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Controlador Pid Matlab

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DISEO DE UN CONTROLADOR PID ANALOGO PARA UN CIRCUITO RC DE SEGUNDO ORDEN MEDIANTE LA SISOTOOL DE MATLAB

POR: EDWIN GONZALEZ QUERUBIN MORGAN GARAVITO VASQUEZ INGENIERIA MECATRONICA 2007

DISEO DE UN CONTROLADOR PID ANALOGO PARA UN CIRCUITO RC DE SEGUNDO ORDEN MEDIANTE LA SISOTOOL DE MATLAB

POR: EDWIN GONZLEZ QUERUBN MORGAN GARAVITO VSQUEZ FACULTAD DE INGENIERA MECATRNICA

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS BUCARAMANGA COLOMBIA 2007Edwin Gonzlez Querubn [email protected] Morgan Garavito Vsquez [email protected]

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Introduccin

El diseo de sistemas de control se puede realizar, ya sea en el dominio del tiempo o en el de la frecuencia. A menudo se emplean especificaciones de diseo para describir que debe hacer el sistema y como hacerlo. Siendo estas nicas para cada diseo. Por lo tanto el diseo de sistemas de control involucra tres pasos: Determinar que debe hacer el sistema y como hacerlo. Determinar la configuracin del compensador. Determinar los valores de los parmetros del controlador para alcanzar los objetivos de diseo.

Para alcanzar estos objetivos nos basaremos en clculos matemticos realizados a mano y con la ayuda del software MATLAB y la herramienta Sisotool para determinar la ubicacin de los polos dominantes de nuestro sistema y observar si cumple o no con nuestras especificaciones de diseo. As mismo se contar con la ayuda de Circuit Maker y Simulink, los cuales nos servirn para la verificacin de los datos obtenidos y as poder constatar el funcionamiento de nuestro diseo.

Edwin Gonzlez Querubn [email protected] Morgan Garavito Vsquez [email protected]

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OBJETIVOS

Obtener la funcin de transferencia de la planta o circuito rc. Obtener la funcin de transferencia del controlador basado en el circuito con amplificadores operacionales (Proporcional - Integral - Derivativo). Obtener mediante la sisotool de Matlab la funcin de transferencia del controlador con los parmetros de diseo establecidos. Por medio de los resultados obtenidos con la sisotool de Matlab y el controlador hallado manualmente, calcular y seleccionar los elementos de circuito para el controlador PID. Simular el sistema de control de lazo cerrado compensado y no compensado ante una entrada escaln. Con base a los elementos de circuito calculados, simular mediante Circuit Maker el circuito. Ensamble y pruebas del controlador.

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CIRCUITO RC O PLANTA

Como se puede observar en la figura 1, la planta es un sistema de segundo orden, ya que contiene dos elementos almacenadores de energa que son los condensadores Ca y Cb.

Figura 1

Funcin de transferencia de la planta:

1)

Vi Va Va 0 Va Vo = + Ra Ca Rb

1.1)

Vi 1 1 1 Vo = Va( + + ) Ra Ra Ca Rb Rb

2)

Va Vo Vo 0 = Rb Cb Rb ) Cb

Va 1 1 = Vo( + ) Rb Rb Cb

2.2) Va = Vo(1 +

1.1) y 2.2)

Vi Rb 1 1 1 Vo = Vo(1 + )( + + ) Ra Cb Ra Ca Rb Rb

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Rb 1 1 1 1 Ra (1 + )( + + ) Cb Ra Ca Rb Rb 1 = 1 1 Rb Rb 1 1 1 Ra + + + + + Ra Ca Rb RaCb CaCb Cb Rb

Vo = Vi

1

Vo = Vi

1 1+ Ra Rb RaRb Ra + + + Ca Cb CaCb Cb

=

1 RaRb 1 Ra + ( Ra + Rb) + +1 CaCb Cb Ca

Vo 1 (s) = Vi RaRbCaCbS ^ 2 + ( Ra + Rb)CbS + RaCaS + 1Vo 1 (s) = Vi RaRbCaCbS ^ 2 + [( Ra + Rb)Cb + RaCa ]S + 13)

G(s) =

1 RaRbCaCbS ^ 2 + ( RaCa + RaCb + RbCb) S + 1

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CALCULO DE LAS ETAPAS DEL CONTROLADOR PID

En la figura 2 se puede observar el circuito equivalente del controlador PID con cada una de sus etapas, proporcional, integral y derivativa, respectivamente.

Figura 2

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Parte proporcional (P) El controlador proporcional es esencialmente un controlador anticipativo, as mismo, este tendr efecto sobre el error en estado estable slo si el error vara con respecto al tiempo, pero tiene una gran desventaja, atena el ruido en frecuencias altas. El diseo de este tipo de controlador afecta el desempeo de un sistema de control de las siguientes maneras:

Mejora el amortiguamiento y reduce el sobrepaso mximo. Reduce el tiempo de asentamiento y levantamiento. Mejora el margen de ganancia, el margen de fase. En la implementacin de un circuito, puede necesitar de un capacitor muy grande.

La parte proporcional no considera el tiempo, por tanto la mejor manera de solucionar el error permanente y hacer que el sistema contenga alguna componente que tenga en cuenta la variacin con respecto al tiempo es incluyendo y configurando las acciones integral y derivativa.

Figura 3

Vi 0 0 Vo1 = Rc Rd

Vi Vo1 = Rc Rd

Vo1 Rd = Vi Rc

4) Vo1( s ) =

RdVi( s ) Rc

Parte integral (I) El modo de control integral tiene como propsito disminuir y eliminar el error en estado estacionario provocado por el modo proporcional.

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El error es integrado, lo cual tiene la funcin de promediarlo o sumarlo por un periodo de tiempo determinado, luego es multiplicado por una constante I. I representa la constante de integracin. Posteriormente, la respuesta integral es adicionada al modo Proporcional para formar el control P + I con el propsito de obtener una respuesta estable del sistema sin error estacionario, debido a que al incorporar un polo en lazo abierto en el origen, se desplaza el lugar geomtrico de las races del sistema hacia el semiplano derecho de s. Por esta razn, en la prctica la accin integral suele acompaarse por otras acciones de control. El controlador integral es un circuito electrnico que genera una salida proporcional a la seal de entrada. La figura 6 muestra el circuito de un controlador integral, el capacitor C esta conectado entre la entrada inversora y la salida. De esta forma, la tensin en las terminales del capacitor es adems la tensin de salida.

Figura 4

Vi 0 0 Vo2 = Rf Cc

Vi Vo2 = Rf Cc

Vi ( s) Vi ( s) = CcVo2( s) S 5) Vo 2( s) = Rf RfCcS

Parte derivativa (D) La accin derivativa se manifiesta cuando hay un cambio en el valor absoluto del error; (si el error es constante, solamente actan los modos proporcional e integral). El error es la desviacin existente entre el punto de medida y el valor de consigna, o "set point".

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La funcin de la accin derivativa, es mantener el error al mnimo corrigindolo proporcionalmente con la velocidad misma que se produce, de esta manera evita que el error se incremente. Se deriva con respecto al tiempo y se multiplica por una constante D y luego se suma a las seales anteriores (P+I). Es importante gobernar la respuesta de control a los cambios en el sistema, ya que una mayor accin derivativa corresponde a un cambio ms rpido y el controlador puede responder adecuadamente.

Figura 5

Vi 0 0 Vo3 = ( Rg + Cd ) Rh

Vo3 Vi = Rg + Cd Rh

Vo3 =

RhVi Rg + Cd

Vo3( s ) =

RhVi ( s ) 1 Rg + CdS

6) Vo3( s ) =

RhCdVi( s ) S 1 + RgCdS

FUNCIN DE TRANSFERENCIA DEL CONTROLADOR PID

En base al circuito de la figura 2 y a los valores hallados en cada una de las Vo , el cual va a ser la funcin de transferencia del etapas, procedemos a obtener Vi PID anlogo, C(s).

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Vo1( s) 0 Vo2( s) 0 Vo3( s ) 0 0 Vo( s ) + + = R R R R7) Vo1( s) + Vo2( s) + Vo3( s) = Vo( s)

Reemplazando la ecuacin 4, 5 y 6 en la 7:

RdVi( s ) Vi ( s ) RhCdVi ( s ) S = Vo( s ) Rc RfCcS 1 + RgCdS Vo Rd 1 RhCdS (s) = + + Vi Rc RfCcS 1 + RgCdS Vo Rd ( RfCcS )(1 + RgCdS ) + Rc(1 + RgCdS ) + RhCdS ( Rc)( RfCcS ) (s) = Vi Rc( RfCcS )(1 + RgCdS ) Vo RdRfCcS + RdRfRgCcCdS ^ 2 + Rc + RcRgCdS + RcRfRhCcCdS 2 ( s) = Vi RcRfCcS (1 + RgCdS )

( RdRfRgCcCd + RcRfRhCcCd ) S ^ 2 + ( RdRfCc + RcRgCd ) S + Rc Vo (s) = 1 Vi RcRfCcRgCdS ( S + ) RgCd

Rc RdRfCc RcRgCd RdRfRgCcCd RcRfRhCcCd )S ^2 + ( )S + + + Vo RcRfRgCcCd RcRfRgCcCd RcRfRgCcCd RcRfRgCcCd RcRfRgCcCd (s) = 1 Vi S (S + ) RgCd (

1 1 Rd Rd Rh )S ^2 + ( )S + + + Vo RcRgCd RfCc RfRgCcCd Rc Rg ( s) = 1 Vi S (S + ) RgCd (Edwin Gonzlez Querubn [email protected] Morgan Garavito Vsquez [email protected]

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1 1 Rd Rd Rh )S ^2 + ( )S + + + RcRgCd RfCc RfRgCcCd Rc Rg 8) C ( s) = 1 S (S + ) RgCd (

CALCULO DE LOS PARAMETROS DEL COMPENSADOR MEDIANTE MATLAB Y LA SISOTOOL

Nota: Todos los cdigos de Matlab que se utilizarn durante este trabajo, se ejecutarn de forma sucesiva. Por lo que el cdigo en el que se site necesitar de los anteriores. %============================================================ % Funcion de transferencia de la Planta %============================================================ % Vo 1 % -- = ---------------------------------------------------% Vi [(Ra*Rb*Ca*Cb)]*S^2 + [(Ra*Ca)+(Ra*Cb)+(Rb*Cb)]*S +1 %============================================================ %Valores asignados a los componentes de la planta. Ra=1000; Rb=10000; Ca=0.2e-6; Cb=0.1e-9; %Numerador de la planta. n1=1; %Denominador de la planta. d1=[Ra*Rb*Ca*Cb, Ra*Ca+Ra*Cb+Rb*Cb, 1]; %Funcion de transferencia de la planta. Planta=tf(n1,d1) En el anterior cdigo se implement la ecuacin 3), que es la funcin de transferencia de la planta, asumiendo valores para cada

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