Control Robusto

Universidad de Los Andes. Facultad de Ingeniera. Postgrado de Control y Automatizacin.

CONTROL ROBUSTO

Elaborado por: Mara I. Velasco C.

Prof. Addison Ros. Mrida, Abril de 2012.

1

TAREA 1.Diseo de un control PID tal que el sistema en lazo cerrado sea estable.PROBLEMA 1.Sea el sistema controlado sea estable. Solucin. El controlador a disear es un Proporcional Integral Derivativo (PID) como se muestra en la imagen 1, cuya funcin de trasferencia es: , disear un control tal que para el sistema

Figura 1. Diagrama de bloques del controlador PID continuo incorporado a la planta.

Para el diseo de los controladores se deben fijar, en primer lugar, un conjunto de especificaciones deseadas para el comportamiento en rgimen transitorio y estacionario que no pueden ser alcanzadas sin un controlador, como lo son: el tiempo de establecimiento (ts) y el sobredisparo (Mp). La siguiente tabla muestra las especificaciones deseadas.

2

Tabla 1. Especificaciones deseadas del sistema. Especificaciones del sistema Sobredisparo Tiempo de asentamiento Error en estado estacionario Deseadas SDd = 5% tsd = 2 seg. essd = 0 (ante entrada escaln)

Utilizando las especificaciones deseadas, se obtiene el factor de amortiguamiento y la frecuencia natural no amortiguada n. A partir de la ecuacin del tiempo de asentamiento, calculamos

De la ecuacin del porcentaje de sobredisparo obtenemos

Una vez obtenido el valor de

, de la ecuacin (2) se despeja n

El diseo del controlador PID, se realiz por medio de los siguientes pasos: 1. Definir la funcin de transferencia del controlador mostrada en (1).

2. Calcular el polinomio caracterstico del sistema continuo en lazo cerrado. La funcin de transferencia de la planta en lazo cerrado es:

3

De (2), el polinomio caracterstico del sistema controlado en lazo cerrado es:

3. Disear el polinomio deseado del sistema en lazo cerrado.

4. Calcular los parmetros del controlador a travs del sistema de ecuaciones resultante de igualar las ecuaciones (6) y (7) obteniendo:

Como Kd es la nica ganancia que depende de a estudiamos el intervalo entre el cual puede variar dicha ganancia tomando en cuenta las especificaciones de diseo y el intervalo de a, obteniendo de .

Por lo tanto la funcin de transferencia del controlador tomando es:

4 5. Anlisis de la estabilidad del sistema en lazo cerrado usando Routh Hurwitz. 1 a+10Kd 10+10Kp 10Ki

10Ki Para que el sistema sea estable se debe cumplir por el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz que el polinomio tiene sus races en el semiplano abierto negativo si todos los elementos de la primera columna son positivos y no nulos, por lo tanto: 1 > 0 (se cumple) lo cual se va a cumplir para el intervalo de

lo cual se va a cumplir para el intervalo de (se cumple)

Por lo tanto, el sistema en lazo cerrado siempre va a ser estable para el intervalo de . El codigo que simula el comportamiento del sistema para diferentes valores de a con el controlador PID diseado anteriormente es el siguiente: clear clc s=poly(0,'s'); //Especificaciones deseadas ts=2; cc=(log(0.05)*log(0.05))/(log(0.05)*log(0.05)+(%pi)^2); cita=sqrt(cc); wn=4/(cita*ts);

5 alfa=30; //Ganancias del control PID calculadas en CD.sce Kd=3.5; Kp=11.8399; Ki=25.196993; seguir=1; while seguir==1, //Parametro "a" xdel(winsid()) // para cerrar la grafica anterior disp('Elegir un valor del parametro a entre -2 y 2'); a=input('Introducir valor del parametro a '); // Calculo del numerador y denominador de la FT en lazo cerrado num=10*Kd*s*s+10*s*Kp+10*Ki; den=s^3+s^2*(a+10*Kd)+s*(10+10*Kp)+10*Ki; // POLOS DEL SISTEMA EN LAZO CERRADO co1=[]; co=coeff(den); n=length(co); for i=1:n co1(i)=co(n-i+1); end co1=co1'; polos=roots(co1); disp('Polos del sistema en lazo cerrado para el valor de a elegido'); print(%io(2),polos); // G1: FT en lazo abierto; G2: FT en lazo cerrado G2=num/den; G1=10/(10+1*s+s*s); // Simulacion del sistema en lazo cerrado sic1=syslin('c',G1); sic2=syslin('c',G2);

6 t=0:.01:5; u=ones(1,501); yc1=csim(u,t,sic1); yc2=csim(u,t,sic2); figure(1) plot(t,yc2) disp('1- Desea intentar con otro valor del parametro a'); disp('0- Desea salir'); seguir=input('Escoger la opcion deseada '); end xdel(winsid()) Algunas de las respuesta del sistema controlado se muestran a continuacin para diferentes valores de a y donde se puede observar que en todos los casos el sistema sigue la referencia, la cual es un escalon unitario y los polos del sistema en lazo cerrado estan ubicados en el semiplano izquierdo, por lo tanto el sistema controlado es estable: Para a = -2

Polos en lazo cerrado. - 28.852491 - 2.0737544 + 2.1053697i - 2.0737544 - 2.1053697i

Figura 2. Sistema controlado con a=-2.

7

Para a = 0


Figura 3. Sistema controlado con a=0.

Para a = 2



8

PROBLEMA 2.Disear un controlador estabilizante para:

donde:

con Solucin. Primero calculamos la funcin de transferencia del sistema para luego proceder al diseo del controlador, la cual es:

El controlador a disear es un Proporcional Integral Derivativo (PID) como se muestra en la imagen 1, cuya funcin de trasferencia es:

Figura 5. Diagrama de bloques del controlador PID continuo incorporado a la planta.

9 Para el diseo de los controladores se deben fijar, en primer lugar, un conjunto de especificaciones deseadas para el comportamiento en rgimen transitorio y estacionario que no pueden ser alcanzadas sin un controlador, como lo son: el tiempo de establecimiento (ts) y el sobredisparo (Mp). La siguiente tabla muestra las especificaciones deseadas.

Tabla 2. Especificaciones deseadas del sistema. Especificaciones del sistema Sobredisparo Tiempo de asentamiento Error en estado estacionario Deseadas SDd = 5% tsd = 4 seg. essd = 0 (ante entrada escaln) Utilizando las especificaciones deseadas, se obtiene el factor de amortiguamiento y la frecuencia natural no amortiguada n. A partir de la ecuacin del tiempo de asentamiento, calculamos




El diseo del controlador PID, se realiz por medio de los siguientes pasos:1. Definir la funcin de transferencia del controlador mostrada en (14).

10


De (2), el polinomio caracterstico del sistema controlado en lazo cerrado es:

Dividimos (20) por el trmino

, quedando el polinomio caracterstico:

3. Disear el polinomio deseado del sistema en lazo cerrado.

4. Calcular los parmetros del controlador a travs del sistema de ecuaciones resultante de igualar las ecuaciones (21) y (22) obteniendo:

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (23), (24) y (25), obtenemos los valores de las ganancias del controlador:

11

Como Kd, Kp y Ki dependen de los parmetros el intervalo de , obteniendo que:

estudiamos el intervalo para

los cuales las ganancias pueden variar tomando en cuenta las especificaciones de diseo y

Al tomar un valor para las ganancias del controlador entre los intervalos mostrados anteriormente, es decir, controlador es: =4.5, y la funcin de transferencia del

5. Anlisis de la estabilidad del sistema en lazo cerrado usando Routh Hurwitz.

Para que el sistema sea estable se debe cumplir por el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz que el polinomio tiene sus races en el semiplano abierto negativo si todos los elementos de la primera columna son positivos y no nulos, por lo tanto: > 0 (se cumple)

12 lo cual se va a cumplir para el intervalo de

Se debe cumplir que se cumple para

y que y .

lo cual

(se cumple)

Por lo tanto, el sistema en lazo cerrado siempre va a ser estable para el intervalo de y .

El codigo que simula el comportamiento del sistema para diferentes valores de a con el controlador PID diseado anteriormente es el siguiente: clear clc s=poly(0,'s'); //Especificaciones deseadas ts=4; cc=(log(0.05)*log(0.05))/(log(0.05)*log(0.05)+(%pi)^2); cita=sqrt(cc); wn=4/(cita*ts); alfa=30; //Ganancias del control PID calculadas en valoresPIDEj2.sce Kd=4.5; Kp=170; Ki=350; seguir=1; while seguir==1, xdel(winsid()) //Parametro "a"

13 disp('Elegir un valor del parametro a entre -2 y 2'); a=input('Introducir valor del parametro a '); //Parametro "b" disp('Elegir un valor del parametro b entre -5 y 0'); b=input('Introducir valor del parametro b '); // Calculo del numerador y denominador de la FT en lazo cerrado num2=2*cita*wn*(alfa-1)+wn^2*(1-alfa)-alfa; num=(s+1)*(Kd*s^2+Kp*s+Ki); den=s^3*(1+Kd)+s^2*(-b+Kd+Kp)+s*(-a+Kp+Ki)+Ki; // POLOS DEL SISTEMA EN LAZO CERRADO co1=[]; co=coeff(den); n=length(co); for i=1:n co1(i)=co(n-i+1); end co1=co1'; polos=roots(co1); disp('Polos del sistema para los valores de a y b elegidos'); print(%io(2),polos); // G2: FT en lazo cerrado G2=num/den; // Simulacion del sistema en lazo cerrado sic2=syslin('c',G2); t=0:.01:5; u=ones(1,501); yc2=csim(u,t,sic2); figure(1) plot(t,yc2) disp('1- Desea intentar con otros valores de los parametros a y b'); disp('0- Desea salir');

14 seguir=input('Escoger la opcion deseada '); end xdel(winsid())

Algunas de las respuesta del sistema controlado se muestran a continuacin para diferentes valores de a y donde se puede observar que en todos los casos el sistema sigue la referencia, la cual es un escalon unitario y los polos del sistema en lazo cerrado estan ubicados en el semiplano izquierdo, por lo tanto el sistema controlado es estable:

Para alfa = -2 y beta = -5

Polos en lazo cerrado. - 29.491327 - 2.1337791 - 1.0112571

Figura 6. Sistema controlado con alfa=-2 y beta=-5.

15 Para alfa = 2 y beta = 0


Figura 7. Sistema controlado con alfa=2 y beta=0.

Para alfa = -2 y beta = 0


Figura 8. Sistema controlado con alfa=-2 y beta=0.

16 Para alfa = 2 y beta = -5


Figura 9. Sistema controlado con alfa=2 y beta=-5.

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TAREA 2.Calculo de norma para seales y sistemas. Hojas escritas a mano.

TAREA 3.Calculo de norma para seales y sistemas en espacio de estados.PROBLEMA 3.Calcular la norma-2 y la norma- para el sistema en espacio de estados.

Las matrices de H(s) que representan al sistema en espacio de estado son:

Calculo de la norma-2.si y se satisface que .

Solucin. La matriz P es simetrica:

Resolvemos la ecuacin algebraica de Riccati.

19 Como la matriz es simtrica resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Cuya solucin es:

Ahora verificamos si P es definida positiva, para esto calculamos sus determinantes menores y todos deben ser positivos.

20

Por lo tanto, la matriz P es definida positiva. Nos resta calcular la norma-2 del sistema H(s), la cual de va a calcular por medio de:

Calculo de la norma-.si y solo si: 1. 2. La matriz Hamiltoniana H no tenga autovalores sobre el eje imaginario, donde H

Solucin. Tomando 1.2. H

Por lo tanto se cumple la primera condicin.

21 Cuyos autovalores son:

Como ningn autovalor se encuentra sobre el eje imaginario entonces la Ahora disminuimos 1.2. H

.

Por lo tanto se cumple la primera condicin.

Cuyos autovalores son:

Como hay un par de autovalores sobre el eje imaginario quiere decir que la

.

TAREA 4.Estabilidad por LMI y Regulador LQG.PROBLEMA 4.Sea verificar su estabilidad por LMI.

Solucin. La matriz A es estable si existe

tal que

.

Calculamos la matriz tanto se debe cumplir que:

que debe ser simtrica definida positiva, por lo

Tambin se debe cumplir que:

Por lo tanto:

Si

23

Ahora verificamos que se cumplan todas las condiciones: y y Como todas las condiciones se cumplen, quiere decir que la matriz A es estable.

24

PROBLEMA 5.Sea el sistema:

Y conocida:

Disear LQR con horizonte finito. Solucin. Se debe cumplir que el par La ley de control es donde la matriz controlable. , las ganancias se obtiene por medio de

de obtiene por medio de la solucin de la ecuacin de Riccati

Estudio de la controlabilidad.

El rango de la matriz

, por lo tanto el sistema es completamente controlable.

Calculo de las ganancias del controlador por RVE. Calculamos la matriz que debe ser simtrica definida positiva por

medio de la solucin de la ecuacin de Riccati:

25 Para encontrar los valores de la matriz ecuaciones: se resuelve el siguiente sistema de

Cuyas soluciones son:

Ahora verificamos con las soluciones obtenidas que la matriz P sea una matriz definida positiva, para esto se debe cumplir que:

Por lo tanto solo la solucin S4 se toma en cuenta ya que es la nica que cumple con la condicin de que ahora verificamos que el determinante mayor sea positivo:

Como se cumple con ambas condiciones entonces podemos calcular las ganancias del controlador por RVE usando: . Calculadas las ganancias de realimentacin del vector de estado, realizamos la simulacin por medio de Scilab, cuyo programa y resultados se muestran a continuacin.

26 /// LQR clear all clc ///Matrices del Sistema A=[0,1;-3,-4] B=[0;1] C=[2,1] D=0 R=1 Q=[1,0;0,0] ///Lqr Big=sysdiag(Q,R); [w,wp]=fullrf(Big); C1=wp(:,1:2); D12=wp(:,3:$); P=syslin('c',A,B,C1,D12); [K,X]=lqr(P) // Funcion ODE para resolver la ecuacion diferencial function ydot=lqrtop(t, y), u=[K(1,1)*y(1)+K(1,2)*y(2)], ydot=[B(1,1)*u(1)+A(1,1)*y(1)+A(1,2)*y(2); B(2,1)*u(1)+A(2,1)*y(1)+A(2,2)*y(2)], endfunction /// Controlador for j = 1:max(size(y)) control(1,j) =K(1,1)*y(1,j)+K(1,2)*y(2,j); end; /// Condiciones iniciales y0=[1;1];t0=0;t=0:0.1:100; y=ode(y0,t0,t,lqrtop) // Graficando los estados controlados y controlador

27 figure(1) plot(t,y(1,:)) xtitle("Estado 1 con control LQR") figure(2) plot(t,y(2,:)) xtitle("Estado 2 con control LQR") figure(3) plot(t,control) xtitle("Ley de Control")

Figura 10. Simulacin para el LQR de Horizonte Finito.

28

PROBLEMA 6.Sea el sistema:

Y conocida:

Disear LQG con horizonte finito. Solucin. En el problema anterior se diseo el LQR ahora se diseara el Filtro de Kalman Bucy (FKB) ya que por el principio de separacin el diseo del LQR y FKB se puede hacer por separado sin perder la optimalidad. Para el diseo del FKB se debe cumplir que: Se debe cumplir que el par La ley de control es donde la matriz observable. , las ganancias se obtiene por medio de

de obtiene por medio de la solucin de la ecuacin de Riccati

Estudio de la observabilidad.

El rango de la matriz

, por lo tanto el sistema es completamente observable. . que debe ser simtrica definida positiva por

Calculo de las ganancias Calculamos la matriz

medio de la solucin del estimador ptimo de estados:

29

Para encontrar los valores de la matriz ecuaciones:

se resuelve el siguiente sistema de

Cuyas soluciones son:

Ahora verificamos con las soluciones obtenidas que la matriz S sea una matriz definida positiva, para esto se debe cumplir que:

Por lo tanto solo la solucin Sol4 se toma en cuenta ya que es la nica que cumple con la condicin de que ahora verificamos que el determinante mayor sea positivo:

30

Como se cumple con ambas condiciones entonces podemos calcular las ganancias usando:

.

Calculadas las ganancias del observador de estado, realizamos la simulacin por medio de Scilab uniendo los dos diseos para simular el LQG, cuyo programa y resultados se muestran a continuacin. clear all clc /// Matrices del sistema A=[0,1;-3,-4] B=[0;1] C=[2,1] D=0 R=1 Q=[1,0;0,0] fi=1; //Lqr y FKB Big=sysdiag(Q,R); [w,wp]=fullrf(Big); C1=wp(:,1:2); D12=wp(:,3:$); P=syslin('c',A,B,C1,D12); [K,X]=lqr(P) S=[96.2294996,-162.4575854;-162.4575854,274.9540552]; Kf=S*C'*inv(fi); // Funcion ODE para resolver la ecuacion diferencial

31 function ydot=lqg(t, y), u=[K(1,1)*y(1)+K(1,2)*y(2)], z=[2*y(1)+y(2)], ydot=[B(1,1)*u(1)+A(1,1)*y(1)+A(1,2)*y(2); B(2,1)*u(1)+A(2,1)*y(1)+A(2,2)*y(2); B(1,1)*u(1)+A(1,1)*y(3)+A(1,2)*y(4)+Kf(1,1)*(-y(3)+z(1)); B(2,1)*u(1)+A(2,1)*y(3)+A(2,2)*y(4)+Kf(2,1)*(-y(3)+z(1))], endfunction /// Condiciones iniciales y0=[1;1;0.9;0.9];t0=0;t=0:0.1:10; y=ode(y0,t0,t,lqg) /// Controlador for j = 1:max(size(y)) control(1,j) =K(1,1)*y(1,j)+K(1,2)*y(2,j); end; /// Graficando los estados controlados figure(1) plot(t,y(1,:)) plot(t,y(3,:),'k-.') xtitle("Estado 1 y 3 con control LQR") legends(['x1';'x1e'],[2,1],opt="lr") figure(2) plot(t,y(2,:)) plot(t,y(4,:),'k-.') xtitle("Estado 2 y 4 con control LQR") legends(['x2';'x2e'],[2,1],opt="lr") figure(3) plot(t,control) xtitle("Ley de Control")

32

Figura 11. Simulacin para el LQG de Horizonte Finito.

33

TAREA 5.Calculo de norma para seales y sistemas en espacio de estados.PROBLEMA 7.Sea el sistema controlado sea estable. Solucin. Las matrices que representan a la funcin de transferencia H(s) son: , disear un control tal que para el sistema

donde:

con Se diseara un control por Realimentacin del Vector de Estados (RVE) como se muestra en la imagen 12, cuya seal de control, por: , para el sistema continuo est dada

34

Figura 12. Sistema de control en lazo cerrado con

.

Para el diseo de la ley de control se deben fijar, en primer lugar, un conjunto de especificaciones deseadas para el comportamiento en rgimen transitorio y estacionario que no pueden ser alcanzadas sin un controlador, como lo son: el tiempo de establecimiento (ts) y el sobredisparo (Mp). La siguiente tabla muestra las especificaciones deseadas.


Utilizando las especificaciones deseadas, se obtiene el factor de amortiguamiento y la frecuencia natural no amortiguada n. A partir de la ecuacin del tiempo de asentamiento, calculamos


35



El diseo del control por RVE, se realiz por medio de los siguientes pasos: 1. Ley de control .


3. Disear el polinomio deseado. 4. Calcular la ganancia K del controlador a travs del sistema de ecuaciones resultante de igualar las ecuaciones (35) y (36). Igualando la ecuacin caracterstica con el polinomio deseado, se tiene:

36 Como es la nica ganancia que depende del parametro a estudiamos el , .

intervalo entre el cual puede variar dicha ganancia tomando en cuenta las especificaciones de diseo y el intervalo de a, obteniendo que para por lo tanto, el intervalo de la ganancia es

5. Formar el controlador con la ganancia encontrada.

1. Anlisis de la estabilidad del sistema en lazo cerrado usando Routh Hurwitz.

1

Para que el sistema sea estable se debe cumplir por el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz que el polinomio tiene sus races en el semiplano abierto negativo si todos los elementos de la primera columna son positivos y no nulos, por lo tanto: 1 > 0 (se cumple)

Interceptando las dos condiciones obtenidas para el intervalo de dicha ganancia es

tenemos como conclusin que

(se cumple)

37 Por lo tanto, para las simulaciones las ganancias de realimentacion del vector de estados a usar para que el sistema en lazo cerrado sea estable para el intervalo de son: .

El codigo que simula el comportamiento del sistema para diferentes valores de a con el controlador por RVE diseado anteriormente es el siguiente: clear clc s=poly(0,'s'); B=[0;1]; C=[10,0]; //Especificaciones deseadas ts=1; cc=(log(0.05)*log(0.05))/(log(0.05)*log(0.05)+(%pi)^2); cita=sqrt(cc); wn=4/(cita*ts); seguir=1; while seguir==1, //Parametro "a" xdel(winsid()) disp('Elegir un valor del parametro a entre -2 y 2'); a=input('Introducir valor del parametro a '); A=[0,1;-10,-a]; //Calculo de las Ganancias del control PID K1=wn^2-10; K2=8; K=[-K1,-K2]; disp('Ganancias de Realimentacin'); print(%io(2),K); function ydot=rve1(t, y),

38 u=[K(1,1)*y(1)+K(1,2)*y(2)], ydot=[B(1,1)*u(1)+A(1,1)*y(1)+A(1,2)*y(2); B(2,1)*u(1)+A(2,1)*y(1)+A(2,2)*y(2)], endfunction y0=[1;1];t0=0;t=0:0.01:20; y=ode(y0,t0,t,rve1) for j = 1:max(size(y)) uu(1,j) =K(1,1)*y(1,j)+K(1,2)*y(2,j); end; den=s^2+(a+K2)*s+(10+K1); // POLOS DEL SISTEMA EN LAZO CERRADO co1=[]; co=coeff(den); n=length(co); for i=1:n co1(i)=co(n-i+1); end co1=co1'; polos=roots(co1); disp('Polos del sistema para los valores de a y b elegidos'); print(%io(2),polos); // Graficando los estados controlados figure(1) plot(t,y(1,:)) xtitle("Estado 1 controlado") figure(2) plot(t,y(2,:)) xtitle("Estado 2 controlado") figure(3) plot(t,uu) xtitle("Ley de control")

39 disp('1- Desea intentar con otro valor del parametro a'); disp('0- Desea Salir'); seguir=input('Introducir la opcion deseada '); end xdel(winsid()) Algunas de las respuesta del sistema controlado se muestran a continuacin para diferentes valores de a y donde se puede observar que los polos del sistema en lazo cerrado estan ubicados en el semiplano izquierdo, por lo tanto el sistema controlado es estable:

40 Para a = -2

Polos en lazo cerrado. - 3. + 4.9594345i - 3. - 4.9594345i

Figura 13. Sistema controlado con a=-2.

41 Para a = 0



42 Para a = 2



43

PROBLEMA 8.Disear un controlador estabilizante para:

donde:

con Solucin. Se diseara un control por Realimentacin del Vector de Estados (RVE) como se muestra en la imagen 12, cuya seal de control, por: , para el sistema continuo est dada

Para el diseo de la ley de control se deben fijar, en primer lugar, un conjunto de especificaciones deseadas para el comportamiento en rgimen transitorio y estacionario que no pueden ser alcanzadas sin un controlador, como lo son: el tiempo de establecimiento (ts) y el sobredisparo (Mp). La siguiente tabla muestra las especificaciones deseadas.


44 Utilizando las especificaciones deseadas, se obtiene el factor de amortiguamiento y la frecuencia natural no amortiguada n. A partir de la ecuacin del tiempo de asentamiento, calculamos




El diseo del control por RVE, se realiz por medio de los siguientes pasos: 1. Ley de control .


3. Disear el polinomio deseado.

4. Calcular la ganancia K del controlador a travs del sistema de ecuaciones resultante de igualar las ecuaciones (46) y (47).

45 Igualando la ecuacin caracterstica con el polinomio deseado, se tiene:

Como obteniendo de

depende de

estudiamos el intervalo entre el cual puede variar , .

cada ganancia tomando en cuenta las especificaciones de diseo y el intervalo de

5. Formar el controlador con la ganancia encontrada.

2. Anlisis de la estabilidad del sistema en lazo cerrado usando Routh Hurwitz. 1

Para que el sistema sea estable se debe cumplir por el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz que el polinomio tiene sus races en el semiplano abierto negativo si todos los elementos de la primera columna son positivos y no nulos, por lo tanto: 1 > 0 (se cumple)



46

(se cumple)



Por lo tanto, para las simulaciones las ganancias de realimentacion del vector de estados a usar para que el sistema en lazo cerrado sea estable para el intervalo de son: . El codigo que simula el comportamiento del sistema para diferentes valores de a con el controlador por RVE diseado anteriormente es el siguiente: clear clc s=poly(0,'s'); B=[0;1]; C=[1,1]; //Especificaciones deseadas ts=1; cc=(log(0.05)*log(0.05))/(log(0.05)*log(0.05)+(%pi)^2); cita=sqrt(cc); wn=4/(cita*ts); seguir=1; while seguir==1, xdel(winsid()) //Parametro "a"

47 disp('Elegir un valor del parametro a entre -2 y 2'); a=input('Introducir valor del parametro a '); //Parametro "b" disp('Elegir un valor del parametro b entre -5 y 0'); b=input('Introducir valor del parametro b '); A=[0,1;a,b]; K1=33.595991; K2=6; K=[-K1,-K2]; disp('Ganancias de Realimentacin'); print(%io(2),K); function ydot=rve1(t, y), u=[K(1,1)*y(1)+K(1,2)*y(2)], ydot=[B(1,1)*u(1)+A(1,1)*y(1)+A(1,2)*y(2); B(2,1)*u(1)+A(2,1)*y(1)+A(2,2)*y(2)], endfunction y0=[1;1];t0=0;t=0:0.01:20; y=ode(y0,t0,t,rve1) for j = 1:max(size(y)) uu(1,j) =K(1,1)*y(1,j)+K(1,2)*y(2,j); end; den=s^2+(K2-b)*s+(K1-a); // POLOS DEL SISTEMA EN LAZO CERRADO co1=[]; co=coeff(den); n=length(co); for i=1:n co1(i)=co(n-i+1); end co1=co1'; polos=roots(co1);

48 disp('Polos del sistema para los valores de a y b elegidos'); print(%io(2),polos); // Graficando los estados controlados figure(1) plot(t,C(1,1)*y(1,:)) xtitle("Estado 1 controlado") figure(2) plot(t,C(1,2)*y(2,:)) xtitle("Estado 2 controlado") figure(3) plot(t,uu) xtitle("Ley de control") disp('1- Desea intentar con otro valor del parametro a'); disp('0- Desea Salir'); seguir=input('Introducir la opcion deseada '); end xdel(winsid())

Algunas de las respuesta del sistema controlado se muestran a continuacin para diferentes valores de estable: y donde se puede observar que los polos del sistema en lazo cerrado estan ubicados en el semiplano izquierdo, por lo tanto el sistema controlado es

49 Para

Polos en lazo cerrado. - 5.5 + 2.3121399i - 5.5 - 2.3121399i

Figura 16. Sistema controlado con

.

50 Para



.

51 Para

Polos en lazo cerrado. - 5.5 + 1.1601685i - 5.5 - 1.1601685i


.

52 Para



.

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