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Controlador PID - Gabriel Goulart Cintra

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  • Sistemas de controle digital SINTONIZAO DO CONTROLADOR PID NO DOMNIO Z

    Gabriel Goulart Cintra 090950106

    So Joo Del Rei

    Junho de 2014

  • 1. Introduo

    O PID (Proporcional-Integral-Derivativo) o algoritmo de controle mais usado

    nas indstrias e nos estudos acadmicos devido a sua simplicidade de ajustes e seu

    bom desempenho. O PID possu um desempenho robusto o que o torna mais popular

    nos ambientes de controle e automao. (Explicando a Teoria PID, 2011)

    O PID constitudo de trs componentes, como o nome j sugere: controle

    proporcional, integral e derivativo. O controle pode ser aplicado com apenas um ou

    dois componentes descritos, eventualmente usa-se controlador Proporcional (P),

    controlador proporcional-integral (PI), proporcional-derivativo (PD), mas, usualmente

    usam-se as trs aes em comum, pois cada uma delas interfere diretamente em um

    parmetro especfico da planta controlada.

    A maioria dos sistemas de controle atual so projetados e implantados atravs

    de computadores e microcontroladores, sendo de grande importncia o conhecimento

    dos sistemas digitais, ou seja, o conhecimento e domnio das ferramentas

    matemticas que descrevem os sistemas digitais. A transformada Z uma dessas

    ferramentas que nos auxiliam na implantao de controladores no domnio discreto

    (digital).

    Este trabalho prope a aplicao do controlador PID em uma planta cujos

    parmetros no so satisfatrios. O controlador PID e a planta so modelados no

    domnio discreto (domnio Z).

    2. Reviso Bibliogrfica

    2.1 Entradas

    Os controladores, PID ou outros, sempre so utilizados para melhorar os

    parmetros do sistema original, segundo critrios pr-estabelecidos pelo operador que

    deseja controlar sua planta. As plantas so testadas atravs de entradas j

    conhecidas matematicamente e seus parmetros so calculados devido sua sada

    em funo da sua entrada (j conhecida). As entradas utilizadas para testar e extrair

    os parmetros de uma planta so:

  • Degrau unitrio: Devido a ser um sinal com variao brusca de

    amplitude, este sinal vastamente utilizado para representar a

    mudana mais brusca que uma planta real pode sofrer. Se o sistema

    estabilizar devido a essa entrada, todos os sinais aplicados no

    afetaro a estabilidade do sistema.

    Rampa unitria: um sinal que melhor descreve as alteraes fsicas

    que um sistema real sofrer, tais como temperatura, presso,

    velocidade e etc, pois ela cresce linearmente com o tempo.

    Outras entradas tambm so utilizadas, por serem padres de muitos

    sinais j conhecidos: Senoides, Parbola e etc.

    2.2 Parmetros

    Os parmetros estudados para ser melhorados em um processo de controle

    so analisados em regime permanente e em regime transitrio, e eles so descritos

    abaixo:

    Erro em regime permanente: o erro devido entrada degrau (erro de

    posio), erro devido rampa (erro de velocidade) e o erro devido

    entrada parbola (erro de acelerao). O objetivo do controlador PID

    evitar esses erros, levando a sada at o setup estabelecido.

    Erro em regime transitrio (Martins, 2014):

    o Tempo de atraso (td): tempo necessrio para que o sistema atinja 50%

    do seu valor final

    o Tempo de pico (tp): tempo necessrio para que o sistema atinja o

    mximo valor de pico.

    o Mximo valor de pico(Mp): definido em porcentagem e quantos por

    cento o sinal passou na sua referncia (set point):

  • o Tempo de acomodao: tempo necessrio para que a resposta d

    controle atinja 98% de seu valor final.

    2.3 Transformada Z (Martins, 2014)

    uma ferramenta matemtica comumente utilizada para anlise de sistema de

    tempo discreto. Anlogo transformada de Laplace no tempo contnuo, a resposta de

    um sistema discreto linear pode ser obtida utilizando a transformada Z.

    E.D.O Laplace Equaes algbricas em S

    E.D Z Equaes algbricas em Z

    A transformada Z de X[k] definida como:

    O resultado da transformada Z uma srie de potncias que frequentemente pode ser

    reescrita por uma forma fechada em alguma regio de convergncia.

    2.4 Hold de ordem zero (Martins, 2014)

    Sistemas de controle de tempo discreto geralmente operam parcialmente em

    tempo discreto e parcialmente em tempo contnuo. Seguradores geram um sinal

    contnuo x(t) de um sinal discreto x(kt), que reproduz aproximadamente o sinal

    amostrado.

    Hold de ordem zero (ZOH) um circuito que segura as amplitudes das

    amostras em um instante de tempo at o prximo mltiplo inteiro de Ts (perodo de

    amostragem).

  • Figura 1 Hold de ordem zero sinal amostrado Sinal com Hold zero Sinal contnuo

    Matematicamente:

    0 t Ts

    Assumindo x(t) = 0 para t

  • 3. Metodologia

    O controlador PID foi aplicado a uma planta Gp (Ogata, 1995) com diferentes

    valores de kp, ki e kd (ganhos proporcional, integral e derivativos, respectivamente) e

    os dados foram analisados ao final. A planta pode ser representada pelo diagrama de

    blocos mostrado abaixo:

    Figura 2 Planta sem o controlador PID

    Onde:

    Para transformar Gp(s) para o domnio Z utilizado o hold de ordem zero em cascata

    com a planta e o tempo de amostragem de Ts=1s. A funo de transferncia de malha

    aberta para este sistema no domnio Z dada por:

  • Manipulando a equao, chegou-se na seguinte funo de transferncia em malha

    aberta:

    A funo de transferncia de malha fechada dada por:

    Para testar os parmetros de desempenho na planta, aplica-se o degrau unitrio a

    funo de transferncia de malha fechada atravs da funo stepz do programa

    MATLAB e obtida a seguinte figura:

    Figura 3 Resposta ao degrau unitrio da planta sem o controlador PID

  • Observa-se que a planta possui um sobressinal elevado e um tempo de

    acomodao muito grande, o que no desejvel para processos de controle em

    plantas reais, com isso, necessrio o uso do controlador PID.

    Inserindo o controlador PID em cascata com a planta, temos a seguinte

    representao em diagramas de blocos:

    Figura 4 Planta com o controlador PID

    O controlador PID no domnio Z representado por:

    4. Resultados

    Foram aplicados 4 combinaes diferentes das constantes do PID(Z) para

    melhorar a resposta ao impulso unitrio da planta proposta atravs da metodologia de

    tentativa e erro.Os resultados obtidos so mostrado a seguir, nas figuras de 5 8.

  • Figura 5 Resposta ao impulso unitrio para kp=0.8, kd=0.5 e ki=0

    Figura 6 - Resposta ao impulso unitrio para kp=0.8, kd=0.5 e ki=0.2

  • Figura 7 - Resposta ao impulso unitrio para kp=0.5, kd=0.5 e ki=0

    Figura 8 - Resposta ao impulso unitrio para kp=0.5, kd=0.5 e ki=0.2

  • Comparando as figuras de 5 a 8 observa-se que para diferentes ganhos de kp,

    ki e kd a planta teve uma melhora principalmente no requisito de sobressinal e tempo

    de acomodao.

    observado que as figuras 5 e 7 obtiveram uma melhor resposta ao degrau

    unitrio, e isto devido sintonizao de seus parmetros que, neste caso, mudou-se

    apenas o ganho proporcional (kp). Comparando as duas figuras, observa-se que a

    figura 7 no possu sobressinal, j a figura 5 possu, mas o tempo de acomodao da

    figura 5 melhor que o tempo de acomodao da figura 7. Este fato ocorre, pois a

    maior influncia do ganho proporcional (kp) acelerar a resposta que em

    consequncia, gera sobressinais. J o ganho derivativo, kd, influncia diretamente no

    erro de regime transitrio, muitas vezes os eliminando,como mostrado na f igura 7, a

    desvantagem de um ganho kd deixar o sistema mais lento, se for usando de forma

    incorreta. O ki influncia diretamente no erro em regime permanente, que no caso

    desta planta, o erro de regime permanente devido a uma entrada degrau unitrio

    zero, por ser uma planta de ordem 1. A implantao do controlador integral no

    influenciou na melhora da resposta ao degrau unitrio, mas sim, gerou um aumento do

    sobressinal da planta j controlada pela ao PD, como mostrado nas figuras 6 e 8, de

    forma que ela no deveria ser utilizada nesta planta.

    5. Concluso

    Os trabalho props a utilizao do controlador PID em uma planta no domnio Z

    para melhorar a resposta ao degrau unitrio e atravs dos resultados obtidos, com os

    diferentes ganhos de kp, ki, kd, o controlador melhorou a sada da planta para uma

    sada mais aceitvel.

    Como os ganhos kp, ki e kd do PID foram sintonizados a partir da tentativa

    erro, no possvel afirmar que a planta foi otimizada de forma a encontrar os

    melhores parmetros de desempenho do sistema. Para sintonizar os ganhos de forma

    otimizada, utiliza-se os mtodos clssicos de sintonizao dos ganhos do PID, tal

    como o mtodo de Ziegler Nichols.

    Atravs das figuras 5 e 7 observado que a aplicao da ao Proporcional-

    Derivativa (PD) suficiente para melhorar o sistema, sendo que o uso adicional da

  • ao Integral (PID), figura 6 e 8, piorou o sistema no regime transitrio. Isso ocorreu

    devido ao Integral melhorar o regime permanente e piorar o regime transitrio.

    Neste caso no foi necessrio melhorar a resposta em regime permanente, pois a

    planta no controlada j era de ordem um, na qual possu erro de regime permanente

    devido entrada degrau igual zero.

    6. Referncias

    Explicando a Teoria PID. (13 de Dezembri de 2011).