ControlabilidadeeObservabilidadeConsidereaequa caodin amicadedimens aonepentradas x = Ax + BucomA RnneB Rnp.Aequa caodesadan aoinuenciaacontrolabilidadeAequa caodeestadoacimaouopar(A, B) econtrolavelseparaqualquerestadoinicialx(0) = x0eparaqualquerestadonalx1existirumaentradau(t)quetransfereoestadodex0parax1emtemponito.Adenicaorequerapenasquesepossamoverqualquerestadoinicialnoespa codeestadosparaqualquerestadonalemtemponito. N aoh arestri coesquanto` atrajet oriaaserseguidanemquanto` amagnitudedaentrada.EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 1Exemplo:+++111 1CuxyiAvari aveldeestadox eatens aonocapacitor. Sex(0) = 0,ent aox(t) = 0,paratodot 0independentementedaentradauqueforaplicada,eosisteman ao econtrol avel.EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 2Exemplouuk1k2b1b2x1x2Control aveloun aocontrol avel?EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 3Teorema: asarma coesabaixos aoequivalentes.1)Opar(A, B) econtrol avel.2)Amatrizn nWc(t) _t0eABB

eA

d=_t0eA(t)BB

eA

(t)denao-singular t > 0.3)Amatrizdecontrolabilidaden npC =_B AB A2B An1B_temrankn(rankcompletodelinhas).4)ParatodoautovalordeA(econseq uentemente,paratodo C),amatrizcomplexan (n + p)_I A B_temrankn(rankcompletodelinhas),implicandoque(sI A)eBsaocoprimas` aesquerda.5)SetodososautovaloresdeAtemparterealnegativa,asolu cao unicadeAWc + WcA

= BB

edenidapositiva. Essasolu cao echamadadeGramianodecontrolabilidadeepodeserexpressacomoWc=_0eABB

eA

dEEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 4Prova1) 2). Primeiramenteaequivalenciaentreasduasformasintegraisqueaparecemem2)podeserprovadafazendo-seamudan cadevari avel = t . O integrando garante que a matriz Wc(t) e sempre semidenidapositiva;ser adenidapositivaseesomenteseforn aosingular.SeWc(t)forn aosingular,ent ao(A, B) econtrol avel.Arespostanoinstantet1edadaporx(t1) = exp(At1)x(0) +_t10exp[A(t1)]Bu()dParaqualquerx(0) = x0equalquerx(t1) = x1,aentradau(t) = B

exp[A

(t1t)]W1c(t1)[exp(At1)x0x1]levaoestadodex0ax1notempot1. Defato,substituindox(t1) = exp(At1)x(0) __t10exp[A(t1)]B B

exp[A

(t1t)]d_W1c(t1)_exp(At1)x0x1_ == exp(At1)x(0) Wc(t1)W1c(t1)[exp(At1)x0x1] = x1oquemostraqueseWcenaosingularent ao(A, B) econtrol avel.EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 5Paramostraroinverso,sup oe-seporabsurdoqueopar econtrol avelmasWc(t1)n ao edenidapositivaparaalgumt1. Nessecaso,existev = 0talquev

Wc(t1)v=_t10v

exp[A(t1)]BB

exp[A

(t1t)]vd=_t10B

exp[A

(t1t)]v2d= 0= B

exp[A

(t1t)]v 0 ou v

exp[A(t1)]B 0paratodo [0, t1]. Poroutrolado,seosistema econtrol avel,existeumaentradaquetransfereoestadoinicialdex(0) = exp(At1)vparax(t1) = 0. Utilizandoaexpress aogeraldex(t)paraessecasotem-sex(t1) = 0 = v +_t10exp[A(t1)]Bu()dPre-multiplicandoporv

0 = v

v +_t10v

exp[A(t1)]Bu()d= v2+ 0oquecontradizahip otesev = 0. Aequivalenciaentre1)e2)estaestabelecida.2) 3). Comotodoelementodeexp(At)Beumafun caoanalticaemt,seWc(t)forn aosingularparaalgumtent ao enaosingularparatodot.Comoasduasformasintegraisem2)saoequivalentes,Wc(t) enaosingularseesomentesenaoexistev = 0talquev

exp(At)B= 0 paratodo tEEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 6SeWc(t) enaosingular,ent aoamatrizdecontrolabilidadeCtemrankcompletodelinhas.SupondoqueCnaotemrankcompleto,existev = 0talquev

C = 0ouequivalentementev

AkB= 0 para k = 0, 1, 2, . . . , n 1Notequeexp(At)Bpodeserexpressacomoumacombina caolinearde{B, AB, . . . , An1B}eportantov

exp(At)B= 0,oquecontradizahipotesedan aosingularidadedeWc(t). Portanto2)implica3).Paramostraroinverso,sup oe-sequeCtemrankcompletodelinhasmasWc(t) esingular. Nessecaso,existev = 0talquev

exp(At)B= 0 paratodo tEscolhendot = 0,tem-sev

B= 0. Diferenciandoenovamentecalculandoemt = 0,tem-sev

AB= 0;fazendoessaopera caosucessivamente,obtem-sev

AkB= 0parak = 0, 1, 2, . . .ouv

_B AB A2B An1B_ = v

C = 0o que contradiz a hip otese de queC tem rank completo de linhas e mostraaequivalenciaentre2)e3).EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 73) 4).SeCtemrankcompletodelinhas,ent ao_I A B_temrankcompletodelinhasparatodoautovalordeA. Senao,existeumautovalor1deAeumvetorq = 0taisqueq_1I A B_ = 0eportantoqA = 1qeqB= 0(implicandoqueqeumautovetor` aesquerdadeA). CalculandoqA2= (qA)A = (1q)A = 21qeassimsucessivamente,obtem-seqAk= k1q,eportantoq_B AB An1B_ =_qB 1qB n1qB_ = 0oquecontradizahip otesedequeCtemrankcompletodelinhas.(C) < n=_I A B_ < nparaalgumautovalordeA.Doisresultadoss aonecessarios:Acontrolabilidade einvariantesobqualquertransforma caodeequivalencia;Se(C) = n mparaalgumm 1,ent aoexisteumamatrizPnaosingulartalqueA = PAP1=__AcA120A c__;B= PB=__Bc0__comA c Rmm.EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 8Seja1umautovalordeA cassociadoaq1 R1mautovetor` aesquerda,ouseja,q1 A cc= 1q1. Portanto,q1( A cc1I) = 0.Formandoovetorq R1nq _0 q1_,tem-seq_1I AB_ =_0 q1___1I AcA12Bc0 1I A c0__ = 0oqueimplica_I AB_ < n = _I A B_ < nparaalgumautovalordeA(notequeparaqualqueroutrovalorde,amatrizI A enaosingular).Comisso,aequivalencia3) 4)estaprovada.2) 5).SeA eestavel,a unicasolu caodeAWc + WcA

= BB

podeserexpressacomoWc=_0exp(A)BB

exp(A

)dOGramianoWcesempresemidenidopositivo,eseradenidopositivoseesomentesefornaosingular.Istoprovaaequivalencia2) 5).EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 9ExemploConsidereoproblemadocarrocomopenduloinvertido,descrito(parapequenasvaria coesemtornodopontodeequilbrioeparavaloresescolhidosdospar ametros)por x =__0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 5 0__x +__0102__uy=_1 0 0 0_xAmatrizdecontrolabilidade edadaporC =_B AB A2B A3B_ =__0 1 0 21 0 2 00 2 0 102 0 10 0__rank(C) = 4 =Sistemacontrol avelNoMatlab,ocomandoctrbretornaamatrizdecontrolabilidadeCeocomandogramretornaoGramianodecontrolabilidade. Comocomandorankpode-sedeterminarseumsistema econtrol aveloun ao.EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 10Exemplouuk1k2b1b2x1x2k1x1 + b1 x1= u ; k2x2 + b2 x2= u__ x1 x2__ =__k1/b100 k2/b2____x1x2__+__1/b11/b2__ux1(0) = x10, x2(0) = x20__B AB__ = ____1/b1k1/b211/b2k2/b22____ = n = 2 se k1b2 = k2b1Porexemplo,osisteman ao econtrol avelsek1= k2eb1= b2Considerek1= k2= 1,b1= 2eb2= 1. Dadosx1(0) = 10,x2(0) = 1,encontreu(t)quelevaaplataformaparaaposi caoderepousoem2segundos.EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 11CalculandoWc(2)Wc(2) =_20__exp(0.5) 00 exp()____0.51___0.5 1_ __exp(0.5) 00 exp()__dWc(2) =__0.2162 0.31670.3167 0.4908__u1(t) = _0.5 1___exp[0.5(2 t)] 00 exp[(2 t)]__W1c(2)e2A__101__u1(t) = 58.82 exp(0.5t) + 27.96 exp(t) , t [0, 2]u1(t)levaaplataformadaposi caoinicialaorepousoem2segundos;oesfor codecontroleaumentacomadiminui caodotempodetransferencia;sealgumarestri caoforimpostasobreu,ent aopoden aoserpossveltransferirosistemanumintervalodetempoarbitrariamentepequeno.Paralevarem4segundos:u2(t) = 3.81 exp(0.5t) + 0.688 exp(t) , t [0, 4]EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 12Fazendoasimula cao(comandolsimnoMatlab)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2402002040600 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 220151050510tempo(s)tempo(s)Esfor codecontrole[0, 2]Evolu caodex1(contnuo)ex2(tracejado)EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 130 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 410505100 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 450510tempo(s)tempo(s)Esfor codecontrole[0, 4]Evolu caodex1(contnuo)ex2(tracejado)EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 14Comparandoosesfor cosdecontrole0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 44030201001020304050tempo(s)Esfor codecontroleu[0,2](contnuo)eu[0,4](tracejado)Aentradau(t)dadau(t) = B

exp[A

(t1t)]W1c(t1)[exp(At1)x0x1]echamadadecontroledemnimaenergiapoisparaqualqueroutro u(t)querealizaamesmatarefatem-se_t10 u

(t) u(t)dt _t10u

(t)u(t)dtEEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 15IndicesdeControlabilidadeConsidereA RnneB RnpcomBderankcompletodecolunas(senaoforocaso,algumacolunaredundantepodesereliminada).Se(A, B)forcontrol avel,amatrizdecontrolabilidadeCtemrankne,conseq uentemente,ncolunaslinearmenteindependentes(deumtotaldenpcolunas).Sejabiai-esimacolunadeB,eportantoC =_b1 bpAb1 Abp An1b1 An1bp_NotequeseAibmdependedascolunas`aesquerdaemC,ent aoAi+1bmtambemdepende. Portanto,seumacolunaassociadaabmtorna-selinearmentedependente,todasasdemaistambemoser ao.Sejamon umerodecolunaslinearmenteindependentesassociadasabmemC. Ouseja,ascolunasbm, Abm, . . . , AmbmsaoLIeAm+ibm,i = 1, 2, . . .saoLD.Assim,seCtemrankn,1 + 2 + + p= neoconjunto {1, 2, . . . , p}saochamados ndicesdecontrolabilidadee = max {1, 2, . . . , p}eo ndicedecontrolabilidadede(A, B).EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 16Equivalentemente,se(A, B) econtrol avel,o ndicedecontrolabilidadeeomenorinteirotalque(C) = (_B AB A1B_) = nCalculodeumintervaloparaSetodosos ndicesdecontrolabilidades aoiguais(1= 2= = p),n/p . Setodos,excetoum,s aoiguaisa1, = n (p 1)(maiorvalorpossvel).Seja nograudopolin omiomnimodeA. Ent ao,pordeni cao,existemitaisqueA n= 1A n1+ 2A n2+ + nIeA nBpodeserescritocomocombina caolinearde {B, AB, . . . , A n1B}.Comoconclus aon/p min( n, n p + 1) p = rank(B)Comoograudopolin omiomnimoemgeraln ao econhecido,eorankdeBpodesercomputadofacilmente,usa-seocorol arioaseguirCorolario:Opar(A, B)comA Rnne(B) = p econtrol avelseesomenteseCnp+1 _B AB AnpB_tiverrankn.EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 17ExemploConsidereomodelo(parcial)desatelitecujasequacoeslinearizadass aodadaspor x =__0 1 0 03 0 0 20 0 0 10 2 0 0__x +__0 01 00 00 1__uy=__1 0 0 00 0 1 0__xMatrizdecontrolabilidadeC Rnnpe4 8.Usandooresultadodocorol arioanterior,pode-severicaracontrolabilidadeatravesdorankdamatriz_B AB A2B_ =__0 0 1 0 0 21 0 0 2 1 00 0 0 1 2 00 1 2 0 0 4__Rank= 4= control avelIndicesdecontrolabilidade: 1= 2,2= 2Indicedecontrolabilidadedopar(A, B): = 2EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 18TeoremaAcontrolabilidade einvariantesobqualquertransforma caodeequivalencia.Prova: considereopar(A, B)eamatrizdecontrolabilidadeC =_B AB A2B An1B_Oparequivalente( A,B)comA = PAP1eB= PBePumamatriznaosingularqualquerpossuiamatrizdecontrolabilidadeC =_BA BA2 B An1 B_=_PB PAP1PB PAn1P1PB_= P_B AB A2B An1B_ = PCComoPenaosingular,(C) = (C).EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 19TeoremaOconjuntode ndicesdecontrolabilidadedopar(A, B) einvariantesobqualquertransforma caodeequivalenciaeparaqualquerre-ordenamentodascolunasdeB.Prova: Doteoremaanterior,denindoCk=_B AB A2B Ak1B_tem-se(Ck) = (Ck)parak = 1, 2, . . .. Qualquerre-arranjamentodascolunaspodeserdenidocomoB= BMcomM Rppumamatrizn aosingulardepermuta cao. Assim,Ck _B A B Ak1 B_ = Ckdiag(M, . . . , M)Comodiag(M, . . . , M) enaosingular,(Ck) = (Ck).EEL6001: TeoriadeSistemasLinearesI control.tex 20