de los parámeíros identificados al caracterizar el intercambiador de calor monotubo del módulo de temperatura RCT 100.

I/

I1

Propiedades del agua quei circula por el tubo: Cp, = 4191 J I kg - "C (calor específico)

I/

57

11

11 pr = 973.7 kg / m3 (76.67"C, latm) (densidad)

= 3.72~10" kg / m-s (76.67"C, latm) (viscosidad) Pi-, = 2.33 (número de Prandtl) il kr = 0.668 W / m - "C (conductividad térmida) '1

11 II 11

'I

¡I II

propiedades del agua que fluye en el Casco: cp, = 4174 J / kg - "C (calor específico)

pc = 988.8 kg / m3 (48.89"C, latm) (densidad)

= 5.62~10" kg / m-s (48.89'>C, iatm) (viscosidad) 11

Pr, = 3.64 (número de Prandtl) k, = 0.644 W / m - "C (conductividad tédica)

II Aquí cabe hacer un comentano en lo que fespecta a las propiedades de los líquidos

que fluyen en el intercambiador; porque aunque tanto en el tubo como en el casco fluye

agua, el motivo por el cual tienen propiedadei diferentes es el rango de variación de

temperatura en cada uno. Para obtener estos valores, se hizo un promedio de los mismos dependiendo del rango de temperaturas en el cual va estar operando el fluido.

11

11

1

r ;I 11 Propiedades del material con el que está hecho el intercambiador:

material: acero al 1% de carbón

k, = 43 W / m - "C (conductividad térmica)

pn = 7801 kg / m3 (densidad)

11

I( Cp, = 473 J / kg - "C (calor específico) 1

11

'I

'1

Dimensiones del intercambiador:

dit = 0.006 m (diámetro interno del tubo)

det = 0.01 m (diámetro externo del tubo) t

II 11

11

ap t = 0.002 m (espesor del tubo) dic = 0.016 m (diámetro interno del casco) dec = 0.02 m (diámetro externo del casco)

i

I¡ Capitvlo 4 Control difusa adaptable de un interrambiador de

espc = 0.002 m (espesor del casco) I1

L = 0.79 m (longitud del inter~ambiador)~ i

Parhetros que se odtienen en base a los datos antenores:

vc = 96.7535 ~ $ 0 ~ m3 (volumen del casco)

6=22.3367x 10" m3 (volumen del tubo)

v, = 39.70975 x

A, = 0.02481 m

A, = 0.01489 m2 (área de transferencia de calor en el tubo)

A , = 50.2654 x io4 m2 (área de conducción de transferencia de calor en la pared

II

m3 (volumen de la pared del tubo)

(área de transferencia de calor en el casco) '12

1 del tubo)

AjC = 0.1224 x mz (área de flujo en el casco)

A) = 28.2743 x 1p6 m2 (área de flujo en el tubo)

vel, = 0.1089 m / s (velocidad del fluido en el casco)

vel, = 0.6123 m 1 s (velocidad del fluido en el tubo) Re, = 1149.5927'1i (número de Reynolds para el fluido del casco)

Re, = 9615.9124 ,i(número de Reynolds para el fluido del tubó) Pr, = 3.64 (número de Prandtl para el fluido del casco)

Pr, = 2.33 (número de Prandtl para el fluido del tubo)

Nu, = 10.8293 (número de Nusselt para el fluido del casco)

Nui = 49.5521 (número de Nusselt para el fluido del tubo) h, = 1162.3642 kg / s3 - "C (coeficiente de transferencia de calor para el casco)

h, = 5516.8924 kg / s3 - "C (coeficiente de transferencia de calor para el tubo)

De = 5.9999~10" m (diámetro equivalente) ,

perim, = 0.01884 m (perímetro calentado en el casco)

VIubo = 62.04645 x hod m3 (volumen total dentro del casco)

11

I1

I

I¡

'1

II

58

VI,, = 0.1588 x 10.; m3 (volumen ocupado por tubo y casco más volumen del tubo)

II

' El inlercambiador esta cn forma dc !'u'', ademas se conridcm I i misma longitud tanto para careo corn para tubo.

II

!I

II I

Control difuso adaptable de un lnterearnbisdor de calor capitulo 4

Para mayor información consúltese las referencias [?9], [20], [21] y [22]. Los cálculos de los parámetros se encuentran desmollados en la s e c h n 11 I del apéndice A.

'I 59

1

.iI II

1

4.2.3 Pruebas de validación para validar el modelo no lineal obtenido se realizaron pruebas experimentales, 1% cuales

se compararon con pruebas bajo simulaciÓn. 'I

Se realizó una variación de tipo senoidal en la velocidad del agua caliente y se 'I1

verificó la repercusión en la salida del intercambiador (temperatura a la salida del casco).

La variación de la velocidad en el fluido' 'I de agua caliente se hizo mediante un

variador de velocidad actuando directamente II sobre la bomba de recircuiación y

I¡ iI manteniendo abierta al 100% la válvula controladora de flujo de agua caliente.

II El flujo de agua fna se mantuvo constante,,;con el rotámetro abierto al loo%, aunque

en ocasiones se modificó un poco poflas varia!iones de la red en las cuales no se tiene control alguno. La temperatura del agua caliente'ke mantuvo constante.

'1

En la Figura 4.4 se muestra una prueba bajo simulación en donde se hizo variación 'I

senoidal en la velocidad del agua caliente, se observa como en la salida del intercambiador (temperatura a la salida del casco) se presenta; Ji una mayor pronunciación en el segundo

I 'I I1

11 I1 comprobó en el rotámetro). 11

semiciclo en comparación con el primero.

En la Figura 4.5 se muestra la variación senoidal que se introdujo en el variador de velocidad el cual a su vez hacía que la velocidad del agua caliente se modificara (esto se

11 En la Figura 4.6, se muestra una prueba experimental, en la cual debido al tiempo de muestre0 (un minuto) las lecturas en el rotámeFo del fluido de agua caliente hacen que la

11

I¡

Cspltula 4 Control ¿lIfuso adaptable de un iniercambisdor de calor I1 60

senoidal de la velocidad del flujo no sea suave. En esta parte nuevamente se presenta la no

linealidad del segundo semiciclo.

I/ 42.5 I I

39'5 I ' L 2 4 6 8 10 12 14 16

I1 Tiempo (minutos)

I/ Figuro 4.4 Pruebas de vnlidnciÓn bnjo simulación. i'orioción deflujo volurnéirico del lubo -Y$- Temperalum o In solido delsi$lemn

li

I1 El tiempo de muestreo, en el caso experimental (Figura 4.6), puede ser más pequeño

como consecuencia se tiene un mayor número de mediciones o lecturas (una señal senoidal suave), también puede ser más grande pero como consecuencia se tendrá una señal senoidal muy burda o pudiesen presentarse problemas de aliasing.

I/

I/

11

/I

I/

I/

61

A

Capitulo 4 'I Control diiuso adaptable de un intereambiador de calor ¡I

Figura 4 s Volfaje en el vanador de velocidad ~fl l lrndo poro introducir la senoidnl en lo velocidnd del o w d i e n f e medianfe lo bomba de recirnilación.

2 4 6 12 14 16

2 4 6 12 14 16

40 -

II 'O Tiem+ (minutos)

11 Figura 4.6 Pmebns de vnlidoción erperlmenf$er. Tiempo de muerfreo de un minulo. Vnrinción deflujo voluméfrico del tubo -VI; Temperofurn <I la rnlidn del sistemn.

I1

4 1

1 tinuación se muestran los archivbs utilizados como parte de la prueba de

j validación bajo simulación del modelo no 'ineal. Estos archivos se diseñaron para

I/

I/

Csprtulo 4 Control !Mum adaptable de un interismbindor de calor

I/

Nombre del archivo

I/ rct2.prj

I1

I/ rct2.c

62

Descripción del archivo

Es el archivo que permite el acceso al archivo fuente, las interfaces y librerías.

Archivo de simulación principal para las

ejecutarse bajo el ambiente de Labwindows versión 5.0.1. Los programas de ejecución se

encuentran en el diskette anexo a esta tesis.

rct1.h Archivo librería utilizado por rctl .uir

1 pmebas de validación del modelo no lineal I I/

rct2.h

" rct 1 .UU

Archivo librería utilizado por rct2.uir

Archivo gráfico de temperaturas en estado

estable a la salida del intercambiador

Archivo gráfico del comportamiento de la

temperatura de salida del intercambiador al

variar la velocidad del agua caliente I/

I1

I/

4.3 ANÁLISIS DE LA DINÁMICA CERO DEL MODELO NO LINEAL

Se encontró que el grado relativo del sistema es tres, porque después de diferenciar tres

veces la salida del intercambiador de calor, y = x 5 , aparece el término de entrada: I/

I/ ... Y = -2a:a2 k 2 + (- a 2 a 3 4 - a3plY2 - a3pdl 1' x2 ( a l a 3 4 a3p3pl

+ X 3 ( a l a 3 p 3 +a:a,i+a,a,P, +a3plY2 +.;p: +a3p: +alp4)

++(-a: - 2a2a3p4 - a3p2p4,)+ x 6 ( 2 a I a : + 2ala3p4 +ala: + Q ~ P ~ ) + (a3PlYlkl - a3PlYlxl).

+ x4(- 2ala2a3 - ala312 -a2a3p3 - 2 a 3 ~ 2 ~ 3 1 (4.21)

I/

para llegar a esta expresión consúltese la sección I1 del apéndice A. I/

I/

I/

I/

1

II

'I Control difuso adap¿abie de un intercambindor de calor capitulo 4

It

1 o - - a2 al

O iI I1

O 0 a 3

a3pl 0 -a3/ , -a2a3 a3p, +ala3 a3P4 +a: - 2 a l a 2 o 1 O o '1 O O O 0 1 o )I O O O 0 O 1 I( O O -

63

(4.24)

II it II II II iI

Conociendo el grado relativo, se plantean las primeras funciones para el cambio de

coordenadas:

ZI = ( x ) = h(x) = xs z2 = 4 2 ( x ) = L,h(x) = a , x , - a 2 x s +a+,

z3 = +3 ( x ) = ~ , ' h ( x ) = a,/,x, - (a,/2 + " 2 ~ 3 b3 + b3P3 81 + ala3 )x4

+(a3p4 + a i b S -2ala2x6 + $ k 2

II

(4.22)

Hay que proponer otras tres funciones b4 (x)!l bS (x) y d6 ( x ) tales que, junto a las tres

anteriores, formen una transformación cuyo jacobiano sea no singular, y que satisfagan: I1 .

Lg+4 ( x ) = O , Lg+5 ( x ) = O, Lg+6 ( x ) = O, con esto 'I se completa el cambio de coordenadas I

que permite obtener la forma normal. Supóngase que no se quiere resolver este último

problema y se agregan tres funciones que, sin verificar las ecuaciones anteriores, completen

un cambio de coordenadas. Se proponen las sigui+tes funciones:

11

1

II

z4 = + 4 ( x ) = x 2

z5 =$bs(X;)=x, Z6 = 46(j) = x4

II !I con lo que la matriz Jacobiana:

(4.23)

resulta no singular para todo x . De ahí !que la transformación propuesta es un difeomorfismo. La transformación inversa es: iI

'I 11 1

11

I/

I1

It

I/

64 Capitulo 4 Control difuso ndsptsble de un intereambiador do calor

= 151.0172+2.6368~, +17.1803z2 +24.6986z3 +0.7306z8 -2.36742, I/

I/

x2 = z 4 x, = z s x4 = z , xs = z,

II

11

z2 + a 2 z , -a z ” al 1

x, = =1.2619~, +3.6284~, -0.26201~,

(4.25)

II

Con estas transfordaciones se calculan los términos de la dinámica del sistema

transformado: I/

II

I/ ab)= LgLf2+)= a,PlG.lkl - Y I d

I)

I/ = 18.3491 + 0 . 2 7 0 2 ~ ~ + 17.6092, + 2.53162, + 0.07482, - 0.24262,

b(2)= Lf3h(x) = (-a2a3pl II -a3p2pl -a3Ar2 1.1 + (a3pJpl + a l a 3 d )’Z

AY^ +a,p; +a2a,p2 + a ~ + a l a 3 ~ 3 +a:p4 +a:aJ)rJ +(a,&, -a ,a ,~ , -2a3p3p2-2a la2a3)x4

+ (a2a3p4 - a 3 ~ 2 ~ 4 - a 3 ~ 4 ~ 2 -a: ZT, + (a3p3p4 + 2a1a3p4 +3a:al )x6 - 2a:a2k2

I/

I/

= -16.5217-0.13’103~~ -1.00462, -2.00652, +0.O1116z4 4

I1

+O.01911zs +0.1633z6

44(z)=L/44(x)=Y2x4

~ S ( z ) = L / ~ 8 ( x ) = ~ ~ x l Tp2x3 + p 3 x 4 + p 4 x S

x 2 = 0 . 9 0 1 4 ~ ~ - 0.90142,

= 84.6753 + 1,67522, + 9.63292, + 13.84852, - 0.34792, -1.32732,

46(z)=Lf$6(x)=Ax2 - p 2 x 4 +pJn3 + p 4 x 6

= 0,24832, + 0 . 7 1 4 0 ~ ~ + 0.56072, - 0 . 0 5 1 4 ~ ~ - 0.75752, I/

I/

I/

I/ I1

~~ ~~

:t

!I !I

65 Coniml difuso sdap{hble de un fnkercsmbisdor de d o r Cnpltulo 4

!I il

II

P4 (2 ) = L844 (4 = YIXI - YiX2

= 382.3151 + 6.67532, + 43.49362, + 6.5269z,/-2.5316z4 +1.8495z5

- 21

2 2

2 3

2 4

2 s

2 6 -

En estas coordenadas el sistema resulta:

(4.26)

Aún cuando esta forma no resulta ser la coqvencional, lai ecuaciones de la estructura

que se consideró fue una anterior son válidas globaimente (porque la transformación I1 transformación de coordenadas globaies), pero no II están en forma “normal” debido a la

II presencia de la entrada u en la ecuación para 2 4 . * .I1

Y ‘I En estos casos, el cálculo de la dinámica cero (para un sistema’ SISO - -una entrada

una salida- como el intercambiador de calor ‘Fe1 módulo de temperatura RCT 100) se 1

II

I! realiza mediante la siguiente ecuación: ‘I

(4.27)

la cual describe la dinámica cero en las nuevas coordenadas 11 escogidas: iI ‘I I1

‘I ‘I

Csplfulo 4 Controibirusa adaptable de un infcrcnmbiador de calar

i 66

II

I

1)

para este caso: = coordenadas seleccionadas.

1

Igualando z, = z2 = zj = O , en la tercera ecuación de la forma normal se tiene:

II

A .

I1 z3 = O es decir, b(z)+ a(z}.(t) = O

luego: 11

I/

b(0,;íI) 0 .01116~~ +0.01911zs +0.1633z6 -16.5217 q ( 0 4 = -

u = -- 0.07485~~ - 0.24262, + 18.3491

II

sustituyendo la ecuación anterior, y z, = z2 = z3 = O , en la cuarta, quinta y sexta ecuación

de la forma normal se tiene: 11

I/

" -18.3491 -0 .07485~~ + 0.24262, ' -29.5531~,,+23.2508~, -177.9913~~ +0.02825~: -0.03532: 2 4 =

+1.1973z; ~ 0 . 0 9 5 0 6 ~ ~ ~ ~ + 0 . 2 6 1 6 ~ ~ ~ ~ - 0 . 2 6 0 5 ~ ~ ~ ~ + 6316.4953 I' -18.3491-0.074852, +0.2426~, I/

z s = -0.34792, -1.32732, +84.6753 L

26 = 0 . 5 6 0 7 ~ ~ - 0 . 0 5 1 4 ~ ~ - 0 . 7 5 7 5 ~ ~ I1

11

las cuales describen la dinámica cero del sistema.

,I

(4.28)

I/ Se hizo un análisis para determinar los puntos de equilibrio del sistema, para verificar

si eran estables o inestables. Para encontrar los puntos de equilibrio, se comienza igualando

a cero las derivadas de z;, zs y z, y se encuentran las raíces. I/

I1

11

61

es decir:

'I

Capitulo 4 i

Control difuso adaptable de un intorcambiador de calor F

(4.29)

* -29.55312, +23.2508zs -177.991321 +O.O2825z,2 -0.03532; - 18.3491 - 0.074852, !k 0.24262,

2 4 =

II

'I

'I

+ 1.19732: + 0 . 0 9 5 0 6 ~ ~ ~ ~ + 0 . 2 6 1 6 ~ ~ ~ ~ - 0 . 2 6 0 5 ~ ~ ~ ~ + 63 16.4953 - 18.3491 - 0.07485~5 + 0.24262,

= O

I1

zs = -0.34792, -1.32732, + 84.6753 = O 1 I

i 6 = 0.56072, - 0 . 0 5 1 4 ~ ~ -0.75752, = o ll 1

11

11 y ésto es un sistema de ecuaciones simultáneas que se resuelve con el método de

sustitución, y del cual se obtienen los valores para z,, zs y z, . Resolviendo el sistema de

ecuaciones simultáneas, y sustituyendo valores, se obtuvo únicamente un punto de equilibrio:

iI

!I I1 II

. . ~ ' x . ~ . i . ,.; ,

II

punto de equiiibrio

I/

(4.30)

II

Se hizo un análisis sobre el punto de equilibrio obtenido para verificar si era inestable Para esto, se realizó en Matlab uh programa que simulara las ecuaciones

I o estable. diferenciales que representan la dinimica cero, I1 con condiciones iniciales en el punto de

11 11

equilibrio, método de integración Euler con paso de integración 0.001 y verificar sus

derivadas. 'I

I1

'I 11

1

I/

i Control difuso sdaplsble de un intercambindor de enlor Cspltulo 4 68

Dependiendol'del valor que tomen las derivadas, los estados convergerán o divergerán

del punto de equilitko. I/

I/

I/

deduce que la dinámica cero es inestable.

Las gráficas obtenidas de las derivadas de z.,,z5 y z, se movieron. De aquí se

I1

m_bl . ,

. . . . . .

. . . . . . . . . . .

0 2 I * 1 1 0 < 2 mrs) I1 m t s l -<.-s.,

Figvro 4.7 GraJico de 2, ebn eondicioner inicioles en elpunlo de

Figura 4.8 GraJica de z5 con

condiciones inicioles en elpunlo de equilibrio. I' equilibrio. equilibrio.

Figura 4.9 GráJico de 2, eon

condiciones iniciales en dpunlo de

1

Cabe resaltar que la única desviación del punto de equilibrio es debido a errores de

redondeo computacional, lo cual nos muestra dinámicas inestables. I

Ahora se obtieden los diagramas de fase de cada una de las ecuaciones que representan la dinámica cero, que también ayudan a verificar si la dinámica cero es estable

o inestable. Es decir, & algún diagrama de fase de las tres ecuaciones diverge, con ése es

necesario para deducir que la dinámica cero será inestable, aunque los restantes convergan.

En una prueba de simulación (Figuras 4.10 a 4.13) se consideró a z4 =75,z5 =48 y

z, = 52 las cuales son cpndiciones iniciales muy cercanas al punto de equilibrio.

' li

I/

I/

I/

En estas figuras se demuestra gráficamente, como diverge la dinámica de los ceros, así como también los diagramas de fase para cada una de las ecuaciones que la representan. En la Figura 4.14 se muestra otra gráfica más del comportamiento de la trayectoria de la dinámica de los ceros en la cual se puso como condición inicial el punto de equilibrio obtenido y aún así diverge.

I1

I/

i/

~~

It

'I I1

'I II . iI 'I 'I

I1

,I 69 Control difuso adaptable de un intercambiador de calor Capltula 4

Además, se hicieron pruebas con condiciones iniciales diferentes del punto de

equilibrio, y la trayectoria de la dinámica de los ceros divergía para todos los casos al igual

que para los diagramas de fase.

11

Se deduce de todo el análisis anterior que la dinámica de los ceros del modelo no lineal que representa al intercambiador de calor del módulo de temperatura RCT 100

es inestable, por lo que no se cumple P2) (capítulo dos, página 25), una de las

consideraciones de esta metodología (Passino) para la planta.

'I

'I

O IW 2w r4

Figuro 4.10 Diograma de farepom Z4, se obrervo como se mueve M dirección conrrorio <I supunio de equilibrio.

26

Figuro 4.12 Diogramn de fnsepnro Z 6 , se observa como se

muem en dirección conirnrin n su punto de equilibrio

,i/ If iI

-8010 I5 20 25 30 35 40 45 y1 25 il

II Figura 4.11 Diogramo de fasepora Z 5 , ~e observo como se It

m u m en dirección conlrarla a su punlo de equilibrio

Figura 4.13 Trnyeclorio de In dinrimicn de los ceros. re

equilibpio.

Y 1 'I

'I

1 observa como se mueve en dirección conlrnrio n supunro de

'1 II I

I/

I/

Capitulo 4 Cantroi difuso adaptable de un infercarnblador de calor II

70

I1 .... *... ..... . . . .... _._... I/

5, ... .."..'i'"

,,,,I .__..... . . . I I1

12.5 z4 72

\\ '. ....: 'I 468

I/ I5 46.7

I/

I/

I/

I/

A pesar de que la planta no cumple con los requerimientos necesarios para

implementar un controlador difhso adaptable, se prosiguió en el diseño del mismo, con la

finalidad de estudiar su comportamiento ante estas situaciones.

I/

I/

4.4 DISEÑO DEL CONTROLADOR DIFUSO ADAPTABLE AI igual que en la sezción 3.4, se utilizará la notación del capítulo dos, [3] y [6]. Además

no se repetirá el dehrollo teórico de los controladores del capítulo dos, [3] y [6],

simplemente se proporcionará una breve descripción de los elementos que conforman a

cada controlador. Nótese que parámetros como P,,o,(x),o,(X),M,,~,,a, (X) y

PI ( X ) tienen un valor numérico definido. Estos valores se obtuvieron al realizar un gran

número de pruebas de' seguimiento de trayectoria (las pruebas de seguimiento se hicieron con base en una senoidal) hasta que la salida del intercambiador presentase un buen

seguimiento, es entonces el valor que se toma para cada uno de los parámetros. Esos

I/ . !I I1

i

valores tomados son utilizados para cualquier otro caso, ya que se hicieron otras pruebas de

seguimiento (como a una triangular o a una constante) y se tuvo una buena respuesta. Se consideran estos criterios ya que en la metodología de Passino los parámetros

I1

II

I/

I1

I/

I/

I1

It

11

Capitulo 4 i

Control difuso sdaptible de un lntereamblador de enlar !I

- - 1.4793

- 8. I247 x lo-' 1.1 160x 1.0671 x lo-' - 2.8923 x -6 .2721~10-~ 1 .O784 x 1 O-'

71

11 ,Bo,o,(X),Dp(X),M,,~H,al(X) y ,Bl(X)

empíricamente.

se manejan como valores que se obtienen 'I II 'I

Según (2.13) la tercera derivada de la salida del intercambiador podrá expresarse 1 II 1

como:

a ( X ) = -1.4793 - 8.1247 x 1 0 " ~ ~ + 1.1 1 6 0 ~ 1 0 - 2 ~ 2 !/k 1.0671 x IO-' x3 -2 .8923~ 10-2x, -6 .2721~ 1 0 - 2 ~ 5 +1.0784x1O-'x6

(4.31)

p ( X ) = 8.2512 - 1.0249 x 1 0 - ' ~ , 'I 1 II 'I II

luego, definiendo los parámetros "claves" para la creación del control por modos

deslizanies y el control acotado:

ii Po =0.4 1 D,(X) = 1'.5 D p ( X ) = 0.25 M e =30

I I II 'I a1(x)=2

I

.. E y = O . l

,B,(X)= 1l.6 I

I El sistema difuso utiliza siete reglas y es inicializado con:

v, =

1)

I1

CPpilUlo 4 Control difuso adaptable de un lntereambiador de calor

r 8.2512

v2 =

- 1.0249 x lo-' o'i O"

0,i O

72

. O 12.5 25 37.5 50 62.5 75 87.5 1 O0

I/

I/

Figuro 4.15 Funcia?es deperlenencin de enfrodo a los sisfemas difusos represenrodaspor á(X) y ,,!?((x).

I/

Se tiene que e, y,,, - y p y se escogen k,, = 60 y k, = 20 para definir las siguientes

11 variables:

I/ de, d2e ,

l e , =k , e ,+k , -+ - di dt'

I/ Y , ( t ) = y,,, + k,e, + (k,, + k,)- de, + (k, + 1)- d2e , dt dt I

la ley de control de eqdhalencia certera está dada por: I1

li

I/

li

la ley de control por modos deslizantes:

(4.32)

(4.33)

(4.34)

Capitula 4 11 73 Control difuso adaptable de un intercambindor de calor

(4.35)

II y por último la ley de control acotado: 1

'I I1 I1

con los valores numéricos correspondientes de los parámetros, anteriormente declarados.

Una vez teniendo las tres leyes se conforma la ley de control difuso adaptable indirecto

(3.25), que es la señal de entrada de control a la planta.

I Se definen las matrices necesarias para el al&itmo de adaptación y proyección.

1

(4.37)

II donde I , e íp son matrices identidad (7x7) y las constantes que las acompañan como

multiplicadores (0.7 y 1) se escogen de acuerdo al tamaño de a ( X ) y P(X), [3]. Se tiene

que definir el tamaño de la zona de incertidumbre (zona de trabajo para las regias del sistema difuso, algoritmo de proyección y algoritmo de adaptación). Para el intercambiador de calor, debido a su dinámica cero inestable, la mejor respuesta se tuvo para una zona de incertidumbre del 10% (se analizaron seguimientos de trayectoria para diferentes

1 1 1 iI l .

11

il porcentajes y el óptimo fue el de 10%). 1

4.5 PRUEBAS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS

En las Figuras 4.16, 4.17 y 4.18 se muestran gráficamente las leyes de control que conforman ai esquema difuso adaptable indirecto así como la ley de control total (suma de

1

'1 1

11 'I

Capitulo 4 Control difuso odapisble de un intcrrsmbisdor de calor 1 4

las tres leyes de control) que se aplican al intercambiador y la respuesta de la planta a un seguimiento de trayectoria constante.

Las leyes de control se presentan como señales de muy alta frecuencia, no son

continuas como se esperaba (las señales en la metodología Passino son continuas y

suaves), lo cual no es ideal para llevarse a la práctica, ya que la entrada de control dañaría

los actuadores y censores del intercambiador de calor.

b

Sin embargo, aunque el intercambiador de calor no cumple ninguna de las dos

consideraciones para la planta que emplea la metodología, el algoritmo es lo suficientemente robusto (sólo bajo simulación), ya que la salida del sistema presenta un seguimiento de trayectoria con un error no máximo de 1%.

, I

! Control de equivalencia..

Certera

I I I I I 1 -200 I. O 200 400 600 800 1000 1200

- E 2 2 0 0 0 1 100 .......... L'. ......... :..: ........ :..; .... ..........

O U

U

x (u

al O

- looo 200 400 600 800 1000 1200

I I I I !

Control acotado .......................................................................

i . . - 0 200 400 600 800 1000 1200

Tiempo (segundos) Figura 6 16 Ley- de control que eon~onnan lo ley de control dif... ndnproble oplidodo

al inlercnrnbiodor de colorpara un seguirnienlo de rroyecrotio consranre.

75 Contml difuso adaptable de un intemrnbhdor de -lor Capihilo 4

Tiempo (sbgundos) I t Figura 4.18 Sepimienlo de hqwcforio del iilercmbmior de color LI uno eornimfe. :I

,I

!I

Capitulo 4 Coiitrol dliuso adaptable de un intcrcambiador dc calor 16

I/

Se podnalipensar tal vez que ¡a metodología propuesta de control difuso adaptable indirecto para sistemas como el intercambiador de calor, que posean dinámica de los ceros

inestable, pueda, ser aplicada. Sin embargo esto depende mucho de la capacidad del

sistema, ya que,l si sus dispositivos son como los del intercambiador (muy sensibles),

entonces no podrá ser aplicada experimentalmente, sólo podrán realizarse estudios bajo

simulación lo cual no es ideal para ningún algoritmo de control. En las Figuras 4.19,4.20 y

4.21, se muestrd las leyes de control y seguimiento de trayectoria para una onda senoidal.

El control acotado nunca llega a presentarse, esto es, el error nunca llega a sobrepasar el límite establecidd. El control de equivalencia certera y el control por modos deslizantes

siguen la misma dinámica que para el seguimiento de trayectoria constante (señales de muy alta frecuencia), sin embargo la respuesta de la planta es buena (véase Figura 4.21) ya que

se obtuvo un error no máximo a 1%: En el seguimiento de trayectoria triangular, también se obtuvo un error no máximo a 1%. Podna asociarse la inestabilidad de la dinámica de los

ceros con el comportamiento de las señales de control (muy alta frecuencia), sin embargo

se requieren estud$x más profundos para afirmar esto.

,l

11 II

U

I)

11

I I ! Control de eouivalenda certera I 20, I/ 1..

.......... O I

I I I I I I 200 400 600 800 1000 1200 -20'

11 o - 20, I I Control DOI modos deslizantes I e I/

t - ,I C o .......... a , o U " I w " I I I I I I

200 400 600 800 1000 1200 2 -20'

110 Control acotado

. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

O 200 400 600 800 1000 1200 I/ Tiempo (segundos)

-1

Figuy 4.19 Leyes de conirol que conformon In ley de conlrol d@o odoprable aplicada o1 infercornbindor de colorporn un repimienlo de iroyeelo~o renoidal.

1)

I/

II

I/

I1

7 1

. ,

Capitulo 4 'I

Control difuso adaptable dltm internbindor de -lor 1

I1

....... .......... ........... ....................... 20

10 + - O - L - .o 5 q -10 P) u

................

............

....

....

....

....

....

.....

.....

.....

.....

.....

II 42

I . . . 39.51 O 200 400 600 800 1000 1 )O

Tiempo (sedbndos) Figuro 4.2J Seprzntlenlo de lroyecloria del inrercmhbrador de calor o uno senoidal

I1 1

I

I/

4 Caprlulo 4 Control difuso sdaplahlc de un iiitcrcsmbiadar dc idor

I O .......... ..........

Conlro, ae em. va -10

I1 ' -2OL I I ¡I o 200 400 600 800 1000 1200 / / I O ,

: Control por modos deslizantes - v) 11

200 400 600 800 1000 1200 _1 ; 11-20: I, 1 1 I ! I 1

1 . I . ? ' : I ..........

I/

I1 0 : Control acotado I/

I

200 400 600 800 1000 1200 I/ -1'

II Tiempo (segundos) FI&o 4.22 Leyes de conirol qve conformon In ley de conirol dfltro adopiable aplicada

nl iniercnmbindor de cnlorpnrn un seguimienio de irnyecrorio i~ongulor.,

-3011 I I I I I 01 200 400 600 800 1000 1200

II Tiempo (segundos) FI&rrn 4.23 Ley de conirol di/uso ndapioble oplicodn nl infercornbindor de

1 cnlorpora un reguirnienio de irayeciorin irinnguinr.

78

79

I I I

Capitulo 4 II

Cantml difuso adaptable de un interearnbiadar de odor

'I I'

I 1

I I1 i

....................... ;. ......... !i : 'li

11 : ............................. .

..... : .... ..........

39.5 ..........

600 I f 800 1000 1: v I1 I/

O 200 400 39

Tiempo (segundos) Figura 4.24 Seguirnienlo de lrqeclorio del inlercmnbiador de color o uno trimgdar.

30

'I 'I I1 It

Si las señales de control fuesen suaves, los tres seguimientos de trayectoria resultarían.

ser con mejor respuesta que los expuestos, ya qué en éstos se presentan oscilaciones

debidas a las señales de control.

I/

I/

5

I/ I CONCLUSIONES Y

TkABAJOS FUTUROS I1

I

I1

I/

En este trabajo, se presentó un esquema difuso adaptable indirecto, bajo simulación, basado en la metodología Passino para dos tipos de plantas no lineales continuas en el tiempo; un péndulo invertido d{ base rotatoria (reproducción de [lo] para asimilar metodología) y un intercambiador de calor.

I/

I/

En el péndulo: invertido de base rotatoria, aunque su dinámica de los ceros es marginalmente estable, su trayectoria siempre converge a un punto de equilibrio. Esto hace

que la señal de control sea continua y aceptable [IO]. En el caso del intercambiador de calor, su dinámica de los ceros es inestable, sin embargo la salida de la planta presenta un buen seguimiento de trayectoria a la referencia con un error del 1%.

I/

/I

I/ Además si se posentasen perturbaciones en el péndulo, se asume que el esquema difuso adaptable indirecto sería capaz de adaptarse por la robustez que presenta (ya que presenta heurística y experiencia humana en su diseño). Al igual que en el péndulo, si en el intercambiador se presentasen perturbaciones, el esquema difuso adaptable indirecto las

,I

I/

'I

80

. / -

81 Capitulo 5 'I

C~nrlusianes y trabajos futuros II ,I

I1 compensaría. Cabe tomar en cuenta el grado- de la perturbación, ya que si es demasiado grande (tanto que pueda dañar al sistema) pues entoncedel esquema no las compensaría.

'I

'I !I I1

11 If

La metodología Passino presenta ventajas s,lgnificativas (adapta a la planta

heurísticamente, a través de las leyes de control, empleadas para el esquema difuso

adaptable indirecto, se tratan de aprender 1,as dinámizas de la planta, etc.,), sin embargo, '!

posee varios inconvenientes (no se aplica a sistemas: de fase no mínima, por mencionar 11 . uno) los cuales no pueden ser dominados aún. Si el modelo del sistema fisico es

razonablemente preciso, entonces la convergencia del algoritmo tomará un significado ,!

fisico real; pero si el modelo es impreciso (es decir, la planta está representada como

I k = f ( X , t , u , ) yp = h ( X ) y no puede ser dividida de tal manera que 'I

k =f (X)+g(X)U , , y p = h ( X ) ) , la convergencia Será de un valor limitado. Si ciertas

variables de la planta no están disponibles entonces;!los errores de aproximación d, y d,

pueden llegar a ser más grandes tomando en cuenta que aún se tenga un control en lazo

cerrado estable.

:I

'I I1

il !

li' II 'I II . . 'I

Aunque el esquema difuso adaptable indirecto, utiliza dos sistemas difusos, se pueden

emplear los mismos antecedentes para la base de ieglas utilizada para aproximar a ( X ) y

&'). Esto acelerará, considerablemente el d/eiío del controlador difuso adaptable

indirecto ya que una vez que el grado de pertenencia es determinado por un fusificador, se tiene la mayona del trabajo para calcular la salida del otro sistema difuso.

I1 Ir

I1 I1 !I Con los resultados obtenidos en los casos,lde aplicación, se puede concluir que ai

aplicar el algoritmo de control difuso adaptable indirecto en una planta real de tipo industrial, no será tan fácil el diseño, ya que se tiene que realizar un análisis de la dinimica cero de la planta (para verificar si es global y aslóticamente estable o inestable), una vez obtenido y dependiendo de dicho análisis se tienen que conocer las limitantes en los dispositivos de la planta, para ver que tan capaziles la planta de soportar la señal de control

'I

!I

I

II I,

!I 'I II

I/

I

I CPpllUlo 5 Consluaioncs y trabajos futuros 82

de entrada. 11 Además que algunos parámetros claves del esquema como:

P~(x),o,(x),~~((x),M,,~~,4(X) y p,(X); son particulares para cada planta, y se

obtienen empíricamente.

.I

I/

Otro punto"importante a mencionar es que aunque puede ser posible pre-sintonizar el controlador en sulparte difusa mediante reglas lingüísticas extraídas de un experto, esto no

es sencillo, ya que el controlador no depende directamente de la relación entrada-salida,

sino de la relación,de la entrada y de los estados con la r-ésima derivada de la salida, lo cual

no es fácil de inter?pretar.

I/

I1

I

En la metodología empleada, se plantean dos consideraciones para la planta, las

cuales no pueden ikr aplicadas al intercambiador. En este trabajo se muestran algunos de los estudios y bases para que un algoritmo de control como lo es el difuso adaptable pueda

aplicarse a sistemas de fase no mínima (dinámica de los ceros inestable). Esto es, que tal

vez pudiese añadir una tercera consideración P3) al algoritmo de la metodología Passino.

I/

I

I/

Con la realización de este proyecto se llevaron a cabo los primeros estudios hacia un 1)

análisis más formal sobre la estabilidad de controladores difusos.

I

Los resultados {e este proyecto de investigación sugieren una extensión en el estudio

de esquemas difuso adaptables aplicados a sistemas no lineales MIMO (múltiples entradas

y múltiples salidas) y discretos en el tiempo. Además de la aplicación de este mismo

esquema a sistemas de fase no mínima para cubrir una zona más amplia de tipos de plantas (plantas sin dinámica' cero, con dinámica cero global y asintóticamente estable y con dinámica cero inestable).

I/

h

I)

I/

'I I1

APÉNDICE A I/

I,

1

1

I

I1

I,

I/

:I

'I

,I

I/ SECCIÓN I Algunos datos que se utilizan en los siguientes cálculos se tomaron de la Tabla 1 tomando

las siguientes consideraciones: 11

4 para el fluido que circula en el tubo (agua caliente), se considera el promedio de

temperatura de las variaciones de temperatura (temperatura a la entrada y a la salida del tubo) que sufre el fluido de agua caliente. El promedio es el'que se

indica en la tabla como tubo y como consecuente se consideran los datos

restantes;

,I

'I

I/

J para el fluids que circula en el casco (agua Ma), al igual que el ,fluido caliente se

considera también el promedio de temperatura de las variaciones de temperatura

(temperatura 'a la entrada y a la salida del casco) que sufre el fluido de agua E a . El promedio es el que se indica en la tabla como casco y como consecuente se

.I

I/

consideran los datos restantes. i

En esta sección $e desarrollan los cálculos para obtener Únicamente los valores

numéricos de yl ,yz, a, ,'k2, a, ,PI ,,üz ,,B3 y ,B4 (que son los parhetros necesarios para el

caso de dos nodos). ,/ I/

84 Y II !I I!

Tabla I Propiedades del agua (líquido saturado)' I/

Apéndice A

81

'(Adaptada dela obra de J . P. klolmn, Tranrierencia de calor, CECSAJ997, p. 600). II 'I 'I 1 'I 'I 'I 11

Aphdiee A 85

,I

Cálculos y datos para obtener y, :

p, = 973.7 kg I m', (76.67"C, iatm) I/

Cp, = 4191 J I kg - "C I/

dit = 0.006 m '

L=0.79 m '1 ír(dit)2

I/

I/

L = 22.3367x10e6m3 y = 4 I

I 1 = 2 I

Cálculos y datos para obtener y2 :

Pr, =2.33

I/

I

Para calcular la resistencia a la transferencia de energía del tubo a la pared (I¿,,,,) se

necesita, indirectamente, la velocidad del fluido que circula por el tubo. Como esta

velocidad es variante en el tiempo, se considera el valor promedio del rango de valores de

operación.

I/

,I

De la velocidad del fluido en el tubo ( d s )

86 Apéndice A

I 11

0.471570766 ,I

0.559990285 41 1 0.70735615

0.766302496

0.825248842 'I 'I

11

0.884195187 'I 'I II 'I 'I

'I 11

Entonces el valor utilizado para la velocidad d<l fluido en el tubo es de 0.6123ds.

I; 11 ) = 4[ -1 = perímetro mojado íl(dit)

5.9999x 10-3 m área de jlujo en el tubo

11

De = 4

p, =3.72x104 kglm- s , (76.67"C, latm) '1

= 9615.9124 P,vel,D Re, =

Nu, = 0.023Re,'.* Pr,0-4 = 49.5521

k, = 0.668 W I m - "C

h, =- = 5516.8924 kg I s3 "C

A, = n(dit) l= 0.01489 mz

P,

k, Nu De

n R,, = - - - 0.02434 h, A,

= 0.9014 Y2 =- 1

Rm, c,

Cálculos y datos para obtener al :

,o, = 988.8 kg I m3, (48.89"C, latm)

--

I/ , Apfndice A 87

Cp, = 4174 J l'kg - "C

vel, = 0.1089 m'/ s (para el casco la velocidad del fluido siempre es constante)

dic = 0.016 m ., det = 0.01 m ,,

./

n(dicY " L=l0.1588 x lo-' m3 4 v,, =

n-(det)2 'I L = 62.04645 x loe6 m3 4 Vi.a. =

V, = yo, - vNbO = 9'6.7535 x m3 ./

V A , -'=0.1224>:10-3 m2

' - L

I/

c, = pccpcvc = 199,6629 n

1 a, = __ = 0.2756: R,C,

I/

,I Cálculos y datos para obtener a, :

Pr, = 3.64

pc = 5 . 6 2 ~ 1 0 ' ~ kglml-s, (48.89"C, latm)

I

I(.

I

Re, = pcve'cDc = 114:;927

Nu, = 0.023ReC.8 P ry 4 10.8293

k, = 0.644 W I m - "C 11

,I I

Pc

I

II 'I

88 !I !I !I

II h, =U- N' - 1162.3642 kg / s3 - "C

II De

Apéndlce A

A, = n(det)l = 0.02481 m2

n R,, = - = 0.06935 h, 4

'I

'I !f

,I 1

Cálculos y datos para obtener a, :

!I I1

Algunos de los siguientes cálculos están en fyt/"ción de las propiedades de la pared del

tubo (se considera de acero al 1% de carbón) y estas propiedades se tomaron de la tabla A-2

-Valores de propiedades para metales, p. 589, ';J. P. Holman, Transferencia de calor,

I1

t 1)

Segunda impresión, Septiembre de 1997.

Cálculos y datos para obtener p, : p, = 7801 kg / m3

Cp, = 473 J / kg - "C 6 3 V, = V,, -V, =39.70975~10- m

,

Cálculos y datos para obtener ,8, :

k, =43 W l m - " C

1 Y 'I II !I 'I !I !I !I !I !I !I !I !f II !I 'I Y 'I 'I '! 'I !I II 'I !I !I 1;

!/ 'I 'I !I !I 'I

Apfndlce A I) 89

A, = -[(det)2 7T L(dif)2]= 50.2654~10.~ m2 4 I

Cálculos y datos para obtener P3 : , . 1

= 37.3449~10" .I P3 =

R m m C m

Cálculos y datos park obtener /I, :

= 0.19'68 1 P, = R m c C m I/

,I

I/

S E C C I ~ N 11 I

Enseguida se muestra el desarrollo para llegar a la expresión (4.21).

Y = xs !I . . y = xs = a , x , - a2xs +';a,x,

y = xs = a, x6-a2 x5 + a, x3 I/ .. ..

= a : k , -2a,a2x6 +d,a,,x, +six, -a,a,x, +a3&, -a,P,x, +a,,@, +aJ,x, .I ,I ..

y = x s = a , x , - a , x , i a , x , ... ... .. ..

1 . = -2a,a2 x6+ a,a, x4,+ ai xs-a2a, x 3 i a#, x,-a,P, x3+ a#, x4+ a$, xs

'I

'!

If !I Aphdice A 'I

90

91

NOMENCLATURA

Salvo que se indigue otra cosa, los números entre paréntesis se refieren a las ecuaciones en

las que aparecen 10s símbolos por vez primera. Las dimensiones se expresan en función de masa (M), longitud (L), tiempo (t) y temperatura (T).

,/

I/

A = área de transferencia de calor (4.12), L2.

A / = área de flujo, E2. Cp = calor específico a presión constante (4.4), L 2 2 / t T.

De = diámetro equivalente (4.9), L. E,o, = energía total del fluido (4.1), ML2 / e. h = coeficiente de transmisión de calor (4.8), M / t3T. H = U + p V = entalpía (4.2), ML2 I t2.

k = conductividad térmica (4.9), ML / t’T.

I/

I/

L = longitud (4.8), L.

n2 = velocidad másica de flujo (4.1), M / t.

n =número de nodos, /imensional.

Nu = número de Nusseli, adimensional (4.9).

p = presión del fluido (4.1), M / Lt2.

Q = calor suministrado (4.1), ML / t . T= temperatura (4.5), T: U = energía interna (4.1), ML2 I t2.

I1

.I

2 3

v = velocidad (4.1), L / t.1 V = volumen (4.1), L3. ‘1

W = velocidad de producción de trabajo sobre los alrededores (4.1), ML2 / t3.

p = densidad del fluido (4.4), M / L3.

O = energía potencial (4.11, M L ~ / t2.

I

I

,I

1

.__----

91

'I 1

'I 'I 'I

Líneas superiores

- tiempo ajustado (4.1).

A por unidad de masa (4.1).

Subíndices

t tubo (4.2). c casco (4.3). tot total (4.1).

m pared del tubo (4.13).

i i-ésimo nodo (4.12).

li II

'I 'I

;I 'I

'I 'I 'I !I 'I

II '1 'I 'I 'I 'I

'I

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