INFORME DE LABORATORIO DE CONTROL, NO. 4, 3 DE DICIEMBRE 2013 1Practica 4: Control PIDGallardoAlvaro, Estudiante,Unal, Hernandez Yicely, Estudiante,Unal, Molina Sadid, Estudiante,Unal261982,261988,261786{ajgallardog,ykhernadezg,fsmolinas}@unal.edu.coResumenEn esta pr actica se da la caracterizaci on mediantesimulaci on de los compensadores tipo PI y PIDpor mediode diferentes modelos comosonde gananciaultima, FOPDT,IAE e ITAE dando a conocer el efecto de los par ametrosKc, Ti y Td en la parte proporcional, integral y derivativarespectivamente. Tambi ensedalasintonizaci on, simulaci onypor ultimo implementaci on de controladores tipo PI y PID en unmotor lego desde diferentes modelos para luego comparar con lase nal simulada.Palabras clavesProporcional, Integral, Derivativo, Raices, Po-los, FOPDT, ITAE, IAE, PID, Sntesis Directa, Cancelaci on polo-cero, Compensador.I. INTRODUCCI ONESTEinformemuestrael analisiste oricoyexperimentalque se hace a las combianciones usadas de control Propor-cional, Integral y Dervativo, apicados a sistemas de posici on yvelocidad implementados en un motor LEGO. A lo largo delinformeseseobservanlosmtodosdesintonizaci onydiseode los diferentes tipos de controladores, que pueden ser Ideal,Serie o Paralelo. Se hace una comprobaci on experimental de elajuste de los sistemas de control tomando datos de la salida delmotorLEGOycomparandoconsimulacionesenMATLAB.Semuestrael dise nodecontroladoresparaquelossitemascumplan con requerimientos dados.II. PR ACTICAA. 4.1 M etodos cl asicos de sintonizaci on PID1. Seimplement oenSimulinkel diagramaobservadoenla gura 1 que representa el modelo de un sistemaintercambiador decalor quepresentaunretardode2segundos en la medicin de la temperatura del productocaliente para simularlo.Fig. 1. Modelo en lazo abierto del sistema intercambiador de calor.2. Larespuestaenlazoabiertodel sistemasimuladosepresenta en la gura 2.Facultad de Ingeniera, Universidad NacionalDaniela Gomez, Monitora de Laboratorio de ControlFig. 2. Respuesta al sistema intercambiador de calor en lazo abierto.De la gura 2 se puede deducir que el sistemaintercambiador de calor simulado tiene uncomportamiento sobreamortiguado con un tiempomuerto de 2 segundos y tarda alrededor de 40 segundospara alcanzar su valor estable.Conel comandorlocusdeMATLABseobtuv oel dia-grama del lugar geom etrico de las races mostrado en lagura 3, con esta gr aca se observa que existe un polono dominante de valor -2.5.Fig. 3. Lugargeom etricodelasracesparael sistemaintercambiadordecalorINFORME DE LABORATORIO DE CONTROL, NO. 4, 3 DE DICIEMBRE 2013 2Conla gura 2se calcul oel modelomatem aticodeprimer orden m as tiempo muerto FOPDT:G(s) =ks + 1et0s=32(t2 t1)t0= t2 Dondekeslagananciaenestadoestabledelproceso,yt1yt2sonlos valores detiempoendondesehaalcanzado el 28.3% y 63.2% del estado estable.De acuerdo a la gura 2 se obtuvieron los valores dek,t1yt2.k = 1.24t1= 4.897t2= 8.688Con estos datos se calcula la aproximaci on FOPDT:=32(t2 t1) = 5.6865t0= t2 = 3.0015G(s) =1.245.6865s + 1e3.0015sEn la gura 4 se ilustra una comparaci on entre el sistemaintercambiador de calor original y el sistema aproximadocon el modelo FOPDT.Fig. 4. Comparaci on sistema original con aproximado FOPDT3. Al sistema de intercambiode calor (la planta) se ledise n o un compensador PID paralelo con realimentaci onunitaria, como se muestra en la gura 5.El dise no del compensador PID en paralelo seilustra en la gura 6.Para mirar el efecto que tienen los par ametrosKc, Ti y Td del compensador PID en el lazo de control,sevarandeformaindependienteestospar ametros. Seinici o variandoKc eliminando el efecto del controladorintegral yderivativoenel compensador, seobtuvieronlas grcas mostradas en la gura 7.Fig. 5. Sistema intercambiador de calor con implementaci on PID paraleloFig. 6. Compensador PID dise nadoConlavariaci ondeKcseobservaqueentremayorsea el valor deKc, el sistema va aproximarse m as a lareferenciaproduciendounerrordeestadoestacionariom aspequeo, sinembargoladesventajadeaumentarelvalor deKc, es que la oscilaci on del sistema en estadotransitorio aumenta considerablemente.Larespuestadel sistemaal variarel par ametroTidelcontrolador integral, dejandoa Kc =1(controladorproporcional es constante) yTd=0, se muestra enlaFigura 8.Se observa que con un integrador el valor deestadoestacionariollegaalareferencia, siendoas unvalor de error nulo. Para menores valores de Ti elsistema tiende a oscilar m as ensuestadotransitoriohasta un punto donde pasa a ser inestable. Para mayoresvalores deTi, el tiempo de establecimiento aumenta.Por ultimo se procedi o a variar el par ametro TdFig. 7. Gr acas obtenidas de la variaci on del par ametro KcINFORME DE LABORATORIO DE CONTROL, NO. 4, 3 DE DICIEMBRE 2013 3Fig. 8. Gr acas obtenidas de la variaci on del par ametro Tianulandoel factor integrador del compensador yconKc = 1 obteniendo las gr acas mostradas en la gura 9.Se observa que el valor de Tdafecta directamenteFig. 9. Gr acas obtenidas de la variaci on del par ametro Tdenel tiempodeestabilizaci on, conunacompensadorproporcional y derivativo se llega al estado estacionariom asr apidamente, comodesventajaentremayorseaelvalor de Td, el sistema tendera a oscilar m as eneltiempo transitorio.4. Para poder sintonizar los compensadores, lo primeroque se prosigui o fue a buscar la ganancia ultima ytiempo ultimo del sistema, para esto se coloc o uncontrolador proporcional, de esta forma se elimin ola acci on integral y derivativa del sistema. Con estecontrolador se vari o la ganancia proporcional hastalograr que el sistema oscilara con amplitud constante.Como se puede ver en la gura 10, se encontr o que elFig. 10. Respuesta del sistema con control proporcional con Kc=3.28sistemamantenaoscilacionessostenidasconunvalorde Ku= 3.28 y el periodo de oscilaci on es Tu= 10seg.Despu es de haber encontrado estos valores procedemosa calcular los parmetros para el compensador PI y PIDusando las relaciones de la gura 11.Al usar las relaciones de la gura 11 obtenemosFig. 11. Respuesta del sistema con control proporcional con Kc=3.28queparael compensador PI sus parmetros vanaserKc= 1.4909 yTi= 8.33. En la gura gura 12 vemosla respuesta un compensador PI con los par ametrosanteriores.Para el compensador PID se utiliz o nuevamentelas relaciones de la gura 11, y se obtuvieron lossiguientespar ametros Kc=1.92941176471, Ti=5,Td= 1.25. Dichos par ametros son para un compensadorPIDserie, por tal motivolos par ametros se calculanpara un compensador PID paralelo, obteniendo:Kc= 2.41176470588Ti= 6.25Td= 1INFORME DE LABORATORIO DE CONTROL, NO. 4, 3 DE DICIEMBRE 2013 4Fig. 12. Respuestadel sistemadel compensador PI contiempodeasen-tamiento de 1/4Enla gura 13vemos la respuesta uncompensadorPID con los nuevos par ametros calculados.Si comparamos las guras Figura 12 y Figura 13Fig. 13. Respuesta del sistema del compensador PIDcon tiempo deasentamiento de 1/4podemos ver que el compensador que se estabiliza m asr apidoeselPID,peroacambioelvalordelsobrepicodel controlador PID es mucho mayor, debido a la acci onderivativa del compensador.5. Al modelo FOPDT hallado anteriormente se le calculanlos compensadores conlas relaciones que muestra lagura 14.Los nuevos par ametros obtenidos para los compen-sadores PI y PID respectivamente fueron:Kc(PI) = 1.3771Ti(PI) = 9.9367Kc(PID) = 1.8362Fig. 14. Respuesta del sistema del compensador PIDcon tiempo deasentamiento de 1/4Ti(PID) = 5.9680Td(PID) = 1.4920El resultado se obtiene en las gr acas de la gura 15.Comoilustra gura 15, para el compensador PI seFig. 15. Compensador PI y PID usando el modelo FOPDTda untiempode asentamientom as demoradoque elcompensador PIDpor lapartederivativasinembargopresentamenor sobrepicom aximoyoscilaci oneneltiempotransitorio. Amboscompensadoressoncapacesde establecerse enla referencia, estodebidoal inte-grador.6. Con las relaciones mostradas en las gura 16 y gura 17sehallaronlas constantes paralos compensadores PIYPID. Calculando los nuevos par ametros para elFig. 16. Formulas de sintonizaci on PI con criterios IAE e ITAE para cambiosen el setpointcompensador PI, con las t ecnicas de sincronizaci on IAEe ITAE obtenemos respectivamente:Kc(IAE) = 1.0609INFORME DE LABORATORIO DE CONTROL, NO. 4, 3 DE DICIEMBRE 2013 5Fig. 17. Formulas desintonizaci onPIDconcriterios IAEeITAEparacambios en el setpointTi(IAE) = 6.6818Kc(ITAE) = 0.8497Ti(ITAE) = 6.0232En la gura 18 se encuentran las simulacionescorrespondientes al compensador PI bajo los doscriteriosdeoptimizaci on. Comosepuedenotar enlaFig. 18. Respuesta del sistema con un compensador PI mediante los criteriosde optimizaci on ITAE e IAEgura 18, la se nal de salida conel compensador PIbajoel criteriodeIAEnos daunarespuestaconunsobrepicomenorperoconuntiempodesubidamayorcomparadoconelPIbajoelcriteriodeIAE.Respectoal tiempo de estabilizaci on, por los dos criterios, es casiigual.Calculando los nuevos par ametros para el compensadorPID, conlas t ecnicas de sincronizaci onIAEe ITAEobtenemos respectivamente:Kc(IAE) = 1.5278Ti(IAE) = 8.4588Td(IAE) = 1.0976Kc(ITAE) = 1.3454Ti(ITAE) = 7.9048Td(ITAE) = 0.9619EnlaFigura19seencuentranlassimulacionescorre-spondientes al compensador PID bajo los dos criterios deoptimizaci on. Se observa en la gura 19 que la se nal deFig. 19. Respuesta del sistema con un compensador PID mediante los criteriosde optimizaci on ITAE e IAEsalida con el compensador PID bajo el criterio ITAE nosobrepasa el valor de referencia, oscila muy poco antesdequeseestabilice. ConelcriteriodeIAEelsistemasecomportademanerasimilarperoconunsobrepasopequeo. Porlosdoscriterios, larespuestaseestabilizacasi al mismo tiempo.7. Comparando el m etodo de ganancia ultima y el modeloFOPDT, se pudo observar que para estos compensadoresPI se observaba un sobrepaso considerable en lasrespuestas, parael m etododeganancia ultimavimosun sobrepico de un 25%aproximadamente, mientrasque con el m etodo de FOPDT obtuvimos un sobrepicode 10%. Ahora si comparamos los compensadores PIDusandolosanterioresm etodosobtenemosqueparaelm etododeganancia ultimaseobtuvounsobrepicodeaproximadamente 55%, mientras que con el m etodo deFOTDTse obtuvounsobrepicode aproximadamenteun 25%, por lo cual se puede decir que con el m etodoFOTDTse obtiene menores valores para sobre picospara raz on de asentamiento de 1/4.Al usar estos m etodos en los compensadores PIvemos quelas respuestas antes dequeseestabilicentiene un componente oscilatorio importante, ya que confacilidad el sistema puede volverse inestable, por lo cuales indispensableelegir adecuadamentelos par ametrosINFORME DE LABORATORIO DE CONTROL, NO. 4, 3 DE DICIEMBRE 2013 6Kcy TiPara los compensadores PID vemos quepodemos estabilizar el sistema mucho m as r apido, peroacambiodeestopor laacci onderivativadel sistemase producen sobre picos m as grandes que los obtenidosenloscompensadores PI, yconestos compensadoresse usan para optimizar el desempe no en del estadotransitorio y estacionario del sistema.Compararaci on los criterios de optimizaci on IAEy ITAELo fundamental que trata el sistema de control feedbackes el de minimizar el error en la salida. Si observamoslas respuesta que obtuvimos al usar estos m etodosdesincronizaci onencompensadores PI, sevequeelsobrepicousandoel m etodoIAEesde10%, yluegosi miramos la respuesta obtenida por el criterio deoptimizaci on ITAE se observa que el sobrepico esde aproximadamente 5%, por lo cual se obtiene enambos casos sobre picos no muy altos, lo cual es buenopara el sistema. Por otra parte al ver la componenteoscilatoria del sistema, vemos que ambos sistemasoscilanmuypoco, porel criteriodeoptimizaci onIAEsolo vemos el sobre pico una oscilaci on y se estabiliza,yporel criteriodeITAEsoloseobservael sobrepicoyr apidamentecuandohacelaoscilaci onypasaporlareferencia se estabiliza.Al observar las respuestas obtenidas por loscompensadores PID usando estos criterios vemosalgunos detalles interesantes. El primero de ellos es sinlugaradudasel sobrepico, yaqueal usarel criterioITAE el sobre pico no sobrepasa el valor de referencia,yenelcasodelcriteriodeIAEelsobrepasoesmuymnimonomayor al 3%. Por loqueseobtieneparaamboscasosobrepicosbajosenel estadotransitorio.Si miremos la respuesta de estabilizaci on de estossistemas, vemos que ambos se estabilizanentiemposimilares, yqueporpocolaqueestabilizam asr apidoes el compensador por m etodo de ITAE.B. 4.2 Control PID por Sntesis, Cancelaci on POLO-CERO yLGR1. Obteniendo la funci on de trasferencia del Motor LEGO,usando el archivo registrovel.nxc y la herramientaident de MATLAB, se obtiene las siguiente par ametros:G(s) =8.53420.0557s + 12. Sedise n ouncompensador PI conestructuracomolaquesemuestraenlagura20parael control delavelocidad del motor LEGO, el m etodo de sntesis directafue empleado para encontrar los par ametros del compen-sador Kc y Ti, de manera que se cumpliera un sobrepicoporcentualmenoral7%, untiempodeestablecimientode 0,5seg (criterio del 5%) y error permanente cero conuna entrada tipo escal on, la funci on G(s) utilizada es lafunci on de transferencia encontrada en el item 1.Fig. 20. Estructura de compensador PIAl hallar la funci on de transferencia del sistema de lazocerradomostradoenlagura20sellegaalasiguienteexpresi on:GT(s) =8.5342Kc(Tis + 1)Tis(0.0557s + 1) + 8.5342Kc(Tis + 1)Simplicando la expresi on anteriormente hallada quedanalmente de la siguiente forma: guraGT(s) =8.5342Kc(Tis+1)0.0557Tis2+1+8.5342Kc0.0557s +8.5342Kc0.0557TiSe sabe que para sistemas de segundo orden la expresi ongeneral esta dada por:GT(s) =Kw2ns2+ 2wns + w2nDe la comparaci on entre la expresi on general y lafunci on de transferencia del sistema de lazo cerrado seobtienen la siguientes relaciones:2wn=1 + 8.5342Kc0.0557w2n=8.5342Kc0.0557TiComoel par ametroestavinculadodirectamenteconel sobrepico(Mp)paraunafunci ondesegundoorden,entoncesMp debe ser menor o igual al 7%:Mp e12100%Despejando la relaci on anterior quedaque 0.6461,para notener unsobrepicolimitadoal requerimientom aximo se consider o:= 0.7. El par ametro wnse encuentra relacionado con eltiempo de estabilizaci ontsque es de 0.5 seg mediantela ecuaci on:ts =3.2wn0 < < 0.69Despejando esta ultima ecuaci on:wn= 9.9058Reemplazandowny, nalmentelos par ametros delcompensador son:Kc= 0.026INFORME DE LABORATORIO DE CONTROL, NO. 4, 3 DE DICIEMBRE 2013 7Ti= 0.0393Al simular el sistema de lazo cerrado en la herramientasimulinkseobtieneel resultadodelagura21, sepuede observar que ante una entrada paso unitario el so-brepico es del 5.1%, a los 0,5seg la velocidad es el 4,8%del valor enestadoestacionario, siendo esteunvalormuy cercano al que se requera. Empleando UtilizandoFig. 21. Simulaci on del sistema con los par ametros hallados por el m etodosntesisel archivocontrolPIvel.nxcyreasignandolasvariablesteniendo en cuenta que que para disear el compensadorse utiliz o el modelo ideal y en el archivo se implementocomoparalelo, kp=-0.026yki=KcTi=0.6601, seejecut oen el motor LEGO y se obtiene como respuesta la gura22. Al observar la respuesta del motor se ve que elsobrepico es mayor al esperado, a los 0.5seg se obtienequesi seencuentradentrodel criteriodel 5%. Estoserroresenel sobrepicosedebeaquenoseconsiderafactores como la fricci on y desgastamiento del motor. Elerror en estado estacionario tanto en la simulaci on comoen la respuesta del motor es cero debido a que se utiliz aun controlador tipo integral.3. Sedise n ouncompensador PI conestructuracomolaquesemuestraenlagura20parael control delavelocidaddel motorLEGO, en estecasoseconsider oel m etododecancelaci onpolo-ceroparaencontrarlospar ametrosdel compensador KcyTi, demaneraquese cumpliera un sobrepico porcentual menor al 7%, untiempodeestablecimientode0,5seg(criteriodel 5%)yerrorpermanenteceroconunaentradatipoescal on,lafunci onG(s)utilizadaeslafunci ondetransferenciaencontrada en el item 1. La funci on de transferencia delsistema de lazo abierto es la siguiente expresi on:G(s) =

KcTis + KcTis

8.53420.0557s + 1

Fig. 22. Respuesta del motor LEGO mediante m etodo sntesisG(s) =

Tis + 1TiKcs

8.53420.0557s + 1

Para realizar la cancelaci on de polo-cero se debe cumplirque:Ti= 0.0557Ahora la funci on de lazo cerrado es:G(s) =8.53420.0557KcsA partir de esta funci on de lazo abierto se obtiene la delazo cerrado:GLC(s) =10.05578.5342Kcs + 1Se observa que la funci on de transferencia de lazocerrado es de primer orden por lo tanto para la respuestade estesistemanohayunsobrepicoyporlotantoelrequerimientodequeelsobrepicoseamenoral7%secumple, el tiempo de establecimiento ts para una funci onde primer orden es igual a3:=0.05578.5342Kcts= 3= 0.5 =3 0.05578.5342KcAl despejar el par ametroKcde la expresi on anterior setiene que:Kc= 0.0404Se simula nuevamente el sistema de lazocerradodela gura 20 con los nuevos par ametros encontradosparaelcompensadorycomoresultadolagura23,en esta gura se observa que nohayunsobrepicoyalos0.5segsepuedeapreciar queel valor delasalidase encuentra exactamente en el 5%del valor de laINFORME DE LABORATORIO DE CONTROL, NO. 4, 3 DE DICIEMBRE 2013 8velocidadenestadoestacionario, tambi ensevequeelerror es ceroenestadoestacionarioanteunaentradapaso. Utilizandonuevamenteel archivocontrolIPvelFig. 23. Simulaci onconpar ametros hallados por el m etodocancelaci onpolo-ceroy reasignando las variables teniendo en cuenta que quepara disear el compensador se utiliz o el modelo ideal yen el archivo se implemento como paralelo, kp=0.0404yki=KcTi=0.715,seejecut oenel motorLEGOycomoresultado se tiene la gura 24, en esta gura se apreciaquenohaysobrepicoyquealos 0.5segel valor desalidaseencuentraenel5%delvalordelavelocidaden estado estacionario.Fig. 24. Respuesta del motor LEGO usando m etodo cancelaci on polo-cero4. Se sabe que la planta es de primer orden tipo1, yel controlador esproporcional, entonceslafunci ondetransferenciadelazocerradoesdesegundoordendeltipo:2ns2+ 2ns + 2nDe los requisitos de dise no se puede obtener re-solviendo la siguiente ecuaci on:Mp = e12Se pide queMp = 0.07 entonces= 0.4559Secalculael lugar geom etricodelas Races, as ob-servar donde se debenubicar los polos para obtenerel sobrepicodeseadoycalcular el valor de Kp. Paracalcular los polos de la planta se usa el comandorootsde MATLAB, en el denominador de la funci on detransferencia:ks(s + 1)Conk = 8.5342 y= 0.0557Obteniendolospoloss1= 17.9533s2=0, apartirde estos se calculan los par ametros para dibujar ellugar geom etrico de las races. Como no hay ceros y 2polosn=2, el numero de asntotas es 2, se calcula elcentroide con la ecuaci on:=(s1 + s2) (0)2De la que se obtiene = 8.97666, seguido se calculanlos angulosdelasasntotasrespectoal ejereal conlasiguente ecuaci on:i=2i + 12180oCon i =0, 1. Seobtiene 0=90oy 1=270o.Gracando se obtiene el diagrama mostrado en la gura25 con = 8.97666.Paracomprobarseejecutael comandorlocus(motor)enMATLAB, del cual seobtienelagr acamostradaen la gura 26.Se sabe que = n, entonces se calcula n= 19.688.Teniendolafrecuencianatural, seobtienedelazocer-rado de control proporcional que:2n=kpkDe la cual se obtienekp= 2.52981.Para comprobar el diseo se simula en Simulink, con eldiagrama que se muestra en la gura 27.La respuesta obtenida en la simulacion se observa en lagura 28.INFORME DE LABORATORIO DE CONTROL, NO. 4, 3 DE DICIEMBRE 2013 9Fig. 25. Diagramadelazoabiertoylazocerradodecontrol deposici onrealizado en SimulinkFig. 26. Diagramadelazoabiertoylazocerradodecontrol deposici onrealizado en SimulinkFig. 27. Diagramadelazoabiertoylazocerradodecontrol deposici onrealizado en SimulinkFig. 28. Diagramadelazoabiertoylazocerradodecontrol deposici onrealizado en SimulinkDel resultadodelasimulaci onsepuedeobservar quelesobrepicom aximoes el 20%delarespuestaesta-bilizada, comprobando que los requerimientos de diseose cumplen. Para implementar el el Brick, se usa elarchivo controlPIDpos.nxc, anulando las constates deIntegral y Derivativo, y ajustando la constate de controlproporcional a lakpque se obtuvo. Las modicacionesen el codigo se muestran a continuacion:const float kp = 2.5298;//Ganancia Proporcionalconst float ki = 0.00;//Ganancia Integralconst float kd = 0.00;//Ganancia DerivativaINFORME DE LABORATORIO DE CONTROL, NO. 4, 3 DE DICIEMBRE 2013 10Fig. 29. Diagramadelazoabiertoylazocerradodecontrol deposici onrealizado en Simulinkconst float Tf = 0.05;//Tao del filtro pasa bajoaccin derivativaEl resultado de la implementaci on se muestra acontinuaci on en la gura 29, comparado con el desimulaci on.Observandolasalidadel sistemaimplementadoseob-servaqueelsobrepicoesdel 20%, perotieneunerrordeestadoestacionarioconstantenonulo, loquehaceque el comportamiento no sea el esperado.5. Se necesita un controlador que estabilice la salida en untiempo de 0.3 segundos, tenga un sobrepico del 7% y unerrordeposici onnulo, deestascondicionessepuedenobtener parametros de un sistema que se comporta comouno de segundo orden, descrito por la siguiente ecuaci on:2ns2+ 2ns + 2nSus par ametros se puedenobtener conlas siguientesecuaci ones:Mp = e12ts=1nln(50)Cumpliendolosrequerimientosseobtiene =0.6461yn=20.1833. Conlospar ametrosseobtienelare-spuesta de lazo cerrado deseada, entonces por el m etodode sntesis directa se despeja la ecuaci on de controlador.Se sabe que:GLC=GcGp1 + GcGpSeparando las fucniones en Nuerador y Denominador:GLC=NpNcDcDp + NcNpTeniendo la planta:Gp(s) =ks(s + 1)Con =0.056412yk =8.3860. Sedespejadelaecuaci ondelazocerradolaecuaci ondecontroladoryse obtiene:Gc=GLCGp(1 GLC)Reemplazando las funciones de trasferencia de lazocerrado y de la planta y simplicando se obtiene:Gc(s) =(s + 1)2nk(s + 2n)Observando el algoritmo utilizado en elcontrolPIDpos.nxc se observa un PID paralelo,cuya funcion de trasferencia es equivalente a:PIDparalelo =(TDkp + kD)s2+ (kp + TDki)s + kiTDs2+ sComparandolas funciones de trasferencia se observaquesi ki=0lasestructurasconcuerdan, entoncesseobtiene:PIDparalelo =(TDkp + kD)s + kpTDs + 1Reconstruyendo Gc(s) en un formato similar alPIDparalelo se obtiene:PIDparalelo =n2k s +n2k12ns + 1De la cual se obtiene:kp=n2kTD=12nkD=2n 14k2Reemplazandolosvaloresdek, , ynseobtiene:kp=1.8626, TD=0.03834ykD=0.0336, quesonlosvaloresdel controladorPDqueestaimplementadoen el Brick.Se comprueba el resulatado por simulaci on en Simulinkcon el diagrama que se muestre en la gura 30El resultadodelasimulaci onsemuestraenlaguraINFORME DE LABORATORIO DE CONTROL, NO. 4, 3 DE DICIEMBRE 2013 11Fig. 30. Diagramadelazoabiertoylazocerradodecontrol deposici onrealizado en SimulinkFig. 31. Diagramadelazoabiertoylazocerradodecontrol deposici onrealizado en Simulink31.Se observa en la simulaci on que el soprepico m aximoestacercanoal 7%, yqueel tiempodeestabilizaci onse acerca a 0.3 segundos, entonces se comprueba que eldiseocumplelosrequisitos, seprocedeaimplementaren el archivo controlPIDpos.nxc teniendo el siguientec odigo:const float kp = 1.8626;//Ganancia Proporcionalconst float ki = 0.00;//Ganancia Integralconst float kd = 0.0336;//Ganancia Derivativaconst float Tf = 0.0383;//Tao delfiltro pasa bajoaccin derivativaFig. 32. Diagramadelazoabiertoylazocerradodecontrol deposici onrealizado en SimulinkEl resultado de la implementaci on se observa en la gura32.En el resultado de la implementaci on se observa que elerror de estado estacionario esessp=2, repecto a unaentrada de100, es decir del2%. Se calcula la gananciade Lazo cerrado como:kLC=OutputInputPara este caso se obtienekLC= 0.98.El tiempo de estabilizaci on del sistema implementado es0.3 segundos, requisito que se cumpli o.El pico m aximo en la implementaci on llega hasta el valor107 deg, entonces el sobrenivel porcentual es del:%Mp =107 9898 100 = 9.18%El requerimiento del sobrepico m aximo tampocose cumplio exactamente, pero result o un valor muyaproximado, el error fuecausadopor quelagananciadel sistema no fue unitaria.Entotal nosecumplieron2delosrequerimientosdedise no: Lagananciaunitaria, ycomoconsecuenciadeeste el valor del sobrepico m aximo.III. CONCLUSIONES Al usar el m etodo de sntesis para encontrar lospar ametros del compensador no es muy preciso debidoaquehaydistintasf ormulasparahallar wn, medianteINFORME DE LABORATORIO DE CONTROL, NO. 4, 3 DE DICIEMBRE 2013 12lassimulacioneselsobrepicoesmenoral7%, elerrorenestadoestacionarioesceroyalos0.5segel valordelavelocidadest adentrodel 5%del valor nal deestado estacionario. Al implementar en el motor LEGOhay un sobrepico mayor al que se esperaba porqueno fue considerada la fricci on, antes de los 5seg secumpli o el requerimiento del 5% del valor nal de estadoestacionario y el error es cero en estado estacionario anteuna entrada paso. Con el m etodo de cancelaci on polo-cero nalmente unafunci on de transferencia de lazo cerrado de primer orden,por locual nohayunsobrepico, para la simulaci onse cumple como tiempo de estabilizaci on a los 0.5segyel errorenestadoestacionarioescero, deigualmaneratodoslosrequerimientossecumplenenlaim-plementaci on en el motor LEGO, por lo tanto el m etodode cancelaci on polo-cero es m as preciso al cumplir todoslos requerimientos exigidos tanto en diseo como enimplementaci on. Al implementar siempre un sistema de control deposici onen el Brick, el error de estadoestacionariode posici on siempre es constante no nulo, esto escausado debido a limitaciones f sicas de la construcci ondel motor, que agrega polos al sistema que no seconsideran en el dise no y ademas no ejecuta los valoresde velocidad con presici on. En loscasos decontrol deposici on enlos quese pidecomorequerimientounvalordesobrenivel, seobservaqueal implementarloenel Brick, si sesuponequelaganancia del sistema es unitaria, el requerimientosecumple a cabalidad, pero como la respuesta estabilizadanollegaalareferencianosepuedecumplir,peroestoevidencia que el problema esta unicamente enllegaral valordereferenciayestadadoporlaslimitacionessicas del motor.REFERENCES[1] Burns, Rolad S. Advanced Control Engineering, Butterworth-Heinemann, Oxford, 2001[2] Rolad S. Advanced Control Engineering, Butterworth-Heinemann,Oxford, 2001