SISTEMAS LINEALES DE

MULTIPLES VARIABLES

Controlabilidad y Observabilidad

Alain Gauthier

agauthie@uniandes.edu.co

1

212211 ,0 ttttftftf nn

Recuerdos Matemticos

Definicin 1 : Funciones linealmente dependientes

Un conjunto de funciones con valores complejos f1(t), f2(t), ...., fn(t) es

linealmente dependiente en un intervalo [t1,t2] sobre el campo de los

nmeros complejos si existen nmeros complejos 1, 2, , n, no

todos cero, tal que:

Si no funciones linealmente independientes.

2

2

1

21 ,

t

t

dttFtFttW

Recuerdos Matemticos

Sean fi (i = 1, 2,..., n) unos vectores fila de funciones continuas sobre

[t1,t2]. Sea F la matriz (n x p) teniendo los fi como filas.

Sea

Teorema 1

Entonces los fi son linealmente independientes sobre [t1,t2] si y

solamente si la matriz constante W(t1,t2) es no singular.

3

Recuerdos Matemticos

Supongamos que las funciones fi sean analticas sobre [t1,t2]. Sea t0

un instante de [t1,t2].

Entonces los fi son linealmente independientes sobre [t1,t2] si y

solamente si:

Rango [F(t0), F(1)(t0), ..., F

(n-1)(t0) , ...] = n

Teorema 2

Funcin f(t) analtica sobre [t1,t2]:

Si f(t) es un elemento de C

Si t0 [t1,t2], f(t) es representable por una serie de Taylor alrededor

de t0:

0

0

0

!n

n

n

tfn

tttf

4

Recuerdos Matemticos

Si fi(t) son linealmente independientes sobre [t1,t2]

Rango [F(t), F(1)(t), ..., F(n-1)(t), ...] = n t [t1,t2]

Si fi(t) son linealmente independientes sobre [t1,t2]

Linealmente independientes sobre cualquier subintervalo de [t1,t2]

(funciones analticas)

fi(t) analticas, linealmente independientes sobre [t1,t2] si y

solamente si:

Rango [F(t), F(1)(t), ..., F(n-1)(t)] = n t [t1,t2]

5

Controlabilidad

1)( ttBttAt uxx

rntBnntA :)(,:)( (Cuyos elementos son funciones continuas de t sobre (-, ))

= espacio de estado (dimensin n)

Definicin 2 :

La ecuacin de estado es (completamente) Controlable a t0, si

para todo estado x(t0) x0 y x1 , existe t1 > t0 (t1 finito) y

un vector de entrada u(t0, t1) que transfiere el sistema del estado x0

hasta el estado x1= x(t1).

Si no Sistema No Controlable

Observacin: No existen limitaciones sobre las entradas.

6

Controlabilidad

La ecuacin de estado es Controlable en el instante t0 si y

solamente si existe un instante finito t1 > t0, tal que las n filas

de la matriz funcin (n x r) (t0,)B() son linealmente

independientes sobre (t0, t1).

Teorema 3

7

Controlabilidad de un sistema lineal invariante

Las proposiciones siguientes son equivalentes:

1. El sistema (1) es Controlable t0 [0,)

2. Las n filas de e-AtB (o de eAtB) son linealmente independientes

sobre [0,)

3. es no singular t0>0 y t>t0

4. La matriz (n x nr) [B, AB, A2B, ..., An-1B] es de rango n

5. Las filas de (SI-A)-1B son linealmente independientes sobre el

campo de los nmeros complejos.

Teorema 4 ,0);1()( ttBtAt uxx

t

t

tAtA deBBettW

0

,0

8

Controlabilidad de un sistema lineal invariante

Si (B) = p El sistema es Controlable si y solamente si:

Teorema 5

)(lidadControlabideMatriz,,, 1 nrnBAABB n U

nBAABB pn ,,,

)(singularnoes: p-np-n nn

UU

Si el sistema es Controlable se pueden excitar todos los modos.

9

Observabilidad

ttDttCt

ttBttAt

uxy

uxx

)(

)(1

Definicin 3 :

La ecuacin dinmica (1) es (completamente) Observable en t0, si

para cualquier estado x(t0) x0 , existe un instante finito t1 > t0

tal que el conocimiento de u(t0, t1) y de y(t0, t1) sobre el intervalo

[t0, t1] es suficiente para determinar x0 .

Si no se dice que la ecuacin (1) es no Observable.

10

Observabilidad

La ecuacin dinmica (1) es Observable a t0 si y solamente

si existe un instante finito t1 > t0, tal que las n columnas de la

matriz funcin (m x n) C()(,t0) son linealmente

independientes sobre (t0, t1).

Teorema 6

11

Observabilidad

El sistema (1) es Observable a t0 si y solamente si el

sistema siguiente es Controlable a t0:

Teorema 7 (Teorema de Dualidad)

ttDttBt

ttCttAt

vz

vzz

)(

)(

12

Observabilidad de un sistema lineal invariante

Las proposiciones siguientes son equivalentes:

1. (1) es Observable en t0, t0 [0,)

2. Las n columnas de CeAt son linealmente independientes sobre [0,)

3. es no singular t0>0 y t>t0

4. La matriz (nm x n): es de rango n

5. Las n columnas de C(SI-A)-1 son linealmente independientes sobre

el campo de los nmeros complejos.

Teorema 8

t

t

tAtAdCeCettV

0

00,0

tDtBt

tCtAtTT

TT

vz

vzz

)(

)(3

A, B, C, D

con coeficientes

constantes reales

1nCA

CA

C

V

13

Observabilidad de un sistema lineal invariante

Si (C) = p El sistema es Observable si y solamente si:

Teorema 9

)(idadObservabildeMatriz

1

nnm

CA

CA

C

n

V

n

CA

CA

C

pn

)(singularnoes: p-np-n nn

VV14

Controlabilidad, Observabilidad y Formas

cannicas de JORDAN

Invariante)()()(

)()()(1

tDtCt

tBtAt

uxy

uxx

xx ~P

CPC

APPA

~

~ 1

DD

BPB

~

~ 1

P(n x k) no singular

eEquivalentSistema)(

~)(~

~)(

)(~

)(~~

)(~2

tDtCt

tBtAt

uxy

uxx

15

Controlabilidad, Observabilidad y Formas

cannicas de JORDAN

Teorema 10 La Controlabilidad y la Observabilidad de un sistema lineal invariante en

el tiempo son invariantes bajo cualquier transformacin equivalente.

Demostracin:

igual para Observabilidad

Este teorema se extiende a caso variante en el tiempo.

Idea: Transformar a forma cannica de JORDAN Controlabilidad y

Observabilidad por simple inspeccin, adems se ve Controlabilidad y

Observabilidad por modo.

,...],,[]~~

,...~~

,~~

,~

[ 11111112 BAPPAPPPBAPPPBPBABABAB n

],...,,[ 12 BABAABB n

16

Controlabilidad, Observabilidad y Formas

cannicas de JORDAN

p

nm

p

rn

p

nnCCCC

B

B

B

B

A

A

A

A 212

1

2

1

Supongamos (1) en forma de JORDAN:

)(21

)(

2

1

)(

2

1

iiqiinmii

iiq

i

i

rnii

iiq

i

i

ninii CCCC

B

B

B

B

A

A

A

A

lijijijnijm

ij

lij

ij

ij

rnij

ij

i

i

i

i

nijnij

ij CBA ccc

b

b

b

212

1

1

1

1

p valores propios

distintos 1, 2 , p

Ai = Todos los bloques de

Jordan asociados a i

q(i) = # de bloques de Jordan en Ai

Aij = Bloque de Jordan N j en Ai

17

Controlabilidad, Observabilidad y Formas

cannicas de JORDAN

Teorema 11 El sistema (1) (Forma de Jordan) es Controlable si y solamente si para

cada i = 1, 2, ..., p, las filas de la matriz:

son linealmente independientes

(1) Es Observable si y slo si para cada i = 1, 2, ..., p, las columnas de la

matriz:

son linealmente independientes

iliq

li

li

riq

l

iB

b

b

b

2

1

)(

iiqii

iqmiC 12111

)(

1ccc

18

Formas cannicas de Controlabilidad y

Observabilidad

U y V de rango n y de dimensin nxn.

Inters:

Aparicin de los coeficientes del polinomio caracterstico.

Relacin con representaciones externas

Utilizacin por retroalimentacin de estado y observadores.

Hallar (t)

Caso monovariable:

19

Formas cannicas de Controlabilidad y

Observabilidad

Si el sistema es Controlable rango U = n

Podemos escoger n columnas linealmente independientes como una

nueva base varias posibilidades

Dos grandes clases:

Descomposicin en r subsistemas

Descomposicin en p subsistemas controlables por una sola entrada

Caso multivariable:

BAABB nnrn

1

)(

,,,:lidadControlabideMatriz

U

r

rnB bbb 21

Columnas linealmente independientes

(sino una sola entrada)

rnrr AAA bbbbbbU 1121 20

Formas cannicas de Controlabilidad y

Observabilidad

Invariantes de estructura o

ndices de Controlabilidad

Esquema 1:

r

i

i n1

r 1

definen la estructura del sistema MIMO

22

1

2

121:Seleccin bbbbbbb AAAA rrhasta obtener n vectores linealmente independientes

si Akbi es linealmente dependiente de los anteriores Albi, l > k, tambin.

rr rAAAAA bbbbbbbbP 121221111 21 Invariantes a: Cambio de

base, retroalimentacin de

estados, transformacin

variables estado

descomposicin en r subsistemas

21

Formas cannicas de Controlabilidad y

Observabilidad

Esquema 2:

p

i

i n1

ndices diferentes de los anteriores

ppAAAAA bbbbbbb

1

2

1

221

1

1121:Seleccin

donde i , i = 1, 2, ..., p es el ms pequeo entero tal que Aibi

sea combinacin lineal de los vectores situados a su izquierda.

descomposicin en p subsistemas controlables por una entrada

ndices invariantes con el cambio de base.

22

Formas cannicas de Controlabilidad

0

I

0

I

0

I

1 0 ---- 0

0

0 1 ---- 0

0

0 0 ---- 1

0

Esquema 1:

rr rAAAAA bbbbbbbbP 121221111 21 xx ~P DDCCBBAA

~~~~ 11PPPP

Matriz llena (n(r+m))

1x 1

2-1

r-1

1-1

rx r

A~

B~

C~

23

Formas cannicas de Controlabilidad

0

I

0

0 I

1 0

0

0 1

0

Esquema 2:

rpAA pp bbbP 111

xx P DDCCBBAA

PPPP11

Matriz llena nm+n(r-p)+np= (n(r+m))

Tambin

A B

C

p

24

Formas cannicas de Controlabilidad

Coeficientes de acoplamiento horizontales:

Modificacin de P, por ejemplo en el esquema 1 (r subsistemas)

1

2

1

1

1

1

21

11

12

11

1

1

2

1

221

1

11

1

21

r

i

r

A

A

A

e

e

e

e

e

e

AAAAA

r

ii

rr

rr

e

e

e

e

e

SeP

bbbbbbbbP

DDCCBBAA 11 SSSS

25

Formas cannicas de Controlabilidad

Coeficientes de acoplamiento horizontales:

0 I

0 I

0 I

0

1

0

0 1

0

0 0 1

Matriz llena (n(r+m))

A B

C

26